深海尘埃28360761
范文一：极限例题1--极限概念证明中的问题
数列极限概念典型例题分析
11. 用极限定义证明 . lim,0n,,2nn，,2
我们分析以下各种证明过程:
1112 证明1:,为了使,即,只,,,0,0,,,n，n,,222,nnnn，,2，,2
11122需使.解此不等式得到或者(,1，1，(2，))n，n,,n,2222,,
111122(因此～如果令(整数部分),n,(,1,1，(2，))[(,1，1，(2，))]N,2222,,
111那么,只要～就有(于是.,0,,,n,Nlim,0n,,222nnnnnn，,2，,2，,2证毕.
这个证明是正确的,但是太繁琐(造成繁琐的原因是没有进行适当放大(试与下述证明相比较:
111 证明2:注意到 0(～取自然数,使,,,0,,,N22nnn2nn2，,，,
11111其满足不等式(只要～就有0.,,,n,N,,,N,22,nNnn2nn2，,，,
1因此.证毕. lim,0n,,2nn，,2
11 为什么可以使证明过程如此简明?是因为做了适当放大(对于,2nnn2，,初学者,在这类题目中,不善于、或者不敢于进行充分但适当的放大～是常见问题之一.
例2:设求证( lima,A,0lima,Ann,,,,nn
分析以下各种证明过程:
|a,A|n 证明1: 注意到 |a,A|,. 由于～所以对于任意正lima,Ann,,na，An
数～能够找到自然数～只要～就有(于是只要|a,A|,(a，A),,Nn,Nnn
～就有 n,N
a，Aa,A||nn. a,A,,,,,||na，Aa，Ann证毕.
这个证明过程中包含了一个错误:
“只要,就有(” |a,A|,(a，A),n,Nnn
其实这是不正确的～因为是随变化的一个量(根据条件,(a，A),lima,Annn,,n我们只能做到这样的事情:
“对于任意事先给定的正数,都能找到自然数,只要,就有,Nn,N
.” |a,A|,,n
这里的一旦给定～就是一个常数～与无关(但是对于与有关的变量,nn
,则不能指望找到自然数,使得只要～就有|a,A|Nn,Nn
(因为不是常数. |a,A|,(a，A),(a，A),nnn
在这个题目的证明过程中,还经常有读者这样做:令,这显(a，A),,,n1然是错误的,因为前者是一个常数,后者是一个变量(
下面的证明是正确的:
证明2: 由于, ～所以根据极限的保号性～对于充分大的～lima,AnA,0n,,n
有(由于数列收敛性与前有限项无关～所以不妨设对于所有的都有a,0nn
11(于是 成立(由于～所以对于任意正数～能a,0lima,A,,nn,,naAA，n
够找到自然数～只要～就有(所以只要～就有 |a,A|,A,Nn,Nn,Nn
a,A||,An.于是根据极限定义得到.证a,A,,,,lima,A||nn,,na，AAn
毕.
范文二：重要极限的证明
重要极限?的证?明? 重要?极限?的证?明?
?
重要?极限?的证?明极?限是?e ?
a0? ?
在n?比较大?时，?n)?^n?&l??t;=?原式?<?;=?^n? ?取?极限后，?e?》=?原式的?上极?限》?=?原式的?下极?限》?=e?^ ?
由?a的任??意性，得? ?
极限为?e ?
利用?极限?存在??准则证明?:?
当?x趋近??于正无穷?时，?的极?限为?0;? ?证明数?列?{Xn??}，其中?a0?，?Xo0?,X?n=?2,?n=?1,?2,??收?敛，?并求?其极?限。??
1)?用夹逼?准则?: ?
x?大于?1时?,ln?x0?,x?^2?0,?故?l?nxx^?20? ?且ln?x1?),?ln??xx^2?&l?t;?x^?2.?而?x^2??极限为?0 ?故的极?限为?0 ?
2)?用单?调有?界数?列收?敛?: ?
分三种?情况??,x0=??a?时?,显然?极限?为??a ??x0?a?时?,Xn?-X?=2?&l?t;??0,单调?递减? ?且Xn?=2??a?,???a为数列?下界?,?则极限?存在?. ?设数?列极?限为?A,?Xn?和?X极限?都为?A.? ?对原始?两边?求极?限得?A=?2.?解得?A=??a? ?同理可?求?x0&?lt??;?a?时,?极限亦?为??a ?综上?,?数列极?限存?在?,且为???
