范文一:德萨格定理的几种证明
德萨格定理的几种证明 2009年12月
第9卷第6期
廊坊师范学院(自然科学版)
Journ~ofLangfangTeachersCollege(NaturnalScienceEdition)
Dee.2009
V01.9NO.6
德萨格定理的几种证明
王玉光潘全香
(1.宁夏大学,宁夏银川750021;2.河南科技学院,河南新乡453003) 【摘要】给出射影平面上德萨格定理的几种证明.
【关键词】德萨格定理;射影几何;证明
ProofsoftheDesarguesTheorem WANGYu-guangPANQuan-xiang
【Abstract】Inthispaper,wegivesevealdifferentproofsoftheDesarguesTheorem.inprojectionplan.
【Keywords】desarguestheorem;projectionplan;proof
[中图分类号]0185[文献标识码][文章编号]1674—3229(2009)06—0030—03 德萨格定理是射影几何的重要定理,在整个射
影几何中处于基础性地位.本文给出了射影平面上
该定理的几种不同证明.
德萨格定理:如果两个三点形对应顶点的连线
交于一点,则对应边的交点在一直线上.德萨格定理
的证明如下:
1代数法
定理的证明如图1,因为0,A,A三点共
线,故存在不全为零的常数f,f
使得0=lA+ZA,
同理0=mB+m1Bl,
0=nC十nlC1,
其中m,m不全为零,n,n不全为零. 前两式相减得,
1A—mB=一(ZlAl—mlB1)=Z, 同理mB—nC=一(mlBl—nlC1)=, nC一1A=一(nlCl—flA1)=Y, 以上三式相加得+y+z:0.从而,l,,z三 点共线,定理得证.
Z
o
A
图1
X
2齐次坐标法
定理的证明如图1,分别选取三点形COB和 点A为射影坐标系的坐标三点形和单位点,则有 A(1,1,1),B(1,0,0),c(o,1,0),0(0,0,1).
因为OA所在直线方程为一:=0,所以 点的坐标可写为(1,1,). 同理由OB所在直线方程为=0,知点的 坐标可写为(,0,).
OC所在直线方程为.=0,知c点的坐标可 写为(0,m,n).
[收稿日期]2009—10—29
[作者简介]王玉光(1983一),男,宁夏大学数学计算机学院教师,硕士,研究方向:几
何学.
?
30?
第9卷?第6期王玉光等:德萨格定理的几种证明2009年12月
于是BC.所在直线上的任一点的坐标可写为 (,pm,+Pn),又因为Bc所在直线上任一点的 坐标可写为(1,,0),令(,pm,+)=(1,, 0)得BC,与BC交点坐标为的坐标为 f1,一,0).同理可得Y(1,1+_二二,1),\n,,n, zf1+,1,11.
易知三点,y,z的坐标构成的三阶行列式 ——
—
p——
m
——
0
n
l+1
n
1+L11
=0
从而,I,,z三点共线,定理得证.
3对合对应法
引理1原象三点及象三点均不共线的三对对 应点决定唯一一个对合变换.
引理2平面内非恒等的对合对应不共线的不 变点最多有三个.
定理的证明如图1,因为A,B,C不共线, .,,C.也不共线,根据引理1,由A,B,c分别 对应A,B,C.可确定唯一一个对合对应,在这个 对合对应下,BC的对应直线为Bc,它们的交点
是一个不变点;同理Y,Z也是对合对应的不变 点.
又因为A与A对应,由对合对应的定义,A对 应点为A,所以AA是一条不变直线; 同理BB.,CC.也都是不变直线,由AA,BB, CC共点于0,所以0是不变点.显然0与,l,,z 任何两点不共线,若X,Y,Z也不共线,则不共线的 不变点有四个0,X,Y,Z,与引理2矛盾,故,y, z三点共线,定理得证.
4借助麦尼劳斯定理证明
引理3(麦尼劳斯定理)在三点形ABC中,设 ,y,z分别是三条边BC,CA,AB上的三点,则 ,y,z三点共线的充要条件是??=1. 定理的证明如图1,把引理3分别用到三个 三点形OBC,AOC,ABO的各边上的三点组 XC1Bl,C1YAl,lA1Z上,得
BXCC1OB1,OClCYAA1, 一
CX''I'''I'
器?等?等:1,将以上三式相乘得?
