暗影19931011
范文一：谈1999年中考数学应用题的新特点
谈1999年中考数学应用题的新特点
2000年第2期中学数学27
谈1999年中考数学应用题的新特点
211700江苏省盱眙县中学周以宏
市场经济的大背景,素质教育的大趋势,
使教育领域置身于变革的潮流之中,每年一
度的各地中考数学试卷也随之发生着变化,
其中较为醒目的变化是1999年应用题出现了
新的特点,这些特点主要表现在以下诸方面.
1以国情教育为背景
1999年全国各地中考应用题突破了诸如
行程,浓度,三角测量等传统问题,涌现了许
多国情民意,生产生活,计划决策,存贷利率,
爱心奉献等充满时代气息,贴近生活实际的
问题.处理这些问题的关键是正确地理解一
些名词的意义,熟悉量与量之间的关系.
例1某机关有三个部门,部门有公务
员84人,B部门有公务员56人,c部门有公务
员60人.如果每个部门按相同比例裁减人员,
使这个机关仅留下公务员150人,求C部门留
下的公务员有多少人?
(1999年济南市中考试题)
略解设各个部门按相同比例为%裁
减人员,则有
84(1一%)+56(1一%)+60(1一%)
一150.
解得%一25%.
.
?
.6O(1—25%)一45.
评注本题取材鲜活,是国情教育内容,
具有鲜明的时代特色.
例2不久前,共青团中央等部门发起了
“保护母亲河行动”,某校初三两个班的l15名
学生积极参与,踊跃捐款.已知初三(1)班有
{的学生每人捐了10元,初三(2)班有的
学生每人捐了10元,两班其余学生每人都捐
了5元,两班捐款总额为785元.问两班各有
多少名学生?(1999年南昌市中考试题)
略解设初三(1)班有学生名,初三
(2)班有学生名则有
f+y一115,
11o({+2y)+52+詈)一785.
解得{一10?ty—?
评注本题取材于”保护母亲河行动”
捐款,蕴含着丰富的爱国主义教育素材,气息
浓郁,感染力强.
2以函数建模切入
将实际问题转化为数学问题是解应用题
的关键,而这个转化过程就是数学建模.传统
的中考应用题主要是建立方程模型,而近年
来各地中考试题中越来越多地出现需要建立
函数模型解决的新颖独特的应用题.解答这
类应用题的关键是寻求两个变量的函数关
系,善于用运动变化的观点看问题.
例3甲乙两个仓库要向,B两地运送
水泥.已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调
出8O吨水泥,A地需70吨水泥,B地需l10吨
水泥.两库到,B两地的路程和运费如下表
(表中运费栏”元/吨?千米”表示每吨水泥运
送1千米所需人民币):
(1)设甲库运往A地水泥吨,求总运费
(元)关于(吨)的函数关系式;
(2)当甲,乙两库各运往A,B两地多少吨
水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少?
(1999年呼和浩特市中考试题)
略解(1)若甲库运往A地水泥吨,依
题意,有
一12×20x+10×25(100一)+
12×15(70一)+8×2O(1O+)
一——
30x+39200,
其中0??70.
(2)在上述一次函数中,<0,
.
?
.的值随的增大而减小.
.
?
.当一7O(吨)时,总运费(元)最
省,最省的总运费为37100元.
评注本题是决策类应用题,其原型来
自于1993年宁波市,1996年淮阴市中考应用
题,堪称一道流行的好题.本题的难点在于已
知数据多,很难理清头绪;再者数据间相互制
约,列式也须十~4-T-细.
28中学数学2000年第2期
例4某商场购进一批单价为16元的日
用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,
商场决定提高销售价格,经试验发现,若按每
件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按
每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假
定每月销售件数Y(件)是价格so(元/件)的
一
次函数.
(1)试求Y与之间的关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的
条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月
获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总
利润一总收入一总成本)
(1999年黄冈市中考试题)
略解(1)依题意,设Y一是+b,则
f360—20k+b,
【210—25k+b.
解得{:?
.
.
.Y一一30sc+960(16??32).
(2)每月获得利润
户一(一30sc+960)(so一16)
一一30(so一24)+1920.
.
!
.当一24(元)时,p有最大值,最大
值为1920(元).
评注商品价格的上涨与下跌对所获利
润有直接影响,也是市场经济下经常发生的
事情,无论作为将来可能的经营者还是现在
实际的消费者,对此有所了解是十分必要的.
3探索性在应用题中溶入
传统的中考应用题情境熟悉,条件完备,
结论确定.1999年各地中考应用题出现了一
些探索结论型的开放题,这种”强强联合”使
试题难度增大.解答这类应用题需有较强的
阅读理解能力和掌握一定的探索方法.
