范文一：标量对矢量的求导问题

标量对矢量的求导问题

T设标量为矢量的的函数，，则: ww,www,p,,12N

,p，，

,,,w1,,

,p,,,p,,,w , 2,,,w,,

,,,p,,

,,,w，，N

根据是复矢量还是实矢量可分为一下两种情况: w

1.当是实矢量时: w

TTT针对和两种情况进行讨论，其中a,,a,a,aaC,i=N,1,2p=wap=wRw,,12Ni

RR，，111N,, R,,,1,21,2RC,i=N,j=Nij,,

,,RR，，NNN1

NTT(1). ，， p=wap=wa=wa,ii1i,

N，，,wa,ii,,i,1,,,w，，1a,w,,11,,,w1,,N,,N,,,wa,w,,,wa,ii2,iia,,,p2i,1,,i,1,w故:,,,= a2,,,,,w,,ww2,,,,,,,,,w,,NN,,aN,,,,,wa,wii,N，，,,i,1,,,wN，，

NNTT(2) ., p=wRwp=wRwwRw,,,ijji,,11ij

NN，，wRw,,,iijj,,ij,,11NN,,，，RwwR，,w,,,,1jji1i,,1ji,,11,,TNN,,，，RwR11,:,:w，，，，，NN,,,,wRw,,,,,iijjT,,RwwR，RwRw22,:,:，，，，，,p,,ij,,11,,2jji2iT,,,，RwRw,,,ji,,11,,,,,,,ww,2,,,,,,T,,RwRwNN,:,:，,,，，，，,,，，NN,,,,NNRwwR，,,NjjiNi,,,,,wRwji,,11,,iijj，，,,ij,,11,,w,,,N，，

,p当为对称矩阵时:。 R,2Rw,w

2.当是复矢量时:此时为复数，对于复数的求导，有三种定义方式: wwi

(A)Definition 1:

设 w=wjw，ri

,w,,,www,w,w，，，故: ,j,1,，j,，,,10jj,w,w,,,www,wriri

,,w同理: ,,,,12jj,w

(B) Definition 2:

,,,,w,,,www11,同理: ,0,,,,,,jjj11，，,,,w,,,www22ri,,

(C) Definition 3:

,,,,w,,,www1，同理: ,1,,+j0,,,w,,,www2ri,,

注:不管采用哪种定义方法都必须坚持前后一致原则。我们一般采用第三种定义方式，以下

推导按第三种第一方式进行。

HTHT(1) 形式的偏微分运算: p=p=p=p=wawaawaw,,,

HH,,waw ,a,,ww

TT,,waw ,a,,ww

HT,,aww, ,a,,ww

TT,,aww ,a,,ww

HHTT,,(2) 形式的偏微分运算: p=p=p=p=wRwwRwwRwwRw,,,

HHT,,,wRwww,T ,，RwRw,,,www

HHH,,,,wRwww,,T ,，RwRw,,,www

TTT,,,wRwwwT ,，RwRw,,,www

TTH,,,,wRwww,T ,，RwRw,,,www

THHT,w,w,w,w由以上运算可知，只要求得和便可解决以上各偏微分。下面求和: ,w,w,w,w

H，，,w

,,,w1,,H,,,wH,,,w, ,w2,,,w,,

,,H,w,,

,,,w，，N

,,H,,，，ww,,w,,ww,12kN 0010,,,,,,wwwww,,,,,，，kkkkk

第k项

HT,w,w故:，同理:,将此二式代入以上各偏微分计算式中，可得: ,I,O,w,w

HH,,waw ,,aa,,ww

TT,,waw ,,ao,,ww

HT,,aww, ,,ao,,ww

TT,,aww ,,ao,,wwHHT,,,wRwww,T ,，,RwRwRw,,,www

HHH,,,,wRwww,,,TT ,，,，RwRwRRw，，,,,www

TTT,,,wRwwwT ,，,RwRwo,,,www

TTH,,,,wRwww,TT ,，,RwRwRw,,,www

,注:由于，对偏微分是无结果的，而又是标量，故可对其先转置再求偏微分。 wwpw

范文二：矩阵对向量求导

矩阵、向量求导法则 (1)行向量对元素求导

T,y,y,y，，Tn1设 是 维行向量， 是元素，则 。 ,？nx,,y,y？y1n,,,x,x,x，，

(2)列向量对元素求导

,y，，1y，，,,1,x,y,,,,y,？设 是 维列向量， 是元素，则 。 mx,？,,,,,x,ym,,y,,m，，,x,,，，(3)矩阵对元素求导

y？y，，111n,,Y,？？设 是 矩阵， 是元素，则 m，nx,,

,,y？ym1mn，，

,y,y，，1n11？,,,x,x,Y,, 。 ,？,,,x,y,ym1mn,,？,,,x,x，，(4)元素对行向量求导

，，,y,,yyTx,[x？x] 设 y 是元素， 是 q 维行向量，则 , 。 ？,,1qTxx,,,x,,1q，，

(5)元素对列向量求导

,y，，

,,，，x1,x1,y,,,,yp设 是元素， 是 维列向量，则 。 x,？,？,,,,x,,y,,,,xp，，,,,xp，，(6)元素对矩阵求导

，，x？x111q,,yp，qX？？设 是元素，, 是 矩阵，则 ,,

,,x？yp1pq，，

,y,y，，？,,,x,x111q,,,y,？ 。 ,,,X,y,y,,？,,,x,xp1pq，，

1

(7)行向量对列向量求导

，，x1,,T设 是 维行向量， 是 维列向量，则 pn,,y,y？yx,？1n,,

,,xp，，

，，,y,yn1？,,,x,xT11,,y, 。 ,？,,x,,y,y,,1n？,,,x,xpp，，(8)列向量对行向量求导

y，，1,,Ty,？ 设 是 维列向量， 是 维行向量，则 x,[x？x]qm1q,,

,,ym，，

yy,,，，11？,,xx,,1q,,,y？, 。 ,,T,xyy,,,,mm？,,,x,x1q，，(9)行向量对行向量求导

TTx,[x？x]设 是 维行向量， 是 q 维行向量，则 ny,,,y？y1q1n

TTT，，,,,yyy,？ 。 ,,Txx,,,x,,1q，，(10)列向量对列向量求导

,y，，1y,,，，，，x11,x,y,,,,,,y,？p设 是 m 维列向量， 是 维列向量，则 ？ 。 x,,？,,,,,,,xy,m,,,,,,yxm，，p，，,,,x，，

(11)矩阵对行向量求导

y？y，，111n,,TY,？？x,[x？x]qm，n设 是 矩阵， 是 维行向量，则 1q,,

,,y？ym1mn，，

2

，，,Y,Y,Y 。 ,？,,T,x,x,x,,1q，，(12)矩阵对列向量求导

y？y，，，，x111n1,,,,Y,？？设 是 矩阵， 是 维列向量，则 pm，nx,？,,,,

,,,,y？yxm1mn，，p，，

,y,y，，1n11？,,,x,x,Y,, 。 ,？？,,,xyy,,,,m1mn？,,,x,x，，(13)行向量对矩阵求导

，，x？x111q,,T设 是 维行向量， 是 矩阵，则 p，qnX,？？,,y,y？y1n,,

,,x？yp1pq，，

TT，，,,yy？,,,,xxT111q,,,y 。 ,？,,,XTT,,,y,y？,,xx,,,,p1pq，，(14)列向量对矩阵求导

y，，x？x，，1111q,,,,y,？ p，q设 是 维列向量， 是 矩阵，则 X？？m,,,,,

,,,,yx？ym，，p1pq，，

,y，，1,,,Xy,,,？ 。 ,,,,X,ym,,

,,,X，，(15)矩阵对矩阵求导

T，，y？y，，yx？x，，111n111q1,,,,,,Y,？？,？m，nX？？,设 是 矩阵， ,,,,,,T,,,,,,y？yyx？ym1mn，，p1pqm，，，，

,[x？x]p，q 是 矩阵，则 1q

3

TTT，，,,yy，，,y111？,,,,,,xx,X1q,,，，,,,,,YYY 。 ,,,？？？？,,,,,,T,,,XxxTT,,1q,,,y，，,,,,yymmm？,,,,,X,x,x,,1q，，，，