?=
l,再由引理3知X,y,z三点共线,定理得 证.
5借助帕普斯定理证明
引理4(帕普斯定理)若,,c和,,c
为共面二直线上的两组共线点,若BC与BC交于 三,C1与C1A交于M,AB与4l交于N,则L, ,J7,,必共线.
定理的证明如图2,对于分别在两直线上的
六点B,Bl,0与s,c,A;因为BlAnCO=T, OSnAB=U,BCnSB=X,从而由引理4知 ,,三点共线.
X
图2
同理,对分别在两直线上的六点,A,0与 5,C1,B1;因为ABlnC10:T,OSnB1Al= ,A1C.nSA=Y,所以l,,,三点共线.
对分别在两直线上的六点B.,,A与,5, ,因为nSA=Y,AUnVB=Z,BlSn UT:,所以,y,z三点共线,定理得证.
6透视对应法
引理5两个点列间的射影对应是透视对应的 充要条件是它们底的交点自对应.
?
31?
2009年12月廊坊师范学院(自然科学版)第9卷?第6期 定理的证明如图3,令ZXNAA
NBB=N,ZXNCC1=T,则
=
M,ZX因为0为自对应点,从而由引理5得(0,A, (0,A,M,A1)^(0,B,N,B1)八(0,C,T,C1), 所以(0,A,M,A)八(0,C,T,C). O
Z
Bl
图3
Y
,A)八(OCTC),所以AG,,.C共点于
】,,即,l,,z三点共线,定理得证.
[参考文献】
[1]梅向明,刘增贤,王汇淳,王智秋.高等几何[M].北京: 高等教育出版社,2000.
[2]罗崇善.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1999. [3]梁碧珍.代沙格定理证明的进一步探讨[J].广西民族学 院,2001,7(3):167—169.
[4]周尚启,李新建.关于Pappus,德萨格定理的证明[J].临 沂师范学院,2003,5(3):10—12.
[5]蔡惠萍,冯文丽,张红梅,聂翠平.用透视对应法证明德 萨格定理[J].数学的实践与认识,2008,38(12):221— 222
(上接29_贞)
又因为函数f()在[,]上连续,则厂()
在[,X]上又取到最小值,n.,且
f(口)=f(c)=,n<,孔<f()=f()=M, V叩?[m,],由介值性,在[n,],[.,], [:,c]内分别存在,,,,使-厂()=()=
厂(,)='7,这与已知条件矛盾,这就证明了S() 在[0,b]上不连续.
最后,作为实值连续函数在有界闭集上整体性 质的一种推广,我们给出:
定理8函数厂()在[.,b]上达布连续,若
E={I厂()=r,r是有理数,?[.,b]}为闭
集,则函数f()在[口,b]上连续.
证明用反证法,如果函数厂()在[.,b]上
不连续,那么.C-[0,b],对某个e.>0有
z?[.,b],一.(n一?),而l_厂()一f(x.)l ?
32?
?eo,因此存在{}的子列{},使厂()?
f(o)+,.或f()?f(o)一e.,不妨设为后者,
任取有理数r,使,(.)一,.<r<(.),那么
,()<r<(0),k=1,2….对每一个,由
f()的达布连续性,存在介于.与之间的点
,使.
厂()=r.由于Er是闭集,数列{}CE,
则一.?E,(k一?),即有f(.)=r,这与r
<f(.)矛盾.
[参考文献]
[1]华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高 等教育出版社,2008.
[2]r.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:人民教育 出版社.1995.
[3]毛羽辉.数学分析选论[M].北京:科学出版社.2007.
