范文一：浅谈中位数的计算公式

浅谈中位数的计算公式

李林梅

摘 要 统计学中 ,中位数是一种位置帄均数 。单项数列中位数的确定比较

直观明了 ,但组距数列中位数必须通过数学公式来加以计算 。组距数列计算帄均

数时 ,存在一定的假定性 ,即假定组距数列各组中的变量值是均匀分布的 。因此 ,

组距数列各组中每一段上的频数密度都应该是相等的 。文章依据上述思想 ,分析

了中位数的计算方法 。

关键词 中位数 位置帄均数 假定性 频数密度 计算公式

中位数是帄均数的一种形式 ,由于它是位置帄均数 ,不受极端数值的影响 ,因此 ,在总体分 布为偏态的情况下 ,用它来作为总体各单位的一般水帄 ,会更具有代表性 。但中位数的计算公 式 ,对初学统计学的人来说 ,总是不易掌握 ,而且各种版本的统计学教科书均未介绍过公式的 来由 。笔者总结多年的教学经验 ,在这里探讨中位数的计算公式 ,供大家参考 。

一 、假 定

中位数的计算公式 ,是在资料为组距数列时计算中位数的方法 。而组距数列计算任何帄 均数都存在一定的假定性 ,即假定各组的变量值是均匀分布的 。计算中位数时仍存在这样的 假定性 。我们可以用总体单位总数除以 2 确定中位数的位置 ,然后用累计次数寻找中位数所 在的组 。假定中位数在 L —U 这一组 ,那么中位数就是一个大于下限 L ,小于上限 U 的数值 。 这里我们规定一些具体符号 : M代表中位数 ,L 代表中位数所在组的下限 ,U 代表中位数所在 e

组的上限 ,d 代表中位数所在组的组距 ,f 代表中位数所在组的频数 , F代表中位数所在组 m m - 1 前一组的累计频数 , F代表中位数所在组的累计频数 , ρ f 代表总体单位总数 。 m

二 、公式推导

我们以向上累计为例 ,画出中位数所在组的累计频数分布图如附图 。

由于组距数列计算中位数具有假定性 ,假定组

距数列各组中的变量值分布是均匀的 ,那么 ,中位数

所在组任何一段上的频数密度都应该是相等的 ,即

等于该组的频数密度 。中位数所在组的频数密度

为 :中位数所在组的频数除以中位数所在组的组距 ,

f m用符号表示即为 : 中位数所在组的频数密度 = , d

而从中位数所在组的下限至中位数这段距离上所包

ρ f ( ) 除以从中位数所在组的 含的单位数 - Fm - 1 2

收稿日期 :1998 - 12 - 03

附图 中位数的累计频数分布图

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统计与信息论坛 1999 年第 2 期

( ) 下限至中位数这段距离 M - L , 就是这一段的频数密度 , 它应该等于中位数所在组的频数 e

ρ f ρ f - F - F m - 1 m - 1 f m ρ f2 2 ) ) ( (d = f M - L , 即 M = L + 密度 , 即 = , 移项得 - F m - 1 m e e M - L d 2 f e m× d , 这就是中位数的下限公式 。

ρ f ( ) 同理 , 从中位数至中位数所在组的上限这段距离上所包含的单位数 F- 除以从中 m 2

( U 位数至中位数所在组的上限这段距离 ) - M , 就是这一段的频数密度 , 它也应该等于中位 e ρ f F- m f 2 m ρ f ( ) ( ) 数所在组的频数密度 , 即 = , 移项得 F - d = f U - M e, 即 M = U m m e 2 U - M d e ρ f F- m 2 × d , 这就是中位数的上限公式 。 - f m

三 、举 例

( 下面 , 以中国统计出版社 1992 年 11 月第 2 版《社会经济统计学原理教科书》以下简称教 科书) 第 198 页表 6 , 26 上的资料为例 , 应用上述中位数的上 、下限公式进行计算 。

附表 某市 80 个企业工业总产值分组表 f ρ 由左表资料计算中位数 , 首先根据 确2 企业数累计 企业按工业总产值分组 企业数 ρ f80( )单位 :百万元 ( 向上累计) = 40 , 即中位数的 定中位数的位置 , = 2 2 10 以下 10 10 位置为第 40 个企业 。然后根据累计频数确定 10 - 20 25 35

中位数所在的组 。从表中我们可以看出 , 第二 20 - 30 20 55

70 30 - 40 15 组的累计频数为 35 , 距离中位数还差 5 个企 78 40 - 50 8 业 , 第三组的累计频数已达 55 , 显然中位数在 50 以上 2 80 第三组内 。最后 , 我们运用下限公式和上限公 合 计 80-式 , 计算中位数的具体数值 。

= 30 , F= 35 , F= 55 , d = 10 , 某市 80 个 m - 1 m 在本例中 , ρ f = 80 , f = 20 , L = 20 , U m

中型工业企业工业总产值的中位数 , 按下限公式计算为 :

80 ρ f - 35 - Fm - 1 2 5 2 ( )× d 20 + = M = L +×10 = 20 + ×10 = 2215 百万元 e 20 f 20 m

按上限公式计算为 :

