我是老王的老婆i
范文一：两直线的位置关系、点到直线的距离公式
全方位教学辅导教案
学科:数学 任课教师:夏应葵 授课时间:2014年3月 24 日 星 期 一 学号 姓 名 卢 耀 昊 性 别 男 年 级 高 三 总 课 次: 第 12 次课 教 学 两直线的位置关系、点到直线的距离公式 内 容
两直线垂直与平行、距离公式 重 点
难 点 知识的灵活运用
使学生掌握两直线的位置关系，会判断两直线的位置，能根据条件求直线的方程，掌握点到直线教 学 的距离公式，能运用知识解决有关问题。 目 标
课前作业完成情况: 检查 与交交流与沟通: 流
一、课前练习
集合则( ). 1(已知集合PCQ:(),U,{1,2,3,4,5,6},PQ,,{1,2,3,4},{3,4,5},U
A. B. C. D. {1,2,3,4,6,}{1,2,3,4,5}{1,2,5}{1,2}教
2. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( ). 针
1,xx学 f(x), A. B. C. D. f(x),,tanxf(x),2,2f(x),,xx 对
性 过 2 23. 若 (a,2i ) i = b,i ，其中a、b?R，i 是虚数单位，则 a+ b等于( ) 5(A) 0 (B) 2 (C) (D) 5 授 2
程 课
1，4.复数i(i为虚数单位)的模等于 ( )
122A( B( C( D( 22
A:B,5(已知集合，集合，则 ( ) A,{0,1,2,3,4}B,{x|x,2n,n,A}
A( B( C( D( {0}{0,4}{2,4}{0,2,4}
,log,xx,0,,,,126(已知函数, 则的值是 ( ) fx,ff，，,,,,,x430,x,,,,,,
119,9,A( B( C( D( 99
7(设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是( ) m,n,,,,,
A( B( 若m//n,m//,,则n//,若,,,,,,,,则,//,
C( D( 若m//,,n//,,则m//n若m,,,n//,,则m,n
8(如图1，程序结束输出的值是 ( ) s
305591A( B( C(
140D(
2
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9. 直线的倾斜角是 ，在y轴上的截距是 ; 3x，y,7,0
010. 倾斜角等于的直线经过点，则它在轴上的截距是 ; 135yP(1,,3)
11(已知是奇函数, , , 则的值是 .fxgxfx,，4g12,f,1，，，，，，，，，，
312(函数在点处的切线方程是 ; P(1,f(1))f(x),x,3x，1
B
CP
OA13.不等式的解集是 。 |x，2|,|x,1|,2
图214((坐标系与参数方程选讲选做题)
,,,xcos,C(,已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,y,，sin,2,,
C建立极坐标系，直线的极坐标方程为,,,,sincos，,1, 则直线截圆所得的弦长是 .
3
二、知识梳理
1(两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l、l，如果它们的斜率都存在且分别为k、k，则有l?l?k,k，12121212特别地，当直线l、l的斜率都不存在时，l与l的关系为平行( 1212
(2)两条直线垂直
?如果两条直线l、l的斜率存在，设为k、k，则l?l?kk,,1. 12121212?如果l、l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l与l的关系为垂直( 12122(两直线相交
交点:直线l:Ax，By，C,0和l:Ax，By，C,0的公共点的坐标与方程组11112222
,Ax，By，C,0，111,,的解一一对应( Ax，By，C,0,,222
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解;
平行?方程组无解;
重合?方程组有无数个解(
3(三种距离公式
22(1)平面上的两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|,，x,x，，，y,y，. 111222121212
22特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|,x，y.
，By，C||Ax00(2)点P(x，y)到直线l:Ax，By，C,0的距离d,. 00022A，B
|C,C|12(3)两条平行线Ax，By，C,0与Ax，By，C,0间的距离为d,. 1222A，B?一条规律
22与直线Ax，By，C,0(A，B?0)平行、垂直的直线方程的设法: 一般地，平行的直线方程设为Ax，By，m,0;垂直的直线方程设为Bx,Ay，n,0. ?两个防范
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在(两条直线都有斜率，可
根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑(
4
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C,C||12(2)在运用两平行直线间的距离公式d,时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为22A，B
分别相等(
三、例举
1.已知四条直线:x+y -2=0,2x+2y-3=0,x-y+7=0,3x-3y+5=0;它们能围成一个平行四边形吗,为什么,
【变试练习】:
(1)在下列直线中，与直线L:3x+y-5=0平行的直线有哪几条( )
