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范文一：高数知识点总结

高数重点知识总结

1、基本初等函数:反函数 (y=arctanx), 对数函数 (y=lnx), 幂函数 (y=x), 指数函数 (x a y =) , 三角函数 (y=sinx),常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小:高阶 +低阶 =低阶例如:1lim lim

020==+→→x x

x x x x 4、两个重要极限:()e x e

x x

x x =??

??+=+=∞

→→→11lim 1lim ) 2(1

sin lim ) 1(1

0 经验公式:当 ∞→→→) (, 0) (, 0x g x f x x , []

)

() (lim )

) (1lim x g x f x g x x x x e

x f →=+→

例如:()33lim 10

031lim -?

? ?

?-→==-→e e

x x x x

x x

5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00

' )

() (lim

)

(' )

() (lim

x f x x x f x f x f x

x f x x f x x x =--=?-?+→→?

7、复合函数求导:

[][]) (' ) (' ) (x g x g f dx

x g df ?= 例如:x

x x x x x x y x x y ++=++

+=2412221

1' , 8、隐函数求导:(1)直接求导法; (2)方程两边同时微分,再求出 dy/dx

例如:y

dx dy ydy xdx y x y yy x y x -

=?+-

=?=+=+22, ), 2(' 0' 22, ), 1(1

22左右两边同时微分法左右两边同时求导解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若 ??

?==)

() (t h x t g y , 则 ) (' ) (' //t h t g dt dx dt dy dx dy ==, 其二阶导数:()[]

)

(' ) (' /) (' /) /(/22

t h t h t g d dt dx dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:) (' ) () (000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin

11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:x

y sin =

(x=0是函数可去间断点) , ) sgn(x y =(x=0是函数的跳跃间断点) (2)第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:??

? ??=x x f 1sin ) ((x=0是函数的振荡间断点) , x

y 1

=(x=0是函数的无穷间断点) 12、渐近线:

水平渐近线:c x f y x ==∞

→) (lim

铅直渐近线:. ) (lim 是铅直渐近线 ,则若,

a x x f a

x =∞=→ 斜渐近线:[]ax x f b x

x f a b ax y x x -==+=∞→∞

→) (lim , )

(lim

, 即求设斜渐近线为

例如:求函数 1

223-+++=x x x x y 的渐近线

13、驻点:令函数 y=f(x),若 f'(x0)=0,称 x0是驻点。

14、极值点:令函数 y=f(x),给定 x0的一个小邻域 u(x0,δ), 对于任意 x ∈ u(x0,δ) ,都有 f(x)≥ f(x0),称 x0是 f(x)的极小值点;否则, 称 x0是 f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点:连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点,称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理:令函数 y=f(x),若 f

17、极值点的必要条件:令函数 y=f(x),在点 x0处可导,且 x0是极值点,则 f'(x0)=0。 18、改变单调性的点:0) (' 0=x f , ) (' 0x f 不存在,间断点(换句话说,极值点可能是驻点,也可能是不可导点)

19、改变凹凸性的点:0) (

20、可导函数 f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理:

(1)罗尔定理:) (x f 在 [a,b]上连续, (a,b)内可导, 则至少存在一点 ξ, 使得 0) (' =ξf (2)拉格朗日中值定理:) (x f 在 [a,b]上连续, (a,b)内可导,则至少存在一点 ξ,使得

) (' ) () () (ξf a b a f b f -=-

(3)积分中值定理 :) (x f 在区间 [a,b]上可积 , 至少存在一点 ξ, 使得

) () () (ξf a b dx x f b

-=?

22、常用的等价无穷小代换:

3323

~tan , 61~sin , 21~sin tan 21~

cos 1) 1ln(~) 1(2~1~tan ~arctan ~arcsin ~sin ~x x x x x x x x x x x x x e x x x x x x ----+-+-

23、对数求导法:例如, x x y =, ()1ln ' 1ln ' 1

ln ln +=?+=?

=x x y x y y

x x y x 解: 24、洛必达法则 :适用于 “

00” 型 , “ ∞

∞” 型 , “ ∞?0” 型等。当 ∞→∞→→/0) (, /0) (, 0x g x f x x , ) (' ), (' x g x f 皆存在 , 且 0) (' ≠x g , 则

)

(' )

(' lim

) () (lim

x g x f x g x f x x x x →→=

例

如

12s i n

lim 02cos lim 01sin lim 0020=+---→→→x e x x e x x e x x x x x x 25、无穷大:高阶 +低阶 =高阶例如, ()()()422lim 2321lim 53

2==

+++∞→+∞

→x

x x x x x x x 26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法(凑微分法)

(3)第二类换元法:哪里复杂换哪里,常用的换元:1) 三角换元:22x a -,可令

t a x sin =; 22a x +,可令 t a x tan =; 22a x -,可令 t a x sec = 2) 当有理分式函

数中分母的阶较高时,常采用倒代换 t

x 1=

27、分部积分法:??-=vdu uv udv ,选取 u 的规则“反对幂指三” ,剩下的作 v 。分部积分出现循环形式的情况,例如:dx x xdx e x ??3sec , cos

范文二：高数部分知识点总结

1 高数部分

1.1 高数第一章《函数、极限、连续》

求极限题最常用的解题方向：1. 利用等价无穷小；2. 利用洛必达法

0∞∞0∞则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于0、∞、1型0∞

的题目则是先转化为型或

限，包括lim x →000∞型，再使用洛比达法则；3. 利用重要极∞1x ) x =e ；4. 夹逼定理。 =1、lim (1+x ) x =e 、lim (1+1x sin x x →∞x →0

1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》

第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分?f (x ) dx =F (x ) +C 中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?f (x ) dx 的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，

把它折弯后就是?f (x ) dx =F (x ) +C 中的那个C, 漏掉了C 也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分

方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a f (x ) dx 型定积分，若f(x)是奇函数则有a

?a -a 2f (x ) dx =0；若f(x)为偶函数则有?f (x ) dx =2?f (x ) dx ；对于0-a f (x ) dx 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用t =a a π

20-x 的代换是常

用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质?-a 奇函数=0 、?-a 偶函数=2?0偶函数。在处理完积分上下

限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。

a a a

1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》

由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用

以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A ?E 、(A B) ?C 、(C D E) ?F, 由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A 、B 、D ，求证F 成立。

为了证明F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件

入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1. 已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F 成立必备逻辑公式中的A ?E 就可能有A ?H 、A ?(I K) 、(A B) ?M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A B) ?M ，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A B) ?C ，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。

通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、

不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。

针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必

须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。

当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，

感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C D E) ?F 再倒推想到 (A B) ?C 、 A?E 就可以证明了。

