范文一：[新版]高级级公路卵形曲线的计算公式

高等级公路卵形曲线的计算方法

摘要 在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。

关键词 卵形曲线 复曲线 匝道桥 高等级公路

卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成:第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。

中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。其中线坐标解算方法有如下几种:

1 补全缓和曲线

我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值: R×L , A ，假设 R , R ，可由两圆半径及两圆间的缓和段12

长 l ，求缓和曲线的总长 L 。 s

Δl , L , l (1) s

Δl 就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由 YH 点补长 Δl 至 o 点，以 o 点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴方向建立坐标系(图 1 )。缓和曲线公式(推导过程略)如下:

(2)

(3)

图 1

利用 x 、 y 值可以求得 o—YH 弦与 x 轴的夹角: β , 3δ 。 α 为 1YH 点的切线方位角，则 ox 的方位: α , α?β 。 o 点的坐标可由几何1

关系求得为( x ， y )。缓和段上任一点统一坐标可求得: 00

(4)

y=yo+xsinα?ycosα (5)

2 曲率推算

缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径 R 变为第二段曲率半径 R (假12设 R , R )，则缓和曲线曲率半径变化为: 21

(6)

其中 l 为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐s

标原点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴的坐标系(图 2 )，设 P 点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为 l ，该点附近的微分弧长为 dl ，缓和曲线偏角为 β ，则有 dx=dlcosβ (7)

dy=dlsinβ (8)

图 2

由于

将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程:

(9)

(10)

中间缓和段统一坐标计算为:

(11)

Y , yxsinα?ycosα (12) YH

α 为曲线 YH 点切线方位。

3 其它

连接两反曲线或在立交桥匝道上为使墩位美观，常采用缓和曲线连接(图 3 )。其解算方法以 YH 点作为起点，以其切线为 x 轴建立坐标系，不考虑第一种情况中所讲的缓和曲线加长，而直接用式( 2 )、( 3 )进行计算，然后统一坐标。

3 图

圆曲线坐标计算在此不再赘述。

全站仪广泛地应用到路桥施工中，外业施工放样可在仪器匹配的支持下自动完成。复曲线内业计算、复核线路坐标则成为繁琐问题。

4 实例

已知 R 为 5000m ， R 为 90m ， YH 点切线方位 α 为 327 , 56 , 121

59 ， YH 点里程为， 327 ( 9 ，坐标为( 61205.283 ， 101834.119 )， HY 点里程为， 416.28 ，坐标为:( 61140.068 ， 101892.317 )。

由已知数据可得:

由式( 2 )、( 3 )计算填至附表第 3 、 4 栏内，由式( 4 )、( 5 )公式计算填入第 5 、 6 栏内。

延长至原

里程 点距离Δx(m) Δy(m) x y

( m)

K ， 057 ( 9 57 ( 652 3 ( 982 61185 ( 452 101859 ( 215 360 ( 00

K ， 090 87 ( 776 14 ( 734 61205 ( 283 101834 ( 119 327 ( 90

作者简介:周烨，男， 1996 年毕业于辽宁工程技术大学测量工程专业，现任铁道部十九局二处助理工程师，先后参加过太峪隧道、南京长江二桥、宁台温高速公路等工程的施工建设。

作者单位:(铁道部十九局)

范文二：非对称卵形曲线精确计算公式简化推导方法

非对称卵形曲线精确计算公式简化推导方

法 非对称卵形曲线精确计算公式简化推导方法 刘创明,郭长学,刘斌,袁国华,施昊飞

(云南交通职业技术学院公路学院,云南昆明650101) 摘要:利用缓和曲线参数,非对称卵形曲线几何特性,结合定线经验,简化精确求解

带有非对称缓和曲线的卵形曲

线长度,为工程技术人员设计,施工测量放线提供方便. 关键词:非对称卵形曲线;简化精确求解;定线经验;缓和曲线特性 中图分类号:U41文献标识码:B

据已公开出版的资料知,卵形曲线的计算方法主 要有依据缓和曲线参数试算法;依据两圆心坐标,圆 弧距和圆心距建立高次方程求解法;以及依据两圆心 坐标和两圆半径在同一方向斜率相等原理建立高次方 程求解等3种方法.这3种方法各有特点:第一种方 法已实用多年,但其精度误差和施工放线难度较大; 后两种方法都可以直接计算精确解,但其计算方法较 繁锁,实用上存在诸多不利条件.根据缓和曲线的特 性,结合笔者多年的选线定线实践经验,本文介绍一 种非对称卵形曲线精确计算公式的简化推导方法. 1选定线位

非对称卵形曲线定线可分别采用现场定线和纸上 定线方法.如图1所示,JD.和JD:为定线确定的两 个平曲线交点.其中JD.和JD可以为单交曲线,也 可以为N点拼曲线,设其间距为Jx.

