邢一珊的经纪人
范文一：如何作函数的图像？
如何作函数的图像,
2004年9月上中学生数学为了低年级的同学
浙江省宁波市北仑中学(315800)吴文尧
着名数学家华罗庚教授曾说过:”数形结
合万般好,数形分离万事休”.数形结合确实是
中学数学中最重要的思想方法之一,要用数形
结合的方法解题,首先须作出函数的图像或方
程的曲线,如何作出函数的图像是每个同学必
须解决的问题.本文介绍作函数图像的几种常
用方法,供大家参考.
1.简单函数图像——找原型
中学数学中涉及的函数图像,多数可以通
过平移变换和对称变换找到它的原型;若对教
材中的基本函数的图像非常熟悉,且掌握图像
变换的一些常规方法,则不难作出一些简单函
数的图像.
例1作出下列各函数的图像.
一上9
?一;?—log2l+2l一1.
,上0—1
分析?因为Y一兰_-甘一1+—,
上IJ上lJ
——1
所以其图像可以看成由Y一的图像向左平
上
移3个单位,再向上平移1个单位而得到.
log2I+2l一1想到y—log2l ?由Y—
+2},再想到Y—log.Il,所以其图像可以看
成由Y—log}}图像向左平移2个单位,再向
下平移1个单位而得到,而Y—logIl的图像
关于Y轴对称,且在Y轴的右侧和Y—log
的图像重合.
由此不难作出上述函数的图像.
2.分段函数图像——分段作
分段函数及最终须化归为分段函数的”准
分段函数”是同学们普遍感到棘手的问题;事
实上分段函数可以看成是由若干个简单函数
组合而成,故对于分段函数问题只须”以其人
之道还其人之身”,即只须分段解决即可.
1一l,l
例2作出函数Y一的图像.
1上工1
分析若能去掉解析式中的绝对值符号,
则问题就容易解决了;故可用分区间讨论的方
法对函数的解析式进行等价变形,分解为几个
简单函数解决之.
解一
f一1一(<0){——
1
11(0?<1)
jl一1(>1)
{
,.
1
///.1D:1
I
-
1
3.陌生函数图像——看特征
众所周知,函数的图像和函数的性质是相
辅相成的,即由函数的图像可以知道函数的性
质;由函数的性质可以知道函数的图像特征;若
所作函数既找不到它的原型,又不能分解为若
干个简单函数,则只能先通过研究函数的性质,
如:函数的奇偶性,定义域,值域,单调性,变化
趋势等,看出其图像特征,再作出其图像.
0一
例3作出函数一厂()一的图像..
』l上
分析,工)函数的定义域为:(一oo,+oo),
由此可知其图像是一条连续的无限长的曲线.
?易见此函数是一个奇函数,故其图像
关于原点对称,且过原点.
0,0
?x>O时:Y—f(x)一一—?
门.+
1,且一1时取最大值1;即图像的最高点为
A(1,1),最低点为B(一1,一1).
?由?可知此函数是区间[0,1]上的增
函数,是区间[1,+..]上的减函数.
?当一+oo时:>0且一0;一一CxD
时:<0且一0;故轴是函数图像的一条渐
近线.
