范文一：基于_有界变差函数的性质研究

Λ基于 2有界变差函数的性质研究

1 2 朱建国,张 洁

( ) 1. 南京工业职业技术学院基础课部 ,江苏 南京 210046

( )2. 南京信息工程大学数理学院 ,江苏 南京 210044

ΛΛ, 讨论了 2有界变差函数与有界变差函数的联系. 同时 , 将本性变 [摘要 ] 主要研究了 2有界变差函数的性质

Λ差的概念推广到了 2本性变差 , 并给出了相关结果的证明.

ΛΛ[关键词 ] 有界变差函数 ,2有界变差函数 , 本性变差 ,2本性变差

( ) [中图分类号 ] O174. 1 [文献标识码 ] A [文章编号 ] 1001 24616 201002 20021 205

ΛS tudy on the Na ture of2Fun c t ion of Boun ded Va r ia t ion

1 2Zhu J ia n guo, Zha n g J ie ( )1. B a sic D ep artm en t, N an jing In stitu te of Indu stry Techno logy, N an jing 210046 , Ch ina

( )2. Co llege of M a th & Physic s, N an jing U n ive rsity of Info rm ation Sc ience & Techno logy, N an jing 210044 , Ch ina

ΛA b stra c t: Th is p ap e r m a in ly expound s the na tu re of2func tion of bounded va ria tion, d iscu sse s the connec tion be tween

Λthe2func tion of bounded va ria tion and the func tion of bounded va ria tion. A t the sam e tim e, th is p ap e r exp and s the

Λconcep t of e ssen tia l va ria tion to2func tion of bounded va ria tion, and give s the re levan t ju stifica tion.

ΛΛKey word s: func tion of bounded va ria tion, 2func tion of bounded va ria tion, e ssen tia l va ria tion, 2e ssen tia l va ria tion [ 1 ] ΛW a te rm an D 在 1972 年首次提出了 2有界变差函数的概念 , 作为对有界变差函数的一种推广 , 它

[ 1, 2 ] Λ在数学领域的经典分支 Fou rie r级数的研究中得到了广泛的应用 . 随后 , W a te rm an D 再次对 2有界变

[ 3 ] ΛΛ差函数的性质进行了一系列的讨论 . 本文首先讨论了 2有界变差函数与有界变差函数的联系 , 并在 2

ΛΛ 有界变差函数的性质基础上进一步研究了 2有界变差函数的连续性 , 并将本性变差的概念推广到了 2

Λ 本性变差. 本文所得到的一些新的结果 , 都将使我们对 2有界变差函数有一个更深刻的认识.

Λ 在证明主要结果之前 , 先回顾一下有界变差函数和 2有界变差函数的定义 , 并给出一个重要引理.

[ 4 ] ( ) 定义 1设 f x 是定义在区间 I = [ a, b ] 上的实函数 , 对 [ a, b ] 的任一分划

π : a = x<><>< x="b0" 1="" n="" n="" n="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" |="" f="" x-="" f="" x|="" 为="" f="" x="" 在="" [="" a,="" b="" ]的全变差="" ,="" 记作="" v="" f;="" i,作变差和="" |="" f="" x-="" f="" x|="" ,="" 我们称="" supi="" i="" -="" 1="" i="" i="" -="" 1="" π="" 1="" 1="">

即

n

( ) ( ) ( ) su | f x- f x| . V f; I= p i i - 1 ?π1

( ) ( ) ( ) ( ) 如果 V f; I< +="" 那么就称="" f="" x="" 是区间="" [="" a,="" b="" ]="" 上的有界变差函数="" ,="" 记作="" f="" x="" v="" [="" a,="" b="" ]="" .="" 1="" ]="" 1="" λ="" (="" )="" λ="" 定义="" 2设="{}" 为一给定的非降正数列="" ,="?." 设="" f="" x="" 是定义在区间="" i="[" a,="" b="" ]上的n="" λn="1">

( ) ( ) ( ) 实函数 , { I= [ a, b] } 为 [ a, b ] 上互不重叠的区间列 , 记 f I= f b- f a. 若对任意的 { I} , 都有n n n n n n n

收稿日期 : 2009 208 216.

( ) () 基金项目 : 国家自然科学基金 70871061 、江苏教育科学“十一五 ”规划重点课题 B - b /2009 /01 /018 、南京信息工程大学精品课程教改 ( ) 项目 07 KC0060 .

通讯联系人 :朱建国 ,副教授 ,研究方向 :基础数学. E2m a il: zhu jg@ n iit. edu. cn

?( ) | f I| n < +="" 1="">

( ) ( ) ( ) λ( ) ΛΛ则称 f x 是区间 I上的 2有界变差函数 , 记作 f ?B V I, 或 f x ? {} B V I.n

Λ由上面定义可以看出 ,2有界变差函数的定义不直接依赖于这种函数的定义区间的分划. 下面的引

Λ理给出了 2有界变差函数的几种等价定义. [ 3 ] 引理 1以下三个命题是等价的 :

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ΛΛ 1 f x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 f x ?B V I,( ) 2 存在 M > 0, 使对 [ a, b ] 上的任何不相重叠的闭区间列 { [ a, b] } , 有n n ? ( ) ( ) | f b - f a |n n ?M , ?λ 1 n

( ) 3 存在 M > 0, 使对 [ a, b ] 上的任何有限多个互不重叠的闭区间 [ a, b], [ a, b], , [ a, b], 有1 1 2 2 N N N ( ) ( ) | f b - f a |n n ?M . ?λ 1 n

[ 3 ].详细的证明参见

( ) 由引理 1的 2 , 自然可以引入[ 3 ] ( ) Λ定义 3设 f x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 称? ( ) | f I |n ( ) f; I= sup VΛ : I< i="" n="" λ1="" n="">

( ) Λ为 f x 在区间 I上的 2全变差.

( ) 而由引理 1 的 3 , 我们很容易得出定义 3的一个等价定义.

( ) Λ 定义 3 ′ 设 f x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 我们称 N 1 ( ( ) ( ) ) Vf; I= sup | f b- f a|Λ n n ?[ a, b ] λ 1 n

( ) Λ为 f x 在区间 I上的 2全变差 , 其中 sup 指取遍 [ a, b ] 上任何有限多个互不重叠的闭区间 [ a, b], [ a,1 1 2 [ a, b ]

b], , [ a, b] 的上确界. 2 N N

Λ1 2有界变差函数与有界变差函数的联系

Λ我们知道 2有界变差函数的定义不直接依赖于这种函数的定义区间的分划 , 这和一般有界变差函数

Λ的定义不同. 但是 ,2有界变差函数作为对有界变差函数的一种推广, 它们之间还是有一定联系的 .

λ( ) ( ) Λ Λ 定理 1 设= {} 是非降的正数列 , 且有界. 若 f x 是2有界变差函数 , 则此时 f x 是通常意义n

下的有界变差函数.

λ 证明 由题设可知 , 存在 M > 0, 使得 0 < ,="" π="" n="" .="" 考虑对="" [="" a,="" b="" ]="" 的任一分划n="">

π : a = x<><>< x="b,0" 1="" m="">

( ) ( ) Λ 则 [ x, x], [ x, x], , [ x, x] 是 [ a, b ] 上的互不重叠的闭区间列. 因为 f x ?B V I, 故存在 K >0 1 1 2 m - 1 m

0, 使得

m ( ) ( ) | f x - f x |n 1 n - ? K, ? λ 1 n从而有

m m m ( ) ( ) ( ) ( ) | f x - f x | | f x - f x |n n - 1 n n - 1 ( ) ( ) ?MM K.?| f x- f x| = M n n - 1 ?? ?λM1 1 1 n

于是

m

( ) ( ) sup| f x- f x| ?M K, n n - 1 ? π1

( ) ( ) 即 V f; [ a, b ] ?M K, f x 是有界变差函数.

