___娇娇___
范文一：山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第17章投影多边形等角共轭点
第17章 投影多边形 等角共轭点
定义1 从平面上一点向凸多边形各边作垂线，以各垂足为顶点的多边形称为投影多边P
形(
如三角形三条高线的垂足作为顶点的三角形，就是垂心的投影三角形(常称为垂心的垂足三
角形)(
?ABC?性质1 若点关于的投影三角形是( ABCP111
?ABC?(1)当是的内心或旁心时，是的外心( ABCPP111
?ABC?(2)当是的外心时，是的垂心( ABCPP111
?ABC?ABC??ABC(3)当是的垂心时，若是锐角三角形，是的内心;若是ABCPP111
?钝角三角形，是的旁心( ABCP111
?BAC?ABC?ABC证明 只证(3)中是钝角三角形的情形，如图17-1，是钝角，是的垂P
?ABC?心，则在和的外部，在的内部，易证 ABC?BACP111111
P
ED
B1C1A
ABC1
图17-1
????BAPPBCPCBCAP,,,111111
?????BCPBAPAACACCDCP,,,,1111111
?故是的旁心( ABCP111
性质2 一点的投影三角形的面积，与点关于外接圆的幂成比例( PP
?证明 如图17-2，点在的边、、上的投影分别为、、，AAAAAAPPPAAAP233112123123
O?联结AP并延长的外接圆于点B(则 AAA22123
A1B2P2
PP3O
A'A3P21
图17-2
????APAAPPPPPPPA=360:,,,23322332
,:,，:,,(180)(180)???PPPAPPPPA23312312
，又 ,，??AAAPPP??ABABAP，21331222323
，从而( ,?APA??PPPBAP,2321323
1于是， SPPPPPPP,,,?sin?PPP12132131232
1 ,,,PPPPBAPsin?1213232
1 ,,,,,PAAPAABAPsinsinsin?3322232
1 ,,,,,PAPBABAAAsinsinsin?22223232
122 O(其中为半径) R,,,,,ROPAAAsinsinsin1232
22ROP,( ,,S?AAA21234R
sin?BAPPB232(注意到)( ,sin?ABAPA2233
注:性质2常称为施坦纳(Steiner)定理( 推论1 投影三角形的面积为一定的点的轨迹，是一个与三角形外接圆同心的圆(在外接圆
内的点，外心的投影三角形面积最大( 推论2 三角形外接圆上的点的投影三角形面积为零(
APAPAP,,122r,推论3 一点的投影点外接圆的半径( P222()ROP,
PPPPPP,,233112事实上，由及PPAPA,,sin等三式即得( S,2311?PPP1234r
1?O推论4 AAA的外心的投影三角形面积( SS,1230?AAA1234
2OP=0事实上，由即得(
r推论5 ?的内心的投影三角形面积( AAAISS,123IAAA?1232R
222事实上，由即得( OPOIRRr,,,2
222abc，，?G推论6 的重心的投影三角形面积( AAASS,123GAAA?212336R
1222222事实上，由即得( OPOGRabc,,,，，()9
?推论7 的垂心的投影三角形面积( SABCS,,,,2coscoscosAAAHHAAA?123123
2222事实上，由即得( OPOHRRABC,,,,,8coscoscos
?V推论8 的九点圆圆心的投影三角形面积 AAA123
2222abcR，，,5( SS,,VAAA?212316R
191222222OHOG,3事实上，由且，得即得( OVOH,OPOVRabc,,,，，()244将性质2推广，则有如下结论:
?ABC,BC性质3 自所在平面内一点向三角形三边作同向等角的射线，分别交边，P
CA?ABCOOPd,，于点，，(设外接圆的半径为，，则ABCABR111
22Rd,S?ABC111( ? ,224sin,SR?ABC
?ABCCPO证明 如图17-3，当点在内，，延长交圆于，???PABPBCPCA,,,,PD111联结，( ADAP
由题意知点，，，共圆，由正弦定理得 CBAP11
A
D
B1N
C1
MCBA1
图17-3
PAAsin( ,BC11,sin同理
PCCsin( ,AB11,sin???BADBCPABP,,??PBCPAC,又，，则 11111
???ABCABPPBC,，1111111
( ,，,???BADPACPAD1
?PADPAPADPDDsinsin?,在中，，而，即 ??DB,
( PAPADPDBsinsin?,,
1从而 SABBCABC,,?sin?ABC11111111112
PAPC, sinsinsinACPAD,?2,2sin
PAPC,( sinsinsinABC,2,2sin
MNO设为过，的直径，则 P
22( PCPDPNPMRdRdRd,,,,,，,,，，，，
2又因，则 SRABC,2sinsinsin?ABC
22S,Rd?ABC111( ,224sin,SR?ABC
?ABC在的外部时，如图17-4所示，类似可证得 当点P
C1APN
B1ODMA1BC
图17-4
22SRd,?ABC111( ,224sin,SR?ABC
故性质3得证(
22Rd,S?ABC111,,:90显然，当时，有，此即为性质2( ,24SR?ABC
定义2 凸多边形所在平面内两点分别与各顶点连线，如果同一顶点所连的线与靠近的边所
成的角都相等，则称这两点为凸多边形的等角共轭点(
?ABCQ??PABQAC,??PBAQBC,例如，给定一个和两个点，，如果使其满足，，P
?PCB,?ABC?QCAQ ，那这样的，两点即为的等角共轭点( P
性质4 三角形的外心与垂心是三角形的等角共轭点(参见第4章性质2)( 性质5 调和四边形两条对角线的中点是调和四边形的等角共轭点(参见第16章性质4)(
对三角形而言，显然内心是重合的等角共轭点(称为自等角共轭点);三个旁心也都是自等
角共轭点(
对于一个三角形而言，我们可推知:
(1)三角形外接圆上除3个顶点外，其余所有点均无实在的等角共轭点和它们相配(或者说
外接圆上除顶点外，其等角共轭点为无穷远点(
(2)每个顶点可有无限多个等角共轭点，即对边所在直线上的所有点( (3)每边及延长线上的所有点同以对顶点为它们的等角共轭点( (4)除以上所说的点外，每一点都有唯一的等角共轭点和它配成点对(
?ABCBCCA性质6 设，是的一对等角共轭点，则，在边，，(所在直线)QQPPAB上的射影必共圆，其共圆圆心是等角共轭点，连线的中点，如图17-5所示( QP
A
N'K
N
K'OQ
BLL'C
图17-5
事实上，这个命题对多边形来说也是成立的(
性质7 如果一个多边形有等角共轭点，那这对等角共轭点在各边(所在直线)上的射影必
共圆，所共圆圆心是这对等角共轭点连线的中点(
ABC证明 如图17-6，设、为凸多边形??的等角共轭点(设、在各边、QQPPABH
,,,BCNNNKNK、?、上的投影分别为、,、、，?，、(联结、、、，,AQHAKAPKLL
N则知、、、四点共圆，有 APK
CQH
N'
ON
LABKK'
图17-6
???ANKAPKPAK,,:,90(
,N,Q又由、、、四点共圆，有 AK
,,,,???AKNAQNQAN,,:,90(
,??PAKQAN,由等角共轭点的定义，有(
,,,,??ANKAKN,NNNN,从而，有，即知、、、四点共圆，这圆的圆心应是线段、KK
OO,PQ的中垂线的交点(但这两条中垂线显然交于的中点，即为该圆的圆心( KK
O,,PQ同样的方法，可证、、、四点共圆，且圆心也是的中点( KKLL
同理，得其他的圆，且这些圆既同心，又轮回有公共点，则自必合而为一( 注:此命题的逆命题虽然成立(从而上述条件为充分必要条件( 于是我们可以得到:
(1)若两点在一个多边形各边(所在直线)上的射影共圆，则它们必是该多边形的等角共轭
点;
(2)若一点在一个多边形各边(所在直线)上的射影共圆，则该点的等角共轭点(关于该多
边形而言)必定存在(
其实我们还可以把性质6加强为如下一个等价形式的命题(
?ABC?ABC性质6 设给定及，两点，则，两点是的等角共轭点的充要条件是:QQPP
?ABC点，在各边(所在直线)上的射影必共圆( QP
?ABC?ABC及，两点，则，两点是的等角共轭点的充要条件是:性质8 设给定QQPP
?ABC点，到各边的距离成反比( QP
证明略(由直角三角形相似来证()
性质9 三角形的一对等角共轭点到各顶点的距离乘积之比等于其等角共轭点到各边的距
离乘积之比(
证明 如图17-7，由
A
YTY'
ZQ
BCXX'
图17-7
,，，，易知有 ??PABQAC,QYAC?PABZ?