根据上述函
数图像特征,可作
出函数Y—f()
?的图像如右图.(责审余炯沛)
田
范文二：几何画板作正弦函数的图像
《用几何画板作正弦函数的图像》微课程设计方案
作者信息
姓 名 迟尚雷 联系电话 13853268155 所教学科 中职数学 所教学段 高中二年级 电子邮件 853757@qq.com
单位名称 莱西市机械工程学校
微课程信息
主题名称 用几何画板作正弦函数的图像
选题意图 运用形象直观的多媒体动画帮助学生理解相关知识 内容来源 山东省中职教材数学第二册第七章《三角函数》
数学 高中二年级
1、理解利用几何作图法作正弦函数图象的原理与过程, 教学目标
2、掌握五点法作正弦函数y=sinx,x?[0～2]的简图。 ,
课前预习; 课中讲解或活动; 课后复习。
教学用途 通过演示形象直观的多媒体动画～帮助学生理解正弦函数的图象作
法～并把握其图象特征～为今后学习正弦函数的性质打好基础。 知识类型 实验操作型, 情感感悟型
制作方式 录屏,演示文稿,动画
预计时间 8分钟
微课程设计
教学过程 设计意图
通过简谐运动使学生初步感知正弦函播放动画“沙摆演示实验”。 数图象。
展示“几何法”作图～作图过程形象
几何画板演示作正弦函数y=sinx,x?R的图象。 直观～易于激发学生学习兴趣～突破
难点～提高学习效率。
发现五个关键点～观察函数图象的美。对正弦函数y=sinx,x?[0～2,]的图象再观察～深刻把握图象的特征～并得出“五点发现对形状起关键作用的点。 作图法”
学习“五点作图法”的方法和步骤～例题 作函数y=1+sinx,x?[0～2,]的简图 便于学生日常作函数的简图。
1
巩固“五点作图法”～培养学生的动学生练习 手能力
归纳小结 回顾教学目标～形成知识点 设计亮点:
1、应用几何画板5.0开发课件～动画形象生动～直观性强～交互性强～便于学生理
解所学知识～符合微课程制作要求。
2、正弦函数的图象作法～利用传统的教学手段不够形象～不能激发学生的学习兴趣～
故选取本节知识作为案例。
3、师生互动～有助于提高课堂教学效果。
4、技术细节上主要注意到参数的真实性～课件的交互性～实用性～微课程画面清晰～
语言精炼性及准确性～尽可能采用更多的动画图片丰富微课程视频内容。
《用几何画板作正弦函数的图像》微课程学习任务单 一、学习目标
1、理解利用几何作图法作正弦函数图象的原理与过程,
2、掌握五点法作正弦函数y=sinx,x?[0～2]的简图。 ,
二、学习资源
flash演示动画;几何画板动画,PPT文稿
三、学习方法
1、结合学习目标～先阅读教材～标记不理解的内容～带着疑问观看微课视频, 2、注意观察动画的分步演示～不理解的部分、重点部分反复看, 3、认真完成达标练习～并注意总结图象变化规律。
四、学习任务
【课堂达标练习】:
,1, [作一作]:用“五点法”作下列函数在x?[0～2]的图象 ,
2
? y = sinx - 1 , ? y = - sinx,? y=3+sinx. ,2,[说一说]:说出下列函数图象之间的关系,
?y = sinx 与y=3+sinx, ?y = sinx 与y = - sinx
五、后续学习预告
正弦函数y = sinx在整个定义域上的图象
六、学习困惑
,提示:此处由学生填写,
3
范文三：分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)
分式函数的图像与性质
2a x +b +x c
形如y =2(a , b , c , d , e , ∈f
d x +e +x f
4x +1x 2+1
y =，y =等。
x +3x -2
的R ) 函数称为分式函数。如y =
2x +1
，2
x +x
2、分式复合函数
a [f (x )]2+bf (x ) +c 22x +1
形如y =如y =，(a , b , c , d , e , f ∈R ) 的函数称为分式复合函数。x 2
1-2d [f (x )]+ef (x ) +f
sin x +2
，y =
3sin x -3二、新课导学 ※ 学习探究 y =
探究任务一：函数y =ax +问题1：y =
b
(ab ≠0) 的图像与性质 x
ax +b
(a , b , c , d ∈R ) 的图像是怎样的？ cx +d
2x -1
例1、画出函数y =的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x -1
2x -12(x -1) +112x -11y ===+2，【分析】即函数y =的图像可以经由函数y =
x -1x -1x -1x -1x
的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
y =
由此可以画出函数y =
1右111上2
??→y =??→y =+2 x x -1x -1
2x -1
的图像，如下：
x -1
单调减区间：+∞) ；
值域：(-∞,2) (2,+∞) ； 对称中心：(1,2) 。 【反思】y =条件决定？ 【小结】y =
ax +b
(a , b , c , d ∈R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx +d
ax +b
(a , b , c , d ∈R ) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx +d
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax +b
(a , b , c , d ∈R ) 的图像与性质 cx +d
d
（1）定义域：{x |x ≠-} ；
c a
