孤独是种安全感i
范文一：53.以圆锥曲线的弦为直径圆的方程求法与应用
[中国高考数学母题一千题](第0001号)
愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)
以圆锥曲线的弦为直径圆的方程求法与应用
构造一元二次方程,合成圆的方程
求以直线与二次曲线的两个不同交点为直径两端的圆方程是高考的一个热点问题,通过构造一元二次方程,可合成该圆的方程;应用它求该圆的方程,思路清晰,步骤简练,别具一格.
22[母题结构]:设直线l:y=kx+m(k?0)与圆锥曲线G:ax+cy+dx+ey+f=0交A、B两点,求以线段AB为直径的圆的方程.
22222[母题解析]:由y=kx+m与ax+cy+dx+ey+f=0联立,消去y得:(a+ck)x+(2ckm+d+ek)x+cm+em+f=0…?;消去x得:(a+ 22222ck)y+(dk+ek-2am)y+am-dkm+kf=0…?;由?+?即得以线段AB为直径的圆的方程;证明如下:设A(x,y),B(x,y),则1122
22222ckm，d，ekdk，ek,2amcm，em，fam,dkm，kfx,x是方程?的两根x+x=-,xx=;由y,y是方程?的两根y+y=-,yy=; ,,1212121212122222a，cka，cka，cka，ck
222222又由以线段AB为直径的圆:(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0(a+ck)x+(a+ck)y+(2ckm+d+ek)x+(dk+ek-2am)y+cm+em+f ,1212
22+am-dkm+kf=0.
1.应用圆的方程 22 子题类型?:(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x-y=1的右支交于不同的两点A、B. (?)求实数k的取值范围;
(?)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F,若存在,求出k的值;不存在,说明理由.
2222[解析]:(?)设A(x,y),B(x,y),将y=kx+1代入2x-y=1得(2-k)x-2kx-2=0;所以,直线l与双曲线C的右支交于不同1122
2k22222的两点A、B2-k?0,Δ=4k+8(2-k)>0,x+x=>0,xx=->0k的取值范围是(-2.-); ,,1212222,k2,k
222222222(?)将y=kx+1代入2x-y=1消去x得(2-k)y-4y+2-k=0,与(2-k)x-2kx-2=0相加得以线段AB为直径的圆:(2-k)x+(2-
66，66,62222622k)y-2kx-4y-k=0,由右焦点F(,0)在圆上5k+2k-6=0k=-?(-2.-),或k=(-2.-). ,,,255[点评]:对以圆锥曲线的弦为直径的圆过某点的问题,可用母题方法写出圆的方程,再把某点代入求解.
2.巧用圆的方程
22xy, 子题类型?:(2010年大纲卷?高考试题)己知斜率为1的直线l与双曲线C:=1 22ab
(a>0,b>0)相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(?)求C的离心率;
(?)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF||BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
2224axy2222222,[解析]:(?)设B(x,y),D(x,y),由l:y=x+2,代入=1得:(b-a)x-4ax-4a-ab=0x+x==2e=2; ,,1122122222abb,a
222(?)不妨设x?-a,x?a,则|BF|=a-2x,|DF|=2x-a,|DF||BF|=-4xx+2a(x+x)-a=5a+4a+8;由|DF||BF|=17,5a+4a 12121212
792222+8=17,a=1,A(1,0),双曲线C:3x-y=3将y=x+2代入,消去y得:x-2x-=0…?;消去x得:y-6y+=0…?;由?+?22
22,得:x+y-2x-6y+1=0,此即为以线段BD为直径的圆的方程;又点A在此圆上过A、B、D三点的圆与x轴相切于点A. [点评]:巧用以圆锥曲线的弦为直径的圆是母题应用的精到之点,而以圆锥曲线的弦为直径的圆可直接写出.
3.妙解垂直问题
2 子题类型?:(2000年北京、安徽春招试题)如图,设点A和B为抛物线y=4px(p>0)上原点以外 的两个动点,己知OA?OB,OM?AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
22222[解析]:设直线AB:x=ty+a(a?0),代入y=4px,消去y得:x-2(a+2pt)x+a=0…?;消去x得:y-4pty
2222-4pa=0…?;由?+?得:x+y-2(a+2pt)x-4pty+a-4pa=0,此即为以线段AB为直径的圆的方程;由OA?OB原点0在此,
2圆上a-4pa=0a=4p直线AB恒过定点N(4p,0);又由OM?AB点M的轨迹是以ON为直径的圆(去掉坐标原点),其,,,,
22222方程为(x-2p)+y=4p(x+y?0).
