语不精人死不休
范文一：行列式和矩阵
线代框架之行列式和矩阵
?A可逆 ?
?r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ?
?A的特征值全不为0 ??Ax?0只有零解 ? ?x?0，Ax?0 n
注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. A?0??n
????R,Ax??总有唯一解 ?ATA是正定矩阵 ?
?A?E ?A?pp???p p是初等阵
12si
???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E
?A不可逆 ??r(aE?bA)?n r(A)?n ???aE?bA?0?A?0??A的列（行）向量线性相关 注：?(aE?bA)x?0有非零解
??=- ?0是A的特征值
b??
??Ax?0有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量
向量组等价?
?
矩阵等价(?)?具有
?反身性、对称性、传递性 ????
矩阵相似(~)?
?矩阵合同?
√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量； ②e1,e2,???,en线性无关；
n
n
③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
a11
Dn?
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
?
j1j2?jn
a21?an1
?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
AO
②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
OO
BA
==
A?
?A
OBBO
?
AO?
B
?AB
BO
?(?1)mnAB
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?
④关于副对角线：
a1n
a2n?1
?
?O
O
a2n?1
?an1
a1n
?(?1)O
n(n?1)a1na2n?an1
an1
1x1
2
⑤范德蒙德行列式：x1
1x2
2x2?
???
1
2
???xi?xj?
xn
n?i?j?1
?n?1xn
xn
?x1n?1
n?1x2?
?a11
?a21?由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1
?A11?A??12????A1n
A21?A22?A2n
a12a22?am2
?a1n?
?
?a2n?
称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n
m?n??
?
?amn?
A?Aij
*
??
T
An1??
?An2?
，Aij为A中各个元素的代数余子式. ???
?Ann?
√ 逆矩阵的求法:
?ab?1?d?b?A
?① A?1? 注： ???? ad?bc??ca?A?cd?
?
?1
?(E?A②(A?E)????
?a1
?③???
?1
?a?
?1
?
???
?a3????
m
n
初等行变换?1
)
?1
?a1?
??
???
???a??1
a3
12
a2
12
????? ???a??3a3?
(A)?(A)
mn
mn
a2
?
?? ???
√ 方阵的幂的性质：AA?A
m?n
√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，
则
AB?Cm?s
?
?b11b12?b1s???bb?b21222s???c1,c2,?,cs???1,?2,???,?n?????????bb?bns??n1n2
?
A?i?ci
，
(i?1,2,?,s)?
?i
为
Ax?ci
的解
?A??1,
系数矩阵.
??2,?s??,??
A?
1
?A,
2
c,cs可由?A?,???c1???c2,1,c2,?,c,?1,?2,???,?n线性表示. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为?s,??s
√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
?AB??AT
√ 分块矩阵的转置矩阵：????T
CD???B
?A?1?A?
分块矩阵的逆矩阵：????
B???
?A?1?AC??????OB??O
?1?1
T
CT?
T?D?
?? ??B?1??B
A??
???1???A
?1?1
B?1?
? ?
?A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??
B?B??CB???BCA
?A11
分块对角阵相乘：A??
???B11?,B??A22???
?B22??A11B11
AB??
??? A22B22?
?A??BA*
分块对角阵的伴随矩阵：????
B???
*
?
*?AB?
√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)
初等行变换
(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT， 用(I)的方法求出X，再转置得X
T
矩阵Am?n与Bl?n的列向量组等价?PQ?B（右乘可逆矩阵Q）. √ 判断?1,?2,?,?s是Ax?0的基础解系的条件： ① ?1,?2,?,?s线性无关； ② ?1,?2,?,?s都是Ax?0的解；
③ s?n?r(A)?每个解向量中自由未知量的个数.
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.
向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n. ⑨ r(A)?0?A?O.
⑩ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ? 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.
当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
? 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 初等矩阵的性质：
n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
(?,?)?
0.
???1.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?c(?,?)
?(?,c?)
AAT
?E
√ A为正交矩阵?A的n个行（列）向量构成?n
的一组标准正交基.
√ 正交矩阵的性质：① AT?A?1
；
② AAT
?AT
A?E；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A是正交阵,则AT
，A?1
也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A的行（列）向量都是单位正交向量组.
