秋名大少
范文一：教案《函数的基本性质题型讲解》
函数的基本性质
1. 增函数与减函数
定义：对于函数f (x )的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1, x 2.
（1）若当x 1
（2）若当x 1 ②x 1, x 2的任意性； ③增函数y 随x 的增大而增大，呈上升趋势；减函数y 随x 的减小而减小，呈下降趋势. 2. 增函数与减函数形式的等价变形 ①f (x ) 在区间M 上是增函数??x 1, x 2∈M , 当x 1 (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0? (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]<> 3. 单调性与单调区间的定义 f (x 1) -f (x 2) >0?f (x ) 在[a , b ]上是增函数； x 1-x 2f (x 1) -f (x 2) <0?f (x="" )="" 在[a="" ,="" b="" ]上是减函数.="" x="" 1-x=""> 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间） 注意 单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开. 4. 单调函数的运算性质 若f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )+C 具有相同的单调性； (2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <> (3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1具有相反的单调性； f x (4)当f (x )，g (x )都是增（减）函数时，f (x )+g (x )都是增（减）函数； 5. 复合函数的单调性：同增异减 6. 函数的最大（小）值的定义 一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤(≥)M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)=M . 那么，我们称M 是函数y =f (x )的最大（小）值. 注意 （1）M 首先是一个函数值，他是值域的一个元素； （2）对于定义域内的每一个元素都满足f (x )≤(≥)M ； （3）这两条缺一不可. 7. 奇偶性的定义 奇函数：一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) . 偶函数：一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) . 奇偶性：如果函数f (x )时奇函数或偶函数，那么就说函数f (x )具有奇偶性. 注意 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．． ⑵f (x ) 是奇函数?f (-x ) =-f (x ) ；f (x ) 是偶函数?f (-x ) =f (x ) ； ⑶奇函数f (x ) 在0处有定义，则f (0) =0； （4）奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称； （5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性. 8. 函数奇偶性的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3） 两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数； （5） 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 9. 复合函数的奇偶性 若函数g (x )，f (x )，f [g (x )]的定义域都是关于原点对称的，则u =g (x )，y =f (u )都是奇函数时，y =f [g (x )]是奇函数；u =g (x )，y =f (u )都是偶函数，或者一奇一偶时，y =f [g (x )]是偶函数． 类型一 用定义证明函数的单调性 例1 用定义证明f (x )= 例2 讨论f (x )=x + 例3 设函数f (x )= 的单调性. 2x +1在定义域内为增函数. k 在其定义域上的单调性. x x +a (a >b >0)，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上x +b 类型二 运用单调函数的运算性质判断函数的单调性 例1 已知y =f (x )与y =g (x )均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性. （1）y =-2f (x ) （2）y =f (x )+2g (x ) 例2 判断下列函数在其定义域内的单调性. 3（1）y =x +x （2）y =x +a (a >b >0) x +b 类型三 复合函数的单调性 例1 函数f (x ) = 例2 函数f (x ) = -x 2-2x +3的单调递增区间是_______. 1的单调递增区间是 . 2x +2x +2 类型四 利用函数的单调性求参数的取值范围 例1 若函数f (x )=a x -b +2在 例2 函数f (x )=ax 2-(3a -1)x +a 2在[-1, +∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 例3 函数f (x ) = 2??x +4x , x ≥02例4 已知函数f (x )=?若f 2-a >f (a )，则实数a 的取值范围. 2??4x -x , x <0. [0,="" +∞)上为增函数，则实数a="" ,="" b="" 的取值范围.="" ax="" +1在区间（-2，+∞）上是增函数，求a="" 的取值范围.="" x=""> 类型五 利用函数的单调性求最值 例1 （1）求函数y = （2）函数f (x )=x +x -1的最小值； 3在区间[1, 5]上的最值； 2x -1 ?1?, x ≥1（3）函数f (x )=?x 的最大值. ?-x 2+2, x <> 例2 （1）函数y =-x 2+6x +9在区间[a , b ](a <3)上有最大值9，最小值-7，求a ,="" b=""> （2）已知A =[1, b ](b >1), 对于函数f (x )= 求b 的值. 1(x -1)2+1，若f (x )的定义域和值域都为A ，2 x 2 +x 在区间[m , n ]上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的（3） 已知函数f (x ) =-2 值. （4） 已知函数y =x 2-2x +3在闭区间[0, m ]上有最大值3，最小值2，求m 的取值范围 . 例3（1） 已知函数f (x )=ax - 求a 的值. （2）已知函数f (x ) =ax +2ax +1在区间[-3,2]上的最大值为4，求实数a 的值. （3）已知二次函数f (x ) =ax +(2a -1)x +1在区间?- 的值. 22 1132?11?x 的最大值不大于，又当x ∈?, ?时，f (x )≥，682?42??3?,2?