（2）值域：{y |y ≠}；
c
d d
（3）单调性：单调区间为(-∞, -),(-, +∞) ；
c c
d a d a
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x =-, y =，对称中心为点(-, ) ；
c c c c
（5）奇偶性：当a =d =0时为奇函数；
分式函数y =（6）图象：如图所示
b
(ab ≠0) 的图像是怎样的？ x
11
例2、根据y =x 与y =的函数图像，绘制函数y =x +的图像，并结合函数图像指出
x x
问题2：y =ax +
函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：{x |x ≠0}； 根据单调性定义，可以求出y =x +增区间：(-∞, -1] [1,+∞) 减区间：[-1,0),(0,1]
函数的值域为：(-∞, -2] [2,+∞) 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：y =x , x =0 函数的图像如下：
1
的单调区间 x
x
【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数y =ax +
b
(a , b >0) 的图像与性质： x
（
1）定义域：{x |x ≠0}；
（2）值域：{y |y ≥或y ≤-； （3）奇偶性：奇函数；
∞) 上是增函数， 在区间上为减函数；
（5）渐近线：以y 轴和直线=为渐近线；
（4
）单调性：在区间(-∞, （6
例3、根据y =x 与y =数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出y =x -解：函数的定义域为：{x |x ≠0}； 根据单调性定义，可以判断出y =x -
11
的函数图像，绘制函数y =x -的图像，并结合函数图像指出函x x
1
的图像 x
1
的单调性，单调增区间为：(-∞,0),(0,+∞) x
函数的值域为：R
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：y =x , x =0 函数的图像如下：
x
11
与y =-x
的图像又是怎样的呢？思考x x
12b
y =2x +与y =3
x -的图像是怎样的呢？y =ax +(a , b ∈R , ab
≠0) 的图像呢？
x x x
1
函数y =-x -的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
【反思】结合刚才的两个例子， y =-
x -
=-(x +) ，由于y =f (x ) 与y =-f (x ) 的图像关于x 轴对称，所以还x x 111
可以根据y =x +的图像，对称的画出y =-x -的图像。同样的道理y =-x 的图像
x x x 1
与y =x -的图像关于x 轴对称，所以图像如下：
x
【注】y =-x -
【小结】y =ax +b
x
(a , b ∈R , ab ≠0) 的图像如下： （i ）y =ax +
b
x
(a >0, b >0)
(ii) y =ax +
b
x
(a >0, b <0) (iii)="" y="ax">
b
x
(a <0, b="">0)
(iv) y =ax +
b
(a <0, b=""><0)>
b
y =ax +(a , b ∈R , ab ≠0) 的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
x
ax 2+bx +c
探究任务二：函数y =2(a , b , c , d , e , f ∈R ) 的图像与性质
dx +ex +f
2x 2+x +1
问题3：函数y =的图像是怎样的？单调区间如何？
x +1
2x 2+x +12(x +1) 2-3(x +1) +22
==2(x +1) +-3 【分析】y =
x +1x +1x +12左122x 2+x +1下3
y =2x +??→y =2(x +1) +??→y =
x x +1x +1
22x 2+x +1
所以y =的图像与y =2x +的图像形状完全相同，只是位置不同。
x x +1
图像的对称中心为：(-1, -3)
单调增区间为：(-∞, -2] [0,+∞) 单调减区间为：[-2, -1),(-1,0] 值域：(-∞, -7] [1,+∞)
图像如下：
【反思】函数y =
x +1
的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 2
2x +x +1
ax 2+bx +c
【小结】对于分式函数y =2(a , b , c , d , e , f ∈R ) 而言，分子次数高于分母时，
dx +ex +f
可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
y =
x +111
==(x ≠-1) 22
2x +x +12x +x +12(x +1) +-3x +1x +1
※ 典型例题
例1、若x , y ∈R +, x +y +xy =3则x +y 的最小值是__________．
-x +3
解：由x +y +xy =x +(x +1) y =3，得y =
x +1
-x +3-(x +1) +444
x +y =x +=x +=x +-1=x +1+-2≥2
x +1x +1x +1x +1
4
【注】此处可以借助函数y =t +-2(t =x +1) 的图像与性质
t
【变式】若x , y ∈R , 且x +y +xy =3，求x +y 的取值范围.