Λ2 2有界变差函数的性质

Λ2有界变差函数作为对有界变差函数的推广 , 它在其定义区间 [ a, b ] 上的许多性质 , 例如连续性 , 有

— 22 —

[ 4, 5 ] 些是与有界变差函数的性质 是一致的. 下面的 3个定理在文献 [ 3 ] 中有所表述.

( ) ( ) Λ定理 2 若 f x 是 [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 则 f x 为 [ a, b ] 上的有界函数.

) ( ) Λ) ( 定理 3 若 f x 是区间 [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 则对任意 x ? [ a, b, f x + 0 存在 ; 对 Π x ?

( ( ) a, b ], f x - 0 存在.

( ) ( ) Λ定理 4 若 f x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 则 f x 的不连续点的全体是可列集.

Λ, 先回顾一下有关本性变差的一些内容. 文献 [ 6 ] 中提到的一个函数在 为了引入 2本性变差的概念

(区间 [ a, b ] 上规则的定义 , 为了本文的需要 , 下面的定义已作了合理的推广 不仅仅局限于有界变差函数 ) 类 .

( ) ( ) 4 设 f x 是定义在区间 [ a, b ] 上的实函数 , 且 f x 在 [ a, b ] 上任一点的左、右极限都存在. 若定义

( ) ( ) ( ) ( ) f a = f a + 0 , f b= f b - 0 , 且

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [m in{ f x - 0 , f x + 0 } , m ax{ f x - 0 , f x + 0 } ], Π x ? a, b,f x ?

( ) ( ) ( ) ( 则称 f x 在区间 [ a, b ] 上是规则的 no rm a l, 或称 f x 在区间 [ a, b ] 上没有外部的跳跃点 exte rna l ) sa ltu s.

Λ 事实上 , 对于 2有界变差函数 , 我们将证明类似的结果也是成立的. ( ) ( ) ( )Λ定理 5 设 f x 是定义在区间 I = [ a, b ]上的2有界变差函数 , 若 f x 在 I上是规则的 , 则 Vf; I Λ

( ) 只与 f x 在 I上连续点的取值有关.

( ) ε 证明 对任意的 > 0, 由定义 3 ′可知存在不相重叠的闭区间 [ a, b] n = 1, 2, , N 使得n n N ε 1 ( ) ) ( ) ( Vf; I< |="" f="" b="" -="" f="" a="" |="" +="" ,λ="" n="" n="" λ2="" 1="" n="">

αβ) ( ) ( αβ 因此 , 如果能找到不相重叠的闭区间 [,] n = 1, 2, , N ′使得 和 为 f x 的连续点 , 且有n n n n N N ′ ε 1 1( ) ( ) β) (α) (| f b- f a| | f - f | + ,? n n n n ??λλ 2 n 1 n 1

那么就可得 N ′ 1( ) β) (α) ε( Vf; I< |="" f="" -="" f="" |="" +,="" λ="" n="" n="" 1="" n="">

( ) ( ) 也就是说 Vf; I只与 f x 在连续点的取值有关.Λ

1( ) ( ) ( ) (( ) 事实上 , 任取一项 | f b- f a| , 若 b为 f x 的不连续点 对 a为 f x 的不连续点的情形可 n n n n λn

) 进行如下类似的处理 , 则由题设可知

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m ax{ | f a- f b- 0 | , | f a- f b+ 0 | } ?| f b- f a| ,n n n n n n

( ) 由定理 3和定理 4可以取 f x 的连续点 b′充分接近 b并满足n n

ε( ) ( ) ) ) ( ( | f b- f a| < |="" f="" b′-="" f="" a|="" +="" n="" n="" n="" n="" .="" n="" 1="" 2="" λ="" 1="">

( ) ( 假如 b不是另外的 [ a, b] k ? n 的端点 , 则还可使 b′满足 [ a, b′]代替 [ a, b]后与其它的 [ a, b] kn k k n n n n n k k ) ? n 仍不重叠. 如果 b是另外一个 [ a, b] 的端点 , 那么它必为 [ b, c] 的形式 , 这时n l l n n

) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( | f c- f a| ?| f b- f a| +| f c- f b| . 3 n n n n n n

( ) λλ如 3 式中等号成立 , 将两个闭区间 [ a, b]、[ b, c]换成一个闭区间 [ a, c], 并让它对应 m in{,} , n n n n n n n l

λλλλλ记 m ax{,} =, 然后令 [ a, b] 相应于 , [ a, b] 相应于 , 如此等等 , 显然这样得到的新 n l k k +1 k +1 k k +2 k +2 k +1

和式 ′满足 ? N 1) ( ) ( | f b- f a| ? ′, n n ??λ1 n

故有

ε( ) Vf; I< ′+="" .="" λ="">

( ) 再对得到的新的闭区间列的使 f x 不连续的端点进行如上的同样处理 , 由于开始时闭区间的个数 N

— 23 —

( ) ( ) 是不变的 , 且若有使 f x 不连续的两个区间的共同端点使 3 成立等号 , 则经过如上处理后得到的新的

( ) 闭区间列的个数减少 1. 由此 , 可不妨设对于初始的 N 个闭区间 , 若存在两个区间共同的使 f x 不连续的

( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ( 端点 , 那么它们使 3 式成立不等号. 而若 3 式成立不等号 , 则 f c- f b与 f b- f a必异号. n n n n

) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ( 先设 f a< f="" b,="" f="">< f="" b,="" 这时可取="" b′使得="" f="" b′充分接近="" m="" ax{="" f="" b+="" 0="" ,="" f="" b-="" 0="" }="" ,="" 且="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" n="" ε)="" (="" )="" )="" (="" )="" (="" (="" ,="" |="" f="" b-="" f="" a|="">< |="" f="" b′-="" f="" a|="" +="" n="" n="" n="" n="" n="" 1="" 2="" λ="" 1="" k="" ε="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" |="" f="" c-="" f="" b|="">< |="" f="" c-="" f="" b′|="" +.n="" n="" n="" n="" n="" 1="" 2="" λ="" 1="">

( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( f a> f b, f c> f b的情形 , 则可选 b′, 使 f b′充分接近 m in{ f b+ 0 , f b- 0 } ; 在 而对 n n n n n n n n

( ) 这两种情况下 , 都将 [ a, b]、[ b, c] 代替为 [ a, b′]、[ b′, c]. 总之 , 对每个以 f x 的不连续点为端点 n n n n n n n n

αβ) ( 的闭区间 [ a, b] 都作如上的处理 , 那么我们就可得到所需要的闭区间 [,] n = 1, 2, , N ′. n n n n

Λ 由定理 5, 我们给出的 2本性变差的概念如下 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Λ5 设 f x , g x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 若 f x = g x a. e. x ? I且 g x 定义

( ) ) ( Λ在 I上是规则的 , 那么称 Vg; I为 f x 在 I上的 2本性变差 , 记做Λ

( ) ( ) Vf; I= Vg; I. ΛΛ 2ess

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Λ定理 6 设 f x , g x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 若 f x = g x a. e. x ? I且 g x

在 I上是规则的 , 则

( ) ( ) Vg; I?Vf; I.Λ Λ

( ( ) ) ) ( ( ) ( ) 证明 令 E = I \ { x: f x ? g x } ? { y: y是 g x 的不连续点 } . 因为 g x 在 I上是规则的 , 故

