天下第一2892987
范文一：初中数学等边三角形的计算公式大全
初中数学等边三角形的计算公式大全
等边三角形定理:等边三角形是锐角三角形～等边三角形的内角都相等～且均为60?。
h=a sin60?=1/2 ?3
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 ?3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 ?3a
S=1/4 nacot(π/3)=1/4 ?3a
Sr= πr=1/12πa表示内切圆面积
SR=πR=1/3πa表示外接圆面积
知识延伸:等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
初中数学正方形定理公式
关于正方形定理公式的内容精讲知识～希望同学们很好的掌握下面的内容。
?正方形的四边相等,
?正方形的四个角都是直角,
?正方形的两条对角线相等～且互相垂直平分～每一条对角线平分一组对角,
?有一个角是直角的菱形是正方形,
?有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习～同学们
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都能很好的掌握～相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式
同学们认真学习～下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
?平行四边形的对边相等,
?平行四边形的对角相等,
?平行四边形的对角线互相平分,
?两组对角分别相等的四边形是平行四边形,
?两组对边分别相等的四边形是平行四边形,
?对角线互相平分的四边形是平行四边形,
?一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习～同学们都能很好的掌握了吧～相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式
下面是对直角三角形定理公式的内容讲解～希望给同学们的学习很好的帮助。
?直角三角形的两个锐角互为余角,
?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
?直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方,
?直角三角形中30度
角所对的直角边等于斜边的一半,
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?有两个角互余的三角形是直角三角形,
?如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a +b =c
～那么这个三角形是直角三角形。
以上对数学直角三角形定理公式的内容讲解学习～同学们都能很好的掌握了吧～希望同学们都能考试成功。
初中数学等腰三角形的性质定理公式
下面是对等腰三角形的性质定理公式的内容学习～希望同学们认真看看。
?等腰三角形的两个底角相等,
?等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
上面对等腰三角形的性质定理公式的内容讲解学习～同学们都能很好的掌握了吧～希望同学们在考试中取得很好的成绩。
初中数学三角形定理公式
对于三角形定理公式的学习～我们做下面的内容讲解学习哦。
三角形的三边关系定理及推论:三角形的两边之和大于第三边～两边之差小于第三边,
三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于180度,
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三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和,
三角形的外角和定理推理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,
三角形的三条角平分线交于一点,
三角形的三边的垂直平分线交于一点,
三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边～并且等于第三边的一半,
以上对三角形定理公式的内容讲解学习～希望同学们都能很好的掌握～并在考试中取得很好的成绩哦。
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范文二：第三讲 等边三角形
第三讲 等边三角形的相关问题
一、知识梳理/提炼
1.等边三角形的定义：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2.等边三角形的性质：
（1）等边三角形的内角都相等，且均为60°。
（2
（3线所在的直线。
（4（四心合一） 3.等边三角形的判定
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
二、课堂精讲例题
例题1
题目：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
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难度分级：A类 试题来源：课时训练
选题意图（对应知识点）：等腰三角形的性质、等边三角形的判定。
解题思路：等边三角形是特殊的等腰三角形，故它具备了等腰三角形的一切性质。但又因为等边三角形是特殊的等腰三角形，故等边三角形所拥有的一些性质是等腰三角形所部具有的。 -
解法与答案：D
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计） 题目：若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ） A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形
- -
解析：这道题考查了等边三角形的判定。 答案：A
例题2
题目：如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（ ） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形
A
F
DB
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难度分级：A类 试题来源：培优班
选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。 解题思路：根据题意证得以△ADF≌△BED≌△CFE即可求证． 解法与答案：
解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF ∴AF=BD=CE 又∵∠A=∠B=∠C=60° ∴△ADF≌△BED≌△CFE ∴DF=ED=EF
∴△DEF是一个等边三角形 故选A．
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：如图所示，在等边△ABC中，AD=BE=CF,D,E,F不是中点，连结AE,BF,CD.构成一些全等三角形，如果将三个全等三角形组成一组，那么图中全等三角形的组数是（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
- 解析：这题是例2的变形，考查的知识点仍然是等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。
- 例题3
答案：C
题目：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=6cm，则CE= cm．
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难度分级：:A类 试题来源：课时训练
选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；直角三角形的性质．
解题思路：求CE的长，题中给出DB=DE，由角相等可求出CD=CE，所以CE为边长AC的一半．
- - - - - - - - -
解法与答案：
∵BD为等边△ABC的边AC上的中线， ∴BD⊥AC， ∵DB=DE， ∴∠DBC=∠E=30° ∵∠ACB=∠E+∠CDE=60° ∴∠CDE=30° ∴∠CDE=∠E，
即CE=CD= 1/2AC=3cm．
- -
故填3．
点评：本题考查了等边三角形的性质；要熟练掌握等边三角形的性质，得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
-
解析：要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
- - - - - - 例题4
答案：
解：在等边△ABC，且D是AC的中点， 连接BD，且CE=CD，DM⊥BC； 所以∠DBC=∠E=30°， 则BD=ED，又DM⊥BC， ∴M是BE的中点．
题目：在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD， （1）请说明DB=DE的理由．
（2）若等边△ABC的边长为6cm，求△BDE的面积．
- - -
难度分级：A类 试题来源：课时训练
选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质；直角三角形的性质．