,， RtRt???PAZQAY
PAPZ,所以 ( ,QAQY同理由
,， RtRt???PAYQAZ
PAPY,得 ,QAQZ
2,,PAPYPZ,于是 ( ,,,,,QAQYQZ,,,
22,,,,PBPXPZ,PCPXPY,同理 ，( ,,,,,,,,,,QBQXQZ,QCQXQY,,,,,
PAPBPCPXPYPZ,,,,,所以 ( ,,,QAQBQCQXQYQZ,,,,
性质10 三角形的一对等角共轭点对于三角形的投影三角形的面积之比等于其等角共轭点
与各顶点连线所分成对应的三个三角形的面积乘积之比( 为了证明此性质，先给出如下引理(
?ABCQ引理 设，是的等角共轭点，如图17-8，则有 P
A
Q
D
PB
C
图17-8
APBOCsin?,， AQBPCsin?
BPCQAsin?CPAQBsin?,,，( BQCPAsin?CQAPBsin?
CD事实上，如图17-8，延长至，使，联结，(由 ??BCDBQA,ADBPD
， ??PBCQBA,有 ( ???DBCABQ
DCBCBQCBQCsinsin??,,,则 ， ? AQBQBCQPCAsinsin??且 ， ???BDCBAQCAP,,
C从而，，，四点共圆，即 APD
APPCAPCAsinsin??( ? ,,DCDPCBPCsinsin??
由??知 ，
APBQCsin?,( AQBPCsin?
BPAQCsin?CPAQBsin?,,同理 ，( CQAPBsin?BQAPCsin?
下面给出性质10的证明(
?ABCBC,,,证明 如图17-9，因，，，，，分别是等角共轭点，Q在的边，XZPXYYZCA,,,，所在直线上的投影，由定理1知，，，，，，六点共圆，所以 ABXZXYYZ
A
YZ'
Y'
ZPQ
X'BCX
图17-9
SXYYZZX,,?XYZ( ? ,,,,,,,SXYYZZX,,,,,?XYZ
PYAC?又由，知，，，四点共圆，且为圆的直径，所以PZAB?APZAPAYPZY
YZAPA,sin(
,,,,,,ZXBPB,sinXYCPC,sinYZAQA,sinZXBQB,sinXYCQC,sin同理，，，，，
于是
XYYZZXAPBPCP,,,,,( ? ,,,,,,XYYZZXAQBQCQ,,,,
利用三角形面积公式，有
1， SAPBPAPB,,?sin?PAB2
1， SBPCPBPC,,?sin?PBC2
1( SCPAPCPA,,?sin?PCA2
所以
12( SSSAPBPCPAPBBPCCPA,,,,,,???()(sinsinsin)???PABPBCPCA8
同理
12( SSSAQBQCQAQBBQCCQA,,,,,,???()(sinsinsin)???QABQBCQCA8
再由引理知
APBQCsin?BPCQAsin?CPAQBsin?,,,，，， BQCPAsin?CQAPBsin?AQBPCsin?
所以
SSS,,APBPCP,,???PABPBCPCA,( ? AQBQCQSSS,,,,??QABQBCQCA由式?，?，?，可得
SSSS,,????XYZPABPBCPCA,( SSSS,,,,,????XYZQABQBCQCA由上述性质10的证明过程，不难推证如下推论(
?ABC?ABC?推论9 的等角共轭点，Q对于的投影三角形(如图17-9中的，PXYZ
?,,)的边长由下式给出 XYZ
a ZYAPAAP,,,sin2R
a,, ZYAQAAQ,,,sin2R
?
?ABCBC?ABC其中a表示边的长，表示的外接圆半径( R
?ABC?ABC?Q推论10 的等角共轭点(或)对于的投影三角形，如图17-9中的，PXYZ
??ABC,,,Q的边垂直于所对的顶点与等角共轭点(或)的连线如图17-9中的XYZP
,,ZYAQ?(或)等( ZYAP?
?ABC?ABC?ABCQ推论11 的等角共轭点(，)对于的投影三角形的边，与的对应边P
乘这边相对的顶点到等角共轭点的距离的积成比例(
?ABC?ABCQ推论12 的一对等角共轭点(，)及其在相应两边上的投影为顶点的两个P
,,??QZY对应三角形相似如图17-9中的等( PYZ?
?ABC?ABCQ推论13 的等角共轭点(或)到各顶点的距离之积，与其等角共轭点对于P
22R的投影三角形如图17-9中的?或?的三边之积的比是一定值，其中S，,,,XYZRXYZS
?ABC分别表示的面积、外接圆半径(
推论14 三角形的等角共轭点对于三角形的投影三角形的面积之比等于其等角共轭点与顶点连线所分成对应的三个三角形外接圆半径的乘积之比(
ABCDACBD?O?OAB例1 在四边形中，若，则两对角线的等角线交于一点，且、?OBC?OCD?ODA、、的垂心共线(
ACBD?证明 由于，注意到:在两对角线互相垂直的四边形中，过对角线交点向每边作垂线得四垂足，又若每垂线与对边相交得四交点，则所得八点共圆;两点是多边形的等角共
O轭点的充要条件是这两点在各边上的射影共圆(由此知点的等角共轭点存在(设为(令P
?OAB?OBC?OCD?ODA、、、的垂心分别为，，，(则HHHH1324
， AHODDAO,,cot?4
， CHODDCO,,cot?3
??又，故( ??HAPHCP,AHP?CHP4343
所以，即知、、三点共线( ??APHCPH,HHP4334
同理，、、三点共线，、、三点共线( HHHHPP3124
故、、、四点共线( HHHH1324
A
HD4
P
H
OH3
BC
图17-10
ABCBCCAQ例2(2008年国家集训队测试题)设、、分别是锐角三角形的边、、PRAB
?PQR上的点，使得是正三角形，并且它还是这样的内接正三角形中面积最小的(求证:
CQRPQ点到的垂线、点到的垂线和点到的垂线，这三条直线共点( ABRP
???CPQAQR证明 如图17-11，作、、的外接圆，交得密克尔点，则 BRPM?????BMCBMPPMCBRPPQC,，,，
,,，,(π??ARPPQA)(π)
,,,,，2π????ARPPQARPQRAQ
π( ,，A3
A
RXQ
M
CBP
图17-11
π同理，( ?RMAB,，3
由上知，为定点，所有这样的正三角形(面积不一定最小)都相当于以为中心，PQRMM将其中的一个三角形作刚体旋转而得(因此，这些三角形都有共同的旋转中心(要使M?BC面积最小，即需最小，这要求为在上的垂足(同理，，分别为PQRQMPPRMMAC在、上的垂足( AB
现在任取一点，使得，则 XAPQ?X
ππ( ?XAQAQRAMRMAR,,,,-???22
?BAC因此，到的垂线在中是的等角线( QRAAM
C从而，到的垂线，到的垂线，到的垂线，都是经过点的等角共轭点(故QRPQABRPM
的等角共轭点( 这三条直线共点于定点M
?ABC例3(2008年国家集训队测试题)设，是内两点，满足，Q??BPCAQA,P
?PBC?PCA?，，、、的外心分别为、、，??ABPCBQ,??BCPACQ,OOOPAB123???O,,,、、的外心分别为、、(设是经过、、三点的QBCQCAQABOOOOOO123123
,,O,,,圆之圆心，是经过、、三点的圆之圆心(求证:OOPQ?( OOO123
??,,,证明 设、联线和、联线交于点(因、分别为、QAB的外OOOOOODPAB323233
,心，则它们同在的中垂线上，即( OOAB?AB33
,,,同理，，，( OOAP?OOAC?OOAQ?322223
,从而， ? ??OOOBAP,332
,,( ? ??OOOCAQ,223
,,,??BAPCAQ,由?，?及已知条件，知??QOOOOO,( 332223
,,这就表明O、O、O、O四点共圆( 3322
,,ODDOODDO,,,由圆幂定理，有( ? 3232
, O O?表明点到及的幂相等，是这两圆根轴上的一点( D
另一方面，由于既在的中垂线上，又在的中垂线上，因此，( ? AQDPDQ,APD
O3A
DO'3
O'O'O22QO
CBO1
O'1
图17-12
?表明点也在线段的中垂线上( PQD
, O O,,类似地，若设、的联线和、，联线交于点(同理可证点到及的幂OOOOEE3131
相等，且点也在线段的中垂线上( PQE
, O O从而，的中垂线就是及的根轴(故垂直于两圆的根轴( PQPQ
,,OO从是两圆的连心线，由此知( OOPQ?
