空巢老人-
范文一：方向导数求二元函数值
第２４卷第３期
２００８年６月大学数学Ｖ０１．２４，№．３Ｊｕｎ．２００８ＣＯＩ。Ｉ。ＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
二元函数极值问题的新评注
蒋良春
（桂林空军学院教研部．广西桂林５４１００３）
［摘要］对二元函数的极值判定条件进行了新的补充分析，给出了临界情形下的又一充分条件，并做了
简明的证明．
［关键词］二元函数；极值；正定性；临界条件
［中图分类号］０１７２．１［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２—１４５４（２００８）０３—０１７２—０４
１引言
函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作．近年来，有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论．从教科书中的满足Ａ＝Ｌ厂。一只，＞０的二阶连续可导的函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）的驻点（ｚ。，Ｙ。）是极值点的基本判定定理出发，建立了一系列不同的或更细致的判别方法．
文［１—３］利用微分中值定理、一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理．另一方面，对于光滑性较好的驻点在△一０的临界情形下的极值判定也有许多结论．文Ｅ４３给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果，并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法；文［５］建立了临界情形下，二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件，并利用文Ｅ９３关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件，直接给出了四阶导数判断极值的简明方法．对于Ａ＝０且二阶导数不全为零的情形下极值的充分条件的讨论，文Ｅ６３给出了利用关联的一元函数是否为极值的判定方法；文Ｅ７３的方法则是利用周边点的一阶导数符号进行判断，与文［３］有相似之处．
２主要结果
２．１利用方向导数判断多元函数的连续点是否为极值点
定理１设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在点（工。，Ｙ。）的某邻域Ｄ内连续，且有连续的偏导数（（ｚ。，Ｙ。）可
．Ｉ例外）．
（ｉ）若对Ｖ（ｚ，ｙ）≠（ｚ。，ｙ。）∈Ｄ，ｆ一｛．．ＴＯ－－ｚ，ｙ。一３，｝，恒＿伺可ａ／ｌ，
］ｆ、＞ｏ，则（ｚ。，ｙｏ）是极大值点；
（ｉｉ）若恒有并ｌ，、ｄ０，则（ｚ。，Ｙｏ）是极小值点?
证记ｇ（口）一，（ｚ＋Ｏ（ｘ。一工），ｙ＋口（ｙ。一ｙ））为点（ｚ，了）和（工。，Ｙ。）连线段上的点的二元函数值（ｏ≤《１），则ｇ（ｏ）＝，（ｚ，ｙ），ｇ（１）一ｆ（ｘ。，Ｙ。）．由函数ｆ（ｘ，ｙ）的连续性知ｇ（口）在闭区间［ｏ，１］连续．由函数ｆ（ｘ，ｙ）在去心邻域Ｄｏ偏导数连续知ｇ（口）在开区间（ｏ，１）可导，则
ｇ’（日）＝Ｌ（ｚ＋疗（ｚｏ－－ｘ），ｙ＋口（弘－－ｙ））?（ｚｏ－－ｘ）＋＾（ｚ＋口（工ｏ－－ｘ），ｙ＋口（ｚｏ－－ｘ））?（ｙｏ－－ｙ）［收稿日期］２００６—０４—１１
第３期蒋良春：二元函数极值问题的新评注１７３
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“‘Ｉ（』＋烈ｒｏ—ｊ）?ｙ＋８（ｙｏ—ｙ））
条件（ｉ）下，ＶＯＥ（Ｏ，１），９７（口）＞０．由微分中值定理．了吼∈（Ｏ，１），使得ｇ（１）一ｇ（Ｏ）＝ｇ’（００）（１～０）＞０，即ｆ（ｘ。，ｙ。）＞厂（ｚ，ｙ）．由点（ｚ，ｙ）的任意性知（ｚ。，Ｙ。）是极大值点．类似可证（ｉｉ）．
推论设行元函数ｆ（Ｐ）在点Ｐ。的某邻域Ｄ内连续，且有连续的偏导数（Ｐ。可例外）．
（ｉ）若对ｖＰ≠Ｐ。∈Ｄ，ｆ一瓦芪，恒有等ｌ＞ｏ，则Ｐ。是极大值点；口‘ＩＰ
１ｒ
（ｉｉ）若恒有。可ｊＩＯ，则（工ｏ，ｙｏ）是极值点，ａ０２＞Ｏ时极小，口０２ｏ。则（ｚｏ，ｙｏ）是极值点，口２０＞ｏ时极小，口２０Ｏ时，ｎ。。＞Ｏ．由２一ｆ（ｘ，ｙ）四阶偏导数连续知，（ｚ。，Ｙ。）充分小邻域内ｇ。＞Ｏ，口ｔ。（口）＞Ｏ，从而上式正定，（ｚ。，Ｙ。）是极小值点；口。２ｏ时，（ｚｏ，Ｙ。）是极值点，ｂ。。＞ｏ时极小，ｂｏｚ口４０ａ２２；
