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范文一：Hausdorff测度的等价定义
Hausdorff测度的等价定义 集美人学3c3):I5—20'1998
JournalofJimelUniverslty
J一2D
HausdorflS~lJ度的等价定义
陆式盘郑振容林应坚
(集美大学师范学院,厦门361021)
0/7
摘要Thomson…与Edga~曾给出Hausd0r啦硝度的等价定义.在他们的工作基础上,又补充了
另外的等价定义,并改进他们的等价性证明.作为应用,改进并完善了中的命题4.9的证明,
进埘可以较为简单求出一般nt0r集的Hausdorfl~[度.
关键词Hausdorff~数,Hausdorf墩幢
中图分类号O174.12
1基本定义
听2j}.
为讨论的简单,我们的空间M=[.,b],即实直线上的一个紧区间. 定义1.1(a)称为上的一个测度,如果对中每一子集,赋予一个非负实数,且 满足(f删=n(fi)E?U,有()??()
仅当涉及.可测集时才转称测度,最近? 注:大部分的数学书都把这儿的称为外测度,
些着作,如与.,认为不作这样区别更方便些,这里我们也不区分测度与外测度. (bXz,)表示区间点对,其中堤M的闭子区间,且.?1
(c)称旺组成的集合卢为Vitali类,如果对每一?与任意e>O,存在()? 使ll<,这里l表的直径.记A:=:是Vitati类}.
(d)称={(,,)}为强Viatli类,如果对每一?【口,b】,存在h)>0使()?卢当且仅当 lIltb).记?l=:腥恒Vitali类}.
(e)设c是正常数,称={(,,)}为c-Vitali类,如果()?卢当且仅当lII<c.记A= :腥c—Vitah~-}.
显然有?Al?A
(胡睿={(,,)}为一个界分,如果对于内不同的(,,,xt)与(,xi与,,是不重的,即 至多只有一个端点相合.
幢)设,卢={c,,)}明={c,,)?卢:?毋,即是卢在趾的限制.类似地记 ?[E]={所:??}有时我们的讨论只限于E上,也简记之卢,如称为E的Vitali类,
或,上的
界分等.
(h)设,?[口,bl,0<s?1.经典的-维Hausdor~1]度是这样定义的: (sup
A
H
A.I,驯E??c,Jt,,f,Ecl,
收稿U期:I9983-16
集美大学师范学院科研基金资助课题
集美人学第3卷
这里(,'日表示的覆盖,即Ehl
(j)文…中给出维Hausdorft'Nll度的等价定义
H()=sup(,)
0)我们给出另一等价定义:
ni'(E)=sup(E)
?A
2基本性质与等价性证明
supi
.?.,lflea2(?{,l?.
定义2.1设是上一个测度,一可测集如通常所定义.
(a)称为正则测度.如果对每一Eca~4,存在一可测集,使Ec_A且(E)=f().
(b)称为正则的Borer测度,如果每--BoreL集都是?一可测集,且对每一E州,存 在BorelNA,使Ec_A且p(eJ=p(AJ.
(c)称为Radon{~l度.如果是正则的BorelNU度,且对每一一紧集Pcx~f,有"J'. 定理2.2【aj若是正则测度.则对于任意递增集列c?c[=?(必是一 可测集).有
(b)若是RadonNI]度,则对于每一EcM与任意,e>0存在开集GE,使(G一,)<s.
证明参见文献3第5页至第6页.
定理2.3H是正则的Borel测度.
证明参见P.6,P.8
引N2.4设EcM,如果H【E)=0,则(E)=0.
证明设EA.则存在上的正函数(),健(,,)?当且仅当xeE且IIIf). 令巨=?:【1j=.?l,l}闻占,(E,),赢f)()0,故对于任意,e>0 存在C()使?【I)..(,,1,1<g2令C=Uo(1(E).砒4Cc卢?EurIft,由? H(E)?<
{,)?',
得,)=0. 及F,的任意性,
定理25(Vital[覆盖定理)
(a)设?A2[,],则存在c,使或{?=m或者
?(,\U{k1)=0
(b)上述改为也对,
第3期陆式盘等:Hausdorft~1]度的等价定义
证明(a)见文献4第1l页,并注意证明中无须假定为可测. (b)由(a)及引理2.4可得.
定理26设EM1J{E)=(E)=(E).
证明(a)首先有(,】?().这由矗?1即得.
(b)其次证明【,)ft【)如果,,)=?,不必再证,故假定;()<任给,>0 存在?A/使,,.(,))l(E)一,存在!?A=.债.
()t,(EJ+,.令=崩n,
则?A2.由定理25(b),存在上的界分盯卢,使或者?=z,或者(E\[.,1 =0.但?lIH【El,.【,l<tE1z,故(EUlJ?t,1=0.更有因 (,?=0因此由
lll'()(?(,)ll{EnU,,+I7l,(E,tO,) =,
.(EnU,)?<(E)t.
r,1E《,k
并令一0.即得结论.
(c)最后证明;(,)曼{)
先证明,如果,(E】=0010tE}=0々={t,)?EIl!j因为():0, 故对每'n,H(E)=o,从而对任给c>0,存在(tk'l::【,1.(E.【,2… 奄.
0=ttf,x'l?Eni\.p=Upf
则??2.设c卢'是的任一界分.对每()_山丁肯有点阿此中至多含有一个 形如''的元,从而??l,?2,:
c1xlE^,.'
因此(E}?.进而【E),由F的任意性,得{E)=0. 其次.令
h】:lirainl'—』L
设8>>I々l={?E旦()?}.E:{?E:(』)(8}对于?与,因?>口, 故存在巨上的正函数,使当XE,.1,l(),有?Ht,nf)令E=:e.O'I)2t;
,则EEHUE=E1,从而由定理2.2(a),{E1)=lira…{E)设={(』,):?E I,I?圳卢a[El设C(E),足,的任一覆盖,由
?【,r>,??(,nE)【(U
l,】(^"Il,lEf《"}lf【?l
及C(E)的任意性,得
;.,(,)口tl'(,)
从而
(")().
因>l故必有()=0因此{,1)=lira一(,):0.由上面的结论,得i(=0 对于,=『习旦{)t8澈存在={(,.)}??!【],使(,,)?当且仅当n'l,nE 设是内任一界分.则有
集美大学第3卷
?lII<d?H(,n,1<c,H(,
由的任意性,得(E}s(E1c,H【,1令l,得,,;(2)H(,)但H(1)=0, 故有H(E)?,,(E).
3应用
众所周知.密度公式在估计分形集的Hausdorff维数时非常有用,作为上述结果的应
用,我们改进中的密度公式(命题4.9).使之不但可以用于求解分形集的Hausdorff
维数,
而且还可以求解某些分形集,例如一般cant0填的Hausdorff~度. 定理31设是一个Radon~度,记
III乌
r
(嘛'
如果,)=0.则定义旦t)=叉设,M
(a)若对于每一一?E,.I】c>0,则H(,)c(,)
(b诺对于每,?E也Hts>o,刚HrE)?c~tE)
证明(a)设>q<c-园对于每一E.旦H())c',故存在趾)正函数,当?菌 足?厶II?州)时有l『r?(,1令=):?E,It}),则??【[明.设c(.则由 ?lII>c?(,)?c(l,川?"1,)c(】
及(,(E)的任意性,得IE1c((E)+s)山【E1=(EH{E1.并令cc, 即得(a
(b)设c>0.由定理2.2(b),存在开集G.使EcG且(G)'(+.又设c>c.因对于 每一E.旦t)c?故={(I),.IcGc?(,)}?A【】设万卢是的任
界分.由
?liI'<c?(,),c(G),c'((,)一s)t|'II亡
及的任意性,得jtE)c(E】由tE)=H(EsH(E】并令cC,,
即得(b).
