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范文一：【doc】简谐振动初位相的确定

简谐振动初位相的确定

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范文二：谈谈一维简谐波振动质点的位相和初位相

论理论所要求的测量有时是不能实现或缺乏 Β? 1- Β增长. 1+

2 实用性的, 所以认识多普勒效应因子在相对 ()3 1- 当 = 90时?, = ΒΗla l0

论测量中的作用是具有实用意义的. 说明当棒处于与观察点对称的位置时, 其表

观长度与实际长度相同. 此时棒的两端同时参考文献

到达观察者的光是在同一时刻发出的, 不存

1 A. P. F ench. Sp ec ia l R e la t iv ity. N o r to n, N ew 在视状的光学畸变. 所以, 只有在这一特殊位, 1968, 12149.Yo rk 置, 观察者所记录下的长度才与洛沦兹收缩 . . . 2 RR e sn ickIn t ro duc t io n to Sp ec ia l R e la t iv ity的结果一致. , , 1968, 1277.W ileyN ew Yo rk 2 - 1() 4当 1- Β= 1 + , 或 = Βco sΗΗco s吴庭万. 关于运动体时间的测量问题. 大学物 3 ) (() [ 1- 理, 1992 7: 24. Χ?ΧΒ]时, la = l0.

. . . . . 即在满足此条件的观察方向上, 洛沦兹收缩 GDSco t t and HJvan D r ie lGeom e t r ica l 4

. . .A pp ea rance s a t R e la t iv ist ic Sp eed sA m e rJ 效应与由于视状光学畸变引起的膨胀效应恰

38, 971. P h y s. , 1970, 好抵消, 从而表观长度就等于其固有长度. 观

5 . . JT e r re lInv isib ility o f th e L o ren tz Co n t rac2 察者在此即可测量到运动体的固有长度.

116: 1041. t io n. P h y s. R ev. , 1959, 综上所述, 由于对高速运动物体按相对

谈谈一维简谐波振动质点的位相和初位相

史伟

()山东工业大学数理系物理教研室, 济南 250061( )收稿日期: 1996210221

摘要本文结合某些工科大学物理教学中的几个问题, 对波动中质点的位相和初

位相进行了讨论说明, 以利于学生对波动这部分内容概念上的掌握.

x x , 简谐振动方程为 x = 在简谐振动中( ) ( ) Ξ t- 决定, 而 Ξ t- 是相对于参考点v v ) ) ((+ , + 定义为谐振动的位相, A co s ΞtΥΞtΥ

而言的, 所以此时波动各点的位相都不能抛 = 0 时的位相为初位相, 通常在只讨论质 tΥ

点振动问题时, 0 到 2之间的绝对值常在 ΥΠ开参考点而定, 从而才能反映出波动是振动

取值. 而对于一维简谐波, 波动方程一般是在的传播也是位相的传播, 同理, 波动中各质点确定的坐标中, 以一参考点的振动方程和波 x 的初位相应是- , 此时处质点初位相Ξ x v 的传播方向来确定. 若以原点为参考点, 且振

的绝对值就不能局限在 0 到 2, 应与建之间Π 动方程为 = , 则以沿轴正方向y 0 A co sΞtv x

立波动方程时所确定的坐标和参考点对应,

x 否则就反映不出波动中的位相传播. 这一点 ) ( ,传播的波的波动方程为 y = A co sΞ t - v 非常关键, 有了这一点才能正确地认识波动 x ( ) 而 Ξ t- 反映的应是 x 处质点 t 时刻的位中质点的位相和初位相, 如果不把这一点给 v

同学们交待清楚, 就会产生一些模糊的认识. 相, 且这一位相对应于上边参考点的位相. 也

下面结合几个例子加以说明. 就是说, 只要在确定的坐标中, 以参考点建立

1()1 起了波动方程, 波动各点振动状态是由位相 : 一平面余弦波在例如有一题目

() ()再看另外一题目, 此题?中波动方 3?4 时的波形如图 1 所示为周期, 此波 2 T T x 以 = 36?的速度沿轴传播; ?画出 =v m s x t) ( ?中求 , 程可确定为y = 0. 4co s200Πt- 400 0 时刻的波形图; ?求、点的振动初相.oP 处质点的振动方程和初相. 正确解 x = 16m

法为, 把 x = 16m 代入波动方程得此处振动

) ( 方程 = 0. 4200- 8, 初位相为- 8.y co s ΠtΠΠ

教学参考书中, 把振动方程写为

= 0. 4200, 质点初位相 = 0, 此结果也 y co sΠtΥ

不够严谨. 因为这样建立的振动方程和初位 () 相与前面 ?中建立波动方程时所选的参考图 1

点不对应了, 也与波动中位相的传播相背, 其

实= 0. 4200反映的应是 =处质点 0 y co sΠt x

的振动方程.