- -
解题思路：
（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠CBD=30°，根据三角形外角性质即可得∠DCE=120°，根据CD=CE，可得∠CDE=∠CED=30°，即可得∠CED=∠CBD=30°，即DB=DE．
-
1
（2）过A作AG⊥BC，过D作DF⊥BC，则DF= 2AG，根据直角三角形的性质可以求
得BE的长，根据BE、DF的长即可计算△BDE的面积．
- - - - - - - - -
解法与答案： 解：
（1）∵D是等边△ABC的边AC的中点， ∴BD是∠ABC的角平分线，∠CBD=30°， ∵∠DCE=120°，且CD=CE， ∴∠CDE=∠CED=30°， ∴∠CBD=∠CED， ∴DB=DE．
（2）过A作AG⊥BC，过D作DF⊥BC
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∵D为AC中点， ∴CE=CD=3cm， ∴BE=3cm+6cm=6cm， AG=
AB=3cm，
∵DF⊥BC，AG⊥BC， ∴DF=
AG=
3cm，
3327S BDE= BE?DF= ×9× =cm2．
点评：本题考查了等边三角形边长与高线长的关系，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中正确计算DF的值是解题的关键．
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：如图，等边△ABC的边长为8，点P是边AB的中点，F为BC延长线上一点，CF= 1/2BC，过P作PE⊥AC于E，连PF交AC边于D，求DE的长．
-
解析：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，
等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，有一点难度． - - - -
答案：解：过P点作PG∥BC，交AC于G点 ∵等边△ABC的边长为8，
∵点P是边AB的中点，CF= 1/2BC， ∴AP=CF，
- - - - - - - - - - - - - - - 例题5
∵PG∥CF，
∴△APG是等边三角形 ∵PE⊥AC， ∴EG= 1/2AG，
∵△APG是等边三角形，AP=CF， ∴PG=CF ∵PG∥CF，
∴∠PFD=DCQ，∠FPD=∠Q， ∵PG=CF， ∴△PDG≌△FDC， ∴DG=CD， ∴DG= 1/2CQ，
∴DE=EG+DG= 1/2AG+ 1/2CQ= 1/2AC， ∴ED=5．
答：DE的长是5．
题目：如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB
其中正确结论的个数是（ ）
- -
难度分级：B类 试题来源：课时训练
- 选题意图（对应知识点）：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
- -
解题思路：
由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．
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解法与答案：
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=BC，EC=BC， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB， 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE=BD，故①正确； ∴∠EAC=∠NDC， ∵∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC，
∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM=CN，故②正确； ∴△CMN是等边三角形， ∴∠NMC=∠ACD=60°，
- - -
∴MN∥AB，故③正确． 故选D．
方法归纳：这个基本图形的特点是两个等边三角形有一个公共点，绕着公共顶点，图形可以进行旋转变换。但无论图形怎样旋转，△ACE≌△DCB的结论都是成立的但其他的不一定会相等。
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：如图所示,已知线段BD上一点C,分别以BC和CD为边作等边△ABC和等边△CDE,连结AD和BE，在AD和BE上截取AG=BF.连结CF，FC，CG。证明△CFG是正三角形
-
解析：本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型很典型，是在基本图形上变化出来的图形，我们可以通过基本图形的结论来得出新的结论． - - - - - - -
答案：
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE， ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE， 即∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD， ∴∠DAC=∠EBC，
- - - - - 例题6：
又∵AC=BC，AG=BF ∴△BFC≌△AGC， ∴CG=FC,∠FCB=∠GCA，
∴∠FCB+∠ACF=∠GCA+∠ACF,即∠ACB=∠GCF=60° ∴△CFG是等边三角形，
题目：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α=
时，△AOD是等腰三角形．
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难度分级：B类 试题来源：课时训练
选题意图（对应知识点）：三角形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的判定． 解题思路：要使△AOD为等腰三角形，应有OA=OD，或OD=DA或OA=AD，只要相关角相等由已知条件利用等边三角形的性质即可结论． - - - - - - -
解法与答案：
∵△BOC绕点C按逆时针方向旋转60°得△ADC， ∴△COD为一等边三角形， ∴∠COD=60°
假设OD=OA，则α+100°+60°+∠AOD=360°，∠AOD=180°-2（α-60°），解得α=100°； 当OD=AD时，α+100°+60°+∠AOD=360°，∠AOD= 180°-(α-60°)2，解得α=160°； 当OA=AD时，α+100°+60°+∠AOD=360°，∠AOD=α-60°，解得，α=130°
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计） 题目：如图，设E是正△ABC内的一点，EB=3，EC=4，EA=5，,求∠BEC的度数。
-
解析：本题三个△ABE、△AEC、△BEC都可以旋转，通过旋转可以构造等边三角形，在利用等边三角形的性质解决问题。
- 例题7：
答案：150°
题目：如图所示，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个△AMN，则△AMN的周长为 ．
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难度分级：B类 试题来源：课时训练
选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质;全等三角形；截长补短法；数形结合思想． 解题思路：
- 这道题目设计到了线段的和，△AMN的周长=AM+AN+MN,故我们也可以考虑截长补短法。由于∠BDM+∠CDN=60°，∠MDN=60°，BD=CD，∴在∠NDN内是可以作出DE=BD=CD，且∠ECN=∠CDN，且∠EDM=∠BDM的，解题的关键是证明点E在线段MN上，根据∠DEN=∠DCN=90°，∠DEM=∠DBM=90°，∴∠DEM+∠DEN=180°，从而证明点E在线段MN上，于是再利用EN=NC，EM=MB证得△AMN的周长=AB+AC=4．
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解法与答案： 截长补短法
解：∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠BDM+∠CDN=60°， ∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC= （180°-120°）/2=30°， ∵∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=90°， 又∵BD=CD，DM=DN， ∴Rt△MBD≌NCD（HL），
∴∠BDM=∠CDN= ∠BDC-∠MDN2= (120°-60°)/2=30°， 过D作DE⊥MN，又三角形MDN为等边三角形， ∴DE为∠MDN的平分线，即∠MDN=30°，
∴∠MDB=∠EDM=30°，∠MBD=∠DEM=90°，且MD=MD， ∴△DEM≌△DBM，∴ME=BM， 同理△EDN≌△CDN，∴EN=CN，
∴△AMN的周长=AN+AM+MN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=2+2=4． 故填4．