x 2-4x +12
, x ∈[2,5]的值域. 例2、求函数f (x ) =
x -1
x 2-4x +12(x -1) 2-2(x -1) +99
==x -1+-2，令t =x -1，则 解：f (x ) =
x -1x -1x -199
f (t ) =t +-2, t ∈[1,4]，结合y =t +图像与性质，可知当t ∈[1,3]时函数单调递减，当
t t
17
t ∈[3,4]时函数单调递增，又f (1)=8, f (3)=4, f (4)=，所以f (x ) ∈[4,8]
4
【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。 【变式】求函数f (x ) =
x -1
, x ∈[2,5]的值域.
x 2-4x +12
例3、已知f (x ) =x +
a
在区间[2,+∞) 单调递增，求a 的取值范围. x
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开. 解：当a =0时，f (x ) =x 在区间[2,+∞) 显然单调递增；
a
的图像与性质，可知函数在区间[2,+∞) 单调递增 x
当a >0时f (x
) 在区间+∞
) ≤2，所以a ∈(0,4] 综上所述，实数a 的取值范围为(-∞, 4].
a
【变式】已知f (x ) =-x +在区间[2,3)单调递减，求a 的取值范围.
x
当a <0时，结合f (x="" )="x">
例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为
8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为
g (n ) =
k
（k >0, k 为常数，n ∈Z 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入n +1
后的年利润为f (n ) 万元．
（1）求k 的值，并求出f (n ) 的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高? 最高利润为多少万元? 解：（1）由g (n ) =
k
，当n =0时，由题意，可得k =8，
+1
-100n 所以f (n ) =(100+10n )(10-（2）由
f (n ) =(100+10n )(10-100n =1000-≤1000-80?=520，即n =8时取等号，
当且仅当n +1=
9n +1
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
例5、已知a n =
2n *
，若λa n
【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究 解：由题易知λ
(n +8)(2n +1) (n +8)(2n +1)
，令f (n ) =，
2n 2n
(n +8)(2n +1) 41725f (n ) ==n ++≥，当且仅当n =2时取等号
2n n 22
2525，即λ∈(-∞, ) . 22
6*
【注】若f (n ) =n +, n ∈N ，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根
n
所以λ
据基本不等式求解.
【变式】数列{a n }满足：a n =
n
，则数列{a n }中a n 的最大值为_______．
n 2+156
※ 自我评价 你本节课程学习情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
+
1、若x , y ∈R , xy +y =3, 则x +y 的最小值是________．
3x
2、函数y =2的值域是________．
x +4
ax 2-2x -1
, x ∈[1, +∞)内单调递减，求实数a 的取值范围。 3、已知f (x ) =
x
4、（1）若函数
a ??
求实数a 的取值范围； f (x ) =log a x +-4?,(a >0, a ≠1) 的定义域为R +，
x ??
??
a ?
-4?,(a >0, a ≠1) 的值域为R +，求实数a 的取值范围。 x ?
