淫雨霏霏1
范文一：九宫格推理
從河圖洛書淺析幻方陣的變化-讓數字說話
投稿類別：數學類
篇名：
從河圖洛書淺析幻方陣的變化-讓數字說話
作者：
胡博凱。東莞台商子弟學校。十年二班
指導老師： 王福彬 老師
壹●前言
一、研究動機
一般人很難想像中國的古書記載會跟現代的科學的、邏輯的數學有所關聯； 一次在圖書舘無意中的閱讀，讓我產生興趣，這本書就是介紹有關「河圖洛書」的文章。其中一些奇妙的圖形，「九宮格」的數字變化，加上坊間流行的「數獨」的遊戲…。引起了我濃厚的興趣，於是我便決定一探究竟，興起了研究的動機，我的研究方法如下:
二、研究方法
常言道：「有一分證據，說一分話。」為了能讓文章的內容具有科學性的探討，並結合古人的智慧結晶，因此必須很小心、用心的從網路、相關書刊去蒐集資料及閱讀，並且嘗試用自己的方法繪製圖表、排序及製作「幻方陣」，藉此深入了解「幻方陣」的構成原理，以驗證結果。
三、研究目的
這是中國人幾千年來智慧的結晶，也是中華文化深厚內涵的一環。從「河圖、洛書」再到「幻方陣」，千百年來吸引無數的智者、學者深入研究，想要理解其中的奧秘，有些論述總結了不少的心得。因此；我想藉由小論文的學習及寫作，一窺究竟，希望可以更深入的了解這人類智慧的精華，並提高我對數學的興趣和能力。
四、論文大綱
「河圖」和「洛書」的奇幻圖案伴隨著許多神話，在各個領域都有不少的貢獻。其中數學家們也發現了許多有趣的數學性質，隨著研究的加深，所謂的「幻方陣」也跟著出現了，其構成法也更加複雜。到底有哪些構成法呢？就讓我們轉入正題吧！
貳●正文
一、河圖與洛書
相傳在「伏羲氏」時，黃河中出現了大駿馬，而其背上的圖文就是河圖﹝圖一﹞。至於洛書﹝圖二﹞則是在大禹治水時從黃河的支流「洛水」中浮出的神龜，其殼上所刻的圖案。這兩者都被認為蘊含著治國的大道理﹝仲田紀夫，2002﹞
﹝註一﹞。雖說這兩者在各個領域皆有廣泛的運用，但本篇小論文僅探討它們的數學性質。
河圖和洛書其實可以看成是兩個三階的幻方陣﹝圖三圖四﹞。當然，幻方陣也可以是四階、五階，形式也能是星陣或圓陣﹝河圖即是這種﹞。其中比較有名的四階幻方陣﹝如圖五﹞，別名又稱「憂鬱症」，它最下面一行中間兩個數字連起來是「1514」，正好是憂鬱症出世的那一年。『洛書的排列方法是三階幻方陣中唯一的一種，四階幻方陣則有種880排列方式，五階幻方陣更是多達275305224種。』﹝朴京美，2006﹞﹝註二﹞
圖一 河圖
資料來源:易學講壇
圖二 洛書
資料來源:易學講壇
http://www.kunde.org.tw/teach-a011.htm（註http://www.kunde.org.tw/teach-a011.htm（註三） 四）
圖三 河圖幻方陣
圖四 洛書幻方陣
圖五 四階幻方「憂鬱症」
資料來源:自行繪製
資料來源:自行繪製
資料來源:自行繪製
有這麼一個關於洛書的排法口訣：『九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。』，見圖六﹝楊輝，1275﹞
﹝註五﹞
圖六 洛書排法口訣圖示
資料來源:自行繪製
二、河圖與洛書之間的數學性質
如果把刻在洛書上點由阿拉伯數字替代，則可以得到如圖4所示的九宮格。仔細觀察，可得到下列兩點特性：
﹝一﹞每一排、每一列、每一斜行的和﹝稱做「行和」﹞皆為十五。
﹝二﹞位於中央的數字是五，同時也是所有數字的平均數。
三、洛書性質的探討
﹝一﹞行和的求法
首先求出九宮格內所有數字的總和﹝稱作「幻和」﹞：即1+2+3+…+9=45，再由45÷3=15得到行和。
﹝二﹞中心數的求法
在九宮格內先填入A~I的代號，如圖七所示。因為D+E+F=B+E+H= A+E+I C+E = +G=15，所以(D+E+F)+(B+E+H)+(A+E+I)+(C+E+G)=60，即A+B+C+D+E+F+G+H+I +3E=60，最後得到3E=15→E=5，即中心數為五。
圖七 洛書幻方陣 ﹝代號﹞
資料來源:自行繪製
至於河圖則和洛書有些玄妙的關係，如從洛書的東北角順時針算起2、7、1、6恰恰位於河圖幻方陣﹝圖三﹞中的縱列，而8、3、4、9則處於河圖的橫列。從河圖幻方陣中我們還能看出一條規律：在同一條線上的數字差都是五。
