贝仔
范文一：平面简谐波的波函数
读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生
四、 平面简谐波的波函数
一、什么是波函数
在波动中，每一个质点都在进行振动，对一个波的完整的描述，应该是给出波动中任一质点的振动方程，这种方程称为波动方程（或波函数）。我们知道，简谐波(余弦波或正弦波)是最基本的波，特别是平面简谐波，它的规律更为简单。我们先讨论平面简谐波在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播时的波动方程。
二、平面简谐波的特点
我们在上一知识点中知道，平面简谐波传播时，介质中各质点的振动频率相同。对于在无吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相等。因而介质中各质点的振动仅相位不同，表现为相位沿波的传播方向依次落后，因此我们将重点讨论相位。根据波阵面的定义我们知道，在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，因而有相同的位移。因此，只要知道了任意一条波线上波的传播规律，就可以知道整个平面波的传播规律。
设平面简谐波的周期为T，波长为λ，波速为u，对于波线上的两点，见下图所示，若B点比A点距离波源要远l，l称为A、B之间的波程，就是波由A点到B点所经历的路程。一个振动状态从A点传到B点需要一段时间Δt=l/u，即A点的振动到达某一状态后，要过Δt这么一段时间B点才到达这个状态，也就是说，B点的振动要比A点在时间上落后。
平面简谐波的波程和相位差
由于A点和B点在进行同频率的简谐振动，按前面讨论过的两个同频率振动的相位差和时间差的关系，我们可以得到A点和B点的相位差
这表示B点距离波源比A点每远一个λ，相位落后一个2π。从上式我们容易判断，在同一波线上的两点，若它们的距离为整数个λ，则它们的振动同相；若它们的距离为半整数个λ，则它们的振动反相。
三、平面简谐波的波动方程
下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为
推导波动方程用图
现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为
也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点
的振动为
不
难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
四、波函数的讨论
1、波的传播方向与波函数
在上图中，P点的坐标x为正值，如果x为负值，P点的相位应该比O点超前。把x带入波函数中，由于x是负值，这表示P点的相位确实比O点超前，可见方程的形式不会因考察点的位置而改变。
在上面的讨论中，我们设波是沿着x轴正向传播的，这称为正行波。若波逆着x轴传播(反行波)，则图中的P点的相位应比O点超前，我们规定波速u始终取正值(速率)，因而波函数表达式中x前面的负号应改为正号，因而简谐波的波动方程的一般形式(通式)为
式中负号对应于正行波，正号对应于反行波。方程中的φ为原点初相。
2、波函数的其它形式
利用关系式和，可以将平面简谐波方程改写成多种形式：
我们讨论平面简谐波的时候，为了简单，往往直接把波的传播的方向作为x轴的方向，因而波动方程中x前面的符号就是负号。如果再取原点振动的位移到达正最大的时候作为计时起点，因而原点初相为零。于是波动方程化为比较简单的形式
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周
期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个
波长，相位落后一个2π。
(a)x=0处质点的振动曲线 (b)t=0时波的波形曲线
振动曲线和波形曲线
还应该注意波动方程、振动方程和波形方程在形式上的明显区别，以免引起概念上的混淆。波动方程描述波动中任一质点的振动规律，它有两个自变量，其函数形式表现为；振动方程描述某一点的运动，只有一个自变量t，函数形式表现为形式；波形方程表示的是某一时刻各质点的位移，也只有一个自变量，表现为形式。反映在曲线表示上，要注意振动曲线和波形曲线的区别。振动曲线是y-t曲线而波形曲线是y-x。振动曲线的(时间)周期是T，波形曲线的(空间)周期是波长l。在振动曲线中质点的相位随时间逐步增加，而在波形曲线中质点的相位是沿波的传播方向逐点减少。
4、波形曲线的平移就表示波的传播
不同时刻的波形曲线记录的是不同时刻各质点的位移图形，就象该时刻波的照片。而波动的图形是动态的，犹如这些照片的连续放映，表现为波形沿着波线以波速u向前推进，每一个周期T走一个波长l。在波动的分析中应用这样的形象模型，常常能较为直观地得出正确的判断。
读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。——爱默生
范文二：11-1 平面简谐波的波函数
元依次带 动 “ 下游 ” 的质 元 振动 。 质 元 的振动状态 将 在 较晚时刻于 “ 下游 ” 某 ---波是振动状态的传播 。
点 ----质 元 的振动状态相 同。
=ν
λu 速 :波动过程中, 某 一振动状态(即 ) 单位时 间内 所 传播的 距离 (相 速 ) . u
O 落后 的相 位 O p ????=?λx
π
2?=
x
, 0==?x 相 位 落后法
x
)
cos() , (?ω?=kx t A t x λ
π
2=
k 角 波数 速度 , 加 速度
]
) (sin[?ωω+??=?=t A y
(波具有空间的 周期 性)
) , (t x y λ+
般步骤
并 明确 波的传播方向 。 点的 位置 , 写出 其 振动方程 。 x 处 的 任 一点 和 参考 点(振源
?