范文二：行列式和矩阵
x
x2
１．2
4?0有（ ）个根。 39（Ａ）２ （Ｂ）１ （Ｃ）０ （Ｄ）３
31
x
2 若4
x0?0，则x的范围为（ ） 10x
（Ａ）x?0且x?2 （Ｂ）x?0或x?2 （Ｃ）x?0 （Ｄ）x?2
20093 若
031x
04x0?0，则x的范围为（ ）
10x
（Ａ）x?0或x?2 （Ｂ）x?0且x?2 （Ｃ）x?0 （Ｄ）x?2xx2x34 若D(x)?
248
3927?0，则D(x)的全部根为（ ） 41664
（Ａ）１，２，３ （Ｂ）２，３，４ （Ｃ）３，４， （Ｄ）４，５，
a11
a12a132a112a122a13
5．如果D?a21
a22a23?M?0，则D1?2a312a322a33?（a31
a32
a33?2a21
?2a22
?2a23
（Ａ）2M （Ｂ）?2M （Ｃ）8M （Ｄ）?8M
a11
a12a134a112a11?3a12a13
5 a21
a22a23?1，则4a212a21?3a22a23?（ ） a31a32a334a31
2a31?3a32
a33
（Ａ）8 （Ｂ）?12 （Ｃ）24 （Ｄ）?24
a11a12a13
4a11
2a11?3a12a13
a21a22
a23?2，则4a212a21?3a22a23?（ ）
a31
a32
a334a31
2a31?3a32a33（Ａ）8 （Ｂ）?24 （Ｃ）24 （Ｄ）?12
a11
a12a13
a21
a22
a23
设a21
a22a23?m，则2a31?a11
2a32?a12
2a33?a13?（ ） a31a32a332a11?a212a12?a22
2a13?a23
（Ａ）-4m （Ｂ）-2m（Ｃ）2m （Ｄ）4m
a11
a12a13
a21
a22a23
设a21
a22a23?2，则2a31?a112a32?a122a33?a13?（ ）。 a31
a32
a332a11?a21
2a12?a22
2a13?a23
（Ａ）?42 （Ｂ）?22 （Ｃ）22 （Ｄ）42
。
）
a11
设a21
a12a22a32a1a2
a13a21a222a32?a122a12?a22a1a2
a23
2a33?a13?（ ）。 2a13?a23
＝（ ）
a31
a23?m，则2a31?a11
2a11?a21a33b1b2
?1，
a1a2
c1c2
（Ａ）－４m （Ｂ）－２m（Ｃ）２m （Ｄ）４m 设行列式
?2，则
b1?c1b2?c2
（Ａ）?3 （Ｂ）?1 （Ｃ）3 （Ｄ）1
01
1?7
设行列式D?
230?112?5
（Ａ）31?1
?14?2011?7
设行列式D?
230?1
1
（Ａ）3
2?501
，则余子式M23?（ ）
1?14?2
01?5012021
?1 （Ｃ）231 （Ｄ）213 （Ｂ）23
0?1404?10?1?22?5
01
，则余子式M33?（ ）
1?14?2
1
?5
1
?5
02
1
2?51
?1 （Ｂ）23?1 （Ｃ）1?71 （Ｄ）213
04?1?14?20?1?20?1?2
设A，B为n阶矩阵，且AB?0，则必有（ ）。
（Ａ）A?0或B?0 （Ｂ）A?B?0 （Ｃ）A?0或B?0 （Ｄ）A＋B?0
设A与B均为n阶对称矩阵，则（ ）也为n阶对称矩阵。
?1
（Ａ）(AB) （Ｂ）AB （Ｃ）AB （Ｄ）A?B
?1
?1
已知B为可逆阵，则[(B)]?（ ）。 （Ａ）B （Ｂ）B （Ｃ）B
T
?1
?1T?1
（Ｄ）(B)
?1T
设A，B均为n阶方阵，则必有（ ）
（Ａ）|A|?|B|?|B|?|A| （Ｂ）|A?B|?|A|?|B| （Ｃ）(A?B)?A?B （Ｄ）(AB)?AB 关于矩阵下列说法正确的是（ ）
（Ａ）若A可逆，则A与任何矩阵可交换，AB?BA。 （Ｂ）若A可逆，则A也可逆。
（Ｃ）若A可逆，B也可逆，则A?B也可逆。 （Ｄ）若A可逆，B也可逆，则AB不一定可逆。
若A，B均为n阶非零矩阵，且(A?B)(A?B)?A?B，则必有（ ） （Ａ）AB?BA （Ｂ）A?E
（Ｃ）B?E （Ｄ）A，B为对称矩阵
2
2
T
TTTT
设A??34?
