最小曲率半径[宝典]

范文一：最小曲率半径[宝典]

曲率的倒数就是曲率半径。

曲线的曲率。平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义k就是曲率。曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度

特殊的如:圆上各个地方的弯曲程度都是一样的 (常识)而曲率半径就是它自己的半径;直线不弯曲 ,所以曲率是0,0没有倒数,所以直线没有曲率半径. 圆形越大,弯曲程度就越小,也就越近似一条直线.所以说,圆越大曲率越小,曲率越小,曲率半径也就越大.

如果在某条曲线上的某个点可以找到一个相对的圆形跟他有相等的曲率,

那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径(注意,是这个点的曲率半径,其他点有其他的曲率半径).也可以这样理解:就是把那一段曲线尽可能的微分，直到最后近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径即曲线上这个点的曲率半径.

Eg:

范文二：最小曲率半径

曲率的倒数就是曲率半径。

曲线的曲率。平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义k就是曲率。曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度

特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的（常识）而曲率半径就是它自己的半径;直线不弯曲 ,所以曲率是0,0没有倒数,所以直线没有曲率半径.

圆形越大,弯曲程度就越小,也就越近似一条直线.所以说,圆越大曲率越小,曲率越小,曲率半径也就越大.

如果在某条曲线上的某个点可以找到一个相对的圆形跟他有相等的曲率,

那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意,是这个点的曲率半径,其他点有其他的曲率半径).也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能的微分，直到最后近似一个圆弧，这个圆弧对应的半径即曲线上这个点的曲率半径.

Eg:

因列车在高速通过弯道时由于惯性有向弯道的外侧翻车的危险（参看：2008年胶济铁路列车相撞事故），在铁路的设计和建造时，对不同速度等级的铁路规定了车辆可以安全通过的圆曲线的最小半径，就是线路的最小曲线半径。

范文三：[曲率半径公式]曲率半径：曲率半径

[曲率半径公式]曲率半径:曲率半径篇一 : 曲率半径:曲率半径-定义，曲率半径-公式推导

曲率半径就是曲率的倒数。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度就是曲线的曲率，曲率的倒数就是曲率半径。曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如:圆上各个地方的弯曲程度都是一样的而曲率半径就是它自己的半径;直线不弯曲，所以曲率是0，0没有倒数，所以直线没有曲率半径。圆形越大，弯曲程度就越小，也就越近似一条直线。所以说，圆越大曲率越小，曲率越小，曲率半径也就越大。

曲率_曲率半径 -定义

曲线的曲率。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义k就是曲率。

如果在某条曲线上的某个点可以找到1个相对的圆形跟他有相等的曲率,

那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径，在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。

曲率半径

renet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

摘要:本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离

开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公

式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.

关键词:空间曲线;曲率;挠率;Frenet公式

Spatial curvature,torsion and Frenet formulas

Abstract: This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.

Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas

前言

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一

部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空

间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要

位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全

决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,

就会得到不同类型的曲线.例如:k?0时为直线,??0时为平面曲线.

本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线

的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.

1. 空间曲线的曲率和挠率的定义

1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架

给出c2类空间曲线和上一点p.设曲线的自然参数表示是

r?r,

其中s是自然参数，得

α?

drds

是一单位向量.α 称为曲线上p点的单位切向量.

由于α?1，则

α?α

，

即

r?r

在α上取单位向量

β?

，

αr

称为曲线上p点的主法向量.

再作单位向量

γ?α?β，

称为曲线上p点的副法向量.

我们把两两正交的单位向量α,β,γ称为曲线上p点的伏雷内标

架. 1.2 空间曲线的曲率

我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一

条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.

要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P、Q间切向量关于弧长的平均旋转角.

设空间中c类曲线的方程为

r?r.

曲线上一点p，其自然参数为s，另一邻近点p，其自然参数为s??s.在p、

两点各作曲线的单位切向量α和α.两个切向量的夹角是??，也

就是把点p的切向量α平移到点p后，两个向量α和α的夹角为??.

我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.

定义?? 空间曲线在p点的曲率为

lim

?s?0

???s

，

??为曲线在点p和p的切向量的夹角. 其中?s为p点及其邻近

点p间的弧长，

再利用命题“一个单位变向量r的微商的模r,的几何意义是r对

于t的旋转速度”.把这个结果应用到曲线的切向量α上去，则有

k?α

由于α?

r，所以曲率也可表示为

由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.