ACPCDABCD???例4 圆内接四边形的对角线与相交于点，则与，BDPPABPAD
?PBC与的垂心，外心分别四点共圆( 证明 为了证明该结论，先看如下引理:
ABCD引理 过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，则垂线必过以其对边为一P边，以交点为一顶点的三角形的外心(
事实上，如图17-13，过作于，作的中垂线交于，交于，过QPPHAB?DPHPDPEHD
作，交于，则，为的中点( DREQ?QHPRDRDP?PR
A
DEH
QPR
CB
图17-13
???????DRPEQPEPQHPBPBHACDDCP,,:,,:,,,,9090由
C?CDPQ知，，，四点共圆(又是直角，所以，知为的外心( PR?PDRD
下面，回到原问题的证明:
??PBC如图17-14，设、与、分别为、的外心与垂心(由上述引理知，OHOHPAD1122
O、、、及O、、H、分别四点共线( HPPEF1212
AO1EDH2QM
RPNH1
COF2B
图17-14
由于三角形的外心与垂心是等角共轭点，有
，( ??BPOCPF,??APODPE,21所以，( ??NPOMPO,??HPRHPQ,2112
所以，( ??NPOMPO,??HPRHPQ,2112
即知，( RtRt???POMPOMRtRt???PHRPHQ1212
1PAPOPMPA12， 从而 ,,,1POPNPB2PB2
PHPRPA1,,() ???PARPBQPHPQPB2
POPH11,于是，即，故，，，四点共圆( POPHPOPH,,,OOHH12211212POPH22
??PCD同理，与的外心，垂心四点共圆( PAB
?ABCNBAC例5(2011年第37届俄罗斯数学奥林匹克题)已知非等腰，是其外接圆孤的
BC??ACM中点，是边的中点，、分别是、的内心(证明: IIMABM12
、、、四点共圆( IIAA12
,,MN,证明 如图17-15，设是关于直线的对称点，联结，、、，则IIBIMIBIMI221122
1, ( ??BAIBMI，,?????BMICMIBMACMABMN，,，,:,()9012122
N
A
I'2
II21BMC
图17-15
,?BMN故、关于的平分线对称( MIMI12
,?MBN,?BMN同理，、关于的平分线对称(这表明、，是的一对等角共轭点( BIIBII2211
,因此，，从而???BNMMNMNI,，12
1 ( ??MNIINI,,??????IAIBACBNMMNIMNIMNI,,,，,，212121212
N故、、、四点共圆( IIA21
?ABCOBCCA例6 过内一点引三边、、的平行线与其他两边的交点分别为、，ABEF
GO?ABC、，、(过作外接圆的弦(求证: HIKAL
( OEOFOGOHOIOKOAOL,，,，,,,
?ABCBCa,CAb,ABc,证明 如图17-16，设的三边的长为，，，对应的高为、、hhab
?GKO?OEH?FOI?ABCO,，又设、、与的相似比分别为，，(过作、uvhABc
BCCAS、的垂线，垂足分别为、、，则由性质2，知 QP
A
KE
GHO
BFQCI
图17-16
222S2SRdOAOL,,??((其中为三角形钋接圆半径)(注意到，，RS,,h,ha,?PQSc2244caRR
1S, ， caB,sin?2
SSSS,，，则由 ????PQSPOQQOSPOS
111 ,,,，,,，,,,,hvhBhvhAuhvhCsinsinsincacbbc222
24S1?ABC(其中“,”表循环和) ,,,vBsin,2ca
122 ,,,,,,,,vBSvBS2sinsin,,??ABCABC2
S?PQS2有 ,,,sinvB,S?ABC
2再注意到性质2，有( OAOLvb,,,,,
2又(由此即证得结论( OEOFOGOHOIOKvb,，,，,,,,,
AKOSAKuc,注:其中，而，即( OEOFAKGB,,,,,uABhb
2GBvc,同理，，故( OEOFuvc,,,
22同理，，( OGOHua,,,,OIOKvb,,,,
练习十七
?ABCBCCA1(及两点在的三边，，所在直线上的身影为，，及，，,,,PABZXPXYY
?ABC，求证:与是的等角共轭点的必要且充分的条件为 ,,PZP
,,,,,, PXPXPYPYPZPZ,,,,,
ABCD2(设，是四边形的等角共轭点，求证: QP
???PCD?(1)，，，的垂心共线; QBCQDAPAB
??PBC??(2)，，，的垂心也共线; QABQCDPDA
(3)以上所得两直线互相平行(
ABCDACBD?O?OAB3(在四边形中，设，求证:两对角线的等角线交于一点，且，
?OBC?OCD?ODA，，的垂心共线(
ABCD,4(设与是四边形的等角共轭点，求证: PP
,, PAB PBC PCD PDA(1)四圆，，，交于一点Q;
,, PAB PBC PCD PDA,(2)四圆Q，，，交于一点;
,ABCDQQ(3)与也是四边形的等角共轭点(
?ABCQ5(设，是内任意两点，则 P
APAQBPBQCPCQ,,,，，?1 ABACABBCACBC,,,
??PABQAC,??PBCQBA,??PCBQCA,等号当且仅当，，时成立(
?ABCBCCAQ6(设，是的等角共轭点，则在，，上分别存在点，，，使PABEDF
CFPDDQ，,PFEQPFFQ，,，得 ，且，，三线共点( ADBE
范文二：山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第17章 投影多边形 等角共轭点
第17章 投影多边形 等角共轭点
定义1 从平面上一点P向凸多边形各边作垂线，以各垂足为顶点的多边形称为投影多边形． 如三角形三条高线的垂足作为顶点的三角形，就是垂心的投影三角形（常称为垂心的垂足三角形）． 性质1 若点P关于△ABC的投影三角形是△A1B1C1． (1)当P是△ABC的内心或旁心时，P是△A1B1C1的外心． (2)当P是△ABC的外心时，P是△A1B1C1的垂心．
(3)当P是△ABC的垂心时，若△ABC是锐角三角形，P是△A1B1C1的内心；若△ABC是钝角三角形，
P是△A1B1C1的旁心．
证明 只证(3)中△ABC是钝角三角形的情形，如图17-1，∠BAC是钝角，P是△ABC的垂心，则P在△ABC和△A1B1C1的外部，在∠B1AC11的内部，易证
P
EB1
A
1D
B
A1
图17-1
C
∠B1A1P=∠PBC1=∠PCB1=∠C1A1P
∠B1C1P=∠B1AP=∠A1AC=∠AC11C=∠DC1P
故P是△A1B1C1的旁心．
性质2 一点P的投影三角形的面积，与点P关于外接圆的幂成比例．
证明 如图17-2，点P在△A1A2A3的边A2A3、A3A1、A1A2上的投影分别为P1、P2、P3，联结A2P并延长△A1A2A3的外接圆 O于点B2．则
A3'图17-2
∠A2PA3=360?-∠A3PP2-∠P2PP3-∠P3PA2 =(180?-∠P2PP3)+(180?-∠A3PP12-∠P3P1A2) =∠A2A1A3+∠P3PP12，又∠A2B2A3+∠B2A3P =∠A2PA3，从而∠P2PP13=∠B2A3P．
