蔡东晓灬灬灬
范文一：求反函数----例题教学设计
求反函数例题教学设计
讲解例题时,要重点突出两点:
1. 求反函数分成两步:第一步是将函数看成方程, 从 =中解出 =() ; 第二步是将 =() 中的 、 互换,写成 =() 的形式 .
2.确定 =() 的定义域 . 它是 =的值域 .
(为了对以后进一步教学的便利 . 应注意渗透存在反函数的判断 . 但这点不作要求 .) 例 求下列函数的反函数:
(1)=5-4(∈ ) ; (2)=(∈ ,且 ≠1)
(3)=(≥0)
(1)分析:对于任意两个不同的 值:≠ ,由于 -=5-4-(5-4) = 5(-)≠0∴ ≠ ,即对于任意一个 都有唯一一个 与它对应 .
解:第一步:由 =5-4,解得 =,
∵ ∈ , (=5-4的值域 .)(∈ )
∴ 函数 =5-4(注意:要写出定义域 .) 的反函数是
=(∈ )(注意:要写出定义域 .)
(2)请同学们讨论一下,任意两个不同的 与 ,所对应的 值是否可能相同
(
-=
即 -≠0.)
解:第一步:由 =,解得 =
第二步:∵ =(∈ ,且 ≠1)的值域为 ∈ ,且 ≠0. ∴ 函数 =(∈ ,且 ≠1)的反函数是
=(∈ ,且 ≠0).
(3)请同学们课后分析,当 ≠ 时, ≠ .
解:由 =解得 =.
∵ ∈[0,+∞)
∴ 函数 =(≥0)的反函数是
(≥0)
今后写作业时,可按 (3)的解法格式写 .
范文二：求反函数练习
4 反函数·基础练习
(一) 选择题
1．函数y ＝－x 2(x≤0) 的反函数是
[ ]
A ．y ＝－C ．y ＝－
x (x≥0) -x (x≤0)
B ．y ＝
-x (x≤0)
D ．y ＝－|x|
2．函数y ＝－x(2＋x)(x≥0) 的反函数的定义域是 A ．[0，＋∞) 1]
C ．(0，1] D ．(－∞，0]
3．函数y ＝
[ ]
B ．[－∞，
x -2＋1(x≥2) 的反函数是
[ ]
A ．y ＝2－(x－1) 2(x≥2) B ．y ＝2＋(x－1) 2(x≥2) C ．y ＝2－(x－1) 2(x≥1) D ．y ＝2＋(x－1) 2(x≥1)
4．下列各组函数中互为反函数的是
[ ]
A ．y ＝B ．y ＝
1x
x 和y ＝x 和y ＝
x
2
1
C ．y ＝
3x +13x -1
2
和y ＝
3x +1x -1
(x≠1)
D ．y ＝x (x≥1) 和y ＝x (x≥0)
5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是
[ ]
A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数
C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数
D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是
y ＝－
x 1，那么另一个函数是
[ ]
A ．y ＝x 2＋1(x≤0) B ．y ＝x 2＋1(x≥1) C ．y ＝x 2－1(x≤0) D ．y ＝x 2－1(x≥1)
7．设点(a，b) 在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点
[ ]
A ．(a，f -1(a)) B ．(f-1(b)，b)
C ．(f-1(a)，a) f -1(b))
8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x) 的反函数是
[ ]
A ．y ＝g(－x) B ．y ＝－g(x)
C ．y ＝－g(－x) D ．y ＝－g -1(x)
9．若f(x－1) ＝x 2－2x ＋3(x≤1) ，则函数f -1(x)的草图是
[ ]
D ．(b，
10．函数y ＝
1x
的反函数是g(x)，则
[ ]
A ．g(2)＞g(－1) ＞g(－3) B ．g(2)＞g(－3) ＞g(－1) C ．g(－1) ＞g(－3) ＞g(2) D ．g(－3) ＞g(－1) ＞g(2) (二) 填空题 1．函数y ＝3＋2．函数y ＝
12x +1
x +2的反函数是
．
(x＞0) 与函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称，
解f(x)＝________．
3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．
4．函数y ＝
9-x (－1g(－3) ＞g(－1) 而g(2)=＞0，∴g(2)＞g(－3) ＞g(－1) ．故选
(B)．
(二) 填空题
1．解：∵函数y =3＋
x ＋2的值域y ≥3，其反函数y =x －6x ＋7(
2
x ≥3)
2．解：y =
12x ＋1
(x＞0) 的值域y 0) ． ??x
通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．
解：(1) 由y = x 2－2x －3， 得y = (x －1) 2－4，
即 (x －1) 2 = y ＋4，
因为x ≤0，所以x -1=-y +4，所以原函数的反函数是
y =1-x +4 ( x≥－3) ．
(2) 当x ≤0时，得x = y＋1且y ≤－1；
当x ＞0时， 得x =
1
且y ＞－1， y +1
所以，原函数的反函数是：
x ≤－1， x ＞－1．
?x +1
?
y =?1
??x +1
例题讲解(反函数）
［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) 2(x ≤1) ，求g (x ).
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系. 解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数， f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是
y =1-x (x ≥0) ， ∴g (x )=1-x (x ≥0).