对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转，所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率

当曲线扭转时，副法向量位置随着改变，所以我们用副法向量的转动速度来刻画曲线的扭转程度.

现在设曲线上一点p的自然参数为s，另一邻近点p的参数为s??s，

在p、p两点各作曲线的副法向量γ和γ.此两个副法向量的夹角

是??.

?的微商的模r,的几何意义是r对于t的旋转速度” .把这个结果应用到曲线的副法向量向量γ上去，得到

lim

?s?0

???s

，

此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋

转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大，副法向量对于弧长的旋转速

度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.

根据和曲率的定义，我们有

β?

αk

，

rα

即

α?kβ. 对γ?α?β求微商，有

因而

??α?β?α?β?kβ?β?α?β?α?β，

????

又因为γ是单位向量，所以

?α

γ?γ

由以上两个关系可以推出

γ//β. 现在我们给出挠率的定义如下: 定义?? 曲线在p点的

挠率为:

??γ，当γ和β异向，?

???

??γ，当γ和β同向.??

挠率的绝对值是曲线的副法向量对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.

2. Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导

2.1 Frenet公式的推导根据及挠率的定义有

γ??? 另外，对β?γ?α求微商，并利用和，可以推导出

β??γ?α??γ?α?γ?α

???β?α?γ?kβ

??kα??γ

公式，，称为空间曲线的伏雷内公式，即

54空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式_n维欧式空间

α?kβ???

?β??kα??γ??

γ???β??

，

这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵

?0?

?k??0?

k0??

0??? ?0??

2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出c3类的空间曲线

r?r.，

则有

drdsdsdt

dsdt

，

dsdr?ds?ds???ds?ds??ds,,

r??r??r??r?r?r????222

dtds?dt?dtdt??dt?dt?

，

所以

????ds?2?d2s?????ds?3

r?r?r??r??r?r???r?， 2?

dt?dt??dt???dt??

由上式得

r?r

?ds?

?rr??sin?

?dt?

注意上式中

r?1,r?r,

dsdt

，

因而有

r?r

?kr

由此得到曲率的一般参数表示式

r?rr

,3,

2.3挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的式

γ???是过曲线上一点P的主法线的正侧取线段PC，使PC的长为

，以C为圆心，以

为半径在密切平面上确定

一个圆，这个圆称为曲线在P点的密切圆，曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径.

3. 有关曲率、挠率的计算和证明

例 1?? 求圆柱螺线r??acos?,asin?,b???????????的曲率和挠率.

解由圆柱螺线方程r??acos?,asin?,b??，先计算

r???asin?,acos?,b?,

r,,???acos?,?asin?,0?,

,,,

??asin?,?acos?,0?,

于是有

r?r

??asin?

?acos?

e2acos??asin?

b??absin?,?abcos?,a0

r?r

,,,

代入曲率和挠率的公式得

r?rr

,,3,

aa?b

?r,r,r???

?r,r?

,,,2

ab?a

ba?b

由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.

例 2?? 证明曲率恒等于零的曲线是直线.

证明已知k?r?0,因而

r?0,

由此得到 r?a. 再积分即得 r?as?b, 其中b也是常向量.这是一

条直线的参数方程.

例 3?? 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.

证明若??0,则γ是固定向量，但是我们已知

α?γ?0,

因而有

r?γ?0,

积分后得

r?γ?a

，

所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.

以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、

挠率对空间曲线的研究有重要意义.

结语:

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.

参考文献:

[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M]. 北京:高等教育出版社，2008.