和曲线时,则为卵形曲线;卵形曲线的缓和曲线可为 对称曲线,亦可为非对称曲线,但实用上一般为非对

称曲线.其导线位置应根据现场地形地物和地质情况 相关的经济条件以及路基稳定性条件选定.设JD至 JD2的交点间距为Jx,偏角为PJ和PJ,且JD的 偏角大于JD2的偏角,即R<R:. 2建立相关数学模型

2.1建立JD平曲线相关数学模型

(1)初拟JD的平曲线半径R

因JD与JD之间及其前后导线已根据与现场地 形,地物,地质相关的经济条件和路基稳定性条件选 定,所以,控制R平曲线半径的主要条件是其圆曲 线外距大小要合理.选定E后,根据外距E.和其转 角PJ,取其前后缓和曲线为零即可计算出R. (2)建立JD平曲线相关要素计算的数学模型 如图2示.

JD2【xD(2),YD(2)】

止

【SD(1),YD0)】

起点[xD(0),YD(O)】

图1选定线位

当JX长度不足以按同向曲线线形标准布设平曲图2平曲线相关要素

线时,如果可以不设缓和曲线,则其线形为复曲线设该曲线为非对称曲线,其起终

边切线分别为

(图1为复曲线);如果两端及中间均需要设置设缓T-?和Tz,起终边缓和曲线分别为

15-和LSz,并按

作者简介:刘创明(1954一),男,云南石屏人,高级工程师,副教授,从事公路与桥梁专

业教学与研究.

2011年11期(总第83期)143

i篓臻黼麴鬻嘲嚣/

,

曲线线形标准要求选定LS;取T:=JX,则T和

Ls为未知条件,相关计算公式可按如下方法推导 求得.

设前,后半曲线内移值为P和P

P1l:LSl1/(24R1),Pl2=LS122/(24R1);

设前,后半曲线切线增长值为Q和Q,

Qll=(Ls11/2)一LS113/(240R)

Q12=(LS12/2)一LS123/(240R)

设前,后半曲线缓和曲线螺旋角为B和B

Bl1:LSl/(2R1),B12:LSl2/(2R) T1l=[R1+Pl2一(R1十Pl2)cosPJ1]/sinPJl+Q11,

因为JX=Tl2,而

T12=[Rl+Pll一(Rl+P12)cosPJ1]/sinPJl+Q12

所以,根据上式分别代人P,Q等项式后,可反

算LS12,令:

A=1/(240R)

B=cosPJ1/(24R1sinPJ】)

C=一l/2

D=一(R1+Pl—R1cosPJ1)/sinPJ1一JX

则,LS:的求解公式为:

ALS12+BLS12+CLS12+D=0 解之即可得LS..

2.2确定JD平曲线计算参数和相关数学模型

2.2.1初拟JD:前半平曲线相关计算参数

如图2示,根据空间曲线的密切原理,设半径为 R的圆曲线与R.缓和曲线LS.:在GQ点密切,因此, 相应R前半平曲线的相关参数为:LS.=0,P=0,Q =

0.

2.2.2初拟JD后半平曲线相关计算参数

根据下一交点JD,已确定的曲线要素和JD至JD. 之间的线距,依据平面线形定线经验,按曲线线形标准 要求,可以初步拟定JD后半平曲线的切线长度及缓 和曲线长度,即T:和LS:均为已知值.

2.2.3计算JD平曲线半径R

因为:

T22=[R2+P2l一(R2+P22)cosPJ1]/sinPJ1+Q22

式中:Q2:=(LS/2)一LS223//(240R),P2.=0,

P22=LS222//(24R2),T22和LS22

为已知,代人上式进行移项,合并同类项后,令: A1=一240cosPJ2/sinPJ2 B1:120LS22—240T22

C1=一10LS222cosPJ2/sinPJ2 D1=一LS222,则有:

1442011年11期(总第83期)

AlR2+B1R2+ClR2+Dl=0, 解之即可得R:.