[点评]:若A、B是圆锥曲线C上的两点,对满足PA与PB垂直的问题,均可用以圆锥曲线的弦为直径的圆获得巧妙解决.
4.子题系列: 21.(2004年同济大学保送生考试数学试题)设抛物线y=x-(2k-7)x+4k-12与直线y=x有两个不同的交点,且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖,试问:实数k应满足什么条件,
22xy32.(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,其左焦点F到渐近线的122ab
2距离为.(?)求双曲线C的方程;
(?)若过点D(2,0)的直线l交双曲线C于A、B两点,且以AB为直径的圆过坐标原点O,求直线AB的方程.
2y23.(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)如图所示,过双曲线x-=1的中心O作两条互 4
相垂直的射线,交双曲线于A、B两点.试求:(?)弦AB的中点P的轨迹方程;
(?)双曲线的中心O到直线AB的距离.
2x24.(2013年全国高中数学联赛四川预赛试题)已知点B(0,1).P、Q为椭圆+y=1上异于点B的 4
任意两点,且BP?BQ.(?)若点B在线段PQ上的射影为M,求M的轨迹方程;
(?)求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围.
5.子题详解:2221.解:由y=x与y=x-(2k-7)x+4k-12联合,消去y得:x-(2k-6)x+4k-12=0,?=(2k-6)-4(4k-12)>0k<3,或k>7;消去x,
222222得:y-(2k-6)y+4k-12=0以交点为直径端点的圆:x+y-(2k-6)x-(2k-6)y+8k-24=0(x-k+3)+(y-k+3)=2k-20k+42 ,,,
3232323220<2k-20k+42?15-?k?5+.综上,k?[5-,3)?(7,5+].>
2y2322.解:(?)由焦点到渐近线的距离=bb=,又由e=a=1双曲线C:x-=1; ,,,2
2y222222(?)设直线l:x=ty+2,与双曲线C:x-=1联立,并消去x得:(2t-1)y+8ty+6=0,并消去y得:(2t-1)x+4x-4-2t=0以,2
222222AB为直径的圆:(2t-1)x+(2t-1)y+4x+8ty+2-2t=0;由该圆过坐标原点O2-2t=0t=1直线AB:x=y+2. ,,,,,
222223.解:设A(x,y),B(x,y),直线AB:y=kx+t,将直线AB与双曲线联立,消去y得:(4-k)x-2ktx-t-4=0;消去x得:(4-k)y- 1122
22222222228ty+4t-4k=0以AB为直径的圆:(4-k)x+(4-k)y-2ktx-8ty+3t-4-4k=0;由该圆过坐标原点O3t-4-4k=0; ,,
22ktkt4t4tyk4x44xxx22 (?)由圆心P(,),设点P(x,y),则x=,y==k=t=(4-k)=y-3(y-),,,,222244yyyy4,k4,k4,k4,k
|t|234x222222=4[()+1],3(4x-y)=4(16x+y)(x?0);(?)O到直线AB的距离d==. 23yk，1
2222222224.解:设PQ:y=kx+m,与x+4y=4联立,消去y得:(1+4k)x+8kmx+4m-4=0;消去x得:(1+4k)y-2my+m-4k=0,以PQ为直
33222222径的圆:(1+4k)x+(1+4k)y+8kmx-2my+5m-4-4k=0,由该圆过点B(0,1),m=-(1舍去),直线PQ恒过定点N(0,-); 55
3999t2(?)M的轨迹是以BN为直径的圆(除去点B),其方程为x+(y-1)(y+)=0;(?)在x轴上的截距=?[-,]. 2520205(1，4t)
范文二：圆的直径式方程
圆的直径式方程
若圆的直径端点A?x1,y1?,B?x2,y2?，则圆的方程为
?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0
事实上，若设M?x,y?是圆上异于直径端点A、B的点， 由 得，
y?y1y?y2
???1 x?x1x?x2
?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0 ?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0
(1.2) (1.1)
显然A、B也满足上式，所以，以AB为直径的圆的方程为
对于式(1.1)可分解变形为
x2??x1?x2?x?x1x2?y2??y1?y2?y?y1y2?0
x2??x1?x2?x?x1x2?0 y2??y1?y2?y?y1y2?0
而式(1.2)可以看作是两式
(1.3) (1.4)
迭加而成，且每一式中的一次项系数和常数项明确显露出韦达定理特征，据此着眼，对于某些直线与曲线相交问题，可将直线方程代入曲线方程分别得出关于x及y的一元二次方程，然后两式迭加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程.