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豆豆相传齿根圆弧最小曲率半径Rimin和Remin

基础科学

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齿根圆弧最小曲率半径R和R (摘自GB/T3478.1-1995) iminemin

D标准压力角α

30? 37.5? 45? 模数m

平齿根圆齿根圆齿根圆齿根

0.2m 0.4m 0.3m 0.25m

0.25 0.06 0.5 0.10 0.20 0.15 0.12 0.75 0.15 0.30 0.22 0.19 1 0.20 0.40 0.30 0.25 1.25 0.25 0.50 0.38 0.31 1.5 0.30 0.60 0.45 0.38 1.75 0.35 0.70 0.52 0.44 2 0.40 0.80 0.60 0.50 2.5 0.50 1.00 0.75 0.62

3 0.60 1.20 0.90

4 0.80 1.60 1.20

5 1.00 2.00 1.50

6 1.20 2.40 1.80

8 1.60 3.20 2.40

10 2.00 4.00 3.00

注: 在产品设计允许的情况下,对平齿根花键,齿根圆弧曲率半径可小于表中数值

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范文五：铁轨最小曲率半径的图像识别方法

铁轨最小曲率半径的图像识别方法

马海民，赵庶旭，党建武

，，MA Hai-minZHAO Shu-xuDANG Jian-wu

兰州交通大学电子与信息工程学院，兰州 730070

，，，School of Electronic and Info rmation EngineeringLanzhou Jiaotong UniversityLanzhou 730070China

:E-mailzhaosx@mila.lzjtu.cn

，， MA Hai -minZHAO Shu -xuDANG Jian -wu .Image recognition method about least curvature radius of rail.Computer

，，():Engineering and Applications2009451220-22.

: ， AbstractWhen r ailway train running on se ctions of small radiusits speeding ilwl make greaht i dden trouble for se curity.

，，，，Through an alyzing the onboard id veo imagethis paper constructs t edcteion templates orf ai luses region growingcurve fittingand other means to achievale cu lcation of the r ail curvature.Automatically detect the sm allest radius of curvature in f ront of the tra in.

，The driver acquires ea rly warningand ensures saofpee ration of trains.

:;;; Key wordsrailcurvature radiusregion growingcurve fitting

摘要:铁路列车运行在小半径路段时，超速行驶会对安全产生极大隐患。通过对车载视频图像的研究，构造铁轨检测模板，利用区域生长、曲线拟合等手段实现了对铁轨曲率的计算，可以自动检测列车前方铁轨最小曲率半径，给驾驶员以预警功能，保证列车安全运行。

关键词:铁轨;曲率半径;区域生长;曲线拟合

: 文章编号:() 文献标识码:中图分类号: DOI10.3778/.jissn.1002-8331.2009.12006.1002,8331200912-0020-03ATP3914.

度区域，增强对比度，还使不同亮度条件下的帧图像表现出一引言 1 致的视觉效果，这对识别阶段的图像识别起着重要的作用。瞭铁路列车在运行过程中，通常驾驶员是以望来对前方状直方图均衡化处理的中心思想是把原始图像的灰度直方况进行预警，这样长时间的观测会使人产生疲劳。从而由于调图从比较集中的某个灰度区间变成在全部灰度范围内的均匀度、驾驶员等人员失误会导致列车在小曲率半径的铁轨处超速分布直方图均衡化就是对图像进行非线性拉伸，重新分配图。运行，这种情况对列车安全运行造成极大隐患。因此，需要一种像像元值，使一定灰度范围内的像元数量大致相同直方图均。客观的、非人为的提醒设备帮助列车驾驶员进行预警。

数字图像处理技术因其处理精度高、内容丰富、可进行复

杂运算及其良好的变通能力取得了飞速发展本文以图像处理。

的方法对列车前方轨道曲率进行识别，达到代替人工识别的功

能，为列车运行安全起到提前预警的功能。

图像预处理2 在图像分析中，对输入图像进行特征抽取、分割和匹配前

所进行的处理。图像预处理的主要目的是消除图像中无关的信

息，恢复有用的真实信息，增强有关信息的可检测性和最大限

度地简化数据，从而改进特征抽取图像分割匹配和识别的可、、[1]靠性。这里主要运用直方图均衡化方法对目标图像进行处理。图像直方图的均衡化不仅可以把图像灰度分布到整个灰图直方图均衡化效果对比图 1

基金项目:国家高技术研究发展计划()(); 863the National High-Tech Research and Development Plan of China under Grant No.2006AA02Z499

甘肃省国际合作计划项目( the International Cooperation and Exchanges Project of Gansu Province of China under Grant No4WS06.4-

);高等学校博士学科点专项科研基金(A72054the China Specialized Research Fund for the Doctora Program of Higher Education -l

