徐伟
范文一：【doc】洛必达法则的积分证明
洛必达法则的积分证明 募l0卷第1期
l993年6月Jun.1993
江汉大学
JournalofJianbanUnive~ity, 丝
'(华I汉口分院)l厂/>,,
摘要关于詈的洛必达法则?利用哥西中值定即可证明.而戋于兰型的洛必达法则.
避
常的证明方法比较复杂-本文利用积分?给出了两种不定式的洛必达法则的证明.
对于兰型本文
的证明显得十分简单.
关键词塑堂垄鲎不定式积分证明
定理】设(1)函数f(x),g(x)定义在(a?上?(2)li—
m
af(x)一ag(x)一0,(3)在(a.b]内有连
续的导数f(x)(x)存在且g(x)?0,,4)U—
m暑一L则有等一L
证明根据(2)可补充定义f(a)一g(a)一0由(4),对任给的,>0.存在6>0,当
a<x<ad-h时,
有:
I一Lf'(x)一
由g(x)?0及g(x)的连续性,我们不妨假定g.(x)>0,从而; I,(z)一)I<)
对于a<x<a+^:
If[,()一L.(,)]I?rI,()一()I出<r印-(,)一()一()]一q() 刚有.)一Lg()曙()'
由于g.(x)>0,则g(x)>g(a)一0 故I_Ll<e
Ji
—
m一
一
定理2设(I)函数f(x),g(x)定义在(a.b]上;E2)l
x
i
—
ra
a
'(_oJi
—
m
a
g()一..
;(3)在_h]上
有连续的导数f【x),(x)存在,且(x)?0,一lira等一L;则有暑一L
证明由(d),对任给的>0存在>0,当a<x<a+6t时有i一LI<c.由(3)不妨
假定在
98江汉大学学杖(综合瓶)J9.3年算3期 ,(r)L(z)I<(z) 对于a<x<a一6l
[,()(,)]『『f
计算出两边积分.得到:
,(幻一L9'()I以<r(,)以
由(2)~.;1li—
mag(x)=o.及g(x)>0,知xji—
m
aB(x)一一o..所以.当x充分靠近a时有grx)<D.故
不妨假定当a<x<a时(x)<0且g(a+)<0,则;If(x)一竖老LEl!]I<cEl ]<.所以有,IF(x)一LI<II+ILII导!I,由于一..一故对住
给的e>0,存在,使得:当a<x<a十时有I丛I<,当a<x<a+时有ILl?lI <e.取^=min.,},则当a<x<a+6时有;I篆;一,』I<3c即:…lira嚣骞一L. 本文只是为了证明确定起见.才考虑区间是(a,b_,而且变量x从右边趋向于a的情形.对于变
量x从区间_b,a)的左侧趋向于a,及变量x从含有a的某个区间内双佣趋向于a的情形也可同样
证明至于当xj一时的詈型及萎型的洛必达法的证明,只要作代换x一古,则; 鲁一
一一
…e)…g)
最君,若r.=...则(1)成为
故硝
则也肯
…lira}篆一.由于(x)?0则至少充分靠近a时f(x)?0,
.
