呀飞123114545
范文一：矩阵的秩与特征值有什么关系
矩阵的秩与特征值有什么关系
为讨论方便，设A为m阶方阵。
证明:设方阵A的秩为n，因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
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的矩阵，称为矩阵的标准形(注:这不是二次型的对称矩阵提到的标准形)。本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为主对角线前若干个是1;其余的是若干个0以及除对角线以外的元素都是0。
设A的标准形为B。
因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，从同构的意义上说，他们是“无差别”的。(由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以用形如“线性变换A”，表示线性变换用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵)
前面知识应该提到的内容:
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是
因为可逆且可逆的。所以矩阵B的秩(1的个数)，就是矩阵A的秩，就是n。不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。我们随即看到，如果线性变换B(或者说矩阵B)的秩是n，则线性变换B就是对线性空间的前n个基做恒等映射(因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题)，后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n，就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值(不管你的特征值是不是一样)。这里有n个1，都是一样的(从特征多项式也知道有n个重根)。因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。
下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，第i行乘以数域P上的数k?1(当然，如果k=1纯属脱裤子放屁)，我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，其它初等变换相应类推。
借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么,这个是有意义的。而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B(线性变换B)的秩是不变的。这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等(相当于特征多项式的几次方)，就当然重复计算。
最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A，这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。
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【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，?
让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。
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? 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。
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? 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。
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? 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2
? 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。
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? 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽
梦。
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? 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。
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? 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。
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? 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。
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? 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5
? 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3
【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，?
在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1
? 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0
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? 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠
? 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。
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? 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。
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? 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，
期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。
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? 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0
? 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0
? 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。
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? 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。
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? 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。
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? 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。
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? 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻??我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。
范文二：矩阵的秩与特征值有什么关系
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矩阵的秩与特征值有什么关系
为讨论方便，设A为m阶方阵。
证明:设方阵A的秩为n，因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
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的矩阵，称为矩阵的标准形(注:这不是二次型的对称矩阵提到的标准形)。本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为主对角线前若干个是1;其余的是若干个0以及除对角线以外的元素都是0。
设A的标准形为B。
因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。所以研究得到线性空间的性质可以照搬
的。(由于线性到线性变换空间上应用，从同构的意义上说，他们是“无差别”
变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以用形如“线性变换A”，表示线性变换用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵)
前面知识应该提到的内容:
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的。所以矩阵B的秩(1的个数)，就是矩阵A的秩，就是n。因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。我们随即看到，如果线性变换B(或者说矩阵B)的秩是n，则线性变换B就是对线性空间的前n个基做恒等映射(因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题)，后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n，就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值(不管你的特征值是不是一样)。这里有n个1，都是一样的(从特征多项式也知道有n个重根)。因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。
下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，第i行乘以数域P上的数k?1(当然，如果k=1纯属脱裤子放屁)，我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，其它初等变换相应类推。
借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么,这个是有意义的。而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B(线性变换B)的秩是不变的。这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相
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等，纯属巧合，无意义。有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等(相当于
特征多项式的几次方)，就当然重复计算。
最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A，这个简单，将矩阵B做一系列
初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，特征多项式也变了，但
是我们发现的守恒量n，是不变的。
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范文三：方阵零特征值代数重数与秩之间的关系
2008 年 6 月 Journal of University of Science and Technology of Suzhou ( Natural Science) Jun. 2008
方阵零特征值代数重数与秩之间的关系
钟成义, 陈永生, **文
( 农业部南京农业机械化研究所, 江苏 南京 210014)
摘 要: 在已知零特征值代数重数时, 给出了矩阵零特征值代数重数与矩阵秩之间的内在必然联系, 及其一般应用。
关键词: 零特征值; 代数重数; 几何重数; 秩; 矩阵
MR ( 2000) Subject Classification : 15A03 中图分类号: O151.21
文献标识码: A 文章编号: 1672- 0687( 2008) 02- 0029- 03
先给出 3 个将要用到的引理:
n×n 引理 1 设 !是方阵 A?C的 r重特征值( 称 r为特征值 !的代数重数) , 对应有 s个线性无关的特 i i i i i 征向量( 称 s为 !的几何重数) , 则 1?s?r。 i i ii
, , 则!引理 设 阶方阵 ( ) 的特征值为 !, !, 2 n A=a nijn×n 12
( 1) a+a+ +a=!+!+ +!=tA; 1122nn12nr
( 2) |A|=×× ×; !!!12n
( 3) 0 是 A 的特征值的充分必要条件是|A|=0。
n×n 引理 3 如果方阵 A?C的秩为 R, 则以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX=0 的解向量组中, 必恰 有 n- R 个是线性无关的。
以上 3 个引理的证明见文献[3]。
n×n 方阵 A?C在无零特征值时, 由定理 2 可知|A|?0, 因而必为满秩矩阵, 即 A 的秩 R=n, 但在已知 A 的 零特征值的代数重数时, 却无法利用它来进一步确定矩阵的秩。或在已知矩阵秩时也无法确定零特征值代 数重数。那么, 有没有什么办法能在已知 A 的零特征值代数重数时求出 A 的秩呢? 事实上矩阵的零特征值代 数重数与秩有如下定理:
n×n 定理 如果方阵 的秩为 , 设 有零特征值, 且其重数为 , 则必有1 A?CRA r
n- r?R<>
证明因 A 有零特征值, |A|= 0, 则必有 R
现设 重零特征值对应的特征向量组 , ,, , 并设该向量组中有 个是线性无关的, 则r xx xs 12i
( I- A) X=( 0I- A) X=- AX=0 !