)。under Grant No.20060732002

作者简介:马海民()，男，博士生，主要研究方向:交通信息工程及控制;赵庶旭()，男，博士生，主要研究方向:自律分散系统与智能信 19621976--

息处理;党建武()，男，教授，博士生导师，主要研究方向:交通信息工程及控制智能信息处理、。1963-

收稿日期: 修回日期: 2008-11-262009-01-22

轨边阴影区轨面高亮区铁轨所在位置灰度值分布图 2

衡化就是把给定图像的直方图分布改变成均匀分布直方图分铁轨检测 4.1 布。图为在不同亮度条件下图像直方图均衡化效果图。其中 1 通过分析铁轨图像，这里引入梯度算子梯度算子是一阶。左侧为两幅不同亮度的原始图，右侧为其对应的直方图均衡化 [5]导数算子对于图像函数 (，)，它的梯度定义为一个向量:。f xy 图。由此可以得出，左侧图中差异只是亮度上的而非图像内容鄣鄣鄣f 上的。在进行均衡化后的图像中，已经难以再区分灰度级的差鄣鄣鄣鄣 G 鄣x x 鄣鄣别。这就从图像处理的对象上统一了标准。 (f x，y)= = () 鄣鄣1 鄣鄣G鄣f y 鄣鄣鄣鄣鄣y

由于数字图像是离散的，计算偏导数和时，常用差分GG x y 问题分析 3 来代替微分，为计算方便，常用区域模板和图像卷积来近似计图像分析所采用的图像是由视频中提取出的帧图像。由于算梯度值在计算出和的值后，用式()计算(，)点处的。G G 2xyx y 在帧图像中，与铁轨无关的背景图像复杂多变，使得铁轨的检梯度值。测变得十分困难，已不能用常用的检测算子进行检测。因此，要 1 222依据视频帧图像的具体特点来建立铁轨检测的方法。 ()() +Gg=G 2 x y图是一幅视频帧图像中铁轨局部区域的灰度值分布如。2 计算出各点的梯度值后，设定一合适的阈值。当 Tg?T图所示，铁轨的视觉特点是一条连续的长线。并且，轨面由于经时，即认为在点(，)处为所要的检测目标点。xy

常的摩擦所产生的高亮与紧邻的暗影区域形成了强烈的灰度依据铁轨的图像特性构建了的检测模板，图为模板 9×9 4 差。但这些不足以描述出整条铁轨，因为上述的特征只是距观中检测目标成和的两模板通过改变不同的角度增加。、0?90? 察点较近的一段铁轨特征，较远处的铁轨高亮区则随距离增加模板数量，可以更加精确地对铁轨进行匹配。虽然计算量较普

通边缘检测算子稍大，但完成了普通算子处理起来相对困难的而减弱。这时需要对变化较小的暗影区用区域生长的方法进行 [6]铁轨检测，这提高了后续的图像处理的效率。近似的铁轨描述，这样阴影区的构建就包含了整条铁。轨虽然

分割得到的并不是精确的铁轨曲线，但并不影响最终的曲率计 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 算结果。 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 图显示了轨道边缘图像与导数的关系。边缘的一阶导数 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 在图像由暗变亮的突变位置有一个正的峰值，而在图像由亮变 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 暗的位置有一负的峰值。二阶导数分别出现一个由正到负和由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 负到正的脉冲，并且亮暗突变的位置过零点。因此，边缘点的检 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 测问题就转换为边缘截面的一阶导数峰值和二阶导数过零点 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 的问题。同时，需要注意的是在数字图像处理中，导数是用差分 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 -1 -1 -1 来代替的。图铁轨检测模板 4 轨道边缘图像区域生长 4.2 由问题的分析已知，计算铁轨的曲率首先要确定铁轨中线的位置。这里采取将铁轨两侧阴影分割后的数值统计来计算中剖面图

线，而两侧阴影的准确分割则是中线计算的关键。由铁轨检测一阶导数部分可知铁轨的位置已经检测得到，其两侧的暗影部分便可通二阶导数过相对位置得到因此，只需要将检测到的部分暗影内的点作。