( ) ( ) ε 由定理 5可知 , Vg; I的值只与 g x 在 E上的取值有关 , 即对任意的> 0, 存在 I上有限个不相重叠的 Λ

( ) 闭区间 [ a, b], 其中 a, b? E n = 1, 2, , N , 使得 n n n n N 1 ( ) ε( ) ( ) Vg; I< |="" g="" b="" -="" g="" a="" |="" +.λ="" n="" n="" λ="" n="" 1="" 又显然="" n="" n="" 1="" 1(="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" (="" )="" |="" g="" b-="" g="" a|="|" f="" b-="" f="" a|="" vf;="" i,?="" λ="" n="" n="" n="" n="" λλ1="" 1="" n="" n="">

从而

( ) ( ) εVg; I?Vf; I+,Λ Λ

( ) ( ) ε最后 , 由 的任意性 , 即知 Vg; I?Vf; I.Λ Λ

Λ下面给出引入 2本性变差概念以后所得到的主要结果 , 此结果推广了对于有界变差函数情形的结 果 : ( ) ( ) V g; I. Vf; I= infess ( ) g?B V If = ga. e. x?I

( ) Λ定理 7 设 f x 是区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 , 则有

( ) ( )Vg; I. Vf; I= infΛ Λ2ess g ?ΛB V ( I) f = ga. e. x?I

( ) ( ) ( ) Λ 证明 首先 , 对于任意的区间 I = [ a, b ] 上的 2有界变差函数 g x , 且 f x = g x a. e. x ? I, 则

Λ由定理 6及 2本性变差的定义可知 ( ) ( ) f; I?Vg; I,VΛΛ 2ess

因此 ,

( ) ( ) ( )Vg; I. 1 Vf; I? infΛ Λ2ess g ?ΛB V ( I) f = ga. e. x?I

( ( ) ) 其次 , 由定理 3和定理 4我们可以适当改变 f x 在其不连续点的取值 , 使得到的新函数 ?gx 在 I上是规则

的. 又显然此时有 ( ) ( ) f x = gx a. e. x ? I,?

— 24 —

从而由定理 6, 可得 ( ) ( ) ( ) ( )Vf; I= V?g; I? infVg; I, 2 Λ ΛΛ 2ess g?ΛB V ( I) f = ga. e. x?I

( ) ( ) 最后由 1 和 2 , 即得所证.

[参考文献 ]

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117.

Λ[ 2 ] W a te rm an D. O n the summ ab ility of fou rie r se rie s of func tion s of2bounded va ria tion [ J ]. Stud ia M a th, 1976 , 55: 97 2109.

Λ[ 3 ] W a te rm an D. O n2bounded va ria tion [ J ]. Stud ia M a th, 1976, 57: 33245.

[ 4 ] 夏道行 ,严绍宗. 实变函数与应用泛函分析基础 [M ]. 上海 :上海科学技术出版社 , 1987.

[ 5 ] 周民强. 实变函数论 [M ]. 北京 :北京大学出版社 , 2001.

[ 6 ] Pau lo R Zingano, Stan ly L Ste inbe rg. O n the ha rdy2littlewood theo rem fo r func tion s of bounded va ria tion [ J ]. Siam J M a th A 2

( ) na l, 2002 , 33 5 : 1 199 21 210.

[责任编辑 :丁 蓉 ]

() 上接第 20 页

( ) 由引理 2和引理 3的等号成立条件可得 2 等号成立当且仅当 K= K= = K. 定理 1得证. 1 2 n

有关平均值理论的一些新成果可参考文献 [ 5, 6 ]; 有关几何不等式的新成果可参考文献 [ 13, 14 ].

[参考文献 ]

( ) [ 1 ] Ho lland F. O n a m ixed a rithm e tic2m ean, geom e tric2m ean inequa lity[ J ]. M a th Comp e tition s, 1992 5 : 60264.

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2005 , 395: 2472263.

[ 3 ] Ked laya K. P roof of a m ixed a rithm e tic2m ean, geom e tric2m ean inequa lity[ J ]. Am e r M a th Mon th ly, 1994, 101: 355 2357. [ 4 ] Mond B , J. A m ixed a rithm e tic2m ean ha rmon ic2m ean m a trix inequa lity[ J ]. L inea r A lgeb ra App l, 1996, 237 /238:

449 2454.

( ) [ 5 ] 孙燮华. 关于混合算术平均 2几何平均不等式 [ J ]. 中国计量学院学报 , 2002 , 13 1 : 26228.

( ) [ 6 ] Yuan J un, L i A ijun. Geom e tric ve rsion of m ixed m ean inequa litie s[ J ]. Tam kang J M a th, 2009 , 40 2 : 1292137.

[ 7 ] Ga rdne r R J. Geom e tric Tomograp hy[M ]. Cam b ridge: Cam b ridge U n ive rsity P re ss, 1995.

[ 8 ] Schne ide r R. Convex Bod ie s: The B runn2M inkow sk i Theo ry[M ]. Cam b ridge: Cam b ridge U n ive rsity P re ss, 1993.

( ) [ 9 ] Mo szyńska M. Q uo tien t sta r bod ie s, in te rsec tion bod ie s and sta r dua lity[ J ]. J M a th A na l App l, 1999, 232 1 : 45260.

[ 10 ] Mo szyńska M. Se lec ted Top ic s in Convex Geom e try[M ]. B e rlin: Sp ringe r V e rlag, 2005.

[ 11 ] B eckenbach E F, B e llm an R. Inequa litie s[M ]. B e rlin: Sp ringe r, 1961.

[ 12 ] H a rdy G H , L ittlewood J E, P lya G. Inequa litie s[M ]. 2 nd ed. Cam b ridge: Cam b ridge U n ive rsity P re ss, 1952.

( ) [ 13 ] 袁俊. L 逆等周不等式 [ J ]. 南京师大学报 : 自然科学版 , 2009, 32 2: 22 224. p

Γ( ) [ 14 ] 朱先阳 , 冷岗松. 混合新几何体 K的不等式 [ J ]. 数学学报 , 2008 , 51 4 : 787 2794. ( 2p, i)

[责任编辑 :丁 蓉 ]

— 25 —

范文二：【word】 基于Λ-有界变差函数的性质研究

基于Λ-有界变差函数的性质研究

第33卷第2期

2010年6月

南京师大(自然科学版)

JOURNALOFNANJINGNORMALUNIVERSITY(NaturalScienceEditi

on)

Vo1.33No.2

Jun,2010

基于.有界变差函数的性质研究

朱建国,张洁

(1.南京工业职业技术学院基础课部,江苏南京210046)

(2.南京信息工程大学数理学院,江苏南京210044)

[摘要】主要研究了一有界变差函数的性质,讨论了A一有界变差函数与有界变差函数的联系.同时,将本性变

差的概念推广到了以.本性变差,并给出了相关结果的证明.

[关键词]有界变差函数,以一有界变差函数,本性变差,A一本性变差

[中图分类号]0174.1[文献标识码]A[文章编号】10014616(2010)02-0021-05

StudyontheNatureofA-FunctionofBoundedVariation

ZhuJianguo’,ZhangJie

(1.BasicDepartment,NanjingInstituteofIndustryTechnology,Naming210046,China)

(2.CollegeofMath&Physics,Nanji”gUniversityofInformationScience&Technology,Naming210044,China)

Abstract:ThispapermainlyexpoundsthenatureofA-functionofboundedvariation,discussestheconnectionbetween

theA—functionofboundedvariationandthefunctionofboundedvariation.Atthesametime,thispaperexpandsthe

conceptofessentialvariationtoA—functionofboundedvariation,andgivest

herelevantjustification.

