风峰锋烽疯
范文一：需求价格弹性与边际收益研究
第10卷 第2期运 筹 与 管 理2001年6月O PERA T I ON S R ESEA RCH AND M ANA GE M EN T SC IEN CE
. 10, N o . 2V o l
Jun . , 2001
需求价格弹性与边际收益研究
唐小我, (电子科技大学摘 要:定问题, , 为了实现既定的需求价格弹性或边际收益, 对; 边际收益; 需求函数
:F 22415; 文献标识码:A 文章编号:100723221(2001) 0220020205
A S tudy of D em a nd 2p rice Ela s tic ity a nd M a rg ina l Re turn
TAN G X iao 2w o N ID e 2b ing
(M anag e m en t S chool , U n iversity of E lectron ic S cience and T echnology of Cheng d u , cheng d u , 610054, Ch ina )
Abs tra c t :T h is p ap er studies the p rob lem of deciding dem and functi on under the conditi on of
given dem and 2p rice elasticity and the p rob lem of deciding dem and fo rm u las under the condi 2ti on of given m arginal retu rn , and gives com p u ting fo rm u las . T he resu lts show that there are infin ite dem and functi on s w h ich can realize given dem and 2p rice elasticity and given m arginal retu rn .
Ke y w o rds :dem and 2p rice elasticity ; m arginal retu rn ; dem and functi on
0 问题的提出
如果给定了需求函数P =f (Q ) , 我们可以根据定义计算出需求价格弹性E d (Q ) =和
Q d P
对应的边际收益M R (Q ) =显然, 对于任意给定的函数P =f (Q ) , 我们可以唯一地确
d Q
定出
E d (Q ) 和M R (Q ) 。现在的问题是, 如果E d (Q ) 或M R (Q ) 既定, 我们能否唯一地确定出与之相对应的需求函数P =f (Q ) 。
收稿日期:2000211211
基金项目:国家杰出青年科学基金项目(70725002)
作者简介:唐小我, (19552) , 男, 博士, 教授, 博导, 现任电子科技大学管理学院院长, 中国系统工程协会常务理事。
第2期 唐小我, 等:需求价格弹性与边际收益研究21
1 问题的解决
111 特定需求价格弹性条件下需求函数的确定
我们先讨论两种简单的情形。
如果需求函数为P =A Q -Α(A 和Α均为正常数) , 了解的是, 如果需求价格弹性E d =-, Α
定理1 如果需求价格弹性d =-, , 则对应的需求函数必为P =-Α
A Q , 其中, A E d =-
, 则-
=
×, 即-Q d P
P
=
Q
, 即-
a
ln P =ln Q +C , 其中C 为
-Α-c Α-Α
P -=e C Q , 即P =e -C ΑQ 。令A =e , 则有P =A Q 。证毕
定理1表明, 需求价格弹性E d 为常数-A Q
-Α
Α
(Α为正常数) 的充分必要条件需求函数为P =
=1-b Q
, 其中, A 为任意正常数。
如果需求函数为P =a -b Q , 式中, a 和b 均为正常数, 则需求价格弹性E d =1-
, 式中, A =现在我们想了解的是, 如果需价格弹性E d =1-, 式中, A 为任意正常数, 则Q b Q
对应需求函数有什么特点。我们有如下结论。
定理2 如果需求价格弹性E d =1-, 式中, A 为任意非负常数, Q 满足0ΦQ ΦA , 则对Q
应的需求函数必为P =C (A -Q ) , 式中, C 为任意正常数。
证明 设E d =1-, 则1-=×, 即=×, 即Q -A =P , 即
Q Q Q d P Q Q d P d P
===P Q -A Q -A A -Q
(1)
由式(1) 可得
(2) ln P =ln (A -Q ) +ln C =ln [C (A -Q ) ]
式中, ln C 为积分常数, C 为任意正常数。由式(2)
可得P =C (A -Q ) 。证毕
对任意正常数, C , P =C (A -Q ) 表示需求函数簇。定理2表明, 对于同一价格需求弹性E d =1-, 有无穷多个需求函数与之相对应。Q
定理2的几何意义为, 如果一组线性需求曲线相交于横轴上的某一定点(A , Q ) , 则对于任意Q 0(0≤Q 0≤A ) , 各线性需求曲线在Q =Q 0处的需求价格弹性相等, 如图1所示, 在图1中, 在点B 1、B 2和B 3处的需求价格弹性都相等。
下面我们来讨论需求价格弹性E d 为Q 的一般性函数时, 对应的需求函数应有什么特点。我们有如下结论。
Q g (Q ) 定理3 设需求价格弹性E d =g (Q ) , 则对应的需求函数必为P =Ce , 式中, C 为任意正常数。
d Q
22运 筹 与 管 理 2001年第10卷
证明 设E d =g (Q ) , 则g (Q ) =×, 即=
Q d P P
Q g (Q )
(3)
(4) d Q +ln C
Q g (Q )
式中, ln c 为积分常数, C 为任意正常数。令C ′=e ln c , 由式
由式(3) 可得ln p =
d Q
Q g (Q ) (4) 可得P =C ′证毕e
由于C 取值的任意性, 定理3表明, 函数对应于同一需求价格弹性E d =g (明, , F ig 1 Geom elric m ean ing of theo
rem 2
关于Q ) 。11(关于Q 的函数) 下确定需求函数的问题。现在的问题是, 。对于这一问题, 我们有如下结论。
定理4 设需求函数P =f (Q ) 的需求价格弹性为E d , 需求函数P M =M +f (Q ) (M 为任意常数) 的需求价格弹性为E dM , 则对于同样的Q , E dM 与 E d 之间的关系为
E dM =[1+
证明:
E d =-] E d f (Q )
图1 定理2的几何意义
(5) (6)
×=-×′
Q d P Q f (Q )
E dM =-×=-×Q d P M Q [M +f (Q ) ]′
=-?-×(Q ) (Q ) Q f ′(Q ) Q f ′Q f ′
=-×() -() ×(Q ) Q f ′Q f Q Q f ′=-
×
(7)
将式(5) 代入式(6) 可得
E dM = E d +
] E d E d =[1+f (Q ) f (Q )
证毕
定理4表明, 当需求曲线向上平移(M >0) 时, 需求价格弹性的绝对值将增大; 当需求曲线
向下平移(M <0) 时,="">
定理4讨论的是需求曲线在垂直方向上平行移动时需求价格弹性绝对值的变化规律。下面我们来讨论, 需求曲线在水平方向上平行移动时需求价格弹性绝对值的变化规律。我们有如下结论。
定理5 设需求函数P =f (Q ) 的需求价格弹性为E d , 需求函数P M =f (Q +M ) (M 为任意常数) 的需求价格弹性为E dM , 则对于同样的P , 即P =P M , E dM 与 E d 之间的关系为
E dM =
证明:E d =
?Q d P
E dM =
?=?Q +M d P M Q +M d P M
Q
+M
E d (8)
第2期 唐小我, 等:需求价格弹性与边际收益研究
因假定P =P M , 故有
=, 从而有d P d P M