? 3x-y+2=0, ? 3x+y-1=0, ? 6x+2y+1=0, ? x+3y-2=0
A. ? ? B. ? ? C. ? ? D. ??
(2)已知直线L:3x+(+3)y-5=0，L:3x+y-5=0，若L? L，求的值。 aa2211
5
2.求过点P(1，-3)且与直线x+3y-7=0平行的直线方程。
【变试练习】:(1)求过点P(-1，3)且与直线2x-3y+7=0平行的直线方程。
1 (2)一直线与直线y=x-6平行，且在y轴上的截距是3，求它的方程。 2
6
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3.说出下列各直线的位置关系:
? 3x-y+2=0, ? x+3y-1=0, ? 6x-2y+1=0, ? x+3y-2=0
?与?____________________, ?与?____________________,
?与?____________________, ?与?____________________, ?与?____________________, ?与?____________________,
4.已知直线L:3x+(+3)y-5=0，L:3x+y-5=0，若L?L，求的值。 aa2211
aa【变试练习】:已知直线L:x+(2-5)y-5=0，L:3x+y-5=0，若L?L，求的值。 2211
7
5.求过点P(1，-3)且与直线x+3y-7=0垂直的直线方程。
【变试练习】:(1)求过点P(2，-3)且与直线2x-3y+7=0垂直的直线方程。
1 (2)一直线与直线y=x-6垂直，且在y轴上的截距是3，求它的方程 2
8
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6.(1)求直线2x+y-7=0与两坐标轴交点坐标;
(2)求两直线:x-y+5=0,3x-2y-3=0的交点坐标。
【变试练习】:(1)求直线2x+3y-18=0与两坐标轴交点坐标;
(2)求两直线:x-y+5=0,3x+y-1=0的交点坐标。
9
7. 求下列各组中的点到直线的距离:
(1)(1，-3)，5x-12y+1=0, (2)(-2,0), 6x+8y-3=0
3x，4y,1,0,6x，8y，19,08.求两平行直线之间的距离:
10
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四、课堂练习
1.已知直线L:3x-2y-9=0.(1)求与直线L平行且经过点P(-1,3)的直线方程;
(2)求与直线L垂直且经过点P(-1,3)的直线方程。
2. 已知直线L:x+(2t+4)y+2=0，L:x+y-5=0，(1)若L?L，求t的值。 2211
(2) 若L? L，求t的值。 21
11
3.直线3x-4y-12=0与x轴、y轴所围成的三角形的面积是__________________. 4.求两直线:求两直线:3x-y+6=0,3x+y-3=0的交点坐标。
M5.已知点到直线的距离是1，求点的坐标。 M(m,3)3x,4y，2,0
12
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五、课后练习
1. ax，2y,1,0与直线2x,3y,1,0垂直，则a的值为( )(
4A(,3 B(, C(2 D(3 3
2. 过点(1,0)且与直线x,2y,2,0平行的直线方程是( )(
A(x,2y,1,0 B(x,2y，1,0
C(2x，y,2,0 D(x，2y,1,0 3. 已知直线l:x，my，6,0，l:(m,2)x，3y，2m,0，求m的值，使得: 12
(1)l与l相交; (2) l?l; (3) l?l; (4) l，l重合( 12121212
13
4.两直线kx+y,1=0和直线x+ky+1=0互相平行，则k的值为 ( )
A(k=1 B k=,1 C( k=1或k=,1 D( k=0或k=?1
25.若直线ax+2y+6,0和直线x+a(a+1)y+(a+1),0垂直，则a的值为( )
313A(0或, B 0或, C(, D( 0 222
6.直线2x+y=3与直线x-y=6的交点坐标是________________________.
7.过点P(0,8)且与直线,3x-y=6垂直的直线方程是________________________.
8.已知点P(1，-3)，Q(-3,7)，则线段PQ的垂直平分线方程是____________________.
9.斜率为5，在y轴上的截距是-3的直线方程是_____________________________________;
10.直线x+2y+6,0与x轴、y轴的的交点坐标分别是_________、____________.
11.过点P(0,8)且与直线,3x-y=6平行的直线方程是________________________.
12.直线3x-2y+6,0与直线2x+3y+6,0__________(填垂直、平行或重合)
13.已知直线L与直线3x-y+m=0平行，且在y轴上的截距是3，则它的方程是________________
14. 点P(1，-3)到直线3x-4y+2=0的距离是____________.
14
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15. 若点P(-，k)到直线x-y+2=0的距离是1，则k=_______. 33
课 后
作 业
签字 教研组长: 教学主任: 学生: 教务老师: 家长:
下节课的计划:
老师 学生的状况、接受情况和配合程度: 课后 评价
给家长的建议:
TA-65
15
范文二：点到直线 平行直线间的距离公式
点到直线的距离与平行直线间的距离
一．知识要点
1．已知点P (x 0, y 0) 和直线l :Ax +By +C =0，则点P 到直线l
的距离为：d =
注意：（1）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
（2）在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
2．已知两条平行线直线l 1Ax +By +C 1=0，l 2:Ax +By +C 2=0，
注意：应用此公式应注意如下两点： （1）把直线方程化为一般式方程；（2）使x , y 的系数相等. 则l 1与l
2的距离为d 二．习题精选
1. 点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( )
53A. B.22D. 5 2
2. 已知点(3,m
) 到直线x -4=0的距离等于1，则m =（ ）
3．已知点A (3, 4) ，B (6, m ) 到直线3x +4y -7=0的距离相等，则实数m 等于( ) A
．
．A. 729 B ．- C ．1 44D. 729或- 44
4．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
21313A ．4 B. 1326
5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
A ．x ＋2y －5＝0 B．2x ＋y －4＝0 C．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0
6．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )
918A. B. C．3 55
22D. 71326D ．6 7．点P (x , y ) 在直线x ＋y －4＝0上，则x +y 的最小值是( ) A ．8 B．22 D ．16
8．已知点A (5,8),B (4,1)，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标为 .
9．两条平行线3x +4y -12=0和6x +8y +3=0之间的距离为10．直线l 1:2x +4y +1=0与直线l 2:2x +4y +3=0平行，点P 是平面直角坐标系内任一点，P 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最小值是________．
【思考题】两条相互平行的直线分别过点A (6, 2), B (-3, -1) ，若这两条平行直线间的距离为d ，求
（1）d 的变化范围； （2）当d 取最大值时，求两条直线的方程．
范文三：两平行直线间距离的探究性教学
两平行直线间距离的探究性教学
新课程理念要求教师在教学过程中让学生学
得积极主动,充分激发学生的学习兴趣和积极性,
引导学生通过自我探究体验数学知识的发现过程
理解解决数学问题的方法和途径,掌握数学课程的
思想方法,思维方法及其学习方法.因此,教师在平
时的课堂中应该进行探究性教学.探究性教学活动
可以在教学中随时随地展开,并不需要特别刻意去
追求和营造.
【情景描述】
教学内容:两平行直线间的距离
(以下s代表学生,T代表教师)
T:下面几个问题请同学们回忆思考后回答.
1.点P(xo,Yo)到直线L:Ax+By+C=0(A,B不同
为0)的距离为——.
2.平面上不同的两条直线的位置关系有哪几
种?每一种位系怎样通过方程来表现?
3.两条平行直线中任一条上的任何一点到另一
条直线的距离——.
4.给定直线Ll:3x+4y+10--0,Lc:3x+4y一5:0,在
课例评轿
????
S:这么肯定?