f(x)ll
j一孺一孺一
l
—
im=l
…
irn成立
参考文献
l菲赫盘歌尔茨.数学丹析(第1卷)莫斯辞.苏联国立拄犬理论书籍出片社
-I955.2IO,2I
2DonaldHan.LH~pital.sRuleviaincerg|a岫
n.TheAmerl~nMathematicalMonthly,I99I,98(2)I56 ???/
范文二：关于洛必达法则的补充证明
3Ξ 关于洛必达法则的补充证明
胥爱霞 ,归根元
()明达职业技术学院 ,江苏 射阳 224300
摘 要 :在微积分与高等数学中 ,用洛必达法则求一个函数的极限 ,方法简便 ,易操作 ,但对于该法则的多种情况的证明 , 现行教材有不足之处 ,本文作一个补充 。
关键词 :洛必达法则 ;无穷小量 ;未定式
中图分类号 :O171 文献标识码 :A
δ( ) ( ) 在现行的微积分或高等数学教材中 ,关于洛必达法则的 设 x= a - ,在 [ x, x ]上 f x、g x 满足柯西定理的 0 1 0 0 0 0 证明 ,只对定理 1作了详细的证明 ,关于其它定理 2、3只 ( ) ( ) 全部条件 ,在 [ x , x ]上连续 ,在 x , x 内可导且 g ′x?0 , 0 0 0 0 说了同样适用洛必达法则 ,而没有作证明 ,本文对定理 2、3 ( ) ( )f x- f x (ξ) 0 f ′ ( ) ξ= , 则在 x, x内至少存在一个,使得 0 ( ) ( ) (ξ)g x- g xg ′ 0 作个补充证明 . 0 0 () () 定理 2内容 :设函数 f x、g x满足 : ξ( ξ ( δ ) ξ ) ?x, x ,即 ?U a , ,当 ?a 时 x ?a - 0. 0 1 () ( ) ( ) 1limf x= ?,limg x= ?; ( )(ξ)f ′x f ′ x ?a x ?a () ( 存在 ,设 lim由条件 3lim = K K 为有限 ( )ξ(ξ)x ?a g ′x ?a g ′ () () ( ) 2a 的某去心邻域内 x|> X 时, f ′x, 在点 当| (ξ)f ′ g (′ x) 存在 ,且 g (′ x) ?0 ; ) - K ,是无穷小量 值,即 (ξ)g ′ ( ) f ′x() () 3lim 存在 或为无穷大, ( ) ( )f x- f x 0 ( )x ?a g ′x ()也就是- K 1 ( ) ( )g x- g x 0 ( ) f x() 则lim 存在 或为无穷大,是无穷小量 . ( )x ?a g x
由现在条件推出的 (1) 式能否证明到下式 ( ) ( ) f x f ′x 且lim = lim .( ) ( )x ?a g xx ?a g ′x ( )f x ()K -2 ( ) g x() ( ) ( ) 证明分析 :由条件 1limf x, limg x,这情况= ?= ? x ?a x ?a 0 () 也是无穷小量 x ?a - 0 时.当 不可能利用定理 1的条件对 x = a 处作补充定义 ,但由极限
知识可知 :无论预先给定多么大的正数 X ,总存在点 a 的去 在 (1) 式中的无穷小量与 x有关 , (2) 式中是需证且与 x无 0 0
() () ( ) ( ) 关 ,为了消去 1式中的 x,化成 2式 ,分析恒等式 : 心邻域内 ,| f x| > N ,| g x| > N . 0
由条件 (2) 在点 a 的去心邻域内 , f (′ x) , g (′ x) 存在 , ( )f x - K ( )g x ( )f ′x ( ) ( ) 且lim ( ) ( )( ) ( ) = k k 为有限值, g ′x?0 , f x - kg x g ( x ) f x- f x 0 0 0 0 ( )x ?a g ′x ()= + 〃- K 3 1 - ( ) ( )( )( )g x- g x g x g x0 ( ) (( ) ) ( ) 设 g ′x> 0 对 g ′x< 0="" 同样证明,则="" g="" x是增函数="" ,="" ()="" ()="" ,它是个无穷小3式中的第二项的一个因式就是="" 1式="" 即当="" x="" -="" 0="" 时="" ,设="" g="" (="" x)="" 假定="" g="" (="" x)=""> 0 ,使得 g ( x) 在 ( ) g x 0 0 ( ) 是为了消去分母中的 g x- 量 ,另一个因式 1 - ( )g x ( δ) ( ) ( ) )(去心邻域 U a ,的 x 都有 f ′x, g ′x存在. 如图1 ( ) g x 0 ( ) ( ) 是小g x,因为 g x为增函数 ,且 x > x,故 1 - 0 0 ( )g x
于的 1 正数 ,所以第二项当 x ?a - 0 时是无穷小量 . 同理即
0 ( ) ( δ) δg x在 U a ,是增函数 ,存在 使得第一项当 x ?a - 01 2
时为无穷小量 .