2.2.4确定JD前半圆曲线与Ls的密切点的相关 参数

(1)建立导线直角坐标系

如图2示,设:

起点坐标为[XD(0),YD(0)];JD坐标为[XD (1),YD(1)],JD坐标为[XD(2),YD(2)],止点坐标 为[XD(3),YD(3)],GQ点坐标为[x,Y],R圆心点 坐标为[X0,Y0].则:

XD(i)=XD(i一1)+D(i)cosF(i), YD(i)=YD(i一1)+D(i)sinF(i), 式中:i为第上述i条导线,D(i)为上述第i条导

线的长度,F(i)为上述第i条导线的方位角(可据平面 解析几何原理和各项已知条件求解). (2)建立R:前半圆曲线与R后半缓和曲线Ls. 的密切点方程组

设点GQ[X,Y]在Ls:上至JD2的缓和曲线长度 为LX,则根据缓和曲线特性有:

X=LX—LX/(40C)

Y=LX/(6C)一LX/(336C.)?

式中,C=LS2R.

根据两点问的距离公式,得R的圆曲线方程为: R2=(X0一X)+(YO—Y)

将?,?式代人?式,移项合并同类项后得: x0.LX/(20C)+LX/(36C)+(1一Y0/(3C)) LX一2.X0.LX+fX0+Y0一R.)=0 令:

A3=X0/(20C)

B=1/(36C)

C=(1一Y0/(3C)

D3=一2.X0

E3=(X0+Y0一R2),贝0有:

A3Lx+B3Lx+c3Lx+D3Lx+E3=0 按高阶代数解法原理,可求解出LX,将Lx分别 代人?,?式,即可求解出x和Y.

2.3确定非对称卵形曲线中插缓和曲线长度 设非对称卵形曲线中插缓和曲线长度为IF,则 LF长度为:

LF=LSl2一LX

至此,非对称卵形曲线主要计算公式已推导 完毕.

3结语

通过以上论述,比较现有的复曲线中插缓和曲线 弧长的若干种计算方法,我们可以知道:

(1)本文推导公式主要基于现场或纸上定线经 验与缓和曲线的基本特性,便于选线定线工程技术人 员理解和应用.

(2)按本文阐述的原理,可以把长期以来比较 抽象繁锁的中插缓和曲线的施工测量放线工作视为两 个单曲线按常规方法完成.

(3)上述公式简化推导及其应用方法,对公路 平面线形的优化设计工作和在原有公路晋级改造工程 (上接第138页)

(1)在天然陡坡上填筑路堤将会导致路堤失稳, 填方边坡将沿土石分界面产生滑动,从而引发上部路 堤产生滑移,形成牵引式滑坡.填方边坡稳定性受原 始边坡覆盖层土体力学性质影响较大.

(2)土石分界面处出现应力集中现象,土石分 界面处土体剪应变量最大,填方边坡易沿土石分界面 产生滑动,这与稳定性分析是一致的.填方边坡最大 水平位移出现在路堤右侧四级坡面处,最大垂直位移 (沉降)出现在二级坡面处,最大剪应变出现在土石 分界面处土体内部.填方路堤沉降受岩溶洼地土体力 学性质影响较大.

(3)针对边坡上述特点,提出清表,强夯,增

设土工格栅,码砌反压及浆砌片石护坡,排水等综合 处治措施,能有效提高填方路堤及地基整体稳定性, 中,对充分利用原有公路路基路面,人工构造物,节 省工程造价等,具有重要的现实意义.

参考文献:

[1]《路线设计手册》编写组.公路设计手册(路线).北京:人民 交通出版社,1979.

[2]张坤宜.复曲线中插缓和曲线弧长的直接精确解.公路,2004 (8).

[3]宣道光.缓和复曲线(卵型曲线)中插缓和曲线特性的研究. 公路,2005(6).

[4]刘创明.非对称复曲线中插缓和曲线直观精确求解.高教发展 与评估(增),2006.

满足工程建设要求.

参考文献:

[t]魏永幸,罗强,邱延峻.斜坡软弱地基填方工程技术研究与实 践.北京:人民交通出版社,2011.

[2]张井泉.高填方边坡稳定性研究.西南交通大学硕士论 文,2009.