说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x ) 互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.
［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值. 选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.
解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，
根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，
Ｐ′(2，1) 也在函数y =ax +b 的图象上，
??2=a +b
因此：?解得:a =-3,b =7.
??1=2a +b
说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.
x
［例3］已知函数f (x )=(1+) 2-2(x ≥-2) ，求方程
2
-1
f (x )=f (x ) 的解集.
选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运
图2—8 用这一关系解决问题的能力.
x
分析：若先求出f -1(x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+) 2-2=2x +2-2，
2
整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f -1(x ) 的图象的关系
x
求解. 先画出y =f (x )=(1+) 2-2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f -1(x ) 的
2
图象关于直线y =x 对称，可立即画出y =f -1(x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两
x 2?
y =(1+) -2?
个交点，且交点在y =x 上，因此，由方程组?联立即可解得. 2
??y =x
x 2
) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函2
数的图象与函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图) ，
解：由函数f (x )=(1+
x 2?
?y =(1+) -2
由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组?2
??y =x 的解即为f (x )=f -1(x ) 的解，于是解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f -1(x )
的解集为｛-2,2｝.
说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为
x 2
直线y =x 与其中y =(1+) -２一个方程组的解的问题.
2
例题讲解（练习）
例1．函数f (x )=x －x 是否存在反函数？说明理由 点评：不存在，∵ f (0)=f (－1)=f (1)=0． 例2．求下列函数的反函数． (1) f (x )=
3
6x +5
x -1
(2) y =-x -1
(3) f (x )=x －2x +3，x ∈(1，+∞) (4)f (x )=1--x 2(－1≤x ≤0) 点评：(1) f
-1
2
(x )=
2
x +5
(x ∈R 且x ≠6) x -6
(2) f (x )=x +1 (x ≤0) (3) f (4) f
-1
－1
(x )=
(x )=-
x -2+1 (x >2)
-x -1 (0≤x ≤1)
2
-1
??x -1(x ≥1)例3．求函数y =?的反函数． ??--x (x <>
2
??x +1
点评：反函数为y =?2
??1-x
(x ≥0)
．
(x <>
例4．已知f (x )=
3x +2－1
，求f [f (x )]的值． x +1
?
点评：f ?f
??
-1
?2??2
??=，注意f (x ) 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠－1}，值域为{y |y 2?2????
∈R 且y ≠－3}．
例5．已知一次函数y =f (x ) 反函数仍是它自己，试求f (x ) 的表达式． 分析：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f (x )=
－1
1
(x －b ) ． a
?1=a ??a =-1?a =11?a
由(x －b )=ax +b 得?或? ??a b b ∈R b =0???-=b
??a
∴ f (x )=x 或f (x )=－x+b (b ∈R )
例6．若函数y =
ax +1
在其定义域内存在反函数． 4x +3
(1) 求a 的取值范围；(2) 求此函数的值域． 解：(1)方法一：原式可化为4xy +3y =ax +1，
(4y －a ) x =1－3y ，
a ax +1a
≠时， ，即
44x +344
解得a ≠时原函数有反函数．
3ax +1
方法二：要使y =在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，
4x +3a 14ax +1即≠，所以a ≠时函数y =在其定义域内存在反函数．
3434x +3
当y ≠
(2) 由y =
ax +1-3y +1
解得x =． 4x +34y -a
ax +1-3x +1
的反函数为y =． 4x +34x -a -3x +1a ∵y =的定义域是{x |x ∈R 且x =}
44x -a
ax +1a 故y =的值域是{y |y ∈R 且y ≠}．
44x +3
∴y =
例7．设函数y =f (x ) 满足f (x －1)=x －2x +3(x ≤0) ，求f (x +1)． 解：∵ x ≤0，则x －1≤－1．
∵ f (x －1)=(x －1) +2 (x ≤0) ∴ f (x )=x +2 (x ≤－1) ．
由y =x +2 (x ≤1) 解得x =-y -2(y ≥3)
2
2
2
2
－1
∴ f 故f
-1
(x )=-
x -2 (x ≥3) ． x -1 (x ≥2) ．
－1
－1
-1
(x +1)=-
－1
点评：f (x +1)表示以x +1代替反函数f (x ) 中的x ，所以要先求f (x ) ，再以x +1代x ，不能把f (x +1)理解成求f (x +1)的反函数． 习 题
1．已知函数f (x )=x －1 (x ≤－2) ，那么f (4)=______________． 2．函数y =－x +x －1 (x ≤
2
2
－1
－1
1
) 的反函数是_________________． 2
2?1]?x -1，x ∈(0，
3．函数y =?2的反函数为__________________．
??x ，x ∈[-1，0)
4．函数y =5．已知y =x 2-2x +3 (x ≤1) 的反函数的定义域是_____________．
11
x +m 与y =nx -是互为反函数，则m =______和n =________． 23
答 案 1．-
2．y =
1--4x -3? ?
x ≤-3?2
4??3．y =???x +1，x ∈(-1，0]，
??-x ，x ∈(0，
1]
4．2，+∞)
5．1
6
，2
转载请注明出处范文大全网 » 求反函数----例题教学设计