S6:当然!因为L.,/.
s:老师是问你如何求的.只要结果的话,我也
知道是3.
[点评:让学生探究讨论,使学生经过数学知识
的复习过程,把复习知识与运用知识有机结合起
来,激发了学生的学习兴趣,引导学生提出问题,思
考问题,充分体现学生的主体作用.1
T:同学们都知道结果是3,它是怎样得来的?
s:先把点P(](o,yo)的坐标代人距离公式.
ss:代入距离公式是没错,可是](o,Y.不是具体
的数啊!
T:有什么办法可以变未知为已知吗?
S,:我知道了,有一个条件可以变未知为已知.
S..:什么条件?
S,:点P(](o,Y.)在直线Ll上,于是有
3xo+4yo+10---0即3xo+4yo=一10,则P到k的距离为
d=13x4~+4yr51
一::3.
T:请大家思
校本教研2008.1-2/37
课例评析
夸夸夸夸
k:Ax+By+C.,=O(A,B不同时为0)间的距离d可不
可以用公式来表示?
S我发现绝对值符号内就是把直线方程的常
数项相减.
S我可以得到一个公式:L】与k间的距离
d=IC,-C~l.
T:同学们经过认真思考,积极探索,得到了两
平行直线间的距离公式(板书).老师希望你们在今
后的学习中继续像这样去探索,得到以你们的名字
命名的数学公式或数学定理.我相信你们一定做得
到!
请同学们思考下面的问题:求两平行直线Ll:
3x+4y+25=O与直线k:6x+8y+30--O间的距离.
SSSSSSS,七位同学解出来的答
案为1;S~o,S!,S,这四位同学解出来的答案
s24和利用定义求得答案为2;其余四十九位同
学得到答案为2,他们是把系数化成相同后求出来
的.
T:请认为自己做得对的同学帮助没有做对的
同学分析分析原因.
s我认为我是对的,但其余同学错在哪里我不
清楚.
:我的答案是对的.答案是圭的同学把公式
中的A,B分别看成6和8,答案是1的同学把公式
中的A,B分别看成了3和4,其实这两条直线方程
x,Y的系数分别不相同.公式中只有一对A,B的
值,所以要把它们先化成相同之后才能利用公式
求.
T:刚才说得很好!用这一公式时,若两直线
的x,y的系数分别相等则直接代入公式;若不对应
相等,先把其中一个化成与另一个对应相等,然后
再利用公式.下面请同学们做以下练习.
例1:已知L1:y=孚x+5,:y=孚x+15,求Ll与
k间的距离.
sL与的距离dd=11i5-51=5,/3-.
S首先把L1与k的方程转化为一般方程再
代入公式求出d=5v3-.
S,:如右图,作出Ll与k的图象,利用解直角
三角形求出d=5v3-.
教师对该题进行讲评总结.
例2:已知L1:x+3y一4--0,求与其平行且距离为
2,,而的直线方程.
S:设所求方程为x+3y+C=O则=2.4i-6,
所以C=16.故所求直线方程为x+3y+16=O.
38/校本教研2008.1-2
s:不对,所求直线方程应该有两个,
即=2vYO,则c=16或C=-24,故所求直线
方程为x+3y+16=O或x+3y一24--0.
教师总结:要注意绝对值!
例3:点P(A,B)且A,B不同为0,直线
Ax+By-5=O与Ax+By+40=O的距离为9,求点P的
轨迹方程.
学生思考,教师点拨,师生共同解答.
例4:点P的坐标为P(xo,Y.),P到L1:
3x+4y+5=O的距离为1O,直线k过点P,的方程
为12x+5y+26--O,,且与间的距离为2,求
P点的坐标.
学生思考,教师点拨,师生共同解答.关键是做
到不遗漏,不重复.
练习完之后,教师引导学生归纳总结并提出以
下问题让学生思考:1,两平行直线间的距离公式在
应用时应注意什么问题?2,两平行直线间的距离公
式可与哪些内容相关联?可以解决哪些数学问题?
你能否设计几个利用两平行直线间的距离公式的
数学问题?
【课例点评】
本课例是以小见大的实教课例.改变了过去
“注入式”教学模式,把知识的传授过程变成学生探
究知识的形成过程,讨论交流知识的运用过程.教
师让学生在探究中得到知识,在讨论交流中更准确
地掌握知识,在运用中构建知识,在课外探究中梳
理知识.教学过程充分再现了知识的形成过程,培
养了学生发现问题,提出问题,分析问题,解决问题
的能力,培养了学生的思维.教师在教学活动中注
意教给学生学习方法,让学生学会学习,使知识的
掌握成为水到渠成之事.
_
r
.
?l/
范文四：空间两直线间的最短距离
空间两直线间的最短距离
第8卷第3期
2006年6月
遵义师范学院
JournalofzmayiNormalCollege
Vo1.8,No.3
Jma.2006
空间两直线间的最短距离
曾利江
(遵义师范学院数学系,贵州遵义563002)
摘要:剃用数学分析的工具推导出空同两直线最短距离的计算方法,该方法可用于异面直线,相交直线,平行直线和重舍直线的判
断.'
关键词:异面直线;距离;导数;最小值
中圈分类号:O172文献标识码:B文章编号:1009-3583(20o6)—o3删-ol
TheShortestDistancebetweenTwoLinesinSpace ZENGLi-jiang
(Depa衄衄tMath,ZunyiNormalCollege,Zanyi563002,China) Abstract:Usingthemethodsinmathematicalanalysis,thispaperhasconcludedthecalculatio
nmethodsoftheshortestdistancebetween twolinesinspace,andthemethodscallalsobemedinthejll|lgn?tsoflinesOildifferentplanes,c~inglines,parallellinesandcoin-
cidencelineso
Keywords:linesondifferentplanes;distance;derivation;leastvalue
ll:==和l=盟=
上任意一点,则由【1】中点到直线的距离公式,(x'y'z)到1t的距离
一旦
于是问题归结为求y,z)在条件
代入上述'y,z)得d2+d2,y2+tm2,z2+?,就变为无条件 由于ll,m.'Il.是已知常数,问题归结于求
(1t.?I2+nt'y,z):
l.舛--gx0-xI2[X0--XIY0m-Y..『-?(-
的极小值.