[3]王清洲,刘淑艳,马士宾,等.山区高填方土石混填路基强夯 方案优化研究.武汉理工大学,2010,32(13):72—76. [4]JohnKrahn.StressandDeformationModelingwithSIGMA/W.GEO

—

SLOPEInternationalLtd,,2004. [5]王家全,周健,丛林,等.高填方加筋新旧路堤现场试验与数 值模拟分析.岩石力学与工程,2010,5(25):2943—

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[6]徐则民,张倬元,许强,等.九寨黄龙机场填方高边坡动力稳 定性分析.岩石力学与工程,2004,6(15):1883—

1890.

2011年11期(总第83期)145

范文三：非对称卵形曲线精确计算公式简化推导方法

非 对 称 卵 形 曲 线 精 确 计 算 公 式 简 化 推 导 方 法 ，，，，刘创明郭长学刘斌袁国华施昊飞

( ，650101)云南交通职业技术学院公路学院云南 昆明

: 、、，摘 要利用缓和曲线参数非对称卵形曲线几何特性结合定线经验简化精确求解带有非对称缓和曲线的卵形曲 线长度，为工程技术人员设计、施工测量放线提供方便。

: ; ; ; 关键词非对称卵形曲线简化精确求解定线经验缓和曲线特性

U41 B ::中图分类号 文献标识码

，，; 据已公开出版的资料知卵形曲线的计算方法主 和曲线时则为卵形曲线卵形曲线的缓和曲线可为

; 、，，要有依据缓和曲线参数试算法依据两圆心坐标圆 弧对称曲线亦可为非对称曲线但实用上一般为非对

; 。距和圆心距建立高次方程求解法以及依据两圆心 坐称曲线其导线位置应根据现场地形地物和地质情况

JD。标和两圆半径在同一方向斜率相等原理建立高次方 程至 相关的经济条件以及路基稳定性条件选定设 1 3 。3 : JD2 JX，PJPJ，JD求解等 种方法这 种方法各有特点第一种方 法的交点间 距 为 偏 角为 和 且 的 1 2 1

，; JD,R 。，R已实用多年但其精度误差和施工放线难度较 大偏角大于 后的偏角即 2 1 2

，两种方法都可以直接计算精确解但其计算方法较 繁2 建立相关数学模型 ，。锁实用上存在诸多不利条件根据缓和曲线的特

JD建立 平曲线相关数学模型 1 ，，2. 1 性结合笔者多年的选线定线实践经验本文介绍一

。( 1)JDR种非对称卵形曲线精确计算公式的简化推导方法 初拟 的平曲线半径 1 1

JDJD因 与 之间及其前后导线已根据与现场地 1 2 1 选定线位 、、形地物地质相关的经济条件和路基稳定性条件选 非对称卵形曲线定线可分别采用现场定线和纸上 ，，R定所以控制 平曲线半径的主要条件是其圆曲 1

。1 ，JDJD定线方法如图 所 示和 为 定 线 确 定 的 两 。E，E1 2 线外距大小要合理选定 后根据外距 和其转 1 1

个平曲线交点。其中 JD和 JD可以为单交曲线，也 PJ，R。1 2 角 取其前后缓和曲线为零即可计算出 1 1

可以为 N 点拼曲线，设其间距为 JX。 ( 2)JD 建立 平曲线相关要素计算的数学模型 1

2 。如图 示

1 图 选定线位 2 图 平曲线相关要素 JX 当 长度不足以按同向曲线线形标准布设平曲 设该曲 线 为 非 对 称 曲 线，其 起 终 边 切 线 分 别 为 ，，线时如 果 可 以 不 设 缓 和 曲 线则 其 线 形 为 复 曲 线 T和 T，起终边缓和曲线分别为 LS和 LS，并按 11 12 11 12 ( 1 ) ; 图 为复 曲 线如 果 两 端 及 中 间 均 需 要 设 置 设

缓

1954 )) ，，，，，。: ( 作者简介刘创明 男云南石屏人高级工程师副教授从事公路与桥梁专业教学与研究

2011 11 ( 83 ) 年 期总第 期143

道路工程

3 2LS; T= JX，T曲线线形标准 要 求 选 定 取 则 和 11 12 11 AR+ B R + C R + D = 0， 1 2 1 2 1 2 1 LS为未 知 条 件， 相 关 计 算 公 式 可 按 如 下 方 法 推 导 12 解之即可得 R。 2