2，，x2xyyy，，,A例 设 ， ，根据(12)矩阵对列向量求导 ,X,,,,,2y,Xx2xyx，，，，

法则，有

22y00，，，，,(2xy),(y),y,,,,22x2y1,A,X,X,X,,,, 。 ,,22,(x),(2xy),x,,2x2y1,X,,

,,,,,X,X,X02x0，，，，

ux，，abc，，,,X,vy例 设 ， ，根据(15)矩阵对矩阵求导法则，有 Y,,,,,def，，,,wz，，

,a,b,c,a,b,c，，

,,,u,u,u,x,x,x,,,,,abc,abc，，,,,a,b,c,a,b,c,,,,ux，，，，,,,v,v,v,y,y,y,,,,,,,v,y,,,,,a,b,c,a,b,c,,,,,,,,,,,,wz,Y，，，，,w,w,w,z,z,z,, 。 ,,,,,,,,,d,e,f,d,e,f,def,def,,,X,,,,ux,u,u,u,x,x,x,,，，，，,,,d,e,f,d,e,f,,,,,,,v,y,,,,,,,,,v,v,v,y,y,y,,,,,,,,wz，，，，，，,d,e,f,d,e,f,,

,,,w,w,w,z,z,z，，

4

5

6

范文三：非线性标量化函数与向量优化问题

非线性标量化函数与向量优化问题

2010年7月

第34卷第4期

安徽大学学报(自然科学版)

JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition)

July2010

Vo1.34No.4

非线性标量化函数与向量优化问题

肖红

(韩山师范学院陶瓷学院基础教育师资系,广东潮州521041)

摘要:定义了一类与可变锥结构相关的非线性标量化函数,利用这类标量化函数,把具有可变锥

结构的向量优化问题转化为数值优化问题,并证明向量优化问题的有效解或强有效解与非线性标量化

函数的最优解或严格解是等价的.

关键词:非线性标量化函数;向量优化问题;有效解;可变锥结构

中图分类号:0178文献标志码:A文章编号:1000—2162(2010)04—0044—04

Nonlinearscalarizationfunctionandvectoroptimizationproblems

XIAOHong

(DepartmentofBasicEducationTeachersofCeramicCollege,HanshanNormalUniversity,Chaozhou521041,China)

Abstract:Aclassofnonlinearsealarizationfunctionundervariabledominationstructurewasdefined.By

applyingthisnonlinearscalarizationfunction,avectoroptimizationproblemundervariabledomination

structurewasconverttoascalaroptimizationproblem.Moreover,thefactthatanefficientsolutionorastrong

efficientsolutionofvectoroptimizationundervariabledominationstructurewasequivalenttoaminimalsolution

orastrictsolutionofnonlinearscalarizationfunctionwasproved.

Keywords:nonlinearscalarizationfunction;vectoroptimizationproblem;efficientsolution;variable

conestructure

标量化方法是研究向量优化问题的有力工具…,向量优化问题解的

性质可以通过标量化问题来讨

论].一般的方法是通过距离函数把向量优化问题转化为数值优化问

题I4j.近年来,一些学者给出了

一

类可变锥结构的非线性标量化函数J,这是对固定锥结构标量化函数

的推广卜加.如Chen等利

用这类函数研究一类广义向量拟均衡问题解的存在性.作者主要目

的是利用这类非线性表量化函数,把

可变锥结构的向量优化问题转化为数值优化问题,然后研究这类数值优化问题与原可变锥结构的向量

优化问题解之间的关系.

1预备知识

设X,Y是局部凸Hausdorf向量空间,K是的子集,:—.数值优化问题为:?

(tp,K)minq~(),?KX.

记argmin(,K)为问题(,K)的解集.任给?K,设集值映射c:—l,是闭凸点锥,并有非空内

部.设f:X—考虑可变锥结构的向量优化问题为:

收稿日期:2010—01—09

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60703118)

作者简介:肖红(1969一),女,山东济南人,韩山师范学院副教授.

引文格式:肖红.非线性标量化函数与向量优化问题[J].安徽大学学报:自然科学版,2010,34(4):44—47

第4期肖红:非线性标量化函数与向量优化问题45

‘/P(厂,)inf(),?

若

_厂()一)隹一intc(x),V?K,

则称?K为(厂,K)的弱有效解.若

)一)一C()\{0},V?K,

则称?K为(.厂,K)的有效解.若

/-()一厂()隹一C(),V?K\{},

则称?K为(_厂,K)的强有效解.