显然,欲使两直线间距离最小,只需求出t的一次函数 yc,Z0使上式右端?最小,于是问题转化为用导数求?的最小 值,或直接用二次函数求?的最小值.
读者可从下面的例子中去体会如何判断空间两直线的位 置关系.
例1:考察直线
孚=导=旱与导=孚=孚
简单计算知
一
3—3t,-7+2t,z0=6+4t
(1)式变为
11dZ=-(6t-12(15t+15y+(3t-sxA :540t
dt
为求A之最小值,令=0有t=0,11d297o,d------3V~6-,1I与l2 nt
显然不平行,所以是异面直线且距离d=3V~-ff. 例2:考察直线
(下转54页)
收稿日期:2006-03-01
作者简介:曾利江,男,贵州赤水人,遵义师范学院数学系讲师,主要研究方向:数论.
48
第8卷第3期遵义师范学院2006年6月
较用光杠杆去测量伸长量8更为方便.
在(3)式中叮r,M和g不考虑误差,则杨氏模量E的不确 定度公式为
(4)
根据(4)式便可计算出杨氏模量的不确定度u). 测量结果表示为E:E+u)(5)
根据(3)式和(5)式便可测金属丝的杨氏模量E及其不确 定度uo
1.2实验方法
此实验要测的量有金属丝长L,直径d和在砝码作用下 金属丝的伸长量8.
(1)按图1将实验装置安装好.
(2)挂好金属丝后,在挂钩上加上砝码托及1-2kg砝码 (此砝码不计入质量内),将金属丝拉直.
(3)用米尺测出金属丝的长度L,用螺旋测微计测出金属 丝的直径d,并计算出相应的不确定度.
(4)安装好读数显微镜,调节目镜和物镜,能从目镜上清 楚地看出十字叉丝和下卡头上的标记横线,使横线处于十字 叉丝的上方.并且保持平行或垂直.
(5)转动读数显微镜的转鼓,使目镜中的平行叉丝与标记 横线的下端重合,并记下转鼓转动的方向(防止回程误差)和 此时读数显微镜上的读数.
(6)逐次增加五次砝码(每个砝码质量lkg),按记下的转 动方向转动转鼓,使目镜中的平行叉丝与标记横线的下端重 合,相应的读数显微镜上的读数分别为A.,A2,A3,A4,,重复 测量二次,并将数据记录在表1中,利用逐差法计算出当M= 3l【g时,金属丝的伸长量8的平均值及不确定度u). (7)将所测数据分别代入(3)式和(4)式,计算出金属丝的
E值和标准不确定度u,并表示为
EIE+u
2谢量结果及比较
测量数据如表1所示.处理如下:
M=3kg;L--691.5ram;d---0.502ram 表1金属丝橱氏模量测量数据表【长度单位:mm)
0.503Omm B2=l一All--
B3=l一A2l=o.5005mm
8=I+883y3=O.5051mm
测量结果:
E=(20.27~-0.59)xlOION?m-2 金属线丝的杨氏模量的理论值为20.1xlO加N?m到 21.61x10ON?m-2之间,原来利用光杠杆的方法来测量的结果 为E=(17.45?0.80)xlO'~N?,由此可知,通过利用读数显微镜 来测量金属丝在外力作用下的伸长量,提高了测量结果的可 靠程度.并且在操作上较用光杠杆去测量伸长量更为简便. 参考文献:
【l】扬述武.普通物理实验(一,力学及热学部分)【】I北京:高等教育出版
社.2000.88-89.
【责任编辑:朱彬)
(上接48页)
孚=孚=芋与?孚=孚=孚
简单计算知
xo--'O-3t,yo=7+2t,zo=2+4t (1)式变为
lld~(6矿15妒3t)~A
=540t
dt
为求?之最小值,令=0有t--0,lld_~=0,d=0,所以,两直线不 tit
平行且相交.
例3:考察直线
孚=导=旱与?=导=半
简单计算知
xo=l+2t,y0-t,zo=l+t (1)式变为
6d~--18
不用求导数就有d=,/丁,两直线显然平行且距离d-,/丁. 例4.考察直线
孚=导=竿与=}=芋
简单计算知
xo---0+3t,y0一t,zo=l+t
(1)式变为.
11d=O=A
不用求导数就有d---0,两直线显然平行,所以实质上两直线重 合.
参考文献:
【l】江苏师院数学系.解析几何(第二版.北京:高等教育出版社. l98l34-135.
[2】刘玉琏,傅沛仁.数学分析(第三版,Te)[M】.北京:高等教育出版 社.1992.227-239.