例5某单位计划10月份组织员工到H
地旅游,人数估计在10,25人之间.甲,乙两
旅行社的服务质量相同,且组织到H地旅游
的价格都是每人200元.该单位联系时,甲旅
行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅
行社表示可先免去一位游客的旅游费用,其
余游客八折优惠.问该单位应怎样选择,使其
支付的旅游总费用较少?
(1999年安徽省中考试题)
略解设该单位到H地旅游人数为,
选择甲,乙旅行社所需的费用分别为元,
元.则有
Yx一200×0.75一1$0sc,
Y2—200×0.8(一1)一160sc一16O.
(1)若一Y2,解得一16;
(2)若l<Yz,解得>16;
(3)若l>Y2,解得<16.
故当人数为16人时,选择甲或乙旅行社
支付的总费用一样,即可任选其中一家;当人
数在17,25人之间时,选择甲旅行社支付的
总费用较少;当人数在1O,15人之间时,选
择乙旅行社支付的总费用较少.
评注本题取材于旅游优惠,问题背景
学生熟悉,设计富有新意.其难点在于如何建
立相应的数学模型,进而利用一次函数和不
等式的知识解题.
例6某工程由甲,乙两队合做6天完
成,厂家需付甲,乙两队共8700元;乙,丙两
队合做10天完成,厂家需付乙,丙两队共
9500元;甲,丙两队合做5天完成全部工程的
o
?,厂家需付甲,丙两队共5500元.
o
(1)求甲,乙,丙各队单独完成全部工程
各需多少天?
(2)若要求不超过15天完成全部工程,
问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请
说明理由.(1999年天津市中考试题)
略解(1)设甲,乙,丙各队单独做分别
需天,天,天完成全部工程.则有
Ii十歹一百?
{+一1,
I+一号×吉.
f一10,
解得一15,
【2—3o.
(2)设甲队,乙队,丙队做一天分别应付a
元,b元,f元.则有
f6(口+6)一8700,
10(6+f)一9500,
【5(口+f)一5500.
f口一800,
解得b一650,
【c一3oo.?
..10a一8000(元),15b一9750(元),
一由甲队单独完成此工程花钱最少.
评注问题(1)是常规的工程问题,而
问题(2)是工程核算中的花钱最少,择优决策
型问题.问题设计新颖,难易适度,十分有利
于对学生能力的培养.
(收稿日期:】999一】】一08)
范文二：2011年高考数学—应用题
应用题
1. (四川理 9) 某运输公司有 12名驾驶员和 19名工人,有 8辆载重量为 10吨的甲型卡车
和 7辆载重量为 6吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72吨的货物,派用的每辆车虚 满载且只运送一次. 派用的每辆甲型卡车虚配 2名工人, 运送一次可得利润 450元; 派 用的每辆乙型卡车虚配 1名工人, 运送一次可得利润 350元. 该公司合理计划当天派用 两类卡车的车辆数,可得最大利润 z= A . 4650元 B . 4700元 C . 4900元 D . 5000元 【答案】 C
【解析】由题意设派甲,乙 , x y 辆,则利润 450350z x y =+,得约束条件 08071210672219x y x y x y x y ≤≤??
≤≤??
+≤??+≥?
+≤?
?画出可行域在 12219x y x y +≤??+≤?的点 7
5x y =??=?代入目标函数 4900z =
2. (湖北理 10) 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减
少,这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯 137的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝克)与时间 t (单位:年)满足函数关系:30
0() 2t M t M -=,其中 M 0为 t=0时铯 137的含量。已知 t=30时,铯 137含量的变化率是 -10In2(太贝克/年) ,则 M (60) = A . 5太贝克 B . 75In2太贝克 C . 150In2太贝克 D . 150太贝克 【答案】 D 3. (北京理) 。根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为
??????
?≥<=a x="" a="" c="" a="" x="">
c
x f , , , ) ((A , C 为常数) 。已知工人组装第 4件产品用时 30分钟,组装第
A 件产品用时 15分钟,那么 C 和 A 的值分别是
A . 75, 25 B . 75, 16 C . 60, 25 D . 60, 16 【答案】 D 4. (陕西理) 植树节某班 20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相
距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来 领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米) 。 【答案】 2000 5. (湖北理) 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9节的竹子,自上而下各节的容积成等
差数列,上面 4节的容积共为 3升,下面 3节的容积共 4升,则第 5节的容积为 升。
【答案】 67
66
6. (湖北理) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大
桥上的车流速度 v (单位:千米 /小时)是车流密度 x (单位:辆 /千米)的函数。当桥 上的的车流密度达到 200辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超
过 20辆 /千米时,车流速度为 60千米 /小时,研究表明;当 20200x ≤≤时,车流速度
v 是车流密度 x 的一次函数.