ρ f 80 F-55 - m 2 2 15 ( ) ×10 = 30 - ×10 = 2215 百万元× d = 30 - M = U - e f 20 20 m

根据本文的计算公式 ,计算出的中位数与教科书中计算公式的结果完全相等 ,而且本文的 计算公式只用到向上累计的累计频数资料 ,比教科书中下限公式用向上累计 、上限公式用向下 累计方便 、清晰得多 ,而且便于理解记忆 。

本文的计算公式 ,是以向上累计为例所做的公式推导 ,另外 ,读者还可以根据本文的公式 推导思路 ,推导出向下累计的中位数公式 ,本文对此不再赘述 。

作者 女 ,36 岁 ,西安统计学院讲师 ,710061

责任编辑 张治国— 46 —

范文二：关于中位数计算公式的再探讨

教学探讨 卫生职业教育 ,,,〃,9 ,,11 ,,〃13

蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉 蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉

关于中位数计算公式的再探讨

王业根

:盐城卫生职业技术学院,江苏 盐城 224005:

蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉

摘 要:中位数是一种位置平均数。 多数教材中,分组资料中位数的计算公式与中位数的定义并不相符。 在明确观察值代表 的数值范围、各组段的实际界值、组段内某一观察值的实际位置等的基础上,分由小到大、由大到小 2 个方向累计频数,并

区分总频数的奇偶性及偶数时中间两观察值组段的不同,得出格式相似、思路相同、结果一致的 2 个中位数计算公式,以促 进学生学

习。

关键词:中位数;频数表;计算

中图分类号:G420 文献标识码:B 文章编号:1671-1246:2011:13-0060-03

dn m 中位数是指将所有观察值按由小到大或由大到小的顺序 :。此组段之前累计频数为 S,一般认为,M=L+ S :-m-1mm-1 f 2 m排列后,居于正中间位置的值。 对于未分组资料,当总频数为奇 n n+1 [1]然而, 与的不一致给统计学教学带来很大困惑。 1

数时,M=X ;当总频数为偶数时,= M:X +X :。 对于分 2 2 n+1 n n +12 2 2 2 1 明确有关数值的含义 组资料,设中位数所在组段的下限为 L,组距为 d,频数为 f, mmm1.1 观察值所代表的数值范围

设观察精度为 δ,则每一个观察值 X 代表的数值范围为 X-

蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉

成,:3:某某:白质:有什么形态特征, 最后引导学生逐一回答上 课后教师应认真归纳和总结授课的优点和不足。 另外,课 述问题,这样不但使学生理解了以上概念,也明白了各概念间堂体现了师生的思维发展、情感交流,具有不可预见性 、不确定 的联系与区别,教学效果良好。 性,随着教学情境的改变,或一些偶然事件的发生,教师都会产

生灵感,这时教师应通过教学反思予以捕捉。教学反思应坚持 2 2.3 有效的提问 课堂提问是课堂教学中师生相互交流、相互撞

击的重要双 个原则::1:运用理论审视自己的实践。 批判性地审视自己的教

学实践,有效实现个人知识管理,建构个人实践理论,形成自己 边教学形式,是巩固知识、沟通师生情感和反馈教学信息的重

的实践智慧。:2:倡导专业合作主义。 与同事及其他教育工作者 要途径,可激发学生学习兴趣,培养学生思维能力和口头表达

进行广泛交流与合作;创造经验分享、专业评论的机会,最终实 能力。 课堂提问应注意以下方面::1:提问要有科学性,即提问

现教学实践和理论创新。 要合乎科学,提问要明确、具体,表达要准确无误,用词要恰当、

此外,还应督促学生课后复习,复习必须要做到以下 2 点: 无歧义。 提问的科学性是使学生获得正确认识的前提条件,是

提高教学质量的重要保证。:2:提问要有启发性,这就要求教师 一是及时复习,二是将多种复习方法有机结合。 学生应参与制 在教学中充分发挥学生的主体作用,通过问题引导学生积极思定复习目标 ,探索适合自己的复习方法,实现自我引导;教师应

帮助学生掌握各种学习策略和元认知策略,使之实现自我监控 考。 启发性提问不但能调动学生学习积极性,使学生获得知识,

和自我调节。 而且能开发智力,培养能力。 :3:提问要面向全体学生,因材施

教。 提问时要让每个学生都能认真思考,有所收获。:4:肯定与 开展有效的人体解剖学课堂教学还有很多需要注意的方

鼓励并举,对回答正确的学生,在给予肯定的同时还应加以赞 面,如学生的基本素质、心理特征及如何评价有效教学等。 在教

赏,对回答错误或未能回答的学生予以安慰,以调动学生学习学实践过程中 ,只要用心研究、潜心探索、精心教学,就一定能

积极性,增强学习自信心。 获得良好成效。 蒉

3 教学反思与复习 万方数据 - -60

δ δ n+1 当总频数为奇数时, 中位数为由小到大第 ~X+ ,见图 1。 例如,某学生身高为 1.70 m,测量精度为 0.01 m, 个观察值, 2 2 2 则该学生身高为 1.695~1.705。 中位数在累计频数首次大于 0.5 的组段累计频数不可能正好 : 等于 0.5:。