[7]为种子点进行区域生长分割，便可得到整个暗影所在区域。轨道图像边缘的导数关系示意图图 3区域生长是一种根据事前定义的准则将像素或子区域聚

合成更大区域的过程基本的方法是以一组种子点开始将与。“” 图像分割4

在图像分析中，人们往往只是对其中的目标物感兴趣，而种子性质相似(这里的性质为灰度级)的相邻像素附加到生长这些目标物常常位于图像中的不同区域，要对图像中的目标物区域的每个种子上。进行检测和特征参数测量，首先必须把图像按一定要求分成一进行区域生长时，首先要解决三个问题:些有意义的区域，这就是图像分割所要完成的工作。在这里有 ()确定要分割的区域数目，并在每个区域选择或确定一 1

[2-4]个能正确代表该区域灰度取值的像素点，即种子点。意义的区域就是铁轨所在位置区域。

()确定相似性准则(生长准则)。北京—哈尔滨综合检测08-05-12 2

()确定生长停止条件。3

在暗影区域需要分割的区域数为 (两根铁轨各自的两侧 4

暗影)，因此，至少要有个点作为种子点。为了去除虚假种子 4

点，这里选择个种子点，在区域生长后将暗影面积达不到设8 速度: 里程: 161 km/h853.869 定阈值的部分去除。图列车采集的原图像图转化后的灰度图像 5 6

曲线拟合 5

曲线拟合是以某种误差为标准，它是一种对曲线的近似表

达形式，最后用拟合曲线的参数来简洁描述原始曲线。设由某 [8-9] 图形的边界点组成的边界点集为(，根)，，，…，。{ xy i=12N} i i 图经灰度拉伸处理后图像图区域生长算法分割的图像78 据最小均方误差的原则用一条曲线近似拟合这个点集。要求该

(，)c=1.848e+006 -4.136e+0067.832e+006 曲线 ()上各点和边界点集的“距离”最小，使拟合的均方误 y=f x1

(，)c=-1.404e+004 -6.018e+0043.209e+004差最小。 ε 2 N (，)c=56.9 -1326.2464.2 3 1 ()[y -f x ]() ε= 3Σi i N i=1 (，)c=-0.1296 0.5670.307 8- 4 曲线 ()的形式为: y=f x(，) c =0.000 157 3 0.000 380 60.000 695 3-5 2 M )…(() y=f x=c+cx+cx ++cx4(，) c=-7.955e-008 -3.55e-0071.959e-007 0 1 2 M 6

矩阵表达形式为::Goodness of fitΣ Σ 2 M :SSE3626 ΣΣ Σ Σ Σ …1 xxΣxΣ Σ111 yc ΣΣΣΣ Σ Σ 1 1 :Σ Σ Σ Σ R-square0.969 8 Σ Σ Σ Σ2 M Σ Σ Σ Σ ΣΣΣ Σ… ΣΣ 1 x x x c y :Σ Σ Σ ΣAdjusted R-square0.959 22 2 2 2 2 Σ Σ Σ ΣΣ ΣΣ Σ ΣΣ Σ Σ Σ Σ 2M :RMSE14.6ΣΣΣΣ() y= c5ΣΣ 3 3 …Σ Σ 1xxΣ Σx Σ Σ333 Σ Σ Σ Σ Σ Σ 拟合结果如图所示。9 Σ Σ Σ Σ Σ …Σ Σ Σ … Σ Σ Σ Σ Σ ΣΣ Σ Σ Σ Σ Σ ΣΣΣΣycΣ Σ2 M Σ Σ Σ N M 200 Σ Σ Σ Σ ΣΣ …1 x x x ΣN Σ N N Σ … 拟合曲线150 上式表示为，误差列向量为，均方误差为 y=Xce=y-Xcε=… … T 1 ( )100 。ee() f x …N

T -1 T 50 公式推导得最小均方误差的系数向量，当 c=[X X] [X y]-1 0 是非奇异阵时，。X c=X y300 310 320 330 340 350 360 x 通过对矩阵求逆及对包含多个未知数的线性方程组求解，图铁轨中线的曲线拟合9得到系数矩阵，就可确定拟合曲线的曲线方程。

这里对铁轨图像采用拟合曲线为:y″ ，对于六次方的拟合曲线需要对有曲率公式 K= 3 2 3 4 5 6 2 2 ()() f x=c+cx+cx +cx +cx +cx +cx6 () 1+y ′0 1 2 3 4 5 6