上的最大值为3，求实数a ?2? x 2+2x +a x ∈[1, +∞)例4 已知函数f (x )=，. x 1时，求函数f (x )的最小值； 2 x ∈[1, +∞)(2)若对任意，f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围. (1)当a = 类型六 函数的单调性解不等式 例1 定义在[1, 4]上的函数f (x )为减函数，求满足不等式f (1-2a )-f 4-a 2>0的a 的值的集合 () ?x 2+1, x ≥0例2 已知函数f (x )=?求满足不等式f (1-x )>f (2x )的x 的取值范围. ?1, x <> 例3奇函数f (x )的定义域为R , 且在[0, +∞)上为增函数，问：是否存在m 使 求出m 的取值范围；若不f 2t 2-4+f (4m -2t )>f (0)对任意t ∈[0, 1]均成立？若存在， 存在，说明理由. () 类型七 奇偶函数的判断 例1．判断下列各函数的奇偶性： 2?(x <0) -x="" 2?x="" +x=""> ）f (x ) =(x -（2）f (x )=；（3）f (x ) =?2． x +2-2(x >0) ??-x +x 例2 （1）若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数，求实数a 的值. （2）若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且其定义域为[a -1, 2a ]. ①求a , b 的值； ②求函数f (x )在其定义域上的最大值. 例3 函数f (x )= ax +b ?1?2()是定义在上的奇函数，且-1, 1f ?=. 1+x 2?2?5 （1）确定函数f (x )的解析式； （2）用定义证明f (x )在(-1, 1)上是增函数； 解不等式f (t -1)+f (t )<> 例4 设a 为实数，函数f (x ) =x 2+|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论f (x ) 的奇偶性； （2）求 f (x ) 的最小值． 类型八 利用函数的奇偶性求函数的解析式 例1 （1）已知函数f (x ) 是偶函数，且当x >0时有f (x )=x (1+x )，求f (x ) 的解析式. （2）已知f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞ ) 时，f (x ) =x (1，求f (x ) 的解析式. 例2 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) = 式 1, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析x -1 类型九 单调性与奇偶函数的综合运用 例1 已知函数f (x )对任意x , y ∈R , 总有f (x )+f (y )=f (x +y )，且当x >0时, f ()x <0(, f="" )21="-."> （1） 判断函数的奇偶性； （2） 求证：f (x )是R 上的减函数； （3） 求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值. 例2 已知定义在(-∞,0)?(0, +∞)上的函数f (x )满足：对任意x , y ∈(-∞,0)?(0, +∞)，f (x ?y )=f (x )+f (y )；当x >1时f (x )>0，且f (2)=1. （1） 试判断函数f (x )的奇偶性； （2） 判断函数f (x )在(0, +∞)上的单调性； （3） 求不等式f (3x -2)+f (x )≥4的解集. 例3已知函数f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的x , y 都满足f (x )?f (y )=f (x +y ). （1） 求f (0)的值，并证明对任意的x ∈R ，都有f (x )>0； （2） 设当x <0时，都有f (x="" )="">f (0)，证明：f (x )在(-∞, +∞)上是减函数. 例4 已知函数f (x )在(-1, 1)上有定义，f ?=-1, 当且仅当0 ?2? 任意x , y ∈(-1, 1)都有f (x )+f (y )=f 1+xy ??, 试证明： ?? (1)证明f (x )为奇函数； (2)f (x )在(-1, 1)上单调递减. ?x +y ? 作业 1 下列函数中，在区间(-∞, 0)上单调递增，且在区间(0, +∞)上单调递减的函数为（ ） A.y =11y = B. 2x x C.y =x 2 D.y =x 3 2 下列函数中，在区间(0, 2)上为增函数的是（ ） A.y =-x +1 B.y = 2 C.y =x -4x +5 D.y =x 2 x 3 用定义证明f (x )=x 2-2x +3在[0, +∞)上为增函数. 4. 证明函数f (x )=-x 在定义域上是减函数. 5. 判断函数y = 12++1的单调性. x 2x 6. 已知函数f (x )=-ax (a ≠1). a -1 （1）若a >0，求f (x )的定义域； （2）若f (x )在区间(0, 1]上是减函数，求实数a 的取值范围. x 2+2x +a , x ∈[1, +∞). 7. 已知函数f (x )=x （1）当a =4时，求f (x )的最小值. （2）当a =1时，求f (x )的最小值. 2 （3）若a 为正常数，求f (x )的最小值. 8. 已知函数f (x )=x 2-2x +3. （1）当x ∈[-2, 0]时，求f (x )的最值； （2）当x ∈[-2, 3]时，求f (x )的最值； （3）当x ∈[t , t +1]时，求f (x )的最值. 9. 求f (x ) =x +2ax +1在区间[-1,2]上的最大值. 10. 试讨论函数f (x )= 2ax , x ∈(-1, 1)的单调性（其中a ≠0） 2x -1 11.. 判断下列各函数的奇偶性： （1）f (x )=(x -22+x 2-x ?x +2?； （2）f (x )=?0 ?-x +2?(x <-1), (|x="" |≤1),="" (x="">1）. -2x +b 12. 已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数. 2+a （1）求a , b 的值； （2）解不等式f (2m +8)>f m 2; （3）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t ) +f (2t 2-k ) <0恒成立，求k> 13. 函数f (x )对任意的a , b ∈R ，都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1，并且当x >0时，()f (x )>1. （1）求证：f (x )是R 上的增函数； （2）若f (4)=5, 解不等式f 3m -m -2<3.> 14. 已知定义在(0, +∞)上的函数f (x )对任意x , y ∈(0, +∞)，恒有f (xy )=f (x )+f (y )，且当0 15. 若函数f (x )=4x 2-kx -8在[5, 8]上是单调函数，求k 的取值范围. 16. 已知函数f (x )=x 2-2ax +5(a >1)，若f (x )的定义域和值域均为[1, a ]，求实数a 的值. 17. 若函数f (x )=x 2-x +a 为偶函数，求实数a 的值. 18. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且g (x )+f (x )=x +x +2，求f (x )，g (x )的2 解析式. 19. 若偶函数f (x )在(-∞, 0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围. 20. 