有效解集记为(/,),弱有效解集记为(厂,K),强有效解记为,K).集合(,)关于/的像集记为

(-厂,K),其中的元素称为集合K)的最小点.集合(/,)关于/的像集记为(,),集合(,K)关于的像

集记为,K).

设y是l,的对偶空间.任取?X,设映射e:X一】,满足e()?intC().集值映射c:—y

定义为:

C()={?Y:(,Y)?0,VY?C(x)},V戈?

给定?X,设e()?intC(),集合B()定义为:

B():={?C():(,e())=1}.

引理1[设C是局部凸Hausdorff拓扑向量空间I,的闭凸点锥并且intC非空.则:

y?c甘(,y)?0,V?C,

Y?intc岱(,y)>0,V?C\{0}.

定义1任给?X,设C(x)是闭凸点锥并且intc非空,向量值映射e:X—y满足e()?

intc(x).设f:X—l,,给定?X,非线性标量化函数+:—定义为:

()=inf,贝0:

(i)()<r)-f()?re(x)一intC(x);

(ii)()?r)-f()?re(x)一c(x);

(iii)()?r宅)一)i’e()一intC();

(iv)()>r)一/.()re()一C();

(v)+()=r车厂()一/)?re()一OC(),

其中:OC()是C()的拓扑边界.

2主要结果

定理1设f:Xy,KX,则:

安徽大学学报(自然科学版)第34卷

(i)?K是(厂,)的强有效解的充分必要条件是是(,K)的严格解;

(ii)?K是,)的弱有效解的充分必要条件是是(+,)的解.

‘

证明(j)设是(,)的强有效解,则:

)一)隹一C(),V?K\{}.

由性质2(iv)可得:

+

()>0,V?\{}.(1)

由()=0,式(1)等价于:

()一()>0,V?K\{},

则是(.,K)的严格解.

反之,若是(+,K)的严格解,即:

+

()>(),V?\{}.(2)

式(2)等价于()>0,V?\{}.由性质2(iv)可得:

-厂()一I厂()擘一C(),V?K\{},

则是(厂,K)的强有效解.

(ii)因?(/,K),则:

)一)隹一intC(),V?托(3)

由性质2(iii)可知,式(3)等价于:

()?0,V?K,

因此,是(+,K)的解.反之,若是(,)的解,由性质2(iii)易得结论.

例2设X=R,:)=(,;).任给=(.,)?R,设

c()={(.,d2)?RJ一一+;?0,?d一d?0}.

设=(1,0),e(x)=(1,1),则e(x)?intc(x),并且有:

()=max{_?(1,一:2),1一一2x}.

因()=0,则=(1,0)是(,)的解.由定理1可得?(_厂’K).

定理2任给?K,若C()=C,e()=e,则:

(i)?K是(/,K)的强有效解的充分必要条件是存在?K,是(,K)的严格解;

(ii)?K是(,K)的弱有效解的充分必要条件是存在?K,是(,K)的解;

证明仅证明(i),(ii)的证明与(i)类似.设?,K).由定理1可得,是(,)的严格解,

必要性证毕.

假设存在?K,是(,K)的严格解,则:

;()&l:一Y?Ae()一C()},Vz?-厂(K).

显然,有类似的性质,详情参见文献[5].

第4期肖红:非线性标量化函数与向量优化问题47

定理3Y?(f,K)当且仅当存在E厂(Y)nK,Y是(+K))的唯一解.

证明若存在?厂(Y)nK,Y是(K))的唯一解,则:

(Y)>(Y),VY?K)\{Y}.

因(Y)=0,则由文献[5]性质2.3(iv)可得:

Y—Y隹一C(),VY?_厂(K)\{Y},

则有Y?(f,K),因此Y?(f,K).

反之,若Y?(f,K),则Y?(f,K),则存在?厂(Y)n,有:

Y—Y隹一intC(),VY?K).

由文献[5]中性质2.3(iii),有:

(Y)?0,VY?K)\{Y}.(6)

式(6)等价于:

(Y)?(Y),VY?K)\{Y}.

因此,Y是在厂()上的全局最小点.现证Y是+在K)上的唯一最小点.