于是，S△P1P2P3=
1
PP12?PP13?sin∠P2PP13 2
1=PP12?PP13?sin∠B2A3P 2
1
=PA3?sinA3?PA2?sinA2?sin∠B2A3P 2
1
=PA2?PB2?sin∠A2B2A3?sinA2?sinA3 2=
12
R-OP2?sinA1?sinA2?sinA3（其中R为 O半径） 2R2-OP2
4R2
?S△A1A2A3．
=
（注意到
sin∠B2A3PPB2
=）．
sin∠A2B2A3PA3
注：性质2常称为施坦纳(Steiner)定理．
推论1 投影三角形的面积为一定的点的轨迹，是一个与三角形外接圆同心的圆．在外接圆内的点，外心的投影三角形面积最大．
推论2 三角形外接圆上的点的投影三角形面积为零．
AP?AP?A2P
推论3 一点P的投影点外接圆的半径r=122．
2(R-OP2)事实上，由S△P1P2P3=
P2P3?P3P1?PP12
及P2P3=A1P?sinA1等三式即得．
4r
1
S△A1A2A3． 4
r
S△A1A2A3． 2R
推论4 △A1A2A3的外心O的投影三角形面积S0=事实上，由OP2=0即得．
推论5 △A1A2A3的内心I的投影三角形面积SI=
事实上，由OP2=OI2=R2-2Rr即得．
a2+b2+c2
推论6 △A1A2A3的重心G的投影三角形面积SG=S△A1A2A3．
36R2
1
事实上，由OP2=OG2=R2-(a2+b2+c2)即得．
9
推论7 △A1A2A3的垂心H的投影三角形面积SH=2cosA?cosB?cosC?S△A1A2A3． 事实上，由OP2=OH2=R2-8R2cosA?cosB?cosC即得． 推论8 △A1A2A3的九点圆圆心V的投影三角形面积
a2+b2+c2-5R2SV=?S△A1A2A3．
16R2
191
事实上，由OV=OH且OH=3OG，得OP2=OV2=R2-(a2+b2+c2)即得．
244
将性质2推广，则有如下结论：
性质3 自△ABC所在平面内一点P向三角形三边作同向等角θ的射线，分别交边BC，CA，AB于
点A1，B1，C1．设△ABC外接圆O的半径为R，OP=d，则
S△A1B1C1S△ABC
=
R2-d24Rsinθ
2
2
． ①
∠PA1B=∠PB1C=∠PC1A=θ，证明 如图17-3，当点P在△ABC内，延长CP交圆O于D，联结AD，
AP．
由题意知点A，C1，P，B1共圆，由正弦定理得
A
D
B1
C1
MB
A图17-3
N
B1C1=
同理
PAsinA
． sinθPCsinC
． sinθ
A1B1=
又∠BAD=∠BCP=∠A1B1P，∠PB1C1=∠PAC1，则 ∠A1B1C1=∠A1B1P+∠PB1C1 =∠BAD+∠PAC1=∠PAD．
在△PAD中，PAsin∠PAD=PDsinD，而∠D=∠B，即
PAsin∠PAD=PD?sinB．
从而 S△A1B1C1=
1
A1B1?B1C1sin∠A1B1C1 2
==
PA?PC
sinAsinCsin∠PAD
2sin2θ
PA?PC
sinAsinBsinC．
2sin2θ
设MN为过O，P的直径，则
PC?PD=PN?PM=(R-d)(R+d)=R2-d2． 又因S△ABC=2R2sinAsinBsinC，则
S△A1B1C1S△ABC
R2-d2
． =
4R2sin2θ
当点P在△ABC的外部时，如图17-4所示，类似可证得
图17-4
M1
S△A1B1C1S△ABC
R2-d2=． 4R2sin2θ
故性质3得证． 显然，当θ=90?时，有
S△A1B1C1S△ABC
=
R2-d24R2
，此即为性质2．
定义2 凸多边形所在平面内两点分别与各顶点连线，如果同一顶点所连的线与靠近的边所成的角都相等，则称这两点为凸多边形的等角共轭点．
例如，给定一个△ABC和两个点P，Q，如果使其满足∠PAB=∠QAC，∠PBA=∠QBC，∠PCB= ∠QCA，那这样的P，Q两点即为△ABC的等角共轭点．
性质4 三角形的外心与垂心是三角形的等角共轭点（参见第4章性质2）．
性质5 调和四边形两条对角线的中点是调和四边形的等角共轭点(参见第16章性质4)． 对三角形而言，显然内心是重合的等角共轭点（称为自等角共轭点）；三个旁心也都是自等角共轭点． 对于一个三角形而言，我们可推知：
(1)三角形外接圆上除3个顶点外，其余所有点均无实在的等角共轭点和它们相配．或者说外接圆上除顶点外，其等角共轭点为无穷远点．
(2)每个顶点可有无限多个等角共轭点，即对边所在直线上的所有点． (3)每边及延长线上的所有点同以对顶点为它们的等角共轭点．
(4)除以上所说的点外，每一点都有唯一的等角共轭点和它配成点对．
性质6 设P，Q是△ABC的一对等角共轭点，则P，Q在边BC，CA，AB（所在直线）上的射影必共圆，其共圆圆心是等角共轭点P，Q连线的中点，如图17-5所示．
图17-5
事实上，这个命题对多边形来说也是成立的．
性质7 如果一个多边形有等角共轭点，那这对等角共轭点在各边（所在直线）上的射影必共圆，所共圆圆心是这对等角共轭点连线的中点．
证明 如图17-6，设P、Q为凸多边形ABC??H的等角共轭点．设P、Q在各边AB、BC、?、HA上的投影分别为K、K'、L、L'，?，N、N'．联结AP、AQ、NK、N'K'，则知A、P、N、
K四点共圆，有
HNNA
图17-6
C
∠ANK=∠APK=90?-∠PAK．
又由A、Q、N'、K'四点共圆，有
∠AK'N'=∠AQN'=90?-∠QAN'．
由等角共轭点的定义，有∠PAK=∠QAN'．
从而，有∠ANK=∠AK'N'，即知N、N'、K、K'四点共圆，这圆的圆心应是线段NN'、KK'的中垂线的交点．但这两条中垂线显然交于PQ的中点O，即O为该圆的圆心． 同样的方法，可证K、K'、L、L'四点共圆，且圆心也是PQ的中点O．
同理，得其他的圆，且这些圆既同心，又轮回有公共点，则自必合而为一． 注：此命题的逆命题虽然成立．从而上述条件为充分必要条件． 于是我们可以得到：
(1)若两点在一个多边形各边（所在直线）上的射影共圆，则它们必是该多边形的等角共轭点；
(2)若一点在一个多边形各边（所在直线）上的射影共圆，则该点的等角共轭点（关于该多边形而言）必定存在．
其实我们还可以把性质6加强为如下一个等价形式的命题．
性质6 设给定△ABC及P，Q两点，则P，Q两点是△ABC的等角共轭点的充要条件是：点P，Q在△ABC各边（所在直线）上的射影必共圆．
性质8 设给定△ABC及P，Q两点，则P，Q两点是△ABC的等角共轭点的充要条件是：点P，Q到△ABC各边的距离成反比． 证明略（由直角三角形相似来证．）
性质9 三角形的一对等角共轭点到各顶点的距离乘积之比等于其等角共轭点到各边的距离乘积之比．
证明 如图17-7，由
ATZ
YY'B
XX'
图17-7
C
∠PAB=∠QAC，PZ⊥AB，QY'⊥AC，易知有
Rt△PAZ∽Rt△QAY'，
所以 同理由
PAPZ
=． QAQY'
Rt△PAY∽Rt△QAZ'，
得
2
PAPY
= QAQZ'
?PA?PY?PZ
于是 ． ?=''QAQY?QZ??