Keywords:functionofboundedvariation,A-functionofboundedvariation,essentialvariation,A—essentialvariation

WatermanD在1972年首次提出了以.有界变差函数的概念?J,作为对

有界变差函数的一种推广,它

在数学领域的经典分支Fourier级数的研究中得到了广泛的应用I2J.

随后,WatermanD再次对.有界变

差函数的性质进行了一系列的讨论].本文首先讨论了A一有界变差

函数与有界变差函数的联系,并在/I.

有界变差函数的性质基础上进一步研究了.有界变差函数的连续性,

并将本性变差的概念推广到了以一

本性变差.本文所得到的一些新的结果,都将使我们对以一有界变差

函数有一个更深刻的认识.

在证明主要结果之前,先回顾一下有界变差函数和/l一有界变差函数的定义,并给出一个重要引理.

定义1设’厂()是定义在区间,=[口,b]上的实函数,对[n,b]的任一分划

叮T:0=o<l<…<n=b

作变差和?I)一f(x)I,我们称sup?lj)一)I为)在[口,6]的全变差,记作;,),

即

V(f;1)=sup?I)一)J.

如果V(f;1)<+,那么就称,()是区间[口,b]上的有界变差函数,记作)?BV([n,b]).

?1

定义2…设以:{Af为一给定的非降正数列,?1=?.设)是定义在区间,=Ea,6]上的

n1n

实函数,{,:[口,b]}为[0,b]上互不重叠的区间列,记)=b)一o).若对任意的{},都有

收稿日期:2009-08—16.

基金项目:国家自然科学基金(70871061),江苏教育科学”十一五”规划重点课题(B—b/2009/01/018),南京信息工程大学精品课程教改

项目(07KC0060).

通讯联系人:朱建国,副教授,研究方向:基础数学.E.mail:zhujg@niit.edu.CB

一

21,

南京师大(自然科学版)第33卷第2期(2010年)

妻<+?,,

则称)是区间,上的-有界变差函数,记作f?ABV(,),或)?{AfBV(,).

由上面定义可以看出,/l一有界变差函数的定义不直接依赖于这种函数的定义区间的分划.下面的引

理给出了/l一有界变差函数的几种等价定义.

引理1以下三个命题是等价的:

(1))是区间,=[口,b]上的以.有界变差函数()?ABV(,)),

(2)存在M>0,使对[a,b]上的任何不相重叠的闭区间列{[0,b]},有

?,l’’

(3)存在M>0,使对[口,b]上的任何有限多个互不重叠的闭区间[口,b],[n:,b],…,[0,b],有

N

?.一

1A

详细的证明参见[3].

由引理1的(2),自然可以引人

定义3l3设)是区间,:[口,b]上的一有界变差函数,称

Va(f;lup{幸.,nc,】

为.厂()在区间,上的以.全变差.

而由引理1的(3),我们很容易得出定义3的一个等价定义.

定义3设)是区间,=[口,b]上的A?有界变差函数,我们称

Va(f;I):f(b)一厂(n).

为)在区间,上的/l一全变差,其中u只指取遍[o,b]上任何有限多个互不重叠的闭区间[n.,b.],[n,

b],…,[口,b]的上确界.

1/l-有界变差函数与有界变差函数的联系

我们知道/l一有界变差函数的定义不直接依赖于这种函数的定义区间的分划,这和一般有界变差函数

的定义不同.但是,/1.有界变差函数作为对有界变差函数的一种推广,它们之间还是有一定联系的.

定理1设A:{A}是非降的正数列,且有界.若)是以一有界变差函数,则此时)是通常意义

下的有界变差函数.

证明由题设可知,存在M>0,使得0<A?M,Vn??.考虑对[n,b]的任一分划

不:0=o<l<…<m=b,

则[.,],[.,],…,[..,]是[0,b]上的互不重叠的闭区间列.因为)?ABV(,),故存在K>

0,使得

m

?K,

‘一l

从而有

m

)I-草?幸?

于是

p?I)一)I?MK,

即([口,b])?MK,)是有界变差函数.

2-有界变差函数的性质

/l一有界变差函数作为对有界变差函数的推广,它在其定义区间[口,b]上的许多性质,例如连续性,有

一

22—

朱建国,等:基于A.有界变差函数的性质研究

些是与有界变差函数的性质j是一致的.下面的3个定理在文献[3]中有所表述.

定理2若)是[口,b]上的/l一有界变差函数,则)为[0,b]上的有界函数.

定理3若)是区间[口,b]上的一有界变差函数,则对任意?[0,6),+0)存在;对V?

(.,b],-厂(一0)存在.

定理4若厂()是区间,=[口,b]上的/l一有界变差函数,则)的不连续点的全体是可列集.

为了引入A.本性变差的概念,先回顾一下有关本性变差的一些内容.文献[6]中提到的一个函数在

区间[o,6]上规则的定义,为了本文的需要,下面的定义已作了合理的推广(不仅仅局限于有界变差函数

类).

定义4设)是定义在区间[?,6]上的实函数,且厂()在[0,b]上任一点的左,右极限都存在.若

n)=.+0),b)=6—0),且

-()?[rain{/.(一0),.(x+0)},max{/.(一0),.(x+0)}],V?(口,b),

则称)在区间[0,6]上是规则的(norma1),或称)在区间[0,b]上没有外部的跳跃点(externa]

saltus).

事实上,对于A一有界变差函数,我们将证明类似的结果也是成立的.

定理5设)是定义在区间,=[口,6]上的/l一有界变差函数,若)在,上是规则的,则(f;I)

只与.厂()在,上连续点的取值有关.

证明对任意的>

进行如下类似的处理),则由题设可知

max{l?)一b一0)I,I0)一b+0)I}?lb)一.)l,

由定理3和定理4可以取)的连续点6充分接近b并满足

I八6)一?)I<I6)一o)l+——.

2军A1

假如b不是另外的[,6](?n)的端点,则还可使b满足[a,b]代替[.,b]后与其它的[.,b](

?n)仍不重叠.如果6是另外一个[0,b]的端点,那么它必为[b,c]的形式,这时

I八C)一o)I?I厂(b)一0)l+Ic)一b)1.(%)

如()式中等号成立,将两个闭区间[口,b],[b,c]换成一个闭区间[口,c],并让它对应rain{A,A},

记iTlax{A,A,}=A,然后令[6]相应于A,[.,b]相应于A,如此等等,显然这样得到的新

和式?满足

,v.

?I/(6)一f(a)1??,

故有

()<?+詈.

再对得到的新的闭区间列的使)不连续的端点进行如上的同样处理,由于开始时闭区间的个数?

一

23—

南京师大(自然科学版)第33卷第2期(2010年)

是不变的,且若有使)不连续的两个区间的共同端点使()成立等号,则经过如上处理后得到的新的

闭区间列的个数减少1.由此,可不妨设对于初始的?个闭区间,若存在两个区间共同的使)不连续的

端点,那么它们使()式成立不等号.而若()式成立不等号,则c)一b)与

厂(b)一a)必异号.

先设a)<b),c)<6),这时可取b’使得b’)充分接近max{b+0),b一0)},且

Ib)-f(0)l<lb)一0)l+—_,

2军

I,(c)一,(b)I<Ic)一b)I+—.

2军

而对0)>,(b),,(c)>,(b)的情形,则可选b,使b)充分接近min{b+0),b一0)I;在

这两种情况下,都将[a,b],[b,c]代替为[a,b’],[b,c].总之,对每个以)的不连续点为端点

的闭区间[a,b]都作如上的处理,那么我们就可得到所需要的闭区问[Ol,』B](n=1,2,…,N).