例设m>-Zm是整数>0满足mc<1.我们递归地构造;E:E0=,.=【0.tl设,H=U,,
已经构造,则每一个,包含内?个区间,-=mi+1.…,re(i+1)它们之问有相同的 间隔长.1,l=.+.的左端点与的左端点相重,,-+-,的右端点与的右端 点相重.称为级基本区问,有时统记为,一.令
E=nE
=O
琳为一一般Cantor集.我们将证明,,(,)=I.这里=logm/一logc. 构造fo,1]上的质量分布:对每一基本区问,,令(,1=l,『由mC:1.得 (,)=l,l=m[cl,1)=ml,l=?;.?(,】,
第3期陆式盘等:Hausdorfl~nJ度的等价定义19
囡此是支撑在上的质量分布(参见l命题17),显然是一个Radon~U廖又(,)=f(10,I])=l,
所以如果我们能证明对每…E旦,,t)=1,则由定理3l可得(f)=l 首先,对?E,存在列基本区间,,使得E,.由lI{一0且lfl,
故有.,,tY!!I.
为证盟H,()2l,我们必须证对任意区间,,均有,(1l我们分下面二步来证. (i1称伪拟基本区间,如果咆含在某一,级基本区间内,但不包含在k级基本区『日j内,并
且,的左端点与某P级基本区间的左端点相重且I,,,的右端点与某级基本区间, 的右端点相重且,我们首先证明对于拟基本区间,有I11/J(1J不妨假设P2A1. 对白然数P—k-l作归纳法证明:~p-k+l.I,即Pgk.这时I=",l+(1J..其中1<"m.考 虑函数,?=({,l+(卜lid),一l,mf..()olI_]知/()在l】-肿]上是凸的.又,『) ,("7)=0,故有,()0,?(1,]冈此有Ill"l,=(n~-k+1>I时,,形如,=,lu,!u,3, 其巾,r弓是位于,内的拟基本区间,l,I=[门2)+(I)考虑函数(.?=(l,l一("2)l,
一一
…"it(2)I,?_(I,}I,l,1).,其中0<x,.l因0.0)>0,:g(1,1)0
(』v)<0.g(,p)<0.0.YI以及g是连续的-故有g(,)0.0.YI,即
++("一2U(I)
,由归纳假设,(,),,l,,l,(,)从而??,】
(1)现设=词是任意个包含点?E的区间.我们总可假设u,v~E,并且"不
是某一基本区间的右端点,不是某一基本区间,的左端点,否则的话我们可适当缩
小
医问,,而并减少/2?的值,从而不减小/(/)的值.对于这样的,,我们可以取列
拟基本区问{=[,vx,?,使得E,[,,".p(z).由幂函数与测度的连
续性,有??=hm,r,,).但对每一,k,由上面知(,)?1,因此I,I,,?I,
从而得到旦..If()IE.结合前面,我们得到了,旦'(xt=I.EE.
参考文献
IB.S.Thomson.DerivatesrJ厂intervalfuncthm.Memoi~oftheAmer.Math.Soc,199I:452 2G.AEdgar.Finevariationandfractalmeasures.ReaIAnalysisExchange20,1994~1995 3K.J.Falconer.Fractalgeomet~,.JohnWileyandSons.1990
4——.Thegeometryoffractalsets~ombridgeUnivPress.1985
5L.G.EvensandR…
FGariepy.~eosuretheoryamlfinepropertiesoffunction.CRCPress.1nc..I992
20集美大学第3卷
TheEquivalentDefinitionsofHausdorffMeasure
LuShipanZhengZhenrongLinYingjian
(TeachersCollege.dimeiUmXiamen36102I
AbstractInthispaperweshallintroduceanewdefinitionofthettausdorffmeasure,whichisba
sed0n
thestudyofThomson…andEdga~andgiveanequivalentproofamongthethreedefinitionsof Hausdorfl'lily,sureAsanappUcation,k*ceimprovetheproofoftheproposition4.9i.andthen
wc
canevaluatethetlausdorfl'meilsliteofager',eralCantorsetmoreeasily
KeywordsHausdorfldimension.Hansdorffmeasure
范文二：水资源短缺的定义及其测度
水资源短缺的定义及其测度 第22卷第4期
2006年7月
水资源保护
WATERRES0URCESPROTECTION
V01.22No.4
Ju1.2006
水资源短缺的定义及其测度
夏骋翔
(西安财经学院经济学院,陕西西安710061)
摘要:水资源短缺包括存量短缺与流量短缺两个层面.存量短缺指"因为水资源存量因素导致的物种种群下
降状况下的水资源存量与物种种群数量不致下降时的水资源存量之间的正缺口".流量短缺指"在居民可以
接受的价格下,水资源需求量与保证人类一定生活质量且无水资源浪费条件下水资源需求量的正缺口".在
此定义下,提出了确定水资源存量短缺的公式.用类似于恩格尔系数的方法,提出测度水流量短缺程度的公
式.用经济学原理,解释了水资源短缺的观念及其测度公式.
关键词:水资源;缺水;恩格尔系数
中图分类号:TV213文献标识码:A文章编号:1004—6933(2006)04—0088—04 Definitionandmeasurementofwaterresourcedeficiency
XIACheng-xiang
(SchoolofEconomics,Xi'nUniversityofFinanceandEconomics,Xi'?n710061,China) Abstract:Wateri~sourcesdeficiencyincludesstoragedeficiencyandflowdeficiency.Stora
gedeficiencyisthedifference
betweenwaterstoragesundersuchcircumstancesthatthebiodiversityseriouslydeclinesdue
tothefactorofwaterstorage
andthatthebiodiversitydoesnotdechne.Andtheflowdeficiencyisthedifferencebetweenthe
demandsforwater
resourcesatanacceptablepriceandthedemandstoensureacertainlivingstandardofhuman-b
eingswithoutwasteof
waterresources.Theformulaforstoragedeficiencyisproposedaccordingtothedefinition,w
hiletheformulaforflow
deficiencyisdevelopedanalogouslytoEngelcoefficient.Thedefinitionsandformulasasthe
meaningsoftheconceptof
waterdeficiencyaleexplainedaccordingtoeconomicprinciplesaswel1. Keywords:waterresources;waterdeficiency;Engelcoefficient 对水资源短缺的性的界定与量的确定,受到许
多学者的关注与研究Ll.许多学者在GB50282—
98(城市给水工程规划规范》的基础上界定城市供水
裕缺.较有代表性的有:於方等E33用城市的人均综
合用水量小于规划人均综合用水量作为城市缺水的
衡量标准,用需水量与实际供水量的差计算城市缺
水量;王阿华L4J对区域供水规划中用水量指标的取
值进行了探讨,建议区域供水规划中水量预测宜采
用分类用水定额法进行测算,同时建议水量的预测
要在调查研究的基础上进行分析测算等,不详尽罗
5-6]
.
所有这些方法,都忽视了一个关键性因素.所
计算出的缺水量,都是在低价格或无价格,资源任由
人们使用的假设下得出的.对市场经济社会,对资
源的需求,价格因素是决定需求量的主要变量,价格
信号是调节资源配置的有力手段.对公共资源,无
价(价格为零)或人为因素定价,可以测算其需求量;
但当价格可通过市场调节时需求量是价格的函数, 而需求量的测算中忽视价格因素,或以某一不变价 格下测算,必然导致需求量测算的不真实或人为误 差,进而导致短缺量的误差.因此,市场经济下价格 的市场变化应进入短缺测算函数.
