弱水三千_只留一瓢
范文一：矩阵特征向量的一个性质
矩阵特征向量的一个性质
陈伏兵
()淮阴师范学院 数学系 ,江苏 淮安 223001
摘 要 : 本文揭示了矩阵特征向量的一个性质 ,并用它给出了实对称矩阵可同时对角化的一
个充分必要条件的简单证明.
关键词 : 特征值 ;特征向量 ;矩阵对角化 ;正交矩阵
中图分类号 : O151 . 21文献标识码 : A() 文章编号 :167126876 20020220012203
矩阵是线性代数中主要研究对象之一 ,它的应用是多方面的 . 在矩阵理论中 ,矩阵的特征值 ,特征向 量内容十分丰富 ,占有特殊的位置 ,起着重要的作用. 本文旨在揭示矩阵特征向量的一个性质 ,并利用它 给出了实对称矩阵可同时对角化的一个充分必要条件的简单证明.
为了行文方便 ,将代数基本定理作为引理陈述 .
() ( ) 引理 代数基本定理任何 n n > 0次多项式在复数域中至少有一个根 .
λ矩阵 A 的特征多项式在复数域内的根叫做矩阵 A 的特征根 . 若是矩阵 A 的特征值 ,那么齐次线性 组 (λE - A ) X = 0 的一个非零解就是 A 的一个特征向量 .
由引理及矩阵特征根的定义 ,我们说 n 阶矩阵必有特征根 ,于是存在相应的特征向量 ,可见矩阵的 特征向量是由矩阵本身确定的. 矩阵特征向量的求法一般高等代数教材都有介绍 ,这里仅介绍特征向量 的一个性质 ,并进一步揭示特征向量由矩阵确定这一事实 .
1定理 η 设 A 为 n 阶矩阵 , X 为任意一个 n 维非零向量 ,则一定存在 A 的特征向量,使得
2 ) ()η ( 1 ? L X , A X , AX ,
2 2 ( ) 其中 L X , A X , AX , 表示由 X , A X , AX , ,为生成元的生成子空间 . 2 证明 因为向量组 X , A X , AX , ,总是线性相关的 ,所以一定存在一组数 C , C , C ,, C 及 0 1 2 k - 1 正整数 k ,使得 2 k - 1 k ()CX + CA X + CA X + 2 + X + A X = 0 0 1 2 CAk - 1
假定 (2) k 是具有这一性质的最小正整数. 式中的
记
2 k - 1 k ( ) f y= C+ Cy + Cy + + + y . 0 1 2 Cyk - 1
( ) () μμ( ) μ根据引理 , f y= 0 在复数域里有 k 个根 重根按重数计算记为 ,, ,于是 f y可分解为 1 2 k
( ) ( μ) ( μ)( μ) f y= y - y - y - . 1 2 k
( ) μ() μ现用 f A 表示将上式中 y 换为矩阵 A ,换为I 得到的矩阵多项式 ,则 2式变为 i i
( ) ( μ) ( μ)μ) ( f A = A - IA - I A - IX 1 2 k
()( μ)η 3 = A - I= 0 1
其中
η μ)()( ( μ) = A - I 4 A - IX ?02 k
收稿日期 : 2002203201
作者简介 : 陈伏兵 (19642) ,男 ,江苏泗阳人 ,副教授 ,硕士 ,主要从事概率统计等研究.
第 2 期陈伏兵 :矩阵特征向量的一个性质13
η 注意 :?0 是由 k 的最小性推出的.
() 3式表明
η μηA= , 1
() ημ即 是 A 的属于特征值的特征向量 ,又由 4式有 1 k k k - 1 k - 1 k - 2 ) ( μ1η μ) ( - = A X + - A X +X .j j ?? j = 2 j = 2 即
k - 1 η ( ) ? L X , A X , A X.
定理 1 获证.
我们知道实对称矩阵的特征值总是实数 ,且属于不同特征值的特征向量彼此正交 ,利用定理 1 的结
论 ,可以方便地证明实对称矩阵还具有下面性质 .
定理 可交换的两个 n 阶实对称矩阵具有 n 个两两正交的公共特征向量.