?=??=E dM =E d
Q +M d P Q +M Q d P Q +M
23
证毕
定理5表明, 当需求曲线向左平移(M >0) 时, 需求价格弹性的绝对值将减少; 当需求曲线
向右平移(M <0) 时,="">
现在我们来讨论在给定边际收益后, 收益。我们先来看一个简单的情形。定理6 设边际收益为M R =, , P =f (Q ) , 则必有P =
M A Q
P 之间的关系为
M R =P +Q
d Q d Q
(9)
因M R =M , 故由式(9) 可得
M =P +Q
(10)
现分两种情况讨论式(10) 的解。
如果价格P =f (Q ) 为常数, 则=0, 从而由式(19-62) 可得M =P 。
d Q
如果价格P =f (Q ) 不为常数, 则由式(10) 可得Q =M -P , 即P =+M , 式中, A 1为
d Q Q
任意正常数。
这两种情况可以统一表示为
P =
+M Q
(11)
式中, A 为任意非负实数。
M 。对于边际收益为Q 的函数的情形, 我们有如下更一般的结论。
证毕
定理6表明, 如果边际收益为为常数M , 则存在无穷多个需求函数, 其边际收益均为常数定理7 设边际收益M R =g (Q ) , 对应的需求函数为P =f (Q ) , 则必有
g (Q ) d Q
+P =
Q
Q
式中, A 为任意非负实数。证明:由M R =g (Q ) 和M R =P +Q 对式(12) 的两端求不定积分可得
A +
g (Q
) d Q =PQ
∫
可得d Q
g (Q ) d Q =P d Q +Q d P =d (PQ )
(12)
(13)
式中A 为积分常数。由式(13) 可得
24运 筹 与 管 理 2001年第10卷
g (Q ) d Q
+P =f (Q ) =
Q
Q
(14)
式(14) 对任何有意义的M R =g (Q ) 都成立, 特别是对M R =g (Q ) =M (M 为任意非负常
数) 也成立。将g (Q ) =M 代入式(14) 可得
M d Q
+=+=M P =
Q
Q
Q
(15)
由式(15) 可得P 对Q 的一阶导数为数, 故
dQ
=-
=f (Q Φ0, 即-2Φ0, 即A A 证毕d Q Q
定理7表明, Q ) , 存在无穷多个需求函数, 其边际收益均为
, , 其边际收益保持不变。M ) M R 不一定是常数或Q 的单调递减函数。M R 可以是Q 的单调
。。
例 设需求函数为P =
Α, 式中A 为任意正常数, Α为大于1的正常数, 试证明对应的边Q
际收益M R 必为Q 的单调递增函数。
证明:T R =PQ =
1-Α
Q =A Q 。由此可计算出边际收益M R 为Α?Q
) Q 1-Α-1=A (1-Α) Q -Α=A (1-ΑM R =
d Q
上式对Q 求一阶导数可得
) (-Α) Q -Α-1=A Α(Α=A (1-Α-1) Q -d Q
这表明边际收益M R 为
Q 的单调递增函数。
(1+Α)
>0
2 结束语
本节主要研究如何由给定的E d 或M R 反求相应的需求函数P =f (Q ) , 还研究了需求曲
线移动对E d 的影响。关于需求曲线移动对M R 的影响, 需另行研究。参考文献
[1]唐小我, 曾通, 李仕明. 管理经济分析——理论与应用[M ]. 成都:电子科技大学出版社, 2000. [2]郭羽诞, 陈必大. 新编现代西方经济学教程[M ]. 上海:上海财经大学出版社, 1998. [3]司春林, 顾国章, 郁义鸿. 现代微观经济学[M]. 上海:复旦大学出版社, 1996.
范文二：斜率弹性与垄断的边际收益
#学习与探索#
斜率弹性与垄断的边际收益
潘金霞 王则柯*
摘 要:在垄断一种商品的情形, 企业的平均收益曲线与市场的需求曲线重合, 它
们互为反函数。一个广泛应用的事实是:如果平均收益曲线下降并且不太弯的话,
那么边际收益曲线与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降, 并且处处下降得比
平均收益曲线快。本文引入平均收益曲线A R (y) 对于供量y 的斜率弹性的概念,
给出上述事实的证明。
关键词:垄断 下降的需求曲线 边际收益曲线 斜率弹性
一、市场需求曲线与平均收益曲线重合
经济学大量对付的是一元实函数。我们在数学里习惯的一元实函数, 都以横轴世界经济文汇
2004 第2期为自变量, 以纵轴为因变量。但是起源于马歇尔(Alfred Marshall, 1842) 1924) , 在经济 78
学里面有时候却恰恰相反, 以纵轴为自变量, 横轴为因变量。典型的是某种商品的需求曲线和供应曲线, 商品的价格P 决定商品的需求量或供应量Q, 但是价格P 总是放在纵轴, 相应的需求量和供应量Q 则放在横轴。大家知道, 函数描述的变量关系是不能颠倒的。以需求曲线D 为例, 如果误需求量Q 为自变量、价格P 为因变量, 将导致/对商品的需求量Q 越大则商品的市场价格P 越低0的谬误。
可是, 经济学里面也有许多重要的曲线, 仍然是以横轴为自变量、以纵轴为因变量, 例如成本曲线、销售收入曲线、生产函数等等。面对这种混杂的情况, 一个自然的想法, 是将经济学中的函数和图像都/改正0并且统一为数学里面那样, 以横轴为自变量、纵轴为因变量。的确有人这样做过。问题是标准的经济学著作都不接受这样的统一。原来, 混杂有混杂的好处。典型的例子, 是混杂使用可以得到/垄断企业面对的市场需求曲线D 和该垄断企业的平均销售收益曲线A R 重合0的好处。本来, 垄断企业面对的市场需求D 和该垄断企业的平均销售收益AR 互为反函数, 现在因为/混杂0使用, 互为反函数的关系轻易地表现为相应的曲线重合。这是垄断理论许多重要讨论的出发点。
二、边际收益比平均收益下降得快
在垄断的情形, 微观经济学关于企业利润最大化产量决策的讨论, 除了企业的平均收益曲线与市场的需求曲线重合这个事实以外, 另外一个广泛应用的事实是:如果平均收益曲线A R 下降并且不太弯的话, 那么边际收益曲线M R 与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降, 并且处处下降得比平均收益曲线快。例如, 见(Mas-colell, Whinston &Green, 1995, p386) 的图。
但是在标准的教科书中, 这个事实并没有得到应有的说明和论证。最接近的描*中山大学岭南学院。通信地址:510275广州中山大学岭南学院; Email:wangzk@lingnan. net 。本文为国家自然科学基金资助课题的研究成果, 批准号:10131030。
WORLD ECONOMIC FORUM
述, 是(M.L. Katz&H. S. Rosen, 1998, p415) 图13. 2的说明文字:边际收益曲线总是在与需求曲线重合的平均收益曲线下方, 只有在开始的地方它们重合。多数教科书只是叙述线性情形的命题或者再辅以证明:如果平均收益曲线A R 是下降的直线, 那么边际收益曲线MR 是与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降的直线, 但是下降速度快一倍
。
世界经济文汇
2004 第2期
图1 79
事实上, 我们可以形成并且证明如下更一般的命题。
命题:在企业垄断一种商品的情形, 如果(与市场需求曲线D 重合的) 企业平均
收益曲线A R 下降并且不太弯的话, 那么边际收益曲线M R 与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降, 并且处处下降得比平均收益曲线快。
标准的证明:
记A R(y) =f (y) , y 是产量或者供量。据设, 我们有f c (y ) <0, 其中f="" c="" (y="" )="" 表示f="" (y="" )="" 的一阶导数。这时候,="" 企业的销售收益为r(y="" )="A" r(y="" )="" y="f" (y="" )="" y="" ,="">
M R(y) =d (f (y) y) /dy =f (y) +yd f (y) /dy =f (y) +y f c (y ) 。