由定理5,我们给出的一本性变差的概念如下:

定义5设-厂(),g()是区间,=[o,b]上的以一有界变差函数,若)=g()a.e.x

?,且g(x)

在,上是规则的,那么称Va(g;1)为I厂()在,上的以一本性变差,记做

(f;1)=(g;,).

定理6设),g()是区间,=[n,b]上的以一有界变差函数,若):g()0.e.?,且g(x)

在,上是规则的,则

(g;,)?va(f;1).

证明令E=八({)?g(x)}u{Y:Y是g()的不连续点}).因为g()在,上是规则的,故

由定理5可知,VA(g;,)的值只与g()在E上的取值有关,即对任意的>0,存在,上有限个不相重叠的

闭区间[o,b],其中n,b?E(n=1,2,…,?),使得

vA(g;I)<?lg(bn)一g(an)+.

又显然

N

lg(6)一g(.)’1=NI八6)一

f(an).1?V

a(f;I),

从而

(g;1)?(f;I)+,

最后,由的任意性,即知(g;1)?(f;I).

下面给出引入以一本性变差概念以后所得到的主要结果,此结果推广了对于有界变差函数情形的结

果:

Ve()=嬲,)(g;,).

定理7设.厂()是区间,=[o,b]上的/l一有界变差函数,则有

va()=,)vA(g;,).

E/IIf,

证明首先,对于任意的区间,=[n,b]上的A.有界变差函数g(),且)=g(x)

口.e.?,,则

由定理6及A.本性变差的定义可知

(f;1)?(g;I),

因此,

(/;,)?infva(g;t)?(1)

其次,由定理3和定理4我们可以适当改变-厂()在其不连续点的取值,使得到的新函数客()在,上是规则

的.又显然此时有

.厂()=()口.e.?,,

一

24—

朱建国,等:基于A一有界变差函数的性质研究

从而由定理6,可得

最后由(1)和(2),即得所证

?

}爨v,

[参考文献]

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nal,2002,33(5):l199—1210.

[责任编辑:丁蓉]

(上接第20页)

[1]

[2]

[3]

[4]

由引理2和引理3的等号成立条件可得(2)等号成立当且仅当

K.=K2=…=K.定理1得证.

有关平均值理论的一些新成果可参考文献E5,6];有关几何不等式的

新成果可参考文献[13,14].

[参考文献]

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[责任编辑:丁蓉]

一

25—

1{1J]J

23456

rLrLrLrLrL

]j1J1J)【,lmuBM

范文三：有界变差函数

n定义：设.当满足时，称点Pxab,,[,]axxxb,,,,,fabR:[,],,,01ni,0i

集P是区间的一个分划. [,]ab

规定:Jxxxxxfxfxfx,,,,,,,[,],,()()(), in,1,2,,iiiiiiiii,,,111

对的任给分划， [,]abPx,,,i

b令VfPfxfxfx(,)()()(),,,,VfVfp()sup(,),，.称为Vfp(,)fa,,iii,1pii

bbVf()0(),,,Vf关于分划的变差，称为在上的全变差.显然[,]abfPaa

bVf(),,若，则称为在上的有界变差函数.规定: 以或[,]abBVfa

记上的所有有界变差函数的全体(显然常数函数是BVab[,][,]abfc,有界变差函数).

(有界变差函数的直观意义) 设曲线L由方程给yfxaxb,,,(),()定，在L上顺次取点Axfxin(,())(0),,，曲线L上点组A对应区间,,iiii

axxxb,,,,,Ain(0),,[,]ab的分划Px,.其中.连接点的折线,,01nii

nns之长度为AAsAA,sup.将曲线L的长定义为，上确界是对ii,,,1ii,1Ai,,,1i,1i

曲线L上所有可能的点组A取的. ,,i

s,,定义 若，则称L为可度曲线L为可度曲线,,fBV，因为

222AAfxx,,，,(),,,,，,fxAAfxx()()，所以，从而 iiii,1iiiii,1

,,,,，,,,，,fxAAfxxfxba()()()() ,,,,,iiiiii,1iiiii

sup()supsup()(),,,,，,fxAAfxba所以 ,,,iiii,1iii

bbVfsVfba()(),,，, 即 aa

b,,,,,,,,sVffBV()L为可度曲线. a

类似地，可证明: 若曲线L由参数方程xftygtzhtatb,,,,,(),(),(),()

给定，则L为可度曲线. ,,fghBV,,

以上表明，利用有界变差函数完全刻画了曲线的可度性.

(1)若，则有界. fBV,f

(2)若，则为任意常数. fgBV,,fgfgBVkfBVk,,,,,,

(3)若，则 fgBVgc,,0,,,fgBV/,

，,(4)若，则. fgBV,,ffffgfgBV,,,,,,,

(1)是的一个分划，则 ,,,xabPaxb(,),{,,}[,]ab

fxfxfafafafxfa()()()()()()(),,，,，,

b ,，,，,,，fafxfafbfafaVfP()()()()()()(,),，,,faVf()()a

b取，则有，从而有MfafaVffb,，max(),()(),(),,xab[,]fxM(),f,,a

界.

(2)设Px,是[,]ab的任一分划，则 ,,i

VfgPfgxfxgx(,)()()()(),,,,,,,, ,,iiiii

bb,,，,,，,，fxgxVfPVgPVfVg()()(,)(,)()() iiaa,,ii

bbbsup(,)()()fgPVfVg,,，,,Vfg(),,,从而，即，所以fgBV,,. aaafgBV,,？fg,,,,,由(1)知，,,,使. 设Px,[,]ab是的任一分划，则 ,,i

bVfgVfgP()sup(,),,,，故. fgBV,因aP

(3)若，对的任一分划P， gC,,0[,]ab

,,11bb因为 VVg,,,，，aa,,2gc,,

1 由(2)知fgfBV/,,,. g(4)设Px,[,]ab是的任一分划，则 ,,i

bbVfVfPVf,,,,sup,,故.从而 fBV,，，，，，，因aaP

bcb设VfVfVf()()(),，，则. acb,,aac

bcbVfVfVf()()(),， (1)先证明. aac

设axxxxb,,,,,,是的任一分划， 其中， 则 Px,[,]ab,,012ni

nn

[,],abxxJ,,. ,,kkk,1kki,,1

设，则存在使cJ,,即xcx,,，从而 acb,,Jxx,,,,kkk,1kkk,1

bcb从而VfVfPVfVf()sup(,)()(),,，. aacP

cbbVfVfVf()()()，, (2)再证明. aca

,,,设Pxik,,,:0[,]acPxkin,,,:[,]cb为的任意分划，为的任意分,,,,ii

划，则Pxin,,,:0[,]ab为的一个分划，从而 ,,i

，从而

即.

是两个增函数之差. fBVf,,

,证明 若,,()(),xVfVf,,,是有界变差函数，令，则，下ffV,,,a

面证明均为增函数.设，则 axyb,,,,,V

从而

从而 .

若为增函数，设是的任意分划，则，Px,[,]abVfPfbfa(,)()(),,f,,i

bVffbfa()()(),,,,从而故fBV,. a

从而:若是两个增函数之差，则fBV,. f

若fBV,，则有以下性质:

(1) f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点；

(2) 有分解式fs,，,，其中是有界变差函数， f,

1,fLab,[,] (3) f几乎处处可微，而且.

证明 (1)由Th5.2.4，fBVf,,,,,,，其中都为增函数.,,,由Th5.1.1，[,]ab在上至多有可数个间断点，且只有第一类间断,,,

点，从而f,,,,至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.