设 A , B 是两个实对称矩阵 ,且 AB = BA ,又 ζ是 B 的与特征值λ对应的一个特征向量 ,即 证明 1
ζζλ()B= 5 1 1
k 用 A 左乘上式两端 ,注意 AB = BA ,可得
kk( ζ ) λ( ζ ) ()k = 1 ,2 , B A = A , 6 1 1
2 () () ζζζλB 的与特征值对应的特征空间 V中的向量 ,根据定理 1 ,存在都是 5、6两式表明 ,, A, A , λ 1 1 1
η A 的一个特征向量,使得1
2 η(ζζζ) ? L , A, A , . 1 1 1 1
2 (ζζζ) η而 L , A, A , 是 B 的一个特征子空间 ,因此是 A , B 的一个公共特征向量 ,选择 B 的另一个 1 1 1 1
ζ() ηζζ特征向量 ,且满足与 正交 由实对称矩阵的性质 ,这一点总能办到,用 代替 ,重复上面的讨 论 ,2 1 2 1
ηηη可以找到 A 与 B 的另一个公共特征向量,且 与 正交 ,继续这个过程 ,可以找到 A 与 B 的 n 个 公共2 2 1
ηηη特征向量 ,, ,它们两两正交 . 1 2 n
至此定理 2 获证.
我们知道实对称矩阵一定可以对角化 ,多个实对称矩阵同时对角化是高等代数中长期研究的课题
之一 ,有了定理 2 的内容 ,我们可立即给出实对称矩阵可同时对角化的一个充分必要条件的证明 .
定理 3设 A , B 为两个 n 阶实对称矩阵 ,则存在正交矩阵 Q ,使得 QA′Q 与 Q′B Q 为对角阵当且仅
当 AB = BA .
证明 由定理 2 ,充分性的证明是显然的 ,只要将 A , B 公共的两两正交的特征向量分别单位化 ,再
以获得的单位特征向量为列向量构造矩阵 Q ,则 Q 满足要求 ,下面证明必要性 . 若存在正交矩阵 Q 使 A ,
B 同时对角化 ,令
λμ 0 0 11
λμ 22QA′Q = , QB′ Q = ω ω
λμ0 0 nn则有
λμ 0 0 11
λμ 22A = Q Q,′ = ′ QB Q ω ω
λμ0 0 nn于是
()淮阴师范学院学报 自然科学版 第 1 卷14
λμ 0 0 11
λμ 22AB = Q Q′Q Q′ ω ω
λμ0 0 nn
λμ 0 11
λμ 22= Q Q′ ω
λμ0 nn
μλ 0 0 11
μλ 22= Q Q′Q Q′= AB . ω ω
μλ0 0 nn即 AB= BA .
参考文献 :
1 张禾端 , 郝炳新 . 高等代数 M . 北京 : 高等教育出版社 , 1981.
2 王松桂 , 贾忠贞 . 矩阵论中不等式 M . 合肥 :安徽教育出版社 , 1994.
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 . 高等代数 M . 北京 :高等教育出版社 , 1999. 3
The Properties of Eigenvector of A Matrix
CHEN Fu2bin ()Department of Mathematics , Huaiyin Teachers College , Huaian 223001 , China Abstract : This paper discusses the properties of eigenvector of a matrix ,and then gives a brief proof about the
necessary and sufficient condition for diagonaligation of real symmetric matrices. Key words : matrix eigenvalue ; matrix eigenvector ; diagonalization of matrix ; orthogonal matrixs
[ 责任编辑 :胡 宏 ]
范文二：矩阵不属于特征值λ特征向量的性质
52,,A,观察二阶矩阵，我们可以利用直接求特征值特征向量的方,,36,,
法求出A的特征向量(
1531,,,,,,2取种子向量，则，，由此得u,Au,Au,,,,,,,0333,,,,,,2AuAuu,，,11240(
即
AIAIu,,,380，，，，
的属于特征值的特征向量 于是得到,,,31
,,3213,,,,,,
AIu,,,8，， ,,,,,,3203,,,,,,,A的属于特征值的特征向量 ,,82
2212,,,,,,
AIu,,,3，，,,,,,, 3303,,,,,,
0,,
v,另取种子向量再求一次A的特征值和特征向量. ,,1,,
,,3,特征向量 1
,3202,,,,,,
AIv,,,8，，,,,,,,, 3212,,,,,,,,
,,8A的属于特征值的特征向量 2
2202,,,,,,
AIv,,,3，，,,,,,, 3313,,,,,,我们发现，矩阵
,32,,