如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明

题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：

从上表中可以发现，有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄

弱，如表格中B 、C 的条件是一样的，同时A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个ε使得f

到题目欲证结论中出现类似“存在一个ε使得f (ε) (ε) =k ”、看=k ”的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子f ('ε) =0；而见

f ('ε) 到式子'=g (ε) f (b ) -f (a ) g (b ) -g (a ) 也如同见到拉格朗日中值定理一样，那么在处

理本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证

明问题上体现的最为明显。

综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是

“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。

这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到

英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。

1.4 高数第六章《常微分方程》

本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方

程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。

对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放

在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型——〉套用对应方法求解”的套路，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。

先讨论一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的

通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循——这些方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy这样的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程f 1(x ) g 1(y ) dx +f 2(x ) g 2(y ) dy =0，就是变形为f 1(x ) g (y ) dx =-2dy ，再积分求解；对于齐次方程f 2(x ) g 1(y ) y y '=f (x ) 则做变量

替换u =y

x du ，则y '化为u +x ，原方程就可化为关于u 和x 的可分dx

离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程y '+p (x ) y =q (x )

dy 'y +p (x ) y =0第一步先求的通解，然后将变形得到的y =-p (x ) dx

积分，第二步将通解中的C 变为C(x)代入原方程y '+p (x ) y =q (x ) 解出C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程y '+p (x ) y =q (x ) y n ，先做变量代换z =y 1-n 代入可得到关于z 、x 的一阶线性方程，求解以后将z 还原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比较特殊，因为其有条件?y =?x ，而且解题时直接套用通解公式

x 0M (x , y 0) dx +?y y 0N (x , y ) dy =C .

所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最

后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于y (n ) =f (x ) 型方程，就是先把y

原方程就化为 dz (n -1) 当作未知函数Z ，则y (n ) =Z ' =f (x ) dx 的一阶方程形式，积分即得；再对y (n -2) 、y (n -3) 依次做上述处理即可求解；

y ''=f (x , y ') 叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换

y '=p 、y ''=p ' (p为x 的函数) 将原方程化为一阶方程；y ''=f (y , y ') 叫不显含x 的二阶方程，变量替换也是令y '=p （但

dp dy dp '''y ==p 此中的p 为y 的函数），则dy dx dy =p p ，也可化为一

阶形式。

所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换

x 1-n =u ”，“求解贝努利方程就用变量替换z =y ”一样，在这里也

要记住“求解不显含y 的二阶方程就用变量替换y '=p 、y ''=p ' ”、“求解不显含x 的二阶方程就用变量替换y '=p 、y ''=p p '”。

大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。

其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：

由以上的讨论可以看到，本章并不应该成为高数部分中比较

难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确

无误地记忆各种方程类型及对应解法”，也可以说本章难就难

在记忆量大上。

1.5 高数第七章《一元微积分的应用》

本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分?x

a f (t ) dt 单独分离到方程的一端形成“?f (t ) dt ＝a x

∽”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。

对于导数应用，有以下一些小知识点：

1. 利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点： A. 极值的定义是：对于x 0的邻域内异于x 0的任一点都有f (x ) ＞f (x 0) 或f (x ) 或＜而不是≥或≤； B. 极值点包括图1、图2两种可能

，

所以只有在

f (x ) 在x 0处可导且在x 0处取极值时才有f '(x ) =0。以上两点都是实际做题中经常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。

2. 讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零值定理（结论部分

为f (ε) =0）、洛尔定理（结论部分为f ('；常用到构造辅助ε) =0）函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。 3. 理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A. 若函数f (x ) 在区间I 上的f ''(x ) <0，则f (x="" )="" 在i="">

f (x ) 在I 上的f ''(x ) >0，则f (x ) 在I 上是凹的；B. 若f (x ) 在

点x 0处有f ('x ) =0且f ''(x 0) ≠0，则当f ''(x 0) <0时f (x="" 0)="" 为极大值，当f="" ''(x="" 0)="">0时f (x 0) 为极小值。

其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，f '(x ) 是f (x ) 的变化率，f ''(x ) 是f '(x ) 的变化率。f ('x ) >0可以说明

函数是增函数，典型图像是

； f ''(x ) <>

可以说明函数f (x ) 的变化率在区间I 上是递减的，包括以下两种可能：

变小（大小关系可参考图3）；

此时f '(x ) 为正，且随x 变大而

小（大小关系可参考图3）；

此时f '(x ) 为负，随x 变大而变

同样，f ''(x ) >0也只有两种对应图像：

此时f '(x ) 为正，随着x 变大而变大；

此时f '(x ) 为负，随x 变大而变大。

所以，当f ''(x ) <0时，对应像，是凸的；当f ''(x="" )="">0时，对应图像，是凹的。

或的函数图

或的函数

相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹

性的充要条件多了“f ('x ) =0且f ''(x 0) ≠0”，这从图像上也很容易

理解：满足f ''(x ) <>

或，当

f ('x ) =0且f ''(x 0) ≠0时不就一定是

的情况吗。

对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研真题中，有大量的题是利用微元法来获得方程式的，微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一；但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想。在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常见类型：

1. 薄桶型. 本例求的是由平面图型a ≤x ≤

b,0≤y ≤f(x)绕y 轴旋转所形成的旋转体体积。方法是在旋转体上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示），则根据微元法思想可得薄桶体积 dv =2πxf (x ) dx ,其中f (x ) 是薄桶的高，

2πxf (x ) 是薄桶展开变成薄板后的底面积，dx 就是薄板的厚度；

二者相乘即得体积。

对 dv =2πxf (x ) dx 积分可得 V =2πxf (x ) dx 。在这个例子中，体现微元法特色的地方在于：1. 虽然薄桶的高是个变化量，但却用f (x ) 来表示；2. 用dx 表示薄桶的厚度；3. 核心式

dv =2πxf (x ) dx 。

2. 薄饼型

本例求的是由抛物线y =x 及

y =4x 2绕y 轴旋转形成的高 H 的旋转体体积，方法是取如上

图阴影部分所示的一个薄饼型形体，可得微元法核心式

y y

dv =π(y -4) dy 。其中 π(y -4) 是薄饼的底面积，薄饼与

y =x 2 旋转面相交的圆圈成的面积是 πr 2, ∵r =x ，∴

πr 2=πx 2=πy ；同理薄饼与 y =4x 2 旋转面相交的圆圈成的

面积是

πy

，二者相减即得薄饼底面积。核心式中的 dy 是薄

饼的高。这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱，而是上大下小的圆台，但将其视为上下等粗来求解，这一点也体现了微元法的特色。

3. 薄球型

本例求球体质量，半径为 R ，

密度 μ=r ，其中 r 指球内任意一点到球心的距离。方法是取球体中的一个薄球形形体，其内径为 r 厚度为 dr ，对于这个薄球的体积有 dv =4πrr dr ，其中4πr 是薄球表面积，dr 是厚度。该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到一个薄面以后再用底面积乘高得到的。由于dr 很小，故可认为薄球内质量均