(2)由Th5.2.4，fBVfgh,,,,gh,，其中均为增函数.由Th5.1.2，

，其中分别是连续增函数，分gshs,，,，,,,,,,ss,存在分解式11221212

别是和的跳跃函数，即 hg

从而令,,,,,,,,Sss，则由Th5.2.4 是fghss,,,,，,,,(),，，12121212

连续有界变差函数

(3)由Th5.2.4，，其中均为增函数.由Th5.1.4，fBVfgh,,,,gh,

1,,ghLab,[,],gh,在[,]ab上几乎处处可微，且，从而在[,]ab上几乎处f

,,,处可微，且 fghae,,,..

，

1,fLab,[,]从而.

,,1,xxxsin,01,,,,0,()fx,设.判定在区间[0,1]上是否为有f,0.0x,,

界变差函数.

,,,,,,1121, 解 当fxxxxx()sincos,,,01,,x时，

,当01,,,x,0fx()时，是的奇点，

从而广义R积分

11,,fxdx()fL,[0,1]不收敛. 所以，，由推论即广义R积分,0

5.2.5(3). fBV,

当时，则由 ,,1

11,,知fxdx()fL,[0,1]收敛，从而. ,0

设Px,{}Jxxxxx,,,,[,],是[0,1]的任意分划，, iiiiii,,11

,,,,fxfxfx()()() .在[0,1]上连续，在(0,1)上连续 ffiii,1

由牛顿—莱布尼兹公式得:

11, 从而VfVfPfxdx()sup(,)(),,,,fBV,，从而 0,0P

Px,{}下面介绍有界变差函数的另一种分解式.设fBV,，是i

VfPfx(,)(),,[,]ab的任意分划.令 ,ii

VfPfxfx(,){():()0},,,, ,，iii

VfPfxfx(,){():()0},,,,,,,iii

VfPVfPVfPVfPVfPfbfa(,)(,)(,),(,)(,)()()，,,,, ，,，,

b 令VfVfP()sup(,),，其中上确界是对区间的所有可能的分划[,]ab,a,P

b取的.把分别称为在上的正变差和负变差.可证明:若Vf()[,]abfa,

bcb，则 (类似命题5.2.3). acb,,VfVfVf()()(),，aac，，，

xx对令，把和也分别称为的正,,xab[,]pxVfnxVf()(),()(),,px()nx()faa，,

变差和负变差.可以证明:

xxxx(1)pxnxVfx()()()()，,,,即. VfVfVf()()()，,aaaa，,

xx(2)即. pxnxfxfa()()()(),,,VfVffxfa()()()(),,,aa，,

(1)若则有“标准分解式”，fBV,ffxfapxnx()()()(),，,

xx其中pxVfnxVf()(),()(),,分别为的正变差和负变差. faa，,

pxnx(),()（2）若fBV,，而且有[,]ab上的增函数，使 11

， 则pp,nn,与都是非负增函数. 11

(1)显然成立.

(2)

，

从而只需证明pp,papa()()000,,,,是非负增函数.. 11

,,,0设ab,,,,,.

，

上有限个互不相交的开区间，使得 (,),,[,],,有ii

, 是任意的 令 得 ，根据正变差Vfpp()()(),,,,,11，函数的可加性

,从而 , 即 ppVfpp()()()()(),,,,,,,,,11，

故pp,pp,是上增函数，从而是上非负增函数. [,]ab[,]ab11

范文四：叙列空间上的_有界变差函数

叙列空间上的 ?—有界变差函数

杨殿军 ,张莉

()哈尔滨商业大学 基础部 ,黑龙江 哈尔滨 150076

摘 要 :给出了定义在叙列空间上的 ?—强有界变差函数 、?—弱有界变差函数 、?—有界变差函数 、

?—弱有界变差函数的概念 ,讨论了它们的关系和性质 ,推广了文 1 - 2 中的有关结论 。

关键词 :有界变差函数 ;叙列空间 ; k?the 对偶

() 文章编号 :1004 - 1842 200202 - 0223 - 02 中图分类号 :O177 文献标识码 :A

The ?- bounded variation f unctions on sequence spaces

YANG Dian - jun ,ZHANG Li

()Basic Course Department , Harbin University of Commerce , Harbin ,150076 ,China

Abstract : Some Properties of the ?- Bounded Varition functions and strong or week ones on the

sequence spaces was discussed. The relations of them were also investigated.

Key words : the bounded variation function ; sequence spaces ; k?the paired

) λ 则称X t 为叙列空间 上的强 ?—有界变 差 函文中沿用 1 - 2 的名词和记号 (

λ定义 1 设 ?= {} 为一给定的非降正数列 , 数 。其中 sup 指取遍 [ a , b ] 的一切不相 重 叠 的 闭 n [ a , b ] ? 1 区间列{ a, b} 的上确界 。 n n ( ) 并且 6 = ?, X = { xt b ]到叙列a , ( ) } 是从 [ tm n = 1 λ nλ定义 3 设 ?= {} 为一给定的非降正数列 , n λ空间 的抽象函数 。若对 [ a , b ] 的任何不相重叠 ? 1 3 ( ) λ的闭区间列{a, b}和任何 U = { u} ?, X 并且 6 = ?, X = { xt a , b ]到叙列 ( )( ) } 是从 [ n n m ttm n = 1 λ n满足 : 3 λ λ空间 的 抽 象 函 数 。若 对 任 何 U ?, UX = ( )t ? ? 1 ? ( ) ( ) sup 6 6 | u[ xb- xa| < 称]="" m="" m="" nm="" n[="" a="" ,="" b="" ]="" n="1" m="1" λx="" 6="" ux为通常的="" 有界变差函数="" ,="" 则称(="" )="" (="" )="" ntm="" m="" tm="1" λ="" x="" 为叙列空间="" 上的="" 有界变差函数="" 。其中(="" )="" tλ为叙列空间="" 上的弱="" 有界变差函数="" 。="" sup="" 指="" 取="" 遍="" [="" a="" ,="" b="" ]="" 的="" 一="" 切="" 不="" 相="" 重="" 叠="" 的="" 闭="" 区="" 间="" 列="" λ="" 命题="" 1若="" x="" (="" )="" 为="" 上="" 的="" 有="" 界="" 变="" 差="" 函="" 数="" ,="" 则="" t[="" a="" ,="" b="" ]="">

{ a, b} 的上确界 。 n n λX 为 上的 ?—有界变差函数 。( ) t

λ定义 2 设 ?= {} 为一给定的非降正数列 , n 证明 设{ a, b} 为 [ a , b ]的任一不相重叠 n n ? 1 的闭区间列 , 不妨设 ( ) 并且 6 = ?, X ( ) = { xt } 是从 [ a , b ]到叙列 tm n = 1 λ na <><><><><><>< b="" 则="" 对="" 1="" 1="" 2="" 2="" n="" n="" λ空间="" 的抽象函数="" 。若对="" [="" a="" ,="" b="" ]="" 的任何不相重叠="" [="" a="" ,="" b="" ]的分划="" 3="" λ的闭区间列="" {="" a,="" b}="" 和任何="" 中的有界集="" n="" ,="" x="" n="" n="">

a = t<>< a="t=">< 0="" 1="" 1="" 2="" 1="">< t="">< 2="" m="" -="" 1="" m="" 满足="" (="" )="" tt="">< t="b" 有="" 2="" m="" m="" 2="" m="" +="" 1="" 1="" (="" )="" (="" )="" -="" xa]="" |="">< up="" 6="" sup="" |="" 6="" u[="" xb="" m="" n="" m="" m="" n="" λ[="" a="" ,="" b="" ]="" n="1" u="" m="1" n="">

收稿日期 :2002 - 03 - 02 .