AI,,8,, 32,,,
,,3AI,8的特征向量，设由的列向量生成的列向量都是A属于1
AI,,80WAI,8的空间,由于,因此的两个列向量线性相关，即1
dim1W,. 1
,,8AI,3同理易得，的两个列向量都是A属于的特征向量，二2
W者线性相关，由这两个生成的空间是一维的。 2
于是我们发现如果2阶矩阵A有2个不同的特征值和，则属于,,,121
AI,,,AI,,(或)的特征向量是(或)的一个列向量的常数倍。 212
证明:由可得 ,,,12
AIvAvvv,,,,,,,,,，，，， 12212212
v,,,vAI,,，，可得的一个非零的常数倍是列向量的一个线性22121
vAI,,AI,,AI,,,0组合，故是的一个线性组合。由,由的两2111
vWLv,,，，，从而可得属于的特征向量个列向量生成的子空间222
AI,,是的列向量的常数倍。 1
推广:
AI,,可对角化的矩阵A的不属于特征值的特征向量是的列向量,
AI,,的线性组合，并且是列向量的生成子空间的一个基。
,证明:设有k个属于特征值的特征向量，其余的n-k个特征向量不
v,,,,属于特征值。设是A的属于特征值的特征向量，则 ，，,
AIvAvvv,,,,,,,,,，，，，
a,,1,,a2,,,,,,,,AI,,再设的列向量组为，，则v,12n,,
,,an,,
1vaaa,，，，,,,，因此可对角化的矩阵A的不属于特征，，1122nn,,,
AI,,值的特征向量是的列向量的线性组合。 ,
由于A有k个线性无关的属于的特征向量，它们是齐次线性方程组 ,
x,,1,,x2,,AI,,IA,,,0的一个基础解系，故矩阵的秩为n-k，于是 ，，,,
,,x,,n
dimLnk,,,,,，， 12n
,又由上述证明可得n-k个线性无关的不属于的A的特征向量都包
L,,,L,,,，，，，含在中，故这n-k个向量为12n12n
的基。
范文三：特征值和特征向量的性质与求法
特征值和特征向量的性质与求法
方磊
（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西 汉中 723000）”
指导老师：周亚兰
[摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵 线性变换 特征值 特征向量
1 特征值与特征向量的定义及性质
定义1：（ⅰ）设A是数域p上的n阶矩阵，则多项式|λE-A|称A的特征多项式，则它在 c上的根称为A的特征值。
（ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X=0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。
定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数?0存在一个非零向量ξ，使得aξ=?0ξ，那么?0 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值?0的一个特征向量。
性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则??0、则??1 为??1 的特征知值。 证明： 设?1?2??n为A的特征值，则A=?1?2??n?? ∴λi≠0(i=1、2…n)
设A的属于λ的特征向量为ξ 则?????i?则λ?
∴?
?1
?1
ξ=ξ即有 ?
?1
ξ=?
?1
ξ
为?
?1
的特征值，由于A最多只有n个特征值 ξ的特征值
∴?
?1
为?
?1
性质2：若λ为A的特征值，则f(?)为f(A)的特征值 f???=an?
n
+an?1x
n?1
???a1x?ax
101
证明：设ξ为A的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ f???ξ=(anA+an?1A
nn
n?1
???a1A?a0E)ξ
= anAξ+ an?1A =an?ξ+an?1? =f???ξ
又ξ≠0
∴ f???是f???的特征值
n
n?1
n?1
ξ+… +a0E ξ
+…+a0?ξ
性质3：n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一定是A的特征值
?a11??a21
证明：设 A= ?
???a?n1
a12a22?an2
????
a1n?
?a2n?
???ann??
则由题设条件知：
?a11
??a21????a?n1
a12a22?an2
????
a1n??1??a??1????????a2n??1??a??1?
==a ????????????????????????ann???1??a??1?
∴a是A的特征值
推论：若λ为A 的特征值，且A 可逆，则
?
A
?
为A 的特征值(A为A 的伴随矩阵)。
??