范文二:利用向量证明德萨格_Desargues_定理
Ξ() 利用向量证明德萨格 Desargues 定理
于 春 梅
(包头师范学院 数学科学学院 ,内蒙古 包头 014030)
() 摘 要 :本文利用向量证明德萨格 Desargues 定理 ,这使得该定理的证明更为简单 、明了 、直观 。
关键词 :三点形 ;对应顶点 ;共线 ;向量
中图分类号 :O183 文献标识码 :A 文章编号 :1004 - 1869 (2006) 02 - 0010 - 02
Ζ α νδ 引理 1 :不同的三点 A 、B 、C 共线 存在实数 λ(λ ?- + = 0 λ ν1 + 1 + ? ?) λ 1 , 使得 = AB B C αλ β + = 0( ) 引理 2 :对于线段 AB A ? B , 如果点 C 满足 λ μ 1 + 1 +
? ? μβ δ λ λ )(?- 1 = + = 0 A C CB μ ν 1 + 1 +
1 ? ? ? Ζ因为 α、β、δ不全为零 则有 =+ OC OA OB λ1 + λ 1 引理 3 :三向量 a 、b 、c 共面的充要条件是它们线性相关 0 λμ1 + + 1 λμνλμν 即存在三个不全为零的实数 、、使得a + b + c = o ν 1 Ζ 0 = 0 ( ) 下面证明麦尼劳斯 Menel aus定理νλ1 + 1 + ( ) 麦尼劳斯 Menel aus定理 :在 ?AB C 中 , 设 P 、O 、R 分别 1 μ 0 μν1 + 1 + ? ? ? ?? λ μ 是直线 AB 、B C 、CA 上的点 , 且 = , = A P PB BQ QC CR λ 0 1 ? ν νμλ = , 则 P 、Q 、R 三点共线的充要条件是= - 1 ν νμλ 1 0 = 0 Ζ= - 1 RA
证明 :取所在平面 AB C 外一点 O , 由引理 2 及题设得 0 μ 1 1 ? ? ? 下面 , 我们来证明德萨格定理 。 ( λ ))(1 = + O P OA OB λ 1 + () 德萨格 Desargues定理 : 在两个三点形中 , 如果它们对 1 ? ? ?应顶点的连线相交于一点 , 则对应边的交点在一条直线上 。 ( μ ))(= + 2 OQ OB OC μ 1 + 已知 :在两个三点形 AB C 与 AB C中 , 对应顶点的连线 1 1 1 1 ? ? ? ( ν ))(3 = + AA, BB, CC交于一点 P , B C 与 BC交于点 X , CA 与 CA 1 1 1 1 1 1 1OR OC OA ν 1 +
Ζ P 、Q 、R 三点共线 存在不全为零的三个实数 α、β、δ 交于点 Y , AB 与 A B 交于点 Z 1 1 ? ? ? ? β δ α ()使得 + + =4 ( ) 求证 : X 、Y 、Z 三点在一条直线上 如下图。 O P OQ OR 0
?() () () () ? 将 12、3代入 4得 λ )(证明 :因为 B 、C 、X 共线 , 则有 5 = XCB X α νδ αλ β μβ ? ? )( ) ( ( + + + + + ? ? μ()因为 A 、C 、Y 共线 , = 6 OA OB λ νλμ μ1 + 1 + 1 + 1 + 1 + CY XC δ ? ? ? ?) = ν ()因为 A 、B 、Z 共线 , = 7 OC 0ν1 + A Z ZB
? ? ? ? ? 因为 P 、A 、A共线 , 则有 = a Ζ1 因为 、、不共面 A P PA 1OA OB OC
Ξ 收稿日期 :2006 - 04 - 29
作者简介 :于春梅 (1963 - ) ,女 ,内蒙古扎兰屯市人 ,副教授 ,研究方向 :射影几何 。 10
1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? )( ()8 = + a ) ( ()= ( )+ a 13 + c Z P ZA ZA 1 + a 1 YA YAYC YC 1 + c 1 1 + a 1
?? ? ? ()因为 P 、B 、B共线 , 则有 = b = c 6′ 1 1因为 Y 、A、C共线 , 所以 1 1 B P PBYCYA1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? )( ())( 9 )( = + b = + c + a Z P ZB ZB YC YCYA YA1 + b 1 1 + c 1 1 + a 1 1 1 () () () ? ? 将 6, 6′代入 13得 : ?? ( )( )()10 + a = + b ZA ZA ZB ZB1 1 1 + a 1 + b 1 1 ? ? ? ? ( ( - μ + cc) )= + a 1YA YA YA YA 1 11 + a 1 + c
? 比较 的系数得 : YA μ + c 1 - 1 μ 即 = - = , 1 + c 1 + a 1 + a
1 + b λ 类似可得 = - 1 + c 1 + b1 + c 1 + a) ( ) ( ) - - νμλ ( 所以 = - = - 1 1 + c 1 + a 1 + b
() 由麦尼劳斯 Menelaus定理知 :