设中位数所在组段的下限为 L,组距为 d,频数为 f,此组mmm n+1 段之前累计频数为S ,则中位数为该组段内由小到大第 m-1 图 1 观察值代表的数值范围 2 d δ m n+1 1 [2] 1.2 组段所代表的数值范围 个观察值,即 M=:L- :+ : -S- ::式 1:。-Sm-1 m m-1 m 2 f2 2 若一个组段的下限为 L,上限为 U,记为半闭半开区间,L, 2.2 总频数为偶数时

δ δ n nU:,则该组段所代表的数值范围为 L- ~U- ,见图 2。 例如, 当总频数为偶数时,中位数为由小到大第 、 +1 这 2 个 2 2 2 2 某组段的下限为 1.60,上限为 1.70,测量精度为 0.01,该组段的 观察值的均值,累计频数有可能正好等于 0.5。

代表数值范围为 1.595~1.695。 :1:如果没有组段的累计频数正好等于0.5,则由小到大第

n n 、 +1 这 2 个观察值在同一组段,该组段的累计频数首次大 2 2 于 0.5。 设中位数所在组段的下限为 L,组距为 d,频数为 f,此组 mmm图 2 组段代表的数值范围 n n 段之前累计频数为 S,则该组段内由小到大第-S、 +1- m-1m-12 2 1.3 组段内某个观察值的位置 S个观察值为 m-1 若某组段的下限为 L,组距为 d,频数为 f,则该组段的每个 δ d n 1 m d 观察值所代表的数值宽度为 ,由小到大第 i 个观察值所代表 M=:L- :+ :2 -S- : 1mm m-12 f 2 f δ d n 1 m δ d δ d 的数值范围为:L- :+ :i-1:~:L- :+ i,见图 3,代表数 M=:L- :+ :2 +1-S- : 2mm-1m 2 f 2 2 f 2 f中位数为 M、M的均值,即 12 δ d1 值点为:L- :+ :i- :。 例如,某组段的下限为1.60 ,上限为 δ dn+1 1 m 2 f 2 M=:L- :+ :-S- ::式 2:,式 2 与式 1 完全 mm-12 f2 2 m 1.70,频数为 13,测量精度为 0.01,则由小到大第 4 个观察值所 一致。

0.01 0.10 1 代表的数值点为:1.60- :+ :4- :?1.622。 n :2:如果有组段的累计频数正好等于0.5,则由小到大第 2 13 2 2 n 个观察值在该组段,第 +1 个观察值在累计频数大于 0.5 的相 2 邻组段。 设累计频数等于 0.5 所在组段的下限为 L, 组距为 d,频 mm图 3 组段内由小到大第 i 个观察值的数值范围 n 数为 f,此组段之前累计频数为 S, -S=f,根据式 2 计算 mm-1m-1m 2 若某组段的下限为 U,组距为 d,频数为 f,则该组段的每个 所得中位数为 d 观察值所代表的数值宽度为 ,由大到小第 i 个观察值所代表 δ - :+dM=:L mmf 2 δ d δ d的数值范围为:U- :- i~:U- :- :i-1:,见图 4,代表数 设累计频数首次大于 0.5 所在组段的下限为 L , 组距为 m2 f 2 f n δ d1 d,频数为 f,此组段之前累计频数为 S、 =S,根据式 2 计 值点为:U- :- :i- :。 例如,某组段的下限为 1.60,上限为 mmm-1m-1 22 f 2

算所得中位数为 1.70,频数为13 ,测量精度为0.01 则由大到小第10 个观察值所 δ 0.01 0.10 1 M=L- 代表的数值点为:1.70- :- :10- :?1.622。 m 2 2 13 2 n 上述两式计算结果实为同一数值,该数值为由小到大第 2 n 个观察值与第+1 个观察值的界值, 同样也是 2 个组段的界 2 [3]值,完全符合中位数定义。

图 4 组段内由大到小第 i 个观察值的数值范围 2.3 由小到大累计时的中位数公式 以上推导得出由小到大累计时 的中位数公式,即 2 由小到大累计时中位数的计算 δ dn+1 1 m M:=L- :+ :-S- ::式 3:。 mm-12.1 总频数为奇数时 2 f2 2 m

万方数据 - -61

n 3 由大到小累计时中位数的计算 上述两式计算结果实为同一数值,该数值为由大到小第 2 3.1 总频数为奇数时 n 个观察值与第+1 个观察值的界值, 同样也是 2 个组段的界 n+1 2 当总频数为奇数时, 中位数为由大到小第个观察值, 2 值,完全符合中位数定义。 中位数在累计频数首次大于 0.5 的组段:累计频数不可能正好 3.3 由大到小累计时的中位数公式 以上推导得出由大到小累计时的等于 0.5:。 中位数公式即 设中位数所在组段的上限为 U,组距为 d,频数为 f,此组mmm δ dn+1 1 m M:=U- :- :-S- ::式 6:。mm+1 n+1 2 f2 2段之前累计频数为 S, 则中位数为该组段内由大到小第m m1+ - 2 4 两公式的一致性分析 S个观察值,即m+1 δM=:U- 4.1 组段上下限分析 dmm n+1 1