????1a??，?B???10??
?52??
?
，若AB?8，则a?（ ） 设A为 n 阶方阵，A 经过若干次初等变换后得到矩阵B, 则（ ） （Ａ）必有A?B （Ｂ）必有 A?B （Ｃ）若 A?0,则必有B?0 （Ｄ）若A?0,则必有B?0
４．设A???
3?1?
，??4a??B??10???52??
?，若AB?20，则a?（ ） （Ａ）43 （Ｂ）2 （Ｃ）1683 （Ｄ）3
设A,B,C均为n阶方阵且AB?BC?CA?E,则A2?B2?C2
?（ ） （Ａ）3E（Ｂ）2E（Ｃ）E（Ｄ）O
ka1
a1
设Dka2
?
Da2
1?
, 2?
?
其中a1a2?an?0，则（0
kan
an
（A） D1?kD2 (B) D1?
1
kn
D2 (C) D1?knD2 (D)D1??knD2２．设A为方阵，下列命题成立的是（ ）
(A) 若AB?AC，则B?C。(B) 若AB?0，则A?0或B=0。 (C) 若A?0，则A?0。 (D) 若A?0，则A?0
设同阶方阵A,B,C满足AB?AC，则必有（ ）。 （Ａ）A?O或B?C （Ｂ）A?O且B?C （Ｃ）A?0或B?C （Ｄ）A?0且B?C
设A为n阶方阵，且其行列式A?a，则AA＊
?（ ）。
（Ａ）an （Ｂ）a2 （Ｃ）a （Ｄ）an?1
设方阵A的行列式A?0，则（ ）。
（Ａ）A?O （Ｂ）ATA?O （Ｃ）A＊
A?O （Ｄ）都不对 设A为３阶方阵，且已知?2?2，则A＝（ ） （Ａ）?1 （Ｂ）?0.25 （Ｃ）0.25 （Ｄ）1 设矩阵A，B，C为同阶方阵，则(ABC)T
＝（ ）
（Ａ）CT
BT
AT
（Ｂ）AT
BT
CT
（Ｃ）CT
AT
BT
（Ｄ）AT
CT
BT
设A为２阶可逆矩阵，且已知(2A)
?1
???12?
?
??，则A＝（ ）?34 ?
）
?12??12?1?12?1?12?
?????2???（Ａ）? （Ｂ）2??34? （Ｃ）?34? （Ｄ）2???34?? 342?????????
二 填空题
已知四阶行列式D中第三列元素依次为－１，２，０，１，它们的余子式依次 分别为５，３，－７，４，则D?＿。
?1
设A，B为４阶方阵，且A?2，B??3，则2AB?＿。
?1?1
?103???**
设矩阵A??021?，且A的伴随矩阵为A，则AA?＿。
?001???
?1?1210???2?2420??
设A??，则秩r(A)?＿。
306?11????03001???
012?5
1?701
设行列式D?，则代数余子式A23?＿。（不必算出结果）
231?10?14?2
**
设A，B为４阶方阵，且A??2，A为A的伴随矩阵，则?A?＿。
若A?1???6
?
?24?T
A?，则＝＿。 ?8?
＊＊
设A，B为４阶方阵，且A??2，A为A的伴随矩阵，则A?＿。 ＊＊
设A，B为４阶方阵，且??4，A为A的伴随矩阵，则A?＿。
＊＊T
设A为5阶方阵，且A??2，A为A的伴随矩阵，则A?＿。，则A＝。
已知A,B为3阶方阵A?1,B??2，则(2AB*)?1A。
?12?T
?，则A＝ ?26?
2
设矩阵A满足A?A?4E?O，其中E为单位矩阵，则(A?E)?1?
?100???＊
设3阶矩阵A??220?，则AA? 。
?333???
若A?1??三 解答题
13
计算行列式D?