除此之外,需求量的规划中,缺少资源分配的 "生态"基础以及跨代际的公平基础,缺少可持续发 展的内涵.规划只单方面依据资源存量及可补充 量,确定规划使用量,没有考虑资源的跨期分配,河 作者简介:夏骋翔(1964一),男.河南洛宁人,副教授,主要从事环境经济学方面的研
究工作.E.mail:xcx59@rnsn.c. ?
88?
流的生态功能变化以及对不同物种的影响等等的可 持续使用量,这些与市场经济及可持续发展的大背 景相悖,有必要重新审视.
1水资源短缺的定义
测量水资源短缺,首先应该对水资源短缺(缺 水)的概念有一个明确的界定.缺水应该包含两个 含义:一个是指水资源的存量(一定质量以上的水资 源的数量)不能满足自然界生物种群的繁衍生存需 要,使某一区域的自然生态受到严重破坏,威胁到物 种的多样性,形成绝对的缺水(也可叫水存量短缺); 另一个是指由市场形成的对人类生活,生产的水供 给与水需求的均衡价格偏高(由于对自然垄断行业 的管制,目前的价格不是市场均衡价格,已经被按照 边际成本或平均成本管制而降低),导致社区居民的 生活质量受到极大的影响,只有增加供给(可补充量
(流量)增加,或过多攫取存量)才能保证消费,但由 于成本,存量,或增加供给会导致其他环境问题,不 符合可持续使用原则,从而形成"相对"的缺水(也可 叫流量缺水).由于价格管制(一般是价格很低,因 此需求量很大,供给不能满足需求,市场处于非均衡 状态),形成的水资源供需缺口,不能作为水资源缺 少的评价判断标准.而目前所有的针对水资源短缺 量的计算,都是在水资源价格管制下计算得到的,结 果应该受到质疑.
简而言之,缺水的分析框架,应该包含两个层 面:一个层面是指水资源不能满足生态需要:另一个 层面指水不能满足人类正常生活需要,或者更精确 地说,在水资源不被浪费的前提下不能满足人类需 要.这两个层面所出现的资源需求量与资源供给量 之间的缺口,才是缺水.任意践踏水资源而导致的 水资源不足,不应该叫做水资源短缺.只有出现绝 对缺水或相对缺水时,才应该叫缺水,造成水危机. 总结以上观点,对水的短缺可作如下分类及定 义:水的存量短缺,可以定义为"因为水资源存量因 素(而非其他因素)导致的物种种群下降状况下(种 群不可恢复,如沙漠化)的水资源存量与物种种群数 量不致下降时(种群可恢复的下限)的水资源存量之 间的正缺口".水的流量短缺,可以定义为"在居民 可以接受的价格下(此价格应能正确反映水资源的 稀缺性)水资源需求量,与保证人类一定生活质量且 无水资源浪费条件下水资源需求量的正缺口". 2水资源短缺的测度
2.1存量短缺量
一
般可以根据某区域内生物种群的历史数量, 或根据生物种群相对于水资源的边际变化量,确定 一
个基准,作为"物种种群数量不致下降"的基值,从 而对不同区域的缺水情况进行统计,确定存量短缺 量的数值或存量短缺的区域大小.
假设生物种群数量F与水资源存量Q的关系 为F=f(Q),生物种群数对水存量的边际种群量为 MF(Q)=,存量缺水的判断基准为o=
,Q.是被认为种群数量不可恢复的水存量 或种群数量可恢复的下限,某地区是否缺水,由种 群边际量MEj与基准量的差的正负确定(用上标表 示考察对象,如考察的地区或考察的家庭等),缺水 区域的数量(单位:个/单位面积)为
?d:{?vMF一岛?0)(1)
总存量缺水程度——存量短缺指数(absolute deficientindexforwater,orstockdeficientindexfor
water,D.)可用缺水区域数量?d占总区域数量J7,rl 的千分比表示(也可考虑用种群数量,人口数量作权 重),即:
^,
Dwa=.-'a×1000~o(2)
2.2流量短缺量
由于是在一定价格下的需求量,这样就引入了 一
个名义变量(与价格尺度,货币单位有关).为消 除名义变量,用实物变量表示水短缺量,可根据水短 缺会导致居民生活水平下降这一关系(本文以讨论 自来水水价为例,不讨论资源水水价),用类似于恩
格尔系数的方法确定水流量短缺的程度,即首先计 算水消费支出占总消费支出的百分比,根据在贫困 线的家庭平均维持生活的水消费量支出(水价应为 现行的低价)占总消费支出(总收入即贫困线)的百 分比,确定相对缺水的基准.对贫困家庭来说,由于 水资源的消费,水费已是他们的生活负担,可近似认 为水资源无浪费.水价放开以后,居民水消费支出 占总支出的百分比若大于等于此基准,可认为此居 民家庭水消费短缺,社会短缺程度用水短缺家庭数 占总家庭数的比例表示.
假设贫困线为.,现行管制水价为P.,在贫困 线上的居民家庭在价格P.时的平均水消费量为 q0,任一居民家庭k收入为,在水市场价格为P 时其家庭水消费量为q,相对缺水家庭的数量为 ?,,则有:
Nr=
{??,Pqk一?O,qk>q~t (3)
?
89?
其中(Pq/M)可定义为水消费的恩格尔系数, (P0q0/M0)可定义为水相对缺乏的基准恩格尔 系数.
总存量缺水程度——流量短缺指数(relative deficientindexforwater,orflowdeficientindexforwater,
D)可用相对缺水家庭的数量?,与总家庭数量?2 的千分比表示,即:
:×l000%.(4)
某地区是否出现水危机,应由2个指数综合 确定.
3水短缺的经济学解释
水资源的存量缺水程度,可以简单地用沙漠化 程度衡量.沙漠化地区,水生资源及很多物种消失, 可以被认为已经达到边际种群下降数量超过不可恢 复的程度.
就人类对水的需求而言的相对缺水(流量缺水) 来说,短缺是相对于需求而言的供给缺少,经济学中 也称作需求过剩(excessdemand). 需求是指消费者愿意并且能够支付的商品量. 市场中的每一个个体对水的需求,在生理需要范围 以内,其需求价格弹性接近于零,即完全无弹性.超 过生理需要以后的需求价格弹性,随着价格的降低 而逐渐增大.一般情况下,对于不同收入阶层,高价 格时,收入越高,价格弹性越大;低价格时,收入越 低,价格弹性越大.如图1,D表示高收入者的水消 费需求曲线,D表示低收入者的水消费需求曲线, D表示平均需求曲线.高价格时(P),高收入者需 求价格弹性较大,而此时低收入者的需求价格弹性 较小,低价格时(P..)正好相反.也就是说,高收入 者已尽其所能消费水,降价已不会使其消费量增加. 图1价格与需求量关系
供给是厂商愿意并且能够提供的商品量.由于 水是人民生活必需品,水的供给又有很强的规模效 ?
90?
应,使其形成自然垄断,因此各个国家为打破垄断, 都会使水供给行业成为公共部门行业,经营的目标
不是利润最大化,而是福利最大化.供给量一般都 会尽最大资源可开采量(不一定是可持续开采量)进 行供给,即供给曲线是完全无价格弹性的(垂直于水 平轴),水的供给价格一般是保持供给企业不亏损, 即按平均生产运行成本定价.这样,出现了水的价 格与需求无关的局面.只要生产或生活需要,而供 给能力或资源存量达不到要求,就被认为水资源短 缺.这也成为对水资源短缺值估算的依据,显然存 在问题.