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计） 题目：
（1）用旋转变换处理例题7
（2）在等边?ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为?ABC外一点，且∠MDN=60?，
∠BDC=120?，BD=CD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及?AMN的周长与等边?ABC的周长L的关系．
N
A
A
N
MB
D
图①
NC
B
D图②
M
C
M
D图③B
C
A
⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时
Q
=__________ L
⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示) -
解析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 Q/L=2/3； -
（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； -
（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．
例题8
题目：如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°- 1/2∠BDC． 求证：AC=BD+CD.
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难度分级：B类
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试题来源：尖子生培优教材
选题意图（对应知识点）：轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
解题思路：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D，后证明C、D、B′在一条直线上，及△ACB′是等边三角形，继而得出答案．
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解法与答案：
证明：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D（如图）， 则有B′D=BD，AB′=AB=AC，
∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°- 12∠BDC， 所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°， 所以C、D、B′在一条直线上， 所以△ACB′是等边三角形， 所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．
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解析：首先延长BD至F，使DF=BC，得出△BEF为等边三角形，进而求出△EBC≌△EDF，从而得出EC=DE． -
答案：证明：延长BD至F，使DF=BC， ∵AE=BD，△ABC为等边三角形， ∴BE=BF，∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形， ∴∠F=60度，
∴BE=EF，∠B=∠F=60°，BC=DF， ∴△EBC≌△EDF， ∴EC=ED．
例题9
题目：已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．
（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t= （s）时，△PBC是直角三角形； （2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形? （4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由 - - - -
难度分级：C类 试题来源：课时训练
选题意图（对应知识点）：勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定 解题思路：
- （1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值； （2）因为∠B=60°，可选取∠BPQ=90°或∠BQP=90°，然后根据勾股定理计算出BP长，即可算出t的大小；
（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值； （4）面积相等．可通过同底等高验证．
- -
解法与答案：
解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°， ∠BPC=90°，所以BP=1.5cm， 所以t= 3/2
（2）当∠BPQ=90°时，BP=0.5BQ， 3-t=0.5t，所以t=2； 当∠BQP=90°时，BP=2BQ， 3-t=2t，所以t=1； 所以t=1或2（s）
（3）因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ， 所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°， 又因为∠A=60°， 所以AD=2AP，2t+t=3， 解得t=1（s）； （4）相等，如图所示：
作PE垂直AD，QF垂直AD延长线，因为AP=QF， ∠F=∠AEP，∠QCF=∠A，所以△EAP≌FCQ，
所以PE=QF，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．
-
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟. （1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
- -
解析：
（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB=BC=9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；
（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB=BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（3）同时出发，要相遇其实是一个追击问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追击上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程-P运动的路程=18列出关于t的方程，求
出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置． - -
答案：
解：（1）∵等边△ABC， ∴BC=AB=9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts， ∴CP=2t，
则PB=BC-CP=（9-2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts， ∴BQ=5t；
（2）若△PBQ为等边三角形， 则有BQ=BP，即9-2t=5t， 解得t= 9/7，
所以当t= 9/7s时，△PBQ为等边三角形； （3）设ts时，Q与P第一次相遇， 根据题意得：5t-2t=18， 解得t=6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t=6s时，P走过得路程为2×6=12cm， 而9＜12＜18，即此时P在AB边上， 则两点在AB上第一次相遇．
例题10
题目：附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？?
；③
．并对②，③的判断，选择一个给出证明.
- - - -
难度分级：C类
试题来源：中考试题汇编
选题意图（对应知识点）：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 解题思路：（1）在△ABM和△BCN中，
根据 {BM=NC∠ABM=∠BCNAB=BC判定△ABM≌△BCN， 所以∠BAM=∠CBN，
则∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度． （2）②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN， 得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°， 即∠BQM=60°；
③同上，证明Rt△ABM≌Rt△BCN， 得到∠AMB=∠BNC，
所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°， 即∠BQM≠60°．
- 解法与答案：
证明：（1）在△ABM和△BCN中，
?BM=NC??∠ABM=∠BCN
?AB=BC?
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，
?CM=AN??∠ACM=∠BAN
?AC=AB?