时函?数的?极限?:?
以? 时? 和? 为例??引入. ?
介绍?符号?: ?的意?义?, ?的直观?意义?. ?定义? ?
几何?意义?介绍??邻域 ?其中? 为充?分大?的正?数?.?然后用这?些邻??域语言介?绍?
几何意?义?. ?
例1?验证? 例?2验证? ?例3?验证? 证? ??? ?
时函数?的极?限:??
由 ?考虑? 时的?极限?引入?. ?
定义?函数?极限?的“? ?”定义?. ?
几何?意义??.
用定?义验?证函?数极?限的?基本?思路?. ?
?例4 ?验证? 例?5 ?验证? ?例6验证? ?证 ?由 =? ?为使? 需有? ?为使? 需有? ?于是?, ?倘限制? ,? ?就?有 例?7验证? ?例8?验证? 单侧?极限?: ?
1.?定义??:单侧极?限的?定义?及记?法?. ?
几何意??义: ?介绍半?邻域? ?然后介?绍? ?等的几何?意义?. ?例?9验证? ?证 ?考虑使? ?的 2?.?单侧极?限与?双侧?极限?的关?系?:? Th?类似有?: ?例?10?证明?: ?极限? 不存?在?.? 例11?设函?数? 在点? ?的某邻?域内??单调. ?若? 存在?, ?则有? ?= ??2 ?函数?极限?的性?质?
教学?目的?:使?学生?掌握?函数?极限?的基?本性?质。? ?教?学要求:?掌握?函数?极限?的基?本性?质:?唯一??性、局部?保号?性、?不等?式?
性质以?及有?理运?算性?等。? ?
教学重?点:?函数?极限?的性??质及?其计算。? ?教学难?点:?函数?极限?性质?证明?及其?应用?。? 教学?方法?:讲?练结??合。 ?
?
? ?一、组?织教?学:??
我们引?进了?六种?极限?: ?, ?.?以?下以极限? ?为例讨?论性??质. ?均给出?证明?或?
简证?. ?
?
? ?二、讲?授新?课:? ?
函数极?限的?性质?:?以下性?质均?以定?理形?式给?出?. ?1.?唯一性?: ?
2.?局部?有界?性?: ?
? 3?.?局部保?号性?: ?
?
?4.?单调?性?: ?
Th ?4?若? 和 ?都存在?, ?且存?在点? ?的空心?邻域?,?使 ?， ?都有? 证? 设? = ? ?註:?若在?Th ?4?的条件?中?, ?改“ ?”为?“ ??”, ?未必就?有? 以? 举例?说明?. ?
?
?5.?迫敛?性?: ?
? 6?.?四则运?算性?质?: ?
利用极?限性?质求?极限?:? 已证?明过?以下?几个?极限?:?
?
这些极?限可?作为?公式?用?. ?在?计算一些??简单极限?时?, ?有五组?基本?极限??作为公式?用?,我们?将陆?续证?明这?些公?式?. ?
利用极?限性?质，?特别?是运?算性?质求?极限?的原??理是:通?过有?关性??质, ?把?所求极限?化为?基本?极限?,?代入基?本极??限的值?, ?即计算?得所?求极?限?. ?例1 ?
例?2例?3註?:关于? ?的有理?分式?当? 时的?极限?. ?
例?4 ?
例?5例?6例?7 ?
?
范文三：重要极限的证明
1. 求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n, Sol:复数方法：
复数方程 z^(2n＋1) ＝1的根是 a1，a2，a3，... ，a(2n)，1。
其中，ak ＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k ＝1，2，... ，2n 。 所以，ak ＝(a1)^k
所以，z^(2n＋1) －1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1) ，即
(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1) －1)/(z－1) ＝z^(2n)＋z^(2n－1) ＋... ＋z ＋1。
两边令z ＝1，并取模，则：
|1－a1|×|1－a2|×...... ×|1－a2n|＝2n ＋1......... （*)
因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1)) ＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2×sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得：
2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝2n ＋1。
所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n
2. 三角函数
求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ
/(2n+1))=√(2n +1)/2^n.