X 、Y 、Z 三点共线 。 德萨格定理的重要意义不仅在于
从它可推出一系列射
影几何命题 ,还在于它是平面射影几何的基础之一 。它的证 ? ? ν()因为 A、B、Z 共线 , 则有 = 7′ 1 1 1AZ 1 ZB1 明大多利用线性代数或综合法 。而在综合法中 ,则要先在空 () () () 将 7, 7′代入 10得 : 间证明它 ,再在平面上证明而在平面射影几何公理体系中 , 1 1 ? ? ? ? ( ( - ν + aν )+ b)= 1往往把它作为公理 。而用向量证明德萨格定理 ,非常简捷 , ZB ZBZB ZB 111 + a 1 + b 直观 。 ? 比较 的系数得 : ZB ν - 1 1 + a = - = ,ν 〔参考文献〕 1 + b 1 + a 1 + b 吕林根 ,许子道 1 解析几何 M 1 北京 : 高等教育出版社 , ? ? 1 因为 P , C , C共线 , 则有 = c 1 CP PC 119891 1 ? ? ? )()梅向明 ,刘增贤 ,等 1 高等几何 M 1 北京 : 高等教育出版 所以 , 由引理 2 得 : = ( 11 + c 2 YP YC YC 11 + c 社 ,19981 ? ? 由 及引理 2 得 : = a A P PA 1刘德金 1 解析几何规范化测试 M 1 北京 :电子科技大学 3 1 ? ? ? 出版社 ,19961 )(( )12 = + a YP YC YA1 1 + a
() () 由 11, 12得
Ma ke Use of Vector to Proof the theorem of Desargues
YU Chun - mei
( )Faculty of Mathematics , Baotou Teachers College ; Baotou 014030 Abstract : This paper makes use of vector to proof the therem of Desargues , it makes the proof of that axioms more simple , under2
stand , keep the view.
Key words :Triangle ; Corresponding vertex ; Common line ; Vector
11
范文三:P_n上德萨格定理的另一个证明
n P ?
李金辉, 陈海俊
( 056005) T4h
————————————————————————————————————————————
n 摘 要 n P . ) BT*t 关键词 n * i ) ?[J
中图分类号 O185.1 文献标识码 A 文章编号 1673-2030(2005)03-0014-02
收稿日期 2004-09-16
作者简介 (1962) . 196 , T4hftiI ————————————————————————————————————————————
n [1] T n ) P ? (Desargues) . [2] BTZ ) ?* t (Pappus) . i F ? ) I P(V ) *t
.
1 预备知识
定义 1 B F . “+”*“?” *1 . F
? Abel , # , F jYj “0” F = F ? {0} 1 , #J F *1
?x, y, z F P
( x + y) ?z = x ?z + y ?z , x ? ( y +z ) = x ? y + x ?z
F *.* F 1 jYj “1”.
? F F = F ?{0} Abel F . 1 , i n+1 n+1 定义 2 V * F ? ( n + 1 ) J E’ 4* 1 2 n EV MJ n+1 n+1 F ? n ) I P( V ) P( V ). V 1 “ ” 2 “ ”
n+1 n n (k + 1) k ” n . V n . P FP . ““J- ” )
n+1 n +1 n+1 定义 3 V * F ? J P (V ) n ) I .S * T V k + 1 * l + 1
(1) S ? T, k S l T;
(2) S+T k S l T ; l*
(3) SflT k S l l T ;
(4) SflT=0, S+T S l T *, S ? T.
3 引理 1 Z ) I P(V ) , * , .
n+1 n+1 a V 1 [ a ] P( V ). ?x F [ xa ]=[ a ]. J M
n+1 P( V ) A =[ a ] t J a xF . x F .
n+1 P( V ) A =[ xa ] a .定义 4 4aJ ?[J
引理 2 B P( V ) P = [ p], Q = [q], R = [r], x, y ? F p = xq + yr .
推论 P = [ p], Q = [q], R = [r] 0 l, m, n ? F 4E 14
lp + mq + nr =0 . ////帕普斯定理 F P(V ) A B C A B C k k ? . i? ) I *4 *////// L=BCflBC M=CAflCA N=ABflAB. L M N .