（2）若函数f (x ) =log a x +
5、设f (x ) =x +
（1）当a
a
, x ∈[0,+∞) ． x +1
=4时，求f (x ) 的最小值；
（2）当a ∈(0,1)时，判断f (x
) 的单调性，并写出f (x ) 的最小值。
2
1、函数f (x ) =
-x
2、不等式x -3、不等式x -
1
1, x ∈[1,2]的值域为__________． x
2
-a >0的在[1, 2]内有实数解，则实数a 的取值范围________． x
2
-a >0的在[1, 2]内恒成立，则实数a 的取值范围________． x
x 2-x
4、函数y =2的值域是________．
x -x +1
5、定义在R 上函数f (x ) ，集合A =a a 为实数，且对于任意x ∈R , f (x ) ≥a 恒成立，且存在常数
{}
m ∈A ，对于任意n ∈A ，均有m ≥n 成立，则称m 为函数f (x ) 在R 上的“定下界”．
2x -1若f (x ) =，则函数f (x ) 在R 上的“定下界”m =__________．
1+2x
6、【11年闸北】据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m 万件与年促销费用x 万元（x
≥0）满足
m =3-
k
（k 为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要x +1
再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）． （1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？ （2）试将2011年该产品的年利润
利润．
7、已知函数f (x ) =2x +
y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数，并求2011年的最大
a
的定义域为(0,2]（a 为常数）. x
（1）证明：当a ≥8时，函数y =f (x ) 在定义域上是减函数；
（2）求函数y =f (x ) 在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
8、【06年上海】已知函数
y =x +
a
x
有如下性质：如果常数a >0,
那么该函数在上是减函数,
在
+∞) 上是增函数.
2b
（1）如果函数y =x +
x
在(0,4]上是减函数, 在[4,+∞) 上是增函数, 求实常数b 的值；
c
y =x +(1≤x ≤2) 的最大值和最小值；
x c n
（3）当n 是正整数时, 研究函数y =x +n (c >0) 的单调性, 并说明理由.
x
（2）设常数c ∈[1,4]，求函数
9、【08年上海】已知函数（1）若
f (x ) =2x -
1
2|x |
。
f (x ) =2，求x 的值；
t
（2）若2
f (2t ) +mf (t ) ≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围。
10、【11年虹口】对于定义域为D 的函数①
y =f (x ) ，如果存在区间[m , n ]?D ，同时满足：
f (x ) 在[m , n ]内是单调函数；
f (x ) 的值域也是[m , n ]．则称[m , n ]是该函数的“和谐区间”．
5
不存在“和谐区间”． x
②当定义域是[m , n ]时，（1）求证：函数
y =g (x ) =3-
学习的是研究与解决问题的方式方法
(a 2+a ) x -1（2）已知函数y =（a ∈R , a ≠0）有“和谐区间”[m , n ]，当a 变化时，求出n -m 2a x
的最大值．
（3）易知，函数y =x 是以任一区间[m , n ]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，
y =x 及形如y =并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的
函数为例） bx +c ax 的
11
范文四：分式函数的图像与性质又称作双钩函数、奈克函数、对号函数
分式函数的图像与性质
学习过程
一、课前准备
1、分式函数的概念
2axbxc，，21x，yabcdefR,,(,,,,,)的函数称为分式函数。如，形如y,22dxexf，，xx，
2x，141x，y,，等。 y,x,2x，3
2、分式复合函数
22xafxbfxc[()]()，，21，yabcdefR,,(,,,,,)y,形如的函数称为分式复合函数。如，2xdfxefxf[()]()，，,12
x,，12sin2x，y,，等。 y,x，33sin3x,
二、新课导学
※ 学习探究
b探究任务一:函数的图像与性质 yaxab,，,(0)x
axb，问题1:的图像是怎样的, yabcdR,,(,,,)cxd，
21x,例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。y,x,1
212(1)11xx,,，21x,1【分析】，即函数的图像可以经由函数y,y,y,,,，2xx,1xxx,,,111
的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示:
111右上12yyy,,,,,,,,,，2 xxx,,11
21x,由此可以画出函数的图像，如下: y,x,1
yyy
2O
Ox1x
1Ox
(,1),(1,),,，,单调减区间:;
(,2)(2,),,，,值域:;
(1,2)对称中心:。
axb，【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素,该函数的单调性由哪些yabcdR,,(,,,)cxd，
条件决定,
axb，【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，yabcdR,,(,,,)cxd，
需要借助“分离常数”的处理方法。
axb，分式函数的图像与性质 yabcdR,,(,,,)cxd，
d(1)定义域: ; {|}xx,,c
a(2)值域:; {|}yy,c
dd(3)单调性:单调区间为; (,),(,+),,,,,cc
dada(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线，对称中心为点; xy,,,,(,),cccc(5)奇偶性:当时为奇函数; ad,,0
)图象:如图所示 (6 yy
OxOx
b问题2:的图像是怎样的, yaxab,，,(0)x
11例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出yx,y,yx,，xx函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，