(Ⅰ)当 0200x ≤≤时,求函数 ()v x 的表达式 ;
(Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:
辆 /每小时) ()(). f x x v x =可以达到最大,并求出最大值(精确到 1辆 /小时) 本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能 力。 (满分 12分)
解:(Ⅰ)由题意:当 020, () 60x v x ≤≤=时 ;当 20200, () x v x ax b ≤≤=+时 设
再由已知得
1, 2000, 3
2060, 200.
3a a b a b b ?
=-?+=???
?+=??=??解 得
故函数 () v x 的表达式为 60, 020, () 1
(200), 202003x v x x x ≤≤??
=?-≤≤??
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 60,
020, () 1
(200), 202003x x f x x x x ≤<>
=?-≤≤??
当 020, () x f x ≤≤时 为增函数,故当 20x =时,其最大值为 60×20=1200;
当 20200x ≤≤时,
21
1(200) 10000() (200) []3323x x f x x x +-=
-≤
=
当且仅当 200x x =-,即 100x =时,等号成立。
所以,当 100, () x f x =时 在区间 [20, 200]上取得最大值
10000
.
3
综上,当 100x =时, () f x 在区间 [0, 200]上取得最大值 10000
3333
3≈。
即当车流密度为 100辆 /千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333辆 /小时。 7. (湖南理 20) 。如图 6,长方体物体 E 在雨中沿面 P (面积为 S )的垂直方向作匀速移动,
速度为 v (v >0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为
()
c c R ∈。 E 移动时单位时间内的淋
雨量包括两部分:(1) P 或 P 的平行面 (只有一个面淋雨) 的淋雨量, 假设其值与
v c
-×S
成正比,比例系数为 1
10; (2)其它面的淋雨量之和,其值为 1
2,记 y 为 E 移动过程中
的总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S=3
2时。 (Ⅰ)写出 y 的表达式
(Ⅱ)设 0
解:(I )由题意知, E 移动时单位时间内的淋雨量为 3
1||20
2v c -+
,
故
100
3
15(||) (3||10)
202y v c v c v v
=
-+
=
-+,
(II )由(I )知 当 0v c <≤时,>
(3310) 15; c y c v v
v +=
-+=
-
当
55(103c)
10, y (3v3c 10) 15.
v
v
c v -<>
-+=
+时
故 (310)
15, 0, 5(103) 15, 10. c v c v
y c c v v 5+?-<>
-?+<>
(1)当 10
03c <>
时, y 是关于 v 的减函数,
故当
m in 310, 20.
2c
v y ==-
时
(2)当 10
5
3c <≤时,在>
]
0, c 上, y 是关于 v 的减函数,
在 (]
,10c 上, y 是关于 v 的增函数,
故当
m in 50, .
v c y c ==
时 8. (江苏 17) 请你设计一个包装盒,如图所示, ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切
去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重 合于图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E 、 F 在 AB 上是被切去的等腰 直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x cm
(1)某广告商要求包装盒侧面积 S (cm 2
)最大,试问 x 应取何值?
(2)某广告商要求包装盒容积 V (cm 3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒
的高与底面边长的比值。
本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学建模能力、空间想象力、 数学阅读
能力及解决实际问题的能力。满分 14分 . 解:设馐盒的高为 h (cm ) ,底面边长为 a (cm ) ,由已知得
.
300), 30(22
260, 2<>
=x x x
h x a
(1) , 1800) 15(8) 30(842
+--=-==x x x ah S 所以当 15=x 时, S 取得最大值 . (2)
).
20(26), 30(222
22x x V x x h a V -='+-==
由 00=='x V 得 (舍)或 x=20.
当 ) 20, 0(∈x 时, . 0) 30, 20(; 0<'∈>'V x V 时 当 所以当 x=20时, V 取得极大值,也是最小值 .
此时 1
122h
a
=
即
装盒的高与底面边长的比值为 1
.
2 9. (福建理 18) 。某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克) 与销售价格 x (单位:元 /千克)满足关系式 2
10(6)
3a
y x x =
+--,其中 3<><6, a="">
常数,已知销售价格为 5元 /千克时,每日可售出该商品 11千克。 (I )求 a 的值
(II )若该商品的成品为 3元 /千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所
获得的利润最大。
本小题主要考查函数、导数等基础知识, 考查运算求解能力、 应用意识,考查函数与方 程思想、数形结合思想、化归与转化思想,满分 13分。
解:(I )因为 x=5时, y=11,所以 1011, 2.
2
a
a +==
(II )由(I )可知,该商品每日的销售量 2
210(6) ,
3
y x x =
+--
所以商场每日销售该商品所获得的利润
2
2
2() (3)[
10(6) ]210(3)(6) , 36
3
f x x x x x x x =-+-=+--<>
从而, 2
'() 10[(6) 2(3)(6)]30(4)(6) f x x x x x x =-+--=--
'(), () f x f x 由上表可得, x=4是函数 () f x 在区间(3, 6)内的极大值点,也是最大值点; 所以,当 x=4时,函数 () f x 取得最大值,且最大值等于 42。
答:当销售价格为 4元 /千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。 10. (山东理 21) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的
中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 803
π
立方米,且
2l r ≥ .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用
为 3千元,半球形部分每平方米建造费用为 (3) c c >千元,设该容器的建造费用为 y 千
元.
(Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .
解:(I )设容器的容积为 V ,
由题意知
2
3
480, ,
3
3
V r l r V πππ=+
=
又
故
3
22
24
804420
3
() 33
3V r
l r r r
r
r ππ-
=
=
-
=
-
由于 2l r ≥ 因此 02. r <≤ 所以建造费用="">
2
24202342() 34, 3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?
-?+
因此
2
1604(2) , 02. y c r r r
ππ=-+
<>
(II )由(I )得
3
2
2
1608(2)
20' 8(2) (), 02.
2
c y c r r r r
r
c πππ-=--=-
<>
由于 3, 20, c c >->所 以
当
3
200, 2
r r c -
==
-时
, m =则
0m >
所以
2
2
2
8(2)
' ()().
c y r m r rm m r
π-=
-++
(1)当
9022m c <>
即 时,
∈∈当 r=m时 ,y'=0;当 r (0,m)时 ,y'<>
当 r (m,2)时 ,y'>0.
所以 r m =是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当 2m ≥即
932c <>
时,
当 (0,2) , ' 0, r y ∈<时>
所以 r=2是函数 y 的最小值点,
综上所述,当
9
3
2
c
<>
时,建造费用最小时 2; r =
当
9
2
c >
时,建造费用最小时
范文三：2000年高考数学应用题评析
2000年高考数学应用题评析 口武汉市武汉中学杨银舟
高考应用题是师生和家长关心的热点问题.1999年高考试题中,应用题是关 于冷轧机的问题.由于试题情景相对陌生,文字冗长,建模困难,特别是示意图中 没显示轧钢后的效果.学生对"一对轧辊"的台义产生歧义或理解上的困难,所以 当年得分率仅l9%.
高考数学应用题1995年由小题变成大题,概念,术语陌生,得分率仅22%; l996年应用题数学模型简单,但背景材料复杂,得分率不到20%;1997年,1998年 应用题背景学生熟悉,数学建模较容易,所以得分率达50%,这两年应用题情景简 单,建模难度适当,从某种意义上来讲,缓解了中学师生对应用题的恐惧心理但 遗憾的是1999年"冷轧机"同题真"轧得广大师生"心冷".面对陌生情景,形式新
使众多考生望题兴叹. 颖的"轧钢"题,
200O年高考数学的第(6)和(21)题是实际应用题.第(6)题是选择题,题目是; 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800 元的部分不必纳税,超过880元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分 段累进计算
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5%
超过5O0元至2000元的部分lO%
超过2O00元至5000元的部分l5%
某人一月份应交纳此项税救26.78元,则他的当月工资,薪金所得介于 (A)l20o—l50o元(B)900一l20o元
(c)800—900元(D)l50o一2800元
看到这样的命题.令人不禁想到2000年3月19日北京市高中数学知识应用 竞赛决赛试题(第三届)中第一题.夸年高考题第(6)题只是这道竞赛题的一部分, 难度降低.第(6)题对于第一扶接触这类问题的同学来说还是有难度的,特别是 "全月应纳税所得额,"不超过卯O元的部分","超过50o元至2oo0元的部分"等
对交纳此项税款26.7昱元"怎么理解有如下几种情况:
簟^辟蹲'田?
1.认为26.78元是"不超过500元的部分",再反过去求"全月应纳税所得顿" 535.6元.故当月工资,薪金共有8O0+535.6=1335.6(元).选(A). 2.发现500x5%=25元<26.78元,所以用"超过500元至2?0元的部分" 的10%来计算:26.78?10%=267.8元,故当月工资,薪金共有800+267.8= 1067.8(元).选(C).
3.能正确理解题意.将26.78分成25或1.78两部分,且25指不超过500元 的部分的税欹.1.78是超过500元至2O0O元的部分税欹,那么25元及1.78元税 款所对应的薪金分别为500元和17_吕元.所以某人一月份应交纳26.78元税款, 则他当月工资薪金所得为800+500+17_吕:1317.8(元),选CA) 显然第3种理解正确,应选(A).遗憾的是用第一种方法也得CA),这不能不说 是一大遗憾.