∴△ACM≌△BAN，
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
?BM=CN??AB=BC ，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．
搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）
题目：例题10第（3）问
四、巩固练习
基础训练题（A类） 1、如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC
于点
E
，那么这
个图形中的等腰三角形共有（ ）
A、5个 B、6个 C、7个 D、8个
2、如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC垂足为点E，EF∥AB，AE=1，则△EFC的周
长= 。
3、如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=CE，BE与CD交于点F，则∠EFC的度数等于 。
4、如图所示，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G
是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少？
5、已知：如图，E是四边形ABCD的边AD上一点，且△ABC和△CDE都是等边三角形．求证：BE=AD．
提高训练（B类） 6、如图，已知O是等边三角形△
ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6：5：4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是 ．
9、如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60°，求证：CD=AB-BD。
10、如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．
11、如图1，等边△ABC中，点D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且AD=BE=CF．
（1）△DEF是 三角形；
（2）如图2，M为线段BC上一点，连接FM
，在FM的右侧作等边△FMN，连接DM、EN．求证：DM=EN;
（3）如图3，将上题中“M为线段BC上一点”改为“点M为CB延长线上一点”，其余条件不变，求证：DM=EN．
综合迁移（C类） 12、如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P和动点Q分别从点B和点C同时出发，沿着△ABC逆时针运动，已知动点P的速度为1（
cm/s），动点Q的速度为2（cm/s）．设动点P、动点Q
的运动时间为t（s）
（1）当t为何值时，两个动点第一次相遇．
（2）从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为cm． （友情提示：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半） 2
如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明。
答案：
基础训练题（A类） 1、答案：选C
2、答案：△EFC的周长=3+3+3=9
3、答案：60° 4、答案：图形ABCDEFG的外围的周长为：AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA=4+4+2+2+1+1+1=15（cm）
5、 证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°．
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE．即得∠BCE=∠ACD．
?BC=AC??∠BCE=∠ACD
?CE=CD在△BCE和△ACD中，?
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD．
提高训练（B类）
6、答案：36°或60°或84°．
7、答案：2：3：4
8、答案：12-63
9、 在AB上取点E，使BE=BD，
在AC上取点F，使CF=CD
得△BDE与△CDF均为等边三角形，
只需证△ADF≌△AED
10、 证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，
M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
又∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
?BC=AC??∠BCD=∠ACD
?CE=CD?， ∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，AM=BN；
又∵△AMC≌△BNC，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN；
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM，
∠ACB=∠ACM-∠BCM，
∴∠NCM=∠ACB=60°，
∴△CMN是等边三角形．
11、
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又AD=BE=CF
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DE=EF=DF，
∴△DFE为等边三角形．
（2）由（1）得，DE=EF=DF，
又MF=MN=FM，∠DFM=∠EFM+60°，∠EFN=∠EFM+60°，
∴∠DFM=∠EFN，
∴△DFM≌△EFN
∴DM=NE．
（3）同理，DE=EF=DF，MF=MN=FM，
又∠MFD+∠MFE=60°，∠MFE+∠EFN=60°，
∴∠MFD=∠EFN，
∴△MDF≌△NEF，
∴DM=EN
综合迁移（C类）
12、
（1）解：根据题意得：2t=10+10+t，
解得：t=20， 答：当t为20时，两个动点第一次相遇．
（2）有4种情况①如图1，过Q作QH⊥BC于H，得到CQ=2t，∠HQC=30°，CH=t，求出QH的长，根据三角形的面积公式即可求出t的值；②如图2，与①类似即可求出t
的值；③如图3，QH⊥AC于H，CP=t-10，AQ=2t-10
，
13、 解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-（180-∠ACD）=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．
（3）∠AFB=180°-α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中 {AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
则△ACE≌△DCB（SAS）．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°-∠EFB=180°-α
范文三：三角形面积计算公式
三角形面积计算公式
面积：
(1)S＝ah/2
(2).已知三角形三边a,b,c ，则 （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
(3).已知三角形两边a,b, 这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC
(4).设三角形三边分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r
S=(a+b+c)r/2
(5).设三角形三边分别为a 、b 、c ，外接圆半径为R
S=abc/4R
(6).根据三角函数求面积：
S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中R 为外切圆半径。
(7).海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长.
范文四：三角形边长计算公式
三角形边长计算公式
(1),△=sr; (2),△=(s-a)*ra=(s-b)*rb=(s-c)*rc; (3),△=√(r*ra*rb*rc); (4),△=ra*rb*rc/√(rb*rc+rc*ra+ra*rb); (5),△=s^2*tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2); (6),△=s*(s-a)*tan(A/2)=s*(s-b)*tan(B/2)=s*(s-c)*tan(C/2); (7),△=abc/(4R); (8),△=bc*sinA/2=ca*sinB/2=ab*sinC/2; (9),△=abc*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)/s; (10),△=2R^2*sinA*sinB*sinC; (11),△=a^2*sinB*sinC/sinA= b^2*sinC*sinA/sinB= c^2*sinA*sinB/sinC; (12),△=(a^2/sinA+b^2/sinB+c^2/sinC)*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2); (13),△=[(b^2+c^2)*sin(2A)+(c^2+a^2)*sin(2B)+(a^2+b^2)*sin(2C)]/12; (14),△=2s^2*sinA*sinB*sinC/(sinA+sinB+sinC)^2; (15),△=√{(a^4+b^4+c^4)/[8(cotA)^2+8(cotB)^2+8(cotC)^2+8]}; (16),△=a^2/[2(cotB+cotC)]=b^2/[2(cotC+cotA)]=c^2/[2(cotA+cotB)]; (17),△=[b^2*sin(2C)+c^2*sin(2B)]/4=[c^2*sin(2A)+a^2*sin(2C)]/4 =[a^2*sin(2B)+b^2*sin(2A)]/4; (18),△=√[(ma+mb+mc)*(mb+mc-ma)*(mc+ma-mb)*(ma+mb-mc)]/3; (19),△=1/
√[(1/ha+1/hb+1/hc)*(1/hb+1/hc-1/ha)*(1/hc+1/ha-1/hb)*(1/ha+1/hb-1/hc)];
(20),△=a*ha/2=b*hb/2=c*hc/2;
(21),△=(ha*sinA+hb*sinB+hc*sinC)^2/(18*sinA*sinB*sinC).
