达?矢抾哆拉?
范文一：圆锥曲线中的一个直线恒过定点问题
圆锥曲线中的一个直线恒过定点问题
OA,OB变式:(1，则直线是否恒过定点，若是，求之;若不是，说明理由。 )若AB例1:已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的 CC，，CC，，F1,0M4，012121,OAB (2)若，求面积的最小值。 k,k,,OAOB2lA、B 直线与抛物线分别相交于两点。 C21 解:(1)法一:设，则(数形结合思想:定点在轴上) lyx:,,l:y,kxxOBOAk (1)写出抛物线的标准方程; C2
法二:设，， ，，，，l:x,ty，mAx,yBx,yAB1122 (2)求证:以为直径的圆过原点; AB
Oll ( (3)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长 2)设，，(化归与转化:的表示) SCCC，，，，l:x,ty，mAx,yBx,yP,OAB211AB1122
轴长的最小值。
2 解:(1) y,4x
(2)分析:以为直径的圆过原点 AB
,OA,OB
,OA,OB,0
,xx，yy,01212
2化归与转化CA、B结论1:(1)曲线，为曲线上异于原点的两点，则: C:y,2px,,,,,思想归纳:已知条件韦达定理。
,2P,,k,k,,,l 恒过定点 ,0,,OAOBAB ,,,
2lCA、B，，，，lMm,0m,0 (2)曲线C:y,2px，过定点与曲线交于两点，则当斜率不存在 AB
S 时，面积取得最小值。 ,OAB
22xy33CC例2:如图，以为离心率的椭圆的左右顶点分别为，点是椭圆位于轴 轴上的椭圆过点，且离心率为，为椭圆的左顶点。 例3:已知焦点在，,1(a,b,0)xx，，0,1A,BQP2222ab
上方的一点，且的面积的最大值为。 C (1)求椭圆的标准方程; 2,PAB
(1)求椭圆方程; 6,,lC (2)已知过点的直线与椭圆交于两点。 A,B,,0,,(2)设点是椭圆位于轴下方的一点，直线的斜率分别为，若，设 xQk,kk,7k,BPQAP、BQ5,,1212
l 与的面积分别为，求的最大值。 ,若直线垂直于轴，求的大小; xS,SS,S,APQ，AQB1212
2lll ,若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形,若存在，求出直线的方程; x,QABx2 解(1) ，y,14 如果不存在，请说明理由。
2kk,7x,2APBQ73, 解:(1)，y,1 ,,,,,kk (2)恒过定点 l,,M,,01,,,4AQAPPQkk,,,42AQBQ,,,4,0 (2), ，AQB,903S,S,y,y 1212 2
22xy归纳:(1)思想方法:化归与转化，数形结合; ，,1(a,b,0)结论2:椭圆B,C左顶点为，为椭圆上异于点的两点，则: AA22ab
CCB,C (2)几何本质:为圆锥曲线的一个顶点，为曲线上异于的两点，则: AA23,,,aba，,,,0k,k,,,l 恒过定点 ABACAB22,,lk,k,,x ,恒过轴上的定点 b,,aBCABAC,,
C猜想:若为圆锥曲线上任意一点，则是否有类似的结论呢, A
范文二：圆锥曲线中定值定点问题
探究圆锥曲线中的定值定点问题
云南省富源县第一中学 李华老师
例1. 证明定角问题(北京理)(本小题共14分)
22xyCab:1(0,0),,,,3已知双曲线的离心率为，右准线方程为22ab
3x, 3
(?)求双曲线的方程; C
22Pxyxy(,)(0),Oxy:2，,(?)设直线是圆上动点处的切线，与ll0000
AB,双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. C，AOB
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力(
2,a3,,,c3ac,,1,3(?)由题意，得，解得， ,c,,3,a,
2y2222x,,1 ?bca,,,2，?所求双曲线的方程为. C2
22xy，,2(?)点在圆上， Pxyxy,0,，，，，0000
x0yyxx,,,,圆在点处的切线方程为， Pxy,，，，，0000y0
2,y2x,,1,22xxyy，,2xy，,2化简得.由及得 2,0000
,xxyy，,200,
222344820xxxxx,,，,, ? ，，000
1 / 6
222 ? 348820xyyxx,,,，,，，000
202,,x?切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， l0
2340x,,?，设A、B两点的坐标分别为， xyxy,,,，，，，01122
228228,,xx00则， xxyy,,,1212223434xx,,00
:?，? 的大小为. 90，AOBOAOBxxyy,,，,01212
例2. 证明斜率为定值的问题(辽宁卷理)(本小题满分12分)
3已知，椭圆C过点A(1,)，两个焦点为(,1，0)，(1，0)。 2
(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互
为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
192解:(?)由题意，c=1,可设椭圆方程为，,1，解得b,3，2214，bb
32b,,(舍去) 4
22xy，,1所以椭圆方程为。 43
22xy3，,1(?)设直线AE方程为:ykx,,，(1)，代入得 432
3222(34)4(32)4()120，，,，,,,kxkkxk 2
3E(x,y)F(x,y)A(1,) 设,,因为点在椭圆上，所以 EEFF2
