蒙娜二哈
范文一：初中数学数轴上的动点问题
初中数学数轴上的动点问题
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，先明确以下3个问题:
1(数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2(点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。 3(数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
例1(已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
?若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数;
?数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5,若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由,
?当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等,
分析:?如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA。
依题意，3—x=x—(—1)，解得x=1
?由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。
?P在点A左侧，PA=—1—x，PB=3—x
依题意，(—1—x)+(3—x)=5，解得 x=—1.5
?P在点B右侧，PA=x—(—1)=x+1，PB=x—3
依题意，(x+1)+(x—3)=5，解得 x=3.5
?点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。
设运动t分钟，此时P对应的数为—t，B对应的数为3—20t，A对应的数为—1—5t。
?B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点。B在P的右侧，A在P的左侧。 PA=—t—(—1—5t)=1+4t，PB=3—20t—(—t)=3—19t
依题意有，1+4t=3—19t，解得 t=
?B追上A时，A、B重合，此时PA=PB。A、B表示同一个数。 依题意有，—1—5t=3—20t，解得 t=
即运动或分钟时，P到A、B的距离相等。
点评:?中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。
例2(点A1、A2、A3、……An(n为正整数)都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1，点A2在点A1的右边，且A2A1=2，点A3在点A2的左边，且A3A2=3，点A4在点A3的右边，且A4A3=4，……，依照上述规律点A2008、A2009所表示的数分别为( )。
A(2008，—2009 B(—2008，2009 C(1004，—1005 D(1004，—1004 分析:如图，
点A1表示的数为—1;
点A2表示的数为—1+2=1;
点A3表示的数为—1+2—3=—2;
点A4表示的数为—1+2—3+4=2 ……
点A2008表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008=1004
点A2009表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005
范文二：初中数学动点问题
x,y1.如图1,在?ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.
yx(1)如果?BAC=30?,?DAE=105?,试确定与之间的函数解析式;
y,,,,x(2)如果?BAC的度数为,?DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函
A 数解析式还成立?试说明理由.
D E C B
图1
222.如图2,在?ABC中,?BAC=90?,AB=AC=,?A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不
yxA 重合),设BO=,?AOC的面积为.
yx求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
C B O H
图2
,ABCAB,AC,10BC,12BCDBD,4D3.如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作
ACA，EDF,，BABEF，分别交边于点，交射线于点(
F
AE,6AF(1)当时，求的长;
E
CCFCA(2)当以点为圆心长为半径的?和以点为圆心
DAEAB长为半径的?相切时， CBE求的长;
4如图,在半径为6,圆心角为90?的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH?OA,垂足为H,?OPH的重
心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线
段,并求出相应的长度.
,yy(2)设PH,x,GP,求关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围). (3)如果?PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
B
P
y N x G 1
OA M H
图
5在矩形ABCD中，AB,3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把?ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A,重合，求BC的长;
1
lx4AC，设AD的长为，五边形(2)若直线l与AB相交于点F，且AO,
E DA xBCDEF的面积为S.求S关于的函数关系式，
O A′
CB
6已知:在?ABC中，AB=AC，?B=30o，BC=6，点D在边BC F上，点E在线段DC上，DE=3，?DEF是等边三角形，边DF、EF
与边BA、CA分别相交于点M、N( A N
(1)求证:?BDM??CEN; M
yyx(2)设BD=，?ABC与?DEF重叠部分的面积为，求
B x关于的函数解析式 C D E
,，OABC于O,点E7在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4
和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。
判断三角形OEF的形状及四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.
A
E
F
?ABC8已知:如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，
CBOA(30),，C(10)，，,ACB90AC，，点的坐标分别为，，
3tan，,BAC4(
A(30),，C(10)，AB，(1)求过点的直线的函数表达式;点，，
y
B39yx,，(13)，B44，
x?ADB?ABCDDB(2)在轴上找一点，连接，使得与相似x A O C D(不包括全等)，并求点的坐标;
PQ，ABAD(3)在(2)的条件下，如分别是和上的动点，连
PQAPDQm,,?APQmm?ADB接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值;
2
3
范文三：初中数学动点问题
关于动点问题的总结
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求
静
关键:动中求静.
数学思想,分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
一、建立函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,
一、应用勾股定理建立函数解析式
例1(2000年?上海)如图1,在半径为6,圆心角为90?的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH?OA,垂足为H,?OPH的重心为G.