至此, 我们已经知道:MR(0) =A R(0) , 即边际收益曲线与平均收益曲线从纵轴上的同一点出发; 但是对于y >0, 我们有M R (y)
为了完成命题的证明, 现在考虑M R(y) 的斜率M R c (y ) 和A R(y) 的斜率A R c (y) 的关系。计算表明,
M R c (y ) =d(M R(y) ) /dy =d(f (y) +y f c (y ) ) /dy
=f c (y) +f c (y) +y f d (y ) =A R c (y ) +f c (y ) +y f d (y) ,
从而
M R c (y ) -A R c (y ) =f c (y) +y f d (y) ,
其中f d (y) 表示f (y ) 的二阶导数。
大家知道, 平面曲线的弯曲程度, 由曲线的曲率J =|f d (y ) |/[1+(f c (y ) ) 2]3/2量度, 如见(华罗庚, 1963, pp. 124-125) 。曲线/不太弯0, 要求|f d (y) |比较小, 这就可以做到f c (y) +y f d (y ) <0, 从而我们有m="" r="" c="" (y)="">
潘金霞 王则柯 斜率弹性与垄断的边际收益
注意, 如果因为平均收益曲线/不太弯0就以为可以近似地要求f d (y) =0从而在证明中写下/记A R(y) =f (y) , 那么我们有A R(y ) =f (y) U a -b y, a >0, b >00, 于是得到/M R(y) U a -2b y 0, 变成只讨论直线的情形, 损失就太大。上面那样只要求|f d (y ) |比较小, 保留的性质就多一些。美中不足的是从曲率J =|f d (y ) |/[1+(f c (y) ) 2]3/2比较小到二阶导数|f d (y) |比较小, 实际上还有一段路要走。走通这条路, 难免还要损失一些东西。
三、引进斜率弹性的证明
但是如果按照/弹性0的标准建构, 引入垄断企业的平均销售收益曲线A R(y ) =f (y) 对于商品供量y 的斜率弹性@(y ) =(d f c (y) /f c (y) ) /(dy/y) 的概念, 我们可以提出以下紧凑得多的证明。
利用斜率弹性的证明:
M R c (y ) -A R c (y ) =f c (y) +y f d (y) =f c (y ) (1+y d f c (y ) /f c (y) dy )
=f c (y) (1+@(y) ) 。世界经济文汇
2004 第2期曲线/不太弯0的条件要求当商品供量作小变化的时候, 曲线斜率的相应变化比 80较小, 也就是要求斜率弹性@(y ) 的绝对值比较小, 从而我们有(1+@(y) ) >0。这时
候, 如前容易得到我们需要的M R c (y)
两相比较, 标准的证明需要从曲线的曲率J =|f d (y ) |/[1+f c (y) ) 2]3/2比较小的要求到|y f d (y) |比较小的要求再到f c (y) +y f d (y ) <0的结果这样的转折, 当|f="" c="" (y)="" |很大或者y="" 很大的时候,="" 这些转折对曲线究竟需要/不太弯0到什么程度,="" 会是比较苛刻的要求。相反,="" 利用斜率弹性概念的证明从斜率弹性@(y)="" 比较小这个/一致成立0的事实出发,="" 可以说是一步到位地证明了命题,="">
参考文献:
Katz, Michael L. &Harv ey S. Rosen, 1998, Mic roeconomics , McGraw-Hill.
Mas-colell, Andreu, Michael D. Whinston &Jerry R. Green, 1995, Microecono mic Theo ry , O xford University Press, New Y ork.
华罗庚, 1963/1978, 5高等数学引论6, 第一卷第二分册, 科学出版社, 北京。
范文三：需求价格弹性与边际收益研究
2001 年 6 月 O P ERA T ION S R E SEA R CH A N D M A N A GEM EN T SC IEN C E J u n. , 2001
需求价格弹性与边际收益研究
唐小我, 倪得兵
( 电子科技大学 管理学院, 四川 成都 610054)
摘 要: 研究特定需求价格弹性条件下需求函数的确定问题和特定边际收益条件下需求函数的确 定问题, 并给出了有关的计算公式。 研究结果表明, 为了实现既定的需求价格弹性或边际收益, 对 应的需求函数有无穷多个。
关键词: 需求价格弹性; 边际收益; 需求函数
() 中图分类号: F 22415; 文献标识码: A 文章编号: 100723221 20010220020205
A S tud y o f D em a nd 2p r ic e E la s t ic ity a nd M a rg ina l R e tu rn
TA N G X iao 2w o N I D e2b in g
(, M a n a g em en t S ch oolU n iv e rs ity of E lec t ron ic S c ien ce a n d T ech n ology
), , 610054, of C h en g d u ch en g d u C h in a
A b s t ra c t: T h is p ap e r stu d ie s th e p ro b lem o f dec id in g dem an d fu n c t io n u n de r th e co n d it io n o f
2g iven dem an dp r ice e la st ic ity an d th e p ro b lem o f dec id in g dem an d fo rm u la s u n de r th e co n d i2
, . t io n o f g iven m a rg in a l re tu rn an d g ive s com p u t in g fo rm u la sT h e re su lt s show th a t th e re a re
2in f in ite dem an d fu n c t io n s w h ich can rea lize g iven dem an dp r ice e la st ic ity an d g iven m a rg in a l .re tu rn
Ke y w o rd s : dem an d2p r ice e la st ic ity; m a rg in a l re tu rn; dem an d fu n c t io n
问题的提出0
P dQ () () 如果给定了需求函数 = , 我们可以根据定义计算出需求价格弹性 = 和P f Q E d Q Q dP
) (PQ d () () 对应的边际收益。 显然, 对于任意给定的函数 = M R Q = P f Q , 我们可以唯一地确dQ
() ()() () 定出 E d Q 和M R Q 。现在的问题是, 如果 E d Q 或M R Q 既定, 我们能否唯一地确定出
与 ()之相对应的需求函数 P = f Q 。
收稿日期: 2000211211
基金项目: 国家杰出青年科学基金项目( 70725002)
作者简介: 唐小我, ( 19552) , 男, 博士, 教授, 博导, 现任电子科技大学管理学院院长, 中国系统工程协会常务理事。
第 2 期 唐小我, 等: 需求价格弹性与边际收益研究 21
1 问题的解决
111 特定需求价格弹性条件下需求函数的确定
我们先讨论两种简单的情形。 1 - Α() 如果需求函数为 = 和 均为正常数, 则需求价格弹性为 = - 现在我们想P A Q A ΑE d Α
1 了解的是, 如果需求价格弹性 = - , 需求函数应有什么特点。 我们有如下结论。E d Α
1 定理 1 如果需求价格弹性 = - , 式中, , 则对应的需求函数必为 =为正常数E d ΑP Α - Α A Q , 其中, A 为任意正常数。