: -S- ::式 4:。根据频数表编制要求,除最后一个组段为闭区间外,其他 :- m-1 m 2 2 2 f3.2 总频数为偶数时 各组段均为半闭半开区间,即,L,U:,用 L 或 U 直接作为组段 之间

n n 的界值是不适宜的。 考虑到观察误差,组段之间的真正界 当总频数为偶数时,中位数为由大到小第 、 +1 这 2 个 2 2 δ δ

观察值的均值,累计频数有可能正好等于 0.5。 。 由小到大累计时,中位数所在组段的实际 值为 L- 或 U- 2 2 δ :1:如果没有组段的累计频数正好等于0.5,则由大到小第 下限为L - ;由大到小累计时,中位数所在组段的实际上限 m 2 n n 、 +1 这 2 个观察值在同一组段,该组段的累计频数首次大 δ 2 2 为 U- 。 m2 于 0.5。

4.2 中位数位置分析 设中位数所在组段的上限为 U,组距为 d,频数为 f,此组 mmm n+1 n+1 n n 当总频数为奇数时,第 段之前累计频数为 S,则该组段内由大到小第-S、 +1- m+1m+1个观察值的秩次为 ;当总 2 2 2 2 n n S个观察值为 频数为偶数时, 第、 +1 这 2 个观察值的平均秩次同样为 m+1 2 2 δ dn 1 m M=U : S : :--:--1mm+1n +1 n+1 2 f2 2 m 。 由小到大累计时,中位数为所在组段内由小到大第 - δ dn 1 m 2 2 M=:U- :- :+1-S- : 2mm+1δ dm 2 f2 2 S个观察值,其代表数值点为 L- 向 右 偏 移 m m - 1 m 2 f m中位数为 M、M的均值,即 12 n+1 1 :- :,即 -Sm-1δ dn+1 1 m 2 2 M=:U- :- :-S- ::式 5:,式 5 与式 4 完全 mm+1 δ dn+1 1 m 2 f2 2 m M=:L- :+ :-S- :;由大到小累计时,中位 mm-12 f2 2 m 一致。 n+1 n 数为所在组段内由大到小第 -S个观察值, 其代表数值 m+1 :2:如果有组段的累计频数正好等于0.5,则由大到小第 2 2 n δ 个观察值在该组段,第 +1 个观察值在累计频数大于 0.5 的相 点为 U - d n+1 1 m

: -S- :,即 向左偏移 m m m+12 2 f2 2 邻组段。 δ dn+1 m M:=U- :- :-S 1 m- :m+12 f2 2 m 设累计频数等于 0.5 所在组段的上限为 U, 组距为 d,频 mm因 n-S-S=f,U-L=d,由小到大和由大到小 2 个方向 推导m-1m+1mmmm n 数为 f,此组段之前累计频数为 S、 -S=f,根据式 5 计算 mm+1m+1m出的中位数公式的计算结果完全一致。 2

所得中位数为 综上所述, 式 3 与式 6 格式相似,思路相同,结果一致,整 个推

δ 导过程严谨,有助于学生理解与运用中位数计算公式。 参考文献: M=:U- :-d mm2 [1]王爱莲. 对中位数确定中两个问题的思考[J]. 统计与决策,2005:8::3. [2]蔡木设累计频数首次大于 0.5 所在组段的上限为 U, 组距为 m生. 用数理统计方法改进中位数公式[J]. 科技信息,2008:22:: n d,频数为 f,此组段之前累计频数为 S、 =S,根据式 5 计 170. mmm+1m+12 算所得中位数为 [3]范晓宏. 有关中位数问题的再探讨[J]. 张家口职业技术学院学报,2004,17 δ M=U- m:4::59~61.蒉 2

蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉蒉 蒉蒉蒉蒉蒉蒉

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范文三：关于中位数计算公式的三种数学证明

第18卷第l期 统计与信息论坛 VoI18 No(1 2003年1月 Jan(2003 【统计理论与方法】

关于中位数计算公式的三种数学证明

张德元 (安徽大学职业学院，安徽合肥230031) 摘要:文章试图对中位数的计算公式加以数学推理，以便于明确此公式的设计思想和数学意义(从而加

深埘公式的理解(并确保其正确运用。

关键词:中位数;公式;数学意义

中图分类号:C814 文献标识码:A 文章编号:1007—3116{2003)0t一0025—02

在对一个变量的组距式数列求中位数时，需要根 Me=L+掣×i(下限公式)据公式来确定中位数的近似值。笔者从事统计教学 其中Me表示中位数;L表示中位数组的下限;i工作10余年，接触过几十种不同版本的统计学教科 示中位数组的组距;f表示中位数组的次数;cf 表 书，绝大多数教科书对中位数计算公式的来历均不做中位数组的前一组的向上累计次数;N表示 表示 说明(虽有几种教科书试图对公式原理作出解释(如 总体中

张增臣的《新编统计学原理》、杨绰英的《统计基础知 的总体单位数目，等表示中位数在数列中所处的位 有利于加深对公式的理识》等)，但也解释得不够准确。了解公式的设计原理 置。在本例中，L=70(分) 解，本文试图通过一例来说明 i_80—70=10(分) f=20 cf=15 导=25 中位数计算公式的数学意义，供同仁参考。 附表是某班50名学生某门功课的考试分数资 (?(Me=L+N气-cf×i-70+2学x10:

75(分) 料，按等距式分成5组，假定原始资料未知，要求根 因为，在这个数列中变量值x(学生考试分数) 据这个资料来确定学生考试成绩的中位数，见附表: 随向上累计cf十的增大而增大，所以我们可以认附表学生考试成绩统计表 为 二者成正相关关系。假定二者是正线性相关的，那 - 一 州 么，以变量值(学生考试分数)x为自变量，向上累计

一 一?