?PB??PC?PX?PZPX?PY同理 ，． ==? ?''''QBQX?QZQCQX?QY????
2
2
所以
PA?PB?PCPX?PY?PZ
=．
QA?QB?QCQX'?QY'?QZ'
性质10 三角形的一对等角共轭点对于三角形的投影三角形的面积之比等于其等角共轭点与各顶点连线所分成对应的三个三角形的面积乘积之比． 为了证明此性质，先给出如下引理．
引理 设P，Q是△ABC的等角共轭点，如图17-8，则有
AQ
D
B
C
图17-8
APsin∠BOC
=， AQsin∠BPC
BPsin∠CQACPsin∠AQB
==，． BQsin∠CPACQsin∠APB
事实上，如图17-8，延长BP至D，使∠BCD=∠BQA，联结AD，CD．由
∠PBC=∠QBA， △DBC∽△ABQ． 有
则 且
DCBCsin∠BQCsin∠BQC
===， AQBQsin∠BCQsin∠PCA
①
∠BDC=∠BAQ=∠CAP，
从而A，P，C，D四点共圆，即
APsin∠PCAsin∠PCA
． ==
DCsin∠DPCsin∠BPC
由①?②知
APsin∠BQC
=． AQsin∠BPC
②
同理
BPsin∠AQCCPsin∠AQB
==，． BQsin∠APCCQsin∠APB
下面给出性质10的证明．
证明 如图17-9，因X，X'，Y，Y'，Z，Z'分别是等角共轭点P，Q在△ABC的边BC，CA，AB所在直线上的投影，由定理1知，X，X'，Y，Y'，Z，Z'六点共圆，所以
AZ'ZB
X
X'
图17-9
Y
Y'C
S△XYZXY?YZ?ZX
=．
S△X'Y'Z'X'Y'?Y'Z'?Z'X'
③
又由PZ⊥AB，PY⊥AC知A，Y，P，Z四点共圆，且AP为圆AYPZ的直径，所以YZ=APsinA． 同理Y'Z'=AQsinA，ZX=BPsinB，Z'X'=BQsinB，XY=CPsinC，X'Y'=CQsinC，于是
XY?YZ?ZXAP?BP?CP
=． ①
X'Y'?Y'Z'?Z'X'AQ?BQ?CQ利用三角形面积公式，有
S△PAB=
1
AP?BPsin∠APB， 2
1
S△PBC=BP?CPsin∠BPC，
21
S△PCA=CP?APsin∠CPA．
2
所以
1
S△PAB?S△PBC?S△PCA=(AP?BP?CP)2?(sin∠APBsin∠BPCsin∠CPA)．
8
同理
1
S△QAB?S△QBC?S△QCA=(AQ?BQ?CQ)2?(sin∠AQBsin∠BQCsin∠CQA)．
8
再由引理知
APsin∠BQCBPsin∠CQACPsin∠AQB
===，，， AQsin∠BPCBQsin∠CPACQsin∠APB所以
AP?BP?CPS△PAB?S△PBC?S△PCA
=．
AQ?BQ?CQS△QAB?S△QBC?SQCA
⑤
由式③，④，⑤，可得
S△XYZS?S?S
=△PAB△PBC△PCA．
S△X'Y'Z'S△QAB?S△QBC?S△QCA
由上述性质10的证明过程，不难推证如下推论．
推论9 △ABC的等角共轭点P，Q对于△ABC的投影三角形(如图17-9中的△XYZ，△X'Y'Z)的边长由下式给出
ZY=APsinA=AP?
a
2Ra 2R
Z'Y'=AQsinA=AQ?
?
其中a表示△ABC边BC的长，R表示△ABC的外接圆半径．
''推论10 △ABC的等角共轭点P(或Q)对于△ABC的投影三角形，如图17-9中的△XYZ，△X'YZ
的边垂直于所对的△ABC顶点与等角共轭点Q（或P）的连线如图17-9中的ZY⊥AQ（或Z'Y'⊥AP）等．
推论11 △ABC的等角共轭点(P，Q)对于△ABC的投影三角形的边，与△ABC的对应边乘这边相对的顶点到等角共轭点的距离的积成比例．
Q)及其在△ABC相应两边上的投影为顶点的两个对应三角形推论12 △ABC的一对等角共轭点(P，
相似如图17-9中的△PYZ∽△QZ'Y'等．
推论13 △ABC的等角共轭点（P或Q）到各顶点的距离之积，与其等角共轭点对于△ABC的投影
2R2
''的三边之积的比是一定值三角形如图17-9中的△XYZ或△X'，其中S，R分别表示△ABCYZ
S
的面积、外接圆半径．
推论14 三角形的等角共轭点对于三角形的投影三角形的面积之比等于其等角共轭点与顶点连线所分成对应的三个三角形外接圆半径的乘积之比．
例1 在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则两对角线的等角线交于一点O，且△OAB、△OBC、△OCD、△ODA的垂心共线．
证明 由于AC⊥BD，注意到：在两对角线互相垂直的四边形中，过对角线交点向每边作垂线得四垂足，又若每垂线与对边相交得四交点，则所得八点共圆；两点是多边形的等角共轭点的充要条件是这两点在各边上的射影共圆．由此知P点的等角共轭点存在．设为O．令△OAB、△OBC、△OCD、
△ODA的垂心分别为H1，H2，H3，H4．则AH4=OD?cot∠DAO，
CH3=OD?cot∠DCO，
又∠H4AP=∠H3CP，故△AH4P∽△CH3P． 所以∠APH4=∠CPH3，即知H4、P、H3三点共线． 同理，H2、P、H3三点共线，H1、P、H4三点共线． 故H1、H2、H3、H4四点共线．
图17-10
例2（2008年国家集训队测试题）设P、Q、R分别是锐角三角形ABC的边BC、CA、AB上的点，使得△PQR是正三角形，并且它还是这样的内接正三角形中面积最小的．求证：点A到QR的垂线、点B到RP的垂线和点C到PQ的垂线，这三条直线共点．
证明 如图17-11，作△CPQ、△AQR、△BRP的外接圆，交得密克尔点M，则 ∠BMC=∠BMP+∠PMC=∠BRP+∠PQC =(π-∠ARP)+(π-∠PQA)
=2π-∠ARP-∠PQA=∠RPQ+∠RAQ
=
π
+A． 3
A
RB
C
X
Q
图17-11
π
+B． 3
由上知，M为定点，所有这样的正三角形PQR（面积不一定最小）都相当于以M为中心，将其中的一个三角形作刚体旋转而得．因此，这些三角形都有共同的旋转中心M．要使△PQR面积最小，即需MP最小，这要求P为M在BC上的垂足．同理，Q，R分别为M在AC、AB上的垂足． 现在任取一点X，使得XA⊥PQ，则 同理，∠RMA=
ππ
-∠AQR=-∠AMR=∠MAR． 22
因此，A到QR的垂线在△BAC中是AM的等角线．
从而，A到QR的垂线，B到RP的垂线，C到PQ的垂线，都是经过点M的等角共轭点．故这三条直∠XAQ=
线共点于定点M的等角共轭点．
例3（2008年国家集训队测试题）设P，Q是△ABC内两点，满足∠BAP=∠CAQ，∠ABP=∠CBQ，∠BCP=∠ACQ，△PBC、△PCA、△PAB的外心分别为O1、O2、O3，△QBC、△QCA、△QAB
'、O3'．设O是经过O1、O2、O3三点的圆之圆心，O'是经过O1'、O2'、O3'三点的外心分别为O1'、O2
的圆之圆心．求证：OO'∥PQ．
'、O2'联线交于点D．因O3、O3'分别为△PAB、△QAB的外心，则它们证明 设O3、O2联线和O3
'⊥AB． 同在AB的中垂线上，即O3O3