Q 1 dP dQ 1 d P 1 1 =证明 设 = - , 则-× , 即- E d = , 即- lnP = lnQ + C , 其中 C 为 dP Q Α Α Α P Q a 1 - C- C Α- Α- cΑ- ΑΑ积分常数。 于是有 P = eQ , 即 P = eQ 。 令A = e, 则有 P = A Q 。 证毕
1 ) ( 定理 1 表明, 需求价格弹性 E d 为常数- Α为正常数的充分必要条件需求函数为 P =Α - ΑA Q , 其中, A 为任意正常数。 a 如果需求函数为 = - , 式中, 和 均为正常数, 则需求价格弹性 = 1-P a bQ a b E d =1- bQ
A a A , 式中, A = 。现在我们想了解的是, 如果需价格弹性 E = 1- , 式中, A 为任意正常数, 则d Q b Q
对应需求函数有什么特点。 我们有如下结论。
A 定理 2 如果需求价格弹性 = 1- , 式中, 为任意非负常数, 满足 0Φ Φ , 则对E d A Q Q A Q
() 应的需求函数必为 P = C A - Q , 式中, C 为任意正常数。
A P dQ Q - A P dQ dQ A 证明 设 = 1- , 则 1- = ×, 即= ×, 即-= , 即E d Q A P Q Q Q dP Q dP dP Q ) ()(dP Q Q - A d A - Q d d = = = ()1 P Q - A Q - A A - Q () ) () (()由式 1可得 2 lnP = ln A - Q + lnC = ln [C A - Q ]
() ()式中, lnC 为积分常数, C 为任意正常数。 由式 2可得 P = C A - Q 。 证毕 对任意正常数, , = (- ) 表示需求函数簇。定理 2 表明, 对于同一价格需求弹性 C P C A Q E d
A = 1- , 有无穷多个需求函数与之相对应。Q
(定理 2 的几何意义为, 如果一组线性需求曲线相交于横轴上的某一定点, ) , 则对于任 A Q () 意0??, 各线性需求曲线在= 处的需求价格弹性相等, 如图 1 所示, 在图 1 Q 0 Q 0 A Q Q 0
中,
在点B 1、B 2 和B 3 处的需求价格弹性都相等。, 对应的需求函数应有什么特点。 的一般性函数时下面我们来讨论需求价格弹性 E d 为Q
我们有如下结论。 1 dQ () ?Q g Q () 定理 3 设需求价格弹性 = , 则对应的需求函数必为 = , 式中, 为任E d g Q P C eC
意正常数。
运 筹 与 管 理2001 年第 10 卷 22
P dQ dP 证明 ×, 即=() () 设 E d = g Q , 则 g Q = Q dP P
dQ ()3 ()Q g Q
1 ()() 4 由式 3可得 = dQ + lnC ln p ?()Q g Q lnc 式中, lnc 为积分常数, C 为任意正常数。 令 C ′= e, 由式 1dQ ′()Q g Q ? () 证毕4可得 P = C e
由于 C 取值的任意性, 定理 3 表明, 有无数多个需求
()函数对应于同一需求价格弹性 = 。 定理 3 还表 E d g Q 图 1 定理 2 的几何意义 明, 如果两个需求函数仅相差一个常数因子, 则这两个需 1 2F ig Geom e lr ic m ean ing o f th eo rem 求函数的需求价格弹性具有相同的表达方式 (关于) Q 。
112 需求曲线移动对需求价格弹性的影响
() 前面我们研究了特定需求价格弹性 关于Q 的函数下确定需求函数的问题。现在的问题
是, 需求曲线的移动会对需求价格弹性什么的影响。 对于这一问题, 我们有如下结论。
() () (定理 4 为任意设需求函数 P = f Q 的需求价格弹性为 E d , 需求函数 P M = M + f Q M ) 常数的需求价格弹性为 E dM , 则对于同样的Q , E dM 与 E d 之间的关系为
M ()5 = 1+ ]E dM E d () Q f
()P dQ f Q 1 ()×证明: 6 = - ×= -E d ′ Q dP ()Q f Q () P [M + f Q ] M dQ 1 ××= - E dM = - () [M + f Q ]′ Q dP Q M
() () [M + f 1 f 1 M 1 Q ] Q ×= - ×= - ?-()()()f ′Q Q f ′Q Q f ′Q Q () () f Q 1 M f Q 1 ×-()×7 = - ()() ()Q f ′Q f Q Q f ′Q
() () 将式 5代入式 6可得
M M 证毕 = + = 1+ ] E dM E d E d E d () () Q Q f f
() 定理 4 表明, 当需求曲线向上平移 M > 0时, 需求价格弹性的绝对值将增大; 当需求曲线
向下平移 (< 0)="" 时,="" 需求价格弹性的绝对值将减少。="" m="">
定理 4 讨论的是需求曲线在垂直方向上平行移动时需求价格弹性绝对值的变化规律。 下
面我们来讨论, 需求曲线在水平方向上平行移动时需求价格弹性绝对值的变化规律。我们有如
下结论。
() () (定理 5 为任意设需求函数 P = f Q 的需求价格弹性为 E d , 需求函数 P M = f Q + M M ) 常数的需求价格弹性为 E dM , 则对于同样的 P , 即 P = P M , E dM 与 E d 之间的关系为
Q ()8 E dM = E d Q + M
P dQ 证明: E d = ? Q d P
P ) P M (M d Q + M dQ ?= ?= E dM Q + M dP M dP M Q + M
第 2 期 唐小我, 等: 需求价格弹性与边际收益研究 23
dQ Q d 因假定 = , 故有=, 从而有 P P M dP dP M
dQ P dQ P Q Q ?=??=证毕E dM = E d Q + M dP Q + M Q dP Q + M
() 定理 5 表明, 当需求曲线向左平移 M > 0时, 需求价格弹性的绝对值将减少; 当需求曲线
() 向右平移 < 0时,="" 需求价格弹性的绝对值将增大。m="">
113 特定边际收益条件下需求函数的确定
现在我们来讨论在给定边际收益后, 如何求需求函数, 使其边际收益正好就是给定的边际
收益。 我们先来看一个简单的情形。 我们有如下结论。
() 定理 6 设边际收益为M R = M , 式中,M 为非负常数。设对应的需求函数为 P = f Q , 则
A 必有 = + , 式中为任意非负常数。P M A Q
证明: 边际收益M R 与价格 P 之间的关系为
dP ()9 M R = P + Q dQ
() 因M R = M , 故由式 9可得
dP ()10 M = P + Q dQ
() 现分两种情况讨论式 10的解。
dP () ( 如果价格 = 为常数, 则= 0, 从而由式 19-) P f Q 62可得M = P 。 dQ
A 1 dP () ( ) 如果价格 = 不为常数, 则由式 10可得= -, 即 = + , 式中, 为P f Q Q M P P M A 1 dQ Q
任意正常数。
这两种情况可以统一表示为
A = + ()P M11 Q
证毕式中, A 为任意非负实数。
定理 6 表明, 如果边际收益为为常数M , 则存在无穷多个需求函数, 其边际收益均为常数
。 对于边际收益为的函数的情形, 我们有如下更一般的结论。M Q
() () 定理 7 设边际收益M R = g Q , 对应的需求函数为 P = f Q , 则必有
() g Q dQ ?A + P = QQ
式中, A 为任意非负实数。 dP () 证明: 由= 和= + M R g Q M R P 可得dQ Q
()() )(12 g Q dQ = P dQ + Q dP = d PQ
() 对式 12的两端求不定积分可得
() ()+ = 13 A g Q dQ PQ ?