磊 丽, 一 一 M 现在来看中位数的计算公式，以附表为例来说 明。在附表中，根 一 一据向上累计次数cf十和中位数的定 步可以根据公式来计算中位数的近似值，其计算公式 一。 4叶^??L?，?外，??r， T+l，??I?寸 义，可以确定该班学生考分的中位数在70,80，进一 (此处仅以下限公式为例，上限公式从略)In下: 囤I中位数组与累计次数直线拟合围

收稿日期:2002—06一,7 作者简介:张德元(1963一)(男，安徽舒城人，讲师。主要

从事统计教学和科研工作。

万方数据

统计与信息论坛

次数c”为因变量，可拟合一条直线，如图1所示。 (学生分数)，纵坐标表示向上累计次数cf十，在 系中画出中位数组及其前面一组的向上累计坐标 在图l中，U表示巾位数组的上限，cf’表示中位数 组所对应的向上累计次数，其它字母的含义如前所次数直 述。容易看出，cf’一cf=f(中位数组的次数)，并且 不难得到;U—L=i(中位数组的组距)，则根据“两 点式”直线方程可得下列等式: ?垒二d一丛二型 堕丝二!f一』 ? Me屯:掣×i Me—I。一U—I。 Me—L—i

Mc:L+ 过掣×i 战有 在这个正明中，利用r直线方程的自变量和因 变量等比例同步变化的原理，这个原理就是统计学 中常用的“线性插值法”的根由，所以这个证明也 图2中位数组及前一组向上累计次数直方 间 图 方图，如图2所示。把前后两个直方的右上顶点接地对“线性插值法”做出了数学解释。除此而外， D相连接，在纵坐标轴上，过中位数所在位置等中位数的这个计算公式还可以利用数学上的“定点A、 处作 分比公式”给予证明，只是证明过程稍嫌烦琐。为拓X轴的平行线交AD于B，则B点在x轴 上的射影 宽思路，不妨一试: 所对应的数值就是中位数的近似值Me。在此，cf和 cf’的含义仍如前述，则由图2容易看出:仍以图l加以说明，当拟合直线后，设餐 =^，

则根据“定点分比公式”得到: 4一cf=f lAHl=cf IAKI=q”-一cf

lliDl=U—L=i (1) Me=错 ‘(‘AABK和,?ADH是相似三角形 (2) 百N:匹?掣2 l+^ (_(根据相似三角形的性质得至 lI=黼=勰 将(1)、(2)两式消去^则得到下面等式关系: 7 因此IKBI=lI幽AHI 。HDlM!二堕:L=丛! 即 lKBl:单‘×i N,2一cf cf—N,2 整理得 (。f一掣)M。+( 掣,cf)u 从图2中可以很直观地看出 Me=L+lKBl 所以，等量代换即可知道中位数的近似值应该是 :(掣一。nL一(掣一cf’)M。

移项合并得 (cf’一cf)Me Me:L+掣×i j =-譬(U—L)+Lcf’一ucf 以上仅就中位数的下限公式进行了证明，中位

‘(‘cf’一cf=f且U—L=i 数上限公式的证明方法与上面的方法类似，此处不

再赘述。在上面的前两个证明中，我们都是假设变‘(fMe=芸Xi+Lcf’一Ucf+Lcf—Lcf 量值x和累计次数cf十是线性相关的，在后面一个 几何证明中也隐含着变量值x和累计次数cf十等即 fMe=芸×i+(cf’一d)L,(U—L)d 比例同步变化这个前提，这就很明白地解释了公式 在上式中使用r“加减凑项”的小技巧，再注意 计算结果只能是中位数的“近似值”的原因。通过上 到前面的等量关系，即有: 面的证明，我们还可以认识到:中位数的计算公式绝

fMe:iN Xi+fL—icf(?，fMe:几十 (婴一cf)i 不是一种说不出道理的“经验公式”(某些教科书的看法)，即使其曾经来源于“经验”，我们今天已经能

两边同除以f即可得到中位数的下限公式: 够将其上升为“理论”了。以上足笔者的一点浅见， Me-L+掣×i如有不妥，欢迎批评指正! 相比较而言，对中位数公式采用“几何法”证明 【责任编辑:郭诗梦)

最为简单明r，仍以附表为例，以横坐标表示变量 26 万方数据

范文四：关于中位数计算公式的再探讨

关于中位数计算公式的再探讨 Vo1.2920l1No.13

摘要:中位数是一种位置平均数.多数教材中,分组资料中位数的计算公式与中位数的定义并不相符.在明确观察值代表

的数值范围,各组段的实际界值,组段内某一观察值的实际位置等的基础上,分由小到大,由大到小2个方向累计频数.并

区分总频数的奇偶性及偶数时中间两观察值组段的不同,得出格式相似,思路相同,结果一致的2个中位数计算公式,以促

进学生学习.