333133331333。 31
?1?2?
已知AB?B?A，其中A??21
?00?1
设A为４阶方阵，A?，求行列式
3
?x111
计算行列式
0?
?
0?求矩阵B。 2??
2A*?(3A)?1的值，其中A*为A的伴随矩阵。
1
111?x11
。
11?y1111?y
?1?30?
??
设A??210?，求X使A?X?XA。
?002???
设A为４阶方阵，A?
1
2
计算行列式
11
11234
。
361041020
1＊?1＊
，求行列式2A?(3A)的值，其中A为A的伴随矩阵。 31
?1?20???
已知AB?A?B，其中A??210?求矩阵B。
?002???
已知实矩阵A?(aij)3?3 满足条件:
(1) aij?Aij(i,j?1,2,3),其中Aij是aij的代数余子式; (2) a11?0.
求行列式A 的值.
设 n 阶矩阵A,B满足条件A?B=AB
(1) 证明:A?E为可逆矩阵;
?1?30???
(2) 已知矩阵B??210?,求 A
?002???
?123??13??????21?
设A??221? ，B???53??，C??20?,求矩阵X使其满足AXB?C
???343??31?
????
36
计算行列式
94
0527628917
的值。 30
?1
?a1
设2阶矩阵A可逆，且A???b
?1
?1
求B。
a2??12??01????，对于矩阵，令B?PP?P?1AP2，1?01?2??10??，b2??????
43?68
1?1?32
计算行列式的值。
?215?33274
?21?1?
?1?13???0???．解矩阵方程X21? ?432????1?11??
五．证明题（１０分）
设A,B为n阶方阵,E是n阶单位阵,证明: (1)若AB?0,则r(A)?r(B)?n; (2)若A?E,则r(A?E)?r(A?E)?n.
２．已知平面上三条不同直线的方程分别为：l1:ax?2by?3c?0；l2:bx?2cy?3a?0；。试证这三条直线交于一点的必要条件是l3:cx?2ay?3b?0（a,b,c不全相等）a?b?c?0。
2
１．设A是n阶方阵，且(A?E)?O，证明：A可逆。
＊＊＊
２．设r是n阶矩阵A的秩（n?2），r是其伴随矩阵A的秩，请给出r与r之间的关系并证明之。
2
范文三：行列式和矩阵
行列式、矩阵和向量
1 行列式
a11 a Dn = 12 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
1.1 第一行有 n 个数，从 a11 到 a1n ，同理第二行也有 n 个数，从 a 21 到
a 2 n 。同样的，也可以看成第一列有 n 个数，从 a11 到 a n1 。
1.2 n 阶行列式 Dn 有 n 2 个数组成。 1.3 余子式：去掉某个数所在行和所在列后的 n-1 阶行列式，就是 这个数的余子式，一般用 M ij 表示。 1.4 代数余子式： Aij = (? 1)i + j M ij
a11 a Dn = 12 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n n ... a 2 n = ∑ a1n A1n = a11 A11 + a12 A12 + ...a1n A1n ... ... 1 ... a nn
1.5
1.6 三阶行列式计算方法
a 11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a32 a 21 ? a13 a 22 a31 ? a12 a 21 a 33 ? a11 a 32 a 23 a33
1.7 行列式性质 1.7.1 行列互换，其值不变：所有行变成所有列，所有列变成所有
行，值不变 1.7.2 某一行或某一列全部为零，行列式值为零
第 1 页 共 11 页
1.7.3 1.7.4 1.7.5
某一行（或列）是另一行（或列）的倍数，行列式值为零 两行（或列）对换，其值变号 某行有公因数 k，则 k 可以提取到行列式号外，用一个数乘
行列式等于用这个数乘某一行（或一列） 1.7.6 某行的每个数都等于两个数的和， 则该行列式可以变成两个
行列式之和，即
a1 b1 + c1 d1 a2 b2 + c 2 d2 a3 a1 a2 b2 d2 a3 a1 a2 c2 d2 a3 c3 d3
b3 + c3 = b1 d3 d1
b3 + c1 d 3 d1
1.7.7
行列式某行 k 倍加到另一行，其值不变
1.8 特殊行列式 1.8.1
a11 0 ... 0
对角行列式
0 a 22 ... 0 ... 0 ... 0 = a11 a 22 ...a nn ... ... ... a nn
1.8.2
a11 0 ... 0
上三角行列式
a12 a 22 ... 0 ... a1n ... a 2 n = a11 a 22 ...a nn ... ... ... a nn
1.8.3
下三角行列式
第 2 页 共 11 页
a11 a12 ... a n1
0 a 22 ... an 2
... 0 ... 0. = a11a22 ...ann ... ... ... a nn
2 矩阵 2.1 定义：由 m × n 个数 aij （ i =1,2,3，…，m； j =1,2,3，…，n）排 列成 m 行 n 列的矩形数表
? a11 ?a ? A = ? 21 ? ... ?a m1 ? a12 a 22 ... am2 ... a1n ? ... a 2 n ? ? ? 称为 m×n 矩阵，记作 A = (aij )m×n 或 Am×n ... ... ? ... a mn ? ?