2 / 6
32,,k4()1232 ykxk,，,,xEEF22，k34，
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，
可得
32，,k4()1232， ykxk,,，， ,xEEF22，k34
yykxxk,,，，()21FEFEK,,,所以直线EF的斜率 EFxxxx,,2FEFE
1即直线EF的斜率为定值，其值为。 2
将第二问的结论进行如下推广:
22xy+=>>1(0,0)abAxy(,)结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率0022ab
2bx0互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值2ay0
(常数)。
yykxx-=-()证明:直线AE的方程为，则直线AF的方程为00yykxx-=--()， 00
22xyyykxx-=-()+=1 联立和，消去y可得 0022ab
222222222()2()()0akbxakykxaykxab++-+--= 0000
3 / 6
22()akykx-00设则ExyFxyxx(,),(,),+=-112210222akb+
22222222akxakybxakxakybx--+-22000000?=xx,同理，12222222akbakb++
2-4aky0由xx-=, 12222akb+
2-4bkx0yykxxykxxy-=-++--=()(),12100200222akb+
2bxyy-012则直线的斜率为EF=.2xxa-y120
22xy-=>>1(0,0)abAxy(,)结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜0022ab
率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值
2bx0(常数)。 -2ay0
2ypxp=>2(0)Axy(,)结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为00
p-相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值(常y0
数)。
例3. 证明定直线问题(安徽卷22)((本小题满分13分)
22xyM(2,1)Cab:1(0)，,,,设椭圆过点，且焦点为 F(2,0),122ab
(?)求椭圆的方程; C
P(4,1)AB,(?)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线Cl
QQ段上取点，满足APQBAQPB,，证明:点总在某定直线上 AB
解 (1)由题意:
4 / 6
2,c,2
,22xy21,22ab,,4,2，,1 ，解得，所求椭圆方程为 ，,1,2242ab,222,cab,,,
QxyAxyBxy(,),(,),(,)(2)设点，由题设，均不为零。 PAPBAQQB,,,1122
PAPB
且 ,
AQQB
PAAQPBBQ,,,,,,,,,(0,1)又 四点共线，可设,于是 PAQB,,,
41,,,,xy (1) xy,,,1111,,,,
41，，,,xy (2) xy,,,2211，，,,
AxyBxy(,),(,)由于在椭圆C上，将(1)，(2)分别代入C的方1122
22xy，,24,程
222(24)4(22)140xyxy，,,，,，,,,整理得 (3)
222(24)4(22)140xyxy，,，，,，,,, (4)
(4),(3) 得 8(22)0xy，,,,
??,,，,,0,220xyQxy(,)，即点总在定直线220xy，,,上
例4.证明定点的问题(山东理科卷21)(本小题满分12分)
x已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点CC距离的最大值为，最小值为( 13
(?)求椭圆的标准方程; C
(?)若直线lykxm:,，与椭圆相交于，两点(不是左右CABAB，顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证:直线过定点，ABCl
5 / 6
并求出该定点的坐标(
22xy，,,,1(0)ab (I)由题意设椭圆的标准方程为 22ab
22xy2？，,1.acb,,,2,1,3， acac，,,,3,1，43
ykxm,，,,22222AxyBxy(,),(,)(34)84(3)0，，，,,kxmkxm (II)设，由得， ,1122xy，,1,43,
222222,,,，,,6416(34)(3)0mkkm，. 340，,,km
284(3)mkm,xxxx，,,,,,. 1212223434，，kk
223(4)mk,22yykxmkxmkxxmkxxm,,，,，,，，，,()()(). 12121212234，k
kk,,,1以AB为直径的圆过椭圆的右顶点， D(2,0),ADBDyy12yyxxxx，,，，,2()40？,,,1，， 121212xx,,2212
2223(4)4(3)16mkmmk,,22，，，,40，， 71640mmkk，，,222343434，，，kkk
2k22解得，且满足. 340，,,kmmkm,,,,2,127
当时，lykx:(2),,，直线过定点(2,0),与已知矛盾; mk,,2
2k22当时，，直线过定点 (,0).m,,lykx:(),,777
2综上可知，直线过定点，定点坐标为 (,0).l7
6 / 6
范文三：圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题 学习目标:
1. 掌握圆锥曲线中的定点问题的常规处理方法;
2. 在自主、合作、探究、展示与交流中掌握解决有关“恒定”问题的方法; 3. 在理解题意、探究思路、解决问题的过程中学会思考、推理、运算与表达。 学习过程:
【要点整合】
1. 基本概念:在几何问题中，如果满足一定条件的曲线恒过某一定点，就是定点问题。 2. 基本方法:常用的处理方法有两种:
(1) 从特殊入手，先求出定点或定值等，再证明这个点或值与参数无关;
(2) 直接推理，计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。 3. 易错警示:选择合适的参数，并利用这个参数得到有关这个参数的方程或函数解析式是
解决问题的关键。
活动一:基础自测
1.直线恒过定点的坐标是 。 (1)(3)(1)0，，,，,mxmy
22.若动圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，则此动圆恒过定点 。 y，,30xy,12
22xy42yx,11，,1Pxy(,)3.若在椭圆上，则直线恒过的定点坐BCyx:(2),,,1143xy，211
标是 。
22xyABAAMM，,14.经过椭圆的右焦点任意作弦，过作椭圆右准线的垂线，垂足为，43
BM则直线必经过点 。
活动二:定点的探究与证明问题
221典例 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为. AxP(,)222
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，且，求证:直Akk,kk,2DE,1212
线恒过一个定点。 DE
22Ol变式:已知椭圆方程为直线与椭圆相交于两点(不是左右顶DE,DE,xy，,21,
lDEA点)，且以为直径的圆过椭圆左顶点.求证:直线过定点，并求出该定点的坐标。
课堂小结:在圆锥曲线的综合性问题里，定点问题通常处理方法有:
活动三:自主检测
22mR,1. ，圆恒过定点 。 xyxmym，，,，，,2(1)0
22222.若点是抛物线上的动点，则圆恒过的定Txy(,)()()(1)xxyyx,，,,，yx,400000点的坐标是 。
2x222OE，,y1A3.已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点作斜率为kxy，,414
OEBDAAD的直线与椭圆交于点，设为圆上不同于的一点，直线的斜率为，当lk12
1BDkk,时，试问直线是否过定点,若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明124
理由。
范文四：圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题
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圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思路是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
题型一、直线过定点问题
例型1 点A为双曲线C:x2-?=1的右顶点，直线MN不过点A交C于M，N两点，若AM?AN;求证:直线MN过定点，并求出该定点的坐标。
解:当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m
设M(x1，y1)，N(x2，y2)
则由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0
x1+x2=?，x1x2=?
由???(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得
3k2+2km-m2=0
所以k=?或k=-m(舍去)
此时直线MN:过定点P(-3，0)
当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P(-3，0)所以直线MN过定点P(-3，0);
评注:经典题型，让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论:不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点，若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值，则直线MN过定点。
变式1:已知椭圆C:?+?=1(a>b>0)的离心率e=?，左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，?)，点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点,若过，求该定点的坐标.
题型二、曲线过定点
例2.已知直线y=-x+1与椭圆?+?=1(a>b>0)相交于A、B两点，且OA?OB.(其中O为坐标原点)求证:不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标。
解:由?-?=1y=-x+1
得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.
由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0，整理得a2+b2>1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=?，x1x2=?.