关键词:中位数;频数表;计算

中图分类号:C,420文献标识码:B文章编号:1671—1246(2011)13—0060-03 中位数是指将所有观察值按由小到大或由大到小的顺序 排列后,居于正中间位置的值.对于未分组资料,当总频数为奇 数时,胙;当总频数为偶数时,争(争争+.).对于分

组资料,设中位数所在组段的下限为L,组距为dm,频数为,m, 此组段之前累计频数为Sm_-,一般认为,m+争(争-s一). 然而,争与丁n+l的不一致给统计学教学带来很大困惑fl】. 1明确有关数值的含义

1.1观察值所代表的数值范围

设观察精度为6,则每一个观察值代表的数值范围为一

成?(3)某某(自质)有什么形态特征?最后引导学生逐一回答上 述问题,这样不但使学生理解了以上概念,也明白了各概念间 的联系与区别,教学效果良好.

2.3有致的提问

课堂提问是课堂教学中师生相互交流,相互撞击的重要双 边教学形式,是巩固知识,沟通师生情感和反馈教学信息的重 要途径,可激发学生学习兴趣,培养学生思维能力和口头表达

能力.课堂提问应注意以下方面:(1)提问要有科学性,即提问 要合乎科学,提问要明确,具体,表达要准确元误,用词要恰当, 无歧义.提问的科学性是使学生获得正确认识的前提条件,是 提高教学质量的重要保证.(2)提问要有启发性,这就要求教师 在教学中充分发挥学生的主体作用,通过问题引导学生积极思 考.启发性提问不但能调动学生学习积极性,使学生获得知识, 而且能开发智力,培养能力.(3)提问要面向全体学生,因材施 教.提问时要让每个学生都能认真思考,有所收获.(4)肯定与 鼓励并举,对回答正确的学生,在给予肯定的同时还应加以赞 赏,对回答错误或未能回答的学生予以安慰,以调动学生学习 积极性,增强学习自信心.

3教学反思与复习

一

6O一

课后教师应认真归纳和总结授课的优点和不足.另外,课 堂体现了师生的思维发展,情感交流,具有不可预见性,不确定 性,随着教学情境的改变,或一些偶然事件的发生,教师都会产 生灵感,这时教师应通过教学反思予以捕捉.教学反思应坚持2 个原则:(1)运用理论审视自己的实践.批判性地审视自己的教 学实践,有效实现个人知识管理,建构个人实践理论,形成自己 的实践智慧.(2)倡导专业合作主义.与同事及其他教育工作者 进行广泛交流与合作;创造经验分享,专业评论的机会,最终实 现教学实践和理论创新.

此外,还应督促学生课后复习,复习必须要做到以下2点: 一

是及时复习,二是将多种复习方法有机结合.学生应参与制 定复习目标,探索适合自己的复习方法,实现自我引导;教师应 帮助学生掌握各种学习策略和元认知策略,使之实现自我监控 和自我调节.

开展有效的人体解剖学课堂教学还有很多需要注意的方 面,如学生的基本素质,心理特征及如何评价有效教学等.在教 学实践过程中,只要用心研究,潜心探索,精心教学,就一定能 获得良好成效.A

孚享,见图1.例如,某学生身高为1.70m,测量精度为0D1m, 则该学生身高为1.695—1.705.

——_

图1观察值代表的数值范围

1.2组段所代表的文值范围

若一个组段的下限为,上限为,记为半闭半开区间[,, (,),则该组段所代表的数值范围为.L一孚,孚,见图2.例如, 某组段的下限为1.6o,上限为1.7O,测量精度为0.01,该组段的 代表数值范围为1.595一1.695.

图2组段代表的数值范围

1.3组段内杀个观赛值的位置

若某组段的下限为,,组距为d,频数为厂,则该组段的每个 观察值所代表的数值宽度为争,由小到大第i个观察值所代表 的数值范围为(一争)+手(一1)一(己一争)+i,见图3,代表数 值点为(,一争)+手(i一争).例如,某组段的下限为1.60,上限为 1.70,频数为13,测量精度为0.Ol,则由小到大第4个观察值所 代表的数值点为(1.6o-旦)+(4一争)一1.622. I!!!I

L一鱼,一鱼

2Z

图3组殷内由小刭大第i个观察值的数值范围

若某组段的下限为U,组距为d,频数为,,则该组段的每个 观察值所代表的数值宽度为笋,由大到小第个观察值所代表 的数值范围为(孚)一手(孚)一手("),见图4,代表数 值点为(,,-孚)一孚(f一).例如,某组段的下限为1.60,上限为二J二

1.7O,频数为13,测量精度为0.01则由大到小第l0个观察值所 代表的数值点为(1.7o-旦)一旦(10一)一1.622. I!!!!!!!!l

L一一垒

22

图4组段内由大到小第i个观察值的数值范围 2由小到大累计时中位数的计算

2.1怠频数为奇数时

当总频数为奇数时,中位数为由小到大第个观察值, 中位数在累计频数首次大于0.5的组段(累计频数不可能正好 等于0.5).

