文涛-
范文一：等边三角形
等边三角形
1、（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
故选C．
点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．
2、（2013?自贡）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（ ）
3、（2013?雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接
AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．
4、（2013?十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（
）
5、（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB
于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②
∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（ ） ；③△PMN为等边三角形；④当
6、(2013?遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
7、（2013台湾、23）附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（ ）
A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6
考点：正方形的性质；等边三角形的性质．
分析：过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解． 解答：解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，
∴F点到AC的距离为6
故选D． ﹣6．
点评：本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．
8、（2013菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是
，（或介于和之间的任意两个实数） （写出1个即可）．
考点：等边三角形的性质．
专题：新定义；开放型．
分析：根据等边三角形的性质，
（1）最长的面径是等边三角形的高线；
（2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径．
解答：解：如图，
（1）等边三角形的高AD是最长的面径， AD=×2=；
（2）当EF∥BC时，EF为最短面径，
此时，（
即=）=， ， 2
解得EF=． 所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）． 故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）．
点评：本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．
9、（2013?铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.6 ．
10、（2013?宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．
（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；
（2
）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．
11、（2013?天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 7 ．
12、（2013聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 ．
考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．
解答：解：如图，∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°， ∴AD=ABcos30°=6×=3．
根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，
∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°，
∴△ADE的等边三角形， ∴DE=AD=3，即线段DE的长度为3．
故答案是：3．
点评：本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
13、（2013? 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．
14、（2013?黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
15、（2013?黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．
16、(2013年广东湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,?,，顶点依次用
A1、A2、A3、A4、?表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与
A4A5、A4A5与A7A8、?均相距一个单位，则顶点A3的
坐标是
，A92的坐标是
解析：考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知，
A3的纵坐标为：
A2A3?sin600?1?2
而A2的?A3?1，1?1，??
横坐标为：A2A3?sin300?2??1，由题意知，A2的纵坐标为?1，?A2?1,?1?，容易发现A2、1
2
A5、A7、?、A92、?这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， ?A2、A5、A7、?、A92、?的下标2、5、7、?、92、?有规律：92?2?30?3?2??31?1??3，?A92是第31个正三角形（从里往外）的右端点，?A92?31,?31?
17、（2013福省福州19）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点
O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．
专题：计算题．
分析：（1）由点A的坐标为（﹣2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；
（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°． 解答：解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案为2；y轴；120．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质．
18、（2013?湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
范文二：等边三角形
《等边三角形》教学设计
河北省三河市第八中学 王彬
一、教材分析：
《等边三角形》是人教版八年级上册第十四章第三节的内容，是对轴对称图形的研究。我们生活在一个充满对称的世界中；许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性；对称给我们带来了很多美的感受。轴对称是对称中重要的一种。轴对称有哪些性质？怎样画一个轴对称图形？怎样用对称性来探索等边三角形的性质？让学生走进轴对称世界，探索它的秘密。
二、学情分析：让学生通过思考问题引入新课，通过动手操作，通过观察、猜想、归纳、证明引导学生发现等边三角形的性质及判定；理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。