所采用的边界点集是由区域生长方法分割后的图像计算两个其逐点进行曲率计算得到最小曲率半径值，为真实曲率判定。铁轨所在位置。做准备。

由于图像拍摄角度的问题，这里得到的拟合曲线和曲率值

并不是铁轨的真实值，这需要进行系统标定来确定对应关。系实验 6

这不在论文研究范围内，在此不作讨论。在动检车前方的视频监视设备采集的视频中提取一帧作

为图像处理的对象图像环境为:列车运行速度。，采集 161 km/h

时间时分，光照相对良好，背景较为复杂，如图所示。 12 14 5 结语7 在对图像处理时需要将图像中无关信息滤除，并将其转化为灰列车运行状态下道轨小半径区段内出现的脱轨事故严重度图像以便于处理，如图在直方图均衡化的图像预处理之。6影响着列车及人员安全本文通过对车载摄像视频图像的研。后得到图所示的灰度拉伸图像。图为铁轨模板检测到铁轨 7 8 究，确定了一种检测车前铁轨曲率半径的方法设计了铁轨检。所在位置后，对其暗影进行区域生长后的效果图。从中可以明测的模板，通过区域生长曲线拟合等手段实现了对铁轨曲率、显地得到部分区域。图中右侧上行铁轨由于不符合模板检 4 7 的计算在对视频采集设备进行升级和性能提高后，会同时具。测阈值而未被检测到这正是检测所期望的。。

有准确性和实用性的特点同时，应该指出的是基于图像处理。在中对获得的铁轨位置坐标集进行曲 MATLAB R2007b 的铁轨检测毕竟是仿照人眼视觉的功能设计的，仍然避免不了线拟合得到的拟合参数为: 。一定的局限性。例如，在存在大面积遮挡或黑暗无任何光照的 (，)c=-1.013e+008 4.244e+0082.219e+008- 0 (下转页)26

(，，)T013.5127 2 0.6 (，)N010.5 Residual histogram Residual histogram 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x x

0.6 0.8 (，，， SKST010.0629096 GED(0，1，0.94960 4)) 3.8745 70.5 0.7 Residual histogram Residual histogram 0.6 0.4 0.5 0.3 密度0.4 密度 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x x

图人民币欧元汇率收益率误差序列频数直方图与相应各分布的对比图 2 /

，，: 1983[J].Journal of International Economics198824129-145. 结语4 ，[5] Chen S W.GARCjumps Hand permanent and transitory components 本文利用对人民币欧元日汇率收 ARFIMA-EGARCH-M /:of volatilityThe caseof Taiwan exchange [J].rateMathematics and 益率序列进行了分析，确定其波动具有尖峰厚尾、中期记忆特，，():Computers in Simulation2004673201-216. 征及非对称特征，在对误差序列进行检验，确定波 ARCH-LM ，[6] Johnston K Scott E.The statistical distribution of daily exchange 动率的效应之后，在比较误差分布为正态分布、分 ARCH T :rate price changesDependent vs independent [modelsJ].Journal 布、分布和分布的基础上，利用对数似然函数值，结 GED SKT ，，():of Financial and Strategic Decision s199912239-49. 合、、、判定准则综合分 AkaikeSchwarzShibataHannan -Quinn ，[7] Vlaar PPalm F.The messagein weekly exchange ratesin the Eu, 析得出误差分布为分布的 (，，)GED ARFIMA1-0.010 8711- :，ropean monetary systeMean m reversioconditionanl heteroskeda, s(，)模型拟合汇率收益率波动序列的效果最好。EGARCH22M -

密度密度

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，， [4] Bostelman Hong R TMadhavan R.Obstacle detection using time- a (上接页) 22

特殊情况下，人与摄像机均无法有效识别出车前铁轨。此时，这 of -flight range camera for automated guided vehicle safety and

，(): 种基于自然光的图像处理技术便会受到极大限制。但随着各种 navigatio n[ J ] . Integrated Compute r - Aided Engineering 200512

先进传感器设备的研制，各种新技术也会不断涌出，本文的研 237-249. 王爱玲，叶明生，邓秋香图像处理技术与应用[5] .MATLAB R2007 [M]. 究也可以通过改进移植应用到更多的环境和领域。北京:电子工业出版社，:2008166-175.

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