反证法,假设存在

Y1?K),Y1?Y,满足:

(Y)=+(Y)=0,

则由性质2(v)可得:

Y1一YEOC(),

这与Y?(f,K)矛盾,定理证毕.

参考文献:

[1]LucDT.Scalarizationofvectoroptimizationproblems[J].JournalofOptimization0andApplications,1987,55

102. (1):85—

[2]GutierrezC,JimenezB,NovoV.Onapproximatesolutionsinvectoroptimizationproblemsviascalarization[J].

ComputationalOptimizationandApplications,2006,35(3):305—324.

[3]CrespiGP,GuerraggioA,RoccaM,eta1.WellposednessinvectoroptimizationproblemsandvectorVariational

inequalities[J].JournalofOptimizationT~oryandApplications,2007,132(1):213—226.

[4]CrespiGP,GinchevI,RoccaM,eta1.Variationalinequalitiesinvectoroptimization[M].VariationalAnalysisand

Applications,KluwerAcademic,Dordrecht,2004,79(2):259—278.

[5]ChenGY,YangXQ,YuH,eta1.ANonlinearscalarizationfunctionandgeneralizedquasi—vectorequilibrium

problems[J].~urnalofGlobalOptimization,2005,32(4):451—466.

[6]ChenGY,YangXQ.Characterizationsofvariabledominationstructuresviaanonlinearscalarization[J].Journalof

OptimizatonTheoryandApplications,2002,12(1):97—110.

[7]EvansBC.Onthebasictheoremofcomplementarity[J].MathematicalProgramming,1971,1(1):68—75.

[8]肖刚,肖红,刘三阳.黎曼流形上的向量似变分不等式与向量优化问题[J].安徽大学学报:自然科学版,2009,

33(3):5—8.

[9]肖刚,肖红,刘三阳.黎曼流形上弱向量似变分不等式解的存在性[J].西南大学学报:自然科学版,2009,31

(4):44—48.

[1O]ChenGY,GohCJ,YangXQ,eta1.Vectornetworkequilibriumproblems

andnonlinearscalarizationmethods

[J].MathematicalMethodsofOperationsResearch,1999,49(2):239—253.

(责任编校朱夜明)

范文四：函数求导

1求极值常按如下步骤： ① 确定函数的定义域；

② 求导数；③ 求方程y =0的根，这些根也称为可能极值点； ④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(可以通过列表法) /

四 巩固练习

1 确定下列函数的单调区间：

（1）y =2x 2

-5x +7

2 求下列函数的极值

（1）y =x 2

-7x +6

（3）y =x 3

-27x

五 课堂作业

1 确定下列函数的单调区间：

（1）y =-4x +2 （3）y =-x 2

-2x +5

2 求下列函数的极值

（1）y =x 2

-4x +10

（3）y =x 3

+3x 2

-1

y =4x 3-3x 2-6x

2）y =3x -x 3

2）y =-2x 2

+5x 4）y =3x 2

-x 3

（2）y =(x -1) 2

（4）y =x 3

-x 2-x 2）y =-2x 2

+4x -7 （4）y =6+12x -x 3

（6）y =2x 2-x 4

1

（ （ （ （

1、函数y =log 2

2-x

的图像关于 ( ) 2+x

A 原点对称 B 直线y =-x 对称 C y 轴对称 D 直线y =x 对称 2、为了得到函数y =2x -3-1的图像，只需把函数y =2x 的图像上所有的点 （ ）

A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 3、函数y =ln |x -1|的图象大致是

（ ）

A

B

C

D

2x +2-x

4、函数函数y =x 的图像大致为 ( ). -x

2-2

D

A

5、已知函数f (x ) =log a (2x +b -1)(a >0，

a ≠1) 如图所示，则a ，b 满足的关系是 （ ） A ．0

-1

B．0

-1

C ．0

2

则点(a , b ) 的轨迹是右图中的 （ ）

A．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CD C．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD

?1?

7、 函数y = x 与y = ?

?2?