2O0O年商考第(21)题.(试题及解答可参看本刊今年第9期) 本题是近几年实际应用题中较好的命题.题目有三关,每一关考查目的不同 第一关:正确写出一元一次函数解折式,特别是分段函数的写法.二次函数顶 点式,在此题中结合图形,显然可令g(})=口(t一150)+100.将点(25o,15o)代入 11
有口,g(})(}一15o)100
第二关:纯收益,虽然题目有"认定市场售债茂去种檀成本为纯收益,但还是 有考生不知题意,或者计算,(,)一g(})有谩,或者不分段讨论. 第三关:最值求法,要求考生分0?;200及200<,?300计算各自最大值, 再进行比较,从而有f:50,h(})最大值为100元.
这三关都很基础又很重要.考生以前虽然没有见过此类问题,但曼活运用知 识是完全能够解决的.
范文四：2011年高考数学应用题
十六、应用题
1. (四川理 9) 某运输公司有 12名驾驶员和 19名工人, 有 8辆载重量为 10吨的甲型卡车和 7
辆载重量为 6吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72吨的货物,派用的每辆车虚满载且 只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配 2名工人,运送一次可得利润 450元;派用的每 辆乙型卡车虚配 1名工人,运送一次可得利润 350元.该公司合理计划当天派用两类卡 车的车辆数,可得最大利润 z= A . 4650元 B . 4700元 C . 4900元 D . 5000元 【答案】 C
【解析】由题意设派甲,乙 , x y 辆,则利润 450350z x y =+,得约束条件 08071210672219x y x y x y x y ≤≤??≤≤??
+≤??+≥?
+≤?
?画 出可行域在 12219x y x y +≤??+≤?的点 7
5x y =??=?代入目标函数 4900z =
2. (湖北理 10) 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,
这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯 137的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝 克)与时间 t (单位:年)满足函数关系:30
0() 2t
M t M -=,其中 M 0为 t=0时铯 137的 含量。已知 t=30时,铯 137含量的变化率是 -10In2(太贝克/年) ,则 M (60) = A . 5太贝克 B . 75In2太贝克 C . 150In2太贝克 D . 150太贝克 【答案】 D 3. (北京理) 。根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为
???
???
?
≥<>
x A
c A x x c x f , , , ) ((A , C 为常数) 。已知工人组装第 4件产品用时 30分钟,组装第 A
件产品用时 15分钟,那么 C 和 A 的值分别是 A . 75, 25 B . 75, 16 C . 60, 25 D . 60, 16 【答案】 D 4. (陕西理) 植树节某班 20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距
10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取 树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米) 。 【答案】 2000 5. (湖北理) 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9节的竹子,自上而下各节的容积成等
差数列, 上面 4节的容积共为 3升, 下面 3节的容积共 4升, 则第 5节的容积为 升。
【答案】 67
66
6. (湖北理) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥
上的车流速度 v (单位:千米 /小时)是车流密度 x (单位:辆 /千米)的函数。当桥上的 的车流密度达到 200辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20辆
/千米时,车流速度为 60千米 /小时,研究表明;当 20200x ≤≤时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数.
(Ⅰ)当 0200x ≤≤时,求函数 ()v x 的表达式 ;
(Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆 /每小时) ()(). f x x v x =可以达到最大,并求出最大值(精确到 1辆 /小时)
本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满分
12分)
解:(Ⅰ)由题意:当 020, () 60x v x ≤≤=时 ;当 20200, () x v x ax b ≤≤=+时 设
再由已知得
1, 2000, 32060, 200.
3a a b a b b ?
=-?+=???
?+=??=??解得
故函数 () v x 的表达式为 60, 020, () 1
(200),202003x v x x x ≤≤??=?-≤≤??
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 60, 020, () 1
(200),202003x x f x x x x ≤<>
当 020, () x f x ≤≤时 为增函数,故当 20x =时,其最大值为 60×20=1200;
当 20200x ≤≤时,
211(200) 10000
() (200) []3323x x f x x x +-=
-≤=
当且仅当 200x x =-,即 100x =时,等号成立。
所以,当 100, () x f x =时 在区间 [20, 200]上取得最大值 10000
.
3
综上,当 100x =时, () f x 在区间 [0, 200]上取得最大值 10000
3333
3≈。
即当车流密度为 100辆 /千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333辆 /小时。 7. (湖南理 20) 。如图 6,长方体物体 E 在雨中沿面 P (面积为 S )的垂直方向作匀速移动,速
度为 v (v >0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 ()c c R ∈。 E 移动时单位时间内的淋雨量 包括两部分:(1) P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 v c -×S成
正比,比例系数为 110; (2)其它面的淋雨量之和,其值为 1
2,记 y 为 E 移动过程中的总
淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S=3
2时。
(Ⅰ)写出 y 的表达式
(Ⅱ)设 0
解:(I )由题意知, E 移动时单位时间内的淋雨量为 31||20
2v c -+
, 故 100315(||(3||10)
202y v c v c v v =-+=-+,
(II )由(I )知
当 0v c <≤时,>
(3310) 15;
c y c v v v +=-+=- 当 55(103c)
10, y (3v3c 10) 15.
v v c v -<>
故 (310)
15,0, 5(103) 15, 10. c v c v
y c c v v 5+?-<>
-?+<>
(1)当
10
03c <>
时, y 是关于 v 的减函数, 故当
min 310, 20.