所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记作 0 m×n 2.2 同型矩阵：行和列数均相等的两个矩阵，称为同型矩阵。如果 两个同型矩阵中对应元素都相等，则成两矩阵相等。 2.3 只有同型矩阵才可以相加减，同型矩阵相加减得到的结果是同 行同列的矩阵相加减。A、B、C 为三个同型矩阵
A+B=B+A（交换律） A+B+C=A+（B+C） （结合律） A+0=0+A=A A-B=A+（-B） 2.4 矩阵乘法 2.4.1 2.4.2 矩阵乘以个常数 k，则矩阵的每个元素均乘以 k 矩阵相乘：矩阵相乘必须满足如下条件
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第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数 所得到的矩阵是，行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个
矩阵的列数，即 Am×s × Bs×n = C m×n ，
Cm×n 矩阵中任一元素 C ij = Ai1 × B1 j + Ai 2 × B2 j + ... + Ais B sj
0A=A0=0 ABC=A（BC） A（B+C）=AB+AC
( AB )T
= B T AT
2.5 特殊矩阵 2.5.1
?1 ?0 ? In = ? ?... ?0 ?
单位矩阵
0 1 ... 0 ... 0 ... ... 0? 0? ? ? ，也可以记作 E ...? 1? ?
2.5.2
对角矩阵、上（下）三角矩阵
对角矩阵、上（下）三角矩阵同对角行列式、上（下）三角行列 式排列方式一样。 同阶对角矩阵的和、数乘、乘积仍为对角矩阵 同阶上（下）三角矩阵和、数乘、乘积仍为上（下）三角矩阵 2.6 可逆矩阵 2.6.1 如果 A 是一个 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶矩阵 B，使得
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AB=BA= I n ，则称 A 为可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆矩阵，记作 B= A ?1 2.6.2
A* 为矩阵 A 的伴随矩阵
A* = (Aij )
T
? A11 ?A ? = ? 12 ? ... ? A1n ?
A21 A22 ... A2 n
... An1 ? ... An 2 ? ? ? 其中 Aij 是元素 a ij 的代数余子式 ... ... ? ... Ann ? ?