证明：因为 A=AA?1 而A
?1
的特征值为?
A
?1
.
再由性质2知 ：
?
是A的特征值
?
性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。
证明：因为 ????
?
*
????????????
*
所以 A与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。
性质5：如果λ是正交矩阵A的特征值，那么?
?1
也是A的特征值。
证明：设λ是A的特征值，那么存在非零向量ξ使得 Aξ=λξ 用A
?1
作用之后得ξ=λA
?1
ξ
又 A的特征值一定不为零 ，所以λ? 0
? ?
?是A的特征值，
?
?1
?1?1
又 A是正交矩阵 A=A
?1
?为A的特征值
?
?
?1
又 A与A相似，A与A有相同的特征根
??
性质6：设
?1
也是 A特征根
'
x是A对应于特征值?i的特征向量，yi 是A的对应与?j的特征向量。
'
'
'
若 Axi=?ixi 则A=?ixixi (1)
并有 Ayi=?iyi (2)
给(1)右乘以yi、(2)左乘以xi相减得 0=?ixiyi-?jxiyi 则xiyi=0
性质7：设A、B均为n阶矩阵，则AB 与BA的特征向量相同。
证明：若λ是AB的特征值，x是相应的特征向量 若 BX≠ 0 则 BABX=λBX
若 BX=0 B不是可逆矩阵(否则x=0) ∴ BA也不是可逆矩阵
故必有特征值0 同样AB也有特征值0 由此AB与 BA有相同的特征值。
'
'
''
'
2 特征值与特征向量的求法
2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法
（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式f??????E?A （ⅱ）求出?E?A的全部根
（ⅲ）把特征值?i 逐个代入齐次线性方程组??i??????0 并求它的基础解系，即为A的属
于特征根?i的线性无关的特征向量。
② 用初等变换法
利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的
特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。
?
定理1：设F???=?I?A 且 ?
F?????B????
??列初等变换→?
????P????????
，其中B???为下三角矩阵，则B???的
主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根，且对于矩阵A 的每一特征根?i ，若矩阵B???中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵P??? 中和 B??? 中零向
i
i
I
令所对应的列向量是属于特征根?i 的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到 B??i? 中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么P??i? 中和B??i? 中零向量所对应的列向量是属于特征根?i 的全部线向无关的特征向量。
证明：设
*
*
*
A
=?ij
??
n?n
且
????
f1m????
?f2n????
，其中fif???fnn?????n?n
F???
?f11???
?
?f21?????
??
?f????n1
f12???f22????fn2???
??aij?i?j??????.
???aij?i?j?
通过列初等变换将化为
?f1????
?g21??????
?g????n1
0g22????
???
??
?f1???g2n????
记为 ???????
gnn?????0
?
? G??? 中第一行元素不可能全为0，否???G??
gn2????
则秩F???
可任取其中次数最低的一多项式，设为g1???,再对G???施以列初等变换，可使该行期于元素都化为零多项式或次数低于g1??? 的λ多项式，在这些次数低于g1???的多项式元素中，再任取其中
?f2????0?
一个次数最低的多项式,继续进行列变化，最终使G???化为?可将F???化?*?H????? 如此下去，
??
为F三角矩阵
?f1???
??
B?????
????
0f2????
?0
??
?*
0??0?
?? ????f???n?
2.2 线性变换的特征值与特征向量的求法 2.2.1 利用定义求解：
(1) 在线性空间
v中取一组基?1?2
?
?n
写出在此基下的矩阵A 。
(2) 求出A 的特征多项式?I?A 在数域P中的全部根。
?x1??x2
??I??A把所有不同的特征值代入0??
??x?n???
??0 ， 对每一个特征值?I 解方程组???
?x1??x2
?I?i?A??
???x?n???
??0 求其基础解系，解的一组属于?I 的线性无关的特征向量，从而求得A的全???
部特征向量。
2.2.2 利用相似性求解
同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。 3 例子
?1?
例1求矩阵A=??2
?0????1??2?
?F????0
??解：????1
???
?0??0?
0?100
0??
1?的特征根与特征向量。 1??
????1
???1??2
?0??1?
???0??1
??00
??
?01???0
0?1
????1
????1??2
?00?
???0??1
??10
??
?00???0
0?1
?