'⊥AC，O2'O3'⊥AQ． 同理，O3O2⊥AP，O2O2'O3O2=∠BAP， 从而∠O3
'O3'=∠CAQ． ∠O2O2
① ②
'O3O2=∠O2O2'O3'． 由①，②及已知条件∠BAP=∠CAQ，知∠Q3'、O2、O2'四点共圆． 这就表明O3、O3
'D?DO2'． 由圆幂定理，有O3D?DO2=O3
③
③表明点D到 O及 O'的幂相等，是这两圆根轴上的一点．
另一方面，由于D既在AP的中垂线上，又在AQ的中垂线上，因此，DP=DQ．
1
图17-12
④
④表明点D也在线段PQ的中垂线上．
'、O1'，联线交于点E．同理可证点E到 O及 O'的幂相等，且点类似地，若设O3、O1的联线和O3
E也在线段PQ的中垂线上．
从而，PQ的中垂线就是 O及 O'的根轴．故PQ垂直于两圆的根轴． 从OO'是两圆的连心线，由此知OO'∥PQ．
例4 圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，则△PAB与△PCD，△PAD与△PBC的垂心，外心分别四点共圆．
证明 为了证明该结论，先看如下引理：
引理 过圆内接四边形ABCD两对角线交点P作任一边的垂线，则垂线必过以其对边为一边，以交点为一顶点的三角形的外心． 事实上，如图17-13，过P作PH⊥AB于H，作DP的中垂线交HP于Q，交DP于E，过D作DR∥EQ，交HP于R，则DR⊥DP，Q为PR的中点．
AP
B
图17-13
DRC
由∠DRP=∠EQP=90?-∠EPQ=90?-∠HPB=∠PBH=∠ACD=∠DCP
知D，P，C，R四点共圆．又∠PDR是直角，所以，知Q为△CDP的外心． 下面，回到原问题的证明：
如图17-14，设O1、H1与O2、H2分别为△PAD、△PBC的外心与垂心．由上述引理知，O1、P、H2、F及O2、P、H1、E分别四点共线．
图17-14
由于三角形的外心与垂心是等角共轭点，有
∠BPO2=∠CPF，∠APO1=∠DPE．
所以∠NPO2=∠MPO1，∠H1PR=∠H2PQ． 所以∠NPO2=∠MPO1，∠H1PR=∠H2PQ．
即知Rt△PO1M∽Rt△PO2M，Rt△PH1R∽Rt△PH2Q．
1PA
PO1PMPA
从而 ， ===
PO2PN1PBPB
2PH1PRPA
==（△PAR∽△PBQ） PH2PQPB
于是
PO1PH1
=，即PO1?PH2=PO2?PH1，故O1，O2，H2，H1四点共圆． PO2PH2
同理，△PAB与△PCD的外心，垂心四点共圆．
的中点，M例5（2011年第37届俄罗斯数学奥林匹克题）已知非等腰△ABC，N是其外接圆孤BAC
是边BC的中点，I1、I2分别是△ABM、△ACM的内心．证明： I1、I2、A、A四点共圆．
'是I2关于直线MN的对称点，证明 如图17-15，设I2联结BI2'，BI1、MI2'、MI1，则∠BAI1+∠BMI2'=
1
∠BMI1+∠CMI2=(∠BMA+∠CMA)=90?=∠BMN．
2
图17-15
'关于∠BMN的平分线对称． 故MI1、MI2
'关于∠MBN的平分线对称．这表明I1、I2'，是△BMN的一对等角共轭点． 同理，BI1、BI2
1
'，从而∠I1AI2=∠BAC=∠BNM=∠MNI1+∠MNI2'=∠MNI1+ 因此，∠BNM=∠MN1+∠MNI2
2∠MNI2=∠I1NI2．
故I1、I2、A、N四点共圆．
例6 过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其他两边的交点分别为E、F，G、H，I、K．过O作△ABC外接圆的弦AL．求证：
OE?OF+OG?OH+OI?OK=OA?OL． 证明 如图17-16，设△ABC的三边的长为BC=a，CA=b，AB=c，对应的高为ha、hb、hc，又设△GKO、△OEH、△FOI与△ABC的相似比分别为λ，u，v．过O作AB、BC、CA的垂线，垂足分别为P、Q、S，则由性质2，知
AKG
O
B
IH
图17-16
S△PQS
2S△2S△R2-d2OA?OL
．（其中为三角形钋接圆半径）．注意到，，S△= h=ha===Rc
ac4R24R2
1
ca?sinB， 2
则由S△PQS=S△POQ+S△QOS+S△POS
111
=λhc?vha?sinB+λhc?vhb?sinA+uhb?vhc?sinC 222
2
14S△ABC
=∑λv?sinB（其中“∑”表循环和）
2ca
1
=∑λv?2sin2B?S△ABC=∑λv?sin2B?S△ABC
2有
S△PQSS△ABC
=∑λv?sin2B
再注意到性质2，有OA?OL=∑λv?b2．
又OE?OF+OG?OH+OI?OK=∑λv?b2．由此即证得结论． 注：其中OE?OF=AK?GB，而
AKOS
==u，即AK=uc． ABhb
同理，GB=vc，故OE?OF=uv?c2． 同理，OG?OH=λu?a2，OI?OK=λv?b2．
练习十七
1．P及P'两点在△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的身影为X，Y，Z及X'，Y'，Z'，求证：P与P'是△ABC的等角共轭点的必要且充分的条件为
PX?PX=PY?PY=PZ?PZ
2．设P，Q是四边形ABCD的等角共轭点，求证： (1)△PAB，△QBC，△PCD，△QDA的垂心共线； (2)△QAB，△PBC，△QCD，△PDA的垂心也共线；
(3)以上所得两直线互相平行．
3．在四边形ABCD中，设AC⊥BD，求证：两对角线的等角线交于一点O，且△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的垂心共线．
4．设P与P'是四边形ABCD的等角共轭点，求证：
（1）四圆 PAB， P'BC， PCD， P'DA交于一点Q； （2）四圆 P'AB， PBC， P'CD， PDA交于一点Q'； (3)Q与Q'也是四边形ABCD的等角共轭点． 5．设P，Q是△ABC内任意两点，则
AP?AQBP?BQCP?CQ
++≥1
AB?ACAB?BCAC?BC等号当且仅当∠PAB=∠QAC，∠PBC=∠QBA，∠PCB=∠QCA时成立．
6．设P，Q是△ABC的等角共轭点，则在BC，CA，AB上分别存在点D，E，F，使得PD+DQ= PF+EQ=PF+FQ，且AD，BE，CF三线共点．
范文三：三角形的等角共轭点与等截共轭点的类比
三角形的等角共轭点与等截共轭点的类比 Jun1996年1月
第1期
柑辽学刊(自燕科学艟)
SongliaoJournal(NaturalScienceEdition)
?.1
Jan.1996
呵2^
三角形的等角共轭点与等截共轭点的类比
挂宝民姜树民邓鹤年姜树斌
——(西?'矗学陡四千136000)(,igWeeam-~,) AI_要本文利甩对比的方法.避甩点对直线的平行匣离与萋直辱离的关系,对三角形的
等舟共轭点与等蠢共轭点的相关性质做一些菪If..以揭示它们的联系. 关t调!!生!苎平行臣矗粤直距矗芝苎苎塞皇竺苎苎璺生 1等角线
定义l?ABC中.如果射线Ax,AY
关于角平分线AD成轴对称,则x,AY
嘲做美于BAC的等角线.