??t x t ) 2.50s [(π]) cm 01. 0() 2.50s -1
1-1-1π
2]) 2=
x
cos[y A t ω=+
)
(cos u
t ??ω为 为 正 常 数, 求 波 长 、波 速 、波传播方 的 两 点间的相 位差 .
) cos(Cx Bt A y ?=C B , d
x
t )
π, (=?向 x 轴 负 向传播
范文三：平面简谐波势能的简易分析方法
第 33 卷 第 8 期 Vol.33 No.8 湖南科技学院学报
2012 年 8 月Journal of Hunan Universityof Science and Engineering Aug.2012
平面简谐波势能的简易分析方法
汪新文 唐世清 许成科 陆世专 王文炜
(衡阳师范学院 物理与电子信息科学系，湖南 衡阳 421008)
摘 要:平面简谐波是理工科专业《大学物理》课程中的重要内容。势能的分析和推导是平面简谐波教学中的难点。本 文利用弹性波的传播机理和特征，提出一种简易的分析和推导平面简谐波势能密度函数的方法。此方法可以避开学生陌生和 难以理解的一些物理量和概念，因此其可使教学过程大为简化，并便于学生掌握和深刻理解相关内容。
关键词:平面简谐波;势能函数;分析方法
中图分类号:O4-3文献标识码:A文章编号:1673-2219(2012)08-0022-02
常直接给出势能公式，这样严重影响学生对机械波的能量传 1 引言
近些年来，由于各种原因，大学课程门类不断增加，大 播的深刻理解。 本文充分利用弹性波的传播机理和特征，以学生学习负担也不断加重。因此，各门传统课程,包括专业 及谐振子与
课和公共课,的课时数大幅减少。作为理工科学生必修的一 平面简谐波之间的关系，提出一种简易的分析和推导平面简 门公共课，《大学物理》的课时也不例外地被大幅削减。而 谐波势能密度函数的方法。由于此方法没有涉及到应力、弹 另一方面，地方二本院校的学生的物理和数学基础呈下滑趋 性模量、切变模量等学生陌生和难以理解的“新”概念和物理 势。在这种背景下，《大学物理》课程在教学内容和教学方 量，其不仅可使课堂教学过程变得流畅，更便于学生掌握和 式方法等方面都必须进行改革。教师在教学过程中应更加注 深刻理解传播机械波的媒质中各部分体积元的能量的变化 重对学生物理思维的培养、把复杂问题尽量简单化，在备课 规律。
时应积极探索相关定理、定律及其数学表示的尽可能简易的
分析和推导方法，才可能达到既节约课时又提高教学质量和 2 平面简谐波的势能分析效果的目的。 机械波是机械振动在连续介质中的传播，即是振动状态
平面简谐波是《大学物理》课程中的重要内容。为了揭 和能量的传播，当机械波在介质中传播时，体积元,作机械 示机械波是振动状态和能量传播的本质，需要分析和讨论介 振动,的机械能是不守恒的。然而，由波动的周期性可知: 质中各质元和一定体积内的机械能及其随时间的变化情况。 体积元的机械能在一个周期内的平均值应该是不变的。如果 动能关于时间的函数可以直接从波动方程导出，所以比较简 取各向同性介质中的单位体积为质元，并把其视为质点，则 单。势能是由介质内各体积元的形变而产生的，其大小与形 其在一个周期内的平均机械能在形式上应该与相应的谐振 变的程度有关，分析起来要复杂些。几乎所有的教材和文献 子系统的平均机械能相类似。
[1-5]都是利用胡克定律来推导势能密度函数。这种方法涉及 下面，我们把上述思想运用到平面弹性简谐波的能量分 到应力、弹性模量、切变模量等概念以及它们之间的关系， 析中，并非常简单地导出平面简谐波的势能密度,单位体积 然而这些内容超出了教学大纲，教材中也都没有相关详细介 内的势能,。设平面简谐波的波动方程为