已知f (x )是定义在(-∞, +∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x , y , f (x )都满足f (x ?y )=y ?f (x )+x ?f (y ). （1）求f (1), f (-1)的值； （2）判断f (x )的奇偶性，并说明理由. 21. 已知f (x )是定义在[-1, 1]上的奇函数，且f (1)=1，若a , b ∈[-1, 1], a +b ≠0时，有f (a )+f (b )>0成立. a +b （1）判断f (x )在[-1, 1]上的单调性； （2）解不等式f x + 2??1??1?? 类型一 用定义证明函数的单调性 例1 用定义证明f (x )= 例2 讨论f (x )=x + 例3 设函数f (x )= 的单调性. 例题4．（12分））函数f (x ), g (x ) 在区间[a , b ]上都有意义，且在此区间上 ①f (x ) 为增函数，f (x ) >0； ②g (x ) 为减函数，g (x ) <> 判断f (x ) g (x ) 在[a , b ]的单调性，并给出证明. 例题5 已知定义在(0, +∞)上的函数f (x )对任意x , y ∈(0, +∞)，恒有2x +1在定义域内为增函数. k 在其定义域上的单调性. x x +a (a >b >0)，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上x +b f (xy )=f (x )+f (y )，且当0 例题6讨论函数f(x)=x 2-2ax +3在(-2,2)内的单调性。 练习1. 用定义证明f (x )=x -2x +3在[0, +∞)上为增函数. 2 练习2. 证明函数f (x )=-x 在定义域上是减函数. 练习3 判断函数y = 12++1的单调性. 2x x 类型二 运用单调函数的运算性质判断函数的单调性 例1 已知y =f (x )与y =g (x )均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性. （1）y =-2f (x ) （2）y =f (x )+2g (x ) 例2 判断下列函数在其定义域内的单调性. （1）y =x 3+x （2）y = 类型三 复合函数的单调性 例（1） 函数f (x ) = （2 ）函数f (x ) = （3）函数y =x +a (a >b >0) x +b -x 2-2x +3的单调递增区间是_______. 1的单调递增区间是2x +2x +2x 2+2x -3的单调减区间是 （ ） A. (-∞, -3] B.[-1, +∞) C.(-∞, -1] D.[1, +∞) 类型四 利用函数的单调性求参数的取值范围 例1 若函数f (x )=a x -b +2在 例2 函数f (x )=ax -(3a -1)x +a 在[-1, +∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 22[0, +∞)上为增函数，则实数a , b 的取值范围. 例3 函数f (x ) = ax +1在区间（-2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围. x +2 2??x +4x , x ≥02例4 已知函数f (x )=?若f 2-a >f (a )，则实数a 的取值范围. 2??4x -x , x <0.> 例5. 已知函数f (x )=3-ax (a ≠1). a -1 （1）若a >0，求f (x )的定义域； （2）若f (x )在区间(0, 1]上是减函数，求实数a 的取值范围. 例6. 试讨论函数f (x )= 类型五 利用函数的单调性求最值 例1 （1）求函数y = （2）函数f (x )=ax , x ∈(-1, 1)的单调性（其中a ≠0） 2x -1x +x -1的最小值； 3在区间[1, 5]上的最值； 2x -1 ?1?, x ≥1（3）函数f (x )=?x 的最大值. ?-x 2+2, x <> 例2 （1）函数y =-x +6x +9在区间[a , b ](a <3)上有最大值9，最小值-7，求a ,="" b=""> 值. （2）已知A =[1, b ](b >1), 对于函数f (x )= 求b 的值. 1(x -1)2+1，若f (x )的定义域和值域都为A ，2 x 2 +x 在区间[m , n ]上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的（3） 已知函数f (x ) =-2 值. （4） 已知函数y =x -2x +3在闭区间[0, m ]上有最大值3，最小值2，求m 的取值范围 . 2 例3（1） 已知函数f (x )=ax - 求a 的值. 1321?11?x 的最大值不大于，又当x ∈?, ?时，f (x )≥，628?42? （2）已知函数f (x ) =ax +2ax +1在区间[-3,2]上的最大值为4，求实数a 的值 （3）已知二次函数f (x ) =ax +(2a -1)x +1在区间?- 的值. 22?3?,2?上的最大值为3，求实数a ?2? x 2+2x +a x ∈[1, +∞)例4 已知函数f (x )=，. x (1)当a =1时，求函数f (x )的最小值； 2 x ∈[1, +∞)，f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围. (2)若对任意 x 2+2x +a , x ∈[1, +∞). 例题5. 已知函数f (x )=x （1）当a =4时，求f (x )的最小值. （2）当a =1时，求f (x )的最小值. 2 （3）若a 为正常数，求f (x )的最小值. 例题6. 已知函数f (x )=x 2-2x +3. （1）当x ∈[-2, 0]时，求f (x )的最值； （2）当x ∈[-2, 3]时，求f (x )的最值； （3）当x ∈[t , t +1]时，求f (x )的最值. 例题7. 求f (x ) =x +2ax +1在区间[-1,2]上的最大值. 2 例题8出函数y =-x 2+2x +3的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域． 例题9【2007年上海秋季高考第19题】已知函数f (x )=x +2a (x ≠0, a ∈R ) x （1）判断f (x )的奇偶性 （2）若f (x )在[2, +∞)是增函数，求实数a 的范围 例题10【2010年嘉定区二模第21题】 已知a ∈R ，函数f (x ) =x + 类型六 函数的单调性解不等式 例1 （1）定义在[1, 4]上的函数f (x )为减函数，求满足不等式f (1-2a )-f 4-a a （x ∈[0, +∞) ，求函数f (x ) 的最小值． x +1(2)>0的a 的值的集合 2（2）奇函数f (x ) 在定义域(-1, 1) 上为减函数，且满足f (1-a ) +f (1-a ) <> 的取值范围。 （3）已知f (x ) 是定义在(0, +∞)上的增函数，，且f (2) =1，f (xy ) =f (x ) +f (y ) ， （1）求f (1), f (4) ；（2）满足f (x ) ≤2-f (x -3) 的实数x 的范围。 例2：已知f (x ) 是定义在(0, +∞)上的增函数，，且f (2) =1，f (xy ) =f (x ) +f (y ) ， （1）求f (1), f (4) ；（2）满足f (x ) ≤2-f (x -3) 的实数x 的范围。 ?x 2+1, x ≥0例2 已知函数f (x )=?