三、设计理念：通过对两个三角形全等性质的研究，将前后知识很好的连接起来，复习等腰三角形，延伸至等边三角形。通过类比、分析来区分、识记这两部分的性质及判定；借助等边三角形的性质可以帮助学生理解含30°角的直角三角形的特殊性质。
四、教学目标：
1、熟记等边三角形的定义；等边三角形的性质及判定。
2、通过前后知识的衔接，培养学生的逻辑推理能力。会用等边三角形的相关性质解决简单的实际问题。
3、经历通过探究发现规律的过程，感受数学学习的乐趣，激发数学学习的兴趣。经历通过等边三角形的相关性质解决实际问题的过程，体会数学与现实的密切联系，感受数学的应用价值，培养应用意识。感受到等边三角形用作很多的图案设计，是设计师们喜爱的图形之一。
五、教学重点：
等边三角形的三个性质及判定定理；理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。并会利用相关性质解决简单的几何证明和实际问题。
六、教学难点：
等边三角形性质的发现，定理的推导和理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据，以及定理的灵活运用
七、教学过程：
九、体验与反思：
等边三角形的性质及判定：含30°的直角三角形的直角边与斜边的关系。
1、数形结合的思想方法不能只用两三节课讲解，应当向任子钊先生所说：数学的思想方法讲解，要在平时的每一节课对学生进行适当的渗透熏陶。学生对定理的理解只是局限在“一半”而没有真正的理解，这个定理必须在直角三角形中才成立。
2、重在培养学生善于动手画图，结合图像解决问题的能力，进而提高解题的速度和准确率。 3、本节课的讲解相对成功，但还需完善，随学生的变化作出相应的调整。
4、应当让学生明白，数形结合的方法，能够提供思路方法，但必要的代数计算，严格的理论推证是不能被替代的。
范文三：等边三角形
等腰/等边三角形复习
上次作业训练回顾 求角度问题
1. 等腰三角形有一个角为40°，则另外两个角分别为_______．
2.等腰三角形中，有一个角是50°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ） A．12 B．15 C．16 D．18
4.已知：如图1，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求：∠BAC的度数．
图1
AABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则∠EDF等于＝__________． 5. 如图
23.一个等腰三角形的一边长是6，一个外角是120°，则它的周长为（ ）
A
F
图2 图3 图4
6. 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°， 则∠C的度数为（ ）
7．如图4，AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°，则∠CDE=_______． 8．如图5，△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．54°
D
C
EB
D
B
E
C
图5 图6 图7 9．如图6，△ABC中，AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系满足（ ） A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°
C．∠1+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°
10．如图7，AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中共有等腰三角形（ ） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个
1
11．如图8，∠A=90°，E是BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
图8 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC=AD，求△ABC各角的度数.
．利用等腰三角形的性质求线段的问题
1.已知：在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABE的周长是14cm， 求：AB的长。
2.等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是
3.等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则腰长为 .
4．已知：在△ABC中，AB＜AC， BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8 cm，△ABE的周长是14 cm，求AB的长．
5．如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米。 则?EBC的周长为（ ）厘米 A．16 B．28 C．26 D．
18
2
C
B
等边三角形的性质： 等边三角形的判定：①
② ③
证明题
例1. 已知如图在等边三角形ABC各边上分别取D、E、F，使AD＝BE＝CF，AE、BF、CD两两交于G、H、K三点，求证：?GHK为等边三角形。
例2：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE交CD于P，求证： （1）BD＝AE；
（2）△CPQ是等边三角形； （3）PQ∥BC。
A
D
B C E
3
课后训练题目
1：如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则△DEF是等边三角形.请说明理由.
E
变式1：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF是等边三角形.
变式2：△ABC为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF为等边三角形吗？说明理由.
变式3：如图,△ABC是等边三角形.分别延长CA、AB、
BC到A′、B′、C′，使AA′=BB′=CC′，则△A′B′C′是等边三角形.请说明理由.
4
E
A′
B
2：如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．
B
A
D
C
www.czsx.com.c
5
2：如图所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求证：AD=BE．
BADC
www.czsx.com.c
5
如图，等边△ABD和等边△CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．
E、F移动时，△BEF的形状如何
?
6
范文四：等边三角形
1、12边形的对角线一共有 条。
一个三角形的三个内角的度数之比是2:3:7，则这个三角形一定是 三角形。
1
已知AD 是等腰三角形ABC 的高，且AD=2BC ，则△ABC 底角的度数为（ )
A、45° B、75° C、45°或75°或15° D、60°
等腰三角形有一个角为50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A、25° B、40° C、25°或40° D、大小无法确定
在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （2，-2），在y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）
A 、2个 B、3个 C、4个 D、5个
已知点P 关于x 轴的对称点为（a ，-2），关于y 轴对称点为（1，b ），那么点P 的坐标为
7、一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a 的取值范围是 ，它的最长边b 的取值范围是
8、一个等腰三角形的一个角是300, 它的一腰上的高与底边的夹角是( ) (A)150 (B)600 (C)150或600 (D)不确定.