?0?2
??1?
?所以A 的0?
?1
???1??0
??10010
??1001
??1001
特征根?1?1当?1?1
(二重)
?2??1
时，因 的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换
?0??2
?B??1???0
???P?????=1?1??
?0??0?
0?10001
0??0??0??0
?00?
???0??0??10??
?212???
0?10001
0?
?0?
*
0??B??1??
????* ?0??P??1???
?1?2??
由
B??1?
*
的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为
2?
*
?1
的全
?1
部线性无关的特征向量为
属
?0和
11
2?0?
*
。
?2??1
?0
的线性无关的特征向量为
*
例2：设 是四维线性空间v的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为
?5??3A=?
?3???10?
?2?123
?4?39211
??2?
?5?，求A的特征值和特征向量。
2??7??
3
?
解： A的特征多项式为?????
0?657
5?4
32??2
12
000
?00
??
??
2
??
2?5
1??
?1?????
2??
所以A的特征值为： ?1??2?0 ?3?1 ?4?
所以A的属于特征值0 的线性无关特征向量为?1?2?1?3?2??3
?2???1??2??4
属于1的特征向量为：?3?3?1??2??3?2?4 属于 的特征向量为：?4??4?1?2?2??3?6?4
2
参考文献：
[1]北京大学数学系 〈高等代数〉 高教出版社 1988.2月第二版176-178 [2] 王向东、周士谨 〈高等代数的常用方法〉科学出版社 1989.5月第二版105页 [3] 威尔全集 〈代数特征值问题〉科学出版社 2001.4月第三版53-59 [4] 张贤科、许莆华 〈高等代数学〉 清华出版社 1998.2月第二版 121-124
范文四：矩阵的特征向量
变换的不变量——矩阵的特征向量
课题：矩阵的特征向量
教材：选修4-2 第四讲 变换的不变量-矩阵的特征向量p63-65
教学目标：通过对平面内线性变换的分析，让学生进一步熟悉线性变换，且在线性变换作用下找到变直线或具有“不变性”的向量——特征向量及其对应的特征值 教学重难点：让学生理解矩阵的特征值与特征向量具有怎样的几何意义
教学过程：
我们已经知道，平面内的线性变换将点（x，y）变成对应的点（，），这样，提出问题
原线性变换对应矩阵A=,它可以写成=
提问：那么在本题的线性变换中，有没有不变向量？
如果向量在平面内某个线性变换的作用下变成了与原向量
共线的向量，那么我们就称向量在这个线性变换下具有“不
变性”。
=，和=的向量，分别变成与自身共线的向量。它把=变成=，将=变成-=。
作出解答
通过以上分析，我们可以知道，在一个线性变换的作用下，平面内的确有一些向量在线性变换的作用下，变成了与自身共线的向量，即变成了原来向量的某个倍数。 设矩阵A=,如果存在数以及非零向量，使得
如果存在数以及非零向量，使得
A=,
则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量 注意：（1）特征向量必须是非零向量
（2）特征值与特征向量是相伴出现的
例题： 对于矩阵A=，它对应一个线性变换=，根据刚才的定义，我们如何来找到这个矩阵的特征值与特征向量？
同理，我们根据几何分析得到，线性变换只把形如=，和=的向量，分别变成与自身共线的向量。特别地，该线性变换把向量变成，把向量变成2，用矩阵的形式可表示为 =1.
=2.
因此，我们可以知道=1和=2是矩阵A的两个特征值，和是矩阵A分别属于特征值=1和=2的一个特征向量。
进一步的，可以看出，对任意的非零常数，所有形如的向量都是矩阵A属于特征值=1的一个特征向量，所有形如的向量都是矩阵A属于特征值=2的一个特征向量。因此，矩阵A的分别属于特征值=1和=2的特征向量有无数多个。
对与线性变换=A,是矩阵A的属于特征值的一个特征向量即为A=。由于课题：矩阵的特征向量
教材：选修4-2 第四讲 变换的不变量-矩阵的特征向量p63-65
教学目标：通过对平面内线性变换的分析，让学生进一步熟悉线性变换，且在线性变换作用下找到变直线或具有“不变性”的向量——特征向量及其对应的特征值
教学重难点：让学生理解矩阵的特征值与特征向量具有怎样的几何意义 教学过程：
我们已经知道，平面内的线性变换将点（x，y）变成对应的点（，），这样，提出问题 课堂总结 我们这节课主要继续研究了我们之前学的线性变换，并知道了某些线性变换下存在不变量——即我们刚刚学习的矩阵的特征值对应的特征向量。
课后思考
范文五：矩阵的特征向量
矩阵的特征向量
【填空题1】已知矩阵A=??