范文五：三角形面积计算公式
《三角形面积计算公式》教学设计
四卦小学 白保华
教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册三角形面积
教材分析：人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。
学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。
教学目标：
1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。
2、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。
3、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。
教学重点：三角形面积计算公式的推导。
教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。
教具准备：多媒体课件一套，投影仪。
学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各两个②长方形、正方形、平行四边形各一个③任意三角形若干个） 教学设计:
一、创设问题情境，质疑激励探索
师：同学们，今天老师为大家带来了几位老朋友，你们想和它们见见面吗？
1、课件出示： 学生说名称及特征后，
平行四边形
出示关系集合图 长方形
正方形
师问：谁愿意说出三种图形的面积的计算方法和计算公式的推导过程。
课件展示三角形的图片 请同学们观察猜测：三角形的面积会怎样计算呢？该怎样转化呢？
揭题：三角形面积计算公式（板书课题）
（设计意图：创设轻松的学习氛围，用多媒体手段帮助学生回忆长方形、正方形、平行四边形的面积计算公式及其所属关系，为后面的探究活动中图形及公式的转化作好铺垫。激励学生用已有的经验深入认识“老朋友”（三角形）的欲望和倍心，同时又导出了探索的目标和方向。〕
二、合作探索新知，循序渐进解谜。
（一）实践操作的合作探索：：根据你的猜想，动手操作验证一下吧!
第一次小组合作：1. 同学们，请你们选择三组学具中你喜欢的一种，用你们喜欢的方法进行实验
2. 通过折、剪、拼、你会转化成哪种已学过的面积的图形？
3. 转化后的图形与原三角形有什么联系？
4. 组内展示交流：你是怎样操作的，得到什么样的结论
（二）汇报操作验证结果
生上台展示：把一张三角形纸片的三个角向内对折，变成一个小长方形，得到长方形的长是原来三角形底的一半，宽就是三角形的高的一半，为此，三角形的面积等于小长方形面积的2倍。2倍与其中的一个“一半”抵消，还剩一个“一半”为此，三角形的面积等于底乘高除以2
生上台展示：将三角形的顶角向底边平行对折，再沿折痕剪开，把得到的小三角形沿中间对折再剪开，分别补在剩下图形的两侧，变成一个长方形。三角形的底没变，高缩小了一半，为此，三角形的面积等于底乘高除以2师：这个办法怎么样？
生：也很合理。（表扬，祝贺）
师：还有其他做法吗？
生：把等腰三角形对折，剪开一半拼成平行四边形（含长方形、正方形），拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高是三角形的高，平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍
生：选两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都可以拼成一个平形四边形（含长方形、正方形）拼得的平行四边形的底是原来三角形底的2 倍，高不变，所以，三角形的面积等于底乘高除以2。
师：这个办法怎么样？看来同学们在探究三角形面积的推导想出的办法还真不少！那么，你感觉哪种办法最好？最有创意？〔设计意图：尊重学生的知识基础和喜好，让学生自由选择三组学具中的一组，使学生更满意地完成任务，同时也培养学生学会。倾听别人的正确意见，给予排斥、质疑、认同的思维空间，创造客观评价他人和自己的机会，掌握三种基本思路，（即拼法、剪法、和割补法），鼓励个性割补法。多媒体课件的分类图展，多次发散验证学生推导的准确性，更能帮助学生构建新的知识网，充分享受成功的喜悦，激发学生的积极性，真正体现的学生为主体，面向全体学生的教育思想。
（三）各组同学可以上台采访和自己拼法不一样的小组，交流经验，比较这四种方法，你喜欢哪种方法？为什么？如果你觉得自己的拼法有不足之处，你想向哪一组同学学习？他们的拼法好在哪里。（各小组交流经验）〔设计用意：及时反思使学生产生鲜明的对照，能及时地改进自己操作中的不足，多吸取他人的优点，积累操作经验，拓宽思路。合理的评价机制真
正起到了鼓励的作用。教师小组评价、同学对比评价、自己反思评价的客观多元评价方法，培养学生自我评价的能力，鼓励学生参与他人平等竞争，使学生产生挫败和成功的情感体验，提高心理素质。〕
（四）小组合作二：
小组交流：1. 三角形的面积如何计算呢？用字母如何表示？
2. 在本上书写计算公式
汇报结果：
生：三角形的面积等于底乘高除以2。
生：如果用S 表示三角形的面积，用a 表示三角形的底，用h 表示三角形的高，字母表示三角形的面积公式S = ah ÷ 2（设计意图：通过比较、归纳，揭示三角形面积计算公式及字母表达式。公式的推导是全体学生亲身经历探索的过程、发现的过程，推理的过程，是学生个人独立思考与小组合作学习的过程，学生对公式的来源理解深刻，为实际应用及拓展创新铺下了坚实的基础）。
（五）第三次合作：
我们运用合作的力量探究出了三角形的面积计算公式，同学们太了不起了！请把三角形的面积的计算公式的推导过程与组内伙伴分享
板书两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，这个平行四边形的高等于三角形的高，因为每个三角形的面积等于拼成平行四边形面积的一半，又因为平行四边形的面积=底×高 所以：三角形的面积=底×高÷2
三、实践运用，拓展创新：
1、尝试解答例题。
课件出示：一种零件有一面是三角形，三角形的底是5.6厘米，高是4厘米。这个三角形的面积是多少平方厘米？（学生独立尝试解答，教师巡视辅导，集体订正。）
课内作业，课外延伸。
2、巩固练习 练习十七1-3题
四、全课总结：通过与伙伴的合作探究，你有什么收获？你对自己的表现满意吗？ 板书设计： 三角形的面积
两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形
拼成的平行四边形的底等于三角形的底，
拼成的平行四边形的高等于三角形的高，
因为每个三角形的面积等于拼成平行四边形面积的一半，
又因为 平行四边形的面积=底×高
所以 三角形的面积=底×高÷2
S = ah ÷ 2
小学数学概念教学
白保华 数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数学概念比一般概念更要准确掌握。数学概念是构建数学理论体系的基础，因此必须重 视。小学生年龄小，生活经验不足，知识面窄，构成了概念教学中的障碍。数学概念又是小学数学基础知识的一项重要内容，是学生理解、掌握数学知识的首要条 件，也是进行计算和解题的前提。因此重视数学概念教学，对于提高教学质量有着举足轻重的作用。教师在概念教学中, 要创设条件, 根据不同类型概念运用不同教学策略, 采用不同教学方法. 可以通过演示操作、建立表象、逐步抽象、形成概念、强化练习、巩固概念、灵活运用、提高能力等方法与策略进行概念教学.
一、什么是数学概念
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中，客观事物的颜色、材料、气味等方面的属性都被看作非本质属性而被舍弃，只保留它们在形状、大小、位置及数量关系等方面的共同属性。在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念更准确。
小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。
二、小学数学概念的表现形式
在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。
1．定义式
定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特征，揭示的是一类事物的本质属性。这样的概念，是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中，使之从直观到表象、继而上升为理性的认识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。
2．描述式
用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5??叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善，在小学数学教材中一般用于以下两种情况。
一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。
另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。
一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。因此，小学数学概念呈现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。在进行数学概念教学时，我们必须注意充分领会教材的这两个特点。