2c
v y ==-时 (2)当 10
5
3c <≤时,在 (]0,="" c="" 上,="" y="" 是关于="" v="">
在 (],10c 上, y 是关于 v 的增函数,
故当
min 50, . v c y c ==
时
8. (江苏 17) 请你设计一个包装盒,如图所示, ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去
阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于 图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, E 、 F 在 AB 上是被切去的等腰直角三 角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x cm
(1)某广告商要求包装盒侧面积 S (cm 2
)最大,试问 x 应取何值?
(2)某广告商要求包装盒容积 V (cm 3
)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的
高与底面边长的比值。
本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读
能力及解决实际问题的能力。满分 14分 . 解:设馐盒的高为 h (cm ) ,底面边长为 a (cm ) ,由已知得
.
300), 30(22260, 2<>
=x x x
h x a
(1) , 1800
) 15(8) 30(842
+--=-==x x x ah S 所以当 15=x 时, S 取得最大值 .
(2)
). 20(26), 30(222
22x x V x x h a V -='+-== 由 00=='x V 得 (舍)或 x=20.
当 ) 20, 0(∈x 时, . 0) 30, 20(; 0<'∈>'V x V 时 当 所以当 x=20时, V 取得极大值,也是最小值 .
此时 1122h a =即 装盒的高与底面边长的比值为 1. 2
9. (福建理 18) 。某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与 销售价格 x (单位:元 /千克)满足关系式
2
10(6) 3a
y x x =
+--,其中 3<><6, a="">
已知销售价格为 5元 /千克时,每日可售出该商品 11千克。 (I )求 a 的值
(II )若该商品的成品为 3元 /千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获
得的利润最大。
本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思
想、数形结合思想、化归与转化思想,满分 13分。
解:(I )因为 x=5时, y=11,所以 1011, 2.
2a
a +==
(II )由(I )可知,该商品每日的销售量 2210(6) ,
3y x x =+--
所以商场每日销售该商品所获得的利润
222
() (3)[
10(6) ]210(3)(6) ,363f x x x x x x x =-+-=+--<>
从而, 2
'() 10[(6) 2(3)(6)]30(4)(6) f x x x x x x =-+--=--
'(), () f x f x 由上表可得, x=4是函数 在区间(3, 6)内的极大值点,也是最大值点; 所以,当 x=4时,函数 () f x 取得最大值,且最大值等于 42。
答:当销售价格为 4元 /千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大。 10. (山东理 21) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中
间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的体积为 803π
立方米, 且 2l r ≥ . 假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元, 半球形部分每平方米建造费用为 (3) c c >千元,设该容器的建造费用为 y 千元.
(Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .
解:(I )设容器的容积为 V ,
由题意知 23480, ,
33V r l r V π
ππ=+=又
故 3
22
24804420() 333V r l r r r r r ππ-==-=-
由于 2l r ≥ 因此 02. r <>
所以建造费用 222420
2342() 34,
3y rl r c r r r c r ππππ=?+=?-?+
因此 21604(2) ,02.
y c r r r π
π=-+<>
(II )由(I )得 322
1608(2) 20
' 8(2) (),02. 2c y c r r r r r c πππ-=--=-<>
由于 3, 20, c c >->所以
当
3200, 2r r c -
==-时
, m =则 0m > 所以 222
8(2) ' ()(). c y r m r rm m r π-=-++
(1)当
9
022m c <>
即 时, ∈∈当 r=m时 ,y'=0;
当 r (0,m)时 ,y'<>
当 r (m,2)时 ,y'>0.
所以 r m =是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当 2m ≥即
9
32c <>
时,
当 (0,2), ' 0, r y ∈<时 函数单调递减,="" 所以="" r="2是函数" y="" 的最小值点,="">
9
32c <>
时,建造费用最小时 2; r =
当
9
2
c
时,建造费用最小时
范文五：1999年高考数学
篇一:1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答
案
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8。共150分。考试时间120分钟。
第I卷(选择题共60分)
注意事项:
l(答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上。
2(每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3(考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
三角函数的积化和差公式
sin?cos??11?sin(???)?sin(???)?
1
cos?sin???sin(???)?sin(???)? 22
1cos?cos???cos(???)?cos(???)?2
正棱台、圆台的侧面积公式:
S台侧?1(c??c)l 其中c?、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长( 2
4球的体积公式:V球??r3，其中R表示球的半径( 3
1‘''台体的体积公式:V台体?S?SS?S)h，其中S，S分别表示上下底面积，h3
表示高。
一、选择题:本大题共14小题;第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
(1)如图,I是全集,M、P、S、是I的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )
(A)(M?N)?S (B)(M?P)?S
(C)(M?P)? (D)(M?P)?