求得。 2. 2. 4 JDLS确定 前 半圆 曲 线 与 的 密 切 点 的 相 关 2 12 设前、后半曲线内移值为 P和 P， 11 12 参数 2 2 P= LS/ ( 24R) ，P= LS/ ( 24R) ; 11 11 1 12 12 1 ( 1) 建立导线直角坐标系

设前、后半曲线切线增长值为 Q和 Q， 11 12 如图 2 示，设: 3 2 〔XD ( 0 ) ，YD ( 0 ) 〕; JDXD 〔Q= ( LS/2) ) LS / ( 240R)起点坐 标 为坐 标 为 1 11 11 11 1 3 2 ( 1) ，YD( 1) 〕，JD〔XD( 2) ，YD( 2) 〕，坐标为止点坐标 2 Q= ( LS/2) ) LS / ( 240R) 12 12 12 1 〔XD( 3) ，YD( 3 ) 〕，GQ 〔X，Y〕，R为点 坐 标 为圆 心 点 2 设前、后半曲线缓和曲线螺旋角为 B和 B 11 12〔X0，Y0〕。:坐标为则

BLS/ ( 2 R) ，BLS/ ( 2 R) 11 = 11 1 12 = 12 1 XD( i) = XD( i ) 1) + D( i) cosF( i) ，

T=,R+ P)( R+ P) cosPJ,/ sinPJ+ Q， 11 1 12 1 12 11 11 YD( i) = YD( i ) 1) + D( i) sinF( i) ，

因为 JX = T，而 12 : i i ，D( i) i 式中为第上述 条导线为上述第 条导 T=,R+ P)( R+ P) cosPJ,/ sinPJ+ Q 12 1 11 1 12 11 12，F( i) i ( 线的长度为上述第 条导线的方位角可据平面 所以，根据上 式 分 别 代 人 P、Q等 项 式 后，可 反 12 12 ) 。解析几何原理和各项已知条件求解 算 LS，令: 12 ( 2) 建立 R前半圆曲线与 R后半缓 和 曲 线 LS 2 1 122 A = 1 / ( 240R) 1 的密切点方程组 B = cosPJ/ ( 24 RsinPJ) 1 1 1

C = ) 1 /2LS JD2 GQ〔X，Y〕上至 的缓和曲线长度 设点 在 12 D = )( R+ P) R cosPJ) / s inPJ)J X 1 1 1 1 1 LX，:为 则根据缓和曲线特性有 则，LS的求解公式为: 12 6 2 X = LX )L X/ ( 40C) ? 3 2 A LS+ B LS+ C LS+ D = 0 12 12 12 3 7 3 ? Y = LX/ ( 6C) ) LX / ( 336C) 解之即可得 LS。 12 ，C = LSR.式中 12 1 2. 2 确定 JD平曲线计算参数和相关数学模型 2 根据两点间的距离公式，得 R的圆曲线方程为: 2 2. 2. 1 JD初拟 前半平曲线相关计算参数 2 2 2? R= ( X0 )X ) + ( YO )Y ) 2 2 ，，如图 示根 据 空 间 曲 线 的 密 切 原 理设 半 径 为

将?、?式代人?式，移项合并同类项后得: R的圆曲线与 R缓和曲线 LS在 GQ 点密切，因此， 2 1 12 6 2 4 2 X0. LX / ( 20C )+ LX / ( 36C ) + ( 1 )Y 0 / ( 3C) ) 相应 R前半平曲线的相关参数为: LS= 0，P= 0，Q 2 21 21 212 2 2 2 LX ) 2. X0. LX + ( X0 + Y0 )R ) = 0 2 = 0。

令: 2. 2. 2 JD初拟 后半平曲线相关计算参数 2 2 A= X0 / ( 20C ) 3 JDJDJD根据下一交点 已确定的曲线要素和 至 3 2 32 ，，之间的线距依据平面线形定线经验按曲线线形标准 B= 1 / ( 36C ) 3 ，JD要求可以初步 拟 定 后 半平 曲 线 的 切 线 长 度 及 缓 2 C= ( 1 )Y 0 / ( 3C) 3 ，TLS。和曲线长度即 和 均为已知值 22 22 D= ) 2. X0 3 2. 2. 3 JDR计算 平曲线半径 2 22 2 2 E= ( X0 + Y0 )R ) ，:则有 3 2 因为: 6 4 2 ALX + BLX + CLX + DLX + E= 0? 3 3 3 3 3 T=,R+ P)( R+ P) cosPJ,/ sinPJ+ Q 22 2 21 2 22 11 22