y , A cos，,t , kx ， ,，(1) 绍。鉴于此，多数教材中都把势能函数的推导过程放在附录 0 中或列为选讲内容。由于课时的限制，教师在教学过程中通 式中 A 为振源及各质元的振幅， , 为波的圆频率，k 为波
矢，x 是与一条波线,传播方向,重合的坐标轴，,是坐标 0
原点处质元的振动初相位。此平面简谐波的动能密度,单位 收稿日期:2012,05,20 体积内的动能,为 基金项目:衡阳师范学院教改项目(编号:jy201101)、 2 ,y , , 1 122 2 教育部第一类特色专业(物理学)、湖南省“光电课程组”教 , ,A, sin ，,t , kx ， ,，, , , (2) , , k0 2 ,t 2 , , 学团队、湖南省“十二五”重点建设学科资助。 式中 , 为介质的密度。由 (2) 式可得一个周期 T 内的 作者简介:汪新文 (1980,)，男，湖南衡阳人，衡阳 平均动能密度 师范学院物理与电子信息科学系副教授，博士，主要从事量 T 1 1 22子光学与量子信息科学以及《大学物理》等课程的教学改革 , , , dt , ,A, (3) k k , 0 T 4 研究。
由于质量为 m 的谐振子在一个周期内的平均机械能为 面简谐波的势能密度与动能密度同相。因此，
22 n ,, ,, mA,/ 2 ,m 为谐振子的质量， A为振幅， ,为角频 (7) , ~ sin ，,t , kx ， , ， ,n 为正整数, 0 p
率,，则根据前面分析，此平面简谐波在一个周期内的平均 而由 (6) 的条件可得 n=2，且有
能量密度,单位体积内的平均机械能,应为如下形式: 1 2 2 2 , , ,A , sin ，,t , kx ， ,，(8) 0 p 1 222 (4) , , , A , 2 此结果正是正确的势能密度函数，其与动能密度函数完全相 由 (3) 和 (4) 式可得此平面简谐波在一个周期内的平均势 同。根据势能密度函数就可以分析平面简谐波在单位体积内
能密度的势能随时间的变化情况。 1 22 , , , , , , ,A , (5) p k 4 3 总 结很显然，平面简谐波在一个周期内的平均势能密度与平均动 本文根据谐振子与平面简谐波之间的关系，并把媒质中 能密度相等。单位体积元视为质点，利用类比的方法得到了平面简谐波在 现在分析任意时刻的势能密度 , 。由 (5) 式可得 , p p一个周期内的平均能量密度，进而得到了平均势能密度。然 必须满足如下条件: 后利用弹性波的传播机理和特征，即媒质中体积元的动能与 T1 1 22 ,(6) dt , ,A , 势能同相，导出了平面简谐波的势能密度函数。此思路和方 p , 04 T 法没有借助胡克定律，从而没有涉及到应力、弹性模量、切 由弹性波的传播机理可知:体积元的势能和动能应同时变 变模量等学生陌生和难以理解的物理量。因此，本文中的方 大、同时变小,在平衡位置时同时达到最大值，在位移绝对 法不仅可以节约课堂时间，又可使课堂教学过程变得流畅， 值最大位置时同时达到最小值。这里以在绳上传播的横波为 更便于学生掌握和深刻理解相关内容。 例来证实上述的结论。如图 1 所示，横波在绳上传播时，
参考文献:
[1]匡乐满,等.大学物理:第二册[M].北京:北京邮电大学出版
社,2007.
[2] 陈曙光 , 等 . 大学物理学 : 上册 [M]. 长沙 : 湖南大学出 版
社,2006.
[3]赵近芳,等.大学物理学:上册[M].北京: 北京邮电大学出版
图 1:横波在绳上传播的示意图 社,2011.