市场经济中,价格因素是调整供需变化乃至达 到供需平衡(市场均衡)的主要力量.在价格这一市 场信号失去作用力的情况下,市场的非均衡就有可 能出现,短缺就会出现.即短缺是与价格捆绑在一 起的.在定义及测度短缺量时,要说明价格.如图 1中,价格为P.时,水的需求量会很大,价格为P 时,穷人水的需求量只有Q.,富人的需求量不超过 Q,,价格为P:时,平均每人需求量不超过Q:.如 果采用分部计价,每人基本生活用水量为Q.,不超 过Q2部分的价格为P2,超过P2部分的价格为P3, 则此三类人水的需求量分别为Q.,Q:,Q,,由此计 算的水短缺值与在同一价格下的短缺值是不一样 的,这说明计算水短缺,要考虑价格因素,当前价格 下的短缺量并非价格调整后的短缺量.尤其在预测 未来水资源短缺程度时,要考虑水价格的走势. 流量短缺相对家庭数量,用到2个数值的大小比 较.见图2,.表示水资源需求量,:表示其他商品 需求量集合,凸向原点的2条曲线为无差异曲线,过 A,点的2条直线分别为预算约束线.收人为., pnn
价格为P.时,水的消费量为QA,此时=
即水消费支出占总支出的比例的含义为:单位实物
收入(以水实物为单位衡量的收入)水的消费量.如
果水价格提高到P,收入提高到,消费量由Q变
为Q口(Q^为Slutsky实际收入不变时的消费量),若
如图2所示QA>Q,水消费支出占总消费支出中
的比例下降,说明水并没有以前认为的那么重要,或
实际不缺水,否则实际缺水.图2(a)表示水价放开
后,水实物收入减少,水的消费量减少,水的消费被
其他物品消费替代,说明低价水时水被过度浪费,此
时实际不缺水;图2(b)表示水价放开后,水实物收
入不变.此时若水消费减少,同样说明水以前被过
度浪费,市场价格没有真实反映水资源的稀缺性.
水消费不减少,说明水确实处于短缺状态;图2(c)
表示水实物收入提高.若此时水消费量减少,说明
Co)(c)
水被错定为劣等品,以前水价没有真实反应水资源就会自然用于水资源短缺的解决方案中.水资源价
的稀缺性.若水消费不减少反而增加,表现出水是格的调整对水产业投资会产生激励作用,海水,废
正常商品,水的稀缺性在市场上被正确反映,供给若水,污水,雨水等等,如果有利可图,都可能会被开
满足不了需求,则缺水.发.各种节水设备,使用后如果有收益,都可能形成 综合以上分析,即?时,相对流量缺磊曩昙裴确认识观水相水.凡符合此条件的家庭,构成缺水家庭数.缺水
家庭数量占总家庭数量的比值,说明的是普遍的缺参考文献: 水程度.这就是式(3),(4)的由来.[13姜文来.
水资源价值论[M].北京:科学出版社,1998.
在水资源量相对充足的情况下,在成本价格下的[2]康雪.以生命的名义——中国水资源问题的思考[M].福
需求量不大于供给量,市场不会感觉到水危机.但州:福建教育出版社,2002. 是,随着人口数量的增长,生产规模的扩大,需求曲线[3]於方,过孝民,张强.城市污染型缺水的界定及其经济损
向右移动,一方面,低的价格使需求量超过供给量,形失的计算[J]?中国环境科学,2003,23(1):100—104.
成短缺,另一方面,供给企业一般被迫超负荷运转,造[4]王阿华?区域供水规划中用水量指标取值探讨[EB/0L]?
成水生产平均成本提高,使企业形成亏损.因此,水[2oo4—02—26]?hup://w?h..?.
??.n/nesdi.play/
璺水,行主望关.,霉是格晕[5]苏缺水条件下北京市水市场构建与造成的.价格信号失灵,也造成企业亏损.解决了水一水机究[J]
.
水,2004,2
,
2(6)
一
:37
…
-
40.
短缺的认识观念,可以同时部分解决企业亏损.[6]李克国.
水资源补偿政策刍议[J].水资源保护,20o3(2):
价格信号对投资有决定性作用,它直接与投资6-7.
(上接第77页)
c.经过氧化后的焦化废水虽然COD的去除率
较高,但残留浊度仍然较高,氧化后应进行混凝沉淀
处理,试验表明FeC13是较合适的混凝剂.
d.Fenton混凝沉淀法反应速度快,操作简单易
控制,具有其他处理方法不可替代的作用,特别是对
含有毒有害成分较多且浓度较高的复杂焦化终冷废
水的处理有较强的可行性.
参考文献:
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(收稿日期;2004—12—15编辑:傅伟群)
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91?
范文三：具有严格上维数测度的定义及等价定义
具有严格上维数测度的定义及等价定义
1 华 刘正慈 丁
1 (扬州教育学院数学系 ,扬州 225000 , 江苏大学理学院 ,镇江 212013 )
摘 要 分形中严格上维数是与填充维数相关的一个概念 ,可以从不同的角度用三种方式来定义测度具有严格上维数 ,它们 之间都是相互等价的 。另一方面 ,测度具有严格上维数 ,一定具有相同的点维数 ,但反之不然 。
关键词 测度 严格上维数 等价定义 点维数 中图法分类号 文献标志码 A O 174. 12;
自不规则集最初吸引了数学工作者的注意以
来 ,测度就已成为研究这些现在称之为“分形 ”集的 1 具有严格上维数的测度的定义 基本工具 。例如 ,当动力系统的吸引子通过描绘迭
代的点序列显示在计算机屏幕上时 ,实际上被观测 定义方式 I 到的是测度 ,而不是吸引子集合 。集合的填充维数 d μ设 是 R中的一个概率测度 , B 是所有波雷尔 理论上大部分都取决于适当定义的测度的局部 集构成的集类 。 性质。 μα 定义 1 称测度 具有严格上维数 ,如果满 δ称一族中心在 E 上 ,半径最大为 的互不相交 足下面条件 :
( )( ) αμi存在测度 的支撑 S,满足 d imS=; o P o d δδ 的球族E <{ b="" }="" 为="" r="" 的一个="" 2填充="" 。对=""> 0 , i ( )( ββ α) ii对 Π S ?B ,条件 d imS =, <蕴 p="" 定义="">
μ( ) 含 S = 0 。 ? s s ( )= sup , PE δδ : {B } 是 E的一个2填定义方式 II B i i ? i =1 充 sα ( ) δP E 是不升的 , 故可取那么 ,随着 的减少 δ αμ定义 2 称测度为 维填充测度 P 的一个奇 极限 ( α) μ异测度 2奇异 ,如果满足 :存在 的一个支撑 s s α ( ( ) )PE = lim PE 0 δ A , 使得 P (A ) = 0 . δ?0 s 定义 3 μα称测度 为 ( ) ( 遗憾的是 PE 不是一个测度 它不满足半可0 2连续的 ,如果对 Π A ?