(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH,GP,y,求y关于的函数解析式,并写出函数的定义域,xx
(即自变量的取值范围). x
(3)如果?PGH是等腰三角形,试求出线段PH
B
的长.
P
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,y N xG
1 O A M H
图1
于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段,这条线段是
212GH=NH=OP=2. ,332
222(2)在Rt?POH中, , ?OH,OP,PH,36,x
112. MH,OH,36,x
22
在Rt?MPH中,
11 22222MP,PH，MH,x，9,x,36，3x42
.
122?=GP=MP= (0<6).>
(3)?PGH是等腰三角形有三种可能情况:
12?GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程36，3x,xx,6x,63
的根,且符合题意.
12?GP=GH时, ,解得x,0. 经检验, x,0是原方程36，3x,23
的根,但不符合题意.
PH=GH时,x,2. ?
综上所述,如果?PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2. 6二、应用比例式建立函数解析式
例2,2006年?山东,如图2,在?ABC中,AB=AC=1,点D,E在直
x,y线BC上运动.设BD=CE=.
y (1)如果?BAC=30?,?DAE=105?,试确定与之间的函数解析式, x
2
,, (2)如果?BAC的度数为,?DAE的度数为,当,满足怎样的关,,
A 与之间的函数解析式还成立?试说明理由. 系式时,(1)中yx
解:(1)在?ABC中,?AB=AC,?BAC=30?,
D E ??ABC=?ACB=75?, ??ABD=?ACE=105?. C B
图2 ??BAC=30?,?DAE=105?, ??DAB+?CAE=75?,
又?DAB+?ADB=?ABC=75?,
??CAE=?ADB,
ABBD??ADB??EAC, ?, ,CEAC
1x1, ?, ?. y,y1x
,,,(2)由于?DAB+?CAE=,又?DAB+?
F
,ADB=?ABC=90,且函数关系式成立, :,B 2
P ,,,,,?90=, 整理得90:. :,,,,22D
? A C O 1,E 当90:时,函数解析式成立. ,,y,,3(1) x2
例3(2005年?上海)如图3(1),在?ABC中,?
ABC=90?,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP?ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
P (1)求证: ?ADE??AEP. B
F
yy(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析xx
D 式,并写出它的定义域. ? A C E O 3 3(2)
(3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD?AB,??ODA=90?,?ODA=?DEP. 又由OD=OE,得?ODE=?OED.??ADE=?AEP, ??ADE??AEP. (2)??ABC=90?,AB=4,BC=3, ?AC=5. ??ABC=?ADO=90?, ?
ODxADxOD?BC, ?,, ,,3545
3348?OD=,AD=. ?AE==. xxx，xx5555
84xx25AEAD1655??ADE??AEP, ?0,x,, ?. ? (). ,y,x,88APAE5yx5
(3)当BF=1时,
?若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1),则CF=4. ??ADE=?AEP, ??PDE=?PEC. ??FBP=?DEP=90?, ?FPB=?
DPE,
??F=?PDE, ??F=?FEC, ?CF=CE.
58y,2x, ?5-=4,得.可求得,即AP=2. x58
?若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似?,可得CF=CE.
158x,?5-=2,得. x58
y,6可求得,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.
4
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
2004年?上海,如图,在?ABC中,?BAC=90?,AB=AC=,?例4,22A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,?xA AOC的面积为. y
(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域. yx
C B O H (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当?O与?A相切时,
图8 ?AOC的面积.
解:(1)过点A作AH?BC,垂足为H.
1??BAC=90?,AB=AC=, ?BC=4,AH=BC=2. ?OC=4-. x222
1y,,x，4?, ? (0,x,4). S,OC,AH,AOC2
(2)?当?O与?A外切时,
7222在Rt?AOH中,OA=x，1,OH=2,x, ?. 解得. x,(x，1),2，(2,x)6
7174,,此时,?AOC的面积=. y66
?当?O与?A内切时,
7222x,1x,2在Rt?AOH中,OA=,OH=, ?. 解得x,. (x,1),2，(x,2)2
714,,此时,?AOC的面积y=. 22
171综上所述,当?O与?A相切时,?AOC的面积为或. 62
二,动态几何题
动态几何特点----问题背景是特殊图形,,特殊角、特殊图形的
5
性质、图形的特殊位置。,动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性,等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值
一、以动态几何为主线的题
,一,点动问题,
中,,,点D在边上,且BD,4,1,如图,,ABCAB,AC,10BC,12BC
D为顶点作，EDF,，B,分别交边AB于点E,交射线于点F, 以点CA
,1,当时,求AF的长, AE,6
AAE,2,当以点为圆心长为半径的?和以点为圆心长为半径的CCFC
?