平衡位置 Q 处体积元的速度最大因而动能最大，此时 Q 处 [4]叶帆.关于连续介质中横波的能量探讨[J].大学物理,2008,体积元的相对形变也最大，因此弹性势能也为最大,在振动 27(9):19-21. [5]郭芳英,闫夷平,李爱玲.用横波推导简谐波位移最大的 P 处体积元，其振动速度为零，动能等于零， 的能量[J].物理 ,y 而此处体积元的相对形变量为最小值,即, 0 ,，其弹 与工程,2003, 12(2): 16-17.P ,x (责任编校:何俊华) 性势能亦为零,更一般地，体积元的动能变大或变小时，势
能也相应地变大或变小，反之亦然。根据上述分析可得:平
Simple method for analyzing the potential energy
of a simple harmonic plane-wave
WANG Xin-wen, TANG Shi-qing, XU Cheng-ke, Lu Shi-zhuan, Wang Wen-wei
(Department of Physics and Electronic Information Science, Hengyang Normal University, Hengyang 421008, China)
Abstract: Simple harmonic plane-wave is an important content of《College Physics》course which is a required course for the students of science and engineering specialties. It may be not easy for students to deeply understand the potential energy during the study of the simple harmonic plane-wave. This paper proposes a very simple method of analyzing and deriving the potential energy, by using the transmission mechanism and characteristics of the elastic wave. This method does not involve the physical quantities that are unfamiliar to students, and thus can simplify the teaching process and benefit the students in understanding the related contents.
Key words: simple harmonic plane-wave; potential energy; analyzing method
23
范文四：8-1沿一平面简谐波的波线上
8
8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位2.0mABB
,比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。 2.0sA6
,解：根据题意，对于A、B两点，， ,,,,，,x,2m,,,216
x,x,x21而相位和波长之间满足关系：， ,,,2,2,,,,,,,,21,,
,代入数据，可得：波长=24m。又?T=2s，所以波速。 ums,,12/,T
8-2．已知一平面波沿xx轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为PO1
u，波速为，求： y,Acos(,t，,)
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?
x解：（1）设平面波的波动式为，则点的振动式为： yAt,,，cos[],,（）P0u
x1yAt,，cos(),,，与题设点的振动式比较， yAt,,，cos[],,（）PPP0u
,x,xx11有：，?平面波的波动式为：； ,,,，,,，yAtcos[()],,0uu
（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：
xyAt,，，cos[],,（），则点的振动式为： P0u
x1yAt,，cos(),,yAt,，，cos[],,（），与题设点的振动式比较， PPP0u
,x,xx11有：,,,,，，?平面波的波动式为：。 ,，，yAtcos[()],,0uu
8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为AyAt,，cos(2),,,，试写出：
（1）该平面简谐波的表达式；
（2）点的振动表达式（点位于点右方处）。 BBAd
解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以点为原O
点平面简谐波的表达式为：
,lx，则点的振动式： yAt,，，cos[2],,,（）yAt,，，cos[2],,,（）A0A0uu
2,,l题设点的振动式比较，有：， yAt,，cos(2),,,,,,，A0u
lx?该平面简谐波的表达式为： y,Acos[2,,（t，，），,]uu（2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程： xdl,,
ld,ld y,Acos[2,,（t，，），,],Acos[2,,（t，），,]uuu
18-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期t,sT3
为。 2s
（1）写出点的振动表达式； O
（2）写出该波的波动表达式；
（3）写出点的振动表达式； A
（4）写出点离点的距离。 AO
解：由图可知：，，而，则：， Am,0.1,,0.4mTs,2uTms,,,/0.2/2,2,ytx,,，0.1cos(5),,,，，?波动方程为： ,,,,k,,5,0T,
yt,，0.1cos(),,点的振动方程可写成： OO0
,1由图形可知：y,0.05t,s时：，有：0.050.1cos(),，, O033
dy,5,O考虑到此时,0，?,,，（舍去） 0dt33
,那么：（1）点的振动表达式：yt,，0.1cos(),； OO3
,（2）波动方程为：ytx,,，0.1cos(5),,； 3（3）设yt,，0.1cos(),,点的振动表达式为： AAA
,1由图形可知：y,0t,scos()0，,,时：，有： AA33
dy5,7,A考虑到此时,0,,,,,，?（或） AAdt66
5,7,，或； yt,,0.1cos(),yt,，0.1cos(),AA66（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为： ?A点的振动表达式：