求满足不等式f (1-x )>f (2x )的x 的取值范围. ?1, x <> 例3奇函数f (x )的定义域为R , 且在[0, +∞)上为增函数，问：是否存在m 使 求出m 的取值范围；若不f 2t 2-4+f (4m -2t )>f (0)对任意t ∈[0, 1]均成立？若存在， 存在，说明理由. 例题4 函数f (x )对任意的a , b ∈R ，都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1，并且当x >0时，()f (x )>1. （1）求证：f (x )是R 上的增函数； （2）若f (4)=5, 解不等式f 3m 2-m -2<3.> -2x +b 例题5. 已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数. 2+a （1）求a , b 的值； （2）解不等式f (2m +8)>f m ; 2() （3）若对任意的t ∈R ，不等式f (t -2t ) +f (2t -k ) <0恒成立，求k 的取值范围.=""> 3例题8、已知函数f (x ) 是区间(0, +∞)上的减函数，那么f (a 2-a +1) 与f () 的 4 大小关系为 . 类型七 奇偶函数的判断 例1．判断下列各函数的奇偶性： ?x 2+x (x <0) -x=""> ）f (x ) =(x -（2）f (x )=；（3）f (x ) =?2． x +2-2(x >0) ??-x +x 例2 （1）若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数，求实数a 的值. （2）定义域为[a 2-3a -2, 4]上的函数f(x)是奇函数，则 （3）若函数f (x )=x 2-x +a 为偶函数，求实数a 的值. （4）若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且其定义域为[a -1, 2a ]. ①求a , b 的值； ②求函数f (x )在其定义域上的最大值. 例3 函数f (x )=ax +b ?1?2是定义在上的奇函数，且()-1, 1f ?=. 1+x 2?2?5 （1）确定函数f (x )的解析式； （2）用定义证明f (x )在(-1, 1)上是增函数； 解不等式f (t -1)+f (t )<> 例4 设a 为实数，函数f (x ) =x +|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论f (x ) 的奇偶性； （2）求 f (x ) 的最小值． 类型八 利用函数的奇偶性求函数的解析式 例1 （1）已知函数f (x ) 是偶函数，且当x >0时有f (x )=x (1+x )，求f (x ) 的解析式. （2）已知f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞ ) 时，f (x ) =x (1，求f (x ) 的解析式. （3）设f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =x (1-x 3) ，求当x ∈(0, +∞) 时f (x ) 的解析式。 例2（1） 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) = 解析式 （2）已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且g (x )+f (x )=x +x +2，求f (x )，g (x )的221, 试求f (x ) 和g (x ) 的x -1 解析式. 类型九 单调性与奇偶函数的综合运用 练习：已知：函数f (x ) 定义在R 上，对任意x ，y∈R，有f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) 且f (0) ≠0。 (1)求证：f (0) =1；(2)求证：f (x ) 是偶函数； 练习 设函数y =f (x ) 的定义域为D =(-∞, 0) (0, +∞)，且对任意的x 1, x 2∈D 都有 （1）求f (1) 的值；（2）判断f (x ) 的奇偶性，并加以证明。 f (x 1?x 2) =f (x 1) +f (x 2) 。 例1 已知函数f (x )对任意x , y ∈R , 总有f (x )+f (y )=f (x +y )，且当x >0时, f ()x <0(, f="" )21="-."> （1） 判断函数的奇偶性； （2） 求证：f (x )是R 上的减函数； （3） 求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值. 例2 已知定义在(-∞,0)?(0, +∞)上的函数f (x )满足：对任意x , y ∈(-∞,0)?(0, +∞)，f (x ?y )=f (x )+f (y )；当x >1时f (x )>0，且f (2)=1. （1） 试判断函数f (x )的奇偶性； （2） 判断函数f (x )在(0, +∞)上的单调性； （3） 求不等式f (3x -2)+f (x )≥4的解集. 例3已知函数f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的x , y 都满足f (x )?f (y )=f (x +y ). （1） 求f (0)的值，并证明对任意的x ∈R ，都有f (x )>0； （2） 设当x <0时，都有f (x="" )="">f (0)，证明：f (x )在(-∞, +∞)上是减函数. 例4 已知函数f (x )在(-1, 1)上有定义，f ?=-1, 当且仅当0 ?2? 任意x , y ∈(-1, 1)都有f (x )+f (y )=f 1+xy ??, 试证明： ?? (1)证明f (x )为奇函数； (2)f (x )在(-1, 1)上单调递减. 例题5已知f (x )是定义在(-∞, +∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x , y , f (x )都满足f (x ?y )=y ?f (x )+x ?f (y ). （1）求f (1), f (-1)的值； （2）判断f (x )的奇偶性，并说明理由. 例题6已知f (x )是定义在[-1, 1]上的奇函数，且f (1)=1，若a , b ∈[-1, 1], a +b ≠0时，有?x +y ?f (a )+f (b )>0成立. a +b （1）判断f (x )在[-1, 1]上的单调性； （2）解不等式f x + 2??1??1?? 青山工作室 函数的基本性质 1.增函数与减函数 ID 定义:对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ，，fxx,x.12 D(1)若当时，都有,则说在这个区间上是增函数; ，，，，，，x,xfx,fxfx1212 D(2)若当时，都有,则说在这个区间上是减函数. ，，，，，，x,xfx,fxfx1212 注意,区间可以使定义域也可以是定义域的某个区间; ,的任意性; x,x12 ,增函数随的增大而增大，呈上升趋势;减函数随的减小而减小，呈下降趋势. yyxx2.增函数与减函数形式的等价变形 fxfx()(),M ?在区间上是增函数当时有; x,xf(x),,x,x,M,121212 fxfx()(),M ?在区间上是减函数当时有; x,xf(x),,x,x,M,121212 设那么 ,,x,xa,b,x,x1212 f(x),f(x)12,,()()()0xxfxfx,,,,0,f(x)在a,b上是增函数; ,,,1212x,x12 f(x),f(x)12,,()()()0xxfxfx,,,,,0,f(x)在a,b上是减函数. ,,1212x,x12 3.