一
个角的两边是该角的一对等角线;
角平分线AD是自等角线.其外角平分线
也是自尊角线.
定义2过点P作P上AB于E,则
线段PE叫做点P刊AB的垂直距离,记
作P.
三带彤.
1等截线
定义l?且BC中.如果射线^x, AY与直线古c交点x,y关于BC中点D 成中心对称,则AX,AY叫做关于BC的 等截线.
一
十角的两边是该角对边的一对等截 线;中线AD是自等截线,过顶点所作对边 的平行线是处于极限位置的自等藏线. 定义2'过点P作EF//BC交AB 于E,则线段PF.叫做点,到AB关于BC 的平行距离.记作尸船,在明显情况下,简 记为P
对于每一点,它对任一直线都有它的垂直距离和关于某方向的平行距离.显然,,
=尸ainB.
命题1在AABC中,尸,Q是两等角 线AD,AD'上的点.则
(1)?tP?;1l1
(2)尸?PlQ?Q=AP:QI,反之
亦成立.
收蔫日期,l995-04一l3
命腰l在?ABC中,尸,Q是两等截 线AD,且D上的点,则
(1)尸?'z尸?';1t1
(2)Pf?PtQ}?Q一AIlA.反2
亦成立.
OO
命题2在AABC中,P,0是两等角 线AD,AD上的点,则
(1)P,?(i尸?02'=t
<2)?,oJ/?o_.//=AP,AQ,反之
亦成立.
命题3直线,交AABC三边所在直 线于DE,F,则射线AD,BE,CF的等角 线与对边交点D,E,,F也共线.
2等角共轭点
定义3给定?ABC,对于任一点尸. 如果有P,B尸,CP的等角线会于,点 Q.则点P,Q?q做?ABC的等角共轭点. 三角形的外心和垂心是等角共轭点# 内心和旁心都是自等角共轭点;每条边所 在直线上所有点都以它的对顶点为等角共 轭点I三角形外接圆周上的点不存在等角 共轭点(或说是无穷远点).
命题5在?ABC中,若尸,0是两对 等角线的交点,则它们是等角共轭点. 据命艇l(1)即可证得.
命题6P,0是?ABC的等角共轭点 的充要条件是
(1)尸?:P?:P0Q=l:1:1; 或
(2)?PBC??QBC:/',PCA??QCA: ?PAB?&QAB=d0j: 命题7一若尸,0是AABC的等角共 轭点,则过尸,0的-_-x~等角线交得四对等 角共轭点,除尸,0一对外,其余的三对点
的连线共点(可用巴普斯定理证明). 命题2一在AABC中,P,0是两等截 线AD,AD上的点,则
(1)尸l??日一z
(2)eg?pL:'0=(21I-). (AQ)
.
反之亦成立.
命题3直线,交AABC三边所在
直线于DEF,则射线AD,BE,CF的等 截线与对边交点D,E,F也共线. 2等截共轭点
定义3给定?ABC,对于任一点P. 如果有AP,BP,CP的等截线会于一点 Q.则点P,Q?q做?ABC的等截共轭点. 三角形的葛尔剐点和奈格尔点是等截 共轭点;重心和偏重心(即过两顶点作对边 平行线所得交点)都是自等截共轭点;每条 边所在直线上所有点都以它的对顶点为等 截共轭点;以三角形重心为中心的该三角 形外接椭圆上的点不存在等截共轭点(或 说是无穷远点).
命胚5在?A中.若P,0是两
对等截线的交点,则它们是等截共轭点. 据命题2(1)即可证得.
命题6P,0是?4Bc的等截共轭
点的充要条件是
(1)P?(0:P0?Q:pIQl=-22.去:
吉.或
(2)?PBC??0BC:?PCA??QCA ?PAB??Q4B=l:lzL. 命题7若P,0是?ABC的等截共 轭点.则过P,0的三对等截线交得四对等 截共轭点,除P,0一对外,其余的三对点 的连线井点(可用巴普斯定理证明).
3内心坐标(或称距离坐标)
给定AABC,取其内心I为单位点, 记作j(1,1.1).建立齐次坐标系.对于平 面上任一点.P,其坐标为P(a,6,一).其 中a6r{c=pL,Pkt0(有向距离). (一)等角共轭点
设P(口,.),Q(a,.f)为等角共
轭点,据命题5(1)知,其关系式可表为 Q(n,,r):Q(,1
,)
1自等角共轭点
内心I(1,l,1)
旁心Ia(一1,1,1),Ib(1,一1,1),Ic (1,l,一1).
2外心与垂心
外心0(cosA,cosB.cosC) !t,L-H(.1.
c
上osC)
3(偏)重心与陪位(偏)重心
定义4?ABc的重心G(或偏重心 (GaGb,Gc)的等角共轭点(或Ka,Kb,
Kc).叫做AABC的陪位重心(或偏重 心).
重心G(,i1.
?)
偏重心Ga(一1,
吉,),cb~-},一
.一
1
,,
Gb(~-
,
1
,一).
陪位重心K(口.b,f). 陪位偏重心Ka(一日,6,c).Kb(a,一 b.f),Kc(口,6.--c). (=)等截共轭点
设P(d,,f),Q(a,,)为等截共
轭点.据命题5(1)知,其关系式可表为 Q(:Q(,,专)
1.自等截共轭点——重心与偏重心 3重心坐标(或称面积坐标) 给定AABC.取其重心G为单位, 记作G(1.1,1),建立齐次坐标系.对子平 面上任一点P.其坐标为P(a,b,r),其 中口tb:一?PBC:?PCA:?PAB(有 向面积).
(一)等截共轭点
设P(a,b,一),Q(a,,c)为等截共
轭点,据命题5'(2)知,其关系式可表为 Q(n.,c)=Q(,1
,)
1自等截共轭点
重心G(1,1,1)
偏重心Ga(一1.1.1),Gb(1,一1.1), Gc(1.1.一1).
2葛尔刚点与奈格尔点
,) 葛尔刚点Gr(,南
奈格尔点?(—d一声一6,p--c) 3内(旁)心与陪位内(旁)心
定义4?ABC的内心,(或旁心la, Ib,Ic)的等截共轭点_,(或_,d,,Jc),叫 做?^同的陪位内心(或旁心). 内心l(a,b,)
旁心Ia(一a.b,c).Ib(口,,6,c),Ic (n,6,一f)倍位内心一,',音,?
陪位旁心(一,百1.
?),.(,一
百
1
,
?,-,cc,丢.一?,.
(二)等角共轭点
设P(口,,f),Q(a,6.c)为等角共
轭点,据命题5(2)知,其关系式可表为 Q(n,.c):Q(,.) 1.自等角共轭点——内心与旁心(见
(见上).
2.葛尔刚点与崇格尔点 葛点Gr(丽1?
1)
,
l
瓦i'
奈点N(主,.
p--c
o
)
"C
3.内(旁)心与砖位内(旁)心. 内心与旁心(见上)
陪位内心_,(,刍,). 陪位旁心(一,击,,(.一
击.古,c.古,一古
上).