,，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有： ytx,,，0.1cos(5),,AA3
5,,7，所以： 。 ,,,ttx,,,，5x,,0.233mAA6330
8-5．一平面简谐波以速度x沿轴负方向传播。u,0.8m/s
已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。 1m
解：这是一个 图像！
,3由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yt,，，510cos(),,。 0O
dy,,3O（1）当,0时，y,，2.510，考虑到：，有：， ,,,t,0t,0,00Otdt3
dy,,5,O当,0时，y,0，考虑到：，有：，， ,,,,,t,1t,1Ot,1dt326
5,,,3?原点的振动表达式：； yt,，,510cos()O63
5,,,3（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：ytkx,，，,510cos() 63
,,,5124524,,,,3而，?； k,,，,ytx,，，,510cos()u60.8256253
,x25（3）位相差：,,,,,,,,,23.27kxrad 。 ,24
8-6．一正弦形式空气波沿直径为的圆柱形管行进，波的平均强度为14cm
,3Jsm/(),9.010，，频率为，波速为。问波中的平均能量密度300Hz300m/s
和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？
,3解：（1）已知波的平均强度为：Jsm/(),I,，9.010，由 有： Iwu,,
,3I9.010，,53wJm,,,，310/ u300
,53wwJm,,，2610/； max
11u22（2）由，? Wwdwd,,,,,,WwV,,44,
,,,5327 。 ,，，,,,，310/(0.14)14.6210JmmmJ4
3,48-7．一弹性波在媒质中传播的速度，振幅，频率ums,10/Am,，1.010
33800/kgm。若该媒质的密度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）,,10Hz
,421分钟内垂直通过面积的总能量。 S,4.0，10m
122解：（1）由：，有： IuA,,,2
134232,52； I,，，，，1080010210（）（）,,，1.5810/Wm2
,42（2）1分钟为60秒，通过面积的总能量为： S,4.0，10m
543,WISt, 。 ,，，，，,，1.5810410603.7910J
8-8．SS与为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为，d,5,/421
2,SS,2S质点的振动比超前，设的振动方程为，且媒质无y,Acost21110T吸收，（1）写出SSSS与之间的合成波动方程；（2）分别写出与左、右侧的2211合成波动方程。
解：（1）如图，以S为原点，有振动方程： ,,x1SS122,y,Acost， 10T
22,,则波源yAtxcos()S,,在右侧产生的行波方程为：， 11T,
2,,SSS,2yAt,，cos()由于质点的振动比超前，?的振动方程为， 21220T2
设以SS为原点，波源在其左侧产生的行波方程为： 12
22,,SyAtxcos(),,，，，由于波源的坐标为，代入可得振动方程： 5/4,22T,
225,,,2,,,,,,2yAt,，,，cos(),yAt,，cos()，与比较，有：。 2020T,4T2
2222,,,,?yAtxAtxcos(2)cos(),。 ,，,,，2TT,,
可见，在xS与S之间的任一点处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，21
2,2,合成波为：，为驻波； y,y，y,2Acosxcost12,T
22,,（2）?波源yAtx'cos()S在左侧产生的行波方程为：,，， 11T,
22,,22,,yAtxcos()与,，叠加，有：； yyyAtx,，,，'2cos（）212左T,T,
22,,SyAtx'cos('),（3）设波源在其右侧产生的行波方程为：,,，， 22T,
225,,,代入波源S的坐标为，可得振动方程：， yAt'cos('),,,，,5/4,220T,4
2,,与比较，有：,,'3,。 yyAt'cos(),,，2020T2
2222,,,,?yAtxAtx'cos(3)cos(),,,,，,,，。 2TT,,
22,,与yyy,，,'0yAtxcos(),,叠加，有：。 121右T,
表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。
,18-9．设SSSS与为两个相干波源，相距波长，比的位相超前。若两波221142在在SSSSS、连线方向上的强度相同且不随距离变化，问、连线上在外22111侧各点的合成波的强度如何？又在S外侧各点的强度如何？ 2
解：（1）如图，SSS、连线上在外侧， SS21121,,22,,,,rr?,,,,,,,,,,,,,,,()rr， 122121,,24
?两波反相，合成波强度为0；
（2）如图，SSS、连线上在外侧， 221
22,,,,SS21?,,,,,,,,,,,,,('')()0rr， ,2121,r',,242r'1?两波同相，合成波的振幅为， 2A
22IAAI,,,(2)44合成波的强度为： 。 0
8-10．测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D
伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞，使棒纵向振动，P移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率,，量度
相邻波节间的平均距离u，可求得管内气体中的声速。试证：。 du,2,d
,证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，再根据已知条件：量度,,x2
,相邻波节间的平均距离，所以：，那么：， ,dd,,2d2
所以波速为：ud,,,,,2 。
8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。为声源，S为声音探测器，如耳或话筒。路径的长度可以变化，但DSBD
路径是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在的第BSAD
一位置时为极小值100单位，而渐增至距第一位置为B1.65cm的第二位置时，有极大值单位。求： 900
（1）声源发出的声波频率；
（2）抵达探测器的两波的振幅之比。
,解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：,,x， 2