基金项目 :黑龙江省自然科学基金资助项目 (A00 - 02) .

作者简介 :杨殿军 (1960 - ) ,男 ,哈尔滨商业大学教授 ,研究方向 :泛函分析.

( )哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 自 然 科 学 版 18 卷第 〃224 〃

N ? ? ? 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 | U[ xb- xa] | m nsup 6 | 6 | U[ xb- xa]| ?L m m nm m nm nn = 1 m = 1 λ[ a , b ] n = 1 m = 1 λ nn2 m + 1 ? 3 1 λ故有对任一 U ? ( ) ( ) ? 6 6 | U[ xt + 1- xt ] | m m n m n n = 0 m = 1 λ ? nsup | UX | = sup | 6 2 m + 1 ?( ) Ux| ( ) tm m t 1 a ?t ?b a ?t ?b n = 1 ?6 6 | U[ x( ( ) xt ]| < 命t="" -m="" n="" m="" mn="" +="" 1="" λ="" n="0" m="1" 1="" 1="" |="" 6="" sup="" u[="" x-="" x]|="" +="" (="" )="" (="" )="" 1="" m="" m="" tm="" aa="" bλ?t="" m="1" 题成立="" 。="" 1?="" 同理有="" (="" )="" |="" 6="" uxa|="" m="" m="" m="1" (="" )="" λ="" 命题="" 2="" 若="" x="" 为="" 上的强="" 弱有界变差函(="" )="" t?="" (="" )="" λ?l="" +="" |="" 6="" uxax="" 为有界="" 。即="" (="" )="" 1="" m="" m="" t(="" )="" λ数="" ,="" 则="" x="" 为="" 上的强="" 弱?———有界变差函数="" 。(="" )="" tm="1" 3="" λ1x="" 为上的强="" ——有界变差函数定理="" (="" )="" 又从="" e?λ(="" m="1" ,="" 2="" ,="" )="" 便可推知="" tm="">

λ λ] X ( ) 为 上 的 ?———有 界 变 差 函 数 ] X ( ) 为 tt( ) x= eX m = 1 , 2 , ( ) ( ) m tm t

X 有界且 x为上的弱 ?———有界变差函数 ] ( t) m ( t) 为通常的 ?———有界变差函数 。

通常的 ?———有界变差函数 。 λ定理 2X 为上的 ?———有界变差函数的 ( ) t

证明 1? 设 X 为 λ上的强 ?———有界变差 ( ) t充分条件是 :

3 函数 , 于 U ?λ和 [ a , b ] 的不相重叠的闭区间列 ( ) 1x 为通常的 ?———有界变差函数 ( )m t ( )( )n n b { a, b} , 令 U = { u} n = 1 , 2 , n n m 3 3 λ() ( )2{ ?x } ? m ?( ) n a ( ) ( ) m = 其中 : U = U Sign U [ x b - x a ] m m m m n m n 3 ( ) λn证明 对于 U ?, 则有 1 , 2 , 则由 [ 1 ]知 U ?N 。 U ? ? 1 故( ) ( ) sup 6 | 6 | U[ xb- xa]| m nm m nλ[ a , b ] n = 1 m = 1 n? ? ? ? 1 ( )n ? ? 6 ( ) ( ) | 1 6 | U[ xb-xa] = 6 6 U m n m m nmλn = 1 m = 1 n = 1 m = 1 ( ) ( ) = 6 | U| sup 6 | [ xb- xa]| nm m nm nλm = 1 [ a , b ] n = 1 n 1 ? b ( ) ( ) [ xb- xa]m nm n λ( )= 6 | U | x < m="" m="" n="" m="1" a="" 1="" (="" )="" (="" )="" b-="" xa]="" |="" 从?="" 6="" sup="" |="" 6="" u[="" x-="" λm="" m="" n="" m="" n="" 放="" x="" 为="" 上的="" 界变差="" 。(="" )="" tλn="1" u="" m="1" n="" u="">

λ而 X 为 上的 ?———有界变差函数 。( ) t:参考文献

λ2? 若 X 为 上的 ?———有界变差函数 , 则 由 ( ) t1 吴从 ,赵林生 ,刘铁夫. 有界变差函数及其推广应用 M . 哈

尔滨 :黑龙江科技出版社 ,1988 . ? ? 1 赵林生 ,杨殿军 ,刘铁夫. 叙列空间上的 K 级有界变差函数及 2 ( ) ( ) 6 | 6 U[ xb- xa]| m m nm nλn = 1 m = 1 nK 级绝对连续函数 IJ . 哈尔滨工业大学学报 ,1994 ,26 ( 2) : 6 ? ? 1 ,12 . ( ) ( ) ? 6 6 | U[ xb- xa]| m m nm nn = 1 m = 1 λ n?3 张莉 ,杨姗姗 ,杨殿军. 徐列空间 L、L 、C上的 K 级有界变 1 o λ便知 X ( ) 为 上的弱 ?———有界变差函数 。 t() 差函数J . 哈尔滨商业大学学报 :自然科学版 ,2001 ,17 1:27

λ3? 设 X 为 上的弱 ?———有界变差函数 , ( ) t,30 .

λ( ) 4 朱杰 ,杨殿军 ,周玉英. VK a , b,] 的刻划定理 J . 黑龙江 则存在 L > 0 使

() 商学院学报 :自然科学版 ,1998 ,14 3:52,54 .

范文五：全变差有界函数列的一致_R_可积性

第19 卷第 3 期 大 学 数 学 ?. 3 . 19, V o l2003 年 6 月 . 2003COLL EGE M A TH EM A T ICS Jun

() 全变差有界函数列的一致 可积性R

张彩华, 石辅天

()朝阳师范高等专科学校, 辽宁 朝阳 122000

[ 摘 要 ] 给出了一致有界单调函数列一致可积性定理, 由此得出全变差序列有界的收敛函数列的一致 可积

性. 说明了该结论可判断一些非一致收敛函数列的逐项积分性质.

[ 关键词 ] 一致 () 可积; 一致有界; 有界变差函数; 全变差R

[ 中图分类号 ] 17 [ 文献标识码 ] [ 文章编号 ] 167221454 (2003) 0320092203O C 1 引 言

文[ 1 ] 给出了 () 可积函数列一致可积的概念, 证明了一致可积性比一致收敛性弱, 并证明了在一 R

致可积条件下可对( ) 可积函数列逐项积分, 现引述如下:R

b 可积函数列,存在 > 0, 定义 1 设{() }是定义在[ , ]上的 () () = . 若对任给 > 0, ?f n x a b Rf n x dx A nΕ?a

使对[ , 的任何分法 只要‖‖< ,="" 对任意="" ,="" ],="" 式],="" ab="" t="" t="" i="" x="" i-="" 1="" x="" i="">

f (Ν) (x - x ) - A < n="" i="" i="" i-="" 1="" n="" ε="">

对所有 成立, 则称函数列{() }在[ , ]上一致( ) 可积.n f n x a b R

引理 1 设{() }是定义在[ , ]上的 () 可积函数列. 若{() }在[ , ]上收敛且一致() 可积, f n x ab R f n x ab R 则其极限函数 () 在[ , ]上() 可积, 且有f x a b R b b lim () .f x dx () =f n x dx ? n?? a ?a

文 [ 2 ]中给出了振幅和序列一致收敛于零的概念, 并给出了函数列一致( ) 可积的一个充要条件, R 引述如下:

定义 2 设{() }是定义在[ , ]上的函数列, 若对任给 > 0, 存在 > 0, 使对[ , ]的任何分法f n x ab Ε?ab 只要‖‖< ,="" 对一切="" 有,="" ,="" t="" t="">

()n < i="" x="" i="" ()="" t="" ξ?,ε="" ()n="" 则称{()="" }在[="" ,="" ]上的振幅和序列="" (t="" )="" ξ?="" x="" ,="" 当‖‖?0="" 时一致收敛于0,="" 记作f="" n="" x="" ab="" i="" i="" t="" 0="" (‖‖?0)="" ,i="" x="" i="" t="">

() n () T Ξ??(n) ) 关于分法 的振幅和.(T 其中( ) i i 为 n x T Ξ? x f ?