，LX，LX 按高阶代数解法原理可求解出 将 分别 3 2 = (LS/2 ) ) LS / ( 240R) ，P= 0，: Q式中 22 22 22 2 21 代人?、?式，即可求解出 X 和 Y。 2 P= LS/ ( 24R) ，TLS和 2. 3 确定非对称卵形曲线中插缓和曲线长度 22 22 2 22 22

为已知，代人上式进行移项、合并同类项后，令: 设非对称卵 形 曲 线 中 插 缓 和 曲 线 长 度 为 LF，则

A1 = ) 240cosPJ/ sinPJ 2 2LF 长度为:

B1 = 120LS) 240T 22 22LF = LS)L X 12 2 C1 = ) 10LScosPJ2 / sinPJ2 22 至此， 非 对 称 卵 形 曲 线 主 要 计 算 公 式 已 推 导 2 D1 = ) LS ，: 则有完毕。 22

2011 11 ( 83 )144 年 期总第 期

，、，中对充分利用原有公路路基路面人工构造物节 3 结语 省工程造价等，具有重要的现实意义。

，通过以上论述比较现有的复曲线中插缓和曲线

:参考文献 :，弧长的若干种计算方法我们可以知道

,1, 《》 , ( ) , : 路线设计手册编写组公路设计手册 路线北京人民 ( 1) 本文推导 公 式 主 要 基 于 现 场 或 纸 上 定 线 经

交通出版社，1979, ，验与缓和曲线的基本特性便于选线定线工程技术人 张坤宜, 复曲线中插缓和曲线弧长的直接精确解, 公路，2004 ,2, 。员理解和应用 ( 8) ,

( 2) ，, ( ) ,按 本 文 阐 述 的 原 理可 以 把 长 期 以 来 比 较 宣道光缓和复曲线 卵型曲 线 中 插 缓 和 曲 线 特 性 的 研 究 ,3, 公路，2005 ( 6) , 抽象繁锁的中插缓和曲线的施工测量放线工作视为两 , , 刘创明非对称复曲线中插缓和曲线直观精确求解高教 发 展 ,4, 。个单曲线按常规方法完成 与评估 ( 增) ，2006,

( 3) ，上 述 公 式 简 化 推 导 及 其 应 用 方 法对 公 路

平面线形的优化设计工作和在原有公路晋级改造工程

檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸 ( 138 )。上接第 页 满足工程建设要求

( 1)， 在天然陡坡上填筑路堤将会导致路堤失稳 :参考文献 ，填方边坡将沿土石分界面产生滑动从而引发上部路

,1, ，，, 魏永幸罗强邱延峻斜坡软弱地基填方工程技术研 究 与 实 ，。堤产生滑移形成牵引式滑坡填方边坡稳定性受原 , : ，2011,践北京人民交通出版社 。始边坡覆盖层土体力学性质影响较大 ,2, 张 井 泉, 高 填 方 边 坡 稳 定 性 研 究 , 西 南 交 通 大 学 硕 士 ( 2) ，土 石 分 界 面 处 出 现 应 力 集 中 现 象土 石 分 论

，界面处土体剪应变量最大填方边坡易沿土石分界面 文，2009, ,3,

王清洲，刘淑艳，马士宾，等, 山区高填方土石混填 路 基 强 夯 ，。产生滑动这与稳定性分析是一致的填方边坡最大

, ，2010，32 ( 13) : 72 ) 方案优化研究武汉理工大学学报,4, ，水平位移出现在路堤右侧四级坡面处最大垂直位移 76, John Krahn, Stress and Deformation Modeling with SIGMA / ( ) ，沉降出现在二级坡面处最大剪应变出现在土石 W, GEO ,5, 。分界面处土体内部填方路堤沉降受岩溶洼地土体力 )S LOPE International Ltd，，2004, 2943 ) , ，2010，5 ( 25 ) :值模拟分析岩 石 力 学 与 工 程 学 报 。学性质影响较大 2950, , ，，，王家全周健丛林等高填方加筋新旧路堤现场 试 验 与 数 ( 3) ， 、、针对 边 坡 上 述 特 点提 出 清 表强 夯增 ,6, ，，，, 徐则民张倬元许强等九寨黄龙机场填方高边 坡 动 力 稳