?OA?OB，?x1x2+y1y2=0，即2x1x2-(x1+x2)+1=0.
??-?+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.
由a2+b2-2a2b2=0.，得?+?=1，则不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点(?，?).
评注:本类题由已知条件OA?OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a，b的关系式a2+b2-2a2b2=0.，因为椭圆恒过一定点，所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式，可从一般形式中得到这一定点。
变式3:椭圆C:x2+?=1过点S(-?，0)的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问:在直角坐标平面内是否存在一个
定点T，使得无论直线l如何转动，以为AB直径的圆恒过点T,若存在，求出点的T坐标;若不存在，则说明理由。
题型三、定点与定值综合
例3.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为?-1，离心率e=?.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点(1，0)作直线l交E于P，Q两点，试问:在x轴上是否存在一个定点M，使???为定值,若存在，求出这个定点M的坐标;若不存在，请说明理由.
解:(1)椭圆E的方程为?+y2=1.
(2)假设存在符合条件的点M(m，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则?=(x1-m，y1)，?=(x2-m，y2)，
???=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.
?当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则x1+x2=2，x1x2=1，y1y2=-?，由m=?，得???=-?.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，
由?+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0
则x1+x2=?，x1x2=?，
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-?所以???=?-m??+m2-?=?.
因为对于任意的k值，???为定值，所以2m2-4m+1=2(m2-2)，得m=?.所以M[?，0]，此时???=-?。
综上，符合条件的点M存在，且坐标为[?，0].
评注:定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式，只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由???的表达式，如何确定m值使得与直线斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零
时，式子的值才能与k无关，进而求出定点。当然也可以先通
过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标，再进行具体证明。
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范文五：圆锥曲线过定点问题
圆锥曲线过定点问题:
一、小题自测
k1. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标(1，4k)x,(2,3k)y，(2,14k),0
为 .
22lC2. 已知直线;圆，则直线与圆的位置关系为 . l:2ax，by,a，b,0C:x，y,2x,1,0
二、几个常见结论:
满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。 1、过定点模型:是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中分别为的倾斜角，则有AB,,,,MAMB,下面的结论: ,,,,,,,,
?、为定值直线AB恒过定点; ?、为定值直线AB恒过定点; kk,MAMB,,,MAMB
?AB、直线恒过定点. ,,,,,，,,,(0),
22、抛物线中的过定点模型:是抛物线上的两动点，其中分别为的倾AB,,,,OAOB,ypxp,,2(0)
斜角，则可以得到下面几个充要的结论:
,OAOBkk,,,,,,,,,1AB直线恒过定点. ,,(2,0)pOAOB2
22xy，,,,1(0)abD3、椭圆中的过定点模型:是椭圆上异于右顶点的两动点，其中分别AB,,,,22ab
为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论: DADB,
2ac,DADBkk,,,,,,,,,1AB(,0)直线恒过定点. ,,DADB222ab，
三、方法归纳:
?参数无关法:把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
?特殊到一般法:根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 ?关系法:对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线(或曲线)上两点的坐标，利用坐标在直线(或曲线)上，建立点的坐标满足方程(组)，求出相应的直线(或曲线)，然后再利用直线(或曲线)过定点的知识求解。
1
四、例题分析:
2x2的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点.求证:直线MN过定点， 例1:过椭圆，,y14
并求出该定点坐标(
?证明:
解法一:设，直线. MxyNxy(,),(,)MNykxm:,，1122
ykxm,，,,2222 ,，，，,,(14)8440kxkmxm,x2，,y1,,4
2,,844kmmyy12， 则且V,，,,0,xxxx由得AMAN,,,,11212221414，，kkxx，，2212
2448mkm,,2222，， (1)(2)40kkmm，，，，，,(1)(2)()40kxxkmxxm，，，，，，,1212221414，，kk
mm222化简得:516120,05()16120mkmkk,，,,？,，,Q kk
mm666解得:，直线MNykx:(),，，过定点(,0),. ,,或(舍)255kk5
解法二:(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题)