(2)已知映射f:A?B,其中，集合A?{?3,?2,?1,1,2,3,},集合B中的元素都是A中 元素在映射f下的象，且对任意的a?A,在B中和它对应的元素是{a},则集合B中元 素的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
(3)若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab?0,则g(b)等于 ( )
2
(A)a (B)a ?1(C)b (D)b ?1
(4)函数f(x)=Msin(?x??)(??0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(?x??)在[a,b]上 ( )
(A)是增函数(B)是减函数
(C)可以取得最大值M(D)可以取得最小值,M
(5)若f(x)sinx是周期为?的奇函数，则f(x)可以是
(A)sinx (B)cosx(C)sin2x (D)cos2x
(6)在极坐标系中，曲线??4sin(??
(A)直线??
(C)点(2,?3)关于( ) 5?轴对称 6?3对称(B)直线???)中心对称(D)极点中心对称 3
(,)若干毫升水倒入底面半径为,cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为,cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 () (A)6cm (B)6cm (C)2 (D)3
(8)若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,则(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2的值为 ( )
(A)1(B)-1 (C)0 (D)2
(9)直线x?y?2?0截圆x2?y2?4得的劣弧所对的圆心角为 ( )
(A)
???? (B) (C) (D) 6432
3
(10) 如图，在多面体,,,,,,中 , 已知面,,,,是边长为,的正方形,,?,,,,,3,EF与面,,的距离为,，则该多面体的体积 () 2
915(A)(B)5 (C)6(D) 22
(11)若sin??tg??ctg?(?
(A)(??2????2),则??( ) ?,?) (B) (?,0)(C) (0,) (D) (,)
244424?????
(12)如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1?2，那么R,( )
(A)10 (B)15 (C)20 (D)25
22(13)已知丙点M(1，)、N(?4,?),给出下列曲线方程:4x+2y-1=0 ?x?y?35
454
x2
?y2?1?2x2?y2?1在曲线上存在点P满足MP?NP的所有曲线方程是 ?2
(A)??(B)??(C)???(D)???
(14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
(A)5种 (B)6种(C)7种(D)8种
4
二、填空题:本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
x2y2
1a?b?0)的右焦点为F1，右准线为L2.若过F1且垂直于x (15)设椭圆2?2?(ab
轴的弦的长等于点F1到L1的距离，则椭圆的离心率是 。
(16)在一块并排10 垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种(用数字作答)
(17)若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是
(18)?、?是两个不同的平面，m、n是平面?、?之外的两条直线。给出四个论断: ? m?n ? ???? n?? ?m??以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题:
三(解答题:本大题共6小题;共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(19)(本小题满分10) 解不等式logax?2?2logax?1(a.?0,a?1)
(20)(本小题满分12分)
设复数z,3cos??i?2sin?.求函数y???argz
(21)(本小题满分12分)
5
如图:已知正四棱锥ABCD,A1B1C1D1,点E在棱D1D上，截面EAC?(0????2)的最大值以及对应的?值 D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45?，
AB,a
(1)求截面EAC的面积;
(3)求三棱锥B1,EAC的体积。
(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离;
(22)(本小题满分12分)
右图为一台冷轧机的示意图。
冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从
一端输入，经过各对轧辊
逐步减薄后输出。
(1)输入钢带的厚度为?,输出钢带的厚度为?，
若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要
安装多少对轧辊,
(一对轧辊减薄率,输入该对的带钢厚度,从该对输出的带钢厚度) 输入该对的带钢厚度
(2)已知一台冷轧机共有4台减薄率为20,的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第
k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为lk.为了便于检修，请计算L1.L2L3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不
6
考虑损耗)
篇二:1978-1999年高考数学试题全国卷
1978年试题
注意事项:
1.理工科考生要求除作(一)--(四)题和(七)题外,再由(五)、(六)两题中选作一题.文科考生要求作(一)--(四)题,再由(五)、(六)两题中选作一题;不要求作第(七)题.
2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如(一)2、(五)等. (一)1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.
2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积
.
(二)已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图. (三)(如图)AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM?MN于M点,BN?MN于N点,CD?AB于D点. 求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM2
BN.
(四)已知log189=a(a?2),18b=5.求log3645. (五)(本题和第(六)题选作一题)已知?ABC的三内角的大小
成
(六)已知α、β为锐角,且 3sin2α+2sin2β=1,
7
3sin2α-2sin2β
=0.
(七)(文科考生不要求作此题)
已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数). (1)m是什么数值时,y的极值是0? (2)求证:不论m是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线l1上.
画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.
(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.
1978年试题答案
(一)1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2 =(x-2y)2-(2z)2
=(x-2y-2z)(x-2y+2z).