A
相
切
时
,
BE求的长,
DE,3,当以边AC为直径的?O与线段
A
BE相切时,求的长, F
E[题型背景和区分度测量点]
CFCD,EBD,,CDF解,,1, 证明?? ,DBDBEBC
CF,8代入数据得,?AF=2
32d,AC,10,AE,10,x,CF,,2, 设BE=,则利用,1,的方法, xx
6
32 相切时分外切和内切两种情况考虑, 外切,,, 10,10,x，x,42x
3210,10,x,内切,,, ？0,x,10x,10,217x
?当?和?A相切时,BE的长为或, C10,21742
20,3,当以边为直径的?与线段DE相切时,, ACOBE,3
,二,线动问题
在矩形ABCD中,AB,3,点O在对角线AC上,直线过点O,l且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B,把?ABE沿直线l翻折,点A与矩形ABCD的对称中心A，重合,求BC的长,
1(2)若直线l与AB相交于点F,且AO,AC,l 4
E D A 设AD的长为,五边形BCDEF的面积为S.?xO A′ 求S关于的函数关系式,并指出的取值范围, xx
C B ?探索,是否存在这样的,以A为圆心,x
3以长为半径的圆与直线l相切,若存在,请求出的值,若不x,x4
存在,请说明理由,
1 (1)?A’是矩形ABCD的对称中心?A’B,AA’,AC 2
?AB,A’B,AB,3?AC,6 BC,33
2x9，11222AE,AC,x，9 (2)?,,, AO,x，9AF,(x，9)4x412
2222(x9)，，1(x9)S,3x,,?, S,AE,AF,AEF96x96x2
7
42x270x81,，,S (),3,x,33 96x
8312,(舍去),??若圆A与直线l相切,则x,x,,x，9x,021544
8?不存在这样的,使圆A与直线l相切, x,,3x25
,三,面动问题
AB,AC,5,BC,6如图,在中,,D、E分别是边AB、,ABC
A
上的两个动点,D不与A、B重合,,且保持,ACDE?BCDE
DEA以为边,在点的异侧作正方形. DEFGFGCB
,1,试求的面积, ,ABC
,2,当边与重合时,求正方形的边长, FGBCDEFG
,3,设AD,x,,ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于的函数关系式,并写出定义域, x
AD,4,当,BDG是等腰三角形时,请直接写出的长, 解,,1,. S,12,ABC
a4,a12,2,令此时正方形的边长为,则,,解得a,. a645
2636,,2y,x,x0,x,2,3,当时, , ,,525,,
6424242y,x,5,x,x,x2,x,5当时, ，，. 55525
1252520AD,,, ,4,. 73117
F 已知,在?ABC中,AB=AC,?B=30o,
A N BC=6,点D在边BC上,点E在线段M
8
B C D E
DC上,DE=3,?DEF是等边三角形,边DF、EF与边BA、CA
分别相交于点、, MN
,1,求证,?BDM??CEN,
,2,设BD=,?ABC与?DEF重叠部分的面积为,求关yyx
于的函数解析式,并写出定义域, x
,3,当点、分别在边、上时,是否存在点,使以为MNBACADM
,为半径的圆与直线相切, 如果存在,请求出圆心 BMEFx
的值,如不存在,请说明理由,
例1,已知?O的弦AB的长等于?O的半径,点C在?O上变化,不与A、B,重合,求?ACB的大小 .
分析,点C的变化是否影响?ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢,可能在优弧AB上,也可能在劣弧AB上变化,显然这两者的结果不一样。那么,当点C在优弧AB上变化时,?ACB所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半,因此很自然地想到它的圆心角,连结AO、BO,则由于AB=OA=OB,即三角形ABC为等边三角形,则?AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角
1
2的关系得出,?ACB=?AOB=300,
当点C在劣弧AB上变化时,?ACB所对的弧
AB是优弧AB,它的大小为优弧AB的一半,由?
AOB=600得,优弧AB的度数为3600-600=3000,
CO则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出,?
ACB=1500,
9
因此,本题的答案有两个,分别为300或1500.
专题三,双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题. 这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏.