2222828,,kk286,k62MN(,0),令，此时,,，所以直线过定点. ,,,k12225145，k144，，kk
4k4k,225k5k24，k14，k当，. k,,kk,,,1,CMCN2222286k,286,k4(1),k4(1),k，，2245，k145，k
6MN(,0),？,？kkMNC,,,三点共线，即:直线过定点. CMCN5
1AMyx:(2),,，解法三:设直线，则直线 AMykxk:(2)(0),，,kykx,，(2),22164284kkk,,,22222Q,,？,,2,,xxy ,，，，,,(14)161640kxkxk,MMMx2222141414，，，kkk，,y1,,4
22284,kk284kk,,M(,)N(,)所以点，同理:点 22221414，，kk44，，kk
44kk，2224528kkk,5k144，，kk，直线 ？,,kMNyx:,(),,,MN2222222828,,kk4(1),k144(1)14，,，kkk,22144，，kk
22262816(1)6(14)6,,,，kkkMN(,0),令y,0得，所以直线过定点. x,,,,,2225145(14)5(14)5，，，kkk
2
例2:2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)
22,,,,33xyP1，P,1，ab,,0P11，P01，C，，，，，，:，,1，四点，，，中恰有三点 已知椭圆,,,,341222,,,,22ab,,,,
C在椭圆上(
C(1)求的方程;
lCPPAPB(2)设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为， AB,1222
l证明:过定点(
AB,?kkkkkk，,,,,分析:出现(是曲线上一动点，是曲线另外两点)，可以得到直线 PPAPBPAPB
过定点。 AB
PPPP，，PPP?解:,1,根据椭圆对称性,必过、,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过三点 1234344
1,,12,2b,,3x,222PP011，，，,C，，，,y1,,a,4b,1将代入椭圆方程得,解得,?椭圆的方程为,, ,233,,24,,,14，,1,22ab,
lxmAmyBmy:,,，，，，，，，，?,2,当斜率不存在时,设 AA
yy,,,11,2AAkk，,，,,,1m,2l,得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足, PAPB22mmm
lykxbb?,，,1AxyBxy，，，，，，，，，?当斜率存在时,设, 1122
2ykxb,，,,8kb44b,222148440，，，,,kxkbxbxx，,xx,,,联立,整理得，，,,,则12212222xy，,,44014，k14，k,
228888kbkkbkb,,，2yy,,1181kb,xkxbxxkxbx，,，，,，，，，，，1221212114，kkk，,，,,,,1，,PAPB222xx44b,411bb，,，，，，xx1212214，kb,1,,,,bk21,,,64kk,,0又此时,存在使得成立,
ykxk,,,21y,,121，,x,2l，，l?直线的方程为,当时,,所以过定点,
?小结:此类问题的解题步骤:
,,0ABykxm,，第一步:设直线的方程为，联立曲线方程得根与系数的关系，用求出参数的取值范围;
kfm,()mfk,()第二步:由与的关系，得到一次函数或者; APBP
kfm,()mfk,()ykxm,，ykxxy,,，()第三步:将或者代入，得 定定
3
23)(过点P(1，1)分别作斜率为k，k的椭圆的 例3:已知左焦点为F(,1，0)的椭圆过点E(1，123
动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点(
(1)求椭圆的标准方程; (2)若P为线段AB的中点，求k; 1
(3)若k+k=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标( 12
?分析:第(3)问，可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动 弦的中点所在直线过定点(
2,,23232?解:依题设c=1，且右焦点(1，0)(所以，2a==， ,,EFEF，F(11)23，，，,,,33,,
22y222xb=a,c=2，故所求的椭圆的标准方程为( ，,132
2222xyxy1122(2)设A(，)，B(，)，则?，?( ，,1，,1xyxy11223232
()()()()xxxxyyyy,，,，21212121?,?，得 ( ，,032
yyxxx,，2()422121P所以，k=( (3)依题设，k?k( ,,,,,,112xxyyy,，3()632121P
设M(,)，直线AB的方程为y,1=k(x,1)，即y=kx+(1,k)，亦即y=kx+k， xy11112MM
222代入椭圆方程并化简得 ( (23)6360，，，,,kxkkxk1122
,3kk2k,3kk2k122121x,y,x,y,于是，，( 同理，，( NNMM222223，k23，k23，k23，k2211
22yy,46()，，，kkkk106,kkMN221121当kk?0时，直线MN的斜率k==( ,12,，9()kkkkxx,,9kk2121MN21
21063kkkkk,,22112yx,,,()直线MN的方程为， 22,9kk2323，，kk2111
10610632,,kkkkkkk106,kk2121122221yx,，,，()即 ，亦即 ( yx,,22,,99kkkk,93kk2323，，kk21211121
22(0,),(0,),此时直线过定点(当kk=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点( 1233
2(0,),综上，直线MN恒过定点，且坐标为( 3
?小结:此类问题的解题步骤:(交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤)
k第一步:设其中一条直线的斜率为，求出直线方程; 1
第二步:直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示这条弦的中点，并且类比
出另外一条的中点坐标;
第三步:由上述两步，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程; 第四步:化直线为点斜式，确定定点坐标。
?拓展:若过抛物线的某定点作两条直线，这两条直线的斜率之和(积)为定值，那么两条线的中点连线必
过一定点。
4
五、练习反馈:
2x2，直线l:x,4，A，B是长轴的两端点，M是椭圆上异于A，B的任意一1(如图，已知椭圆，,y14
点，设直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q，则以PQ为直径的圆C经过定点 .