224

匀，为μ=r ，则薄球质量dm =4πr ?r dr =4πr dr ，积分

可得结果。本例中“用内表面的表面积4πr 乘以薄球厚度dr 得到核心式”、“将dv 内的薄球密度视为均匀”体现了微元法的特色。

通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点认识。这种方法的灵活运用必须通过自己动手做题体会才能实现，因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。

关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：

1.6 高数第九章《矢量代数与空间解析几何》

本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的准确性。同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。以下列出本章中前后联系的知识点：

a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量关系性质知此时二矢量的数积为0，若直线方

x -x 0程为l

y -y 0m

z -z 0

n ，平面方程为Ax +By +Cz +D

=0，则

有Al +Bm +Cn =0。同理可对线面、线线、面面关系进行判定。 b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式为a b =|a ||b |cos θ，故有cos θ=

→→

→

→→→→

|a ||b |

，这个式子是所有线线、线

面、面面夹角公式的源公式。举例来说，设直线

l 1:

x -x l 1

y -y m 1

z -z n 1

，直线l 1:

x -x l 2

→

y -y m 2

→

z -z n 2

，则二直线

夹角θ

l 1l 2+m 1m 2+n 1n 2

222l 1+m 1+n 1?

222

l 2+m 2+n 2

→→

|a ||b |

，其中a 、b 分别是两条直线的方

向矢量。对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就是线面夹角

s =???而是s i θn =???，因为如右图所示公式中不是c o θ

由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而

平面的法矢量却与平面垂直，所以线面夹角θ是两矢量夹角θ'的余

'θ+θ=90角，即，故求夹角公式的左端是sin θ。对于线线夹角

和面面夹角则无此问题。

c) 平面方程各形式间的相互联系。平面方程的一般式、点法式、三点式、截距式中，点法式和截距式都可以化为一般式。点法式

A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0（点(x 0, y 0, z 0) 为平面上已

知

点

，

{A , B , C }

为法矢量）可变形为

Ax +By +Cz -(Ax 0+By 0+Cz 0) =0，符合一般式

y x Ax +By +Cz +D =0的形式；截距式a +b +c =1（a , b , c 为平面

在三个坐标轴上的截距）可变形为bcx -acy +abz -abc =0，也符合一般式的形式。这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过）。

同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式

?x =x 0+lt

y =y 0+m t ?和标准式之间可以相互转化。直线方程的参数形式

?z =z +nt

（(x 0, y 0, z 0) 是平面上已知点，{l , m , n }为方向矢量）可变形为

?x -x 0=t ?y -y 0

?m =t ，即为标准式?z -z 0=t ?n

x -x 0l

y -y 0m

z -z 0n

；标准式

y -y 0m

z -z 0x -x 0n 若变形为l y -y 0m z -z 0n

=t 则也可以

转化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过不止一次。 d) 空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联系。关于这些方程的基础性知识包括：F (x , y , z ) =0表示的是一个空间曲面；由于空间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空

?F 1(x , y , z ) =0222?x +y =R 间曲面方程为；柱面方程如圆柱面、F (x , y , z ) =0?2

x 2y 2

椭圆柱面2+2=1可视为是二元函数f (x , y ) =0在三维坐标系

a b

中的形式。

?f (x , y ) =0在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如?可视为

z =0?

是由空间曲面——柱面与特殊的空间曲面——坐标平面z =0相交

形成的空间曲线，即右图中的曲线2；而空

间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事，如上图中曲线1的投影是由过曲线1的投影柱面与坐标平面相交得到的，所以也就是图

?F 1(x , y , z ) =0

中的柱面准线。在由空间曲线方程?求投影方程时，

F (x , y , z ) =0?2

需要先从方程组中消去z 得到一个母线平行于z 轴的柱面方程；；再

?f (x , y , z ) =0

与z =0联立即可得投影方程?。

z =0?

1.7 高数第十章《多元函数微分学》

复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：

1.8 高数第十章《重积分》

大纲对于本章的要求只有两句：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。这一部分在历年真题中直接考到的情况很少，但却经常涉及，尤其是在关于曲线、曲面积分的题中，一般都需要将曲线、曲面积分转化为重积分来计算结果。

关于二重积分的性质，可以结合二重积分的几何意义和定积分的对应性质来理解，因为理解几何意义有利于解应用性问题，而且定积分和二重积分的性质定理几乎是一一对应的，对比起来很直观。

在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧，这一点在后面评题时会有针对性的讨论。

范文三：高数知识点总结(2)

高数知识点总结（下册）

——北雁友情提供

向量代数与空间解析几何

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高等数学知识点总结

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二元函数的定义见书59页（点函数的概念同上）二元函数定义域见书61页（几何定义，极限）二元函数的连续性

定义：设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某一邻域内有定义，如果当点P (x , y ) 趋于点P 0(x 0, y 0) 时，

多元函数微分学

函数z =f (x , y ) 的极限等于f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处的函数值函数f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处连续

表示形式二：?z

f (x 0, y 0) 即lim f (x , y ) =f (x 0, y 0) ，称

x →x 0

y →y 0

=f (x 0+?x , y 0+?y ) -f (x 0, y 0)

全增量

则称函数z =f (x , y ) lim ?z =0，

?y →0

定义二：设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某一邻域内有定义，若

?x →0

在点P 0(x 0, y 0) 处连续最大值与最小值定理

若函数f (x , y ) 在有界闭域D 上连续，则f (x , y ) 在D 上一定取得最大值和最小值，即如下结论（1）在D 上至少存在一点(ξ1, η1) ，恒有（2）在D 上至少存在一点(ξ2, η2) ，恒有

f (x , y ) ≤f (ξ1, η1)(x , y ) ∈D f (x , y ) ≥f (ξ2, η2)(x , y ) ∈D

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驻点：使

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f x (x , y ) =0，f y (x , y ) =0同时成立的点(x 0, y 0) 称为函数f(x,y)的驻点

推论：在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点(驻点不一定是极值点)

定理：设函数z=f(x,y)在点(x 0, y 0) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，假定点(x 0, y 0) 是函数的一个驻点即

f x (x 0y 0) =0，f y (x 0, y 0) =0 记 A =f xx (x 0, y 0) B =f xy (x 0, y 0) C =f yy (x 0, y 0)