()3 关于一维简谐波波长的定义, 大多

3 4 5 : 同一波线数教材给出了正确的表述

上两个相邻的振动状态相同的或位相差为图 2 2. 但有些教材中却的质点间的距离为波长Π

把波长定义为, 两相邻的位相相同的质点间 ? t= 0 时刻的波形图易画, 如图 2 所的距离, 这样定义波长是很不严格的, 忽略了

示; ? 由于 o、P 点为波动中的两质点, 初波动中位相的传播, 以此定义会给讲述波动

中后边的内容造成被动, 不利于学生对波动位相的确定不能孤立考虑. 若以 o 点为参考

中位相的认识和掌握. 点, 点初位相绝对值可确定在 0 到 2之o Π

Π 2总而言之, 波动中各质点的位相、初相应有的教学参考书在, 间, 由图 2 易知 =Υo 2 该和所选参考点及坐标联系起来考虑, 应反确定 P 点初位相时, 仍以孤立谐振动确定为映出波动中位相的传播, 这一点给学生交待 = 0, 是不合适的, 因为、点为波动中的 ΥP oP 清楚, 无论是对整个波动这部分内容掌握, 还两质点, 由题意, 点初位相应比点初位相P o 是具体确定波动方程、波线上质点的振动方 5 5 落后 Π, 即 Υo - ΥP = Π, 所以正确结果应为程以及位相和初位相都大有益处. 2 2

ΥP = - 2Π. 或者由以 o 点为参考点的情况下,

x ( ) + 写出波动方程 y = 0. 2co s 180 Πt - 36 参考文献 Π ,再把 = 0、= 0. 5代入, 可得 =t x m ΥP 1 张达宋 1 物理学基本教程, 第三册 1 高等教育 2 出版社, 1989. 751 0. 5 Π ( ) - + =2. 如果以点为参180Π- ΠP 李行一等 1 物理学基本教程教学参考书 1 重 36 2 2 庆出版社, 1990. 3251 考点, 点初位相可确定为 = 0, 而点初P ΥP o 牟绪程 1 波动与光学, 上册 1 清华大学出版 5 3 社, 1986. 120. 位相应为 Υo = Π, 此时波动方程应为 y =2 东南大学等七所工科学校编, 马文蔚等改编 1 x - 0. 5 物理学, 下册 1 高等教育出版社, 1978. 531 佘 ( ) ( =012co s 180 Πt- 0. 2 co s 180 Πt 4 36 ( ) 守宪等 1 物理学波动、光学、量子部分1 高 x 5 等教育出版社, 1984. ) - + Π. 所以此题关于 o、P 点的初位5 36 2 5 Π 相正确答案应是 = , = - 2=或 Υo Υp ΠΥo 2 2

, = 0.ΠΥP

范文三：简谐振动·

简谐运动

一、弹簧振子

1. 结构：如图，把一个有孔的小球装在轻质弹簧的一

端，弹簧另一端固定，小球穿在光滑的杆上，能够自由滑动。（或者相比起弹簧弹力，摩擦力可忽略，且相比起小球质量，弹簧质量也可以忽略）。 2. 振动分析

如果将小球从静止点 O 拉伸到 A' 点，然后放手，小球就会振动起来。通过受力分析可以知道，小球在静止点 O 处于平衡状态，如果以杆为 x 轴，O 为坐标原点，

会发现小球在平衡位置的左右两边偏离的最大距离相等，如果用位移表示， 3. 说明：

（1）弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称。

（2）从坐标的角度看，x 表示振子的位置；同时振动中所说的位移都是相对平衡位置而言，因

此 x 也代表了某时刻振子的位移。

二、简谐运动

1. 运动轨迹

右图是弹簧振子的频闪照片。频闪仪每 0.05s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮。拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，相邻两个相之间相隔 0.05s。结合数学知识，可以确定弹簧振子的运动轨迹是一条正弦曲线。在振动学中，如果（-t 图象）是一条正弦曲线，最简单最基本的振动形式 2. 描述简谐运动的物理量

? 振幅：振动物体离开平位置的最大距离，用 A 表示。振幅的两倍

表示振动物体运动范围的大小。

? 周期和频率：简谐运动是一种周期性运动。如果从振子向右通过 O 点开始计时，当物体下一

次向右通过 O 点时， T 表示，频率用 f 表示，则有 f ??

。如果周期的单位用秒，则频率的单位就是赫兹。 T

? 相位：我们用不同的相位来描述周期型运动在各个时刻所处的不同状态。如果用

表示相位，

那么

? ?2k ? ,2k ? ??