三、小学数学概念教学的意义
首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。
小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。事实证明，如果学生有了正确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能。相反，如果一个学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式。例如，整数百以内的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十位进一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使他们弄清“数位”、“个位”、“十位”、“个位满十”等的意义，如果对这些概念理解不清，就无法学习这一法则。又如，圆的面积公式S=πr2，要以“圆”、“半径”、“平方”、“圆周率”等概念为基础。总之小学数学中的一些概念对于今后的学习而言，都是一些基本的、基础的知识。小学数学是一门概念性很强的学科，也就是说，任何一部分内容的教学，都离不开概念教学。
其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础。
概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。没有正确的概念，就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。例如，“含有未知数的等式叫做方程”，这是一个判断。在这个判断中，学生必须对“未知数”、“等式”这几个概念十分清楚，才能形成这个判断，并以此来推断出下面的6道题目，哪些是方程。
(1)56+23＝79 (2)23-x＝67 (3)x÷5＝4.5
(4)44×2＝88 (5)75÷x＝4 (6)9+x＝123
在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用。从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。
6.1.3 数学概念教学的一般要求
1．使学生准确理解概念
理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象，三要掌握表示概念的词语或符号。
2．使学生牢固掌握概念
掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯定例证和否定例证。能对概念进行分类，形成一定的概念系统。
3．使学生能正确运用概念
概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性进行判断推理。
四、小学数学概念教学的过程与方法
根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念。
（一）数学概念的引入
数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。
引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的。因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法。
1、以感性材料为基础引入新概念。
用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。
例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。
以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。
2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。
如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。
例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入。再如，在学习质数、合数概念时，可用约数概念引入：“请同学们写出数1，2，6，7，8，12，11，15的所有约数。它们各有几个约数？你能给出一个分类标准，把这些数进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方法中，哪一种分类方法是最新的分类方法？”
3、以“问题”的形式引入新概念。
以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。
4、从概念的发生过程引入新概念。
数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。例如，小数、分数等概念都可以这样引入。这种方法生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
（二）数学概念的形成
引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。
1、对比与类比。
对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比，去比较发现两者的不同点。用对比或类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。
2、恰当运用反例。
概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。
用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。但必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。
3、合理运用变式。
依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。
例如，讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形展示外，还应采用变式图形去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。
（三）数学概念的巩固
为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。
1、注意及时复习
概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系。
2、重视应用
在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意识。 概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。
（1）概念内涵的应用
①复述概念的定义或根据定义填空。
②根据定义判断是非或改错。
③根据定义推理。
④根据定义计算。
例4（1）什么叫互质数？答： 是互质数。
（2）判断题：
27和20是互质数（ ）
34与85是互质数（ ）
有公约数1的两个数是互质数（ ）
两个合数一定不是互质数（ ）
（ 3）钝角三角形的一个角是 82o，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？
（4）如果P 是质数，那么比P 小的自然数都与P 互质。这句话对吗？请说明理由？
2．概念外延的应用
（1）举例
（2）辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。
（3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。
（4）将概念按不同标准分类。
例5（1）列举你所见到过的圆柱形物体。
（2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（图6－2）
（3）分母是9的最简真分数有＿分子是9的假分数中，最小的一个是
（4）将自然数2－19按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）
概念的应用可分为简单应用和综合应用，在初步形成某一新概念后通过简单应用可以促进对新概念的理解，综合应用一般在学习了一系列概念后，把这些概念结合起来加以应用，这种练习可以培养学生综合运用知识的能力。
五、小学数学概念教学中应注意的问题
1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。
概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。由于客观事物的不断发展和变化，同时也由于人们认识的不断深化，因此，作为人们反映客观事物本质属性的概念，也是在不断发展和变化的。但是，在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，
在不同的阶段有不同的要求。开始只是认识1、2、3、??，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增大，又引进了分数(小数) ，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充到实数、复数的范围等。又如，对“0”的认识，开始时只知道它表示没有，然后知道又可以表示该数位上一个单位也没有，还知道“0”可以表示界限等。