则有如下结论：

(1) B -AC <0,><0时，(x 0,="" y="" 0)="">

小值点，

f (x 0, y 0) 为极大值；当A>0是(x 0, y 0) 为极

f (x 0, y 0) 为极小值。

(2)B -AC >0,

f (x 0, y 0) 不是极值。

f (x 0, y 0) 可能是极值，也可能不是极值。

(3)B -AC =0,

多元函数的最大、最小值问题（113页）条件极值与拉格朗日乘数法重积分

二重积分的定义（见书126页）

注意：

∑f (ξη) ?σ??f (x , y ) d σ=lim λ

→0

i ,

i =1

二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数f (x , y ) 及积分区域D 有关，而与积

分变量的记号无关

二重积分存在定理：如果函数f (x , y ) 在闭域D 上连续，则函数f (x , y ) 在D 上可积，即二重积分存在

二重积分的几何意义：

如果函数f (x , y )

≥0，则二重积分??f (x , y ) d σ

在数值上等于以函数z=f (x , y ) 所确定的曲面为顶，以

积分域D 为底的曲顶柱体的体积。二重积分的性质

性质一、函数和（或差）的二重积分等于多个函数的二重积分的和（或差），即

??[f (x , y ) ±g (x , y )]d σ=??f (x , y ) d σ±??g (x , y ) d σ

性质二、被积函数的常数因子，可以提到二重积分号的外面，即

??kf (x , y ) d σ=k ??f (x , y ) d σ(k 为常数)

性质三、如果积分区域D 分为两个区域D1和D2，即D=D1+D2，则

??f (x , y ) d σ=??f (x , y ) d σ+??f (x , y ) d σ

D 1

D 2

性质四、如果在D 上，f (x , y ) ≥0，则，

??f (x , y ) d σ≥0

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曲线积分（出大题）概念（175页）

对弧长的曲线积分——————第一类曲线积分

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无穷级数

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x )

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微分方程

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方程

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y ' ' +py ' +qy =f (x ) （1）称为二阶线性常系数非齐次微分方程，其中p ，q 为常数，f (x ) ≠0，

（只要求出（1）本身一个特解y 和它所对应的（2）的通解y ' ' +py ' +qy =0 （2）

它所对应的齐次方程为Y ，

y =Y +y *，Y 已经会求，现只要求（1）的特解y *） y *的形式与方程右端的自由项f(x)的形式密切相关

若f(x)具有下面两种常用形式之一时，我们可用待定系数法求（1）（2）

y *

f (x ) =P m (x ) e λx ，其中λ为常数，P m (x ) 为x 的m 次多项式

f (x ) =e λx [P l (x ) cos wx +P n (x ) sin wx ]，其中λ, w 为常数，P l (x ) 和P n (x ) 分别为x 的l 次和n

次多项式

f (x ) =P m (x ) e λx 型

结论：如果

f (x ) =P m (x ) e λx ，则微分方程（1）有如下形式的特解，y *=x k Q m (x ) e λx ，其中

?0, 当λ不是特征方程的根

Q m (x ) 是与P m (x ) 同次的多项式，其系数待定，而k =?1, 当λ是特征方程的单根

?2, 当λ时特征方程的二重根?

f (x ) =e λx [P l (x ) cos wx +P n (x ) sin wx ]型

如果

f (x ) =e λx [P l (x ) cos wx +P n (x ) sin wx ]，则微分方程(1)有如下形式的特解

l , n }其y *=x k e λx [Q m (x ) cos wx +R m (x ) sin wx ]，其中Q m (x ), R m (x ) ，均为m 次多项式，次数m =max{

系数待定，而k =?

?0, 当λ±iw 不是特征根?1, 当λ±iw 是特征根

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范文四：高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册）函数：

绝对值得性质：

(1)|a+b|≤|a|+|b|

(2)|a-b|≥|a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

a |a |(b ≠0) (4)|b |=|b |

函数的表示方法：

（1）表格法（2）图示法函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：

（3）公式法（解析法）

-1

y =f (x ) y =f (x ) 存在，且是单定理：如果函数在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数

值、单调的。

基本初等函数：（1）幂函数（3）对数函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：

（2）指数函数（4）三角函数

定义：设{x n }是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小），

总存在正整数N ，使得对于n>N的一切x n ，不等式

lim x n

{}x n 极限，或称数列收敛于a ，记做n →∞

x n -a <>

都成立，则称数a 是数列{x n }的

，或x n →a （n →∞）

收敛数列的有界性：

定理：如果数列{x n }收敛，则数列{x n }一定有界

推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛

函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：

lim f (x ) =A x →x 0

（1）同号性定理：如果，而且A>0(或A<0),则必存在x 0的某一邻域，当x="" 在该邻域内（点x="" 0可除外），有f="" (x="" )="">0（或f (x ) <>

（2）如果

x →x 0

lim f (x ) =A

，且在x 0的某一邻域内（x ≠x 0），恒有f (x ) ≥0（或f (x ) ≤0），

则A ≥0（A ≤0）。

lim f (x ) lim f (x )

（3）如果

x →x 0

存在，则极限值是唯一的

（4）如果存在，则在f (x ) 在点x 0的某一邻域内（x ≠x 0）是有界的。无穷小与无穷大：注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小

x →x 0

f (x ) <ε的唯一的常数，因为如果f (x="" )="0则对任给的ε">0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。无穷小与无穷大之间的关系：

（1）如果函数f (x ) 为无穷大，则f (x ) 为无穷小

（2）如果函数f (x ) 为无穷小，且f (x ) ≠0，则f (x ) 为无穷大

具有极限的函数与无穷小的关系：（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和

（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限关于无穷小的几个性质：定理：（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小

（2）有界函数f (x ) 与无穷小a 的乘积是无穷小

推论：（1）常数与无穷小的乘积是无穷小（2）有限个无穷小的乘积是无穷小极限的四则运算法则：

定理：两个函数f (x ) 、g (x ) 的代数和的极限等于它们的极限的代数和

两个函数f (x ) 、g (x ) 乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限：准则一（夹挤定理）

设函数f (x ) 、g (x ) 、h (x ) 在x =x 0的某个邻域内（点x 0可除外）满足条件：

（1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) （2）

x →x 0

lim g (x ) =A

，

x →x 0

lim h (x ) =A

则准则二单调有界数列必有极限定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在

lim f (x ) =A

重要极限：

sin x

x →0x （1）

lim

1-cos x 1

=2x →02 x （2）

lim

lim (1+) =e lim (1+x ) x =e

x （3）x →∞或x →0

无穷小阶的定义：

设α、β为同一过程的两个无穷小。

lim

（1）如果

=0α，则称β是比α高阶的无穷小，记做β=o (α) β=∞α，则称β是比α低阶的无穷小

（2）如果

lim

（3）如果

lim

=c (c ≠0, c ≠1) α，则称β与α是同阶无穷小 β=1α，则称β与α是等阶无穷小，记做α~β

（4）如果

lim

几种等价无穷小：

对数函数中常用的等价无穷小：

x →0时，ln(1+x ) ~x (x →0)

log a (1+x ) ~

x (x →0) ln a

三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：

x →0时，sin x ~x tan x ~x

1-cos x ~

2arcsin x ~x arctan x ~x

指数函数中常用的等价无穷小：

x →0时，e x -1~x a x -1=e x ln a -1~ln a

x n

二项式中常用的等价无穷小：

x →0时，(1+x ) -1~ax

+x -1~

函数在某一点处连续的条件：

lim f (x ) =f (x 0) x →x 0

由连续定义可知，函数f (x ) 在点x 0处连续必须同时满足下列三个条件：

（1）f (x ) 在点x 0处有定义

lim f (x ) x →x f (x ) x →x 00（2）当时，的极限存在

（3）极限值等于函数f (x ) 在点x 0处的函数值f (x 0)