【责任编辑:朱彬)
范文五：空间两平行直线间距离的保密计算协议
第30卷第5期2013年5月计算机应用研究
Application Research of Computers Vol．30No．5May 2013
空间两平行直线间距离的保密计算协议
辛
摘
*
欣，郝林，汤瑜
(云南大学信息学院，昆明650091)
要：针对半诚实模型提出了空间两平行直线间距离的保密计算协议。确保互不信任的参与方分别输入各
自隐私信息合作计算，同时保持各自信息的隐私性，并且不能通过中间结果计算出其他参与方输入的隐私信息，最终准确得到两平行线间距离，并且在理论上证明了协议的正确性和安全性。关键词：安全多方计算; 点积协议; 保护隐私的计算几何中图分类号：TP309
文献标志码：A
文章编号：1001-3695(2013) 05-1530-03
3695．2013．05．064doi ：10．3969/j．issn．1001-
Privacy-preserving computational protocol on minimum distance
between two three-dimension parallel straight line
XIN Xin ，HAO Lin ，TANG Yu
（School of Information Science ＆Engineering ，Yunnan University ，Kunming 650091，China ）
Abstract ：This paper proposed a privacy-preserving computational protocol on the minimum distance between two three-dimension parallel straight lines based on semi-honesty model．Every participant in semi-honesty model inputted his informa-tion and no one tend to leak the information to others．They could not get others ’private information by the intermediate re-sults except sharing the output．Finally ，this protocol outputs the distance between two parallel straight lines correctly．It gave the correctness and security proof．
Key words ：secure multiparty computation （SMC ）；dot product protocol ；privacy-preserving computational geometry （PPCG ）
0引言
Alice 拥有秘密输入向量X =（x 1，x 2，…，假设有两个参与者，
x n ），Bob 拥有秘密输入向量Y =（y 1，y 2，…，y n ），他们希望进行协作计算并在协议结束后Alice 得到值W A =X i ·Y i +r B （r B 是Bob 选取的一个随机值）。同时要保证Alice 不能从W A 中得
也不能从已知的信息中推出任何有关Y i 的信到有关的r B 值，
Bob 不能得到W A 的值，息；同理，也不能推出有关X i 的信息。大多数安全多方计算问题的解决都需要保密点积协议，因此它
在密码学协议中占有一席之地。1. 2
半诚实模型(semi-honest model)
一般来说，在安全多方计算过程中，半诚实的参与方能严格执行协议的各个步骤，不会中途强行退出或恶意掺入虚假数据，但同时可能保留所有能够收集到的中间数据，试图通过这些数据推测其他参与方的秘密输入。1. 3
空间两平行直线间距离
［10］
近几年安全多方计算（SMC ）问题成为国际密码学界一个
［1］
研究热点。SMC 最初是被Yao 提出并进行了研究，随后
［2］
Goldreich 等人作了进一步研究。随着合作计算与隐私保护
SMC 被引入到了各个应用领域，越来越受到人们重视，保护隐
私的计算几何就是其中之一。
保护隐私的计算几何（PPCG ）是指互不信任的参与方分别
线、多边形等）以求解某几何问题，同时输入隐私信息（如点、
保持各自信息的隐私性，并且不能通过中间结果计算出其他参
与方输入的隐私信息。PPCG 主要用来研究计算几何中的信息安全问题，尤其是分布式计算中合作用户的隐私保护问题。Atallah 等人［3］首次将安全多方计算引入计算几何领域。目前
4］在半诚实模型下设计了有一些研究成果已经发表。文献［
保护私有信息的叉积协议，可用于解决很多其他的保护私有信
5］研究了两点间距离和点与圆形、息的计算几何问题；文献［
6］椭圆区域的关系问题；文献［研究了安全多方信息比较相等7］协议及其应用；文献［研究了有关保护私有信息的三角不等8］研究了恶意模型下公平的安全两方计算式判定问题；文献［
协议。
L 2，空间两条平行线L 1、其方程分别为
L 1：L 2：
{{
π1：a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0π2：a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0π3：a 3x +b 3y +c 3z +d 3=0π4：a 4x +b 4y +c 4z +d 4=0|A a 1·n 1+A a 2·n 2|
两条平行线的距离为d ：
d =
|b 3c 4－b 4c 3|·|n 1·n 2|
1
1. 1
背景知识
保密点积协议
9］该问题最初被Du 等人在文献［中提出，协议概述如下：
收稿日期：2012-07-21; 修回日期：2012-09-09
=
（（a 1A a 1+a 2A a 2，b 1A a 1+b 2A a 2，c 1A a 1+c 2A a 2））/
（|b 3c 4－b 4c 3|
b 1c 2－b 2c 1）+（c 1a 2－c 2a 1）
+（a 1b 2－a 2b 1））
基金项目：云南省自然科学基金资助项目(2010ZC160)
作者简介：辛欣(1987-) ，女(蒙古族) ，内蒙古赤峰人，硕士，主要研究方向为信息安全(xinxin_0224@163．com ) ; 郝林(1955-) ，男，教授，主要研究方向为信息安全; 汤瑜(1986-) ，男，硕士，主要研究方向为信息安全．
第5期
其中：A a 1是行列式|A |的代数余子式：
b 2
A a 1=
b 3b 4
c 2c 3c 4
d 2
d 3，A a 2=d 4
辛欣，等:空间两平行直线间距离的保密计算协议
Bob 有一条私有直线L 2：
·1531·