2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.
3.解:?lg(2+x)?0,?2+x?1. x?-1为所求的定义域
.
(二)解:(注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.)
(三)证明:
1)连CA、CB,则?ACB=90?.
?ACM=?ABC(弦切角等于同弧上的圆周角), ?ACD=?ABC(同角的余角相等), ? ?ACM=?ACD. ? ?
8
ACM??ADC. ? CM=CD.
同理 CN=CD.? CD=CM=CN. 2)? CD?AB,?ACB=90?,
? CD2=AD2DB(比例中项定理). 由1),可知 AM=AD,BN=BD, ? CD2=AM2BN.
(四)解法一:?log189=a,?18a=9. 又 18b=5,
? 45=935=18a218b=18a+b, 设 log3645=x,则36x=45=18a+b, ? log1836x=log1818a+b
但 36=2318=439,
? log18(2318)=log18(2239).
即 1+log182=2log182+log189=2log182+a. ? log18
2=1-a.
以下解法同解法一.
(五)解:A+B+C=180?, 又 2B=A+C.
? 3B=180?,B=60?,A+C=120?
.
以下同证法一.
篇三:1999年全国高考 数学(理)
1999年全国普通高等学校招生统一考试(理工农医类)
数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8。共150分。考试时间
9
120分钟。
第I卷(选择题共60分)
注意事项:
l(答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A或B)用铅笔涂写在答题卡上。
2(每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3(考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
三角函数的积化和差公式
sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]
正棱台、圆台的侧面积公式:
S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。 台体的体积公式:
表示高。
一、选择题:本大题共14小题;第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
10
求的。
其中s,s'分别表示上下底面积，h
1( 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A((M?P)?S B((M?P)?S
C((M?P)?
D((M?P)?
2(已知映射f:AB，其中，集合A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A
中元素在映射f下的象，且对任意的a?A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是
A(4 B(5 C(6 D(7
3(若函数y,f(x)的反函数是y,g(x)，f(a)=b，ab ?0，则g(b)等于
A(a B(a-1 C(b D(b-1
4(函数f(x),Msin(ωx+ρ)(ω0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=-M，f(b)
=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+ρ)在[a，b]上
A(是增函数B(是减函数
C(可以取得最大值M D(可以取得最小值-M
5(若f(x)sinx是周期为?的奇函数，则f(x)可以是
A(sin x B(cos x C(sin 2xD(cos 2x
11
6(在极坐标系中，曲线ρ,4sin(θ-π/3)关于
A(直线θ=π/3轴对称B(直线θ=6/5π轴对称
C(点(2，π/3)中心对称 D(极点中心对称
7(若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水
倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
8(若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为
A(l B(-1 C(0 D(2
9(直线
x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为
A(π/6 B(π/4 C(π/3D(π/2
10(如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=3/2，
EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
A(9/2 B(5 C(6 D(15/2
11(若sinatgactga(-π/2<a<π/2)，则a?
A( (-π/2,-π/4) B((-π/4，0)
C((0，π/4) D((π/4，π/2)
12(如果圆台的上底面半径为5(下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
12
它们的侧面积的比为1:2，那么R=
A(10 B(15 C(20 D(25
13(已知两点M(1，5/4)、N(-4，-5/4)，给出下列曲线方程:
?4x，2y-1=0?x2+y2=3 ?x2/2+y2=1 ?x2/2-y2=1
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
A(?? B(?? C(??? D(???
14(某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒
装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有
A(5种B(6种C(7种D(8种
第?卷(非选择题共90分)
注意事项:
1(第II卷共6页。用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2(答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共4小题;每小图4分，共16分把答案填在题中横线
15(设椭圆x2/a2+y2/b2,1(ab0)的右焦点为F1，右准线为l1。若过F1且垂直于x轴的弦
的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是___________________。
13
16(在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，
为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________________种(用数字作答)。
17(若正数a、b满足ab,a+b+3，则ab的取值范围是_______________。
18(α、β是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断:?m
?n ? α?β?n?β ?m?α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题:
___________________________________________________
___。
三、解答题:本大题共6小题:共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19( (本小题满分10分)
解不等式
20((本小题满分12分)
设复数z,3cosθ，i?2sinθ，y=θ-argZ(0<θ<π/2)求函数的最大值以及对应的θ值
(转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:1999年高
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考数学)21(本小题满分12分
如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC与底面ABcD所成的角为45?，AB,a
(?)求截而EAC的面积:
(?)求异面直线A1B1与AC之间的距离;
(?)求三棱锥B1—EAC的体积
22((本小题满分12分)
上图为一台冷轧机的示意图;冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输人，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
(1)输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ro，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊, (一对辊减薄率,输入该对的带钢厚度,从该对输出的带钢厚度)输入该对的带钢厚度
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