单调性与单调区间的定义 MM如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具 M有单调性(区间称为单调区间) 注意 单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开. 4.单调函数的运算性质 DD 若，，，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质: ，，gxfx (1)与具有相同的单调性; ，，fx，，fx，C a,0a,0 (2)与，当时，具有相同的单调性，当时，具有相反的单调性; ，，，，fxafx 1 (3)当恒不等于零时，与具有相反的单调性; ，，，，fxfx，，fx 青山工作室 青山工作室 (4)当，都是增(减)函数时，都是增(减)函数; ，，，，gxfx，，，，fx，gx5.复合函数的单调性:同增异减 6.函数的最大(小)值的定义 IM一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足: ，，y,fx ,对于任意的，都有; x,I，，，，fx,,M ,存在，使得. ，，x,Ifx,M00 M那么，我们称是函数的最大(小)值. ，，y,fx M注意 (1)首先是一个函数值，他是值域的一个元素; (2)对于定义域内的每一个元素都满足; ，，，，fx,,M (3)这两条缺一不可. 7.奇偶性的定义 f(,x),,f(x)奇函数:一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有. ，，xfx f(,x),f(x)偶函数:一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有. ，，xfx 奇偶性:如果函数时奇函数或偶函数，那么就说函数具有奇偶性. ，，，，fxfx 注意 ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ((((( ?是奇函数;是偶函数;f(x)f(x),f(,x),,f(x),f(,x),f(x) ?奇函数在0处有定义，则f(x)f(0),0; y (4)奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称; (5)在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调 性. 8.函数奇偶性的性质 (1)两个奇函数的和仍为奇函数; (2)两个偶函数的和仍为偶函数; (3) 两个奇函数的积是偶函数; (4)两个偶函数的积是偶函数; (5) 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 9.复合函数的奇偶性 青山工作室 青山工作室 若函数，，的定义域都是关于原点对称的，则，都是，，，，，，,,，，，，gxfxfgxu,gxy,fu奇函数时，是奇函数;，都是偶函数，或者一奇一偶时，，，，，，，y,f,,gxu,gxy,fu 是偶函数( ，，y,f,,gx 青山工作室 青山工作室 类型一 用定义证明函数的单调性 例1 用定义证明在定义域内为增函数. ，，fx,2x，1 kfx,x，例2 讨论在其定义域上的单调性. ，，x x，a例3 设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上，，，，fx,a,b,0，，，，fxfxx，b 的单调性. 青山工作室 青山工作室 类型二 运用单调函数的运算性质判断函数的单调性 例1 已知与均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性. ，，，，y,fxy,gx (1) (2) ，，，，，，y,,2fxy,fx，2gx 例2 判断下列函数在其定义域内的单调性. x，a3(1) (2) ，，y,a,b,0y,x，xx，b 类型三 复合函数的单调性 2f(x),,x,2x，3例1 函数的单调递增区间是_______. 1f(x),例2 函数的单调递增区间是 . 2x，2x，2 青山工作室 青山工作室 类型四 利用函数的单调性求参数的取值范围 0,，,，,，，fx,ax,b，2例1 若函数在上为增函数，则实数的取值范围. a,b 22例2 函数在上是增函数，求实数a的取值范围( ，，，，fx,ax,3a,1x，a，,,1,，, ax，1f(x),例3 函数在区间(-2，+?)上是增函数，求的取值范围. ax，2 2,x，4x,x,0,2，，fx,例4 已知函数若，则实数的取值范围. ，，f，，2,a,faa,2,4x,x,x,0., 青山工作室 青山工作室 类型五 利用函数的单调性求最值 例1 (1)求函数的最小值; y,x，x,1 3(2)函数在区间上的最值; fx,，，,,1,52x,1 1,x,,1,(3)函数fx,的最大值. ，，x,2,,x，2,x,1, 2例2 (1)函数在区间上有最大值9，最小值-7，求的y,,x，6x，9，，,,a,ba,b,3a,b 值. 12A(2)已知对于函数，若的定义域和值域都为，，，，，fx,x,1，1，，，，A,,,1,bb,1,fx2求b的值. 2xfxx(),,，(3) 已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的mnmn[,]mn2 值. 青山工作室 青山工作室 2(4) 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，求的取值范围 . y,x,2x，3m[0,m] 31111，，2x,,例3(1) 已知函数fx,ax,x的最大值不大于，又当时，fx,，，，，，,,42682，， 求的值. a 2(2)已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. fxaxax()21,，，a[3,2], 3，，2,,2(3)已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数af(x)ax(2a1)x1,，,，,,2，，的值. 青山工作室 青山工作室 2x，2x，ax,，,1,，,fx,，，例4 已知函数，. x 1a,(1)当时，求函数的最小值; ，，fx2 x,，,1,，,(2)若对任意，恒成立，试求的取值范围. a，，fx,0 类型六 函数的单调性解不等式 2例1 定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的，，，，f1,2a,f，，4,a,0,,a1,4fx值的集合 2,，1,,0xx例2 已知函数,求满足不等式的的取值范围. fx，，，，，，f1,x,f2xx,1,x,0, 0,，,，,R例3奇函数的定义域为,且在上为增函数，问:是否存在使，，mfx 2对任意均成立,若存在，求出的取值范围;若不，，，，f，，2t,4，f4m,2t,f0,,mt,0,1 存在，说明理由. 