式中为积分常数。 由式 (13) 可得 A
运 筹 与 管 理2001 年第 10 卷 24
() g Q dQ ?A () ()Q = 14 + P = f Q Q
为任意非负常 () () () (式 14对任何有意义的M R = g Q 都成立, 特别是对M R = g Q = M
M
数) 也成立。 将 () 代入式 (14) 可得 g Q = M M dQ ?A M Q A A ()= + = + 15 + P = M Q Q QQ Q
dP A () 由式 15可得 对的一阶导数为= - 。需求函数 = () P Q P Q 应是Q 的单调递减函 2 dQ Q
fA dP 数, 故Φ 0, 即- 为任意非负常数。证毕Φ 0, 即A Ε 0, 即2 dQ Q A () 定理 7 表明, 对于给定的边际收益M R = g Q , 存在无穷多个需求函数, 其边际收益均为
()= 。定理 7 还表明, 在任一需求曲线上叠加一条等轴双曲线后, 其边际收益保持不变。 M R g Q
最后我们指出, 边际收益不一定是常数或的单调递减函数。可以是的单M R Q M R Q
调
递增函数。 下面来看一个边际收益递增的例子。A 例 设需求函数为 P = , 式中A 为任意正常数, Α为大于 1 的正常数, 试证明对应的Α Q 边 际收益M R 必为Q 的单调递增函
数。 A 1- Α证明: T R = PQ = ?Q = A Q 。 由此可计算出边际收益M R 为 Α Q
dT R 1- Α- 1 - Α )()( M R = = A 1- ΑQ = A 1-ΑQ dQ
上式对Q 求一阶导数可得
dM R ) (- 1+ Α - Α- 1 ( )) (= 1-)(A 1Q > 0Α- = -ΑQ A ΑΑ dQ
这表明边际收益M R 为Q 的单调递增函
数。
2 结束语
() 本节主要研究如何由给定的 E d 或M R 反求相应的需求函数 P = f Q , 还研究了需求曲
的影响, 需另行研究。 线移动对 E d 的影响。 关于需求曲线移动对M R
参考文献
1 唐小我, 曾通, 李仕明. 管理经济分析——理论与应用[M . 成都: 电子科技大学出版社, 2000. 2 郭羽诞, 陈必大. 新编现代西方经济学教程[. 上海: 上海财经大学出版社, 1998.M 3 司春林, 顾国章, 郁义鸿. 现代微观经济学[M . 上海: 复旦大学出版社, 1996.
范文四：斜率弹性与垄断的边际收益
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#学习与探索#
斜率弹性与垄断的边际收益
潘金霞 王则柯*
摘 要: 在垄断一种商品的情形, 企 业的平 均收 益曲线 与市 场的需 求曲线 重合, 它 们互为反函数。一个广泛应用的事实是: 如果平均收 益曲线下降并 且不太弯的 话, 那么边际收益曲线与平均收益曲 线从纵 轴上同 一点出 发下 降, 并且 处处下 降得 比 平均收益曲线快。本文引入平均收 益曲线 A ( y ) 对 于供量 y 的斜率弹 性的概 念, R 给出上述事实的证明。 关键词: 垄断 下降的需求曲线 边际收益曲线 斜率弹性
一、市场需求曲线与平均收益曲线重合 经济学大量对付的是一元实函数。我们在数学里习惯的一元实函数, 都以横轴 世界经济文汇 2004 第 2 期 为自变量, 以纵轴为因变量。但是起源于马歇尔( Alfred Marshall, 1842 ) 1924) , 在经济 78 学里面有时候却恰恰相反, 以纵轴为自变量, 横轴为因变量。典型的是某种商品的需 求曲线和供应曲线, 商品的价格 P 决定商品的需求量或供应量 Q, 但是价格 P 总是 放在纵轴, 相应的需求量和供应量 Q 则放在横轴。大家知道, 函数描述的变量关系 是不能颠倒的。以需求曲线 D 为例, 如果误需求量 Q 为自变量、 价格 P 为因变量, 将 导致/ 对商品的需求量 Q 越大则商品的市场价格 P 越低0 的谬误。 可是, 经济学里面也有许多重要的曲线, 仍然是以横轴为自变量、 以纵轴为因变量, 例如成本曲线、 销售收入曲线、 生产函数等等。面对这种混杂的情况, 一个自然的想法, 是将经济学中的函数和图像都/ 改正0并且统一为数学里面那样, 以横轴为自变量、 纵轴 为因变量。的确有人这样做过。问题是标准的经济学著作都不接受这样的统一。原 来, 混杂有混杂的好处。典型的例子, 是混杂使用可以得到/ 垄断企业面对的市场需求 曲线 D 和该垄断企业的平均销售收益曲线 AR 重合0的好处。本来, 垄断企业面对的市 场需求 D 和该垄断企业的平均销售收益 AR 互为反函数, 现在因为/ 混杂0使用, 互为反 函数的关系轻易地表现为相应的曲线重合。这是垄断理论许多重要讨论的出发点。 二、边际收益比平均收益下降得快 在垄断的情形, 微观经济学关于企业利润最大化产量决策的讨论, 除了企业的平 均收益曲线与市场的需求曲线重合这个事实以外, 另外一个广泛应用的事实是: 如果 平均收益曲线 AR 下降并且不太弯的话, 那么边际收益曲线 MR 与平均收益曲线从纵 轴上同一点出发下降, 并且处处下降得比平均收益曲线快。例如, 见( Mas- colell, Whinston & Green, 1995, p386) 的图。 但是在标准的教科书中, 这个事实并没有得到应有的说明和论证。最接近的描
*
中山大学岭南学院。通信地址: 510275 广州 中 山大学 岭南学 院; Email: wangzk@ lingnan. net。本文 为 国家自然科学基金资助课题的研究成果, 批准号: 10131030。
WORLD
ECONOMIC
FORUM