?22?
,则该矩阵的特征向量为_______. ??
?31?
【知识点】矩阵的特征向量 【答案】??【解析】
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
?-2??1?
???，???
?3??1?
??-a-b?
???-b??0， （?-a）?，-c?-d??
｛步骤⊙｝由一代入得??
??-2-2?2
?，，化简得?-3?-4?0 (?-2)(?-1)-6?0?
?-3?-1?
解得?1?-1，?,2?4，
?-2??-3-2?
??-1｛步骤⊙｝当时，其特征矩阵为??3?? ?-3-2??，有-3x?2y?0，则特征向量为?
????
｛步骤⊙｝当??4时，其特征矩阵为??【本题结束】
【填空题2】已知矩阵A=??
?1??2-2?
???，有，则特征向量为 2x?2y?0???
?1??-33?
?16?
?,则该矩阵的特征向量为_______. ??52?
【知识点】矩阵的特征向量
?1??6?
?【答案】??1??，?-5?? ????
【解析】
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
??-a-b?
???-b??0， （?-a），?
?-c?-d?
??-1-6?2
??-3?-28?0 (?-1)(?-2)-30?0｛步骤⊙｝由一代入得?，，化简得?-5?-2?
??
解得?1?7，?,2?-4，
｛步骤⊙｝当??7时，其特征矩阵为??
?1??6-6?
，有，则特征向量为 ???6x?6y?0???
?1??-55?
?6??-5-6?
，有，则特征向量为??-5x?6y?0?-5?? ?-5-6????
｛步骤⊙｝当??-4时，其特征矩阵为??【本题结束】
【填空题3】已知矩阵A=??
?12?
?,则该矩阵的特征向量为_______. ??-14?
【知识点】矩阵的特征向量
?1??1?
【答案】?2?，??? ???1
?1???
【解析】
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
??-a-b?
?，??-b??0， （?-a）?
?-c?-d?
??-1-2?2
｛步骤⊙｝由一代入得??1?-4??，(?-1)(?-4)?2?0，化简得?-3?-28?0
??
解得?1?2，?,2?3，
?1??1-2???｛步骤⊙｝当??2时，其特征矩阵为??1-2??，有x?2y?0，则特征向量为?2?
???1?
?2-2??1?
??3???｛步骤⊙｝当时，其特征矩阵为?，有-5x?6y?0，则特征向量为??? ?11-1????
【本题结束】
【填空题4】已知?
?a0??2a?b?-1
， 且A=?，则A的特征向量为__________。 ???
?0b??a?2b?1
【知识点】矩阵的特征值 【答案】???0??，?1??
????【解析】
｛步骤⊙｝先解出?
?1??0?
?a?-1?-10??2a?b?-1
的解为?,则A=? ???
?b?1?01??a?2b?1
??-a-b?
???-b??0， （?-a）?，-c?-d??
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
｛步骤⊙｝由一代入得??
???10?
?，（??1)(?-1)?0 ??-1??0
解得?1?0，?,2?9 ｛步骤⊙｝当??-1时，其特征矩阵为??
?00??1?
???，有，则特征向量为 -y?0????0-1??0?
｛步骤⊙｝当??1时，其特征矩阵为??【本题结束】
【填空题5】已知?
?20??0?
2x?0??，有，则特征向量为??1?? 00????
?a0??a?b?2
， 且A=??02b??，则A的特征向量为__________。 4a?2b?6???
【知识点】矩阵的特征值
?【答案】??0??，?1??
????
【解析】
?1??0?
?a?1?10??a?b?2
｛步骤⊙｝先解出?的解为?,则A=??02?? b?14a?2b?6????
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
??-a-b?
，???-b??0， （?-a）?
?-c?-d?
｛步骤⊙｝由一代入得??
??-10?
?（?-1)(?-2)?0 ?，0?-2??