预先给定任意小的正数 ε,总存在 δ= min (δ,δ) ,当 x 1 2
0 ( δ) ?U a ,使得
Ξ 收稿日期 :2006 - 08 - 30
连云港职业技术学院学报2006 年第 4 期〃80 〃
加法定理 ( ) ( )f x- kg x x sin6 ( )0 0 f x = lim ?+ -K ( ) π g xsin2 x g ( x) x ? 2定理1 g ( x) f ( x) - f ( x) - k [ g ( x) - g ( x) ] 0 0 0 〃cos6 x6 ε< 〃1="" -="lim" (="" )="" (="" )g="" x-="" g="" x(="" )g="" xπ="" 0="" 2〃cos2="" x="" x="" 2="" (="" )="" f="" x="3" im="K" (="" )x="" g="" x="" 2="" 定理1="" tan="" x="" secx="" 但求lim="lim" 2="" (="" δ)="" 以上在="" a="" -="" ,="" a内即="" x="" -="" 0="" 当="" k="" 为有限值情况的证="" x="" x="" tan3="" x="" 3〃sec3="" x="" 2="" 明="" ,="" 当="" k不="" 为="" 有="" 限="" 值="" ,="" 即="" k="" ,="" 至="" 少="" 在="" a="" -="" 0="" 的="" 近="" 处="" 有="" x="" 1="" cos="" 3="lim" 2="" 3="" x="" cos="" x="" (="" )="" (="" )="" g="" ′xg="" x(="" )="" f="" ′x="" ,="" 即="" lim="0" ,="" 也="" 就="" 有="" lim="0" ,="" 所="" 以="" (="" )(="" )x="" f="" x="" x="" f="" ′x="" 1="(" )3="" f="" x="" (="" δ)="" lim="" 于在="" a="" ,="" a="" +="" 内即="" x="" +="" 0="" 同样证明="" ,如="0" x="" g="" (="" x)="" 定理="" 3内容="" :设函数="" f="" (="" x)="" ,="" g="" (="" x)="" 满足="" :="" 0="" 何使用该定理与使用定理="" 1的方法一样="" ,="" 每步使用该法则="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" 1="" lim="" f="" x="0" ,="" lim="" g="" x="0" ;="" x="" x="" 0="" 必须审查是否属未定式“="" 型或“="" ”型="" ,="" 教材中已有明确="" ”="" ()="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" 2当|="" x|=""> X 时 , f ′x与 g ′x存在 ,且 g ′x?0 ; 0 ? 0 ( ) f ′x指出 ,不作具体说明 ,只举一实例说明论证定理 2. () () 3lim 存在 或为无穷大( )x ?? g ′x x tan 例 求极限 lim . f ( x) π tan3 x () 则 lim 存在 或为无穷大且 x ? 2x ?? g ( x) π ( ) ( )f x f ′x 解 :当 x ? 时 ,- 0 lim = lim 2 ( ) ( )x ?? g xx ?? g ′x ( ) ( ) f xtan x ?+ ?, g xtan3 x ?+ ?;= = ? 当 x ??时 ,还有未定式“ ”型 ,都是一样的相应的洛 ? π 当 x ? 时 ,+ 0 2 必达法则.
( ) ( ) )(f x= tan x ?- ?, g x= tan3 x ?- ?, 如图 证明的思 路 也 可 以 采 用 相 同 方 法 , 还 可 以 采 用 变 量 代
换 :
1 令 x = ,则 t
1 1 1 )( ) ( ( )f ′〃- f 2 t ( )( )f xt f ′xt lim = lim = lim = lim ( )x ?? g x 1 t ?0 1 1 ( )t ?? x ?? g ′x )( ) ( )(g ′〃-g 2 t t t
参考文献 :
1 北京大学数学科学学院 . 高等数学辅导 M . 北京 :科学
技术文献出版社 ,2001.
? 完全与上述一般证明中情况一致 ,都属于未定式“ 型 , ” ? () 作者简介 :胥爱霞 1981 - ,女 ,江苏明达职业技术学院基础 2 2 定理2 xx x tan sec cos 3 lim= lim= lim 2 2 部教师 ,主要从事数学与应用数学研究与教学 。 πππtan3 x 3〃sec3 x 3〃cosx x ???x x 222定理1 ( ) 2cos3 x - sin3 x〃3 = lim ( ) π 2cos x - sin x〃3 x ? 2
Supplement Demonstration on L’Hospital Rule
XU Ai - xia , GUI Geng - yuan
()Mingda Technical College , Sheyang 224300 , China
Abstract : In calculus and higher mathematics , the L’Hospital Rule is used to compute functional limit , easy to operate . However , defect exists in current teaching materials in demonstrating the rule under various circumstances , the paper pr2 esents a supplement .