,相邻波节与波腹的间距：,,x，可得：。 ,,,,46.6xcm4
u340（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：,,,,5151（）。Hz ,2,6.610，
222（2）?IAA,,()IAA,，()IA,，，，依题意有： min12max12
2()100AA,,A,20A21211 ，那么 。 ,,2A,10A1()900AA，,2212
8-12．绳索上的波以波速传播，若绳的两端固定，相距，在绳上2mv,25m/s
，时绳上各点0.1mt,0
均经过平衡位置。试写出：
（1）驻波的表示式； 形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为
（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。
,解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：，如果绳的两端固定，那么,,x2两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有
,,四个半波长的距离，，则：，波长：，又,,，,x42d,，,42,,,1m22
u?波速，?又已知驻波振幅为， ,,,,,250（）。Hzums,25/0.1mt,0,
,时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为，关于时间部分的余弦函2
,,数应为，所以驻波方程为： ； cos50（）,t，,,yxt,，0.1cos2cos50（）22
2,x（2）由合成波的形式为：， yyyAt,，,2coscos2,,12,可推出合成该驻波的两列波的波动方程为： ytx,,0.05cos502（）,, 1
ytx,，,0.05cos502（）,,, 。 2
2,,8-13．弦线上的驻波波动方程为：yAxt,，cos()cos,，设弦线的质量,2线密度为。 ,
（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；
,（2）分别计算,半个波段内的振动势能、动能和总能量。 02
,,2解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是cos(x，）,0的地方。 ,2
,,,k,2即：x,x，,（2k,1），可得： （k=0，） ,1，,2，,3？,222（2）振动势能写成：
112,,22222dEkdyAxtdV,,，()coscos,,,（） P222,
,半个波段内的振动势能： 0,2
,,112,,?2222222EkdyAxtdx,,，（）()coscos,,, p,,00222,
,222 ,,,,Atcos8
112,,22222而： dEdmvAxtdV,,，,,,sinsin（）K222,
,?半个波段内的振动动能： 0,2
,,112,,2222222EdmvAxtdx,,，（）,,,sinsin K,,00222,
,222 ,,,,Atsin8
,22所以动能和势能之和为： 。 ,,EEEA,，,KP8
8-14．试计算：一波源振动的频率为v，以速度向2040Hzs墙壁接近（如图所示），观察者在点听得拍音的频率为A
v，求波源移动的速度，设声速为。 ,,,3Hz340/mss
解：根据观察者不动，波源运动，即：u,0u,0，， SR
u观察者认为接受到的波数变了：,,,， 0uu,S
其中ums,0.5/,,2040，，，分别代入，可得： 。 u,340,,2043S0
88-15．光在水中的速率为2.2510/，ms (约等于真空中光速的)，在水中有3/4
一束来自加速器的运动电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形成
,顶角的马赫锥，求电子的速率． 116
8u2.2510，8αu解：由vms,,,，2.6510，有 ： 。 sin,s:,1162vssinsin22
8 8-1.下图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在时刻的波形图，则图（b）t,0表示的是：
mn的振动曲线； （B）质点的振动曲线；
（C）质点的振动曲线； （D）质点的振动曲线。 pq
（A）质点
,答：图（b）在t=0时刻的相位为，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。 2
8-2．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相
同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，
两者之和为恒量。
（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波
的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量
得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。
8-3．设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强
度及振幅与离开波源的距离有何关系？
答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下，P为常量，那么，通过距
1P1离为IrA,PIr,,2,,,的柱面的平均能流为：，?，。 2rr,r
8-4．入射波波形如图所示，若固定点处将被全部反射。 O
（1）试画出该时刻反射波的波形；
（2）试画该时刻驻波的波形；
（3）画出经很短时间间隔（<>
驻波波形。
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范文五：11-1 平面简谐波的波函数
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
1 机械波的形成 波源 介质 产生条件
第一讲
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
+
弹性作用
机 械 波
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波的分类 （仅在固体中传播 ）
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
2）纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播） 举个例子？ ？
1）横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
特征：具有交替出现的密部和疏部.