α ) 数可加性 ,为了克服这个困难 ,定义 () μ() B , P A = 0 ] A = 0。 ? ? μα 定义 4 称测度 具有严格上维数 ,如果对s s ( ) P E = inf , ( ) ?E PE : E <0 i="" i="" =="" 1="" ε(="" α)="" (α="" ε)="" (α="" ε)="" μπ?="" 0,,测度="" 是="" -="" 2连续且="" +2="" i="1" d="" 这是="" r上的一个波雷尔测度="" ,称为="" e的="" s="" 2维填充测奇异的。="">
定理 1 定义 1与定义 4是等价的。 度。
E 的填充维数定义为 证明 :假设测度 μ满足定义 1 的条件。设集合 s s α-ε ( ) ( ) = inf{ s: P E= 0} 。 d imE = sup { s: P E= ?} P () ( ) α ε? - 。由定义 A 满足 P A = 0 ,则 d im A P
( )μ() (α ε) μ1的条件 ii知 A = 0 ,所以 是 - 2连
续
2007 年 10 月 29 日收到 的 。利用定义 1 的条件 ( i) 知存在集合 S, 使得 o
μ( S) = 0 , d im( S) = α。由填充维数的性质知 o P o
科 学 技 术 与 工 程 870 8卷
α+ε ( δδ)μx - , x +( ) (α ε) εμ对 Π,有 P S= 0。所以 ,测度 是 +21 o = + ?。 lim inf - 33αα-αδ?0 δδ 奇异的。 μμ(α 假设测度 满足定义 4 的条件。由 是 μ( δδ) x - , x +ln (2)令α < d="" im="" μ(="" x)="lim" sup="" 。loc="" +="" δ?0="" lnδ="" 3="" 3="" δ.="" 选择序列="" {}="" ,="" ε)="" 2奇异的知="" ,对="" πε?="" (="" 0,α)="" ,存在集合="" a,使得="" k="" ε="" α="" 考察="" α+ε="" αμ(="" ),="" d="" imx="" locμ()="" ()="" ()="" α="" a="1且" p="" a="0。从而" d="" ima?+="" ε="" ε="" p="" ε="">
δ? 0, k ? ?使得 kε。考虑一序列 { S} , S? 0, k ? ?。令集合 A= k k o ? μ ln δδx - , x + k k 3 3 μ( ) α = d im X >, lim () ()= inf { d imlocμ ? A。易知 A= 1 且 d imA ε o P o Pk k ?? k = 1 kδ ln k
(A) } ?α。 ε k 则 ? k?N ,对, k > k 0 0
()α =,则令 S= A,即定义 1的条 若 d imA o o P o μμ lnδ δ δδx - x - , x + , x + k kk k 3 3 α< 1,="">Ζ 3 3α ( )件 i已满足。 δln δkk ()α 若 d imA <,令 s="A?B" ,其中="" b="" 是="" p="" o="" o="" o="" o="" o="" )="" δ="" μ(="" x="" -="" δ="" ,="" x="" +="" k="" k="" 所以="" lim="" inf1="" ,="" 3="" 3="" α(="" )="" αμ维数为="" 的="" 任意="" 波="" 雷="" 尔="" 子="" 集="" ,="" 则="" s="1" 且="" o="" δ?0k="" δk="" (="" )="" ()="" ()="" α="" d="" ims="m" ax{="" d="" ima,="" d="" imb="" }=",满足" p="" o="" p="" o="" p="" o="" 且="">
( ) 定义 1的条件 ii。 μα x - δ, x +δ ( ) ?DX = lim inf μ αε( α)(α ε) μ若对 Π? 0, ,测度 是 - 2连续的 , δ?0 δα-ε () μ() 则对任意集合 A , P A = 0 蕴含 A = 0。令 μ δδ x - , x + k k α+β lim= α 2δ?0 ( ) ββ α ( ) k δS ?B ,如果 d imS = , < ,="" 则="" p="" s="P" k="" αβ-α="" -2="" μ="" δδx="" -="" ,="" x="" +p="" (="" s="" )="0" ,从而="" μ(="" s="" )="0。定理" 1得证="" 。="" 3="" 3="" k="" kαα-="0。" δlim="" inf="" 3k="" αδ?0="" k="" δ定义方式="" iii="" k="">
引理 2得证。 α (B ( x,δ) ) μ ( ) 。易α令 ?0 ,考察 Dx = lim inf μ αδ?0 μα 定义 5 称测度 具有严格上维数 ,如果对 δ d d 所有 x ? R,下面条件满足 μ( ) 知对 Π x ? R, 存在一实数 d im x , 使得loc α 当 α μ( ( ) ) α > d im x 时 , Dx= + ?; 当 < d="" im="" μ="" loclocμ(="" )="" α="" μ="" d="" imx="," -="" a.="" e。="" loc="" α="" d="" [="" 1="" ]μ(="" )="" (="" )="" μ(="" )="" μx="" 时="" ,="" dx="0" ,称="" d="" imx="" 为="" 在点="" x="" μ="" loc引理="" 3="" e="">< r是一个波雷尔子集="" ,="" e是="" 设="" d="" e="" 的闭包。="" r="" 处的上局部维数。="" lnμ(="" x="" -="" δ,="" x="" +δ)="" (="" )="" μ="" μi设="" 是一个有限测度="" ,="" 0="" ,若对所=""> E 引理 2 μ( ) 。 d imx= lim sup loc δ?0 δln μ( ) 有 E , d imx ? s成立 ,则 d im? s ;若对所 locp E μ( )( )α = lim sup 证明 : 1 令 > d imx locδ?0 有的E , d im μ( x ) ? s成立 ,则 d im ? s。 loc p E μ( δδ) ln x - , x + 。( ) μμ ii若 d im> s, 则存在 使得 0 , > E δp ln E 3 μ( ) α) 考察 α? ( d im x ,, 并确定一实数 μ( ) μ 且d im x ? s , - a. e。 loc loc 3 3 δ(α) 使得对 δ < δ(α)="" ,下列不等式成立="" :="">< s,="" 则存在="" μ使得="" μ="" 若="" d="" im=""> 0 , 且 p E E μ( δδ)( δδ)μ ln x - , x + x - , x +3 μ( ) μ d im x ? s , - a. e。 loc Ζ < α=""> 1 , 3αδln δ,一个集合的上局部维数与填充维数有 注意到 d ( x - δ, x +δ) μ? 1。 μ关 ,设 是 R空间中任意概率测度 ,考察下列集合 则 lim inf 3αδ?0 δα ( ) T= { x: DX = + ?} ? μ 从而α ( ) T= { x: 0 < dx="">< +="" ,="" μ="" +="" α="" μ(="" x="" -="" δ,="" x="" +δ)="" (="" )="" α="" dx="lim" inf="μ" αδ?0="" (="" )="" t="{" x:="" d="" x="0" }="" 。="" δμ="">
4期 丁 华 ,等 :具有严格上维数测度的定义及等价定义 871
3 μ 记 ( T) = inf{ d im(A) } = a = d imμ. 定理 5 得证。 μ为 在 E 上的限制 ,由文献 [ 2 ]知 ,测度 Eμ P k P k μαμα是 2奇异的 ,测度 是 2连续的 ,测T?T T μ 注 1 易知测度 的最小维数支撑 T不是唯一0+ ?μ α μ 度 αζμ 是 2强连续的 ,即对具有 2有限 H 测度的定义的。如果 T是测度 的一个最小维数支撑 , T μ 0
( ) μ任意波雷尔集 E ,有 E = 0。 () ( ) A ?B , d imA ? d imT,那么集合 T?A 也 μ μ P P T 0
具有相同的性质。 定理 4 定义 4与定义 5是等价的。
( ) μ证明 : 1 假设 是满足定义 4 的具有严格上 定义 7 称实数
(μ( ( ε) d im, x = lim [ inf { d imE ? x - , x + P P α ε , μ 是 维数 的 测 度 , 由 于 对 Π? α0, εΑ?0 E ? μ
ε) ) μ - 奇异的 ,且是 ,由引理 3} ]。为点 x 处测度 的局部维数。2连续的 α - ε α +ε