因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的阶段性目标。
为了加强概念教学，教师必须认真钻研教材，掌握小学数学概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体要求会有所不同，即使同一概念在不同的学习阶段要求也有差别。
有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再下定义。例如，对分数意义理解的三次飞跃。第一次是在学习小数以前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的 、、、、、等，都是分数。”通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份都可以用分数来表示。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。
再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学的。在低年级，先出现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累一些有关长方体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名称。然后，通过操作、观察，了解长方体和立方体各有几个面，每个面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性认识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形(并非透视图) 。但这一阶段的教学要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够辨认和区分这些形状即可。仅仅停留在感性认识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，教师先说明什么是长方体的面、棱和顶点，让学生数一数面、棱和顶点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的大小，比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特征。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。进而可以让学生对照实物，观察图形，弄清楚不改变观察方向，最多可以看到几个面和几条棱。哪些是看不见的，图中是怎样来表示的。还可以让学生想一想，看一看，逐步看懂长方体的几何图形，形成正确的表象。
在把握阶段性目标时，应注意以下几点：
(1)在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要依据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时注意与将来的严格定义不矛盾。
(2)当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是发展的，不断变化的。如：有一位学生在认识了长方体之后，认为课本中的任何一张纸的形状也是长方体的。说明该学生对长方体的概念有了更进一步的理解，教师应加以肯定。
(3)当概念发展后，教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。如“倍”的概念，在整数范围内，通常所指的是，如果把甲量当作1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍。在引入分数以后，“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念，就包含了原来的“倍”的概念。如果把甲量当作l 份，乙量也可以是甲量的几分之几。
因此，在数学概念教学中，要搞清概念之间的顺序，了解概念之间的内在联系。数学概念随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。教学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系。
2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾
尽管教材中大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。但对于小学生来说，数学概念还是抽象的。他们形成数学概念，一般都要求有相应的感性经验为基础，而且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明，从许多有一定联系的材料中，通过自己操作、思维活动逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直观，以解决数学概念的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。
（1）通过演示、操作进行具体与抽象的转化
教学中，对于一些相对抽象的内容，尽可能地利用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基础上抽象出概念的本质属性。
几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是图形特征、性质的概念都非常抽象，因此，教学中更要加强演示、操作，通过让学生量一量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念，从而抽象出这些概念。
例如“圆周率”这一概念非常抽象，有的教师在课前，布置每个学生用硬纸制做一个圆，半径自定。上课时，就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容：(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果。
然后引导学生分析发现：不管圆的大小，它的周长总是直径的3倍多一点。这时再揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。再让学生任意画一个圆，量出直径和周长加以验证。这样，引导学生把大量的感性材料，加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时用的单位等) ，抓住事物的本质特征(圆的周长总是直径的3倍多一点) ，形成了概念。
这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚。通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。
（2）结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化
教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应该充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础上又将其生活知识抽象为教学内容。
例如乘法交换律的教学，往往让学生先解答这样的习题：一种钢笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要多少元? 学生在实际解答中发现，这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10) ×2＝60元；另一种是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，一条裤子30元，买这样的5套衣服需要多少元? 这样借助于学生熟悉的生活情景，使抽象的问题变得具体化。
同样常见数量关系中的单价、总价与数量之间的关系；路程、速度与时间的关系，工作量、工作效率与工作时间之间的关系等，都应结合学生的生活经验，通过具体的题目将其抽象出来，然后又利用这些关系来分析解决问题。这样的训练有利于使学生的思维逐渐向抽象思维过渡，逐步缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性的矛盾。
但是，运用直观并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性上升到理性，形成概念。
3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程
尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类概念的形成又有各自的特点，但不管以何种方式获得概念，一般都会遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成路径。下面就概念教学中每个环节的教学策略及应注意的问题作一阐述。
（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料