四、奇數階幻方陣的構造法﹝註六﹞
河圖洛書在西方被稱作 Magic Square ，改造後回傳便被譯作幻方陣或魔方陣。﹝吳讓泉等，2000﹞﹝註七﹞如此一來四階五階等高階幻方陣也接連出現，構造法自然也就師出各門了。
﹝一﹞構造法之一
洛書的排法口訣其實也適用於各奇數幻方陣，見圖八：
圖八 奇數階幻方陣構造法圖示其一 資料來源:自行繪製
﹝二﹞構造法之二
首先將1填入在方陣中心的下方兩格，再依照「下一右一」的順序填寫，若是數字跑出方陣外，則將它填入同一列或同一行另一端的空格內，而如果空格內
已有數字的話，則將數字填入上方一格。﹝圖九﹞
圖九 奇數階幻方陣構造法圖示其二 資料來源:自行繪製
﹝三﹞構造法之三
Bachet de Mechet 則有另一套填法：首先將1填入方陣中心的上方一格，再依照「上一右一」的順序填寫，如果空格內已有數字的話，則將數字填入上二的
空格中。﹝圖十﹞
圖十 奇數階幻方陣構造法圖示其三 資料來源:自行繪製
﹝四﹞構造法之四
對應於n 階幻方陣的構造法：首先將1填入第一列的中心位置，再依照「上
n -1n -1
右」的順序填寫，如果空格內已有數字的話，則將數字填入下一的空格22
中
。如五階幻方陣依照「上2右2」的順序填寫。﹝圖十一﹞
圖十一 奇數階幻方陣構造法其三之完成圖資料來源:自行繪製
五、偶數階幻方陣的構造法﹝註八﹞
目前還沒有找出能用在所有偶數階幻方陣上的構造法，在此僅介紹一種：
先將一個四階幻方陣分成灰白兩部份，再「由上而下，由左到右」依序填入1，2，3…但灰色部份部份不填。再到過來「由下而上，由右而左」填入數字，這
一次只填灰色。﹝圖十二﹞
圖十二 偶數階幻方陣構造法圖示其一 資
料來源:自行繪製
那八階幻方陣呢？﹝圖十三﹞
圖十三 偶數階幻方陣構造法圖示其二 資料來源:自行繪製
一樣可行。
其實只要每一列、每一行的白格子數和灰格子數相同，就可以用這種方法得到不同的4k 幻方陣，填寫順序也可以顛倒﹝先由下而下，由左到右﹞，如圖十四
：
圖十四 各式偶數階幻方陣完成圖
資料來源:自行繪製
參●結論
經過上述一系列的論證後，可以得出在部分n 階幻方陣中填入1~ n的方法，以及在各行和相等的條件下，求出行和、中心數的公式的方法。
一、求行和的公式
行和=幻和÷3
二、求中心數的公式
中心數=??行合×(行數+1) -幻和??÷3
看似簡單的河圖、洛書，事實上卻能演變出如此變換多端的幻方陣，千百年前先民的智慧直到今日我們仍受用不盡，可見它們的涵義之深邃，其中所蘊藏的智慧之宏廣。河圖和洛書本就是在各個領域都有廣泛應用的東西，無論在易學、風水學、占卜或者是中醫學上都有廣泛的應用。幻方陣則是其特化後的產物，已然踏入了純數學的領域，刺激著人們的邏輯思考能力，千百年來數代人為之著迷，其中近代風靡全球的「數獨」更是成為了老少咸宜的益智遊戲幻方陣散發著它特有的魔力，驅使人們瘋狂的投入研究歷久不衰。無論是上古時代的河圖、洛書還是近代的幻方陣都還有很多奧秘值得我們去探索，就從我們自己開始一起去挖掘它的神秘，將這先民的智慧薪火相傳吧！
肆●引注資料
註一、仲田紀夫﹝2002﹞。在萬里長城算數學：中國：方程式與魔方陣的國度。台北縣永和市：稻田出版有限公司。
註二、朴京美﹝2006﹞。數學維生素。台北市：中信出版社。
註三、易學講壇。2010年3月22日，取自http://www.kunde.org.tw/teach-a011.htm。
註四、同註三。
註五、楊輝﹝1275﹞。續古摘奇算法。上海市 : 古書流通處影印。
註六、白啟光。數學嘉年華。2010年3月22日，取自http://xserve.math.nctu.edu.tw/people/capi/carnival/class.htm。
註七、吳讓泉等﹝2000﹞。數學的智慧之光。台北市：林鬱文化有限公司。
註八、同註六。
范文二：图形推理之九宫格的“陷阱”
图形推理之九宫格的“陷阱”
华图教育 王惠