μα 定义 8 称测度 具有点维数 ,如果对 Π x ? ,我们有
α+ε S( S是测度 μ的拓扑支撑 ) ,条件 d im(μ, x ) = μ μ P D= + ?, μ - a. e x, μ( ) X
3 α-ε μ < -="" a.="" e="" x,="" α="" μ="d" im成立="" 。="" p="" dμ(="" )="" x="">
α- 2ε 定理 6 定义 1与定义 8不等价。μ = 0,- a. e x。 Dμ( ) X
证明 : 下面我们根据定义 8 构造一个具有点维 μα所以 是满足定义 5 的具有严格上维数 的
一 αμ数 的测度 ,但它不是定义 1 中具有严格上维数 个测度。 α的测度。 ( ) μ( ) 2 令 d im x = loc
ξ 首先 ,我们考察与独立二进制随机变量 的分 μ( δδ)x - , x +ln = α, μ - a. e, x。 lim sup δ?0 () ξμδ被称作非对称 Sa lem 测度 ,即 布相关的测度 ln 1
α-ε 满足ε 0, D0, μ - a. e, x , 条件 = 则对 Π> μ( )X ? α+ε ξ k = + ?成立 ,利用文献 [ 2 ]中 Roge rs2Taylo r定D μ( ) X ξ = , k ?k = 1 2 ε μ理 ,对 Π> 0 , 测度 是 , 且2奇异的 α ε +
ξ是独立随机变量 ,取值为 0或 1,对应的概率分 其中 k 是
( ) () p lnp + 1 - pln 1 - pα ε 2连续的。定理 4 得证 。 - 别为 p和 1 - p , p满足 - < ln2="">
2 具有点维数的测度 1。由文献 [ 1 ]的命题 10. 4知 , ( ( ) ) p lnp + 1 - pln 1 - p μ( ) d imx = - < 1="" ,="" loc1="" μ(="" )="1" }="" 为测度="" μ的支="" βln2="" 设="" a="{" e:="" e="">< ,e="" μ="">
μ - a. e x。 撑组成的集类。
定义 6 称实数 ( ) ( ) p lnp + 1 - pln 1 - p μ 所以测度 是一维数为 - 1 ln2 3 ( )d imμ = 1 inf { d im E } P P ΑE? μ= { x:ν ( x ) = p,ν ( x ) = 1 - 的测度。令集合 M P o 1 μ 为测度 的上填充维数。 () N x, k i ν( ) p} ,其中 x = lim ( ) , N x, k 表示实数 i i 引理 5 对 Πμ, 必存在一个最小维数支撑 k?? k 3 μ ( ) T,即存在一支撑 T使得 d im= d imT。 μ μ μ P P x 的 二进制分解中前 k个数字中 i出现的次数。
3 μ μ证明 :设 S是测度 的拓扑支撑。若 d im= 设 μ是 [ 0, 1 ] 上的一个勒贝格测度 , 那么由 μ P 2
3 μμ ( ) μ ( ) d imS,则 T= S。令 a = d im< d="" ims="μ" μ="" μμ="" 1="" 2p="" p="" p="" μ="" 定义="" 8="" 可知="+" 是一个点维数为="" 1="" 的测度="" 2="" 2="" d="" (="" )b且="" b="" -="" a="d。考察序列" d="a" +="" 。利用="" 1="" 式="" ,="" k="" k="" -="" 1="" (事实上="" ,对="" π="" x="" [="" 0,="" 1="" ]="" ,="" (μ)="" )="" 2d="" im,="" x="1" 。但="" p="">
是 , 由 于 存 在 一 个 集 合() 我们可得 ,对 Π k ?N , ? A?A使得 d imA? μk P k ( ) M P , 其 维 数 为 -? ( ( ) ) p lnp + 1 - pln 1 - p 1 (( ) ) μ< 1,="" 但="" m="" p="(" μd,="" d]。集合="" t="?" a是="" 的支撑="" ,="" 且="" d="" im="" μ="" k="" +1="" k="" k="" pk="1" ln2="">
科 学 技 术 与 工 程 872 8卷
μ> 0 ,所以由定义 1知 不是一个具有严格上维数 εεε ,使得 Π< ,有则存在="" o="" o="" 1="" α+α="" o="" (="" (="" εε)="" )="" 。inf="" {="" d="" ime="" x="" -="" ,="" x="" +}="">< p="" 的测度。定理="" 6="" 得证="" 。="" αe?="" μ2="" αμ定义="" 9="" 根据定义="" 1="" 具有维数="" 的测度="" 叫μ所以="" ,存在="" 的一个支撑="" e,使得="" o="" α做="" 具有严格上维数="" 的一个测度="" 。根据定义="" 8具α+α="" oαμα有维="" 数="" 的测度="" 叫做具有点维数="" 的一个测((="" εε)="" )="">< α。="" d="" im="" e="" x="" -="" ,="" x="" +?="" p="" o="" 2="" 度。="">
( εε) 因为 x ? S,集合 S = E? x - , x +的 μ o α定理 7 具有严格上维数 的任何测度 ,其点维
αβ α ( ) ( )μ数也是 。 维数 < ,且="" s=""> 0 ,与定义 1 的条件 ii矛
( )( )μ证明 :由定义 1的条件 i和 ii知 ,存在测度 盾 。从而定理 7得证。
α的一个最小维支撑 S,其填充维数为 , 所以 o 3 α, = d imμ = ( ) ( ) inf { d im E } = d im S P P P o 参 考 文 献 ΑE ? μ
下面证明 ,对 Π x ? S, μ 1 Falcone r. K J. Techn iques in frac ta l geom etry. Ch icheste r: John W i2 3 (μ) α α μd im, x = < =="" d="" im,="" p="" p="" ley="" and="" son="" s="" l="" td,="" 1996="" 2="" roge="" rs="" c="" a.="" h="" au="" sdo="" rff="" m="" ea="" su="" re="" s.="" london:="" cam="" b="" ridge="" u="" n="" ive="" rsity="" 即="" ,="" p="" re="" ss,="" 1970="" (="" (="" εε)="" )="" αlim="" [="" inf="" {="" d="" ime="" x="" -="" ,="" x="" +}="" ]="">< p="" oεα?0="" e="" μ3="" α="d" imμ,="" p="">
O n the D ef in it ion an d Equ iva len t D ef in it ion s of a M ea sure
w ith Exa c t Upper D im en s ion
1D IN G H ua, L IU Zheng2c i
( M athem a tical System , Yangzhou Educationa l Co llege 225000 , Yangzhou, P. R. Ch ina; 1 )Facu lty of Sc ience, J iangsu U n ive rsity, Zhen jiang 212013 , P. R. Ch ina
[ A b stra c t] Exac t upp e r d im en sion is an a ssoc ia ted defin ition of p ack ing d im en sion. th ree defin ition s of m ea su re w ith exac t upp e r d im en sion from d iffe ren t app roache s a re given. Then it is p roved tha t they a re equ iva len t. O n the o the r hand, It is a tta ined tha t any m ea su re w ith exac t upp e r d im en sion is a m ea su re w ith po in t d im en sion. B u t it is no t the ca se fo r the conve rse.
[ Key word s] m ea su re exac t upp e r d im en sion equ iva len t defin ition po in t d im en sion
范文四：测度有限集上有界函数L积分定义的等价性
测度有限集上有界函数 积分定义的等价性!
张永锋 咸阳师范学院 数学系咸阳陕西 !" "#$$$# !