由此可见, 零特征值对应的特征向量即为以 A 为系数矩阵的 n 元齐次线性方程组的非零解向量。因 A 的秩为 R, 由定理 3 知 s=n- R。而 r 即为对应于零特征值的代数重数。s 即为对应于零特征值的几何重数。由 定理 1 可得出 r?s=n- R 即 r?n- R, 移项得 R?n- r, 所以不等式左边得证。
因此, 当矩阵零特征值代数重数为一定值 r 时, 矩阵不仅是降秩, 还满足一定的关系
n- r?R<>
由该定理可得出下面两个推论:
n×n 推论 1 如果方阵 A?C仅有 1 个零特征值, 即 r=1, 则必有 A 的秩 R=n- 1。
证明 因为 n- r?R
n×n 由 n- r?R
——————————
[收稿日期] 2007- 01- 15
[作者简介] 钟成义( 1974- ) , 男, 安徽全椒人, 硕士, 工程师, 研究方向: 机械设计。
30 2008 年 苏州科技学院学报( 自然科学版)
的零特征值的代数重数
r?n- R
由此可得出第二个推论:
n×n 推论 2 如方阵 A?C的秩 R=1; A 的 n 个特征值为 , , , , 则必有!!!12n
=tA, == ==0 !!!!1r 23n
证明 因为 , , 所以 , 而 , , 均为正整数, 类似推论 的证明可得 。n- R?r
中有 个零, 则 , ,, !!!由 , 因 , ,!!!!!n- 1 , 中只有一个非零且等!a+a+ +a=++ +=tA n 121122nn12nr12n 于 tA。 r
通过 2 个例题可更好地看出 2 个推论在求秩和求特征值方面的应用。
% (& )& )36 1 & )) & )& & ) &)4 例 设 , 且 A 的特征值 =0, =1, =2, 求 A 的秩 R。 1 ! ! ! 1 A= 21 2 3 & ) )& & ) & )& ) 6 32 && ) *’
解 因 A 的零特征值代数重数 r=1, 由推论 1 可知 R=n- 1=2。
% (& )& )12 3 & ) &) &)& ) &)4 例 设 , 求 A 的特征值 , , 。 6 ! ! ! 2 A= 21 2 3 & ) & ) & ) & )& ) 8 12 4 )& ’ *
解 由观察可知, 方阵 A 的 3 个行向量线性相关, 因而 A 的秩 R=1, 则由推论 2 知无需计算即可得出 A 的 3 个特征值 !=tA=17, !=!=0。 1r 23
由以上讨论可知在已知方阵 A 的零特征值代数重数为 r 时, 不能直接求出秩 R, 仅能得出 R 的范围。能 否寻求别的途径, 在已知 r 时求出 R 的确定值? 事实上, 如果进一步知道零特征值几何重数 s, 则可求出 R。
n×n 定理 2 设方阵 A?C的秩为 R, 零特征值代数重数为 r, 几何重数为 s, 则 R=n- s。
证明 求出方阵 A 的 Jordan 标准型 J, 则 A 的秩与 J 的秩相等, 均为 R。
(% &)J 1 & )& ) & )& ) &)J 2& ) &)& ) & )& ) J= ,& )& ) & )& ) & )J i& ) & )& )& ) & )J’ 0 *
其中 , ,, 为其他非零特征值对应的 块, 为零特征值对应的 块, 设JJ JJordan JJordan 12i 0 (% & )J 1& )& )& )& ) & )J 2& )& )J′= & ) &)& ) , &)& )) && ) &)Ji *’
且 J′的秩为 R′, 则由 Jordan 标准型性质知
R′=n- r
设 的秩为 , 则必有 的秩 。JRJ R=R+R′ 0 00
如果方阵 A 的 r 重零特征值对应 r 个线性无关的特征向量, 即 s=r, 则 J可对角化。 0
第 2 期 钟成义等: 方阵零特征值代数重数与秩之间的关系31
"% # &0 #& # &# & #&# & 0 #& &#J= #& 0# & #& !# & & #& # #& #&0 ’ $r×r