22xy2.已知椭圆的上顶点为，直线 AC:1，,lykxm:,，42
y 交椭圆于两点，设直线的斜率分别为. kk,APAQ,PQ,P 12
m,0(1)若时，求的值; kk12M (2)若时，证明:直线过定点. kk,,1lykxm:,，12
A O x B
Q
l:x=4
223xy,,C1 ，Fc, 0，3.已知椭圆经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交lyxc:,,Cab:10，,,,，，，，,,1222ab,,
3a?ABF于，两点，的周长为. AB
C(1)求椭圆的方程;
CPNMN ，(2)若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，分别为切lyxc:3,,PPPM2
22xyMNxy ，点，求证:直线过定点，并求出此定点坐标.(注:经过椭圆上一点Cab:10，,,,，，，，0022ab
xxyy00的椭圆的切线方程为). ，,122ab
5
22xy2Cab,,0:()过点，且离心率为。过点作两条互相垂直的直4.已知椭圆P，,1P(21),，22ab2
线分别交椭圆于、两点(、与点不重合)。求证:直线过定点，并求该定点的坐标。 ABABPAB
122Cyx,5.已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合( e,42
C(1)求椭圆的方程;
1,,lCT(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问:在坐标平面上是否存在一个定点， AB,S,,0,,3,,
lABTT使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点,若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由(
6
22yx2、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,6.已知，,,,1(0)abCxy:4,FFCF1211222ab
5点是与在第二象限的交点,且. CC||MF,M1213
(1)求椭圆的方程. C1
222AB,OlO(2)已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取P(1,3)xyb，,PAB
,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,1一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上. APPB,,,QQAQQB,,
7
圆锥曲线过定点问题答案:
一、小题自测答案:
1、(2,2) 2、相交
五、练习反馈答案:
111、设直线，易得直线， BMyx:(2),,,？,PkQ(4,6),(4,)AMykxk:(2)(0),，,4k2k
12圆C:，整理得: (4)(6)()0xyky,，,，,2ky
122 (4)(6)30xyky,，，,,,A l 2k
22Q ,(4)30xy,，,,由得定点为. (43,0),,y,0O x ,
2、解:(1)设，则 Pxy(,)Qxy(,),,0000
P 2yyy,,,,2221000 kk,,,,,122xxx,2000
22(2)(2)(2)()(2)yykxxkmxxm,,，,，，,121212(2)设，, kk,,,,,1Pxy(,)Qxy(,)112212xxxx1212
ykxm,，,222,，，，,,(21)4240kxkmxm,22xy，,24,
2244mkm,,222,,,,32220mm(1)(2)(2)0kkmm，，,，,, 222121kk，，
22所以，直线过定点 lykxm:,，(0,),mm,,,或,舍,233
3、
(2)由题意得:，设， 则直线，直线，
8
又在上述两切线上，?， ?直线，
即:，由得， ?直线过定点，且定点坐标为.