,15 ) : 1883 ，2004，6 ( 定性分析 岩 石 力 学 与 工 程 学 报、、设土工格栅码砌反压及浆砌片石护坡排水等综合 ) 1890, 处治措施，能有效提高填方路堤及地基整体稳定 性，

2011 11 ( 83 ) 年 期总第 期145

范文四：曲线计算公式

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坐标

高程

计算

用EXCEL 进行中桩坐标、高程计算

（铜汤高速第一合同段）

测量计算、平差软件种类繁多，但无论什么软件都不能包罗万象，无法满足众多数据处理的需要，即使某种计算软件的功能非常齐全，但此类软件一般都是针对性开发的，而像小件坐标计算，例如承台坐标，则显得非常烦琐。本文结合本项目介绍了应用EXCEL 进行测量计算的方法和思路，并提供了一些常用的计算公式。

1、 EXCEL基本计算方法

打开EXCEL 后显示的表格，将相关数据依次输入到相应的表格上中。当原始数据输入完毕后，再在需要显示结果的相应单元格内输入计算公式，EXCEL 则会按照公式自动计算出结果，下面以两点坐标计算距离为例，简单说明下：

第一步：在相应位置输入表头、序号、坐标后，图示1所示。第二步在显示距离格内输入计算公式=SQRT((B4-D4)^2+(C4-E4)^2)并按回车，距离的结算结果就显示出来。

2、在测量计算中，最常见的是三角函数的处理。EXCEL 中备用的三角函数很齐全，但计算中是以弧度为单位来处理的，在计算中角度（度、分、秒）

需要转换成弧度后，即可进行三角函数的计算了。

3、结合本项目分别介绍了直线、圆曲线、竖曲线的计算事例

铜汤高速公路第一合同段，起点里程K78+060.618,终点里程K82+825,全长4764.4米，其中包括朱家畈大桥，水桥湖一桥、二桥三座桥梁。

全线平面首尾为直线段，中间由三段圆曲线连接，（后附全线平面图），计算原始数据取自设计文件第一册《直线、曲线及转角表》(图号为S3-4); 全线包括6段竖曲线，其中凹、凸曲线各3段，计算原始数据采用设计文件第一册《路线纵断面图》（图号为S3-3）。

在表格中，桩号栏中的ZJF8、SQA7、SQB6分别代表朱家畈大桥8号墩中心，水桥湖一桥7号墩中心和水桥湖二桥6号墩中心。坐标和高程的单位均为m ，角度单位为弧度。

一、坐标计算方法：

a 、 直线段：坐标增量法

例如：第一段直线范围K78+060.618~K78+773.787坐标计算

已知：BP 点里程为K78+060.618，坐标（3412768.816，484851.623）

起始方位角a ＝140°45′46.1″＝2.456774421（弧度）

计算直线范围内的K78+200坐标如下：

在EXCEL 表格中输入相应的表头和需要计算的里程后

在C36格内输入公式=3412768.816+（B21-78060.618）* COS（2.456774421） 在D36格内输入公式=484851.623+（B21-78060.618）* SIN（2.456774421） X=3412768.816+(78200-78060.618)×COS2.456774421＝3412660.860

Y=484851.623+(78200-78060.618)×SIN2.456774421＝484939.787 图示：

b 、 曲线段：偏角法

第一段圆曲线K78+773.787～K79+524.582上坐标计算：起点（即ZY 点）里程为K78+773.787，同时位于第一段直线上，可通过坐标增量法算出ZY 点坐标为（3412216.442，485302.725）；始方位角a ＝140°45′46.1″＝2.456774421（弧度）；曲线圆心在线路右侧，曲线半径R ＝4500m 。