, 则 的秩 。如果 , 则R=r- s=0J R=R+R′=n- r+r- s=n- ss=r- 1 00 "% &(01 (& & & & &0 (& ( &(J= (& 0 ( & (& ! && ( & &( (& 0 ’ $ (r×r
( R=r- s=1, 则 J 的秩 R=R+R′=n- r+r- s=n- s=n- r+1。00 (由此类推, 如果零特征值对应的特征向量全相关, 即 s=1, 则 ( " % (& 01 & (((& & & &0 1 ( & &(J= ((& 0( && 1 & & & ( & ( & ((0 ’ $r×r , 则 的秩 。R=r- s=r- 1J R=n- s=n- 1 0((因此, 零特征值代数重数仅能限定秩的范围, 而在此范围内秩是由特征值的几何重数决定的。
(
参考文献:
([1] 蒋正新, 施国梁. 矩阵理论及其应用[M]. 北京: 北京航空学院出版社, 1988: 54.
[2] 熊全淹, 叶明训. 线性代数[M]. 3 版. 北京: 高等教育出版社, 1987: 67.
[3] 徐仲, 张凯院, 陆全, 等. 矩阵论简明教程[M]. 北京: 科学出版社, 2001: 2- 25.
The Relationship Between Matr ix Rank and Matr ix Zer o
Eigenvalue Algebr aic Multiplication
ZHONG Cheng- yi, CHEN Yong- sheng, ZHU De- wen
( Nanjing Research Institute for Agricultural Mechanization Ministry of Agriculture, Nanjing 210014, China) Abstr act : Under the condition of knowing zero eigenvalue algebraic multiplication, the authors have discussed the use and necessary relationship between matrix zero eigenvalue algebraic multiplication and matrix rank. Key wor ds: zero eigenvalue; algebraic multiplication; geometrical multiplication; rank; matrix
责任编辑: 蔡熹芸
范文四：矩阵的秩与非零特征值个数差的确定
::第 卷 第 期吉 林 大 学 学 报 理 学 版 ,,, ,,,(,, ,,(,
::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;,,,;,,,,,,,,,,, ,,,, 年 月, ,,,,,,
研究简报 :,,,,,,(,,,,,(;,,,(,,,,,,(,,,,(,,(,,,,
矩阵的秩与非零特征值个数差的确定
,,,,,,,,,,,吕洪斌杨忠鹏冯晓霞陈梅香梁小春
:北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林 ;莆 田学院 数学学院,福建 莆田 ;,(,,,,,,,(,,,,,,
闽南师范大学 数学与统计学院,福建 漳州 ;福州大学 数学与计算机科学学院,福州 :,(,,,,,,,(,,,,,,
:,摘要以矩阵的标准形为工具给出了用矩阵方幂的秩表示的矩阵的秩和非零特征 值 个数差,,,,,,
,的确定方法其结果不依赖于矩阵的标准形,,,,,,(
:;;;关键词矩阵秩矩阵方幂矩阵指数幂零矩阵
:::::中图分类号文献标志码文章编号,,,,(,, , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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,,,×, ,,::,存在矩阵 记为,,的指数所 有 阶幂零矩阵的集合 表 示 为 , , ,,,,,,(,×, , , ? 瓘?