证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1))=√(2n +1)/2^n
设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1)
则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n
得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n)
2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜... ｜(1-z^2n)｜...(1)
又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1)...(2)
|1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )|
=|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )|
=√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1))) =√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) )
=√(4sin^2(kπ/(2n+1))
=2sin(kπ/(2n+1)
故
2n+1 =( n(π/(2n+1)). n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........ n(2nπ/(2n+1)) 两边开方, 得
sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1)) =√(2n+1) / 2^n
另外那个类似, 可以尝试自己证一下.
3. 为什么sin π／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n?
解：2 sin [π／(2n)]·sin(π／n)= cos [π／n -π／(2n)]- cos [π／n +π／(2n)]= cos [π／(2n)]- cos [3π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(2π／n) = cos [2π／n -π／(2n)]- cos [2π／n+π／(2n)]= cos [3π／(2n)]- cos
[5π／(2n)]2 sin [π／(2n)]·sin(3π／n)= cos [3π／n -π／(2n)]- cos [3π／n +π／(2n)]= cos [5π／(2n)]- cos [7π／(2n)]……2 sin [π／(2n)]·sin[(n-1)π／n]= cos [(n-1)π／n -π／(2n)]- cos [(n-1)π／n +π／(2n)]= cos [(2n-3）π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]
故：2 sin [π／(2n)] ·｛sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]｝= cos [π／(2n)]- cos [(2n-1)π／(2n)]= cos [π／(2n)]- cos [π-π／(2n)]=2 cos [π／(2n)]
故：sin(π／n)+sin(2π／n)+......+sin[(n-1)π／n]= cos[π／(2n)]/ sin
[π／(2n)]= cot [π／(2n)]
4. 级数sin n/(n+1)收敛还是发散, 如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛, 为什么? Sol:收敛,Dirichlet 判别法. 这是最典型的一个用Dirichlet 判别法判别收敛的例子.sinn 的部分和＝[sin1/2(sin1+sin2+...+sinn)]/sin1/2（积化和差公式）＝[cos1/2-cos(2n+1)/2)]/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0, 收敛. 不绝对收敛.|sinn/(n+1)|>=sin^2n/(n+1)=[1-cos(2n)]/2(n+1).类似用Dirichl et 判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛, 但级数1/(n+1)发散, 于是易知不绝对收敛. 建议记住这个典型例子.
o n ln c n +ln c 1
n +... +ln c n 求lim =I . 2x →∞n
2n
n ln o n ln c n +ln c 1+... +ln c =n ln 2-ln n =ln 2-1ln n n n sol :≤ n 2n 2n n
I =ln2
5. 求sin π/n*sin2π/n*…*sin(n-1)π/n的值, 用复数思想
6. 三角函数连乘(正弦) 求证：sin[π/(2n+1)]*sin[2π/(2n+1)]*sin[3π/(2n+1)]*……*sin[nπ/(2n+1)]=(根号下2n-1)/2^n
Sol: 7. 证一般项级数∑sin √(n^2+1)π条件收敛
Sol:∵sin √(n2+1)π =[(-1)^n]sin[√(n2+1)π-n π]
=[(-1)^n]sin[√(n2+1)-n]π
=[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π
lim(n→∞)[sin{1/[√(n2+1)+n]}π]/(1/n) =lim(n→∞)n π/[√(n2+1)+n]
=π/2
∴∑sin{1/[√(n2+1)+n]}与∑1/n有相同的敛散性, 即∑sin{1/[√(n2+1)+n]}π发散 lim(n→∞)sin{1/[√(n2+1)+n]}π=0,且sin{1/[√[(n+1)2+1]+(n+1)]}π≤sin{1/[√(n2+1)+n]}π
由莱布尼兹判别法知lim[(-1)^n]sin{1/[√(n2+1)+n]}π收敛
∴原级数条件收敛
其他回答:sin √(n^2+1)π=(-1)^n sin(√(n^2+1)π+nπ)
再利用分子有理化可得：(-1)^n sin(π/[根号(n^2+1)+n])
利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。
而它的绝对值级数可以等价为：sin(π/[根号(n^2+1)+n])~π/[根号(n^2+1)+n]~1/n即发散。
9.Sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 这等式怎么证? 大概要从哪个方面入手? sin(π/n) ×sin(2π/n) ×sin(3π/n) ×…×sin[(n-1)π/n]=n×2^(1-n) 用复数
w=cos(2π/n)+isin(2π/n)
w'=cos(2π/n)-isin(2π/n)
z^n=1
(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1)=0
z^(n-1)+z^(n-2)＋……＋z+1=(z-w)(z-w^2)(z-w^3)……（z-w^(n-1)） 令
z=1
n ＝(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1)）
1-w^k=2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)
|1-w^k|=|2sinkπ/n(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n||(sinkπ/n+icoskπ/n)|=|2sinkπ/n|=2sin(kπ/n)
取模
|n|＝|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^(n-1))|
|n|＝|(1-w)||(1-w^2)||(1-w^3)|…|(1-w^(n-1))|
n=2^(n-1)sin(π/n)sin(2π/n)……sin[(n-1)π/n]
得证
范文四：数列极限的证明
数列极限?的证?明?