青山工作室 青山工作室 类型七 奇偶函数的判断 例1(判断下列各函数的奇偶性: 22,xxx，,(0)1，x1,x,fxx()(1),,(1);(2);(3)fx(),( f，，x,,21,xx，2,2,，,xxx(0),, 例2 (1)若为偶函数，求实数的值. ，，，，，，fx,x，ax,4a 2(2)若函数是偶函数，且其定义域为. ，，fx,ax，bx，3a，b,,a,1,2a,求的值; a,b 在其定义域上的最大值. ,求函数，，fx ax，b12,,f,例3 函数fx,是定义在上的奇函数，且. ，，，，,1,1,,2251，x,,(1)确定函数的解析式; ，，fx (2)用定义证明在上是增函数; ，，，，fx,1,1 解不等式 ，，，，ft,1，ft,0 青山工作室 青山工作室 2例4 设为实数，函数，( xR,fxxxa()||1,，,，a (1)讨论的奇偶性; fx() (2)求 的最小值( fx() 类型八 利用函数的奇偶性求函数的解析式 例1 (1)已知函数是偶函数，且当时有，求的解析式. x,0，，，，fx,x1，xfx()fx() 3R(2)已知是上的奇函数，且当时，，求的解析fxxx()(1),，fx()fx()x,，,(0,)式. 1例2 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析f(x)，g(x),,f(x)g(x)f(x)和g(x)x,1式 青山工作室 青山工作室 类型九 单调性与奇偶函数的综合运用 fx例1 已知函数对任意，且当xyRfxfyfxy,,,，,，总有，，，，，，，， 2. xfxf,,,,0,0,1时，，，，3 (1) 判断函数的奇偶性; Rfx(2) 求证:是上的减函数; ，， fx,3,3(3) 求在上的最大值和最小值. ，，,, fx,,,，,,00,xy,,00,,,,,，,例2 已知定义在上的函数满足:对任意，，，，，，，，，，， fx,0f21,x,1fxyfxfy,,，;当时，且. ，，，，，，，，，， fx(1) 试判断函数的奇偶性; ，， fx0,，,(2) 判断函数在上的单调性; ，，，， fxfx324,，,(3) 求不等式的解集. ，，，， 青山工作室 青山工作室 Rfx例3已知函数是定义在上的恒不为零的函数，且对任意的，， . xyfxfyfxy,都满足,,，，，，，，， f0fx,0(1) 求的值，并证明对任意的xR,，都有; ，，，， fxf,0fx在,,，,,(2) 设当x,0时，都有，证明:上是减函数. ，，，，，，，， 1,,f,,1fx例4 已知函数在上有定义，,当且仅当时且对0,x,1，，，，,1,1fx,0，，,,2,, ,,x，y,,任意都有,试证明: ，，，，，，x,y,,1,1fx，fy,f,,1，xy,, fx(1)证明为奇函数; ，， fx(2)在上单调递减. ，，,1,1，， 青山工作室 青山工作室 作业 1 下列函数中，在区间上单调递增，且在区间上单调递减的函数为( ) ，，，，,,,00,，, 11 A. B. y,y,2xx 23 C. D. y,xy,x2 下列函数中，在区间上为增函数的是( ) ，，0,2 y,,x，1 A. B. y,x 22 C. D. y,y,x,4x，5x 23 用定义证明在上为增函数. ，，fx,x,2x，3，,0,，, 4.证明函数在定义域上是减函数. ，，fx,,x 125.判断函数的单调性. y,，，12xx 青山工作室 青山工作室 3,ax，，，，fx,a,1.6.已知函数 a,1(1)若，求的定义域; a,0，，fx(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围. ，，，,fx0,1a 2x，2x，a，，，,7.已知函数fx,,x,1,，,. x(1)当a,4时，求的最小值. ，，fx 1(2)当a,时，求的最小值. ，，fx2 (3)若为正常数，求的最小值. ，，afx 青山工作室 青山工作室 28. 已知函数. ，，fx,x,2x，3(1)当时，求的最值; ，，,,fxx,,2,0 (2)当时，求的最值; ，，,,fxx,,2,3 (3)当时，求的最值. ，，,,fxx,t,t，1 29.求在区间[-1,2]上的最大值. f(x)x2ax1,，， ax10.试讨论函数的单调性(其中) ，，，，a,0fx,,x,,1,12x,1 青山工作室 青山工作室 11..判断下列各函数的奇偶性: x，2(x,,1),,2，x,，，，，fx,x,2，，fx,0(|x|,1),(1);(2) ,2,x,,x，2(x,1)., x,，2bR12.已知定义域为的函数fx(),是奇函数. ，1x2，a(1)求的值; ab, 2(2)解不等式; ，，f2m，8,f，，m 22ktR,(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. fttftk(2)(2)0,，,, a,b,R13.函数对任意的，都有，并且当x,0时，，，，，，，，，fxfa，b,fa，fb,1 ，，fx,1. R(1)求证:是上的增函数; ，，fx 2(2)若解不等式. f，，3m,m,2,3，，f4,5, 青山工作室 青山工作室 14.已知定义在上的函数对任意，恒有，且，，，，，，，，，，，，0,，,fxx,y,0,，,fxy,fx，fy当时判断在上的单调性. 0,x,1，，，，，，fx,0.fx0,，, 215.若函数在上是单调函数，求的取值范围. k，，fx,4x,kx,8,,5,8 216.已知函数，若的定义域和值域均为，求实数的值. ，，，，fx,x,2ax，5a,1，，fx,,1,aa 2，，fx,x,x，a17.若函数为偶函数，求实数的值. a 218.已知是偶函数，是奇函数，且，求，的，，，，gx，fx,x，x，2，，，，，，，，fxgxfxgx解析式. 青山工作室 青山工作室 19.若偶函数在上为增函数，则满足的实数的取值范围. ，，，，，，，fx,,,0,f1,faa 20.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意都满，，，，，，fx,,,，,x,y,fx足. ，，，，，，fx,y,y,fx，x,fy (1)求的值; ，，，，f1,f,1 (2)判断的奇偶性，并说明理由. ，，fx 21.已知是定义在上的奇函数，且，若时，有，，，，fx,,,1,1f1,1a,b,,,,1,1,a，b,0fa，fb，，，，成立. ,0a，b (1)判断在上的单调性; ，，fx,,,1,1 11,,,,fx，,f(2)解不等式; ,,,,2x,1,,,, 2(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围. ，，fx,m,2am，1a,,,,1,1m青山工作室 一次函数的图象与性质（基础） 【学习目标】 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y =kx +b 的图象与正比例函数y =kx 的图象之间 的关系； 2. 能正确画出一次函数y =kx +b 的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与 一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数的定义 一般地，形如y =kx +b （k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当b ＝0时，y =kx +b 即y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1. 函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ； 当b ＞0时，直线y =kx +b 是由直线y =kx 向上平移b 个单位长度得到的； 当b 0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（-∞，0） C ．（-∞，0） D．（-∞，1） 18. (湖北文科数学冲刺试卷（二） ) 答案：B 解析：由题意得，设x ∈(0, 2]，则-x ∈[-2,0)， 又函数为奇数，所以f (x )=-f (-x )=-2， -x 即g ( x )-log 5(x +=-2-x ?g ( x )=-() x +log 5(x +， 利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数， 所以函数g (x )max =g (2)= 12 3 ，故答案选B ． 