凸凹性(此点不作要求)，关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。
绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
{|0}xx,解:函数的定义域为:;
1根据单调性定义，可以求出的单调区间 yx,，x
(,1][1,),,,，,增区间:
[1,0),(0,1],减区间:
(,2][2,),,,，,函数的值域为:
函数的奇偶性:奇函数
函数图像的渐近线为:yx,,x,0
函数的图像如下:
yy
yx,
yx,
OxOx
1y,
x 【反思】如何绘制陌生函数的图像,研究新函数性质应从哪些方面入手,
b【小结】分式函数的图像与性质: yaxab,，,(,0)x
{|0}xx,(1)定义域:;[来源:学科网] (2)值域:; {|2,2}yyabyab,,,或
(3)奇偶性:奇函数;
bb(,][,+),,,,(4)单调性:在区间上是增函数， aa
bb(0,],[,0),在区间上为减函数; aa
(5)渐近线:以轴和直线为渐近线; yyax,
(6)图象:如右图所示
y
yax,
2abb
abOx,,2aba
11例3、根据yx,与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函y,yx,,xx数具有的性质。
1【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像[来源:学科网ZXXK] yx,,x
{|0}xx,解:函数的定义域为:;
1(,0),(0,),,，,根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为:yx,,x
R函数的值域为:
函数的奇偶性:奇函数
函数图像的渐近线为: x,0yx,,函数的图像如下:
yy
yx,
OxOx
1y,
x
11【反思】结合刚才的两个例子， 与的图像又是怎样的呢,思考yx,,yx,,,xx
b12与的图像是怎样的呢,的图像呢, yaxabRab,，,,(,,0)yx,,3yx,2+xxx
1函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。 yx,,,x
yy
yx,,yx,,x
xOO1
y,,
x
11yfx,()yfx,,()【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还xyxx,,,,,，()xx
111可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像yx,，yx,,yx,,,xxx
1与的图像关于轴对称，所以图像如下:yx,,xx
yy11yx,,yx,,xx
xOxO
b【小结】的图像如下: yaxabRab,，,,(,,0)x
b(i) yaxab,，,,(0,0)x
y
yax,
xO
b (ii) yaxab,，,,(0,0)x
y
yax,
Ox
b(iii) yaxab,，,,(0,0)x
y
yax,
xO
b(iv) [来源:学+科+网Z+X+X+K] yaxab,，,,(0,0)x
y
yax,
xO
b的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。 yaxabRab,，,,(,,0)x
2axbxc，，yabcdefR,,(,,,,,)探究任务二:函数的图像与性质 2dxexf，，
221xx，，y,问题3:函数的图像是怎样的,单调区间如何, x，1
22212(1)3(1)22xxxx，，，,，，yx,,,，，,2(1)3【分析】 xxx，，，111
221xx，，22下3左1,,,,y yx,，2,,,,，，yx2(1)x，1xx，1221xx，，2y,所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。 yx,，2x，1x
(1,3),,图像的对称中心为:
(,2][0,),,,，,单调增区间为:
[2,1),(1,0],,,单调减区间为:
(,7][1,),,,，,值域:
图像如下:[来源:Z&xx&k.Com]
y
1
,1,2Ox
,3
,7
x，1【反思】函数的性质如何呢,单调区间是怎样的呢,[来源:学科网] y,221xx，，
2axbxc，，yabcdefR,,(,,,,,)【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，2dxexf，，
可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉
的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的
次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0)，再着力
研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如:
x，111 yx,,,,,(1)22221xx，，21xx，，2(1)3x，，,x，1x，1
※ 典型例题[来源:Z,xx,k.Com]
，例1xy，、若则的最小值是__________( xyRxyxy,,3,，，,
,，x3xyxyxxy，，,，，,(1)3解:由，得[来源:学科网] y,x，1
,，,，，xx3(1)444 xyxxxx，,，,，,，,,，，,,1122xxxx，，，，1111
4【注】此处可以借助函数的图像与性质 yttx,，,,，2(1)t
【变式】若，求xy，的取值范围. xyRxyxy,,3,，，,且
2xx,，412例2、求函数fxx(),2,5,,的值域. ,,x,1
22xxxx,，,,,，412(1)2(1)99fxx()=12,,,，,解:，令tx,,1，则 xxx,,,111
99t,[1,3]，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当yt,，fttt()2,[1,4],，,,tt
17t,[3,4]fx()[4,8],时函数单调递增，又，所以 fff(1)8,(3)4,(4),,,4【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。
x,1【变式】求函数的值域. fxx(),2,5,,,,2xx,，412
a[2,)，,例3、已知在区间单调递增，求的取值范围. fxx(),，ax
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.