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、、、计秩与非零特征值个数相等的矩阵在数理统计试验设计多元统计分析金融计量统计和经济统
,分析等领域应用广泛矩阵的标准形和其初等因子是互为确定的 因此目前已有关于矩阵的 秩(,,,,,,
,,,,,,和非零特征值个数关系的研究结果都依赖于矩阵的标准形本文给出矩阵 的秩和非零特 征,,,,,,(
,,值个数差的确定方法得到的结果不依赖于矩阵的 标准形而以矩阵方幂的秩为基本工具文,,,,,, ( ,,,:献从矩阵标准形出发得到,,,,,,, ,, ,,×, ,,,…,命题设 如 果 的 幂 零 的 标 准 形 中 共 有个 阶 数 分 别 为,,? 瓘, ,,,,,, , , , ,, , , :收稿日期 ,,,,,,,,(,,
::—:,,,,,,:作者简介吕洪斌,,,,男 汉 族博 士教 授从事数值代数 和矩阵理论及其应用的研究 ,,,,,,,,,,,,,,,(;,,( 通,,
::—:,,,:,,,,,,,,,,杨忠鹏,,,,男 汉族教授从事矩阵及其应用的研究 ,,,,,,,,(;,,( ,,,,,,,信作者
基金项目:吉林省教育厅科学技术 研 究 项 目:批 准 号 ::、福建省教育厅科研基金 :批 准: 号 ;:、福 建 省 自,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,然科学基金:批 准号 ::和 年福建省高校服务海西建设重点项目:批 准号 ::,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(
第 期 吕洪斌,等:矩阵的秩与非零特征值个数差的确定 , ,,,,
,::::…则块,,,,,,,,,,,,,,，,，，,,,,,,(?,,,?
预备知识,
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参 考 文 献
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,, 梁小春,陈梅香,杨忠鹏,等矩阵的秩和非零特征值个数关系的进一步讨论 ,,闽南师范大学学报 :自然科 ,(,(
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:::责任编辑赵立芹
范文五：矩阵秩和特征值的估计
() 文章编号 : 1673 - 9868 200912 - 0099 - 04
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矩阵秩和特征值的估计
1 2胡兴凯, 邹黎敏
11 重庆大学 数理学院 , 重庆 400030 ; 21 重庆三峡学院 数学与计算机科学学院 , 重庆 万州 404000 摘要 : 首先得到了特征值模的平方和的一个上界 , 接着给出了矩阵秩的一个下界 , 并用数值算例验证了所得结果 的有效性 , 最后给出了矩阵特征值实部和虚部的估计 .
关 键 词 : 秩 ; 特征值 ; 范数
中图分类号 : O1511 2 文献标识码 : A
n×n λ( ) 文中用 C表示 n ×n 阶复矩阵的集合 , - 1 i = 1 , 2 , ?, n为矩阵 A 的特征值 , 其中 i = a+ b i i
3 λ ai 和 bi 分别为i 的实部和虚部 .A = A?表示′ A 的共轭转置. ‖A ‖F 表示矩阵 A 的 F - 范数 , 即 ‖A ‖F
n 3 ( ) = t r A A , 其中 t r A 表示矩阵 A 的迹 . R表示矩阵 A 的第 i 行所有元素绝对值的和 , 即 R= |a i iij? j = 1 ( ) | , r A 表示矩阵 A 的秩 , I 表示复数域上 n ×n 阶单位矩阵. n
1 矩阵秩的下界 [ 1 - 2 ]1909 年 , Sch ur 得到了著名的 Sch ur 不等式 n n n 33 2 2 2 2 2 2 A + A A - A λ| | ? ‖A ‖a? ‖i ‖b? ‖ ‖ FFi i F? ? ?2 i = 1 i = 1 i = 1 2 - 1
其中等号成立的充要条件是 A 为正规矩阵. 对非正规矩阵 , 文献 [ 3 ] 改进了 Sch ur 不等式 , 得到
2 n 3 ‖[ A , A ] ‖2 F2 ( )λ1 | |? ‖A ‖-i 2 F ? = 1 i 6 ‖A ‖ F3 3 3 3 其中 [ A , A ] = A A - A A 为 A 与 A 的换位子矩阵.