b 1b 3b 4
c 1c 3c 4
d 1d 3d 4
{
输出
2
π3? a 3x +b 3y +c 3z +d 3=0π4? a 4x +b 4y +c 4z +d 4=0
Alice 与Bob 合作计算距离d 。
2
n 1是平面πi 的法向量。
d 2=（（a 1A a 1+a 2A a 2）
（c 1a 2－c 2a 1）
2
2
a ）①Alice 计算：
+（b 1A a 1+b 2A a 2）
+
2
f 1=（（a 1b 2+a 2b 1）
+
（（b 1c 2－b 2c 1）
2
+（2b 1b 2）
22
+（b 2c 1+b 1c 2）2）/+（a 1b 2－a 2b 1）2）
（c 1A a 1+c 2A a 2）2）/（（b 3c 4－b 4c 3）2（（b 1c 2－b 2c 1）
+（a 1b 2－a 2b 1）2））
+（c 1a 2－c 2a 1）
…，r 1m ｝，Alice 计算F 1i =f 1+r 1i 并生成随机序列R 1i =｛r 11，
（i =1，2，3，…），并将序列F 1i 发送给Bob 。
22
W 1i =F 1i ·e 1+t 1②Bob 计算e 1=（c 3d 4）/（b 3c 4－b 4c 3），
1. 4
［］
不经意传输（oblivious transfer ）11
不经意传输协议简称为OT 协议，是一种可保护隐私的双方通信协议，可以使通信双方以一种选择模糊化的方式进行。通常情况下，不经意传输协议有两个参与者，即发送方A 和接A 掌握n 个秘密：s 1，s 2，s 3，…，s n 。一个不经意传输协收方B ，
议要满足以下要求：
a ）如果A 和B 诚实地执行协议，那么最后B 得到秘密s i ，B 对A 可以把i 理解为它的一个选择，并且要求除了s i 以外，…，s i －1，s i +1，…，s n 一无所知。的其他秘密s 1，
b ）协议完成后，A 对B 的选择i 一无所知，也就是A 不知道B 到底选择了哪个秘密。
（i =1，2，3，…）。其中t 1是Bob 生成的随机数，Bob 将序列W 1i 发给Alice 。
③Alice 用OT m 不经意传输选择。
W 1K =F 1K ·e 1+t 1
1
b ）①Bob 计算e 2=（b 4c 3）2/（b 3c 4－b 4c 3）2，并生成随机序…，t 2m ｝，Bob 计算W 2i =e 2+t 2i （i =1，2，3，…），列T 2i =｛t 21，并将序列W 2i 发给Alice 。
②Alice 计算：
f 2=（（a 1c 2+a 2c 1）
2
+（b 1c 2+b 2c 1）
2
2
+（2c 1c 2）2）/
2
2. 1
空间两平行直线间距离的保密计算协议
问题描述和基本思想问题描述
Alice 有一条私有直线L 1：假设有两个参与方，
（（b 1c 2－b 2c 1）2）+（c 1a 2－c 2a 1）+（a 1b 2－a 2b 1）2）
F 2i =W 2i ·f 2+h 1（i =1，2，3，…），其中h 1是Alice 生成的随机数。Alice 将序列F 2i 发送给Bob 。
1
③Bob 用OT m 不经意传输选择F 2k =W 2k ·f 2+h 1。
2. 1. 1
c ）①Alice 计算
f 3=（（a 1d 2+a 2d 1）（（b 1c 2－b 2c 1）
22
{{
距离d ：
π1? a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0π2? a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0π3? a 3x +b 3y +c 3z +d 3=0π4? a 4x +b 4y +c 4z +d 4=0
+（b 1d 2+b 2d 1）
2
2
+（c 1d 2+c 2d 1）2）/
+（c 1a 2－c 2a 1）+（a 1b 2－a 2b 1）2）
Bob 有一条私有直线L 2：
…，r 3m ｝，Alice 计算F 3i =f 3+r 3i 并生成随机序列R 3i =｛r 31，
（i =1，2，3，…），并将序列F 3i 发送给Bob 。
②Bob 计算
e 3=（b 3c 4－b 4c 3）2/（b 3c 4－b 4c 3）W 3i =F 3i ·e 3+t 2（i =1，2，3，…）
2
且L 1与L 2平行，在不泄露各自信息的情况下计算两条直线的
|A a 1·n 1+A a 2·n 2||b 3c 4－b 4c 3|·|n 1·n 2|
d ==
Bob 将序列发给Alice 。其中t 3是Bob 生成的随机数，
1
③Alice 用OT m 不经意传输选择W 3K =F 3K ·e 3+t 2。
（（a 1A a 1+a 2A a 2，b 1A a 1+b 2A a 2，c 1A a 1+c 2A a 2））/
（|b 3c 4－b 4c 3|
（b 1c 2－b 2c 1）+（c 1a 2－c 2a 1）
d ）Bob 计算e 4=c 3d 4b 4d 3/（b 3c 4－b 4c 3）2，并生成随机序列T 4i =｛t 41，…，t 4m ｝，Bob 计算W 4i =e 4+t 4i （i =1，2，3…），并将序列W 4i 发给Alice 。
②Alice 计算
2
f 4=2（a 21b 2c 2+a 1a 2b 2c 1+a 1a 2b 2c 2+a 2b 1c 1+
2222
2b 21c 2+2b 1b 2c 1+2b 2c 1c 2+2b 1c 1c 2）/
+（a 1b 2－a 2b 1））
2. 1. 2协议的主要思想
距离计算协议基于前面介绍的基本协议和基本几何知识秘密地判定两条空间直线间的距离。基于Alice 的私有信息b 1，c 1，d 1，a 2，b 2，c 2，d 2｝，Bob 产生一个产生一个向量A =｛a 1，
b 3，c 3，d 3，a 4，b 4，c 4，d 4｝，Alice 只计算函数f i ，运用向量B =｛a 3，
b 1等隐藏，并且Bob 不点积协议构造一系列的函数将元素a 1、
能计算出这些元素。Bob 只计算e i ，运用点积协议构造一系列b 3等隐藏，的函数将元素a 3、并且Alice 不能计算出这些元素。
1
Alice 和Bob 分别选择出W i 和T i 即为符通过运用OT m 协议，
（（b 1c 2－b 2c 1）
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
+（a 1b 2－a 2b 1）2）
2，3…）。并生成随机序列F 4i =W 4i ·f 4+h 2（i =1，
h 2是Alice 生成的随机数，Alice 将序列F 4i 发送给Bob 。其中，
1
③Bob 用OT m 不经意传输选择F 4k =W 4k ·f 4+h 2。
e ）①Alice 计算
22