2 用帕普斯定理证明德萨格定理 n+1 ///德萨格定理 P (V ) ABC * ABC L=ABfl /////////AB M=BCflBC N=CAflCA. AA BB CC L M N 4E
.
F P(V ) . i? ) I *t
//////证明 1 ABC ABC AA BB CC P L=AB j*E’ //////flAB M=BCflBC N=CAflCA .
U
S
A V / AM / BB
L
P T/CC
N
图 1 德萨格定理的几何结构
//////// ACflBC=S ABflCC=T ABflPS’UABflPS’VPCflAB=T PSflAB’U BCflBS=M t //////. PA A BCS TVN=ACflAS . ABT V * * //////U S L=ABflAB M=BCflBC N=ACflAC . ///////// ABC * ABC L=ABflAB M=BCflBC N=CAflCA /// AA BB CC lZ ) I . k
T.
参考文献:
[1] . [M] . 2000:164-178. J 1k I hh B?
[2] J J 1k. I [M [M]. hh B? 1994:P98-99.
nP Another Proof of Desargues Theorem on
LI Jin-hui CHEN Hai-jun
(Department of Mathematics, Handan College, Handan 056005, China)
n Abstract: Give a method to prove Desargues Theorem with Pappus Theorem on n-dimensional projective space P . Key words: skew field field n-dimensional projective space homogeneous vector
15
范文四:数学毕业论文-德萨格定理及其应用
各专业全套优秀毕业设计图纸
2014届本科毕业论文 (设计 ) 德萨格定理及其应用
所 在 学 院 :数 学 科 学 学 院
专 业 班 级 :数 学 与 应 用 数 学 09— 3 学 生 姓 名 :
指 导 教 师 :
答 辩 日 期 :2014年 5月 8日
新疆师范大学教务处
目录
1. 前言 .............................................................. 3
2. 关于德萨格定理的基本概念 .......................................... 3
2.1 基本概念 .................................................... 3 2.2德萨格定理 ................................................... 4
3.德萨格定理在初等几何中的应用 ..................................... 6
3.1 应用徳萨格定理证明共点问题 .................................. 6 3.2应用徳萨格定理证明共线问题 ................................... 7 3.3 应用徳萨格定理求定点 ........................................ 9
4. 总结 .............................................................. 9
5. 参考文献 ......................................................... 10 致谢 ............................................................... 11
德萨格定理及其应用
摘要 :德萨格定理是射影平面上的一个重要定理 , 它是射影几何的理论基础 , 也是 图形的一个重要射影性质。 它的应用很广泛, 许多定理以它为根据。 这里仅用德 萨格定理与德萨格逆定理来证明共点和共线问题 , 体现高等几何观点对初等几何 的指导作用 , 在解决初等几何问题方面具有独特之处。本论文通过实例说明了上 述定理在初等几何中的应用。
关键词 :德萨格定理及逆定理;三点形;三线形。
1. 前言
射影几何是高等几何中的主要组成部分, 而德萨格定理则是射影几何中的基 础定理之一,在射影几何中占有不可或缺的地位。发现德萨格定理的德萨格是 17世纪法国著名的数学家, 他 1591年出生于法国里昂, 1661年卒于同地。 曾坐 过牢,后来担任过法国军事工程师和建筑工程师。
德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色, 而射影几何又是 高等几何中的主要组成部分,因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。 德萨格定理的内容从完整的角度讲包括德萨格定理及其逆定理, 主要研究的是三 点共线或者三线共点的问题。在初等几何中有许多需要证明《点共线》或《线共 点》 的问题, 这类问题用初等几何方法证明往往比较复杂, 但用德萨格定理去证 明却很容易。 因此, 德萨格定理和逆定理可以被应用到初等几何中的很多方面中 去。 并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用, 全盘否决高等几何在 初等几何中的无用之说。 高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。 由此体 现了高等几何对初等几何的指导性意义。 下面通过几个具体的实例说明它在初等 几何中的应用。
2. 关于德萨格定理的基本概念
2.1 基本概念
定义 2.1平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形; 平 面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.
三点形与三线性实际上是一种图形 (如图 2-1) , 点 , , A B C 叫做顶点 , 直线 , , a b c 叫做边. b
a
c
图 2-1
2.2德萨格定理
我们已经介绍了三点形和三线性.下面我们介绍德萨格定理.