( ) 我们继续改进 1式 , 得到
n×n 定理 1( ) α λ + b1 i = 1 , 2 , ?, n为 A 的特征值 , 则 a 设 A ? C, ? C , = - i ii n
2 3 ‖[ A , A ] ‖ 2 F2 λ| |i ? ‖A ‖- 2 F ? i = 1 ( ω)6 ‖A ‖- F 2 ( (α) α) (α) ω α其中 = ma x 2 Re t r A - n | | , Re t r A 表示取t r A 的实部. α?C
αα ( α λ证 ( ) ) A - I n , 其中? C , 则i - i= 1 , 2 , ?, n为 B 的任一特征值 , 由 1式可得 令 B = 2 n 3 n ‖[ B , B ] ‖2 F2 2 2 ( )λαλ(α) α2 | - |= | | - 2 Re t r A + n | | ? ‖B ‖-i i 2 F ? ? = 1 i = 1 i 6 ‖B ‖ F
? 收稿日期 : 2009 - 03 - 29
( ) 基金项目 : 重庆大学研究生科技创新基金资助项目 200801A1A0070266.
( ) 作者简介 : 胡兴凯 1982 - , 男 , 山东泰安人 , 硕士研究生 , 主要从事数值线性代数的研究.
由计算可知 2 2 2 (α) α( ) 3 ‖B ‖= ‖A ‖-2 Re t r A + n | | FF 223 3 ( )‖[ B , B ] ‖ = ‖[ A , A ] ‖ 4 F F
( ) ( ) ( ) 从而由 234知结论成立 .
( ) α ω 在定理 1 中 , 若我 显然 , 在定理 1 中 , 只要存在? C , 使得> 0 , 我们得到的估计就比 1式精确 .
t r A α 们取= , 将得到如下定理n
n×n λ定理 2 设 A ? C, =i ) ( 1 , 2 , ?, n为 A 的特征值 , 则 = 1 i ai + bi- 2 n 3 ‖[ A , A ] ‖2 F2 λ| |i ? ‖A ‖- 2 F ? 2 | t r A | i = 1 ‖A ‖ 6 - F n
n×n 3定理 设 A ? C, 则
2 | t r A | ( )?r A 2 3 ‖[ A , A ] ‖2 F‖A ‖- 2F 2 | t r A | 6 ‖A ‖- F n
证 由 Sch ur 分解定理知 , 存在酉矩阵 P , 使得
λ 1
λ 3 23 ( )5 P A P = ω 0
λ n
λλλλλλ其中, , ?, 为 A 的所有特征值 . 不失一般性 , 我们设, , ?, 为 A 的所有非零特征值 , 故由1 2 n 1 2 k
( ) ) ( 5式可知 k ? r A , 于是 n k k k 22 22 3 2 2( λ) ( )λλλ( ) | t r A | = | t r P A P| = | i | 6 = | | ? k | |? r A | |i i i ???? i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
( ) 所以 , 由 6式和定理 2 , 我们有
2 3 ‖[ A , A ] ‖2 F2 ‖A ‖- 2F ( )| t r A | ? r A 2 | t r A | 6 ‖A ‖- F n 故
2 | t r A | ( )?r A 2 3 ‖[ A , A ] ‖2 F‖A ‖- 2F 2 | t r A | 6 ‖A ‖- F n 于是定理得证.
例 1 设
81 7161 1 9238 1 4336 22
A = 21 5301 71 8469 111 8528
30181 9645 1 2013 1 4532 由定理 3 得
( )?21 0255 r A
( ) 所以 r A ?3 , 从而可得 A 非奇异 . 而由文献 [ 4 ] 的定理 2 , 仅得
( ) r A ?11 9412
[ 5 ] ( ) 即 r A ?2 , 由此不能得出 A 非奇异 , 而由著名的 Ky Fa n2Hoff ma n 不等式也仅得
( ) r A ?11 7881
( ) 即 r A ?2 , 由此也不能得出 A 非奇异 . 这个例子表明了在某些情况下定理 3 比由文献 [ 4 ] 的定理 2 和 Ky
Fa n2Hoff ma n 不等式所得到的结果更好. n×n 1推论 设 A ? C, 若
2 3 ‖[ A , A ] ‖2 F2 ‖A ‖- 2F )( | t r A | > n - 1 2 | t r A | 6 ‖A ‖- F n 则 A 非奇异 .
证 由定理 3 知结论成立.