如果函数f (x ) 在点x 0处连续，由连续定义可知，当x →x 0时，f (x ) 的极限一定存在，反

极限与连续的关系：

之，则不一定成立

函数的间断点：分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性：

定理：如果函数f (x ) 、g (x ) 在点x 0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在

点x 0也连续反函数的连续性：

定理：如果函数y =f (x ) 在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数

x =?(y ) 也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数

最大值与最小值定理：值

推论：如果函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则f (x ) 在[a , b ]上有界

定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，两端点处的函数值分别为

f (a ) =A , f (b ) =B (A ≠B ) ，而μ是介于A 与B 之间的任一值，则在开区间(a , b ) 内至少有一点

定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，则函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上必有最大值和最小

介值定理：

ξ，使得

f (ξ) =μ

(a <>

推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

推论（2）：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ?f (b ) <0(两端点的函数值异号)>

则在(a , b ) 的内部，至少存在一点ξ，使f (ξ) =0

导数与微分导数：

定义：

y ' =lim

?x →0

f (x +?x ) -f (x )

导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率

函数可导性与连续性之间的表示：如果函数在x 处可导，则在点x 处连续，也即函数在点x 处连续一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导据导数的定义求导：

（1）

y ' |x =x 0=lim

f (x 0+?x ) -f (x 0) ?y

=lim

?x →0?x ?x →0?x

（2）

y ' |x =x 0=lim

x →x 0

f (x ) -f (x 0)

x -x 0

f (x +?x ) -f (x )

（3）

y ' |x =x 0=lim

?x →0

基本初等函数的导数公式：

（1）常数导数为零(c )' =0

n n -1(x )' =nx （2）幂函数的导数公式

（3）三角函数的导数公式

(sinx )' =cos x (cosx )' =-sin x 1

(cotx )' =-=-csc 2x 2(secx )' =sec x tan x sin x (cscx )' =-csc x cot x

(tanx )' =

=sec 2x 2

cos x

（4）对数函数的导数公式：（5）指数函数的导数公式：

x x

(e )' =e （6）

(loga x )' =

log a e =x x ln a

(a x )' =a x ln a

（7）反三角函数的导数公式：

-x 2

(arctanx )' =

1+x 2

(arcsinx )' =

(arccosx )' =-

-x 2 1

(arc cot x )' =-

1+x 2

函数和、差、积、商的求导法则：

法则一（具体内容见书106）

(u +v )' =u ' +v ' (u -v )' =u ' -v '

函数乘积的求导法则：

法则二（具体内容见书108）

(uv )' =u ' v +uv '

u u ' v -uv ' ()' =v v 2

函数商的求导法则：

法则三（具体内容见书109）

复合函数的求导法则：（定理见书113页）

反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数的倒数基本初等函数的导数公式：（见书121页）

d 2y d dy

=() 2

dx dx 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 dx

求n 阶导数：（不完全归纳法）

ππ

(sinx ) (n ) =sin(x +n ?）(cosx ) (n ) =cos(x +n ?）

2 2

隐函数的导数：（见书126页）对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y 是x 的函数，它的导

' y dx 数用记号（或表示）

对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）

?x =?(t )

(α≤t ≤β) ?

y =φ(t ) 由参数方程所确定的函数的导数：?

dy dy dt dy 1φ' (t )

=?=?=

dx dt dx dt dx ?' (t )

微分概念：

函数可微的条件

如果函数f (x ) 在点x 0可微，则f (x ) 在点x 0一定可导函数f (x ) 在点x 0可微的必要充分条件是函数f (x ) 在点x 0可导

dy =f ' (x 0) ?x

函数的微分dy 是函数的增量?y 的线性主部（当?x →0），从而，当

很小时，有?y ≈dy

通常把自变量x 的增量?x 称为自变量的微分，记做dx 。即于是函数的微分可记为

=f ' (x ) '

dy =f (x ) dx ，从而有dx

基本初等函数的微分公式：几个常用的近似公式：

f (x ) ≈f (0) +f ' (0) x

+x ≈1+

1x n

sin x ≈x （x 用弧度） e 2≈1+x

tan x ≈x （x 用弧度）

ln(1+x ) ≈x

中值定理与导数应用

罗尔定理：如果函数f (x ) 满足下列条件

（1）在闭区间[a , b ]上连续（2）在开区间(a , b )内具有导数

（3）在端点处函数值相等，即f (a ) =f (b ) ，则在(a , b )内至少有一点ξ，使f (ξ) =0

拉格朗日中值定理：如果函数f (x ) 满足下列条件

（1）在闭区间[a , b ]上连续

（2）在开区间(a , b )内具有导数，则在(a , b )内至少有一点ξ，使得

f (b ) -f (a ) =f ' (ξ)(b -a )

定理几何意义是：如果连续曲线y =f (x ) 上的弧AB 除端点处外处处具有不垂直于x 轴的

切线，那么，在这弧上至少有一点c ，使曲线在点c 的切线平行于弧AB

推论：如果函数f (x ) 在区间(a , b )内的导数恒为零，那么f (x ) 在(a , b )内是一个常数

柯西中值定理：如果函数f (x ) 与F (x ) 满足下列条件

（1）在闭区间[a , b ]上连续（2）在开区间(a , b )内具有导数

‘F （3）(x ) 在(a , b )内的每一点处均不为零，则在(a , b )内至少有一点ξ使得

f (b ) -f (a ) f ' (ξ) ='

F (b ) -F (a ) F (ξ)