定理 2.2(德萨格定理) 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点 , 则对应边的 交点在一直线上.
证明(1)
如图 1,因为 1, , O A A 三点共线故存在不全为零的常数
1, l l 使得 11O lA l A =+
同理可得
11O mB m B =+ ,
11O nC n C =+
其中 1, m m 不全为零; 1, n n 不全为零。前两式相减得
1111() lA mB l A m B Z -=--=;
同理可得 1111() mB nC m B n C X -=--=;
1111() nC lA n C l A Y -=--=
以上三式相加可得 0X Y Z ++=。从而 , , X Y Z 三点共线定 理得证。
证明(2)设有三点形 ABC 与 A B C ''',对应顶点连线 , , AA BB CC '''交于
一点 O ,对应边 BC 与 B C ''的交点为 X , CA 与 C A ''的交点为 Y , AB 与 A B ''的交点 为 Z ,要证 X , Y , Z 在一直线上。
情况(i ) ABC 与 A B C '''位于不用的平面 π与 π'内(图 2) ,因 BC B C ''都 在五点 , , , , O B B C C ''所定的平面内,所以二直线 , BC B C ''相交。交点既在 π内也 在 π'内。因此点 X 存在且在 π与 π'的交线上。
同理, CA 与 C A '', AB 与 A B ''也都相交且交点在 π与 π'的交线上
因此三点 X , Y , Z 在一直线上。
情况(ii ) ABC 与 A B C '''位于同一平面 π内(图 3) 。通过 O 做不在 π内的直线 P , 在 P 上任意取两点 , L L '。 由直线 , AL A L ''位于直线 P 与 OAA '所决定的平面内, 所以直
线 AL 与 A L ''相交,交点记以 A ''。
同理, 直线 BL 与 B L ''相交, 交点记以 B ''。 直线 CL 与 C L ''相交, 交点记以 C ''。 三点 , , A B C ''''''所决定的平面与 π不同(例如 A ''不再 π内) 。考虑三点形 LBC 与
L B C ''',
二者不在同一平面内。 由于 , , LL BB CC '''交于同一点 O , 所以根据情况 (i ) 知 BC 与 B C '', CL 与 C L '', BL 与 B L ''交于同一直线上的点,即 X , C '', B ''
,在
一直线上。因此 X 在平面 A B C ''''''内。但 X 也在平面 π内,这说明 X 在两不同平 面 π与 A B C ''''''的交线上。
同理, Y , Z 也在平面 π与 A B C ''''''的绞线上,所以三点 X , Y , Z 在一直线上。
定理 2.3(德萨格定理逆定理 ) 如果两个三点形对应边的交点在一直线上 , 则 对应顶点的连线交于一点.
3.德萨格定理在初等几何中的应用
3.1 应用徳萨格定理证明共点问题
例 1 试证三角形三条中线共点?
证明如图设三角形 ABC 三条中线
AD,BE,CF
(图 4)
考察三点形 ABC 和 DEF, 由于 BC∥ EF , CA ∥ FD , AB ∥ DE , 即三点形 ABC 和 DEF 的对应边的交点均为无穷远点从而都在无穷远直线上, 故根据徳萨格定理的逆定 理知它们对应顶点的连线 AD , BE , CF 交于一点, 即三角形 ABC 的三条中线共点。 同时, 此题是中学几何中有关三角形重心的问题, 用初等几何方法不够直观, 也 较繁杂,但用上述方法却很简便。
例 2 直线 AB 与 CD 交于 U , AC 与 BD 交于 V ; U , V 分别交 AD , BC 于 F , G ; BF 交 AC 于 L 。求证:LG , CF , AU 交于一点。
证明如以下图 6在三角形 AFL 与三角形 UCG 中对应边 FL 与 CG , LA 与 UG , AF 与 UC 分别交于共线的三点 B , V , D 。根据徳萨格定理的逆定理知 AU , FC , LG 交于点 O (如图三线形 AFL 与三角形 UCG 对应顶点连线 LG , FC , AU 共点 O
(图 5)
3.2应用徳萨格定理证明共线问题
例 3 证明三角形的垂心 , 重心 , 外心三点在一条直线上.