f 5=2（a 21b 2d 2+a 1a 2b 2d +a 2b 2d 1+2b 1b 2d 2+222b 1b 22d 1+b 2c 1d 2+b 2c 1c 2d 1+b 1c 1c 2d 2+b 1c 2d 1）/
合要求的元素。最后通过Alice 和Bob 分别计算辅助数据Q 、n 、P 、s 。将d 通过上述过程还原为d =2. 2
安全空间两平行直线的距离计算协议输入：Alice 有一条私有直线L 1：
（（b 1c 2－b 2c 1）
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
+（a 1b 2－a 2b 1）2）
…，r 5m ｝，Alice 计算F 5i =f 5+r 5i 并生成随机序列R 5i =｛r 51，
（i =1，2，3，…），并将序列F 5i 发送给Bob 。
W 5i =F 5i ·e 5+t 3（i =1，②Bob 计算e 5=c 3d 4/（b 3c 4－b 4c 3），
{
π1? a 1x +b 1y +c 1z +d 1=0π2? a 2x +b 2y +c 2z +d 2=0
·1532·
计算机应用研究第30卷
2，3，…），Bob 将序列发给Alice 。其中t 2是Bob 生成的随机数，
1
③Alice 用OT m 不经意传输选择W 5K =F 5K ·e 5+t 3
（a 1b 2－a 2b 1）2）］·［（b 4c 3）2/（b 3c 4－b 4c 3）2］+［2（a 21b 2c 2+
2222a 1a 2b 2c 1+a 1a 2b 2c 2+a 22b 1c 1+2b 1c 2+2b 1b 2c 1+2b 2c 1c 2+
f ）①Bob 计算e 6=b 4d 3/（b 3c 4－b 4c 3），并生成随机序列T 6i =｛t 61，…，t 6m ｝，Bob 计算w 6i =e 6+t 6i （i =1，2，3，…），并将序列W 6i 发给Alice 。
②Alice 计算
22
f 6=2（2c 21c 2d 2+2c 1c 2d 1+a 1c 2d 2+
22
a 1a 2c 2d 1+a 1a 2c 2d 2+a 22c 1d 2+b 1b 2c 2d 1d 2+b 1b 2c 1d 1d 2）/
2b 1c 1c 22/（（b 1c 2－b 2c 1）
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
+（a 1b 2－a 2b 1）2］·
2
［（c 3d 4b 4d 3）/（b 3c 4－b 4c 3）2］+［2（2c 21c 2d 2+2c 1c 2d 1+22a 21c 2d 2+a 1a 2c 2d 1+a 1a 2c 2d 2+a 2c 1d 2+b 1b 2c 2d 1d 2+
b 1b 22c 1d 1d 2）/（（b 1c 2－b 2c 1）［（2b 1b 2）2（c 3d 4）
2
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
+
（a 1b 2－a 2b 1）2）］·［（b 4d 3）/（b 3c 4－b 4c 3）］=
2
+（b 1c 2+b 2c 1）2b 24d 3+
2
（（b 1c 2－b 2c 1）
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
+（a 1b 2－a 2b 1）2）
（b 1d 2+b 2d 1）2（b 3c 4－b 4c 3）
+
F 6i =W 6i ·f 6+h 3（i =1，2，3，…）
2（b 1b 2）c 3d 4（a 1d 2+a 2d 1）（b 1d 2+b 2d 1）+
2（b 1b 2）c 3d 4（b 1c 2+b 2c 1）b 4d 3+
2（b 1c 2+b 2c 1）b 4d 3（b 1d 2+b 2d 1）（b 3c 4－b 4c 3）］/［（b 3c 4－b 4c 3）2·（（b 1c 2－b 2c 1）
2
Alice 将序列F 6i 发送给Bob 。其中h 3是Alice 生成的随机数，
1
③Bob 用OT m 不经意传输选择F 6k =W 6k ·f 6+h 3。
g ）根据点积协议Alice 得Q 1=r 1k e 1+n 1，其中r 1k 是步骤a ）中选择W 1K 时的随机数，同理Alice 可以得到Q 2=r 3k e 3+n 2和Q 3=r 5k e 5+n 3。
h ）同理Bob 得到P 1=t 2k ·f 2+S 1，其中t 2k 是步骤b ）中选择F 2时的随机数，同理可以得到P 2=t 4k ·f 4+s 2和P 3=t 4k ·f 4+s 3。
i ）Bob 计算n =n 1+n 2+n 3，Alice 计算并把n 发给Alice ，s =s 1+s 2+s 3，并把s 发给Bob 。
j ）Alice 计算
M =W 1k +W 3k +W 5k －Q 1－Q 2－Q 3+n =（F 1K ·e 1+t 1）+（F 3K ·e 3+t 2）+（F 5K ·e 5+t 3）－
（r 1k e 1+n 1）－（r 3k e 3+n 2）－（r 5k e 5+n 3）+（n 1+n 2+n 3）=（f 1·e 1+f 3·e 3+f 5·e 5）
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
2
+
（a 1b 2－a 2b 1）2）］+［（a 1b 2+a 2b 1）2（c 3d 4）
+
2
22
（a 1c 2+a 2c 1）2b 24d 3+（a 1d 2+a 2d 1）（b 3c 4－b 4c 3）
+
2（a 1b 2+a 2b 1）c 3d 4（a 1d 2+a 2d 1）（b 3c 4－b 4c 3）+
2（a 1b 2+a 2b 1）c 3d 4（a 1c 2+a 2c 1）b 4d 3+2（a 1c 2+a 2c 1）b 4d 3（a 2d 1+a 2d 1）（b 3c 4－b 4c 3）］/［（b 3c 4－b 4c 3）2·（（b 1c 2－b 2c 1）
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
22
2
+
（a 1b 2－a 2b 1）2）］+［（b 2c 1+b 1c 2）2（c 3d 4）
22
（2c 1c 2）2b 24d 3+（c 1d 2+c 2d 1）（b 3c 4－b 4c 3）
++
2（b 2c 1+b 1c 2）c 3d 4（c 1d 2+c 2d 1）（b 3c 4－b 4c 3）+
2（b 2c 1+b 1c 2）c 3d 4（2c 1c 2）b 4d 3+2（c 1d 2+c 2d 1）b 4d 3（c 1c 2）（b 3c 4－b 4c 3）］/
［（b 3c 4－b 4c 3）2·（（b 1c 2－b 2c 1）