任何 n 阶矩阵 A 与它的伴随矩阵 A* 之间满足 A A* = A* A = A I n 2.6.3 2.6.4 n 阶矩阵是否可逆的充要条件是 A ≠ 0 可逆矩阵性质
?1
若 A 可逆，则 AT 也可逆，且 (AT ) = (A ?1 )
T
若 A 可逆，常数 k ≠ 0 ，则 kA 也可逆，且 (kA)?1 = A ?1
1 k
若 A 、 B 同阶可逆，则 AB 也可逆，且 ( AB )?1 = B ?1 A ?1 若 A 可逆，则 A A ?1 = 1 2.7 矩阵初等变换 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 对矩阵的行实施的三种变换称为矩阵的初等行变换 互换矩阵中的某两行（交换变换） 把某行的 k 倍加到另一行上去（倍加变换） 用一个非零常数乘矩阵的某一行（倍乘变换） 阶梯形矩阵：矩阵的一种特殊形式
阶梯形矩阵的全零行（元素全部为 0 的行）位于矩阵的下方 各非零行的第一个非零元素称为主元（非零行中左起第一个不是
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零的元素） 。下一个主元应在上一行主元的右下边
2.7.6
初等变换求可逆矩阵的逆矩阵
对矩阵按照如下变换，则可求得可逆矩阵的逆矩阵。
(A I ) ?? ??→(I A )，将矩阵和单位矩阵放置到一个矩阵中，然
初等行变换 ?1
后对合并后的矩阵按照初等行变换， 将原矩阵 A 变成单位矩阵 I 之后， 后面的矩阵就是 A ?1 。 在进行矩阵初等行变换之前，首先判定原矩阵是否有逆矩阵，即 判定 A 是否等于零。 2.8 矩阵的秩
简单的说， 矩阵的秩就是在矩阵经过初等行变换成阶梯形矩阵之 后，非零行个数。
2.8.1
秩的定义
在矩阵 Am×n 中，任取 k 行 k 列，位于这 k 行 k 列交叉处的 k 2 个元素 按其原来的次序排成一个 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。 秩：矩阵 A 的不为零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作 r ( A) 2.8.2
特点
r ( Am×n )
≤ min (m, n )
r ( A) =0 ? A=0
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r ( A) ≥r ? A 中有 r 阶子式不为 0 r ( A) ≤r ? A 中所有 r+1 阶子式全为 0
r ( An×n ) = n ? A ≠0
r ( A ) = r (A T ) r ( A + B ) ≤ r ( A) + r ( B ) r ( AB ) ≤ r ( A)，r ( AB ) ≤ r (B )
若 A 为可逆矩阵，则 r ( AB ) = r (B ) ， r (BA) = r (B ) 若 Am×n Bn×k = 0 ，则 r ( A) + r (B ) ≤n 3 向量 3.1 n 维向量： 个有顺序的数 a1 ， 2 ， a n 组成的数组 a1 ， 2 ， n a …， （ a …，
a n ）叫做 n 维行向量。
? a1 ? ?a ? T ，即 a = ? 2 ? =（ a1 ， a 2 ，…， a n ） T 记作 a =（ a1 ， a 2 ，…， a n ） ? ? ? ... ? ?a n ? ? ?
叫做 n 维列向量。一般的列向量用 α ， β 等字母表示，行向量用
α T ， β T 表示。
3.2 n 维向量的线性运算：跟矩阵完全相同。 3.3 向量长度 α = α T α = a1 2 + a 2 2 + ... + a n 2 ，如果 α = 1 则称 α 为单位 向量。 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 向量线性组合与线性表出
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对 n 维向量 a1 ， a 2 ，…， a s 和 β ，若存在常数 k1 ， k 2 ，…， k s ， 使得 β = k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s a s 则称 β 可以由向量组 a1 ， a 2 ，…， a s 线性 表出。并称 k1α1 + k 2α 2 + ... + k s as 为向量组 a1 ， a 2 ，…， a s 的一个线性组 合， k1 ， k 2 ，…， k s 称为组合系数。 3.4.2 向 量 β 可 由 向 量 组 a1 ， a 2 ， … ， a s 线 性 表 出 ? 方 程 组
x1a1 + x 2 a 2 + ... + x s a s = β 有解 （且方程组的一个解就是一组表出系数） ?
矩阵 A = （ a1 ， a 2 ，…， a s ）和 B = （ a1 ， a 2 ，…， a s ， β ）有相同秩
? a11 ? ? a12 ? ? a1s ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 21 ? ? 22 ? ? ? α 1 = ? ? ， α 2 = ? ? ，…， α s = ? 2 s ? ? ... ? ? ... ? ? ... ? ?a n1 ? ?a n 2 ? ?a ns ? ? ? ? ? ? ? ?a11 ?a ? A = ? 12 ? ... ?a n1 ? a12 a 22 ... an2 ... a1s ? ... a 2 s ? ? ? = （ a1 ， a 2 ，…， a s ） ... ... ? ... a ns ? n×s ?