数列?极限?的证?明?
A ?
以此??类推，改?变数?列下?标可?得? |X?n-?A|?&l?t;?|X?n-?1-?A|?A ?; ?
|X?n-?1-?A|?&l?t;?|X?n-?2-?A|?A;? ?……?
|X?2-?A|?&l?t;?|X?1-?A|?A;? ?
向上迭?代，??可以得到?|X?n+?1-?A|?&l?t;?|X?n-?A|??
2 ?
只要证?明?{x}?单调?增加?有上?界就?可以?了。? ?
用数学?归纳?法:? ?
??证?明?{?x}单调?增加?。? x=??=??5?x;? ?
设xx??，则 ?
x-x?)=???-??
=?【?+??】??0。 ?
??证?明?{x}?有上?界。? ?x?=1&l?t;? ?
?4?， ?
设x&?lt?; ?
? 4?，则? ?
x=??&l?t;??&?lt?;4??。
3 ?
当?0 ?
当0 ?
构造?函数?f=?x*?a^?x=?x*?^x?=x?t^?x ?则:? ?
lim?f=??limx?t^?x ?
=l?im? ?
=li?m1? ?
=1 ?
=0? ?
所以，?对于?数列?n*?a^?n?，其极?限为?0 ?
4 ?
用数?列极?限的?定义?证明? ?
? 3?.?根据数?列极?限的?定义?证明?:?
li?m=?0 ?
n????
li?m=?32? ?
n??? ?
lim?=0? ?
n??? ?
lim?0.?99?9…?9=?1 ?
n??? ?n?个9 ?
5?几道数?列极?限的?证明?题，?帮个?忙。?。?Lim??就省略不?打了?。。? ?
n=0? ?
?n=?1 ?
si?n=?0 ?
实质?就是?计算?题，?只不?过题?目把?答案?告诉?你了?，你?把过??程写出来?就好??
了
第一?题，?分子?分母?都除?以?n，把?n?等于无?穷带?进去??就行 ?
第二题?，利?用海?涅定?理，?把?n换成?x?，原题?由数?列极?限变?成函?数极?限，??
用罗比达?法则? ?
第三题?，?n趋于?无穷?时?1n=?0?，si?n=??0 不知?楼主?觉得?我的?解法?对不?对呀?li?mn?=l?im?=l?im?=0?1=?0 ?li?m??n=?li?m??=??1+?li??m=?1?+4?li?m=?1 ?
li?ms?in?=l?im?=l?im?*l?im?=0?*1?=0? ?
?
范文五：极限的证明
极限的证明利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,?收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)>
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<>
且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.
对原始两边求极限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a
同理可求x0<>
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以 时 和 为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义 ( 和 . )
几何意义介绍邻域 其中 为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证 例2验证 例3验证 证 ??
(二)时函数的极限：
由 考虑 时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证 例5 验证 例6验证 证 由 =
为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7验证 例8验证 ( 类似有 (三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域 然后介绍 等的几何意义.
例9验证 证 考虑使 的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限 不存在.
例11设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
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