述, 是(M. L. Katz& H. S. Rosen, 1998, p415) 图 13. 2 的说明文字: 边际收益曲线总是 在与需求曲线重合的平均收益曲线下方, 只有在开始的地方它们重合。多数教科书 只是叙述线性情形的命题或者再辅以证明: 如果平均收益曲线 AR 是下降的直线, 那 么边际收益曲线 MR 是与平均收益曲线从纵轴上同一点出发下降的直线, 但是下降 速度快一倍。
世界经济文汇
2004 第 2期
图1
79
事实上, 我们可以形成并且证明如下更一般的命题。 命题: 在企业垄断一种商品的情形,
如果( 与市场需求曲线 D 重合的) 企业平均 收益曲线 AR 下降并且不太弯的话, 那么边际
收益曲线 MR 与平均收益曲线 从纵轴上同一点出发下降, 并且处处下降得比平均收益曲线
快。 标准的证明: 记 AR( y) = f ( y) , y 是产量或者供量。据设, 我们有 fc( y ) < 0,="" 其中="" fc(="" y="" )="" 表示="" f="" (="" y="" )="" 的一阶导数。这时候,="" 企业的销售收益为="" r(="" y="" )="AR(" y="" )="" y="f" (="" y="" )="" y,="" 从而边际收="" 益为="" mr(="" y)="d" (="" f="" (="" y)="" y)="" dy="f" (="" y)="" +="" ydf="" (="" y)="" dy="f" (="" y)="" +="" y="" (="" y="" )="" 。="" fc="" 至此,="" 我们已经知道:="" mr(="" 0)="AR(" 0)="" ,="">
收益曲线从纵轴上 的同一点出发; 但是对于 y > 0, 我们有 MR ( y) < ar(="" y="" )="" ,="">
在所有其他地方, 边 际收益曲线位于平均收益曲线下方。 为了完成命题的证明, 现在考虑
MR( y) 的斜率 MRc ( y ) 和 AR( y) 的斜率 ARc ( y) 的关系。计算表明, MRc ( y ) = d( MR( y) ) / dy= d( f ( y) + y y ) ) / dy fc( = fc ( y) + fc( y) + y y ) = ARc( y )
+ fc ( y ) + y y) , fd( fd( 从而 MRc ( y ) - ARc ( y ) = fc ( y) + y y) , fd( 其
中 fd( y) 表示 f ( y ) 的二阶导数。 大家知道, 平面曲线的弯曲程度, 由曲线的曲率 J =
| fd( y ) | / [ 1+ ( fc( y ) ) 2 ] 3/ 2 量 度, 如见( 华罗庚, 1963, pp. 124- 125) 。
曲线/ 不太弯0, 要求| fd( y) | 比较小, 这就可以 做到 fc( y) + y y ) < 0,="">
有 MRc ( y) < arc(="" y)="">< 0,="" 说明在任何一点="" y="" ,="" 边际="" fd(="">
线快。命题证毕。
潘金霞
王则柯
斜率弹性与垄断的边际收益
注意, 如果因为平均收益曲线/ 不太弯0 就以为可以近似地要求 fd( y) = 0 从而在 证
明中写下/ 记 AR( y) = f ( y) , 那么我们有 AR( y ) = f ( y) U a - by, a > 0, b> 00, 于是 得到/ MR( y) U a - 2by0, 变成只讨论直线的情形, 损失就太大。上面那样只要求| fd
( y ) | 比较小, 保留的性质就多一些。美中不足的是从曲率 J = | fd( y ) | / [ 1 + ( fc ( y) ) 2] 3/ 2 比较小到二阶导数| fd( y) | 比较小, 实际上还有一段路要走。走通这条
路, 难免还要损失一些东西。 三、引进斜率弹性的证明 但是如果按照/ 弹性0的标准建构,
引入垄断企业的平均销售收益曲线 AR( y ) = f ( y) 对于商品供量 y 的斜率弹性 @ y ) =
( dfc( y) / fc( y) ) / ( dy/ y) 的概念, 我们可以提 ( 出以下紧凑得多的证明。 利用
斜率弹性的证明: MRc ( y ) - ARc ( y ) = fc ( y) + y y) = fc( y ) ( 1+ ydfc ( y ) /
fc( y) dy ) fd( = fc ( y) ( 1+ @ y) ) 。 ( 世界经济文汇 2004 第 2 期 曲线/ 不太弯
0的条件要求当商品供量作小变化的时候, 曲线斜率的相应变化比 80 较小, 也就是要求斜
率弹性 @ y ) 的绝对值比较小, 从而我们有( 1+ @ y) ) > 0。这时 ( ( 候, 如前容易得到
我们需要的 MRc( y) < arc="" (="" y)="">< 0,="" 说明在任何一点="" y="" ,="" 边际收益曲="">
均收益曲线快。证毕。 两相比较, 标准的证明需要从曲线的曲率 J = | fd( y ) | / [ 1+ fc( y) ) 2 ] 3/ 2 比较小的 要求到| y y) | 比较小的要求再到 fc( y) + y y ) < 0="">
转折, 当| fc( y) | fd( fd( 很大或者 y 很大的时候, 这些转折对曲线究竟需要/ 不太弯
0到什么程度, 会是比较苛 刻的要求。相反, 利用斜率弹性概念的证明从斜率弹性 @ y) 比
较小这个/ 一致成立0 ( 的事实出发, 可以说是一步到位地证明了命题, 具有好得多的信服
力。
参考文献: Katz, Michael L. & Harvey S. Rosen, 1998, Mic roeconomics, McGraw- Hill.