, ]上的函数列, 则{() }在[ , ]上一致( ) 可积的充要条件是引理 2 设{() }是定义在[ f n x a b f n x a b R ?0 (‖‖?0).i ? x i T

() n () T Ξ??

2 主要结果

定理 1 若定义在[ , ]上的单调函数序列{() }在[ , ]上一致有界, 则{() }在[ , ]上一致a b f n x a b f n x a b

[ 收稿日期 ] 2002204205

第3 期 张彩华, 等: 全变差有界函数列的一致() 可积性R 93

() 可积.R

证 由{() }在[ , ]上一致有界, 存在使对一切 均有> 0, , f n x ab M n

| () | ?, ?[ , ].f n x M x a b 又对每个 () 在[ , ]上单调, 从而, 对任何分法 () 在[ , ]上的振幅, , n f n x a b T f n x x i- 1 x i

()= | () - () |.i n f n x i- 1 f n x i Ξ

注意到一切 , () - () 同号, 就有if n x i- 1 f n x i

= | () - () | ?| () |+ | () | ?2.i f n af n bf n af n bM ()n Ξ?Ε 于是, 对任给 > 0, 对[ , ]的任何分法 只要‖‖< ,="" 则对一切="" ()="" 关于分法="" 的振幅和,="" ,="" εab="" t="" t="" nf="" n="" x="" t="" 2m="" ()n="" ε="" ()n="" ()="" t="" ξ???.i="" ε="" ξ?i="" x="" i="">

因此 ?0 (‖‖?0).i ? x i T

() n () T Ξ??由引理2, { () }在[ , ]上一致( ) 可积.f n x a b R

定理 2 若函数列{() }和{() } 均在[ , ] 上一致( ) 可积, 则函数列{() ?() } 也在 f n x g n x a b R f n x g n x [ , ]上一致( ) 可积.a b R b b

证 因{(及{(在[ 上均一致 () 可积, 设(,(, ) }) }, ]) = ) = = 1, 2,f n x g n x a b R f n x dx A n g n x dx B n n ?a ?a , 则

b [ (?(?, ) ) ]= = 1, 2, .f n x g n x dx A n B n n ?a

那么, 对任给 > 0, 存在 > 0, 使对[ , ]的任何分法 , 只要‖‖< ,="" 就有ε?a="" b="" t="" t="">

f (Ν) ? x - A < ?2,n="" i="" i="" n="" ε="">

g (Ν) ? x - B < ?2n="" i="" i="" n="" ε="">

对一切 均成立, 从而n

[ f (Ν) ?g (Ν) ]? x - (A ?B ) ? f (Ν) ? x - A + g (Ν) ? x - B < n="" i="" n="" i="" i="" n="" n="" n="" i="" i="" n="" n="" i="" i="" n="" ε="" 一切="" 均成立.="" 所以,="" {()="" )="" }在[="" ,="" ]上一致(="" )="" 可积.n="" f="" n="" x="" g="" n="" x="" a="" b="" r="" b="">

定 理 3 若定义在[ , ] 上的有界变差函数列{() } 收敛, 且其全变差数列{?( ) } 有界, 则a b f n x f n a {() }在[ , ]上一致 () 可积.f n x a b R

证 对每个 , () 是定义在[ , ]上的有界变差函数, 由 分解定理,n f n x a b Jo rdan

() = () - () , ?[ , ],f n x g n x hn x x ab 其中 x () = ?() , () = () - () , ?[ , ],g n x f n hn x g n x f n x x a b a

() 和 () 都是单调递增函数.g n x hn x b b 由{?() }有界, 存在> 0, 使对一切 , 有? () < .="" 从而,="" 对一切="" ,="" 有f="" n="" m="" n="" f="" n="" m="" n="" a="" a="" x="" b="" 0?()="?" ()="" (="" )="">< ,="" ,="" ].g="" n="" x="" f="" n="" f="" n="" m="" x="" ab="" a="" a="">

可见, {() }为定义在[ , ]上的一致有界单调函数列. 由定理 1, {() }在[ , ]上一致( ) 可积. 对 g n x a b g n x a b R

??, 由a x b

x b | () - () | ??( ) ?? () ,f n x f n a f n f n a a

有

大 学 数 学 第19 卷94 b | () | ?| () |+ ?( ) ?| () |+ , = 1, 2, .f n x f n a f n f n a M n a

数列{() }收敛, 从而{() }有界. 设f n a f n a

| () | ?, = 1, 2, .f n aM 1 n

于是

| () |= | () - () | ?| () |+ | () | ?2+ , ?[ , ]hn x g n x f n x g n x f n x M M 1 x ab

{, 1, {对一切 成立. 即(为[ 上的一致有界单调函数列, 又由定理 (在[ 上一致( )) }] ) }, ] n hn x ab hn x a b R 可积.

由定理 2, 函数列{() }在[ , ]上一致( ) 可积. f n x a b R 由引理

1 及定理 3 可得 b

推论 若定义在[ , ]上的有界变差函数列{() }收敛, 且其全变差数列{?() }有界, 则其极ab f n x f n a 限函数 () 在[ , ]上() 可积, 且有f x a b R b b () =lim f n x dx () .f x dx ?a? n?? a

注 满足该推论条件的函数列不一定一致收敛, 所以, 该推论可用来判断一些非一致收敛函数列的 逐项积分性质.

例 设

1 nx , x ? 0, , 1- n () =f n x 10, x ?[ 0, 1 ]且 x ? 0, , n= 1, 2, . n

显 , {然() }在[ 0, 1 ]上收敛, 极限函数为 ?[ 0, 1 ]. {() }在[ 0, 1 ]上并不一致收敛, 但在() = 0, f n x f x x f n x [ 0, 1 ]上是有界变差函数, 且

1 ?() = 1, = 1, 2, .f n n 0

由本文推论, 有

1 1 () =lim f n x dx () = 0.f x dx ?0? n?? 0

[ 参 考 文 献 ]

[ 1 ] 马振民. () 可积函数列逐项积分条件的减弱[]. 西北师范学院学报, 1988, (4) : 7- 9.R J

[ 2 ] 石辅天. 函数列一致 () 可积的一个充要条件[]. 辽宁师专学报, 2002, 4 (2) : 1- 13.R J

() The Un if orm RIn tegrab it ity for Sequence of Funct ion

w ith Boundness of Tota l Var ia t ion

22, ZH A N G Caihua S H I F u tian

(, 122000, )Chaoyang T eacher’s Co llegeChaoyang L iaon ing Ch ina

: . AbstractA un ifo rm ly in tegrab le theo rem fo r sequence of un ifo rm ly bounded and mono tone funct io n is gevenA s a

, resu ltit is p roved that convergen t sequence of funct io n fo r boundness of sequence w ith to tal variat io n is un ifo rm ly

, .in tegrab lew h ich can judge in tegrab ility of successive te rm s fo r som e unun ifo rm ly convergen t sequence of funct io n

: () ; ; ; Key wordsun ifo rm R in tegrab ilityun ifo rm boundnessfunct io n of bounded variat io nto tal variat io n

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