3. 简谐运动表达式

如果以匀速圆周运动的圆心为原点建立坐标系，那么圆周和纵坐标正半轴交点的横坐标随时间的变化关系可以写成 x ? R sin

t ，对应到简谐运动中 R 对应振幅 A ，

? ? 2f 也称

如果初始位置不是

在纵坐标轴上，而是与坐标轴

有夹角

0 ，那么表达式变为

x ? A sin(t ? 0 )

4. 简谐运动的回复力

在弹簧振子的例子中，小球所受的力 F 和弹簧的伸长量成正比。由于坐标原点就是平衡位置，因

????

此弹簧的伸长量与小球位移大小相等，则有 F ? ?k ? x ，k 是弹簧进度系数。由式子可以看出

合外力总是指向位移的反方向，而且指向平衡位置。同向心力一样，回复力也是效果力，由性质力的合力提供！

由此，可以得到简谐运动的第二定义——如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 5. 动力学分析

以弹簧振子为例，主要从运动和受力对全振动过程进行分析。详见下表

从表格中可以读到：位移增大时，回复力和加速度都增大，但速度减小；位移减小时，回复力和加速度都减小，速度反而增大。位移最大的点，回复力和加速度都最大，速度为零，是左右端点；位移最小的点，回复力和加速度均为零，速度最大，为平衡位置。远离平衡位置，位移、回复力和加速度增大，速度减小；靠近平衡位置，位移、回复力和加速度减小，速度增大。即就是“以平衡位置为参考点，

振子加速靠近，减速远离”。 6. 弹簧振子的周期

一个确定了振子和弹簧的模型其周期是不变的T ? 2

1、某一弹簧振子的振动图象如图所示，则由图象判断下列说法正确的是（ A、振子偏离平衡位置的最大距离为 10cm

）

B、1s 到 2s 的时间内振子向平衡位置运动

C、2s 时和 3s 时振子的位移相等，运动方向也相同 D、振子在 2s 内完成一次往复性运动

2、做简谐运动的物体，当位移为负值时，以下说法正确的是（度一定为正值

C．速度一定为负值，加速度一定为正值 3、如图是质点做简谐振动的图像，由此可知（ A．t=0 时，质点的位移、速度均为零

B．t=1s 时，质点的位移为正向最大，速度为零，加速度为负向最大

C．t=2s 时，质点的位移为零，速度为负向最大值，加速度为零

D．质点的振幅为 5cm，周期为 2s

） A．速度一定为正值，加速

B．速度不一定为正值，但加速度一定为正值 D．速度不一定为负值，加速度一定为负值）

4、弹簧振子作简谐运动时，以下说法正确的是：（）

A．振子通过平衡位置时，回复力一定为零 B．振子做减速运动，加速度却在增大 C．振子向平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反 D．振子远离平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相反

5、如图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O 为平衡位置，则：（ A．A→O 位移为负值，速度为正值 B．O→B 时，位移为正值，加速度为负值 C．B→O 时，位移为负值，速度为负值 D．O→A 时，位移为负值，加速度为正值

6、一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动,其中有两个时刻弹簧振子的弹力大小相等,但方向相反, 则这两个时刻振子的（

）

B．加速度一定大小相等,方向相反 C．位D．以上三项都不一定大小相等方向相反

）

A．速度一定大小相等,方向相反移一定大小相等,但方向不一定相反三、单摆

1. 结构——不可伸长的轻细绳，一端系着一个小球，另一端固定。如

果忽略各处摩擦和空阻，小球尺寸和细绳长度相比可以忽略，当小球在竖直面内做微小幅度（摆角小于 5°）摆动时，整个装置可以看 2. 单摆的受力分析

最低点 T ? mg ?

v，小球静止时 T ? mg l

?T ? G2 ? mg cos 最高点 ??，其中 G1 促使让小球回到平衡位置

?G1 ? mg sin

? v 2 ?T ? G2 ? m在任意位置 ? l ， G1 依然促使让小球回到平衡位置。

??G1 ? mg sin

F ? mg sin

当偏转角很小时， sin

? 弦长? x ，则 F ?mg x ，回复力指向平衡位置，和位移反向。

因此，单摆是简谐运动。（说明：分析过程多次用到近似的思想，因此单摆是近似的简谐运动） 3. 单摆的周期

mg l 简谐运动的周期公式 T ?