Mas- colell, Andreu, Michael D. Whinston & Jerry R. Green, 1995, Microeconomic Theory,
Oxford University Press, New York. 华罗庚, 1963/ 1978, 5高等数学引 论6 , 第一 卷
第二分册, 科学出版社, 北京。
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范文五：需求价格弹性与边际收益研究
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第 10 卷 第 2 期 运 筹 与 管 理 2001 年 6 月 O PERA T I S R ESEA RCH AND M ANA
GEM EN T SC IEN CE ON
. V o l 10, N o. 2 J un. , 2001
需求价格弹性与边际收益研究
唐小我, 倪得兵
( 电子科技大学 管理学院, 四川 成都 610054)
摘 要: 研究特定需求价格弹性条件下需求函数的确定问题和特定边际收益条件下需求
函数的确 定问题, 并给出了有关的计算公式. 研究结果表明, 为了实现既定的需求价格弹
性或边际收益, 对 应的需求函数有无穷多个. 关键词: 需求价格弹性; 边际收益; 需求函
数 中图分类号: F 22415; 文献标识码: A 文章编号: 100723221 ( 2001) 0220020205
A bs tra c t: T h is p ap er stud ies the p rob lem of decid ing dem and funct ion under the cond it ion of
g iven dem and 2 rice ela st icity and the p rob lem of decid ing dem and fo rm u la s under the cond i2 p t ion of g iven m a rg ina l retu rn, and g ives com p u t ing fo rm u la s. T he resu lt s show tha t there a re retu rn.
Ke y w o rds : dem and 2 rice ela st icity; m a rg ina l retu rn; dem and funct ion p
0 问题的提出
P dQ 如果给定了需求函数 P = f (Q ) , 我们可以根据定义计算出需求价格弹性 E d (Q )
= 和 Q dP d ( PQ ) 对应的边际收益 M R (Q ) = . 显然, 对于任意给定的函数 P = f (Q ) ,
我们可以唯一地确 dQ 定出 E d (Q ) 和M R (Q ) .现在的问题是, 如果 E d (Q ) 或M R (Q )
既定, 我们能否唯一地确定出与 之相对应的需求函数 P = f (Q ) .
收稿日期: 2000211211 基金项目: 国家杰出青年科学基金项目 (70725002) 作者简介:
唐小我, (19552) , 男, 博士, 教授, 博导, 现任电子科技大学管理学院院长, 中国系统工
程协会常务理事.
infin ite dem and funct ion s w h ich can rea lize g iven dem and 2 rice ela st icity and g iven m a rg ina l p
A S tud y of D em a nd 2p rice E la s tic ity a nd M a rg ina l R e tu rn
(M anag em en t S chool , U n iv ersity of E lectron ic S cience and T echnology of C heng d u , cheng d u , 610054, C h ina ) TAN G X iao 2 o N I D e 2b ing w
第 2 期 唐小我, 等: 需求价格弹性与边际收益研究
21
1 问题的解决
111 特定需求价格弹性条件下需求函数的确定
我们先讨论两种简单的情形.
1 如果需求函数为 P = A Q - Α(A 和 Α均为正常数) , 则需求价格弹性为 E d = 现
在我们想 Α 1 了解的是, 如果需求价格弹性 E d = , 需求函数应有什么特点. 我们有如下
结论. Α 1 定理 1 如果需求价格弹性 E d = , 式中, Α为正常数, 则对应的需求函数必为
P = Α - Α A Q , 其中, A 为任意正常数.
证明 设 E d = -
1
AQ
A a A , 式中, A = . 现在我们想了解的是, 如果需价格弹性 E d = 1, 式中, A 为任意正常数, 则 Q b Q
积分常数. 于是有 P - Α= eCQ , 即 P = e- C Α - Α 令 A = e- cΑ, 则有 P = A Q - Α 证毕 . Q . 定理 1 表明, 需求价格弹性 E d 为常数, 其中, A 为任意正常数. 1
1
对应需求函数有什么特点. 我们有如下结论. 定理 2 如果需求价格弹性 E d = 1-
应的需求函数必为 P = C (A - Q ) , 式中, C 为任意正常数. 证明 设 E d = 1-
由式 ( 1) 可得
( 2) ln P = ln (A - Q ) + lnC = ln [ C (A - Q ) ] 式中, lnC 为积分常数, C 为任意正常数. 由式 ( 2) 可得 P = C (A - Q ) . 证毕 对任意正常数, C , P = C (A - Q ) 表示需求函数簇.定理 2 表明, 对于同一价格需求弹性 E d = 1A , 有无穷多个需求函数与之相对应. Q
定理 2 的几何意义为, 如果一组线性需求曲线相交于横轴上的某一定点 (A , Q ) , 则对于任 意 Q 0 ( 0?Q 0 ?A ) , 各线性需求曲线在 Q = Q 0 处的需求价格弹性相等, 如图 1 所示, 在图 1 中, 在点 B 1, 2 和 B 3 处的需求价格弹性都相等. B 我们有如下结论.
? 定理 3 设需求价格弹性 E d = g (Q ) , 则对应的需求函数必为 P = C e Q g (Q ) , 式中, C 为任 意正常数.
1 dQ
- Α
如果需求函数为 P = a - bQ , 式中, a 和 b 均为正常数, 则需求价格弹性 E d = 1-
下面我们来讨论需求价格弹性 E d 为 Q 的一般性函数时, 对应的需求函数应有什么特点.