设中位数所在组段的下限为,组距为,频数为,m,此组 段之前累计频数为s.,则中位数为该组段内由小到大第旦去L -

个,即(三争)+(卫广1)闭(式1).

2.2总频文为偶般时

当总频数为偶数时,中位数为由小到大第争,争+1这2个 观察值的均值,累计频数有可能正好等于0.5. (1)如果没有组段的累计频数正好等于0.5,则由小到大第 手,手+1这2个观察值在同一组段,该组段的累计频数首次大 于0.5.

设中位数所在组段的下限为,组距为dm,频数为,此组 段之前累计频数为S舯,则该组段内由小到大第—.s-,~-+1-

.S个观察值为

Ml=(工争)+争(争广争)

(L争)+}(5-t{)

中位数为,的均值,即

M=(L.-2~--)+(旦-一争)(式2),式2与式1完全

一

致.

(2)~ll果有组段的累计频数正好等于0.5,则由小到大第 个观察值在该组段,第+1个观察值在累计频数大于0.5的相 邻组段.

设累计频数等于0.5所在组段的下限为,组距为,频 数为,此组段之前累计频数为sm..,—.s_--f.,根据式2计算 所得中位数为

()+dm

设累计频数首次大于0.5所在组段的下限为,组距为 d用,频数为二,此组段之前累计频数为s.,;sm..,根据式2计 算所得中位数为

M=LW6-

上述两式计算结果实为同一数值,该数值为由小到大第 个观察值与第+1个观察值的界值,同样也是2个组段的界 值131,完全符合中位数定义.

2.3由小到大累计时的中位文公式

以上推导得出由小到大累计时的中位数公式,即 (,争)+}(学广})(式3).

一

61—

3由大到小累计时中位数的计算

3.1忌频数为奇数时

当总频数为奇数时,中位数为由大到小第毕个观察值, 中位数在累计频数首次大于O.5的组段(累计频数不可能正好 等于0.5).

设中位数所在组段的上限为,组距为dm,频数为,抽,此组 段之前累计频数为5.,则中位数为该组段内由大到小第!一 .s.个观察值,即

(争)一(一广21--)(~4).

3.2总频文为偶盘时

当总频数为偶数时,中位数为由大到小第争,争+1这2个 观察值的均值,累计频数有可能正好等于0.5. (1)如果没有组段的累计频数正好等于0.5,则由大到小第 争,手+1这2个观察值在同一组段,该组段的累计频数首次大 于0.5.

设中位数所在组段的上限为,组距为dm,频数为,m,此组 段之前累计频数为s-,则该组段内由大到小第一s舯",-~-+1一 .s个观察值为

M1=(争)一(手,一)

(争)一争(争+1-5肼t{)

中位数为.,鸩的均值,即

(争)一争(-s叶广争)(式5),式5与式4完全一

致.

(2)如果有组段的累计频数正好等于o.5,则由大到小第 个观察值在该组段,第+1个观察值在累计频数大于o.5的相 邻组段.

设累计频数等于0.5所在组段的上限为,组距为d历,频 数为,m,此组段之前累计频数为s,_5肿+t弓,根据式5计算 所得中位数为

().dm

设累计频数首次大于0.5所在组段的上限为,组距为 dm,频数为,此组段之前累计频数为.s.,;.,根据式5计 算所得中位数为

上述两式计算结果实为同一数值,该数值为由大到小第 个观察值与第+1个观察值的界值,同样也是2个组段的界 值,完全符合中位数定义.

3.3由大到小累计时的中位文公式

以上推导得出由大到小累计时的中位数公式即

(争)一争(L_5厂)(式6).

4两公式的一致性分析

4.1组段上下限分析

根据频数表编制要求,除最后一个组段为闭区间外,其他 各组段均为半闭半开区间,即[己,),用L或u直接作为组段 之间的界值是不适宜的.考虑到观察误差,组段之间的真正界 值为L-或孚.由小到大累计时,中位数所在组段的实际 下限为三一-.6-;由大到小累计时,中位数所在组段的实际上限 为.

4.2中位文位置分析

当总频数为奇数时,第旦寺L个观察值的秩次为;当总 频数为偶数时,第罢I,睾+1这2个观察值的平均秩次同样为 .由小到大累计时,中位数为所在组段内由小到大第点一 一

个观察值,其代表数值点为L一孚向右偏移乒

(_5.一),即

=

(争)+争(一5m_t一);由大到小累计时,中位

数为所在组段内由大到小第旦妄_5册+个观察值,其代表数值 点为争向左偏移争(旦厂争),即

(争)一争(厂})

因n_S.,卜.一.sm+.气rm,U.--L.--d=,由小到大和由大到小2个方向 推导出的中位数公式的计算结果完全一致.

综上所述,式3与式6格式相似,思路相同,结果一致,整 个推导过程严谨,有助于学生理解与运用中位数计算公式. 参考文献:

【1】王爱莲.对中位数确定中两个问题的思考【J】.统计与决策,2005(8):3.