1 以双动点为载体,探求函数图象问题
例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中,?C=90?,高CD=6cm(如图1). 动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时,点Q正好到达点C. 设P,Q同时从点B出发,经过的时间为t(s)时,?BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系,已知点P在AD边上从A到D运动时,y与t的函数图象是图3中的线段MN.
(1)分别求出梯形中BA,AD的长度,
(2)写出图3中M,N两点的坐标,
(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时,y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.
2 以双动点为载体,探求结论开放性问题
10
例2 (2007年泰州市)如图5,Rt?ABC中,?B=90?,?CAB=30?.
它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A出发,沿A?B?C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求?BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时,?OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图6),求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,?OPQ的大小随着时间t的增大而增大,沿着BC边运动时,?OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使?OPQ=90?的点P有几个?请说明理由.
解 (1)?BAO=60?.
(2)点P的运动速度为2个单位/秒.
3 以双动点为载体,探求存在性问题
例3 (2007年扬州市)如图8,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发,分别沿B?A,B?C运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.
11
(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=厘米,
(2)若a=5厘米,求时间t,使?PNB??PAD,并求出它们的相似比,
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围,
(4)是否存在这样的矩形,在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若存在,求a的值,若不存在,请说明理由.
4 以双动点为载体,探求函数最值问题
例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A、C同时出发,沿对角线以1cm/s的相同速度运动,过E作EH垂直AC交Rt?ACD的直角边于H,过F作FG垂直AC交Rt?ACD的直角边于G,连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为,AE、EB、BA围成的图形面积为这里规定,线段的面积为0).E到达C,F到达A停止.若E的运动时间为x(s),解答下列问题,
(1)当0
(2)?若y是与的和,求y与x之间的函数关系式, (图10为备用图)
?求y的最大值.
解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形,因为正方形ABCD
12
的边长为82,所以AC=16,过B作BO?AC于O,则OB=89,因为
,因为HE=AE=x,EF=16-2x,所以AE=x,所以
-2x), 当时, 4x=x(16-2x),解得x=0(舍去),1x=6,所以当x=6时, 2
(2)?当0?x<8时,y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,>
当8?x?16时,AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,
-x)(2x-16), 所以 所以
y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.
?当0?x<8时,y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50,所以当x=5时,y的最大值为50.>
当8?x?16时,y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,
所以当x=13时,y的最大值为82.
综上可得,y的最大值为82.
评析 本题是以双动点为载体,正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形,根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式,进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查,要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质,在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.
四,函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1,已知抛物线的顶点为A,2,1,,且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。
13
?求抛物线的解析式,,用顶点式求得抛物线的解析式为
12y,,x，x4,
?若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标,
?连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得?OBP与?OAB相似,若存在,求出P点的坐标,若不存在,说明理由。
yy
AA
BOOB
xx
图2 图1 例1题图
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的(((((((边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
? 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边(和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角(
形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
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?或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定
、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 理
?若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。
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范文四：初中数学动点问题
运动型问题
【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题, 此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等) 或整个几何图形按某种规律运动, 图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一, 体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想, 渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想, 综合性较强.
运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等) .
【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形, 把握图形运动与变化的全过程, 抓住其中的等量关系和变量关系, 并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.
解决点动型问题, 一是要搞清在点运动变化的过程中, 哪些图形(如线段、三角形等) 随之运动变化, 并在点运动在相对静止的瞬间, 寻找变量的关系. 二是要运用好相应的几何知识. 三是要结合具体问题, 建立函数模型, 达到解题目的.
线动实质就是点动, 即点动带动线动, 进而还会产生面动, 因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程, 抓住其中的等量关系和变量关系. 从运动变化得到图形的特殊位置, 进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.
解决形动类问题, 一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性, 充分利用不变量来解决问题; 二是要运用特殊到一般的关系, 探究图形运动变化过程中的不同阶段; 三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质, 这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷, 结论更加准确.
类型一 点动
典例1 (2015·江西) 如图(1),AB 是☉O 的直径, 点C 在AB 的延长线上, AB=4, BC=2, P 是☉O 上半部分的一个动点, 连接OP , CP.
(1)求△OPC 的最大面积; (2)求∠OCP 的最大度数;
(3)如图(2),延长PO 交☉O 于点D , 连接DB , 当CP=DB时, 求证:CP 是☉O 的切线.