，单摆中 k ?? ，则单摆的周期为T ? 2 k l g

A. 秒摆

如果 l ? 1m ， g 取 10B. 测当地重力加速度

2 m / s 2 ，那么 T ? 2s 称为秒摆。

如右图，可测出摆长 l ? R ，测出 n 个周期的时间 t ，根据周期公式可以得到 g ? 4n

l ? R

? 4n2 2

1.已知在单摆 a 完成 10 次全振动的时间内，单摆 b 完成 6 次全振动，两摆长之差为 1.6 m，则两单摆摆长 La 与 Lb 分别为（

)

B.La=0.9 m，Lb=2.5 m D.La=4.0 m，Lb=2.4 m

A.La=2.5 m，Lb=0.9 m

C.La=2.4 m，Lb=4.0 m

2.在一个单摆装置中，摆动物体是个装满水的空心小球，球的正下方有一小孔，当摆开始以小角度摆动时，让水从球中连续流出，直到流完为止，由此摆球的周期将（ A.逐渐增大增大后减小

)

B.逐渐减小 C.先 D.先减小后增大

3.若单摆的摆长不变，摆球质量变为原来的 2 倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的 1/2，则该单摆振动的（

)

B.频率变小，振幅变大 D.频率不变，振幅变大

A.频率变大，振幅变小 C.频率不变，振幅变小

4.有一单摆，其摆长 l=1.02 m，摆球的质量 m=0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动 30 次用的时间

t=60.8 s，试求：

（1）当地的重力加速度是多大？

（2）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？

摩擦力模型

1.如图所示，质量为 m 的物体 A 放在质量为 M 的物体 B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中 A、B 之间无相对运动。

设弹簧劲度系数为 k，但物体离开平衡位置的位移为 x 时，A、B 间摩擦力的大小等于（

A、kx B、m kx M

C、m kx m ? M

）

D、0

k 的弹簧 2

相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。己知两木块之间的最大静摩擦力为 f ，为使这两个木块组

2．（2008 四川）光滑的水平面上盛放有质量分别为 m 和

成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（

）

A．f

B．k

2 f

C．

3 f D．4 f 3.如图所示，一个质量为 m 的木块放在质量为 M 的平板小车上，他们之间的最大静摩擦力为 f，在劲度系

数为 k 的轻弹簧的作用下，沿光滑水平面做简谐运动。为使小车能跟木块一起运动，不发生相对滑动，机械运动的振幅不能大于（

A、

）

kM k

B、

C、

kM D、

4.如图所示，一个三角形物块固定在水平桌面上，其光滑斜面的倾角为θ＝30°。物体 A 的质量为 mA＝0.5kg，

物体 B 的质量为 mB＝1.0 kg（A、B 均可视为质点），物体 A、B 并列在斜面上且压着一劲度系数为 k＝125N/m

的轻弹簧，弹簧的下端固定，上端拴在 A 物体上，物体 A、B 处于静止状态。（g 取 10m/s）

（1）求此时弹簧的压缩量是多大？

（2）将物体 B 迅速移开，试证明物体 A 在斜面上作简谐运动。

（3）将物体 B 迅速移开，物体 A 将作周期为 0.4s 的简谐振动，若以沿斜面向上的方向为正方向，请你在所给的坐标系中作出物体 A 相对平衡位置的位移随时间的变化曲线图，并在图中标明振幅的大小。

【解析】（1）对 A、B 受力分析： (mA ? mB ) g sin 30 ? kxAB ? xAB ? 0.024m

0 （2）移去 B 后 A 在平衡位置： mA g sin 30 ? kx0

当 A 有沿斜面向下位移 x 时： F回 ? k ( x ? x0 ) ? mA g sin 300 ? kx 且方向沿斜面向上，与位移方向相反——简谐运动

（3）略双弹簧模型

5.如图所示，将两根轻质弹簧连接起来系在一质量为 m 的物体上组成弹簧振子，已知两弹簧的倔强系数分别为 k1 和 k2，不计一切阻力，则这一弹簧振子振动的周期为：

k1 k2

【解析】 2 m(k1 ? k2 ) / k1k2

。

6.某同学设计了一个测物体质量的装置，如图所示，其中 P 是光滑水平面，k 是轻质弹簧的劲度系数，A

是质量为 M 的带夹子的标准质量金属块，Q 是待测物体的质量。已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为 T ? 2 m ，其中，m 是振子的质量，k 是与弹簧的劲度系数有关的常数。当只有 A 物体振动时，测得

其振动周期为 T1，将待测物体 Q 固定在 A 上后振动周期为 T2，则待测物体的质量为多少?这种装置比天平优越之处是什么?