3

x -2

的图象交点所在区间是 （ ） D ．（3，4）

A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3）

8、在同一平面直角坐标系中，函数y =g (x ) 的图象与y =e x 的图象关于直线

y =x 对称。而函数y =f (x ) 的图象与y =g (x ) 的图象关于y 轴对称，若

f (m ) =-1，则m 的值是（ ） A．-e

1 B ．-

e

C．e

1D ．

e

9、函数f (x ) =1+log 2x

与g (x ) =21-x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )

A

B C D

10、已知函数y =x f '(x ) 的图像如右图所示，下面四个图象中y =f (x ) 的图象大致是 （ ）

A B C D

11、函数f (x )=x cos x 的导函数f '(x )在区间[-π, π]上的图像大致是 （ ）

3

A. B. C. D. 12、下列求导运算中正确的是（ ）

111A (x +) '=1+2 B (log2x ) '= C (3x ) '=3x log 3e D

x x ln 2x (x 2cos x ) '=-2x sin x

13、函数f (x ) =x 3-ax 2-bx +a 2在x =1处有极值10, 则点(a , b ) 为 （ ） A.(3, -3) B.(-4, 11) C. (3, -3) 或(-4, 11) D.不存在 14、函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ） A. 5，15 B. 5，-4 C. 5，-15 D. 5，-16 15、过曲线y =x 3+x -2上一点P 0处的切线平行于直线y =4x +1，则点P 0的一个坐标是（ ） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4)

16、f (x ) =x 3-3bx +3b 在(0, 1) 内有极小值，则

A ．b >0

B ．0<>

C ．b <>

（ B ） D ．b

1

2

13

t , 则当t =3s 时的瞬时速度是 ( ) 9

A. 10m /s B. 9m /s C. 4m /s D. 3m /s

17、某物体的运动方程是S =t +

18、已知函数f (x ) =-x 3+ax 2-x -1在(-∞, +∞) 上是单调函数, 则实数a 的取值范围是（ ） A.(-∞, -] [3, +∞) B.[-, ] C. (-∞, -) (, +∞) D. (-, 3)

19、下列说法正确的是 （ ）

4

A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C. 对于f (x ) =x

3+px 2+2x +1, 若

|p |

<6, 则f="">

) 无极值; D. 函数f (x ) 在区间(a , b ) 上一定存在最值.

π

20、函数y =x +2sin x 在区间[, π]上的最大值是（ ）

2

A.

2π2π

D. 以上都不对 + B.

33

21、若函数y =f (x ) 的导函数在区间[a , b ]上是增函数，则函数y =f (x ) 在区间．．．

[a , b ]上的图象可能是（ ）

y

22、设f (x ), g (x ) 在[a ，b]上可导，且f '(x ) >g '(x ) ，则当a

A ．f (x ) >g (x )

B ．f (x )

C ．f (x ) +g (a ) >g (x ) +f (a ) D ．f (x ) +g (b ) >g (x ) +f (b )

23. 、曲线y =2x 2-1在点（-1,1）的切线方程为 . 24. 、函数y =2x -ln x 的递减区间是.

25、如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断： (1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；

1

(2) 函数y=f(x)在区间（－，3）内单调递减；

2

(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2

1

时，函数y=f(x)有极大值;

2

(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;

则上述判断中正确的是 .

1

26、 设函数f (x ) =x 3-x 2-2x +5, 若对于任意x ∈[-1, 2]都有f (x )

2

求实数m 的取值范围.

(4) (4) 当x= －

27、 已知函数f (x ) =x ln x ． （1）求f (x ) 的最小值；

（2）若对所有x ≥1都有f (x ) ≥ax -1，求实数a 的取值范围．

28、设函数f (x ) =x 3-6x +5, x ∈R （Ⅰ）求f (x ) 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x 的方程f (x ) =a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当x ∈(1, +∞) 时, f (x ) ≥k (x -1) 恒成立，求实数k 的取值范围.

29、已知函数f (x ) =ax 2+2ln(1-x ) （a 为实数）. （I ）若f (x ) 在x =-1处有极值，求a 的值；

（II ）若f (x ) 在[-3，-2]上是增函数，求a 的取值范围.

12

x +ln x 2

（1）求函数f (x ) 在[1，e]上的最大值，最小值；

30、已知函数f (x ) =

（2）求证：在区间[1, +∞) 上，函数f (x ) 的图象在函数g (x ) =

6

23

x 图象的下方 3

范文五：矩阵向量求导法则

矩阵向量求导法则_一刀流流的空间_百度空间10-12-7 上午10:10

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