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波？
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点： 波动是位相的传播 （1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。 波速 （3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量 A O ?A wave length
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
?波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
y
u
气体中
u=
γ RT
M K
， γ —— 比热比 p
p V+Δ V
λ
λ
x
液体中
u=
ρ
，
p
λ
λ = uT
媒质定 波源定
u、T与什 么有关？
ΔP K =? ΔV V
（体积模量） 可以证明，弹 u= 性绳上的横波：
period T 波速 u
F
p 体变
ρl
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut = 固 体 中
G
ρ
S ? F （切变模量） 切变
，G =
F S
? F
第一讲 平面简谐波的波函数 5 波线 波面 波前
第十章 机械波
波前 波面振动状态（位相）相同的点连成的面
λ
F
纵波 ul =
E
ρ
， = E
F S Δl l
F l 线变 Δl
λ
相邻波面间距 为一个波长
*
（杨氏模量）
地震波
ul > ut
（会有什么现象？）
球面波
波线
平面波
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1)时间推迟方法
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y = y ( x, t )
yO = A cos ω t
点P 振动方程 波函数
点O 的振动状态
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
t-x/u时刻点O 的运动
y P = A cos ω ( t ? x / u )
=
Δt = x / u
点P
t 时刻点 P 的运动
y = A cos ω (t ? x / u )
2
第一讲 平面简谐波的波函数 2)相位落后法 点 O 振动方程
第十章 机械波
A y
O
v u
P
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
x = 0 ,? ≠ 0
*
y
A
O
u
λ
y o = A cos ω t x = 0 ,? = 0
? p = ?2π
x
?A
x
λ
x
点 O 振动方程
x
每隔一个λ，相位落后2π
yO = A cos(ωt + ? ) ? A
u
P点落后O 点的相位
λ
Δ? = ? p ??O = ?2π x
波函数
?2π x
λ y = A cos(ω (t ? 2π x / λ )
λ x y p = Acos(ωt ? 2π )
波 y = A cos[ω (t ? x ) + ? ] u 沿 x 轴正向 u 函 数 = A cos[(ωt ? 2π x / λ ) + ? ]
u 沿 x 轴负向,波函数如何写？
x y = A cos[ω (t + ) + ? ] = A cos[ωt + 2π x / λ + ? ] u
λ
= ?2π
x x = ?ω Tu u
= A cos ω (t ? x / u )
等价的
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
? 讨论:当振源不位于坐标原点时，如何写波动方程？
o· ·
L
u
· · · ··· ·
x
··· ····
Q
设Q点振动方程
y = A cos( ωt + ? )
P· · · · · · · ·
·· ···· ··
· x
2π ——波数 y = A cos(ω t m kx + ? ) ，k = λ (wave number) t x y = A cos 2π （ m +?） T λ
波函数的另几种几种常见表示式：
? ? ? x ? L? y = A cos ?ω ? t ? ? +?? u ? ? ? ?
y = Aei (ω t m kx +? )
（Re）
（Re）
了解
or
y = A cos(ωt ?
2π ( x ? L)
= Aei ( m kx ) ? ei (ωt +? )
+ ?)
空间因子 （复振幅） 振动因子
λ
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义 x t x y = A cos[ω(t ? )] = A cos[2 π( ? )] u T λ
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波 t + Δt 时刻 时刻 y
u
t
x = x1
初位相为 ?
t = t1
x y = A cos ω (t1 ? ) u
波动曲线
O
x y = A cos ω (t ? 1 ) u
ω x1
u
的振动方程 各质元离开平衡位置的分布—波动
x
Δx
x
y
0
振动曲线
x一定 t
y
0
t 一定
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动 x ( x + Δx) 状态相同,即：
T
x,t均变?