4 20.(山西省2012年高考考前适应性训练理) 已知f (x ) = |2x -1|-2x 的单调减区间为（ ） A ．(-∞, -1) B ．(-1, 0) C ．(-∞, 0) D ．(- 1, +∞) 21. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）) 已知定义在R 上的函数y =f (x ) 是增函数，且为奇函数，若实数s,t 满足不等式f (s -2s ) ≥-f (2t -t ) ，则当1≤s ≤4时，3t+s的取值范围是 A. [-2, 10] B.[-2, 16] C.[4,10] D.[4,16] 【答案】B 【解析】本题考查函数的性质、简单的线性规划问题，考查数形结合的思想。 22 由所给函数性质有f (s -2s ) ≥f (t -2t ) ，于是s 2-2s ≥t 2-2t ，再结合1≤s ≤4，由 2 2 线性规划方法，可求得3t +s ∈[-2, 16]，选B 23. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理） 三．提升自我 25. 定义在（—1，1）上的函数f (x ) 满足：f (x ) -f (y ) =f ( x -y ；当 x , y ∈(-1, 0) 时，有 ) 1-xy f (x ) >0；若P =f () +f ( 151) +11 +f ( 1 ) +2 r +r -1 +f ( 1 ) ， 2 2012+2012-1 1 Q =f () ，R ＝f (0)．则P ，Q ，R 的大小关系为 2 A ．R >Q >P B ．P >R >Q C ．R >P >Q D ．不能确定 1．已知函数f (x ) =x +bx +1是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式f (x -1) <|x |=""> 2 2. 定义在R 上的函数f (x ) ，如果存在函数g (x ) =kx +b （k , b 为常数），使得f (x ) ≥g (x ) 对 一切实数x 都成立 ，则称g (x ) 为函数f (x ) 的一个承托函数. 现有如下函数： ?lg x , x >0, ①f (x ) =x 3 ②f (x ) =2-x ③f (x ) =? ④f (x ) =x +sin x 0, x ≤0? 则存在承托函数的f (x ) 的序号为 . （填入满足题意的所有序号） 【答案】②④ 【解析】 对于①，结合函数f (x )的图象分析可知，不存在函数g (x )使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立，f (x )不存在承托函数； 3. 已知函数有下列说法： ①m=3； ②若 （m 为常数) ，对任意的恒成立. (b为常数) 的图象关于直线x=1对称，则b=1; 成立，且当 (c为常数），若存在 时，使得 ③已知定义在R 上的函数F(x)对任意x 均有 ；又函数 成立，则c 的取值范围是(一1，13). 其中说法正确的个数是 (A)3 个 （B)2 个 （C)1 个 （D)O 个 一、选择题(8×3′＝24′) 1．函数y =x +bx +c ［x ∈［0,+∞) ］是单调函数的充要条件是 ( ) A. b ≥0 B.b ≤0 C.b >0 D.b <> 2．函数f (x )=4x -mx +5在区间［-2,+∞) 上是增函数，M =f (1)，则下列不等式或等式成立是 ( ) 2 2 A. M ≥25 B.M =25 C.M ≤25 D.M >25 -1 3．定义在R 上的函数f (x ) 、g (x ) 都有反函数, 且f (x +1)和g (x -2) 的图象关于直线y =x 对称，若g (15)=2000,则f (16)的值为 ( ) A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 a a +∞) 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( ) 在(1， x 2 A. a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥-2 D.a ≥-1 5．已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x -1)=f (x +1),f (1-x )=f (1+x ), 且在［-1,0］上单调递 4．函数f (x )=x - 增. 设a =f (3),b =f (),c =f (2),则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A. a >b >c B.a >c >b C.b >c >a D.c >b >a －1 6．函数y =f (x ) 有反函数y =f (x ) ，把y =f (x ) 的图象在直角坐标平面内绕原点顺时针方向转动90°后得到的图象对应的函数是 ( ) －1－1－1－1 A. y =f (-x ) B.y =f (x ) C.y =-f (-x ) D.y =-f (x ) 7．定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )=f (x +2),当x ∈［3,5］时，f (x )=2-|x -4|,则 ( ) π?π??? A. f sin ? 6?6???2π?2π? C. f cos ? 3?3? 8．已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x="" )=""> 1x －1 ) ，那么f (-9)的值是( ) 3 A.-2 B.2 C.-3 D.3 二、填空题(5×3′＝15′) 9．已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且它在［0+∞］上单调递增，那么使不等式f (-2) ≤f (a ) 的实数a 的取值范围是 . 2 10．函数f (x )=logcos50°|x -2x -3|的增区间为 . x 2+1 11．关于函数f (x )=lg(x ≠0), 有下列命题： |x | ①函数y =f (x ) 的图象关于y 轴对称; ②当x >0时，f (x ) 是增函数，当x <0时，f (x="" )="" 是减函数;="" ③函数f="" (x="" )=""> ④当-1 其中正确的命题是 . 12．函数f (x )=x α(α为常数) 的图象过点(4, 1-1 ), 那么f (8)的值是 . 2 －1 13．函数f (x )=loga (x +x 2-1)(x ≥1)(0 11112++ +>log a (a -1) +对一切大于1的自然数n +1n +22n 123 x )=f (x )-f (y ). y n 都成立, 试求实数a 的取值范围. 15．f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的增函数，且f ( (1)求f (1)的值. (2)若f (6)=1,解不等式f (x +3)-f (16．已知函数f (x )=( －1 1 )<2.> 1x -12 +x +2，) (x ≥1) ，f －1(x ) 是f (x ) 的反函数，记g (x )=-1求： x +1f (x ) (1)f (x ) 的定义域与单调区间. (2)g (x ) 的最小值. 17．设偶函数f (x ) 在区间［a , b ］上是增函数(a >0)，试判定函数F (x )=(上的单调性，并加以证明. 18．