计算本曲线范围内的朱家畈大桥18#墩（ZJF18）中心坐标，里程K79+101， 在EXCEL 表格中输入相应的表头和里程后。

其中该点对应的偏角Δ：

在G21格内输入公式：=（B21-773.787）/4500/2

Δ＝ψ/2＝0.5×L/R =0.5×(79101-78773.787)/4500 =0.036357rad

该点对应的坐标方位角β：

β＝α+Δ＝2.456774421+0.036357＝2.49313142 rad 该点对应的弦长C ：

在H21格内输入公式：=2*4500*SIN（G21）

C=2RSINΔ＝2×4500×SIN0.036357=327.141m

故该点坐标为：

在C21格内输入公式=3412216.442+H21* COS（2.456774421+G21）

在D21格内输入公式=485302.725+H21* SIN（2.456774421+G21）

X=3412216.442+327.141×COS2.49313142＝3411955.706

Y=485302.725+327.141×SIN2.49313142＝485500.306 如图示：

二、竖曲线计算方法：

以第一段竖曲线（K78+190~K78+710），本段为凹曲线，半径

R

＝

10000m ，

T=260,E=3.38,起点

K78+190至交点K78+450坡度i 1＝－2.95％，交点K78+450至终点K 78+710坡度i 2＝+2.25％；通过内差法分别求得起点、交点、终点高程为：28.345、20.675、26.525。

计算K78+560设计高程。

在EXCEL 表格中输入相应的表头、坡度、里程桩号和起算点桩号、高程后 按坡度所对应高程＝20.675+（78560-78450）×（+0.0225％）＝23.150m 即：H105格内中输入公式=G105+（B105-78450）*J105

对应标高修正数＝（78710-78560）×（78710-78560）/2/10000＝1.125m 即：在I105格内输入公式=（78710-B105）^2/10000/2

所得设计高程＝23.150+1.125＝24.275m

即：在C105格内输入公式=H105+I105

其他竖曲线计算方法与算例相同。

后附计算成果书（部分）

4、结束语

在工程实际操作中，对于系统地计算各个构造物的坐标、高程尤为重要，本合同段为此专门成立了计算小组，多人结算，相互复核，并将计算结果形成成果书，保证了计算资料的系统性，正确性。

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范文五：曲线计算公式

[转帖]时寒冰：中国到底损失了多少亿？

一位董事长给年轻人讲述的30条人生道理

高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、

匝道)

2009-12-19 20:57:14| 分类： 默认分类 | 标签： |举报 |字号大中小 订阅

一、缓和曲线上的点坐标计算

已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l

②圆曲线的半径：R

③缓和曲线的长度：l 0

④转向角系数：K(1或－1)

⑤过ZH 点的切线方位角：α

⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z

计算过程：

说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，

公式中n 的取值如下：

当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：

l 为到点HZ 的长度

α为过点HZ 的切线方位角再加上180°

K 值与计算第一缓和曲线时相反

x Z ，y Z 为点HZ 的坐标 切线角计算公式：

二、圆曲线上的点坐标计算

已知：①圆曲线上任一点离ZH 点的长度：l

②圆曲线的半径：R

③缓和曲线的长度：l 0

④转向角系数：K(1或－1)

⑤过ZH 点的切线方位角：α

⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z

计算过程：

说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，

公式中n 的取值如下：

K=-1，

当只知道HZ 点的坐标时，则：

l 为到点HZ 的长度

α为过点HZ 的切线方位角再加上180°

K 值与知道ZH 点坐标时相反

x Z ，y Z 为点HZ 的坐标

三、曲线要素计算公式

公式中各符号说明：

l ——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）

l 1——第一缓和曲线长度

l 2——第二缓和曲线长度

l 0——对应的缓和曲线长度

R ——圆曲线半径

R 1——曲线起点处的半径

R 2——曲线终点处的半径

P 1——曲线起点处的曲率

P 2——曲线终点处的曲率

α——曲线转角值

四、竖曲线上高程计算

已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)

②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)

③变坡点桩号：S Z

④变坡点高程：H Z

⑤竖曲线的切线长度：T

⑥待求点桩号：S

计算过程：

五、超高缓和过渡段的横坡计算

已知：如图，

第一横坡：i 1

第二横坡：i 2

过渡段长度：L

待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x

求：待求处的横坡：i

解：d=x/L

i=(i2-i 1)(1-3d2+2d3)+i1

六、匝道坐标计算

已知：①待求点桩号：K

②曲线起点桩号：K 0

③曲线终点桩号：K 1

④曲线起点坐标：x 0，y 0

⑤曲线起点切线方位角：α0

⑥曲线起点处曲率：P 0(左转为“－”，右转为“＋”)

⑦曲线终点处曲率：P 1(左转为“－”，右转为“＋”)

求：①线路匝道上点的坐标：x,y

②待求点的切线方位角：αT

计算过程：

注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。在计算器中若无此函数可编一个小子

程序代替。

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