Key Words : the L’Hospital Rule ; dimensionless ; indeterminate form
范文三：洛必达第二法则的证明
洛必达第二法则的证明
洛必达根据伯努利的讲稿写出了最早的一本微分学教科书。他在这本书中提出了求未定型函数极限的洛必达法则。根据这个法则，形式为
x?a(?)limf(x)?0???或? g(x)?0??
f(x)
g(x)的极限可以很容易地求出来。现在，人们都把洛必达当初求极限 x?a(?)lim?0??? ?0?
????? ???的法则称为洛必达第一法则；而把求极限 x?a(?)limf(x)g(x)
的法则称为洛必达第二法则(这是后来由柯西补充的)。
在很多微积分的名著（*）中，都特别指出，与第一法则(limf(x)?limg(x)?0)x?a(?)x?a(?)不同，第二法则的条件中不必须有
x?a(?)limf(x)?? [当然必须有limg(x)??] x?a(?)
可是，在过去的非数学专业用的很多教科书中，都没有注意到这一点。 洛必达第二法则 若函数f(x)和g(x)满足条件：
(i) 对于点a近旁的x?a（或绝对值足够大的x），有导数f?(x)和g?(x)且g?(x)?0,
(ii)limx?a(?)g(x)???(??), (iii)limx?a(?)f?(x)?A(有限数或??), g?(x)
limf(x)f?(x)?lim?A x?a(?)?g(x)g(x)则有 x?a(?)
证 为简单起见，不妨就x?a?(??)的情形来证明。因为 g?(x)?0，所以g?(x)不变号（达布定理）。于是，函数g(x)在点a右旁或x足够大时是严格单调函数。因 ①《微积分学教程》（[俄]菲赫金哥尔茨著，第一卷第一分册）
②《Principles of Mathematical Analysis》（[美]W.Rudin）
124 （*）
此，对于上面所说范围内的任何x和y(x?y)，根据柯西中值定理，则有
f(y)?f(x)f?(c)（其中c在x与y之间） （※） ??g(y)?g(x)g(c)
设任意单调数列xn?a?(??)。根据条件(ii)，则数列g(xn)严格增大且g(xn)???（*）。根据式（※），
f(xn)?f(xn?1)f?(cn)（其中cn在xn?1与xn之间） ??g(xn)?g(xn?1)g(cn)
而根据施笃兹定理(**)和条件(iii)，则有
n??limf(xn)f(xn)?f(xn?1)f?(cn)?lim?lim?A n??n??g(xn)g(xn)?g(xn?1)g?(cn)
f(x)?A g(x)最后，根据函数极限与数列极限的关系（海因定理），则有 lim?x?a(??)
【注】像下面这样的习题：
⑴ 若函数f(x)在区间(a,??)内可微分，且limf?(x)?0，证明 x???
f(x)?0[《数学分析习题集》（吉米多维奇著），第1256题] x???x
⑵ 若函数f(x)在区间[a,??)上连续，且limf(x)?c，证明 limx???
1limx???x?x
f(x)dx?c
a
用洛必达法则不是很容易就证明了吗！可是，有考试命题人或《习题解答》却在那里拐弯抹角把简单问题复杂化。
（*）数列g(xn)严格减小且g(xn)???时，可考虑f(xn)?f(xn)? [其中?g(xn)???]. g(xn)?g(xn)
(**)《跟我做微积分演习》（阎占立等编，第1-7节习题7，郑州大学出版社，2006）.
125
范文四：洛必达法则的简便证明
洛必达法则的简便证明（以x →
柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式. 定理（
00
+
x 0为例）
+
型，
*∞
型）若函数f 和g 满足条件
00
1）lim f (x ) =lim g (x ) =0（是说极限为
x →x 0
x →x 0
+
型不定式）（
*∞
型中的1）lim g (x ) =∞）
x →x 0
+
g '(x )
且有确定的趋势），则
x →x 0
2）lim +
f '(x )
（是说在x 0的某邻域U + (x 0) 内，=A （A 为实数或±∞，∞）
f '(x ) g '(x )
有意义，
x →x 0
lim +
f (x ) g (x )
=A .