给定函数f (x )=loga |loga x |(a >0且a ≠1). (1)求函数的定义域. (2)当f (x )>1时，求x 的取值范围. (3)当x >1时，判断函数f (x ) 的单调性，并证明你的结论. 四、思考与讨论(11′) 1f (x )-x ) 在区间［-b ,-a ］2 e x a +x 是R 的偶函数. 19．设a >0,f (x )= a e (1)求a 的值; (2)证明f (x ) 在(0,+∞) 上为增函数. 参考答案 1．A 函数y =x +bx +c 的单调增区间是［-∵所求函数的定义域为x ∈［0,+∞) , ∴此函数单调的充要条件是-2．A 依题意， 2 b ,+∞) . 2 b ≤0?b ≥0. 2 m ≤-2?m ≤-16，则M =f (1)=9-m ≥25. 8-1-1 3．D 设y =g (x -2) ，由反函数的概念得x =g (y )+2,即y =g (x -2) 的反函数为y =g (x )+2,从而f (x +1)=g (x )+2.当x =15时，f (16)=g (15)+2=2002.故选D. 4．D 由单调性的定义即得. 5．D 由f (x -1)=f (x +1)可推出f (x +2)=f (x ), 即f (x ) 以2为一个周期. a =f (3)=f (1)=f (-1), b =f (2)=f(2-2) c =f (2)=f (0),又∵f (x ) 在［-1,0］上单调递增, ∴c >b >a . 6．Ｄ 设(x , y ) 是y =f (x ) 图象上任意一点，当把y =f (x ) 的图象绕原点顺时针方向转动90° -1 后其对应点为(X , Y ) ，则X ＋9i=(x +y i) ·(-i)=y -x i ，故y =X , x =-Y , 于是X =f (-Y )-Y =f (X ) －1 即y =-f （x ）. 7．D ∵f (x )=f (x +2),∴F =2是其一个周期. 设x ∈［-1,1］, 则x +4∈［3,5］, f (x )=f (x +4)=2-|x +4-4|=2-|x |其图象如图所示. A:0<> π?π?ππ?? sin ?>f cos ? 6?6?66?? B:0<><><1,∴f> 2123?2?11π=-, sin π=, f cos π?=f (-) =f (), 32323?22?2?? f sin π?=f (), 3?2? 12?2??? ∴() >f () 即:f cos π?>f sin π?， 223?3??? ??π?π???D:cos2=sin -2?, ∴f (cos2)=f ?sin -2??= ?2?????2π?? sin2=sin(π-2), ∵1>sin(π-2)>sin 2-?>0 2?? ??π?? f ?sin 2-?? 2???? ??π?? ∴f ?sin 2-??>f ［sin(π-2) ］, 即:f (cos2)>f (sin2)故正确答案是D. 2???? 1-x 1－a -1 ) ，设f （-9）=a ，则f (a )=-9?-() =-9?a =2. 33 9．a ≤-2或a ≥2 f (-2)≤f (a ) ?f (|-2|)≤f (|a |)?|a |≥2. 2 10．(-∞,-1) ，［1,3］ 作函数u (x )=|x -2x -3|的图象判断. 1 11．①③④ f (x ) 是偶函数，且f (x )=lg(|x |+) ≥lg2，可由f (x ) 的奇偶性确定单调区 |x | 间，即先判断出f (x ) 在(0，+∞) 上的单调性. 111α1α 12． 将(4,) 代入f (x )=x , 得=4, ∴α=log 42=-log 24, 2264 8．Ｂ 当x >0时，f (x )=-( ∴f (x )=x 13． -log 24 =x - 1 2 =8得x = 1. 64 1x -x (a +a )(x ≤0) 注意注明反函数的定义域. 2 111 14．解 设f (n )=(n ∈N 且n ≥2), ++ + n +1n +22n ∵f (n +1)-f (n )= 1111 +-=>0, 2n +12n +2n +1(2n +1)(2n +2) ∴f (n ) 是关于n 的单调增函数，且当n ≥2时, f (n ) ≥f (2)=故要使f (n )> 117+=, 3412 21 log a (a -1)+对一切n ≥2, n ∈N 恒成立, 312 271 则需且仅需>log a (a -1)+, 即log a (a -1)<> 31212 1+1+51 又a -1>0,∴0 22a 点评 利用函数的单调性求参数的取值范围. 15．解 (1)令x =y , 得f (1)=0. ?x +3>0 1? (2)由?1，得x >0.由f (6)=1及f (x +3)-f ()<2，得f ［x="" (x=""><2f> >0x ??x ?x (x +3) ? 即f ［x (x +3)］-f (6) ?6? ∵f (x)在(0，+∞) 上递增，∴解得 0 x (x +3) <6且x>0， 6 3-3 . 2 x -1x -12 16．解 (1)∵x ≥1, ∴0≤<1?0≤()><> x +1x +1 ∴0≤y <> 1+y x -1 =y ?x =. x +11-y (0≤x <1).原函数递增，f (x="" )=""> -1 ∴f （x ）= －1 1+x 1-x (2)g (x )= 1-x 1+x +x +2= 2 +1+x ≥2()(1+x ) =22. 1+x 1+x 2 当且仅当1+x =2即x =3-22∈［0,1］时取“＝”. ∴g (x ) 的最小值为22. 17．解 ∵f (x ) 是偶函数且在区间［a , b ］上单调递增(a >0)，∴f (x ) 在区间［-b ,-a ］上单 调递减，f (x )-x 在［-b ,-a ］上也单调递减，故F (x )=( 1f (x )-x ) 在［-b ,-a ］上单调递增. 2 证明(略)(提示:作商 F (x 2) 与1比较大小). F (x 1) 18．解 (1)由|loga x |≠0，知函数的定义域为(0，1) ∪(1,). a -a (2)由log a |loga x |>1，则当0 -a a 当a >1时，|loga x |>a ，解得x ∈(0,a ) ∪(a ,+∞). (3)任取1 log a x 2 =loga |logx 1x 2|. log a x 1 又log x 1x 2>logx 1x 1=1?|logx 1x 2|>1，∴当0 当a >1时, f (x 2)-f (x 1)>0，故f (x ) 在(1，+∞) 单调递增. e x a +x 是R 上的偶函数, 所以f (-x )=f (x ). 19．(1)解 因为f (x )= a e 1a e 2222 +ea =+, 所以1+ea =e +a , ea e a 222 所以(1-e )(1-a )=0,所以1-a =0,又a >0故a =1. 1x (2)证明 因为a =1,所以f (x )=e +x , 任取x 1, x 2∈(0,+∞), 且x 1 e 取x =1,则f (-1)=f (1),即 1??1?1???1 f (x 1) -f (x 2) = e x 1+x ?- e x 2+x ?=(e x 1-e x 2) + x -x ? e 1??e 2???e 1e 2? =(e x 1 -e ) + x 2 e x 2-e x 1e x 1+x 2 x 1 = (e x 1 2 -e ) ? x 2 e x 1+x 2-1e x 1+x 2 x 1 x 2 . 由x 1, x 2∈(0,+∞) 知e +x -1>0,由x 1 所以f (x 1) 转载请注明出处范文大全网 » 教案《函数的基本性质题型讲解范文二：教案《函数的基本性质题型讲解》
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