【解析】由题意:

M ? m M , T? 2? 2T1

k 2 k

T22 ? T1

? m ?2 M

T 1

这种装置可以在完全失重或太空中用来测物体的质量. 单摆练习

7.相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，两绳互相平行，两球重心在同一水平线上且互相接触，第一球摆长为 L1，第二球摆长为 4L1。

释放。在第一球摆动周期的两倍时间内，两球碰撞次数为（

B ）

1 2

A．2 次 B．3 次 C．4 次 D．5 次

8.所示，一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆 M、N，它们只能在图示平面内摆动。某一时刻出现图示情景。由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢的运动情况是（ ABD ）A、车厢做匀速直线运动，M 在摆动，N 静止 B、车厢做匀速直线运动，M 在摆动，N 也在摆动 C、车厢做匀速直线运动，M 静止，N 也静止 D、车厢做匀加速直线运动，M 在摆动，N 也在摆动

9．已知月球表面的重力加速度是地球表面的 1/6，在地球表面的一个弹簧振子和一个单摆的振动周期相等，若把它们放到月球表面，则它们振动的周期之比为

．1 :

2014 春季班高一物理培优班（5） www.elit

10．甲、乙两个单摆，甲摆的摆长是乙摆摆长的 4 倍，乙摆摆球质量是甲摆摆球质量的 2 倍，则在甲摆完成 5 次全振动的时间内，乙摆完成全振动的次数为

．10

11. 一学生用单摆测当地的重力加速度时，在挂好单摆后，在摆角小于 5°的条件下，测得单摆的振动周期为 T1；若使摆长增加△l ，仍在摆角小于 5°的条件下，测得单摆的振动周期为 T2，由此，可计算出当地的重力加速度值 g =

4 2 l 。2

T ? T 2 1

12. 某单摆的振动图线如图所示，设所在地重力加速度等于 10 m/s，则该单摆在振动过程中指向平衡位置的最大加速度是m/s。 0.5m / s

x/cm 8

-8

0.4π 0.8π

t/s

13．有一单摆，摆长为 L，周期为 T，若在悬点正下方距悬点距离为 L/2 处和 3L/4L 处的 A、B 两点分别固定一个光滑的圆钉， A 钉在绳左侧， B 钉在绳右侧，并使摆做振幅很小的振动，则周期将变为

T．1 ?24

14. 单摆在地面上一定时间内振动了 N 次，将它移到某高山上，在相同的时间内振动了 N—1 次，由次可

以粗略地推算出此山的高度约为球半径的多少倍？

N ?1

15.半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方，一小球由距 O 点很近的 A 点由静止

放开，同时在 O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在 O 点相碰，问小球由多高处自由落下（弧 OA 长远小于 R）

解析：

(n ? 2)2 2 R

范文四：简谐振动

（一）简谐振动

最简单和最基本的振动是简谐振动．任何复杂的振动，都可以看成为许多简谐振动的合成． 1．特点

质点作简谐振动的条件是：在任何时候所受到的力与质点离开平衡位置的位移成正比，其指向与位移相反，始终指向平衡位置．所受的力与位移的关系表示为

（7.1）

式中

为正的常数．对于弹簧振子，

就是弹簧劲度系数 2．运动的微分方程及其解

根据牛顿第二定律，作简谐振动的质点的微分方程写成

即

式中

（7.2）

。如下面的（7.3）和（7.4）听示，

是简谐振动的圆频率。

微分方程（7.2）的解是

或

（7.4）（7.3）

式（7.3）也可以表为复数形式

（7.5）

但要约定取其实数部分．

利用三角公式，很容易导出A ，

和B ，C 之间的关系

即

3．速度和加速度

（7.6）

作简谐振动的质点，它的速度和加速度很容易得到．只要将（7.3）对时间分别求导一次和求导两次即可，

（7.7）

（7.8）

式（7.1）、（7.2）、（7.3）、（7.4）、（7.5）都是判别一个系统是否作简道振动的依椐． 4．圆频率

、周期

和频率之间的关系

，

（7.9）

，三者不是独立的，只要知道其中一个，就可以由（7.9）求出其余两个。

它们是由振动系统的固有性质决定，常称为固有圆频率，固有周期和固有频率． 5．振幅

（7.3）中

“

，

和初周相和

是两个积分常数，可由初始条件决定．将初始条件：，

”代入（7.3）和（7.7），得

解得

（7.10）

（7.11）

，

，和

三，

求解质点作简谐振动的具体运动情况，也就是要确定（7.3）中的

个值．其中

和

由初始条件决定，因此一般来说，首先必须确定初始值

和

值．至于

（或

而根据（7.10）或（7.11）求出

或），它是由系统

，完全由弹簧劲

也

固有性质决定的，与初始情况无关．例如对于弹簧振子，

度系数

和物体质量就大。而物体的质量m 大， 6．简谐振动系统的能量作简谐振动的质点动能为

就小．

所决定．弹簧的

大（即所谓硬的弹簧），振动的圆频率

（7.12）

振动系统弹性势能为

（7.13）

因此系统总机械能为

（7.14）

系统的动能和势能各随时间作周期性变化，在振动过程中动能和势能互相转换，而总机械能保持不变．这是简谐振动的一个特性．总机械能E 与振动的振幅平方A 2，振动的圆频率平方