λ
x
y = A cos ω(t ? ) = A cos ω[(t + Δt ) ? u ? Δx = uΔt
u
]
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离，即波形以速度 想一想:如何判断波形图上质点振动方向? u传播。
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法） 2.已知各物理量求波函数
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
写波函数一般步骤
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点的位置，写出其振动方程。 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源 或波源）位相的领先或落后关系。由参 考点的 振动表达式得出波的表达式
t x y = ? A cos 2π ( ? ) (向x 轴正向传播 , ? = π ) T λ x y = ? A cos ω ( ?t ? ) (向x 轴负向传播 , ? = π ) u 2）平面简谐波的波函数为 y = A cos( Bt ? Cx ) 式中 A , B , C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为
y = A cos( Bt ? Cx )
λ=
2π C T= 2π B
d
的两点间的相位差.
u=
λ
T
t x y = A cos 2 π ( ? ) T λ
=
B C
Δ? = 2 π
d
λ
= dC
第十章 机械波 第一讲 平面简谐波的波函数 y 3 ） 如图简谐波 t=T/4 t =0 u A 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 b a c λ O x 点振动初相位.
第一讲 平面简谐波的波函数 例1. t = 0 波形如图 （1）写出波动方程。 先写 o 点振动方程 解：（1） 由图可知
A = 1cm
第十章 机械波
y / cm
1
0.5
u = 10 cm / s
? (? π ~ π ) v A ?o = π O y
ω ω
O
0
?A
2
5
8
11
14
x / cm
ω
O
v A
y
λ = 12 cm
T=
?b = 0
?c = ?
π 2
ω=
π 2π 5 π = rad / s 关键确定 ? 0 = T 3 3
λ 12 = = 1.2 s u 10
ω
π 3
v A
y
y0 = A cos(ωt + φ0 ) = cos(
?a =
π 2
波动方程
y = cos[
5π π t+ ) 3 3
o
y
v A
O
ω
y
5π π x 5π x π ( t ? ) + ] = cos[ (t ? )+ ] 3 u 3 3 10 3
( cm , g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 （2）求 x1 = 5 cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。 解：
第十章 机械波
y / cm
第一讲 平面简谐波的波函数 （3）画 t = 3T 4 时波形曲线，
x / cm
第十章 机械波
y / cm
1
0.5
u = 10 cm / s
0
2
5
8
11
14
此刻 x = 2 cm 处质点振 动位移、速度、加速度？
1
0 .5
u = 10 cm / s
t =0
t= 3T 4
t =0
0
x1 处 y1 = A cos[ ω( t ? x1 ) + ?0 ] u x2 处 y2 = A cos[ ω( t ? x2 ) + ?0 ] u
位相差
位移
y = cos[
2
5
8
11
14
x / cm
π 5π x π 3π 5π 3T 2 ( t ? ) + ] = cos[ ( ? ) + ] = cos = 0 3 10 3 2 3 4 10 3
ω 2π Δ = ? 2 ? ? 1 = ? ( x 2 ? x1 ) = ? ? ( x 2 ? x1 ) u λ 2π 2π = ( x1 ? x 2 ) = ( 5 ? 11 ) = ? π 反位相 λ 12
振动速度 ?y 5π 3π 5π 5π 5π 3T 2 π v = = ? sin[ ( ? ) + ] = ? sin = = 5.23cm / s ?t 3 2 3 3 3 4 10 3 振动加速度
a= ?2 y 5π 2 5 π 3T 2 π = ?( ) cos[ ( ? )+ ] = 0 3 3 4 10 3 ?t 2
4
第一讲 平面简谐波的波函数 （4）若图为 t = 0.2 s 波形， 波动方程如何？
1
0. 5
y / cm
u = 10 cm / s t = 0.2 s t =0
8
11
14
第十章 机械波
第一讲 平面简谐波的波函数 [例2]如图示，已知： y = 0 入 y0 =Acosωt x 0 l 反 (l- x) 全 反 射 壁
波长为λ ， A cos ω t，
第十章 机械波
反射波在S处相位改变π。 求：反射波函数
0 2 5 解：关键是求o点的初位相 T 方法1： = 0.2 s = t 波形 6 π 2π T π + ?0 = ωt + ? 0 = T 6 3 3
x / cm
S
y ′( x , t )
?0 = 0
解： 全反射， A不变。
yo = cos(
5π t) 3
λ 6
y = cos[
5π x (t? )] 3 10
y′( x , t ) = A cos[ω t ?
= A cos[ω t +
l
λ
x
2π ? π ?
2π ? 2l
l?x
λ
2π ]
方法2： 将波形倒退
得出 t = 0 波形，再写方程！ …..
?0 = 0
λ
λ
2π ? π ]
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
习题练习册 练习31
5