②口孔＞ｎ０４ａ２２；
③ａ４０＋４ａ３ｌ＋６ａ２２＋４ａ３ｌ＋ｎ０４＞Ｏ；
④△ｌ＝，３—２７Ｊ２＞Ｏ，
ｎｔ。口。－
其中Ｉ＝口。口。。一４口。，口。。＋３ｎ；：，．，＝Ｉ口。，
Ｊ以２２
ｙ。）是极大值点．
３口ｚｚ口】３ｉ三１．将条件③不等号反向，①，②，④条件不变，ｃ工。，结束语
定理２的（Ｉ）中的条件ａ。。＝０和ａ。。?ａ。。＞０充分而且必要，但条件ａ。。＝０充分却不必要．当口：。≠Ｏ，还需要再判断，如下例．
例讨论函数ｆ（ｘ，ｙ）一ｙ２一ｚ２ｙ＋ｚ４一ｚ５和ｇ（ｘ，ｊ，）＝ｙ２—２２２ｊ，＋ｚ４一ｚ５的驻点（Ｏ，Ｏ）是否为极
Ｘ值点．解对函数ｆ，ａ。２＝２＞０，ａ３０一０，ａ。ｏ?ａ。２＝２４２＞０，但ａ２ｌ＝一２≠０．使用配方法易知ｆ（ｚ，ｙ）
＝（，一ｚ２／２）２＋ｚ４（３／４－－ｘ）在（ｏ，０）的充分小邻域正定，（０，０）是极小值点；而对函数ｇ，ａ。２＝２＞０，口３０＝０，以。。?ａ０２＝２４×２＞０，类似０２ｌ＝一４≠０．考察曲线ｙ—ｚ２上的函数值ｇ（ｘ，ｚ２）＝一一左正右负，不定，所以（Ｏ，Ｏ）不是函数ｇ的极值点．
对于△＝０，口２。＝（【１１—０，ａ。２Ｓｏ，ａ３。＝０，口４０?ａ０２＞ｏ，但ａ２ｌ≠０的情形，利用与定理２类似的方法不难得到进一步的判断条件，本文不再赘述．
定理２的（１Ｉ）中的条件ａ。。一０和定理３中的条件ｂ：。＝ｏ的情况一样．
［参考文献］
蔡生．多元函数极值的一个判别法［Ｊ］．辽宁教育学院学报。１９９７，１４（５）：１１一１３．
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口ｌ竺Ｊ凹］］ＬｉｎｇＳｈｅｎｇ—ｚｈｉ．Ａｒｅｍａｒｋｏｎｔｈｅｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｂｉｎａｒｙｑｕａｒｔｉｃｆｏｒｍ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＱｕａｒｔｅｒｌｙＪｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｅｓ，１９９９，１４（１）：４３—４６．
第３期蒋良春：二元函数极值问题的新评注１７５
ＡＮｅｗＲｅｍａｒｋｏｎＥｘｔｒｅｍｅＶａｌｕｅＰｒｏｂｌｅｍｏｆＢｉｖａｒｉａｔｅＦｕｎｃｔｉｏｎｓ
‘ＪＩＡＮＧＬｉａｎｇ—ｃｈｕｎ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＴｅａｃｈｉｎｇａｎｄＲｅｓｅａｒｃｈＧｕｉｌｉｎＡｉｒｆｏｒｃｅＡｃａｄｅｍｙ，Ｇｕｉｌｉｎ５４１００３．Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｉｎｗｈｉｃｈｐａｐｅｒａｉｓｍａｉｎｌｙｄｅｖｏｔｅｄｔｏｐｒｏｖｉｄｅａｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｅｘｔｒｅｍｅｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｂｉｖａｒｉａｔｅｃａｓｅｎｅｗｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｃｏｎｃｉｓｅｐｒｏｏｆｗｈｅｎｃｒｉｔｉｃａｌｉｓｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｘｔｒｅｍｅｖａｌｕｅ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｄｅｆｉｎｉｔｅ；ｃｒｉｔｉｃａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎ
二元函数极值问题的新评注
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：蒋良春， JIANG Liang-chun桂林空军学院,教研部,广西,桂林,541003大学数学COLLEGE MATHEMATICS2008,24(3)1次
参考文献(9条)
1. Ling Sheng-zhi A remark on the positive definite problem of a binary quartic form 1999(01)