证明已知三角形 ABC , 依据几何作图作出其垂心 R , 重心 S , 外心 T , 其中 , M N 分别为 , BC AC 中点 , 下面证明三点 , , R S T 共线.在三点形 ABR 和 MNT 中 , 根据几何作图性质可知 , //AB MN , //AR MT , //BR NT , 即两个三点形 ABR 和 MNT 对应边的交点都为无穷远点 , 从而它们的交点都在无穷远直线上.根据德萨格逆 定理 , 两个三点形 ABR 和 MNT 对应顶点 , , AM BN RT 的连线交于一点 S .即三点 , , R S T 共线.
B
(图 6)
此题是欧拉定理的证明 , 其垂心 , 重心 , 外心所在的直线为欧拉线. 此外 , 此题 证明的构图 , 别具风格 , 独具匠心 , 是综合分析各方面的因素 , 化冗为简的结果. 而 且 , 此题是初等几何中非常重要的三角形 “三心” 共线问题 , 利用初等几何的知识 证明比较麻烦 , 此处用德萨格逆定理证明简单而又巧妙.
例 4 设三角形 ABC 的三条内角平分线分别交对边于 D , E , F ;又 BC 和 EF 交于 X , CA 和 FD 交于 Y , AB 和 DE 交于 Z 则 X , Y , Z 三点共线。
证明设三角形 ABC 的三条内角平分线交于 O (即三角形 ABC 的内心)如图考 察三点形 ABC 和 DEF 。由于它们对应顶点的连线 AD , BE , CF 交于 O ,则根据徳萨 格定理知,它们的对应边 BC 和 EF , CA 和 FD , AB 和 DE 的交点 X , Y , Z 共线。
(图 7)
此例证明的构图恰当, 综合考虑可定理的条件和命题的内容。 此题的证明中 只用到三角形的三条内角平分线交于一点(内心)这个性质,因此,若将此例中 的角平分线改为三角形的高线或中线, 则结论仍然成立, 因为三角形的三条高线 交于一点(垂心) ,三条中线也交于一点(重心) 。更一般地,对于三角形 ABC 的三边(所在直线)上任意点 D , E , F ,只要 AD , BE , CF 交于一点则上述结论 同样成立。
例 5 设 ABCD 是四面体,点 X 在 BC 上。一直线通过 X 分别交 AB , AC 于 P , Q ; 另一直线通过 X 分别交 DB , DC 于 R , S 。求证 PR 与 QS 交在 AD 上?
(图 8)
证明考察三点形 PQA 和 RSD 。由于它们的对应边 QA 和 SD , AP 和 DR , PQ 和 RS 的交点 C , B , X 三点共线,则由徳萨格定理的逆定理知它们的对应顶点的连 线 PR , QS , AD 交于一点,即 PR 与 QS 交在 AD 上。
此题的证明, 分别用了徳萨格定理和徳萨格定理的逆定理。 两种证法选取的 不同,源于两者构图的不同。由此可见,用徳萨格定理(或逆定理)证明几何问 题具有一定的灵活
3.3 应用徳萨格定理求定点
例 6 已知 OX , OY , OZ 为三定直线(如图 9)变动性三角形 ABC 第二顶点 C 点的轨迹 CO 结构图, A 与 B 为二定点,其连线通过 O 点, R 为 OZ 上的动点,且 RA , RB 交 OX , OY 于 P , Q 。试证 PQ 通过 AB 上一定点?
证明如图 9在 OZ 上变动到 F 时 FA 与 OX 交于 D ; 连接 FB 则与 OY 交于 E 。 在 三角形 ADP 与三角形 BEQ 中, DP 与 EQ 交于 O , AP 与 BQ 交于 R , AD 与 BE 交于 F 且 O , R , F 三点共线。 AB , DE , PQ 交于 S ,由徳萨格定理的逆定理, AB 为定直 线, PQ 与 AB 交于 S ,当 F 在 OZ 上变动时, E 在 OY 上变动, D 在 OX 上变动,所 以 DE 一定通过 AB 与 PQ 的交点 S ,故 PQ 通过 AB 上一定点 S 。
(图 9)
4. 总结
综上所诉 , 在利用徳萨格定理和徳萨格定理的逆定理证明三线共点或三点共 线问题时 , 关键是准确地找到两个对应三点形 , 而且要调整好对应顶点的顺序. 以 便达到证明的目的. 共线问题和共点问题一般可以转化. 在都适用时, 一般共线 问题用徳萨格定理, 共点问题用徳萨格逆定理. 当然, 我们也要具体问题具体分 析. 此外 , 徳萨格定理在初等几何中的应用非常简单易懂实用 , 可以化简初等几何 中繁琐的步骤,为几何的证明开辟了一条快捷之路.