22cab,241，且。 4、【解答】依题意，有，,1,,22abaa222解得，。 a,6b,3
22xyC? 椭圆的方程为。 ，,163
易知直线AB斜率存在，设AB方程为。 ykxm,，
ykxm,，,,22由，得 ,xy，,1,63,
222 ……… ? (21)4260kxmkxm，，，,,
设，， Axy()，Bxy()，1122
226m,4mk则， xx,。 xx，,,12122221k，21k，uuruur
PAPB,由知，。 PAPB,,0
? ， (2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)0xxyyxxkxmkxm，，，,,,，，，，,，,,12121212
22即 。 (1)(2)()250kxxkmkxxmm，，,，，，,，,1212
2264mmk,22? (1)(2)()250kkmkmm，，，,，，,，,，,。 222121kk，，22384210mmkkm,，,,,? 。
mk,,,210AB? 。由直线不过点，知。 (321)(21)0mkmk,，,,,P(21),，
21213210mk,，,ABmk,,ykxk,，,? ，，直线方程化为。 3333
21ABD(),,，? 直线过定点。 33
22xy22c，,,,10ab5、解:(1)设椭圆的方程为，离心率，—1分 e,,,，，22ba22a
12yx,0,1又抛物线的焦点为，所以， ——2分 cab,,,1,2,1，，4
2y2Cx，,1椭圆的方程是. ——3分 ？2
22llABxx(2)若直线与轴重合，则以为直径的圆是xy，,1，若直线垂直于轴，
9
2116,,2为直径的圆是. ——4分 则以ABxy，，,,,39,,
22,xy，,1,x,1,,,2由解得即两圆相切于点. ——5分 1,0，，,,116,,2y,0.xy，，,,,,,,39,,,
因此所求的点如果存在，只能是. ——6分 1,0T，，
1,,l当直线不垂直于轴时，可设直线. ——7分 xlykx:,，,,3,,
,1,,ykx,，,,,,213,,,2222由消去得. ——8分 kxkxk，，，,,220y，，,239y,2x，,1,,,2
2,2,k,3xx，,,,122,k，2AxyBxy,,,设，则 ——9分 ，，，，,112212,k,2,9xx,.122,k，2,
,,,,,,
又因为， TAxyTBxy,,,,1,,1,，，，，1122
,,,,,,
——10分 ？,,,,，TATBxxyy11，，，，1212
11,,222,，，,，，，kxxkxxk111，，，，1212,,39,,
1222kk,,211,,22293,，,，,,，，kkk111，，,,22kk，，2329,,
——11分 ,0,
？,TATBABT1,0,即以为直径的圆恒过点. ，，
T1,0故在坐标平面上存在一个定点满足条件. ——12分 ，，
2Cxy:4,6、解:方法1:由知F(0,1),设Mxyx(,)(0),, 10002
2xy,4因在抛物线C上,故…? M200
26552x,,又,则……?, 由??解得, ||MF,y，,1y,01003333
CF(0,1)F(0,1),椭圆的两个焦点,,点椭圆上, M112
10
2622622222 由椭圆定义2||||(0)(1)(0)(1)4aMFMF,，,,,，,，,,，，,123333
22yx222?a,2c,1,又,?, ?椭圆的方程为. bac,,,3，,1C143
22方法2:由知,设,因在抛物线上,故…? Cxy:4,xy,4F(0,1)Mxyx(,)(0),CM10002002
55262又,则……?, 由??解得,. x,,||MF,y，,1y,01003333
22622()()482233c,1而点ba,,1椭圆上,故有即…?, 又,则…? ，,1，,1M2222ab93ab
22yx22a,4b,3由??可解得,,?椭圆的方程为 ，,1C143(2)设,, Qxy(,)AxyBxy(,),(,)1122
,,,,,,,,xx,,,,,1......?,,12由APPB,,,可得:,即 (1,3)(1,3),,,,,,xyxy,,1122yy,,,3(1)......?,,,12,
,,,,,,,,xxx，,，,,(1)......?,,12由可得:,即 (,)(,)xxyyxxyy,,,,,,AQQB,,,1122yyy，,，(1)......?,,,12,
2222??得: xxx,,,,,(1)，12
2222222222AB,??得:两式相加得又点在圆yyy,,,,,3(1)()()(1)(3)xyxyxy，,，,,，,,，121122222222,,,1上，且,所以, 即, ?点总在定直线上. xy，,33Qxy，,33xy，,3xy，,3xy，,31122
11
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