9、等腰三角形一腰上的高和底边所夹的角等于( ).A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的2倍 D. 底角的一半
10、如图，在⊿ABC 中，AB=AC，且BE=CD，BD=CF，则∠EDF 的值是( )
A.180°-2∠B B. 180°-∠B C.∠B D.90°-∠B
11、等腰三角形的周长为12, 则腰长a 的取值范围是( )A.a>6 B.a<3>
12、如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D 。求证：∠2=∠C+∠1
13、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D, 又延长BA 到E ，使AE=BD,连接CE,DE 。求证：△CDE 为等腰三角形
14、已知：在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 边上一动点（不含端点A 、B ），连接CE ，过点B 作CE 的垂线交直线CE 于点F ，交直线CD 于点G （如图①）．
（1）求证：AE=CG；
（2）若点E 运动到线段BD 上时（如图②），试猜想AE 、CG 的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论；
（3）过点A 作AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，并交CD 的延长线于点M （如图③），找出图中与BE 相等的线段，并证明．
1、（1）问题发现
如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ，
填空：①∠AEB 的度数为 ；
②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900， 点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．
2、如图9，△ABC 是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求△AEF 的周长．
3、如图在等腰直角三角形ABC 外以直角边AC 为边作正△ACD,AE ⊥CD 于E,
BD、AE 交于F, 连接CF, 求证：△CDF 为等腰三角形
4、已知一个长方形的长增加3cm ，宽减少1cm ，面积保持不变，若长减少2cm ，宽增加4cm ，面积也保持不变，求原长 方形的面积。
5、解不等式(3x-2)(2x-3)>(6x+5)(x-1)+15
6、先化简，再求值(3a +2b )(2a -3b ) -(a -2b )(2a -b ) ，其中
7、已知9a
22(x +px +8)(3x +q ) 乘积中不含x 2项和x 3项，求p ，q 的值。
8、n -6a =-1.5, b =14 b -2-n 与-2a 3m +1b 2n 的积与5a 4b 是同类项，求m ，n 的值
范文五：等边三角形
如图，过边长为 1 的等边△ ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一 点，当 PA=CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）如图，在等边△ ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠ADE=60° ，BD=3， CE=2，则△ ABC 的边长为（ ）如图所示，在等边△ ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且 BD=AE，AD 与 CE 交于 点 F，则∠DFC 的度数为（ ）如图，等边△ ABC 中，点 D、E 分别为 BC、CA 上的两点，且 BD=CE，连接 AD、BE 交 于 F 点，则∠FAE+∠AEF 的度数是（ ）40如图， 等边△ ABC 中， 若 BP=l， 则∠APD AB=3， P 为 BC 上一点， D 为 AC 上一点， CD= 23， 等于（ ）
如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 上的点，DE⊥AC，EF⊥AB， FD⊥BC，则△ DEF 的面积与△ ABC 的面积之比等于（ ）7、如图，已知边长为5的等边三角形 ABC 纸片，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，沿着 EF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置，且 ED⊥BC，则 CE 的长是（ ）21、如图，等边△ DEF 的顶点分别在等边△ ABC 的各边上，且 DE⊥BC 于 E，若 AB=1，则 DB 的长为（ ）37、如图，△ ABC 为边长是 5 的等边三角形，点 E 在 AC 边上，点 F 在 AB 边上，ED⊥BC，且 ED=AE，DF=AF，则 CE 的长是（ ）100、如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点 E，F 是 AD 上的两点， 则图中阴影部分的面积是（ ）
8如图， △ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形， 被一平行于 BC 的矩形所截， AB 被截成三等分， 则图中阴影部分的面积为（ ）11、如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，沿 DE 所在直线折叠，使 点 B 恰好与点 A 重合，若 CD=2，则 AB 的值为（ ）13如图，A、C、E 三点在同一条直线上，△ DAC 和△ EBC 都是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中， 正确结论的个数是（ ）15、如图，已知△ ABC 和△ CDE 都是等边三角形，AD、BE 交于点 F，则∠AFB 等于（32、）、如图，已知等边△ AEB 和等边△ BDC 在线段 AC 同侧，则下面错误的是（）
84A、△ ABD≌△EBCB、△ NBC≌△MBDC、DM=DCD、∠ABD=∠EBC如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE， AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ．以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度． 恒成立的结论有． （把你认为正确的序号都填上）如图，一个足够大的五边形，它的一个内角是 120° ，将 120° 角的顶点绕一个小正三角形的 中心 O 旋转，则重叠部分的面积为正三角形面积的（ ）39、如图，AC=BC，AC⊥BC 于 C，AB=AD=BD，CD=CE=DE．若 AB= 2，则 BE=（55、）如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA 的度数比为5：6：7，以 AP 为边作正△ APD，连接 DC，则△ PDC 的三个内角度数比为（ ）95