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理）

0未定式

1、x →a 情形

定理：如果 (1)当x →a 时，f (x ) 与?(x ) 都趋于零

' ' ' f (x ) ?(x ) ?（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，与都存在且(x ) ≠0

f ' (x ) f (x ) f (x )

lim ' lim lim x →a x →a ?(x ) x →a ?(x ) （3）?(x ) 存在（或为∞），则极限存在（或为∞），且

f ' (x )

lim '

x →a ?(x ) =

在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2、x →∞情形

推论：如果（1）当x →∞时，f (x ) 与?(x ) 都趋于零

' ' '

f (x ) ?(x ) ?（2）当|x|>N时，与都存在且(x ) ≠0

f ' (x ) f (x ) f (x )

lim ' lim lim

x →∞?(x ) x →∞?(x ) x →∞

（3）?(x ) 存在（或为∞），则极限存在（或为∞），且

f ' (x )

lim '

x →∞?(x ) =

∞

∞未定式

1、x →a 情形

如果（1）x →a 时，f (x ) 与?(x ) 都趋于无穷大

' ' ' f (x ) ?(x ) ?（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，与都存在且(x ) ≠0

f ' (x ) f (x ) f (x )

lim ' lim lim x →a ?(x ) x →a ?(x ) x →a ?(x ) （3）存在（或为∞），则则极限存在（或为∞），且=

f ' (x )

lim '

x →a ?(x )

2、x →∞情形

推论：如果（1）x →∞时，f (x ) 与?(x ) 都趋于无穷大

' ' ' f (x ) ?(x ) ?（2）当|x|>N时，与都存在且(x ) ≠0

f ' (x ) f (x )

lim ' lim x →a ?(x ) x →a ?(x ) （3）存在（或为∞），则则极限存在（或为∞），且

f ' (x ) f (x )

lim ' lim

x →a ?(x ) x →a ?(x ) =

0∞

注意：1、洛必达法则仅适用于0型及∞型未定式

2、当泰勒公式（略）

迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：

f ' (x ) lim

x →a ?' (x ) (x →∞)

不存在时，不能断定

f (x ) x →a ?(x ) (x →∞) lim

不存在，此时不能应用洛必达法则

必要条件：设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有导数，如果f (x ) 在[a , b ]上单调增

' '

()a , b f (x ) ≥0f 加（减少），则在内，（(x ) ≤0）

充分条件：设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有导数，

()a , b f （1）如果在内，(x ) >0，则f (x ) 在[a , b ]上单调增加 ' ()a , b f （2）如果在内，(x ) <0，则f (x="" )="" 在[a="" ,="" b="">

函数的极值及其求法

极值定义（见书176页）极值存在的充分必要条件

x x f (x ) f 00必要条件：设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则(x ) =0

函数的极值点一定是驻点

导数不存在也可能成为极值点

' f 驻点：使(x ) =0的点，称为函数f (x ) 的驻点

充分条件（第一）：设连续函数f (x ) 在点x 0的一个邻域（x 0点可除外）内具有导数，当

x 由小增大经过x 0时，如果

f （1）(x ) 由正变负，则x 0是极大点

' f （2）(x ) 由负变正，则x 0是极小点 ' f （3）(x ) 不变号，则x 0不是极值点

' ; ;

x f (x ) =0f f (x ) 0充分条件（第二）：设函数在点0处具有二阶导数，且，(x 0) ≠0

; ;

f （1）如果(x 0) <0，则f (x="" )="" 在x="" 0点处取得极大值="" ;="" ;="" f="" （2）如果(x="" 0)="">0，则f (x ) 在x 0点处取得极小值

函数的最大值和最小值（略）

曲线的凹凸性与拐点：

定义：设f (x ) 在[a , b ]上连续，如果对于[a , b ]上的任意两点x 1、x 2恒有

f (

x 1+x 2f (x 1+f (x 2)

) <22，则称f (x="" )="" 在[a="" ,="" b="">

凸的。判别法：

定理：设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内具有二阶导数

; ;

f (a , b ) （1）如果在内(x 0) >0，那么f (x ) 的图形在[a , b ]上是凹的 ; ; f (a , b ) （2）如果在内(x 0) <0，那么f (x="" )="" 的图形在[a="" ,="" b="">

拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

不定积分

原函数：如果在某一区间上，函数F (x ) 与f (x ) 满足关系式：

F ' (x ) =f (x ) 或dF (x ) =f (x ) dx ，则称在这个区间上，函数F (x ) 是函数f (x ) 的一个原

函数

结论：如果函数f (x ) 在某区间上连续，则在这个区间上f (x ) 必有原函数

定理：如果函数F (x ) 是f (x ) 的原函数，则F (x ) +C （C 为任意常数）也是f (x ) 的原函数，且f (x ) 的任一个原函数与F (x ) 相差为一个常数不定积分的定义：

f (x ) dx

定义：函数f (x ) 的全体原函数称为f (x ) 的不定积分，记做?

(?f (x ) dx ) ' =f (x )

d (?f (x ) dx ) =f (x ) dx

不定积分的性质：

性质一：

或

f 及?

(x ) dx =f (x ) +C

或?

df (x ) =f (x ) +C

性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

?[f 1(x ) +f 2(x ) + +f n (x )]dx =?f 1(x ) dx +?f 2(x ) dx + +?f n (x ) dx

性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

?kf (x ) dx =k ?f (x ) dx （k 为常数，且k ≠0

kdx =kx +C

基本积分表：

（1）?

（k 是常数）

x a +1

x dx =+C (a ≠-1) ?a +1（2）

dx =ln |x |+C ?x （3）

（4）?

dx =e x +C

a x

a dx =+C (a >0, a ≠1) ?ln a （5）

（6）?

sin xdx =-cos x +C

（7）?

cos xdx =sin x +C

dx =sec xdx =tan x +C 2??（8）cos x

dx =?csc 2xdx =-cot x +C sec x tan xdx =sec x +C 2?（9）sin x （10）?

（11）

?csc x cot xdx =-csc x +C

（12）

1-x

dx =arcsin x +C

（13）

1+x

dx =arctan x +C

第一类换元法（凑微分法）

?f [?(x )]?(x ) dx =F [?(x )]+C

?tan xdx =-ln |cos x |+C ?cot xdx =ln |sin x |+C

第二类换元法：变量代换

被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式基本积分表添加公式：结论：

a -x 如果被积函数含有，则进行变量代换x =a sin t 化去根式

如果被积函数含有x +a ，则进行变量代换x =a tan t 化去根式

22x -a 如果被积函数含有，则进行变量代换x =a sec t 化去根式

分部积分法：

对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法

?udv =uv -?vdu

分部积分公式

指数函数

1、如果被积函数是幂函数与令u 等于幂函数

的积，可以利用分部积分法

对数函数

2、如果被积函数是幂函数与反三角函数的积，可使用分部积分法

对数函数

令u=

3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分

定积分的定义

定理：如果函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则f (x ) 在[a , b ]上可积

定理：如果函数在[a , b ]上只有有限个第一类间断点，则f (x ) 在[a , b ]上可积定积分的几何意义：

f (x ) dx

1、在[a , b ]上f (x ) ≥0，这时?a 的值在几何上表示由曲线y =f (x ) 、x 轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积