摘 要关于 积分文献有不同的定义本文给出了测度有限集上有界函数 积分三种不$ Lebesgue ##Lebesgue 同定义的等价性的一种证明 $
关键词有界函数织分% & Lebesgue & 等价定义
中图分类号文献标识码$ 文章编号$%"!!&’ $%&$’()"!*!)++,"+&(++$-(+) (
57>?@ 5<63$=: 57="" 5=""><63$= 8因而,.;积="" 分="" 不="" 能="" 满="" 足="" 理="" 论="" 与="" 应="" 用="" 的="" 需="" 要="" riemann="" "="" d="" 6="" 积分应运而生积分是实分析中最重要的)*+*,-.*%="" lebesgue="" "="" 如何="" 则称="" 在="" 上="" 可积且="" ""概念之一lebesgue="" 积分以下简称="" 积分概念文献上="" c7575$<%="&" $<%="2%79&建立" !="" %="" !!="" &"4#="" &="" 一种常用的方法是先定义测度有限集上有界函数的="" 积分/="" )="" "="" 023="" 定义="" 设集合="" 函数="" 及分割="" 集合="" 与定义="" 相$&$<%="6&1" --(="" 再将="" 积分定义扩张到一般可测集上一般可测函数的情形对="" !="" "="" )测度有限集上有界函数的="" riemann="" 积分又有与="" 积分类似="" "="" !="" 同"记="" 任取=""><6=fg><4746:4#4:#&& !*e((.((a4(a4((((="" $确界式与极限式两种定义其中确界式定义又有分割="" ()(")(’的(="" (="" 7="" 4="" 本文给出了测度有="" %="" 函数的定义域与分割函数的值域两种方法="" )限集上有界函数="" 积分的三种定义见文献的等价性="" 0123#)="" *"""h="">E #.&7I(( $!<66)$ (="" 7="" 4+="" 的一种证明文中所述的可测集与可测函数均指="" 可测集与="" 可测函="" )="" )="" 存在即任给="" 存在="" 使得对任何分割="" 当=""><66# """"""!!且文中未说明的符号与概念见文献"043%="" 数时对任何="" 有4="" #="" 4="" :="" "(((a4="" (="" (="" 测度有限集上有界函数="" 积分的定义="" "="" !="" )="">
$ !#&A:.$(( & 下面给出三种定义( 7 4 0"3 # 定义 " 设 E 是 "中测度有限的可测集"$5%是6 & 上的
则称 在 上 可积且定义 $<%6& ! "$<%6 2%7 :& ) # &
定义等价性的证明 #
为了证明上述定义的等价性先给出两个引理下面的讨 ""有界函数的任一可测分划 各 对 *其中 & 78 : &"’9&7 (! ((# 论均设 是 中测度有限的可测集是 上的有界函数& $<% 6& """ ( 4 * 且仍采用前面各定义中的记法& 为互不相交的非空可测集记& "A +7 , $<%=: 7 >?@ $<%=: .;,((引理 若 在 上可测直接则 % &( % &( ""% $<%6 2%* $<%-6%" $<%6B * B B ## A A )
+&.$$<%=-%7>?@ (( & B %&# ( 7 4 ’ 由定义 可证 见"0434$J&
引理 设 在 上可测且 ) 1 $<%6& "$<&6’*!""&">
若上分割 为 增加 个分点所得则*"& 0!""36#6 ; " ,&.$$<%=%701 (( &-/B %&# ’( 7 4 A 5*6"$&*5*6#"$&*5*6"$&A;!*6&.&: A 5*6"$&(5*6#"$&(5*6"$&K;!*6&.&: 如果 则称 在 上 可积且"C7 $<%= 2%* $<%=-%3$<%=B ) B B ## 对上任意两个分割 与 总有<#6 0!""36="" 6#"="" a="">
5*6"$&5*6!"$& *$<%= 2%7C & # &*2& 575 013 # 定义 设 是 中测度有 限 的 可 测 集 是 上 的# & ""$<%= & *L& H>E 5*6"$&75" H>E 5*6"$&75& !<66$><66$ ))有界可测函数且=""><&=’*!""&"0!""3 证明="" 个分点同时增加到="" 和逐个陆续增加到将="" *4&="" ;="" d="" d$="" 4447&="" !*!!!",$4)即先加第一个分点到="" 得="" 再加第二个分点到="" 得="" 6*6="" 666""="" 44="" #记="" &*&04($!43="" ((a4(个分点到="" 都="" 同="" 样="" 得="" 故="" 先="" 证="" 直到最后加第="" 6&="" 6#="" a4="" ";="" ";.;a4)="">
情形/ 5<><63$=4&:..$(( $(74(="" (="" 7="" 4="" (="" 7="" 4="" 设="" 6$="" 4&4="" 4="" 7&="" !*!!!".4="" )="">
收稿日期:2005-03-23
作者简介:张永锋!!"#$!"#男#陕西省淳化县人#咸阳师范学院数学系副教授#主要从事实分析数学教学与研究$
咸阳师范学院学报 第 20 !"卷!!
加于 的新分点为 且 则#""& & %! !!!!,!/"!"!!"("/ #$%$1%( 4+5-+++1,. + # 3(("!"是的一个可测分划且!"#$"$’!%!&’ %!&( 000)%0% ( ( (
与定义 相同"*+) (%-,# 1$&4*+&5*+%-,# 1$ -4/5% $& !!!")) $"+*++"&,*"++&", %00 )))) *!*!!*!!!!")) $)%$$ ) ( % 0 ( % 0 ( % ) $ #
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由极限的廹敛性定理得 789 #*+(6&)) & # # $ "-,.1 (%-,"1!%* &) ( %0 ( 设 由 个分点构成对任意分割 记,"- #,# 反之#设 存在#分割取 #得798 #*+(6 #("#("))))%)) &)由 与 的所有分点构成由 至多增 则 %( "-"$# %, ,,, ,, , "-,.(1 ) ( %加 个分点所得由得#%$ - "$ $ 789 %-# 1 798 %- # 1 < ,(="" ,(-,.(1="" "-,.(1="">
%-# 1$$6"".+ %" %#$%-"# 1$# ,,*,,,!!由引理 的知 0 ""$%(%(< 于是="" %-#="" 1$%-"#="" 1$.+&="" ,,*-"",*!所以定义="" 与定义="" 等价0="" 2="">
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设 是 上的有界函数且 由 引 理 1"2.+ # 1"2.2( 1"2.2& %;;: : ** 版社 )$!*-+# 知在 上可测又由引理 的知 #1"2.+ #0 "2$%(%& 反 之 在 上 可 测 且 因 为 对设 # 1 2. + # % %# +#,-1-+. "(!"+上任意分割"!#"$
ZHANG Yong-feng
(Mathematics Department, Xianyang Normal University, Xianyang, Shaanxi, 712000,China )
: With respect to Integral Lebesgue, there are different definitions for that matter in literature. In this paper, a proof is made of the equivalence in three definitions of the integral of bounded function in finite set measure.