成正比．

动能和势能在一个周期内对时间的平均值分别是

（7.15）

注意

和

在一周期内对时间的平均值均等于1／2．这样，

（7.16）

7.弹簧振子、单摆和复摆弹簧振子：

无摩擦的水平面上的弹簧振子的振动是简谐振动的典型例子(图7－1) ．将坐标原点取在

的平衡位置上，则物体所受的力如式(7.1)，运动微分方程如式（7.2），其解

除了受弹性力作用外，还受重

如式（7.3）或式（7.4）．振动周期

对于竖直悬挂的弹簧振子（图7－2）．在竖直方向，在任意位置所受到的力表为

力

面

为

力作用．若选取坐标OX ，竖直向下，原点O 在弹簧既不伸长也不缩短的端点，则物体

．除了弹力之外多了一项恒定的外力——重

．但是若将坐标原点取在物体重力作用下的平衡位置O ’（显然O ’在O 之下

处，见图7－2），则物体在任意位置X ’所受的力就可简单地表示

．这在形式上与水平弹簧振子相同在这种情况下，重

力似乎可以不加考虑，同水平振子一样处理．

图7－1

图7－

2 单摆：在摆角

很小情况下，单摆的摆动是简谐振动。

决定．单摆摆锤受重力

和摆绳张力T 作用（图7-3）．摆

．只

单摆的位置由角位移

要

则

锤在竖直面上作圆周运动，如果仅考虑切向运动，则切向力为

（弧度单位），因此切向力表为

（7.17）

负号表示切向力指向平衡位置，驱使

减小，是一恢复力．这种力具有弹性力的特点，常称为准弹性力．单摆的运动方程

由牛顿第二定律切向分量式决定

图7-3

即

（7.18）

此式与微分方程（7.2）形式相同，所以单摆作简谐振动，其振动圆频率为

（7.19）

振动周期

．运动的表达式为

（7.20）

和

为两个待定常数，由初始摆角和初始角速度决定

复摆:

一个可绕固定轴O 摆动的刚体称复摆（图7－4）．当在重力作月下平衡时，重力作用线通过O ；设重心为C （即质心），当的重力矩为

偏离平衡位置

时，复摆所受

．设复摆质量为m ，摆对

，根据转动定律有

O 的转动惯量为I ，并令

图7- 4

对于小角度的摆动，

上式变为

，

（7.21）

此式也与（7.2）相仿，因此复摆也作简谐振动．振动圆频率为

（7.22）

周期

．运动表达式为

和同样是由初始条件决定的积分常数．拿（7.22）与（7.19）相比较，可把

称作复摆的等值摆长． 8．简谐振动的矢量图示法设简谐振动

于初周相率

在图7－5的OX 轴上进行．由原点O 作一矢量，它的长

．这个矢量以数值等于圆频

恰等于振幅A ，这个矢量称为振幅矢量． t＝0时，振幅矢量A 与轴正向所成的角等

的角速度绕O 作逆时针方

向匀速转动．在时刻t ，振幅矢量在轴上的投影为

，恰好表示简谐振

动的位移．而振幅矢量的端点Q 在轴上的投影P 点就在OX 轴上作简谐振动． Q 点在一个圆上作匀速圆周运动，这个圆称为参考圆．振幅矢量了旋转一周所需要的时间与简谐振动的周期相同简谐振动是一种变速运动，而振幅矢量的转动却是匀速运

动．对初学者来说，匀速运动更易于掌握．同时，图示方法更形象、更直观．这种方法还为振动叠加的研究提供了最简洁的方法．（二）阻尼振动

事实上无摩擦的简造振动只是理想情况．由于摩擦阻尼和辐射阻尼使简谐振动的能量逐渐减小，因而振幅也逐渐减小，这种振动称为阻尼振动． 1．运动的微分方程及其解

若所受的阻力与速度一次方成正比（在速度较小情况下的湿摩擦就是如此），阻力表为

图7－5

则运动的微分方程为

（7.23）

即

b 为阻力系数，

（7.24）称为阻尼因子，

，即系统的固有圆频率

情

(7. 24)为典型的二阶齐次线性常微分方程，它的解，在小阻尼情况下．即在

况下是

（7.25）

式中

称阻尼振动的“圆频率”，而“周期”