2、在[a , b ]上f (x ) ≤0，其表示曲边梯形面积的负值 3、在[a , b ]上，f (x ) 既取得正值又取得负值

几何上表示由曲线y =f (x ) 、x 轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x 轴上

方部分的面积减去x 轴下方部分的面积定积分的性质：性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即

?a a a

性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即

[f (x ) ±g (x )]dx =?f (x ) dx ±?g (x ) dx kf (x ) dx =k ?f (x ) dx

a b

b b

（k 是常数）

性质三、如果将区间[a , b ]分成两部分[a , c ]和[c , b ]，那么

f (x ) dx =?f (x ) dx +?f (x ) dx

c b

、

性质四、如果在[a , b ]上，f (x ) =1，那么?a

f (x ) dx =?dx =b -a

f (x ) dx ≥0

性质五、如果在[a , b ]上，f (x ) ≥0，那么?a 性质六、如果在[a , b ]上，f (x ) ≤g (x ) ，那么

f (x ) dx ≤?g (x ) dx

性质七、设M 及m ，分别是函数f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值及最小值，则

≤f (x ) dx ≤ m(b-a)?a M(b-a) (a

b a

……估值定理

如果函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，那么在积分区间[a , b ]上至少有一点ξ，使得

f (x ) dx =f (ξ)(b -a )

微积分基本公式

积分上限的函数：

Φ(x ) =?f (t ) dt

（a ≤x ≤b ）

性质：如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，那么积分上限的函数

‘

Φ(x ) =?f (t ) dt

在[a , b ]上

d x

Φ(x ) =f (t ) dt =f (x ) ?a dx 具有导数，且

定理：在区间[a , b ]上的连续函数f (x ) 的原函数一定存在

如果函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，且F (x ) 是f (x ) 的任意一个原函数，那么

b a

牛顿——莱布尼茨公式

f (x ) dx =F (b ) -F (a )

定积分的换元法

假设（1）函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续；

（2）函数x =?(t ) 在区间[α, β]上单值，且具有连续导数；

x =?(t ) 的值在[a , b ]上变化，=a ，?（β）=b ，（3）当t 在区间[α, β]上变化时，且?（α）

则有定积分的换元公式?a

f (x ) dx =?f [?(t )]?' (t ) dt

设f (x ) 在区间[-a , a ]上连续，则

f (x ) dx =0f (x ) ?-a （1）如果函数为奇函数，则（2）如果函数f (x ) 为偶函数，则?-a

f (x ) dx =2?f (x ) dx

定积分的分部积分法

?sin xdx =?2cos n xdx

' ' ' ' '

[a , b ]u (x ) v (x ) u (x ) v (x ) (uv ) =uv +vu 设、在上具有连续导数、，那么，在等式的两边

b b b

(uv ) =uv ' dx +vu ' dx

a a a 分别求a 到b 的定积分得

……定积分的分部积分公式

b b b ' b b '

uv dx =(uv ) -vu dx udv =(uv ) -?vdu ?a ?a ?a a a a 即或

无穷区间上的广义积分

lim f (x ) dx 定义：设函数f (x ) 在区间[a , +∞]上连续，取b>a，如果极限b →+∞?a 存在，则称此极

+∞

限为函数f (x ) 在区间[a , +∞]上的广义积分，记做?a 无界函数的广义积分（见书279页）定积分的应用（见书286页）元素法在极坐标系中的计算法

f (x ) dx

即?a

+∞

f (x ) dx =lim ?f (x ) dx

b →+∞a

范文五：考研高数知识点总结

高数知识点总结2016

考研高数知识点总结

高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点:

1.函数、极限与连续:主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学:主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学:主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学:主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函

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数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学:包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

6.微分方程及差分方程:主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法

由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。

凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则:一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场―时间战‖，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。

1.制定详细周密的学习计划。

这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这

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一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。

方法一:规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们

贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。

方法二:互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。

方法三:定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。

2.分配好各门课程的复习时间。

一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精

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神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。方法一:按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不同时段。比如:把英语复习安排在上午，练习听力、培养语感，做英语试题;把政治安排在下午，政治的掌握相对来说利用的时间较少;把专业课安排在晚上，利用最佳时间来理解和记忆。

方法二:按学习进度分配。考生可以根据个人成绩安排学习，把复习时间向比较欠缺的科目上倾斜，有计划地重点复习某一课程。

方法三:交叉分配。在各门课程学习之间可以相互穿插别的科目的学习，因为长时间接受一种知识信息，容易使大脑产生疲劳。另外，也可以把一周每一天的同一时段安排不同的学习内容。

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员～

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考研数学:高数重要知识点总结

考研日一天天近了，要求各位考研生必须要高效率进行考研复习，在扎实基础知识的基础上，注重总结答题思路及方法。为帮助各位考研生复习的更加全面，凯程考研小编对高数部分中的重要考点进行了整理，如下:

4.多元函数微分学:主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元

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函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学:包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

打有准备之战，胜算才能更大。希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。

凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖～以学员的前途为已任，为学员提

供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。

凯程考研

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凯程考研:

凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，

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国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;

凯程考研的价值观:凯旋归来，前程万里;

信念:让每个学员都有好最好的归宿;

使命:完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构;

激情:永不言弃，乐观向上;

敬业:以专业的态度做非凡的事业;

服务:以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观:凯旋归来，前程万里。

如何选择考研辅导班:

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己

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复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，

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更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖～以学员的前途为已任，为学员提

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凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员～

学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌，成就显著～

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，

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五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。

王少棠

本科学校:南开大学法学

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录取学校:北大法学国际经济法方向第一名

总分:380+

在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说:―这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖～以学员的前途为已任，为学员提

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员引路。

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困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。‖

这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士

作为跨地区跨校跨专业的三跨考生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很

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多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。

在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。

五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。

另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学

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高数知识点总结2016

本科院校:中国青年政治学院

报考院校:中国人民大学金融硕士

总分:跨专业380+

初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖～以学员的前途为已任，为学员提

供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员～

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高数知识点总结2016

她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。

张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责，真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说:考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信，每个人都能够成功。

凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖～

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高数知识点总结2016

以学员的前途为已任，为学员提

供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务～

考研数学:高数重要知识点总结考研日一天天近了，要求各位考研生必须要高效率进行考研复习，在扎实基础知识的基础上，注重总结答题思路及方法。为帮助各位考研生复习的更加全面，凯程考研小编对高数部分中的重要考点进行了整理，如下:

1.函数、极限与连续:主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较

;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

3.一元函数积分学:主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定

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高数知识点总结2016

理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学:主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学:包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

打有准备之战，胜算才能更大。希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。

一分耕耘一分收获。加油～

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考研数学讲座

考好数学的基点―木桶原理‖已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性

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地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。