5. 参考文献
[1] 梅向明,刘增贤,林向岩 . 高等几何 . 北京:高等教育出版社 .1983. [2] **祥,高等几何 . 北京:高等教育出版社。 1983. 58— 65 [3] 钟集,高等几何 . 北京:高等教育出版社。 1983. 24— 32
[4] 陈启旭,林达坚,高等几何,福州:福建人民出版社 1983 74— 180 [5] 赵宏量,几何教学探索,西南师范大学出版社。 1987
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致谢
大学五年很快就要结束了, 在这宝贵的四年学习过程中, 我认识了数学系的 各级领导, 老师和我亲爱的同学们, 得到了他们热心的帮助和关心, 使我能够顺 利的完成学业, 同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大 的提高,在此向他们表示我最衷心的感谢!
感谢我的指导老师, 感谢对我毕业论文的细心指导, 吐尔洪江老师严谨细致、 认真负责的工作态度是我学习的典范,这对我以后走上工作岗位有很大的帮助。 同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友,有了他们的陪伴,支持,鼓励,我 的大学生活才有意义, 从他们身上我学到了很多我没有的品质, 我将永远珍惜这 难得的友谊。
到论文的顺利完成,有很多的可敬的老师,同学,朋友给了我真挚的帮助, 在这里请接受我诚挚的谢意!再次对吐尔洪江老师表示最诚挚的谢意和祝福!
麦尔耶姆古丽。克依木
2014年 5月 8日
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范文五:德萨格定理在初等几何中的应用
第3卷 第4期
2008年12月贵阳学院学报(自然科学版) (季刊) JOURNAL OF G U I Y ANG CO LLEGE Natural Sciences (Quarterly)Vol . 3 No . 4Dec . 2008
德萨格定理在初等几何中的应用
秦 进
(遵义师范学院数学系, 贵州 遵义 563002)
摘 要:以实说明射影几何的德萨格定理对初等几何的高观点指导作用和在实践中的应用, 表明高等几何在提高观点方面有独特的作用, 在解决具体问题方面有巧妙、灵活等特点。
关键词:德萨格定理; 共线点问题; 应用
中图分类号:O18212 文献标识码:A 文章编号:1673-6125(2008) 04-0064-03
Appli ca ti on of the Desar gues Theor e m to E le m en ta r y Geo m etr y
Q IN Jin
(Depa rt m ent of Ma t hema tics, Zunyi Nor m al College, Z unyi G u i zh ou 563002, China )
Ab stra ct:Anapp licati on of the De s a rg ues Theorem in p r ojective geo metry t o the guidance of e l ement a ry ge 2ometry has been dis played by s pec i fic examples . T he parti cular functi on in enhancing fra me of refe rence and t he agility i n prac tica l appli cati on of advanced g eo metry has been f ounded in t he pre s ent article .
Key wor ds:Desargue s T heorem; collinea r points ; appli ca tion
高等几何课程是高等师范院校数学专
业的重要基础理论课之一。高等几何涵义
较为广泛, 课程的内容上以射影几何为主,
兼顾其他。射影几何不仅在提高观点方面
具有独特作用, 而且在论证方法, 思考问题
等方面具有独特的巧妙、灵活等特点, 在联
系初等几何方面具有直接的渊源。注重射影几何与初等几何的联系, 引导学生居高临下地认识初等几何, 探讨它对初等几何的教学、研究具有十分重要的指导意义。笛沙格定理是射影几何的一个重要定理, 它是射影几何的理论基础, 也是图形的一个重要射影性质。许多定理以它为依据, 它的应用很广。这里仅用德萨格定理来证3收稿日期:2008-06-12
基金项目:贵州省基础教育研究课题, 编号:(2006B 084)
作者简介:秦 进, 男, 贵州务川人, 遵义师范学院数学系讲师, 重庆大学在读硕士。
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