3.4.3
向量组的线性相关与线性无关
定义： n 维向量 a1 ， 2 ， a s ， 对 a …， 若存在不全为零常数 k1 ， 2 ， k …，
k s ，使得 k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s a s = 0 ，则称 a1 ， a 2 ，…， a s 线性相关，否
则线性无关。 因此，含有一个向量 α 的向量组线性相关 ? α =0。 两个向量 a1 ， a 2 构成的向量组线性相关 ? a1 对应分量 a 2 成比例。 3.4.4 n 维向量组 a1 ， a 2 ，…， a s （s≥2）线性相关
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? a1 ， a 2 ，…， a s 至少有一个向量可被其余 s-1 个向量线性表出 ? 齐次线性方程组 k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s a s = 0 有非零解 ? 矩阵 A=（ a1 ， a 2 ，…， a s ）的秩 r ( A) ＜s（其中 s≤n）
3.4.5
n 维向量组 a1 ， a 2 ，…， a s （s≥2）
线性无关
? a1 ， a 2 ，…， a s 没有一个向量可被其余向量线性表出 ? 齐次线性方程组 k1α 1 + k 2α 2 + ... + k s a s = 0 只有零解 ? 矩阵 A=（ a1 ， a 2 ，…， a s ）的秩 r ( A) =s
3.4.6
含有零向量的向量组必然线性相关
0α 1 + 0α 2 + ... + 1(0 ) = 0
3.4.7
含有两个相同向量的向量组必然线性相关
1α 1 ? 1α 1 + 0a 2 ... + 0a s = 0
3.4.8
如果 a1 ， a 2 ， a3 线性相关，则 a1 ， a 2 ， a3 ， a 4 也线性相关
k1α 1 + k 2α 2 + k 3 a 3 = 0 其中 k1 ， k 2 ， k 3 不全为零，则可以得出 k1α 1 + k 2α 2 + k 3 a3 + 0a 4 = 0 ，因此 a1 ， a 2 ， a3 ， a 4 线性相关
3.4.9
由 3.4.8 可以得出：增加向量组中向量个数，不改变向量组
的线性相关性；减少向量组中向量个数，不改变向量组的线性无关性 3.4.10 几个重要的结论
设向量组 a1 ， a 2 ，…， a s 线性无关，而向量组 a1 ， a 2 ，…， a s ， β
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线性相关，则 β 必能由 a1 ， a 2 ，…， a s 惟一的表出系数线性表出。
a …， 其中 A = a1 ， 2 ， （ a …， n 个 n 维向量 a1 ， 2 ， a n 线性相关 ? A = 0 ，
a n ） n 个 n 维向量 a1 ，a 2 ， ； …，a n 线性无关 ? A ≠ 0 ， 其中 A =（ a1 ，
a 2 ，…， a n ） 。
n+1 个 n 维向量必线性相关。 3.5 向量组的秩 3.5.1 向量组的秩和最大线性无关组： 将一个向量组经过初等行变
换化成阶梯形矩阵，其中主元个数就是向量组的秩（非零行的第一个 非零元素） 并且主元所在的列就是该向量组的一个最大线性无关组。 ， 从线性表出的意义上说， 一个向量组可由它的一个最大线性无关组代 替。 3.5.2 向量组。 3.5.3 3.5.4 若两个向量组等价，则两个向量组的秩相等。 向量组的秩和矩阵秩的关系 若两个向量组可以互相线性表出， 则称这两个向量组为等价
向量组的秩和最大线性无关组：将一个向量组经过初等行变换化 成阶梯形矩阵，其中主元个数就是向量组的秩（非零行的第一个 非零元素），并且主元所在的列就是该向量组的一个最大线性无 关组。从线性表出的意义上说，一个向量组可由它的一个最大线 性无关组代替。 若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价向量
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组。 若两个向量组等价，则两个向量组的秩相等。 3.6 向量组的秩和矩阵秩的关系 矩阵的行向量和列向量与矩阵之间的秩的关系：矩阵 A 的行向 量组的秩等于矩阵 A 的列向量组的秩，也等于矩阵 A 的秩。
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范文四：矩阵和行列式
矩阵和行列式
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。
继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。
19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士 ? 西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个 次和一个 次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。
继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性
质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。整个 19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。
范文五：行列式和矩阵答案
行列式和矩阵测试
一． 填空题
1 A 2 an?an?2
3
4 -3
二
1
2 设矩阵A是m×n矩阵，则ATA=O的充分必要条件是A=O 证明：充分性：A=O?ATA=ATO=O
?a11??a21必要性：设A=?