如图， 等边三角形 ABC 内有一点 P， 过点 P 向三边作垂线， 垂足分别为 S、Q、R，且 PQ=6， PR=8，PS=10，则△ ABC 的面积等于（ ）65如图， △ ABC 是等边三角形， P 是 BC 上任意一点， PD⊥AB， PE⊥AC， 连接 DE． 记△ ADE 的周长为 L1，四边形 BDEC 的周长为 L2，则 L1 与 L2 的大小关系是（ ）6667、已知等边△ ABC 的边长为 2，则其面积为（）如图所示，△ ABC 为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB 于 R，PS⊥AC 于 S，则四个 结论正确的是（ ） ①点 P 在∠A 的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．69如图，已知△ ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠E=度．如图，△ ABC 是边长为3的等边三角形，△ BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120度．以 D 为顶点作一个60° 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则△ AMN 的周长为．
如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，
PR=8，PS=10，则△ABC的面积等于（ ）
65
如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE
的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（ ）
66
67、
已知等边△ABC的边长为2，则其面积为（ ）
如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
，则四个结论正确的是（ ）
①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．
69
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=
度．
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为
．
142、
如图，正三角形
A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：
（1）△A3B3C3的边长a3=
；
（2）△AnBnCn的边长an=
（其中n为正整数）．
162、
如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD=
度．
如图所示，在△ABC中，分别以AB、等边△ACE、等边△BCF．AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD， （1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足
条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足
条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足
条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
如图，P
是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4
：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
22、
已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．
（1）求证：DP=PE；
（2）若
D为AC的中点，求BP的长
如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
36、
已知如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．
（1）求证：AC=BE；
（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度数．
37、
已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由
△BCM≌△NCA，易证结论：①BM=AN．
（1）请写出除①外的两个结论：
；
（2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数
；
（3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）；
（4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化
（填变化或不变）；
（5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN=BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
如图，D为等边三角形ABC的边BC上的一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接BE． （1）求证：BE=CD；
（2）分别取BE、CD的中点M、N，连接AM、AN、MN，试判断△AMN的形状，并给出证明．
64、
看图回答下面问题：
（1）如下图，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．请写出图中，△ABC和△ABP面积之间的数量关系；
（2）如下图，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=1，以PB为一边作正三角形PBD，求△ADC的面积；
（
3）如下图，边长为6的正三角形ABC，P是BC边上一点，且PB=2，以PB为一边作正三角形PBD，求△ADC的面积；
（4）根据上述计算的结果，你发现了怎样的规律？提出自己的猜想并依据下图予以证明；
（5）如下图，有一块正三角形的草皮ABC，由于某种原因，需要将三角形草皮ABE移植到三角形的草皮
，并保持其面积不变，请你AEC的右侧，成为一块新的三角形草皮ADC（A、E、D三点要在一条直线上）
画图说明如何确定点D的位置．