(1)
(2)
举一反三
1. (2015·黑龙江牡丹江) 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=8, BC=6, CD ⊥AB 于点D. 点P 从点D 出发, 沿线段DC 向点C 运动, 点Q 从点C 出发, 沿线段CA 向点A 运动, 两点同时出发, 速度都为每秒1个单位长度, 当点P 运动到C 时, 两点都停止. 设运动时间为t 秒. (1)求线段CD 的长.
(2)设△CPQ 的面积为S , 求S 与t 之间的函数表达式, 并确定在运动过程中是否存在某一时刻t , 使得S △CPQ ∶S △ABC =9∶100? 若存在, 求出t 的值; 若不存在, 说明理由. (3)当t 为何值时, △CPQ 为等腰三角形
?
(第1题)
类型二 线的运动
典例2 (2015·广东) 如图, 在△ABC 中, AB=AC, AD ⊥BC 于点D , BC=10cm, AD=8cm . 点P 从点B 出发, 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动, 与此同时, 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发, 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移, 分别交AB , AC , AD 于点E , F , H , 当点P 到达点C 时, 点P 与直线m 同时停止运动, 设运动时间为t 秒(t>0) .
备用图
(1)当t=2时, 连接DE , DF , 求证:四边形AEDF 为菱形.
(2)在整个运动过程中, 所形成的△PEF 的面积存在最大值, 当△PEF 的面积最大时, 求线段BP 的长.
(3)是否存在某一时刻t , 使△PEF 为直角三角形? 若存在, 请求出此时刻t 的值; 若不存在, 请说明理由. 举一反三
2. (2015·湖南衡阳) 如图, 直线AB 与x 轴相交于点A (-4,0), 与y 轴相交于点B (0,3),点P 从点A 出发, 以每秒1个单位长度的速度沿直线AB 向点B 移动. 同时, 将直线
以每秒
0. 6个单位长度的速度向上平移, 交OA 于点C , 交OB 于点D , 设运动时间为t (0<><5) 秒.="" (1)证明:在运动过程中,="" 四边形acdp="">
(2)当t 取何值时, 四边形ACDP 为菱形? 请指出此时以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由.
(第2题)
类型三 面的运动
典例3 (2015·甘肃天水) 如图(1),在平面直角坐标系中, 点A (0,-6), 点B (6,0). Rt △CDE 中, ∠CDE=90°, CD=4, DE=4
, 直角边CD 在y 轴上, 且点C 与点A 重合. Rt △CDE 沿y 轴正方向
平行移动, 当点C 运动到点O 时停止运动. 解答下列问题:
(1)如图(2),当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时, 设CE 交AB 于点M , 求∠BME 的度数.
(2)如图(3),在Rt △CDE 的运动过程中, 当CE 经过点B 时, 求BC 的长.
(3)在Rt △CDE 的运动过程中, 设AC=h, △OAB 与△CDE 的重叠部分的面积为S , 请写出S 与h 之间的函数表达式, 并求出面积S 的最大值.
(1)
(2)
(3)
举一反三
3. (2015·福建三明) 如图(1),在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AB=10, BC=6, 扇形纸片DOE 的顶点O 与边AB 的中点重合, OD 交BC 于点F , OE 经过点C , 且∠DOE=∠B. (1)证明△COF 是等腰三角形, 并求出CF 的长;
(2)将扇形纸片DOE 绕点O 逆时针旋转, OD , OE 与边AC 分别交于点M , N (如图(2)),当CM 的长是多少时, △OMN 与△BCO 相似
?
(1)
(2)
备用图
【小结】 解决运动型问题时, 一是要搞清运动变化的过程中, 哪些图形(如线段、三角形等) 不改变、那些图形随之变化, 即确定运动变化过程中图形中的变与不变, 充分利用不变量来解决问题; 二是要运用好相应的几何知识; 三是要结合具体问题, 建立函数模型, 达到解题目的.
对于几何图形的运动的动态几何题, 一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性; 二是要运用特殊与一般的关系, 探究图形运动变化过程中的不同阶段; 三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质, 这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁, 结论更加准确.