在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方

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法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，―大一那会儿学的不一样。‖原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，―这个题目涉及的概念是---‖，而非―在哪儿做过这道题‖，才能算是有点入门了。

你要考得满意吗,基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

阳春三月风光好，抓好基础正当时。

考研数学讲座笔下生花花自红

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，―一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，

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脱离实际。‖

发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时―写‖与―思‖同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得―写‖的重要性。

考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。

动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何

迈出第一步。

或―依据已知条件，我首先能得到什么,‖;

或―要证明这个结论，就是要证明什么,‖。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。

―连续函数与不连续函数的和会怎样,‖

写成―连续A+不连续B=,‖后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。。

如果，―连续A+不连续B=连续C‖移项，则―连续C,连续A=不连续B‖

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这与定理矛盾。所以有结论:连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如―函数在一点可导‖，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于

是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，

题面上有已知条件f′,0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出

h趋于0时，lim,f/h,0

然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。

又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α?0，要是移项写成

α=0，α?0，

这就表示α是齐次线性方程组X=0的非零解，进而由理论得到算法。

数学思维的特点之一是―发散性‖。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个

新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。

车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一

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步步走。陈景润那篇名扬世界的―1+2‖论文中有28个―引理‖，那就是他艰难地走向辉煌的28步。

对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。

《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，

积分，解微分方程等，反应必然都慢。

《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，

选择一个分块变形就明白了。

《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，

二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。

要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。

我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看

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看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，

你一写出来也可能会面目全非。

多动笔啊，―写‖―思‖同步步履轻，笔下生花花自红。

考研数学讲座极限概念要体

极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。

很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，―一尺之竿，日取其半，万世不竭。‖

近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率;用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，―割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。‖

国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。

极限概念起自于对―过程‖的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是x?x0;一类是x??，

―当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a,‖如果是，则称数a为函数的极限。

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―无限接近‖还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。

学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。

自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。

自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0;x趋于无穷时，函数1/x的极限是0;

回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，

x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。

x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。

x?0+时，对数函数lnx趋于,?;x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。

x??时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。我国《高等数学》教科书上普遍都选用了―震荡因子‖sin。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0

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靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与,1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地―挤‖在一起，就好象是―电子云‖。

当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。

x趋于0时sin不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。

更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，就可能有的函数趋于0时―跑得更快‖。这就是高阶，低阶概念。

考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。

多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是

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―若x趋于?时，相应函数值f有正的极限

总有f,0‖

*―若x趋于x0时，相应函数值f有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f恒正‖

这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和―近朱者赤，近墨者黑‖一个道理吗。除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。

若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，函数的绝对值恒小于1，则当?x?充分大时，

若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，函数的绝对值全大于1

*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1

没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中―无限接近‖的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ,0，并利用它们。

考研数学讲座―存在‖与否全面看

定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。

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即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。

1(海涅定理

观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发;也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0;我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理:

定理极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。这个定理条件的―充分性‖没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的―必要性‖独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理:

―如果函数有极限存在，则极限唯一。‖

唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。

2(用左右极限来描述的等价条件

用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件:

定理极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且

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相等。

这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为

函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。

函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。

由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。

突出极限值的等价条件

考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件:

定理函数f在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f,A为无穷小。

从―距离‖的角度来理解，在某一过程中函数f与数A无限接近，自然等价于函数值f与数A的距离?f,A?无限接近于0

如果记α=f,A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换:

f=A+α

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考研题目经常以下面三个特殊的―不存在‖为素材。―存在‖与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp表示以e为底数的指数函数，内填指数。

例1x趋于0时，函数exp不存在极限。

分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以

x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f=0，

x从右侧趋于0时，函数趋向+?，

由定理，函数不存在极限。也不能说，x趋于0时，exp是无穷大

但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0

例x趋于0时，―震荡因子‖sin不存在极限。俗称震荡不存在。

分析用海涅定理证明其等价问题，―x趋于+?时，sinx不存在极限。‖

分别取x=nπ及x=nπ两个数列，n趋于+?时，它们都趋于+?，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理)。故sinx不存在极限。

例x趋于?时，函数y=arctgx不存在极限。

分析把?视为一个虚拟点，用定理。由三角函数知识

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得，

x趋于+?时，函数极限为π/，x趋于,?时，函数极限为,π/，

故，函数y=arctgx不存在极限。

请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即

,?方向有水平渐近线y=,π/;+?方向则有有y=π/2

例当x?1时，函数f=))?的极限

等于等于0为?不存在但不为?

分析考查x?1时函数的极限，通常认为x不取1;而x?1时，可以约去分母=0，x从右侧趋于1时，函数趋向+?，)

例f=)?)+sinx??x?,求x趋于0时函数的极限。分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉―典型不存在1‖，这个5分题用6分钟足够了。实际上

x?0-时，limf=/,1=1

x?0+时，exp?+?，前项的分子分母同除以exp再取极限

limf=/+1=1

由定理得x?0时，limf=1

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例曲线y=exparctg?=1

lim?:

如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2.构成函数的三要素:

定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

3.对函数概念的理解:

函数三要素

核心——对应法则等式y=f表明，对于定义域中的任意x，在―对应法则f‖的作用下，即可得到y.因此，f是使―对应‖得以实现的方法和途径。是联系x与y的纽带，从而是函数的核心。对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式。

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定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的。如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合。在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题。

值域值域是全体函数值所组成的集合。在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数。

凯程考研

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同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

关于函数符号y=f

1?、y=f即―y是x的函数‖这句话的数学表示。仅仅

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是函数符号，不是表示―y等于f与x的乘积‖。f也不一定是解析式。

2?、f与f的区别:f是x的函数，在通常情况下，它是一个变量。f表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值。f是f的一个当x=a时的特殊值。

3?、如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数。

基础知识是答题的基础，各考研生一定要把考研数学基础知识掌握牢固，切忌只对难题、偏题进行钻研，浪费的复习其他内容的宝贵时间。祝所有考生都能取得好成绩。

凯程考研:

凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨:

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让学习成为一种习惯;

凯程考研的价值观:凯旋归来，前程万里;

信念:让每个学员都有好最好的归宿;

使命:完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构;

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员～

激情:永不言弃，乐观向上;

敬业:以专业的态度做非凡的事业;

服务:以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

如何选择考研辅导班:

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

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老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌，成就显著～

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员～

口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人

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考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。

王少棠

本科学校:南开大学法学

录取学校:北大法学国际经济法方向第一名

总分:380+

在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于

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少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说:―这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。‖

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士

凯程考研

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历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员～

在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。

在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口

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更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。

五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。

黄同学

本科院校:中国青年政治学院

报考院校:中国人民大学金融硕士

总分:跨专业380+

黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没

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有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

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