注 同时满足定理的几个条件才可适用. 1）只有断言lim +
x →x 0
f '(x ) g '(x )
（A 为实数或±∞，∞），洛必达法则才能使用. 否则，无法使用. =A 时
x sin
2
1
例如lim
x →0
，lim f '(x ) 不存在，无法使用定理作判断，其实，lim
x →0x →0g '(x ) x
x sin
x
2
1=0.
2）可以在求一个极限时，多次使用.
3）及时化简. 如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐. 如 lim
x →
sec x tan x
π
.
2
范文五：关于洛必达法则的补充证明
第!#卷第%期(
文章编号：!
连云港职业技术学院学报;:?1
G
ICD-(
关于洛必达法则的补充证明!
胥爱霞，归根元
（明达职业技术学院，江苏射阳((%&
摘
要：在微积分与高等数学中，用洛必达法则求一个函数的极限，方法简便，易操作，但对于该法则的多种情况的证明，
现行教材有不足之处，本文作一个补充。
关键词：洛必达法则；无穷小量；未定式中图分类号：+!*!
文献标识码：,
全部条件，在［!
在现行的微积分或高等数学教材中，关于洛必达法则的证明，只对定理!
!#
!#
（#!）$（#!
4，
$（!）$$（!
（!
由条件（&）123
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（(）在点
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（!）!#
（!）!#
证明分析：由条件（!）123（#!）45，123$（!）45，这情况
!#
!#
值），即也就是
#（&
$+是无穷小量，
$（&
#（&!）#&（
$（&!）&
（!）
是无穷小量’
由现在条件推出的（!）式能否证明到下式（#!）
（!）$+$
也是无穷小量（当!#
在（!）式中的无穷小量与!
（#!
9
$（!）
（#!）$（#!）!）
$+][!$$（][（!）$$$（!）$（!）
（(）
不可能利用定理!的条件对!4
由条件（(）在点
且123#&!4)（)为有限值），（!）$&$
设$（&!）7
（&）
（&）式中的第二项的一个因式就是（!）式，它是个无穷小（!
量，另一个因式!$是为了消去分母中的$（!）$
（!）$
$（!
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心邻域*（
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预先给定任意小的正数#，总存在!432:（!!，，当!!(）（
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8#
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连云港职业技术学院学报
定理*
+’’4年第I期
42304!+230+!!!
+
（#!）
%%（!）!!
以上在（
明，当%不为有限值，即%!(时，至少在
（
!!
何使用该定理与使用定理*’的方法一样，每步使用该法则必须审查是否属未定式“(”型或“’”型，教材中已有明确指
(’
出，不作具体说明，只举一实例说明论证定理+’’
例
求极限
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+
%
但求
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（+）当5!56(时，与$（存在，且$（#（&!）&!）&!）
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（#!）
存在（或为无穷大）且
!!($（!）（#!）#（&!）
(
当!!(时，还有未定式“”型，都是一样的相应的洛
(
必达法则’
则
证明的思路也可以采用相同方法，还可以采用变量代换：
令!%*，则
)
*（）#（&#
（#!）)
（!）)!(*!!($
（）)!’$（$&
)参考文献：
［*］北京大学数学科学学院7高等数学辅导［8］科学7北京：
技术文献出版社，+’’*7
*
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*）)+#&（!）
%
解：当!!
+（（!）#!）%,-.!!)(，$%,-./!!)(；
当!!
+
（（!）（如图）#!）%,-.!!&(，$%,-./!!&(，
完全与上述一般证明中情况一致，都属于未定式“(”型，
(
,-.!定理+012+!230+/!
+
+
+
定理*
作者简介：胥爱霞（*9:*&），女，江苏明达职业技术学院基础部教师，主要从事数学与应用数学研究与教学。
%%
+230/!（&0#./!）/
+230!（&0#.!）/!!
+
加法定理
0#.4!0#.+!!!
+
!
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（8#.AD-E12F.#2-
23+(,-4(：@.2-
5%67*,8+：,F1K’L30M#,-
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