2.外心与垂心
外心0(acosA,6c?B,CCOSC)
垂心(?志,壶).
3.(偏)差心与陪位(偏)重心. 重心与偏重心(见上) 陪位重心Ka(口I,矿,,) 陪位偏重心Ka(一口,,,).b(a
--
b.,).Kc(a'..一一)
参考文献
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2Ctxy薯事毋译近世几何拳栅?商务印书馆 3?世啊主?中一向等箍拳研究支鼻阿膏教青出麓社 一
92一
,
范文四：等角航线
又称正轴等角圆柱投影，简称UTM 投影或TM 投影。圆柱投影的一种，由荷兰地图学家墨卡托（G. Mercator）于1569年创拟。为地图投影方法中影响最大的。
设想一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，按等角条件将经纬网投影到圆柱面上，将圆柱面展为平面后，得平面经纬线网。投影后经线是一组竖直的等距离平行直线，纬线是垂直于经线的一组平行直线。各相邻纬线间隔由赤道向两极增大。一点上任何方向的长度比均相等，即没有角度变形，而面积变形显著，随远离标准纬线而增大。该投影具有等角航线被表示成直线的特性，故广泛用于编制航海图和航空图等。 墨卡托投影，是一种" 等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定。
假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。 墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。中国国家标准“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，）中规定 1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。
等角航线是地面上两固定点之间的一条具有特殊性质的定位线，即在此两点间与所有经线处处均构成相同方位角的一条曲线。当按等角航线航行时，可沿一固定方位由始点直至终点而不必变更方向。
由此可知，在墨卡托投影的地图上，一旦确定撕较叩钠鸬愫椭盏阒 螅 灰 恿降愕牧 弑隳芑竦玫冉呛较撸 部梢源油忌狭咳〉冉呛较吆途 叩募薪牵 恍璞３执私嵌群叫芯湍艿酱镏盏恪?
等角航线虽然是两点间对所有经线均能保持等方位的特殊曲线，但是，等角航线并不是两点间最近距离。从理论上分析，经证明并得出结论，最短距离应是过两点大圆上的一段圆弧，称为大圆航线(具体推证可参考有关地图投影书籍) 。
由此可以看出沿等角航线航行既有其有利的一面，也有其不利的一面。为了扬长避短，寻找最短航线，在远洋航行时，一般是把大圆航线转绘到墨卡托投影的海图上，然后再将大圆航线分成若干小段，每一分段连成直线后即形成了等角航线。总之，船只大致是沿大园航线航行，但就每一分段而言，走的是等角航线。
二、墨卡托投影
1569年墨卡托创制，该投影保持等角性质，故又称等角正圆柱投影。
1．墨卡托投影的条件 使地图上没有角度变形，即为了保持等角，必须使地图上每一点的经线比例尺和纬线比例尺相等，也即图上其他纬线都与赤道长度相等，它们的局部比例尺随纬度增大而增大，俞到高纬度地区局部比例尺（符合主比例尺）愈大。例如：在φ60°经线比（m ）纬线比（n ）都扩大2倍，面积比例扩大4倍。 在φ80°经线比（m ）纬线比（n ）都扩大近6倍，面积比例扩大了33倍。所以在墨卡托投影图上，纬线80°以上地方通常不绘出来
2．墨卡托投影的特点，所有经线与纬线都是直线且正交，随着纬度的啬，纬线间距加大，该投影无角度变形，面积变形自赤道（赤道为Vp=0）随纬度增加面积变形扩大。
3．等角航线。由于墨卡托投影无角度变形，且经线为平行直线，所以等角航线表现为直线。 等角航线：地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。地球表面上除经线与纬线以外的等角航线，都是以极点的渐近点的螺旋曲线。它在墨卡托投影图上表现为直线。这一特性对航海具有重要意义。
范文五：等角螺旋天线
等角螺旋天线仿真分析
Abstract:本文基于等角螺旋天线的基本原理，利用电磁让真软件HFSS构建并仿真分析了一个基本的等角螺旋天线。通过仿真结果，得到了一个频带为442MHz~929MHz，频带内S参数小于-10dB的天线，并分别给出450MHz，670MHz，900MHz处的E、H面方向图。关于结果的分析也列于最后。
1.引言 螺旋天线属于非频变天线，具有可观的带宽比，通常都具有圆极化特性，半功率带宽一般约为70°~90°。由于螺旋天线具有体积小，宽带宽的特性，因而广泛应用于国防，遥感等方面。螺旋天线阵列还用于1~18GHz的军用飞行器方面。
2.天线设计
本文仿真的等角螺旋天线如图1所示，可由4个公式表示定义每个支臂的内外半径
r1=r0eaφ (1) r2=r0ea(φ-δ) (2) r2=r0ea(φ-π) (3) r2=r0ea(φ-π-δ) (4)
式中r0为φ=0时的矢径，a为一个常数，用于控制螺旋的张率。用式(1)可
以建立起图1所示的平面等角螺旋天线。当δ=π/2时，图1所示的结构是自补的，在这种情况下，方向图对称性最好。
自补天线有如下特性：
Z金属=Z空气=η/2=188.5Ω (5) 这就要求在HFSS中仿真的时候馈电对口阻抗大致设为188.5Ω。
等角螺旋天线工作频带的上限fu
由亏点结构决定，最小半径r0在馈电
区的周长2πr0=λu=c/fu。当然，螺旋在
该店终止，连接到馈电传输线。下限
频率通过天线整体半径R来限制，使
其约为fL的1/4波长。 实验发现半圈到三圈的螺旋对参数a和δ相对来说不敏感。一圈半的螺旋约为最佳。 本文利用HFSS构建模型，并进行仿真分析。构建的模型如图2所示。仿真的天线最终选定参数如下：r0=27.5cm，a=0.27，n=0.92。 图1 平面等角螺旋天线几何模型 图2 等角螺旋天线(a)斜视图(b)顶视图(c)侧视图 3.仿真分析
3.1 S参数 图3所示为S
参数仿真结果，由
图可以看出，从442MHz~929MHz处，S参数都低于-10dB，说明此等角螺旋天线在次带宽内为通带。偏离450MHz~900MHz的原因，与馈电处的结构（r0主要决定天线的高频），天线的张角和天线的圈数（a和n控制天线的外径，外径主要决定天线的低频）都有关系。
图3 S参数仿真结果
3.2 方向图 图4、5、6分别为天线在450MHz，670MHz，900MHz处，E面和H面的方向图。由三图可以看出，等角螺旋天线在通带内，天线都是双向轴向辐射，具有良好的方向图不变性，即非频变特性。
由方向图看，天线的整体增益不理想，产生原因与馈电的关系较大，利用HFSS仿真是，端口阻抗设置为188.5Ω，这只是个理论值，实际的测试结果与此出入，可能使得天线的匹配欠佳，所以造成天线的增益下降。
图4 450MHz处方向图
图5 670MHz处方向图
图6 900MHz处方向图
3.3 轴比
图7所示为天线的轴比随频率变化特性。由图可以看出，天线的轴比在442MHz~929MHz大致小于5dB。可以看出，天线的圆极化特性差强人意，具体原因不清楚，可能跟馈电的结构和仿真采用的算法有关。快速法求解速度快，精度欠佳，离散法求解精度高，但耗时太多。
图7 轴比随频率变化的仿真结果
4.总结
本文先对等角螺旋天线进行了理论分析，得出了其单臂的相应表达式。接着在仿真软件HFSS中建模并仿真。经过结构优化，最终得到了在442MHz~929MHz内S参数小于-10dB，轴比小于-5dB的天线。并给出了3个频点上的方向图。另外，还针对每个图的结果分析了其存在的问题及可能的原因。由各结果可以看出，天线具有非频变特性的同时还具有较好的圆极化特性。
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