下面取曲线为圆x2?y2?r2，去直线为y?kx?b?k?0?为例，设直线y?kx?b?k?0?
xb?代入x2?y2?r2，与圆x2?y2?r2有两个交点A?x1,y1?,B?x2,y2?，将y?k消去y
得， 将x?
由韦达定理得，
?1?k?x
2
2
?2bkx?b2?r2?0
(1.5)
y?b222
代入x?y?r，消去x，得， k
?1?k?y
2
2
?2by?b2?r2k2?0
(1.6)
1
2bkb2?r2
x1?x2??,x1x2?2
1?k1?k2
222
2bb?rk
y1?y2?,yy?12
1?k21?k2
所以以AB为直径的圆的方程为
2bkb2?r22bb2?r2k22
x?x??y?y??0 2222
1?k1?k1?k1?k
2
(1.7)
2
范文三：圆的直径式方程
圆的直径式方程
圆的直径式方程 若圆的直径端点，则圆的方程为 AxyBxy,,,，，，，1122
xxxxyyyy,,，,,,0，，，，，，，，1212
AB、事实上，若设是圆上异于直径端点的点， Mxy,，，
由
yyyy,,12 ,,,1xxxx,,12
得，
xxxxyyyy,,，,,,0，，，，，，，，1212
AB、显然也满足上式，所以，以AB为直径的圆的方程为
xxxxyyyy,,，,,,0 (1.1) ，，，，，，，，1212
对于式(1.1)可分解变形为
22 xxxxxxyyyyyy,，，，,，，,0 (1.2) ，，，，12121212
而式(1.2)可以看作是两式
2xxxxxx,，，,0 (1.3) ，，1212
2yyyyyy,，，,0 (1.4) ，，1212
迭加而成，且每一式中的一次项系数和常数项明确显露出韦达定理特征，据此着眼，对于某
y些直线与曲线相交问题，可将直线方程代入曲线方程分别得出关于及的一元二次方程，x然后两式迭加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程.
222ykxbk,，,0ykxbk,，,0下面取曲线为圆，去直线为为例，设直线xyr，,，，，，
222222AxyBxy,,,y与圆有两个交点，将代入，消去ykxb,，xyr，,xyr，,，，，，1122
得，
2222120，，，,,kxbkxbr (1.5) ，，
yb,222x,将代入，消去x，得， xyr，,k
22222120，,，,,kybybrk (1.6) ，，
由韦达定理得，
1
圆的直径式方程
222bkbr,xxxx，,,,,12122211，，kk 2222bbrk,yyyy，,,,12122211，，kk
所以以为直径的圆的方程为 AB
2222222bkbrbbrk,,22 (1.7) xxyy，，，,，,022221111，，，，kkkk
2
范文四：运用圆的直径式方程解题
圆的直径式方程是指如果一个圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2),那么圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
运用圆的直径式方程解答有关的题目,过程简捷、明快,颇具特色.
例1 设F1、F2是椭圆■+■=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求|PF1|∶|PF2|的值.
解析 易知F1(-■,0)、F2(■,0).
(?) 当∠PF2F1=90°时,设P(■,y1),代入椭圆方程解得|y1|=■,于是|PF2|=|y1|=■.
又|PF■|=2a-■=■,
∴ |PF1|∶|PF2|=■.
(?) 当∠F1PF2=90°时,则点P(x2,y2)是F1F2为直径的圆与椭圆在y轴右侧的交点,圆的方程是(x+■)(x-■)+y2=0,和椭圆方程联立解得x2=■.
作PM⊥F1F2于M,则|OM|=■,|MF2|=■,
∴ |PF2|=■=■=2 , |PF1|=6-2=4,
∴ |PF1|∶|PF2|=2.
例2 设A、B是双曲线x2-■=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.
(1) 求直线AB的方程;
(2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
解析 (1) 设A(x1,y1)、B(x2,y2),则N(■,■),KAB=■,kON=■=2.
由x21-■=1,x22-■=1,两式相减得x21-x22=■(y21-y22),
∴ ■=2,解得KAB=1.
故直线AB的方程为y=x+1.
(2) 解方程组y=x+1,2x2-y2=2得A(-1,0)、B(3,4),易得AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由y=-x+3,2x2-y2=2得C(-3-2■,6+2■)、D(-3+2■,6-2■)?郾
以CD为直径的圆的方程为(x+3+2■)(x+3-2■)+(y-6-2■)×(y-6+2■)=0,整理得x2+y2+6x-12y+5=0.?摇 ①
∵ A、B的坐标都是方程①的解,
∴ A、B两点都在圆①上,因而A、B、C、D四点共圆.
例3 已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围.
解析 点A在抛物线上,设抛物线上的点C(t2-4,t)(t≠2),则点B是以AC为直径的圆与抛物线的交点.