解得?1?1，?,2?2 ｛步骤⊙｝当??1时，其特征矩阵为??
?00??1?
，有，则特征向量为 ???-y?0???
?0-1??0??20??0?
2x?0，有，则特征向量为????1?? 00????
｛步骤⊙｝当??2时，其特征矩阵为??【本题结束】
【填空题6】已知?
?a?b?3?ab??， 且A=?，则A的特征向量为__________。 ??
?2a?3b?6?-a2b?
【知识点】矩阵的特征值
?1??1?
【答案】?2?， ??????1
?1???
【解析】
?a?1?12??a?b?3
｛步骤⊙｝先解出?的解为?,则A=??-14?? b?22a?3b?8????
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
??-a-b?
???-b??0， ，（?-a）?
?-c?-d?
｛步骤⊙｝由一代入得??
??-1-2?
?（?-1)(?-4)?2?0 ?，1?-4??
解得?1?2，?,2?3
?1??1-2??? ?｛步骤⊙｝当??2时，其特征矩阵为?，有，则特征向量为x-2y?02??1-2?????1?
?2-2??1?
??3???｛步骤⊙｝当时，其特征矩阵为?，有2x-2y?0，则特征向量为??? ?11-1????
【本题结束】
【填空题7】已知A???
?1??1??11?
有两个特征值，分别是则其对应的特征值分别为____。 ?????，?????
?1??0??02?
【知识点】矩阵的特征值 【答案】?1?1，?2?2 【解析】
｛步骤⊙｝A的特征矩阵为??
??-1-1?
??
?0?-2?
?1??1?
｛步骤⊙｝当特征向量为?（?-1）x?y?0，将????时，有???代入得??1
?1?
?0?
｛步骤⊙｝当特征向量为?（?-2）y?0，将????时，有???代入得??2
【本题结束】
【填空题8】已知A???
?1?
?1??1??1?
?1??0??10?
?????有两个特征值，分别是则其对应的特征值分别为___。 ，?????
?0??1??03?
【知识点】矩阵的特征值 【答案】?1?1，?2?3 【解析】
??-10?
｛步骤⊙｝A的特征矩阵为??0?-3??
??
（?-1）x?0，将?｛步骤⊙｝当特征向量为????时，有???代入得??1
｛步骤⊙｝当特征向量为?（?-3）y?0，将????时，有???代入得??3
【本题结束】
?1??0??1??1?
?1??1??1??1?
【填空题9】已知矩阵A=??【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???0??，?1??
????【解析】
｛步骤⊙｝先算出??ad?bc，得??2
?20?
??,则其逆矩阵的特征向量为_______. 01??
?1??0?
?d
?-1
｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式A???
c?-???
?1?
0-1?? ｛步骤⊙｝代入得A?2??01??
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
-
b?
??? a????
??-a-b?
?，??-b??0， （?-a）?
?-c?-d?
?1??-0??，(?-1)(?-1)?0，??1，??1 ｛步骤⊙｝由一代入得1,2?2?22?-1??0
?00??1?1
1?，有?1y?0，则特征向量为?｛步骤⊙｝当??时，其特征矩阵为??0?? ?0-?22??2???1?0?0??，有1x?0，则特征向量为??｛步骤⊙｝当??1时，其特征矩阵为2?1?? ??2???00?
【本题结束】
【填空题10】已知矩阵A=??
?12?
,则该矩阵的特征向量为_______. ??
?21?
【知识点】矩阵的特征向量 【答案】???1??，?-1??
????【解析】
｛步骤⊙｝由矩阵的特征值公式为??
?1??1?
??-a-b?
，???-b??0， （?-a）?
?-c?-d?
｛步骤⊙｝由一代入得??
??-1-2?2
，??-2?-3?0，解得?1?-1，?,2?3 ?-2?-1??
?1??2-2?
???，有，则特征向量为 -2x?2y?0???
?-1??-22?
｛步骤⊙｝当??-1时，其特征矩阵为??
?1??-2-2?
｛步骤⊙｝当??3时，其特征矩阵为??1?? ?-2-2??，有2x?2y?0，则特征向量为?
????
【本题结束】
转载请注明出处范文大全网 » 矩阵特征向量的一个性质