（（a 1A a 1+a 2A a 2）（c 1a 2－c 2a 1）
222
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
+（a 1b 2－a 2b 1）2］=
2
+（b 1A a 1+b 2A a 2）
+
2
k ）Bob 计算
N =F 2k +F 4k +F 6k －P 1－P 2－P 3+s =（W 2i ·f 2+h 1）+（W 4k ·f 4+h 2）+（W 6k ·f 6+h 3）－（t 2k ·f 2+s 1）－（t 4k ·f 4+s 2）－（t 4k ·f 4+s 3）+
（s 1+s 2+s 3）=f 2·e 2+f 4·e 4+f 6·e 6
（c 1A a 2+c 2A c 2）2）/（（b 3c 4－b 4c 3）2（b 1c 2－b 2c 1）
+（a 1b 2－a 2b 1）2））
+
2. 3. 2安全性证明
在该协议中，对于Alice 和Bob 来说，通过自己知道的中间Alice 结果是无法推算出对方私有信息的。例如在步骤a ）中，W 1K =F 1K ·e 1+t 1，知道f 1，但是Alice 不知道t 1，无法计算e 1，同样地Bob 并不知道Alice 选择的第k 项是什么，所以也无法即便Bob 把m 种可能都进行猜想，把m 个W 1K 值分别获知f 1，
W 12=（f 2+r 12）·e 1+计算，得到W 11=（f 1+r 11）·e 1+t 1，t 1，…，W 1m =（f 1+r 1m ）·e 1+t 1，即m 个（m +1）元一次方程组，
l ）Alice 把M 发给Bob 计算d =同时Bob 把N 发
给Alice 计算d ，各自得到计算结果。2. 32. 3. 1
协议分析正确性证明
M +N =（（a 1A a 1+a 2A a 2）
2
2
由于协议最后的结果是M +N 只需证明：
+（b 1A a 1+b 2A a 2）
2
2
+
2
由线性代数
+
［12］
的知识可知无法得到唯一确定的f 1，同理也无
（c 1A a 1+c 2A a 2））/（（b 3c 4－b 4c 3）（b 1c 2－b 2c 1）
（c 1a 2－c 2a 1）
2
f 5。同样地，Alice 无法获得e 2、e 4、e 6。法得到f 3、
步骤j ） l ）也用此原理保证计算的安全性。
Alice 和Bob 只知道自己的直线位置最终协议执行结束，
只能推算出以自己的直线为轴、以距离d 旋和与对方的距离，
+（a 1b 2－a 2b 1）2））
即可知道协议是正确的。
d =M +N =
f 1·e 1+f 3·e 3+f 5·e 5+f 2·e 2+f 4·e 4+f 6·e 6=［（（a 1b 1+a 2b 1）（（b 1c 2－b 2c 1）
2
2
2
2
+（2b 1b 2）
2
22
+（b 2c 1+b 1c 2））/+（a 1b 2－a 2b 1）2）］·
2
2
转出的曲面上所有直线，而不知道对方的直线具体是哪一条。
+（c 1a 2－c 2a 1）
3结束语
本文假设参与双方都处于半诚实模型，提出了一种关于空
［（c 3d 4）/（b 3c 4－b 4c 3）］+［（（a 1d 2+a 2d 1）（b 1d 2+b 2d 1）（c 1a 2－c 2a 1）
22
+
2
+（c 1d 2+c 2d 1）2）/（（b 1c 2－b 2c 1）
+
+（a 1b 2－a 2b 1）2）］·［（b 3c 4－b 4c 3）2/间两平行直线间距离的安全计算协议。在双方各持有一条私有空间直线的前提下，安全计算两条空间平行直线的距离，本协议可以保证双方在计算得到正确结果的前提下，依旧无法获得对方的输入。若双方持有多条直线，可重复调用该协议。但
22
2
（b 3c 4－b 4c 3）2］+［2（a 21b 1d 1+a 1a 2b 2d 1+a 2b 2d 1+
22
2b 21b 2d 2+2b 1b 2d 1+b 2c 1d 2+b 2c 1c 2d 1+
b 1c 1c 2d 2+b 1c 22d 1）/（b 1c 2－b 2c 1）（b 1c 2+b 2c 1）
2
2
2
+（c 1a 2－c 2a 1）
2
2
+
++
（a 1b 2－a 2b 1）2］·［（c 3d 4/（b 4c 3－b 4c 3）］+［（（a 1c 2+a 2c 1）
+（2c 1c 2））/（（b 1c 2－b 2c 1）
+（c 1a 2－c 2a 1）
协议的交互次数多，降低了计算效率。这也是以后工作的主要研究方向。
(下转第1535页)
第5期能伪造的。
定理2证明
刘志远:一个安全的无证书签密方案
参考文献：
基于DL 问题困难性假设，本文的签密方案对于假定敌手拥有系统的主私钥s ，但是没有替换用户
·1535·
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第二类攻击者是安全的。
公钥的能力。由于敌手拥有系统的主私钥s ，所以他可以很容易地计算用户A 的部分私钥D ID 。但是要伪造密文σ，敌手必这相当于在群G 1求解离散对须使用户的部分公钥P ID part =xP ，
计算V =rH 1（ID A ）+hS A 得到的密文数问题。而敌手伪造x w ，
W ，h ，V ）是不能通过Bob 的检验的。因此本文的方案σw =（c ，
是能够抵御第二类攻击的。3. 3
效率分析
本文将运算（p ）、点乘运算（mul ）和指数运算（exp ）三个方12］进行了比较。比较结果如表1所示。面的计算量与文献［
表1
方案12］文献［本文方案
方案的计算开销比较
Unsigncrypt
mul 32
exp 01
p 33
mul 30
Signcrypt exp 02
p 11
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在有预计算的情况下，从表1可以看出，本文的方案在指12］在点乘运算方面总但文献［数运算方面虽然有三次运算，
10］构共比本文的方案多4次，并且本文的方案是基于文献［12］其签密长度比文献［更短，因此本文方案能更好造而成的，
地适应计算量受限的环境。
4结束语
无证书密码体制很好地克服了基于身份密码体制中固有
的密钥托管问题和消除了基于传统公钥基础设施中公钥证书的复杂性管理问题，近年来得到了广泛的应用。本文提出了一个安全的无证书签密方案，在较强的安全模型下对用该方法所本文方案是能够构造的方案的安全性进行了证明。结果表明，
抵御保密性、不可伪造性和可否认性等攻击的。进一步提高无证书签密方案的安全性能以及设计能很好地适应对计算量受限的环境（如Ad hoc 网络环境）的无证书签密方案，将是笔者需要重点研究的课题。
(上接第1532页)
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