【2】蔡木生.用数理统计方法改进中位数公式叨.科技信息,2008(22):

170.

【3】范晓宏.有关中位数问题的再探讨张家口职业技术学院,2004,17 (4):59-61.A

一

62—

范文五：谈中位数和众数计算公式推导

平均指标是统计指标的一种重要表现形式, 在实际工作中应用极为广泛。常用的平均指标主要有:算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。前三种平均数属于数值平均数, 其数值要受每一个变量值大小影响, 所以, 当变量值中存在极端值时, 就容易受其影响, 这样也就降低了平均数的代表性。中位数和众数

累计次数S m -1

如图1, 用数轴表示变量值,

累计次数

O

L

M e

U

谈值中极端值的影响, 所以, 有时采

用中位数和众数作为平均数, 更中有代表性。

位 中位数和众数的计算方法, 在

一般统计学原理教材中都有介绍, 数其重点和难点是如何根据组距数

和列资料(分组资料) 进行计算。其

计算步骤是, 首先判断中位数或众众数所在组, 然后, 代计算公式直接

数可得到中位数或众数的近虽然计算方法比较简单, 但为什么计这样计算, 计算公式怎么理解, 又

是怎样推导出来的, 这些问题在一算般公所以, 学生往往对计算公式只能是

式死记硬背, 而不能灵活运用。下面

就中位数和众数计算公式的推导推谈谈自己的思路。

一、中位数(Me) 计算公式推导导

属于位置平均数, 可以不受变量

所谓中位数, 指将总体各单位按其标志值大小顺序排列, 位

图1 中位数下限分式推导示意图在数轴上标出中位数所在组, 线段LMe 所

f

包含次数为-S m-1, 中位数所在组次数为

2

f m , 即为线段LU 所包含次数, 则线段LMe 次数与线段LU 次数比例为(-S m-1) /f m , 将此比

2

例近似看成为线段LM e 长度与线段LU 长度的

-S m-1比例, 那么线段LMe 长度应等于! i,

f m

-S m-1所以M e=L +! i(i 为中位数组组f m

距, 即U-L) 。 二、众数(Mo) 计算公式推导

所谓众数, 指总体中最常见的变量值, 即在研究和考察某种社会经济现象时, 重复出现次数最多的那个变量值。根据组距数列资料计算众数分两步进行:

1. 确定众数所在组, 即次数最多的组; 2. 代公式(上限公式, 下限公式) 。下面就下限公式, 采用插补法按比例进行推导。

如图2, 在直角坐标中, f 2f 1f 3O

U L M o

图2 众数下限分式推导示意图

1

2

南昌高等专科学校 刘太平

于中点位置单位的标志值, 此值即是这一数列的中位数。按组距数列计算中位数分两步进行:

1. 计算各组累计次数以及中点位次, 确定中位数所在组。

2. 代公式(上限公式, 下限公式) 。

上限公式和下限公式是一致的, 而且公式推导也相似。下面就下限公式用插补法按比例进行推导。

运用公关原理

提高统计教学效果

济南大学 王光玲

公共关系是公关主体与客体进行双向信息交流的联系活动, 它不仅是一门沟通艺术, 也是一门管理艺术。其核心思想是塑造公关主体的良好形象, 使之与公众进行有效的沟通, 创造有利的发展环境, 进而实现主体的最终目标。从教学过程看, 它恰恰符合信息传播的基本模式, 即教师, 应用公共关系的基本原理指导统计教学, 对于提高教学效果有着重要意义。

统计学科尤其是统计学原理, 概念多而抽象, 公式多而复杂, 内容亦难易交叠, 容易造成学习的枯燥感, 使得统计教学难度大于其它学科。因此, 如何运用各种方法激发学生的学习兴趣, 调动学生学习的积极性、主动性和丰富的 L 、U ???分别为众数组下限、上限;

f 1、f 2、f 3???分别为众数组前组、众数组、众数组后组的次数;

1、 2???分别为众数组与众数组前组、众数组与众数组后组的次数之差;

i ???众数组组距(U-L) 。

横轴表示变量值, 纵轴表示次数, 根据相似三角形对应边和对应高成比例, 得 1=

2|MoU|

想象力, 成为每个统计教师必须研究的课题之一。笔者认为, 从公关的角度出发, 创造和谐的师生关系, 树立良好的教师形象和练就高超的讲课技巧是提高统计教学效果的重要手段。

一、留下良好的第一印象, #推销?自己从一门课的教学过程看, 讲课好比商品推销。你对知识的推销是否成功, 很大程度上取决于教师自我形象的推销。因为在交往活动中, 人们对自己喜欢的人总是倾向于接纳, 而对不喜欢的人则本能地加以挑剔和排斥, 从而造成人们之间信息交流的障碍。因此, 新任课老师首次与学生见面必须重视给学生留下的第一印象。因为在人们的社会认识中, 首次出现的刺激物所留下的印象往往最深刻、最持久, 并带有概括性。这实际上就是公关传播活动中的即:

1==1+ 2|LMo|+|MoU |i

1

! i

1+ 2

故:|LMo|=

所以:M o =L+|LM o|

1

=L++ ! i

12

(责任编辑 鲁志贤)

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