2. 金秀玲 多元函数极值判别法的推广[期刊论文]-宁德师专学报(自然科学版) 2002(02)
3. 曹恒 二元函数极值的充分条件的一点补充[期刊论文]-衡阳师范学院学报 2004(03)
4. 林志周 对二元函数f(x,y)当△=B2-AC=0时极值的探讨 1998(04)
5. 王建梅;张春苟 二元函数极值充分条件的评注[期刊论文]-工科数学 2002(06)
6. 吴崇俭;李伟 二元函数极值的高阶判别法 1995(01)
7. 孙静;杨文杰 关于fxxfyy-fxy2=0时函数f(x,y)的极值的一个注记[期刊论文]-辽宁工学院学报 2004(03)
8. 赵亚明;杨玉敏 多元函数极值的一种新方法[期刊论文]-鞍山师范学院学报 2003(04)
9. 蔡生 多元甬数极值的一个判别法 1997(05)
引证文献(2条)
1. 吴玉海. 冯志刚 多元函数极值充分性定理的另一证明[期刊论文]-甘肃联合大学学报（自然科学版） 2010(6)
2. 吴玉海. 冯志刚 多元函数极值充分性定理的另一证明[期刊论文]-甘肃联合大学学报（自然科学版） 2010(6)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200803037.aspx
范文二：分段函数求导数
第1卷第2期
Vol．1No．2吕梁学院学报Journal of Lvliang University 2011年4月Apr．2011·数学与计算机科学·
分段函数求导数
闫元朝
（吕梁学院离石师范分校，山西离石033000）
摘要：在求分段函数的导数时，分段点处最容易出错．常见的错误是先对分段函数的表达式分别求导数，然
后将分段点的值代入分段导数表达式和对分段导数在分段点求极限来判断，但在一定条件下是正确的．
关键词：分段函数；分段点；导数
中图分类号：O13文献标识码：A 文章编号：2095－185X （2011）02－0021－03
例1设函数f （x ）={x +x 3，x ＞0，求f' （x ）．xe x ，x ≤0．
（x +x 3）' =1+3x 2；解一当x ＞0时，
（xe x ）' =e x +xe x ；当x 0，x +xe x ，x ≤0．x =0322由（x +x ）' =1+3x 可得f' +（0）=（1+3x ）|=1：由（xe x ）' =e x +xe x 可得f' －（0）=（e x =1；因为f' +（0）=f' －（0），所以f' （0）=1；从而f' （x ）=1+3x 2，x ＞0，
x +xe x ，x ≤0．
第一种解法是按照定义而来的，肯定没有问题．对于第二种解法结论是正确的，这是巧合还是必然呢？
32事实上第二种解法是错误的，求出来的（x +x ）' =1+3x 只是x ＞0时的导数，并不包括点x =0．所以不
32x =0左导数也不能直接将x =0代入（xe x ）' =e x +能直接将x =0代入（x +x ）' =1+3x 中求解；同理，
xe x 达式中求解．下面讨论分段函数什么时候可以这么做．
定理1
证明［1］设y =f （x ）在x 0点的某个邻域内有定义，如果f' （x 0）存在，则f （x ）在x 0连续．f （x ）－f （x 0）因为lim f （x ）=lim （x －x 0）+f （x 0）=f' （x 0）·0+f （x 0）=f （x 0），x →x 0x →x 0x －x 0[]
所以f （x ）在x 0点连续．
由上定理可以得到下面定理：
g （x ），x ＞x 0，
定理2设f （x ）=a ，x =x 0，{
h （x ），x 1时，有f' （x ）=3x ；当x 1，，f' +（1）=3，f' －（1）不存在，f （x ）在x =1处不可导．23x ，x x 0，
定理4设f （x ）={a ，x =x 0，
h （x ），x 0，1+x
1+cos x ，x ＜0．
进一步考虑f （x ）在x =0处的导数．现在不利用导数的定义来求解，用上面结论来求．
lim （x +sin x ）=0=f （0），因为lim f （x ）=lim 2ln （1+x ）=0=f （0），x →0+x →0+x →0－
所以f （x ）在x =0处连续．
2=2，f' －（0）=lim （1+cos x ）=2，因为f' +（0）=lim 所以lim f' （x ）=2．x →0x →0+1+x x →0－
f （x ）在x =0处可导，可得，且f' （0）=2．所以
f' （x ）={2，x ≥0，1+x
1+cos x ，x ＜0．