和

。与简

也是两个由初始

谐振动作比较，在有阻尼的情况下物体振动“频率”降低，“周期”变长．严格来说，阻尼振并不是周期运动，只能说是一种准周期性运动．式中

条件决定的积分常数． 4．临界阻尼和过阻尼当

时，（7.24）的解为

（7.26）

式中C1和C2也是两个由初始条件决定的积分常数．显然式（7.26）表示质点不再作周期性振动。这种情况又称临界阻尼．在临界阻尼情况下物体逼近平衡位置最快．临界阻尼常用于阻尼天平及电流计中，以避免振动并尽快逼近平衡位置．至于

（三）受迫振动

以上讨论的简谐振动和阻尼振动，称为自由振动．其特点是一开始外界给系统以初始能量（给予初始偏离或初始速度），但在振动过程中不再有外力作用．

现在讨论振动过程中始终受一按正弦或余弦规律变化的外力作用，这种振动称受迫振动．

1．运动微分方程及其解设周期性外力为

的情况称为过阻尼，物体逼近平衡位置时间较长．

式中

为强迫力力幅，

为强迫力圆频率，则运动微分方程为

即

（7.27）

式（7.27）是二阶非齐次常微分方程．它的解应包含两部分：一是式（7.27）所对应的齐次方程即式（7.24）的通解；二是式（7.27）的一个特解．完整的解可以写成

解的第一部分

随时间而衰减，故往往弃去．这样只剩下第二部分，

即与初始条件无关且不随时间衰减的稳态解

（7.28）

，

决定的

注意：式中A 和

不是由初始条件决定的常数，而是由

量．A 为受迫振动振幅

（7.29）

为受迫振动和强迫力之间的周相差

2．共振

（7.30）

当周期性外力的频率接近系统固有频率时，受迫振动振幅达到极大值，即发生共振现象．这种共振称振幅共振或位移共振．振幅A 作为强迫力圆频率

6），很容易由式（7.29）求其极值获得共振频率

．令

的函数（见图7—

得

（7.31）

共振圆频率稍小于固有圆频率．将

式（7.29）可得共振振幅

值代入

图7-6

将

（7.32）

值代入式（7.30）可得共振情况下的周相差

（7.33）

（7.34）

当

，

时，事实上在一般情况下

始终为负值，受迫振动位相总是落

后于强迫力．（四）振动的合成

一个质点同时参与两个振动方向相同、频率相同的简谐振动，

合振动仍为简谐振动

利用振幅矢量图示法容易求得

（7.35）

（7.36）

二个振动方向相同、频率略有差异的简谐振动，其合振动不为简谐振动，产生“拍”现象．拍频为

（

，

为两分振动频率）．（7.37）

二个振动方向互相垂直的简谐振动合成：

（1）若二振动频率相同，合振动轨迹一般为一椭圆.

（2）若二振动频率成整数比，合振动轨迹为规则的稳定的闭合曲线，称利萨如图．但若不成整数比，轨迹为不闭合的复杂曲线.

范文五：简谐振动

第五讲机械振动和机械波

§5．1简谐振动

5．1．1、简谐振动的动力学特点

如果一个物体受到的回复力F 回与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比，方向相反。即满足：F 回=-K 的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根

据牛顿第二是律，物体的加速度

a =

F 回K =-m m ，因此作简谐振动的物体，其加速

度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。

现有一劲度系数为k 的轻质弹簧，上端固定在P 点，下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作O 点。现把物体拉离O 点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。

当物体运动到离O 点距离为x 处时，有 F 回=F -mg =k (x 0+x ) -mg

式中x 0为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有

kx 0=mg ，因此

F 回=kx

图5-1-1

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。因回复力指向平衡位置O ，而位移x 总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。

注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。

5．1．2、简谐振动的方程

图5-1-2

由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O 为圆心，以振幅A 为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度ω作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为?0, 那么在时刻t ，参考圆上的质点与O 的连线跟x 的夹角就成为?=ωt +?0，它在x 轴上的投影点的坐标

x =A cos(ωt +?0) （2）

这就是简谐振动方程，式中?0是t=0时的相位，称为初相：ωt +?0是t 时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为A ω，其方向与参考圆相切，这个线速度在x 轴上的投影是

v =-A ωcos(ωt +?0）（3）

这也就是简谐振动的速度

参考圆上的质点的加速度为A ω，其方向指向圆心，它在x 轴上的投影是

a =-A ωcos(ωt +?0）（4）

这也就是简谐振动的加速度由公式（2）、（4）可得

a =-ω2x

由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

a =

F k

=-x m m

因此有

ω2=

m （5）

简谐振动的周期T 也就是参考圆上质点的运动周期，所以

T =

2πm =2π?w k

5．1．3、简谐振动的判据

物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动： ①物体运动中所受回复力应满足 F =-kx ；

②物体的运动加速度满足 a =-ωx ；

③物体的运动方程可以表示为 x =A cos(ωt +?0) 。

事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。

§5.2 弹簧振子和单摆

简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。

5．2．1、弹簧振子

弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期

T =2π

k 。

（1）恒力对弹簧振子的作用

比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m 和k 都相同（如图5-2-1），则它们的振动

图5-2-1

周期T 是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长l 0，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长?l =0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2