图形推理不论是在国考、联考中，还是各省单独命题的考试中都是行测试卷判断推理部分必考的题型。根据考试的需要，图形推理的设置就是为了考试公平。不论是何种专业背景或学历水平的考生，在面对图形推理题目时，都是需要从题干出发，寻找已知图形的规律，进而选择正确的选项作答。
就九宫格这种命题形式本身而言，寻找规律的立足点比其他图形推理的命题方式要多，维度要广。从近几年所有公考考试试卷中我们总结发现，在图形推理题目中，对于九宫格这种命题方式的考察逐年偏重，这也是公考试题难度逐渐增加的一种体现。为了从容应对这种情况，就需要我们所有考生在备考过程中，扩充自己的思考维度，探究图形推理中九宫格的各种奥秘，并行之有效的避开题目设置的陷阱。那么我们考生到底要从哪里开始呢？ 众多周知，所谓的九宫格就是横3行×竖3列的形式。对于寻找规律，我们一般的或者说最常规的看法就是横着看，或者竖着看。那么以横看找规律为例，对于九宫格的横三行而言，每一行都有各自存在的意义。一般来说，第一行的三个格子是让我们来寻找规律；而第二行是让我们来验证找到的规律是否正确；如果验证正确的话，那么我们就可以将这个规律应用到第三行中。总结起来也就是：第一行（列）找规律，第二行（列）验规律，第三行（列）用规律。下面我们以2012年联考中的一道真题为例来检验一下。
A B C D
很明显，这道九宫格形式的图形推理题，题干信息给出的是类似火柴棍摆出来的类似数字的图案，那么按照图形规律推理之数量类题目的解题方法，我们优先数的是线段的数量。从图中可知，横看第一横行的线段数量分别是5、5、6，第二行分别是5、5、6。按照第一行找规律，第二行验规律，那么我们找的规律是线段数的数列规律分别是5、5、6，可是通
过查数，发现第三行已知的两个格子中的线段数分别是6、5，与找到的数列规律不符。但是我们知道，对于图形规律推理而言，并非只有数列规律，还有运算规律。那么从运算的角度出发，我们发现第一行的线段和是16，第二行也是16。那么按照第一行找规律，第二行验规律，第三行用规律的解题方法，问号处需要选择线段数为5的选项。整道题目的规律是横行看，线段和为常数列16。所以正确选项为A 。
我们再一起来看一下2013年刚刚结束的联考中的一道类似题目：
同样是延续了去年联考中的九宫格火柴棍的题目，我们同样优先以数线段数量为出发点，发现横看第一行的线段数分别是：5、5、7，第二行分别是5、5、6，第三行分别是4、
5。很明显不存在数列规律，如果我们照旧按照去年的方式，横看寻找运算规律，我们发现第一行线段和为17，第二行线段和为16，那么有考生认为这样可以构成等差列，第三行应为15，但是发现答案不唯一，A 、D 都可以。那么考生即时改变思考方向，转换为竖列看，发现第一列和第二列的线段和分别是14、15，那么认为问号处应该选择线段数为3的选项与第三列已知的两项构成线段和16。而整道题的规律是竖列看线段和为等差数列，答案选择C 。整体看起来，作答的有理有据，但事实情况却是掉进出题人设置的陷阱里了。我们一定要牢记图形题中九宫格的解题步骤：第一行（列）找规律，第二行（列）验规律，第三行（列）用规律。这道题若按照线段和为等差数列来解，第二列并未存在验证规律的过程，所以这样是不可行的。那么这道题的正解应该是什么呢？我们转换一下思考维度，除了可以数线段，我们还可以以样式为立足点，寻找样式上的规律。研究后发现横行看第一行前两个图形的样式叠加后所得到的新图形恰好是第三个图形，第二行验证后亦是如此，那么我们就可以放心大胆的将此规律应用到第三行中去，叠加后的图形就应该是选项A 。此题按照样式类图形题的解题方法来解答。
从以上相似的两道题目中，需要我们了解并牢牢掌握的是，在图形规律推理中九宫格题目寻找规律的出发点及解题方法。对于九宫格这种命题形式，我们首先要牢记的就是看法：横看或竖看；其次就是解题方法：第一行（列）找规律，第二行（列）验规律，第三行（列）
用规律。只要考生们把握了这两条，就好比在九宫格图形题的“迷雾”中拨开了一片晴天！
范文三：公务员图形推理九宫格专项训练
公务员图形练习九宫格专项训练
1．图形的中心对应
【例题】(2007年国家
)