fxx(),[2,)，,解:当时，在区间显然单调递增; a,0
a[2,)，,当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增 a,0fxx(),，x
fx()a,(0,4]当时在区间内单调递增，所以，所以 a,0[,)a，,a,2
(,4],,综上所述，实数的取值范围为. a
a[2,3)【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围. fxx(),,，ax
例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为
8元(今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100
万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第次投入后，每只产品的固定成本为n
kkk,0,g(n),(为常数，且)，若产品销售价保持不变，第次投入n,Zn,0nn，1
f(n)后的年利润为万元(
f(n)(1)求的值，并求出的表达式; k
(2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
kg(n),解:(1)由，当时，由题意，可得， n,0k,8n，1
8fnnn()(10010)(10)100,，,,所以
n，1
(2)由
89fnnnn()(10010)(10)100100080(1)10008029520,，,,,,，，,,，,
nn，，11
9,当且仅当，即n,8时取等号， n，1
n，1
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
2n*nN,例5、已知，若对所有的均成立，求实数,的取值范围. ,an,，8a,nn21n，
【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究
(8)(21)nn，，(8)(21)nn，，解:由题易知，令， ,,fn(),2n2n
(8)(21)41725nn，，n,2，当且仅当时取等号 fnn(),,，，,222nn
2525所以，即. ,,,,,,(,)22
6*【注】若，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根fnnnN(),,，,n
据基本不等式求解.
n【变式】数列满足:，则数列中的最大值为_______( {}a{}aaa,nnnn2156n，
※ 学习小结
学习评价
※ 自我评价 你本节课程学习情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
，1、若则的最小值是________( xy，xyRxyy,,3,,，,
3x2、函数的值域是________( y,2x，4
2axx,,213、已知fxx(),1,,,，,内单调递减，求实数的取值范围。[来源:学|科|a，,x
网]
a,,，R()log4,(0,1)fxxaa,，,,,4、(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围;aa,,x,,
a,,，R()log4,(0,1)fxxaa,，,,,(2)若函数的值域为，求实数的取值范围。aa,,x,,
a5、设( fxxx(),[0,+),，,,x，1
fx()(1)当a,4时，求的最小值;
a,(0,1)fx()fx()(2)当时，判断的单调性，并写出的最小值。
课后作业
12fxx(),1,2,,1、函数的值域为__________( ,,1,xx
2xa,,,02、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围________( ,,1,2ax
2xa,,,03、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围________( ,,1,2ax
2xx,y,4、函数的值域是________( 2xx,，1
fx()Aaa,xRfxa,,,()恒成立R5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数,,
fx()R，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”( mA,nA,mn,m
x,21fx()R若，则函数在上的“定下界”__________( fx,m,()x，12
6、【11年闸北】据测算:2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件;如
果搞促销活动，那么该产品销售量(亦即该产品的年产量)万件与年促销费用万元()满足x,0mx
k(为常数)(已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要m,3,kx，1
再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(定价不考虑促销成本)(
(1)若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少, (2)试将2011年该产品的年利润(万元)表示为年促销费用(万元)的函数，并求2011年的最大yx
利润(
[来源:学科网]
afxx()2,，7、已知函数的定义域为(为常数). 0,2a，,x
yfx,()时，函数在定义域上是减函数; (1)证明:当a,8