在概念引入的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。
如在一节教学分数的意义的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教学难点，事先向学生提供了各种操作材料：一根绳子，4只苹果图，6只熊猫图，一张长方形纸，l 米长的线段等，通过比较、归纳出：一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”表示，从而突破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础。
但概念引入时所提供的材料要注意三点：一是所选材料要确切。例如角的认识，小学里讲的角是平面角，可以让学生观察黑板、书面等平面上的角。有的教师让学生观察教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面角，对于小学教学要求来说，就不确切了。二是所选材料要突出所授知识的本质特征。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。
（2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性
概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采取一切手段帮助学生逐步理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基础上掌握概念。促进对概念理解的途径有：
1）剖析概念中关键词语的真实含义
例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这些关键词语的真实含义弄清楚了，才会对分数的概念有了深刻的理解。再如教学“整除”概念之后应帮助学生从以下三方面进行判断，一是判断是否具有“整除”关系的两个数都必须是自然数；二是这两个数相除所得的商是整数；三是没有余数。对定义的分析是帮助学生认识概念的又一次提高。三角形的高的定义:“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。”这里的“一个顶点”、“垂线”、“垂足”都是一些关键词语。为了让学生理解三角形的高，除了让学生理解字面意思外，往往还需要学生通过实际操作，体会画“高”的全过程。指出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个顶点(可以是任何一个顶点) ，作到它对边的垂线，顶点和垂足之间的线段”。这样把实际操作的过程和所画的三角形高的图形与定义所叙述的
内容对照，使学生准确地理解三角形的高的定义。这实际上是在数学概念建立后，帮助学生对本质属性进行剖析，既将本质属性再次从定义中分离出来，加以明确。
2）辨析概念的肯定例证和否定例证
学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练习，如教完三角形按角分类后，可以出示：一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这一概念的外延的进一步认识。再如，小数的性质揭示后，可以让学生判断0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各数，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉? 从而加深学生对小数性质的理解。
3）变换本质属性的叙述或表达方式
小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就辨认不出来。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。
4）对近似的概念及时加以对比辨析
在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积，等等。对这类概念，学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，以避免互相干扰。 如学习了“整除”，为了和以前学的“除尽”加以比较，可以设计这样的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽?
(1)8÷2＝4 (2)48÷8＝6
(3)30÷7＝4??2 (4)8÷5＝1.6
(5)6÷0.2＝30 (6)1.8÷3＝0.6
引导学生通过分析、比较，从而得出：第(3)题是有余数的除法，当然不能说被除数被除数整除或除尽，其他各题当然能说被除数被除数除尽了。其中只有第(1)、(2)题，被除数、除数和商都是自然数，而且没有余数，这两题既可以说被除数被除数除尽，又能说被除数被除数整除。从上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊情况，除尽包括了整除和一切商是有限小数的情况。
学习了比之后，可以用列表法设计比与除法、分数之间的联系的习题，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”的区别。
（3）重视概念的运用，发挥概念的作用
正确、灵活地运用概念，就是要求学生能够正确、灵活地运用概念组成判断，进行推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的在于运用，运用的途径有：
1) 自举实例
这是要求学生把已经初步获得的概念简单运用于实际，通过实例来说明概念，加深对概念的理解。有经验的教师，根据小学生对概念的认识通常带有具体性的特点，在学生通过分析、
综合、抽象、概括出概念后，总是让他们自举例证，把概念具体化。从具体到抽象又回到具体，符合小学生的认识规律，使学生更准确把握概念的内涵和外延。
例如在学生初步获得了真分数、假分数的概念后，就可以让学生分别举一些真分数和假分数的实例；知道了圆柱的特征后，让学生说说日常生活中有哪些物品的形状是圆柱形的。
2) 运用于计算、作图等
例如，如学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题。
104×25 48×25 101×35×2
(80+8)×25 8×(125+50) 34×5×2
在掌握分数的基本性质后，就要求学生能熟练地进行通分、约分，并说明通分、约分的依据。学习了小数的性质后，就可以让学生把小数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组操作题；画一个等腰三角形；画一个顶角60度的等腰三角形；画一个腰长为2厘米的等腰直角三角形。
3) 运用于生活实践
数学概念来源于生活，就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到生活实际中去运用，才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用技能。为此，教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握小学数学教材逻辑系统的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念。
例如在学习圆的面积后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了圆面积公式，谁能想办法算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”同学们就讨论开了，有的说，算圆面积一定要先知道半径，只有把树砍下来才能量出半径；有的不赞成这样做，认为树一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就能算出横截面面积的办法来呢? 大家再讨论一下。”学生们渴望得到正确的答案，通过积极思考和争论，终于找到了好办法，即先量出树干的周长，再算出半径，然后应用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周长，算出了横截面面积。再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系，巧妙地算出了旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不但启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴趣和能力，也加深了对所学概念的理解。
（4）注重概念之间的比较分类，深化概念
小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，但是由于小学生思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或几个学期来完成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。对一些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。尤其是中高年级，可以引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。
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