【解析】**为B 。通过观察，可以发现，以中间的图形为中心，其左右、上下、左下与右上图形都完全一致，即横、竖、斜两幅图完全一致，故“?”处应与左上的图形完全一致。因此，正确**为B 。
2．图形内元素的组合与变化
【例题】(2006年国家
)
【解析】**为C 。通过观察可以发现，以一行或一列为一组，每组图形都包含了6个元素，且每个图形中的小元素都不同，且都不重复出现。根据正方形中线的格局可以很容易地排除B 、D 两项。因此，正确**为C 。
3．图形的轴对称与中心对称
【解析】**为D 。观察图形可知，每一组图形的前两个图形是轴对称，第三个图形与第一个图形呈中心对称。故正确**为D 。
4．图形中阴影的变化
【例题】(2008年江西
)
【解析】**为D 。观察第一组和第二组的图形，前两幅图形不同的部分，第三幅中为阴影，反之，为空白。故选D 。
5．图形内元素的旋转
【解析】答案为A 。仔细观察，可以发现题中的规律是图形中相邻的两个图形的旋转方向相反，“?”处相邻图形的旋转方向为顺时针，因此问号处的图形旋转方向为逆时针，只有A 项符合题意。
【例题2】(2006年国家
)
【解析】答案为C 。由所给图形可以看出，第一行第一个三角形以三角形的右边为轴向右翻转180°，可得第二个三角形，再以第二个三角形的下边为轴向下翻转180°，得到第三个三角形。第二、三行规律与第一行相同。故选C 。
【例题3】(2006年陕西
)
【解析】答案为B 。由左及右的三组图形依次绕图形中心按顺时针方向移动，故选B 。
6．图形的去同
【例题】(2007年山东
)
【解析】答案为D 。每一行三个图形可以看做是一组。每一组第一个图形和最后一个图形相加后，重合的部分不显示，从而得出中间一个图形。根据这样的规律可以推出正确答案为D 。
7．图形的对称叠加
【例题】(2006年安徽
)
【解析】答案为A 。第三行的图形是前两个图形的对称叠加。故选A 。
8．图形的合并与相加
【例题】(2006年山东
)
【解析】答案为C 。横看，以三个图为一行。第一行3个黑点，1个白点。规律1∶第2行黑点的总数目一第一行的黑点减去白点(即∶3个黑点一1个白点一2个黑点) 。同理第三行黑点的总数目一第2行的黑点减去白点(即∶2个黑点一1
个白点一1个黑点) 。规律2∶每一行都只有一个白点。规律1和2联立，能同时具备这两个规律的只有图C ，故答案是C 。
9．构图元素的增减
【例题l 】(2006年国家
)
【解析】答案为A 。经过观察，可以发现每一行图从右往左依次减少一个黑点。
【例题2】(2004年广东
)
【解析】答案为A 。首先从纵向分析可知，第一纵列五角形数量逐渐增加为4、5、6，第二纵列为3、4、5，第三纵列应为2、3、4，可知问号处为4个五角星。然后横向分析，第一组下面五角星不变上面递减，第二组下面不变上面递减，第三组中间两个星与下面一个星不变，上面递减，故可推知选A 。
实战演练
1．
【解析】答案为C 。第一组内的图形的数量从左至右依次递减1；第二组内的图形的数量从左至右依次递减2；第三组内的图形的数量从左至右依次递减3。 2．
【解析】答案为B 。小兔子应该是左眼睛黑、右耳长，且嘴巴是一条直线。 3．
【解析】答案为D 。每组内第一个图形中的阴影部分和第二个图形中的阴影部分分别作180°旋转后相加得第三个图形。
4．
【解析】答案为A 。每一横向的图形都可以分为两个部分，分别是头和脚。分析的时候要注意每一横向的三个图形在这两部分的变化。
范文四：图形推理之九宫格技巧点拨
科信教育铁岭分校行测练习题
图形推理之九宫格技巧点拨
科信名师---丁一然
图形推理是公务员考试的判断推理模块中的一个重要题型，其根本的解题方法就是找规律，而图形推理的考点多、规律多，更考验考生的细心和耐心，所以在备考图形推理这部分时，要抓住命题人的出题意图，熟练掌握图形所涉及的各种规律，学会运用图形推理的技巧，从而快速准确的解答题目。