如图1,以AC为直径的圆的方程为x[x-(t2-4)]+(y-2)(y-t)=0.
∵ x=y2-4,
∴ (y2-4)(y2-t2)+(y-2)(y-t)=0,即
(y+2)(y-2)(y+t)(y-t)+(y-2)(y-t)=0.
又∵ t≠2,y≠2,
∴ (y+2)(y+t)+1=0,即y2+(t+2)y+(2t+1)=0.
∵ y∈R,
∴ Δ≥0,即(t+2)2-4(2t+1)≥0,解得t≤0或t≥4.
故点C的纵坐标的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).
例4 如图2,设点A和B是抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点. 已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹.
解析 设A(4pt21,4pt1)、B(4pt22,4pt2).
∵ OA⊥OB,
∴ ■?■=-1,
∴ t1t2=-1.?摇?摇 (*)
∵ OM⊥AB,
∴ 点M(x,y)是以OA、OB为直径的两圆异于原点的另一交点,且y≠0,两圆的方程是x(x-4pt21)+y(y-4pt1)=0,x(x-4pt22)+y(y-4pt2)=0.
由方程的解的意义知,t1、t2是关于t的一元二次方程x(x-4pt2)+y(y-4pt)=0,即4pxt2+4pyt-(x2+y2)=0的两实数解.
由韦达定理及(*)有■=1,即(x-2p)2+y2=(2p)2(x≠0,y≠0)为点M的轨迹方程,轨迹是以(2p,0)为圆心,2p为半径的圆(挖去原点)?郾
(编辑 孙世奇)
范文五：深层探究——圆的直径式方程
深层探究——圆的直径式方程
山东 杨道叶 题目:已知两点，求以为直径的圆的方程。 PPPP4,96,3和，，，，1212分析1:从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段的中点，PPC12
。 半径为CP1
解法1:设圆心，半径为， rCab,，，
4693，，， 则由中点坐标公式得ab,,,,5,622
22再由两点间距离公式得， rCP,,,，,,459610，，，，1
22?所求圆的方程为。 xy,，,,5610，，，，
分析2:从图形上动点的性质考虑，由直径上圆周角是直角可知，，PPPPP,12
222这个性质用等式表示就是或，再转化为代数方PPPPPP，,kk,,,1PPPP121212
程。
解法2:设为圆上不同于的任意一点， Pxy,PP,，，12
?直径上圆周角是直角，?， PPPP,12
(1)当的斜率都存在时，， PP,kk,,,112PPPP12
yy,,9322?，?， xyxy，,,，,1012510,,,1xx,,46
22即xy,，,,5610。? ，，，，
P(2)当斜率有一个存在时，有，这时点的坐标是或PPPP,4,3xx,,46或，，12
6,9，它们都满足方程?，又PP4,96,3和的两点坐标也满足方程?， ，，，，，，12
22xy,，,,5610?所求圆的方程为。 ，，，，
222PPPPPP，,解法3:设为圆上任意一点，则， Pxy,，，1212
222222xyxy,，,，,，,,,，,49634693?， ，，，，，，，，，，，，
22化简得， xyxy，,,，,1012510
22?所求圆的方程为。 xy,，,,5610，，，，
结论:一般地，以、为直径两端点的圆的方程为Axy,Bxy,，，，，1122
，此式被称为圆的直径式方程，下面给出证xxxx,,，yyyy,,,0，，，，，，，，1212
明。
证法1:设为圆上任意一点，当点与点不重合时，有。 PPAPB,Pxy,AB或，，
yyyy,,yyyy,,1212又，?，即 ,,,,1kk,,PAPBxxxx,,xxxx,,1212
? xxxx,,，yyyy,,,0，，，，，，，，1212
当点与点重合时，有，显然满足?式; PAxxyy,,,11
当点与点重合时，有，显然满足?式。 PBxxyy,,,22
综上可知，以、为直径两端点的圆的方程为Axy,Bxy,，，，，1122
。 xxxx,,，yyyy,,,0，，，，，，，，1212
xxyy，，,,1212证法2:?为圆之直径端点，?圆心坐标为， ,AB,,,22,,
122圆的半径为， rxxyy,,，,，，，，12122
22xxyy，，122,,,,1212，，?所求圆的方程为， xyxxyy,，,,,，,，，，，,,,,1212，，224,,,,
22即。 xyxxxyyyxxyy，,，,，，，,0，，，，12121212
又可化为。 xxxx,,，yyyy,,,0，，，，，，，，1212点评:证法1是利用求轨迹的一般方法来处理的;证法2易想，但较繁。
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