yfx,()(2)求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值( x
a8、【06年上海】已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数, 在a,0(0,]ayx,，x
上是增函数. [,)a，,
b2(0,4][4,)，,yx,，(1)如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值; bx
cc,[1,4](2)设常数，求函数的最大值和最小值; yxx,，,,(12)x
cn(3)当是正整数时, 研究函数的单调性,并说明理由. (0)nyxc,，,nx
1x9、【08年上海】已知函数。 fx,,()2||x2
fx()2,(1)若，求的值; x
tt,[1,2](2)若对于恒成立，求实数的取值范围。 2(2)()0ftmft，,m
y,f(x)[,]mnD,D10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足: f(x)[,]mn?在内是单调函数;
[,]mnf(x)[,]mn[,]mn?当定义域是时，的值域也是(则称是该函数的“和谐区间”(
5y,g(x),3,(1)求证:函数不存在“和谐区间”([来源:学。科。网] x
2(a，a)x,1a,R,a,0[,]mny,(2)已知函数()有“和谐区间”，当变化时，求出an,m2ax
的最大值(
[,]mn(3)易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”(试再举一例有“和谐区间”的函数，y,x
bx，cy,并写出它的一个“和谐区间”((不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的y,xax函数为例)
范文五：“五点法”作二次函数的图像导学案
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1
“五点法”作二次函数y,ax?，bx，c的图像导学案
复习引入
1( 二次函y=5(x+1)?的图像与y轴的交点坐标是___________。
2( 二次函数y=-2x?+1沿y轴向下平移2个单位与y轴的交点坐标是___________。
图像，先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移2个单位，顶点坐标是3( 把二次函数y=3x?的
___________。
4( 二次函数y=-x?-x +2的图像与x轴的交点坐标是_______, 对称轴是______, 与y轴的交点坐
标是_______,此点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是______。
例题讲解
2例题1 二次函数 y,x,4x，3
(1) 求出对称轴和顶点坐标。
(2)求抛物线与x轴的交点坐标。
(3)求抛物线与y轴的交点坐标，并求出此点关于抛物线对称轴对称的点的坐标。 (4)并画出这个函数的图像.
例2:指出抛物线: y= -x?+5x- 4的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
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1
课堂小结
二次函数y=ax?+bx+c 的图像画法，一般分为三步:
1、利用配方法把二次函数y=ax?+bx+c 改写成y=a(x+m)?+k的形式; 2、确定抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向;
3、利用对称性描点作图。
总结:1、“五点”:?顶点坐标
?与y轴的交点坐标
?与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点
?与x轴的交点坐标(有交点时)，
这样就可以画出它的大致图象。
2、抛物线y=ax?+bx+c与y轴的交点的求法: 令x=0，即y= c，则交点为(0，c);
3、抛物线y=ax?+bx+c与x轴的交点的求法:
令y=0，即ax?+bx+c=0，求得x，x， 则交点为(x，0)、(x，0 )。 1212作业
3，，，，y,x,1x，51、 抛物线 的对称轴是__________，与x轴的交点坐标是_______________，3
顶点坐标为________。
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1
22、 形如抛物线的对称轴是__________，顶点坐标为___________。 y,x，px，q
23、 若函数的顶点坐标是(1，-2)，则b= ，c= 。 y,2x，bx，c
24、 已知抛物线的顶点在坐标轴上，求a的值( y,x,(a，2)x，9
5、已知抛物线y=2x?-4x-1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于C点，顶点为P，求 (1)AB长;
(2)?ABC的面积;
(3)四边形ABPC的面积。
6、已知抛物线y,ax?，bx，c与直线y,kx，4相交于点A(1，m)，B(4，8)，与x轴交于坐标原点
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1
O和点C，求:
(1)直线与抛物线的解析式;
(2)在轴上方的抛物线是否存在点D，使得S?OCD,S?OCB，求出所有符合条件的点;如果不存在说明理由。
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