九宫格类型是图形推理题型中较难的一种，规律的顺序多变并且复杂，具有很强的综合性，相对于简单的一组图形和二组图形来讲有一定的难度。九宫格类型题目是一个三行三列的图形，九宫格的每行或每列或整体具有某种规律性;要求考生根据题目所给出的规律性，从四个选项中选出一个最符合规律的答案。九宫格类型题目最经常考查的是行的规律和列的规律，所以建议考生在做九宫格类型题目时，先横着看找行的规律，如果规律不明显，再竖着看找列的规律，如果规律依然不明显，再在对九宫格的整体找规律。
九宫格类型的重点考点主要有:元素的数量变化、元素的形状变化、元素的位置变化、元素的样式变化等。遇到九宫格类型题目，考生要细心，注意观察细节的不同，寻找第一行(列)规律后，用第二行(列)进行验证，如果第二行(列)也符合此规律，则可将此规律运用到第三行(列)，进而选择正确的选项。
下面通过例题为大家讲解九宫型题目的解题技巧。
一、横着看行规律
【例题1】从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性:
铁岭市银州区全球通大厦722
科信教育铁岭分校行测练习题
【答案】A
【科信教育解析】本题考查样式类。
此题属于九宫格类型考题，观察题干，发现题干的规律是:
第一行，前两个图形叠加得到第三个图形;
第二行，前两个图形叠加得到第三个图形;
第三行，同样满足前两个图形叠加得到第三个图形的规律，只有A项满足要求。
因此，本题选A。
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二、竖着看列规律
【例题2】从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性:
铁岭市银州区全球通大厦722
科信教育铁岭分校行测练习题
【答案】B
【科信教育解析】本题考查样式类。
此题属于九宫格类型考题，观察题干，发现题干的规律是:
第一列整体外边的图形包括?、?、?，内部线条包括:一条水平直线，一条竖直直线，一条**斜45?直线和一条**斜45?直线;
第二列整体外边的图形包括?、?、?，内部线条包括:一条水平直线，一条竖直直线，一条**斜45?直线和一条**斜45?直线;
第三列应该符合前两列的规律，外边的图形已经包括?、?，应该选择一个外边框为?的图形，内部线条已经包括一条水平直线和一条竖直直线，应该选择包括一条**斜45?直线和一条**斜45?直线的图形;按照此规律，只有B项符合要求。
铁岭市银州区全球通大厦722
科信教育铁岭分校行测练习题
因此，本题选B。
希望各位考生在学习九宫格类型题目时注意查找行列的规律，并预祝广大考生在考试中取得优异成绩～
铁岭市银州区全球通大厦722
范文五：“九宫格数字推理”
“九宫格数字推理”
九宫格型数字推理即在九宫格中已知8个数，让考生根据已知数之间的关系，求出未知的项。09年北京市考摒弃了08年圆圈型数字推理，转而考查九宫格数字推理。而2010年北京市考图形式数字推理是圆圈还是九宫格，如果延续09年的考试类型，九宫格概率会大些，但也不排除圆圈型数字推理考核的可能性。在此，万学金路公务员考试中心培训专家胡奕、李达、魏鲁宁老师主要对九宫格数字推理的解题给予指导。此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线，考查最多的是横向，一般考查三个数之间的线性关系，可从大数入手考虑。有时，会整体考，比如行列各个数之和的关系。
1-5题为北京市09年应届考试真题:
1(
A(7 B(5 C(3 D(9
【答案】C。解析:每行三个数字之和依次是20，(30)，40，是等差数列。 2(
A(27 B(8 C(21 D(18
【答案】D。解析:每行前两个数字之差除以3等于第三个数。(63-9)?3=(18)。 3(
A(14(2 B(16(4 C(18(6 D(15 【答案】A。解析:每行第一个数字加1等于后两个数字之和。 4(
A(6(1 B(5(3 C(4 D(2
【答案】D。解析:从每行来看，第一个数字加2，再乘以第三个数字等于中间数字。 5(
A(20(4 B(18(6 C(11(6 D(8(6 【答案】B。解析:每行第三个数字减去第二个数字，再乘以2等于第一个数字。