Α
, 则-
1
A A P dQ Q- A P dQ dQ , 则 1= × ,即 = × , 即Q - A = P ,即 Q Q Q dP Q Q dP dP dP dQ d (Q - A ) d (A - Q ) = = = P Q- A Q- A A- Q
Α
=
P dQ × , 即Q dP
1 dP
A , 式中, A 为任意非负常数, Q 满足 0 Φ Q Φ A , 则对 Q
Α
( Α为正常数) 的充分必要条件需求函数为 P =
a = 1bQ
ΑP
=
dQ
Q
, 即-
1
a
ln P = lnQ + C , 其中 C 为
( 1)
22
运 筹 与 管 理 2001 年第 10 卷
P dQ dP 证明 设 E d = g (Q ) , 则 g (Q ) = × ,即 = Q dP P
dQ Q g (Q )
( 3)
由式 ( 3) 可得 ln p =
?g (Q ) dQ + lnC Q
1
( 4)
式中, ln c 为积分常数, C 为任意正常数. 令 C ′ e lnc , 由式 =
? ( 4) 可得 P = C ′ Q g (Q ) dQ 证毕 e
1
由于 C 取值的任意性, 定理 3 表明, 有无数多个需求 函数对应于同一需求价格弹性 E d = g (Q ) . 定理 3 还表
明, 如果两个需求函数仅相差一个常数因子, 则这两个需 F ig 1 Geom elric m ean ing
of theo rem 2 求函数的需求价格弹性具有相同的表达方式 ( 关于 Q ) . 112 需求曲线移动对需求价格弹性的影响 前面我们研究了特定需求价格弹性 ( 关于 Q 的函数) 下确定需求函数的问题.现在的问题 是, 需求曲线的移动会对需求价格弹性什么的影响. 对于这一问题, 我们有如下结论. 定理 4 设需求函数 P = f (Q ) 的需求价格弹性为 E d , 需求函数 P M = M + f (Q ) (M 为任意 常数) 的需求价格弹性为 E dM , 则对于同样的 Q , E dM 与 E d 之间的关系为
E dM = [ 1+ M ] Ed f (Q )
图 1 定理 2 的几何意义
( 5) ( 6)
证明:
E dM
P dQ f (Q ) 1 × = × ′ Q dP Q f (Q ) PM dQ [M + f (Q ) ] 1 = × = × Q dP M Q [M + f (Q ) ] ′ Ed = -
1 f (Q ) 1 M 1 = ? ( )× ( ) (Q f ′ ) Q f ′ Q Q f ′ Q f (Q ) 1 M f (Q ) 1
= × ( )- ( )× (Q Q f ′ Q f Q Q f ′ ) = Q
[M + f (Q ) ]
×
( 7)
将式 ( 5) 代入式 ( 6) 可得
E dM =
Ed +
M M ] Ed E d = [ 1+ f (Q ) f (Q )
证毕
定理 4 表明, 当需求曲线向上平移 (M > 0) 时, 需求价格弹性的绝对值将增大; 当需求曲线 向下平移 (M < 0)="" 时,="" 需求价格弹性的绝对值将减少.="" 定理="" 4="" 讨论的是需求曲线在垂直方向上平行移动时需求价格弹性绝对值的变化规律.="" 下="" 面我们来讨论,="" 需求曲线在水平方向上平行移动时需求价格弹性绝对值的变化规律.="" 我们有如="" 下结论.="" 定理="" 5="" 设需求函数="" p="f" (q="" )="" 的需求价格弹性为="" e="" d="" ,="" 需求函数="" p="" m="f" (q="" +="" m="" )="" (m="" 为任意="" 常数)="" 的需求价格弹性为="" e="" dm="" ,="" 则对于同样的="" p="" ,="" 即="" p="P" m="" ,="" e="" dm="" 与="" e="" d="">
E dM = Q Q+M Ed
( 8)
证明: E d =
P dQ ? Q dP
E dM =
PM PM d (Q + M ) dQ ? = ? Q+M dP M Q+M dP M
第 2 期 唐小我, 等: 需求价格弹性与边际收益研究 因假定 P = P M , 故有
dQ dQ = , 从而有 dP dP M P dQ Q P dQ Q ? = ? ? = E dM = Ed Q+M dP Q + M Q dP
Q + M
23
证毕
定理 5 表明, 当需求曲线向左平移 (M > 0) 时, 需求价格弹性的绝对值将减少; 当需求曲线 向右平移 (M < 0)="" 时,="" 需求价格弹性的绝对值将增大.="">
113 特定边际收益条件下需求函数的确定
现在我们来讨论在给定边际收益后, 如何求需求函数, 使其边际收益正好就是给定的边际 定理 6 设边际收益为M R = M , 式中, M 为非负常数. 设对应的需求函数为 P = f (Q ) ,
则
A + M , 式中 A 为任意非负常数. Q 证明: 边际收益 M R 与价格 P 之间的关系为 M R= P+ Q
收益. 我们先来看一个简单的情形. 我们有如下结论.
必有 P =
dP dQ dP dQ
( 9)
因M R = M , 故由式 ( 9) 可得
M = P+ Q
( 10)
现分两种情况讨论式 ( 10) 的解.
dP 如果价格 P = f (Q ) 为常数, 则 = 0, 从而由式 ( 19- 62) 可得 M = P . dQ A1 dP
如果价格 P = f (Q ) 不为常数, 则由式 ( 10 ) 可得 Q =M - P, 即P= + M , 式中, A 1 为 dQ Q 任意正常数.
这两种情况可以统一表示为
P=
A +M Q
( 11)
式中, A 为任意非负实数.
证毕
定理 6 表明, 如果边际收益为为常数M , 则存在无穷多个需求函数, 其边际收益均为常数 定理 7 设边际收益M R = g (Q ) , 对应的需求函数为 P = f (Q ) , 则必有
P= g ?(Q ) dQ + A Q
M . 对于边际收益为 Q 的函数的情形, 我们有如下更一般的结论.
Q
式中, A 为任意非负实数.
证明: 由 M R = g (Q ) 和 M R = P + Q 对式 ( 12) 的两端求不定积分可得
dP 可得 dQ g (Q ) dQ = P dQ + Q d P = d ( PQ )
g ?(Q ) dQ = PQ
( 12)
A+
( 13)
式中 A 为积分常数. 由式 ( 13) 可得
24
运 筹 与 管 理 2001 年第 10 卷
g ?(Q ) dQ + A Q
P = f (Q ) =
Q
( 14)
式 ( 14) 对任何有意义的 M R = g (Q ) 都成立, 特别是对 M R = g (Q ) = M (M 为任意非负常 数) 也成立. 将 g (Q ) = M 代入式 ( 14) 可得
P= M ?dQ + A = M Q + A = M + A Q Q Q Q
Q
( 15)
由式 ( 15) 可得 P 对 Q 的一阶导数为 数, 故
dP A = - 2.需求函数 P = f (Q ) 应是 Q 的单调递减函 dQ Q
dP A Φ 0, 即- 2 Φ 0, 即 A Ε 0, 即 A 为任意非负常数. 证毕 dQ Q 定理 7 表明, 对于给定的边际收益 M R = g (Q ) , 存在无穷多个需求函数, 其边际收益均为 定理 7 还表明, 在任一需求曲线上叠加一条等轴双曲线后, 其边际收益保持不变. M R = g (Q ) .
最后我们指出, 边际收益 M R 不一定是常数或 Q 的单调递减函数.M R 可以是 Q 的单调 递增函数. 下面来看一个边际收益递增的例子. 例 设需求函数为 P =
A Α, 式中 A 为任意正常数, Α为大于 1 的正常数, 试证明对应的边 Q
(1+ Α )
际收益 M R 必为 Q 的单调递增函数. 证明: T R = PQ =
2 结束语
本节主要研究如何由给定的 E d 或 M R 反求相应的需求函数 P = f (Q ) , 还研究了需求曲 线移动对 E d 的影响. 关于需求曲线移动对 M R 的影响, 需另行研究. 参考文献
[ 1 ] 唐小我, 曾通, 李仕明. 管理经济分析——理论与应用 [M ]. 成都: 电子科技大学出版社, 2000. [ 2 ] 郭羽诞, 陈必大. 新编现代西方经济学教程 [M ]. 上海: 上海财经大学出版社, 1998. [ 3 ] 司春林, 顾国章, 郁义鸿. 现代微观经济学 [M ]. 上海: 复旦大学出版社, 1996.
上式对 Q 求一阶导数可得 dM R ) ) = A ( 1- Α ( - Α Q - Α- 1 = A Α( Α 1) Q dQ 这表明边际收益 M R 为 Q 的单调递增函数.
A 1- Α . 由此可计算出边际收益 M R 为 Q Α? = A Q Q dT R ) ) = A ( 1- Α Q 1- Α- 1 = A ( 1- Α Q - Α MR= dQ
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