因此，对于常见的分段函数来说，要讨论其分段点处的导数，先看其分段点处是否连续．如果函数在分段点处不连续，当然不可导，还要进一步考虑分段点左导数和右导数．用本文的结论能为我们对分段函数求导数提供新的思路并加深理解．
参考文献：
［1］M ］．北京：高等教育出版社，2008．刘玉琏．数学分析（上）［
［2］M ］．北京：高等教育出版社，2001．华东师范大学数学系．数学分析（第3版）上［
［3］M ］．北京：高等教育出版社，2004．吴良森．数学分析学习指导（上）［
23
范文三：分段函数求导数
分段函数求导数 1220114V
ol.1No.2JournalofLvliangUniversit?Apr.2011
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范文四： 求分段函数的导数
求分段函数的导数
例 求函数的导数
2．；
3．；
4．
说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．
求函数的导数
例 求下列函数的导数．
1．；2．；
3．；4．{ EMBED Equation.3 |y =x +x 2。 分析：必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解：1．解法一：设，则
解法二：
2．解法一：设，则
解法二：
3．解法一：设，则
解法二：
4．解法一：设，则
解法二：
说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．
求复合函数的导数
例 求下列函数的导数（其中是可导函数）
1．；2．
1．；2．
分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。
解：1．解法一：设，则
解法二：
2．解法一：设，则
解法二：
说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。其次应重视与的区别，前者是对中间变量的求导，后者表示对自变量x 的求导．
范文五：求分段函数的导数
清华园教育网 www.qhyedu.com 求分段函数的导数
1,2xxsin,,0,例 求函数的导数 fx(),x,
,x0,,0,
,,分析:当时因为存在，所以应当用导数定义求，当时，的f(0)f(0)f(x)x,0x,0
12关系式是初等函数xsin，可以按各种求导法同求它的导数( x
12xsinfxf(),(0)1x,解:当时， fx(0),lim,lim,limsin,0x,0,x,0,x,0,x,0xxx
当时，x,0
111111112222,,,,f(x)(xsin)(x)sinx(sin)2xsinx(cos)2xsincos ,,，,，,,,2xxxxxxxx
x说明:如果一个函数g(x)在点连续，则有，但如果我们不能断定g(x),limg(x)00x,x0
,,x,0f(x)的导数f(x)是否在点连续，不能认为( f(0),limf(x)0x,0
指出函数的复合关系
例 指出下列函数的复合关系(
nm3xy,(a，bx)1(;2(; y,lne，2
12y,3log(x,2x，3)3(;4(y,sin(x，)。 2x
分析:由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程(
解:函数的复合关系分别是
mny,u,u,a，bx1(;
xy,lnu,u,3v,v,e，22(;
u2y,3,u,logv,v,x,2x，33(; 2
13y,uu,vv,x，,sin,.4( x
说明:分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果(
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求函数的导数
例 求下列函数的导数(
1134y,1(;2(; y,(2x,x，)2x1,2x
,223(;4(。 y,sin(2x，)y,x1，x3
分析:选择中间变量是复合函数求导的关键(必须正确分析复合函数是由哪些基本函数
经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系(要善于把一部分量、式子暂时当作一个
整体，这个暂时的整体，就是中间变量(求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，