好题精练
类型一
1. (2015·贵州贵阳) 如图, 在Rt △ABC 中, ∠BAC=90°, AB=AC=16cm, AD 为BC 边上的高. 动点P 从点A 出发, 沿A →D 方向以
cm /s 的速度向点D 运动. 设△ABP 的面积为S 1, 矩形PDFE
的面积为S 2, 运动时间为t 秒(0<><8), 则t="秒时," s="" 1="2S">
(第1题)
类型二
3. (2015·湖南怀化) 如图(1),在平面直角坐标系中, AB=OB=8, ∠ABO=90°, ∠yOC=45°, 射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动, 当射线OC 经过点B 时停止运动, 设平行移动x 秒后, 射线OC 扫过Rt △ABO 的面积为y. (1)求y 与x 之间的函数表达式;
(2)当x=3秒时, 射线OC 平行移动到O'C' , 与OA 相交于点G , 如图(2),求经过G , O , B 三点的抛物线的表达式;
(3)现有一动点P 在(2)中的抛物线上, 试问点P 在运动过程中, 是否存在三角形POB 的面积S=8的情况? 若存在, 求出点P 的坐标, 若不存在, 请说明理由.
(1)
(2)
4. (2015·江苏连云港) 在一次科技活动中, 小明进行了模拟雷达雪描实验. 如图, 表盘是△ABC , 其中AB=AC, ∠BAC=120°, 在点A 处有一束红外光线AP , 从AB 开始, 绕点A 逆时针匀速旋转, 每秒钟旋转15°, 到达AC 后立即以相同的旋转速度返回A , B , 到达后立即重复上述旋转过程. 小明通过实验发现, 光线从AB 处开始旋转计时, 旋转1秒, 时光线AP 交BC 于点M , BM 的长为(20(1)求AB 的长.
(2)从AB 处旋转开始计时, 若旋转6秒, 此时AP 与BC 边交点在什么位置? 若旋转2015秒, 此时AP 与BC 边交点在什么位置? 并说明理由.
-20)cm .
(第4题)
类型三
5. (2015·湖南益阳) 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 半径为2的☉P 的圆心P 的坐标为(-3,0), 将☉P 沿x 轴正方向平移, 使☉P 与y 轴相切, 则平移的距离为( ) .
(第5题)
A. 1 C. 3
B. 1或5 D. 5
6. (2015·黑龙江黑河) 在等腰直角三角形ABC 中, ∠BAC=90°, AB=AC, 直线MN 过点A 且MN ∥BC , 过点B 为一锐角顶点作Rt △BDE , ∠BDE=90°, 且点D 在直线MN 上(不与点A 重合), 如图(1),DE 与AC 交于点P , 易证:BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图(2)中, DE 与CA 延长线交于点P , BD=DP是否成立? 如果成立, 请给予证明; 如果不成立, 请说明理由.
(2)在图(3)中, DE 与AC 延长线交于点P , BD 与DP 是否相等? 请直接写出你的结论, 无需证明.
(1)
(2)
(3)
(第6题)
补充：
如图所示，菱形ABCD 边长6厘米，角B=60°。从初始开始，点P,Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度A 到C 到B 的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A 到B 到C 到D 的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P,Q 同时停止运动，设P,Q 运动的时间为x 秒，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定，点和线段是面积为0的三角形）解答下列问题：
（1）点P,Q 从出发到相遇所用的时间是 秒
（2）点P,Q 从开始运动到停止的过程，当△APQ 是等边三角形时x 的值是 秒
（3）求y 与x 之间的函数关系式
范文五：初中数学动点问题
思达特教育数学动点题训练营
1、钝角三角形ABC 角A为钝角 AB=AC=10 BC=16 点P从A出发以2厘米每秒的速度向C运动 点Q从C出发以4厘米每秒的速度向B运动 请问时间为何时时三角形CPQ为直角三角形
△ABC的面积为25，2 如图，在△ABC中，?A?90°，BC?10，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE?x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落
在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A?DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． （1）用x表示△ADE的面积；
（2）求出0?x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5?x?10时y与x的函数关系式； （4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
3、如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上
滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？
4、已知△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点E是边AB上一动点，且EF∥BC。 （1） 在AB上是否存在点E运动到某一位置时，使△AEF的面积与四边形EBCF的面积相等？如果存在，
求出AE的长；如果不存在，简要说明理由。
（2） 在AB上是否存在点E运动到某一位置时，使△AEF的周长与四边形EBCF的周长相等？如果存在，
求出AE的长；如果不存在，简要说明理由。
B
M
AE
NCD
B
E
C
B C
5、如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当
S?BCQS?ABCS?BPQ1
的值；（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；?，求
S?ABC3
若不能，请说明理由。
5、如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA与△BCA相似。
3
6,直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停
4
止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间
的函数关系式；
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（3）当S?时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的
5
坐标．
提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
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