: bounded function; Integral Lebesgue; equivalence in definition
范文五：一般测度空间上积分不同定义的打通
一般测度空间上积分不同定义的打通
?杨欢欢
:华中师范大学数统学院 湖北?武汉 430079: 摘 要 测度理论和积分理论是分析中非常重要的内容。本文将积分的 4 种不同定义进行比较,将其打通,并通过不同定义得
出 Riemann 可积一定 Lebesgue 可积这种一致的结果,
关键词 积分 简单函数 非负可测函数
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1672-7894:2006:07-048-02
+ - 引言——四种不同的定义F d 和? F d 至少 ?f 为 E 上的一般可测函数，若?E E1+-由于对 f?Lf=u+iv, 4 种定义统一用 EFd ,?EFd ( =?= + 有一个有限，定义
,定义，所以我们不作叙述和讨论( 定义,,,:先对简单函数的概念进行推广，记 g= , =1 ()设 X 是一个非空集合，X, , 是一给定的有限测度空 称之为广义简单函数( ([] [] [])间，定义234中可取消“有限”. ?g 为广义的非负简单可测函数时，定义 (= =1 [] 定义1:设, X 为可测集，对于,的分划:,, ，+-=1 ?g 为广义的简单可测函数时，若?gd 和?gd 至少 +- 有一个有限，定义?gd ,?gd ,?gd ( }n. 记 = ，{令, b=infS, =sup i=1,2 i D=1 *
} [] {{， ?f:X?-?,?,定义 fd , inf ?gd | g 是积分存 { }，定义=sup( = =inf =1 } {在的广义简单函数，g?f a.e., 定义 fd , sup ?gd | g ?若(E),，?，f 为 E 上的非负有界可测函数，定义 *
}是积分存在的广义简单函数，g ?f a.e. (= =
* * {()}?若(E),，?，f 为 E 上的非负可测函数，定义fx fd = fd ,定义?fd = fd = fd. 若{()}{}, minfx,m, =lim fd .* * m m
定义,4,: ? 若(E)=，?，f 为 E 上的非负可测函数，定义 E, m
[()({?f:X?0,?)是非负实值可测函数，记Ft= x?X: f(,,,;,,,,,?m,, =lim fd . 对 Lebesgue 积 + ()})) . fx, t，定义?f-d ,(, x0)分定义 + ?f 为 X 上的一般可测函数，若 和 至少有+ - ?f 为 E 上的一般可测函数，若?F d 和? F d 至少 EE + 一个有限，定义,,(+-有一个有限，定义?Efd =?EFd ,?EFd ( 1.四种定义的打通 定义,1,: []注:定义,1”,实际上是与1等价的。 ?若(E),，?，f 为 E 上的非负有界可测函数，0?f ,
证明:对固定的 n,E= ,且 可测互不相交，即此为, , =M，n=1,2 M，若 0 1 0= =1
E 的一个分划，记为 D.n 使 { }()max ,= ?0 n??, n=1,2 ;1 , =1,2 ; =1,2 , =sup . = inf , = ; ， . 1
定义 []? ,?, ?同定义1。 =lim = = =1 =1 =1
定义,,,: ?== = 1 =1 =1 ?.若 s 为非负简单可测函数，s= 1 则 ? , ? 0 ( n ? ? ) ，又, =1 1 ?? .从而, ?0(n??).从而 定义,= (=1 =1
1 1 {?.若 f 非负可测，定义 | 0?s , f 且 s =sup =lim = . =1 }非负简单可测( (1)先从非负简单函数开始, 设 s= ,不妨设 0<><>
() [] 可 积 的，且f x在 a, b上 也 是 Lebesgue n .D , 为 X 的一个分划,则 SD , sD ,从而在 < 2="1" =="" .="" ,="" []="" 定义,下，="" 在其它定义下的证明:1="" 23="，" =="=" (="1" =1="" []证明:f="" 在a,b上="" riemann="" 可积，则="" f="" 在="" lebesgue="" 测度="" +="" 4="" 2="+" +="" 0="" 1="" []1="" 下几乎处处连续(可证明，与积分1的定义无关，不详叙)，="">
从而 f Lebesgue 可测。 + = = = 1 1 2 1 =2 =1 = (1)下面先对 f?0 时证明。 2 1 3 4 于是(= = = [][]在定义2下，对a,b的任一分划?a=x,x, ,x=0 1 n (2)在每种积分定义下都有 Lebesgue 单调收敛定理:
{}定理,:f为,上非负可测函数，且满足n ] ( ) [ ] [=inf = ，作简 x,x, E= x,x则 a,b = E,记 b , 令E = 1 01 ii-1i i=2, n.i? =1 () ()()() ()()a0?fx?fx? ??, x?X. bfx?f x(n? 1 2 n ?，所 ? = 单函数 ? = ，则? ?= =1 =1 =1 ?). 。 sup = sup , 以? ?([][][][]) 则 f 可测,且 (n??). 1, 2, 3, 4 ? ? 。 inf inf = 同理 ? ? ()对非负可测函数 f，存在简单函数 S，s.t..a. 0?S?S n12? ? () ()() ()S bSn x?f xn??. 则由单调收敛定理 ， = 所以， =
0 () []. i=1,2,3,4因为非负简单函数在不同定义下的 (2)在定义2下完全同 1证明，有相同的结果。 lim
0 1 2 3 4 []， =sup ，且不妨设 0 , (3)在定义4下?,b，同 1 i 积分已打通，所以(= = =
, B.n (3)对于一般可测函数进行证明( b1 , b2 n，0 , B1 , B2 , b 1 2 引理 1:在定义,,,下，f 在 X 上非负可测时 则 0 ， 存，= + , 0 1
+ 在。进而对一般可测函数，若和至少有一个有
+ 1 2 = 限，定义,,(，= 0 + 0 1 1 12n 证明:将全体非负有理数排成 r，r, ，r， .记 = ??+ + = 2 1 1 =1 =2 { },,i?N : +1 1 ? = ， ?? ? , ? = = =1 ， = 记， .对 其中sup =inf = =1 =1 = ? = ? = , +1 k?N, ()(), 1/ , 所以 = ，从而 s x=t x +- ) ( ) ( ) (( )取消f 非负条件，由L ?fdx= L ?fdx- L ?fdx- 4 * *
() [] [] [] ,所以 L及 Riemann 积分的线性性质，自然在定义 234下， = ， 存在。对一般可* * () = ,R( + , 至少有一个有限，则满足 f?g 或 测函数，若 和* ()(5)此定理更一般的结果:fx在 Riemann 意义下的广 + {g?f 的广义简单函数积分存在。 =inf =inf + 义积分()[] 绝对收敛，则 fx在a,b上 Lebesgue 可积， * + + 且 + } - = inf sup 。又= . , * * * ?证明:考虑()?单调收敛到|f x|， = , +1 + ,inf sup = inf (其+ + , ()单调收敛到fx,应用单调收敛定理和控 = * +1 ,
中 g, s, t 是 满 足 条 件 的 广 义 简 单 函 数)。于 是 制收敛定理即可证明。(各种定义下均可证明)* * * * 注:这里只是在一维空间上证明，在 n 维空间上的 + + ( 。这 = ,。 ,= 证明将是更有意义的结果，这有待我们去做进一步的 )是对于一般可测函数，4 种定义下统一的结果。再由的证明 研究。 1 2 3 4 有(= = =
综上，我们已将在 4 种不同定义下的积分打通。 参考文献: 注:将 4 种不同定义下的积分打通，从而关于积分的一 []1江泽坚，吴智泉.实变函数论.北京:高等教育出版社，2005.
[]2Walter Rudin.Real and Complex Analysis.New York: McGraw-Hill, 系列性质和定理，如 Fatou 引理，控制收敛定理等，在不同
1987. 积分定义下具有一致性。 [] 3Elliott H.Lieb,Michanel Loss.Analysis.-2nd ed. 2.一个定理在不同积分定义下的证明 [] 4Boca Raton, Ann Arbor. Measure Theory and Fine Properties of ()[]定理,:如果有界函数 fx在a,b上 Riemann 可积，则 Functions.London:CRC PRESS.
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