矩阵特征值实部和虚部的估计2
n×n λ( 定理 4) 设 A ? C, = a+ b- 1 i = 1 , 2 , ?, n为 A 的特征值 , 则 i i i
2 n 3 3 ‖[ A , A ] ‖2 2 FA + A ? ‖ a‖- 2 F i? 2 2 | t r A | i = 1 ‖A ‖ - 12 F n 2 n 3 3 ‖[ A , A ] ‖2 2 A - FA b? ‖ ‖-2 F i? 2 | t r A | i = 1 2 1- ‖A ‖ - 12 F n
证 由 Sch ur 分解定理知 , 存在酉矩阵 P , 使得
λ ? 1k12k13k1 n λ kk23 ? 2 n 2 3 ω P A P = ?
ω 0
λ n于是可得 Sch ur 恒等式
n 2 2 2 λ( ) | ||7 i ‖A ‖ij |k= + F? ? 1 i = 1 ?i < j="" 又有="">
1 1 1 k12k13? k1 na 12 2 2 1 1 1 kak23? k2 n 1222 2 2 3 A + A 3 1 P P = 1 kka ? 2 132332 2
ω ? ? 1 1 1 k k k a ? 1 n2 n3 nn2 2 2 所以 n 3 2 2 A + A 1 2 | ( ) k= + 8 ‖‖ij a|F i? ? 2 2 i = 1 1 ?i < j="" 同理可得="" n="" 3="" 2="" 2="" a="" -="" a="" 1="" 2="" b|(="" 9="" )="" ‖‖="+" k|="" ij="" f="" i?="" 2="" i="1" 1="">< j="" 2="" -="" 1="">
2 ( ) ( ) 因此 , 由 7式和 8式消去 | k| , 可得ij ? 1 ?i < j="">
n n 3 2 2 2 1 A + A 2 λ| |( )a‖ = ‖A ‖-i 10 ‖- F F i? ? 2 2 i = 1 1 i =
( ) ( ) 同理 , 由 7式和 9式可得 n n 3 2 2 2 1 2 A - A λ( ) ( ) b| |11 ‖ ‖-i ‖A ‖-= F iF ? ? 2 i = 1 i = 1 2 - 1
( ) ( ) 故 , 由 10式 、11式和定理 2 知定理成立 , 显然定理 4 改进了著名的 Sc h ur 不等式. 参考文献 :
[ 1 ] Ho r n R A , J o hnso n C R. Mat rix A nalysi s [ M ] . Ca mbridge : Ca mbridge U niver sit y Pre ss , 1985 . [ 2 ] 詹兴致 . 矩阵论 [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 2008 .
[ 3 ] Eberlein P J . On Mea sures of No n2No r malit y fo r Mat rice s [J ] . A mer Mat h Mo nt h , 1965 , 72 : 995 - 996 . [ 4 ] () 黄廷祝 . 矩阵秩的下界与 Schur 不等式的改进 [J ] . 电子科技大学学报 , 1993 , 22 05: 537 - 541 . [ 5 ] Bell man R. Int ro ductio n to Mat rice s A nalysi s [ M ] . New Yo r k : Mc Graw Hill , 1970 .
[ 6 ] () () 胡兴凯 , 邹黎敏 . 矩阵特征值和奇异值的估计 [J ] . 西南师范大学学报 自然科学版, 2009 , 34 3: 40 - 43 . [ 7 ] () () 陈经纬 . 矩阵特征值的分布 [J ] . 西南大学学报 自然科学版, 2007 , 29 11: 45 - 47 .
Est imat ion f or the Rank and Eigenval ues of Matrices
1 2 H U Xi ng2kai,ZO U L i2mi n
Chong qing 400030 , China ; 11 Colle ge of Ma the ma tic s a nd Physic s , Chong qing Unive rsit y ,
China 21 Colle ge of Ma the ma tic s a nd Comp ut e r S cie nc e , Chong qing Thre e Gorg e s Unive rsit y , Wa nzhou Chong qing 404000 , Abstract : A n upp er bo und fo r t he su m of squa re s of t he mo dule of ei ge nval ue s of mat rice s i s o bt ai ne d. Mea nw hile , a lo wer bo und fo r t he ra n k i s give n a nd t he eff ective ne ss of o ur re sult i s co nfi r med wit h a nu2 me rical e xa mp le . Fi nall y , a n e sti matio n fo r t he real p a r t a nd t he i ma gi na r y p a r t of t he ei ge nval ue s i s give n . Key words : ra n k ; ei ge nval ue s ; no r m
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