而其中特别要注意中间变量的系数(求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数(
134 解:1(解法一:设，则 u,2x,x，,y,ux
11132332,,, y,y,u,4u,(6x,1,),4(2x,x，)(6x,,1).xux22xxx
,43,，，111,,,,,,333,解法二: y,2x,x，,42x,x，,2x,x，,,,,,,,,xxx,,,,,,,,，，
11,,,,324261.,x,x，x,, ,,,,2xx,,,,
1,22,y,u,u,1,2x2(解法一:设，则
3,,,12,,,,,，，y,y,u,,u,,4xxux,,2,,
3,122，，，， ,,1,2x,4x2
3,22，， ,2x1,2x
2x ,.22(1,2x)1,2x
,,1,,,1，，22,,,解法二: y，，12x,,,,,,,212x，，,,,
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3,,1222，，,,(1,2x),1,2x2
3,122,,(1,2x),(,4x)2 3,22,2x(1,2x)
2x.,22(1,2x)1,2x
,2,sin,23(解法一:设，则 y,uu,vv,x，3
,,,,y,y,u,v,2u,cosv,2xuvx
,,,,,, ,2sin2x，,cos2x，,2 ,,,,33,,,,
,2,, ,2sin4x，.,,3,,
,,，,，,，,，,,,,,,2,解法二:yxxx ,sin2，,2sin2，,sin2，,,,,,,,,,,333,,,,,,，，，，
,,,,,,,,,, ,2sin2x，,cos2x，,2x，,,,,,,333,,,,,,
,,,,,, ,2sin2x，,cos2x，,2 ,,,,33,,,,
,2,, ,2sin4x，. ,,3,,
1242242y,u,u,x，x4(解法一:设，则 y,x1，x,x，x.
1,132,,,y,y,u,u,x，x(24)xux2
1,12432 ,(x，x),(2x，4x) 2
322x，2xx(1，2x)1，2x ,,,.2422x，xx，x，x11
222,,,,解法二: y,(x1，x),x,1，x，x(1，x)
22x，x122 ,，x，, 1.22，x，x11
说明:对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，
不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运
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清华园教育网 www.qhyedu.com 算(学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导(
求复合函数的导数
例 求下列函数的导数(其中是可导函数) f(x)
1,,2y,f1(;2( y,f(x，1).,,x,,
分析:对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。
1解:1(解法一:设y,f(u),u,，则 x
111,,,,,,,,().y,y,u,fu,,,,f ,,,,xux22xxx,,,,
,,，，11111,,,,,,,,,,,解法二:.y,f,f,,,f ,,,,,,,,,,2xxxxx,,,,,,,,，，
2y,f(u),u,v,v,x，12(解法一:设，则
1,12,,,,,y,y,u,v,f(u),v,2xxuux2
112, ,f(xx，1),,2x22x，1
x2, ,f(x，1).2x，1
,222,,,,,(1)(1)(1)y,fx，,fx，,x，解法二:
1,12222,,,,f(x，1),(x，1),(x，1)2
1,222,,f(x，1),(x，1),2x.
x2,,f(x，1).2x，1
说明:理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，
,f(,(x))导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。其次应重视与
,,(x)的区别，前者是对中间变量的求导，后者表示对自变量x的求导( ,,,f((x))
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