的加速度加速下降

t =πs , 然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长?l 随时间t 变化的图线。

由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f 。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期

T =2π/ω=2π/k m

因为k =mg /?l ，所以

2T =2πl g =0. 2π(s )

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为

图5-2-2

n =t /T =π/0. 2π=5(次)

当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg 的共同作用下，振子的平衡位置在

?l 1=

mg /k =?l /22

的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在

?l 2=

mg /k =3?l /22

的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是?l /2。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T 时刻而是从4.5T 时刻开始的，那么?l ~t 图线将是怎样的？

k 2??k n 的轻弹簧串联起来，（2）弹簧的组合设有几个劲度系数分别为k 1、组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F 力作用下伸长时，各弹簧的伸长为x 1，

那么总伸长

x =∑x i

i =1n

各弹簧受的拉力也是F ，所以有 x i =F /k i

故

x =F ∑

i =1

1k i

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数 k =F /x

即得

1/k =∑

i =1

1k i

如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长x ，需要的外力

F =∑k i x =x ∑k i

i =1

根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

k ==∑k i

x i =1

图5-2-3

导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地

应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。

当m 向下偏离平衡位置?x 时，弹簧组伸长了2 ?x ，增加的弹力为

F =

2?xk =2?x

k 1k 2

k 1+k 2

m 受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）

∑F =2?2?x

k 1k 24k k

=12?x k 1+k 2k 1+k 2

所以m 的振动周期

T =2π

m (k 1+k 2) 4k 1k 2 m (k 1+k 2) k 1k 2

再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长?l 1时，弹簧2由平衡位置伸长了?l 2，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）

k 1??l 1a =k 2?l 2b

?l 2=

k 1a ???l 1k 2b

由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降

a k 1a 2

?x '=?l 2=?2??l 1

b k 2b 因此物体m 总的由平衡位置下降了

图5-2-4

?k 1a 2?

?x 1=?l 1+?x '= k ?b 2+1???l 2

?2?

此时m 所受的合外力

k 1k 2b 2

∑F =k 1?l 1=?x 1

22k 1a +k 2b

所以系统的振动周期

m (k 1a 2+k 2b 2)

T =2π2

k k b 12

（3）没有固定悬点的弹簧振子质量分别为m A 和m B 的两木块A 和B ，用

一根劲度系数为k 的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。

想象两端各用一个大小为F 、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A 、B 各偏离了原来的平衡位置x A 和x B ，因为系统受的合力始终是零，所以应该有

m A x A =m B x B ①

A 、B 两物体受的力的大小

F A =F B =(x A +x B ) k ②

由①、②两式可解得

m +m B

F A =k A x A

m B

F B =k

m A +m B

x B

m B

图5-2-5

由此可见A 、B 两物体都做简谐运动，周期都是

T =2π

m A m B

k (m A +m B )

此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为l 0，左边

m B m A +m B

l 0k

一段原长为m A +m B ，劲度系数为m B ；右边一段原长为m A m A +m B

l 0k

m A +m B ，劲度系数为m B

，这样处理所得结果与上述结

图5-2-6

果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不

是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？

5．2．2、单摆

一个质量为m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O 点，小球摆动至与竖直方向夹θ角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为

θ F 回=mg ?s i n

n i s θ=

l ，当θ<5o时，△oab 可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置a="">

所以

F 回=

x l

k =

mg l ）

F 回=kx （式中

说明单摆在摆角小于5o时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为

T =2π

m l =2πk g

在一些异型单摆中，l 和g 的含意以及值会发生变化。

（1）等效重力加速度g '

单摆的等效重力加速度g '等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。

如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为m (g ±a ) ，因此该单摆的等效重力加

速度为g '=g ±a 。周期为

T =2π

l g ±a

图5-2-7

再如图5-2-7所示，在倾角为θ的光滑斜面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置

时，绳中张力为mg sin θ，因此单摆的等效重力加速度为g '=g sin θ，周期为

T =2π

l g sin θ

又如一节车厢中悬挂一个摆长为l 的单摆，车厢以加速度a 在水平地面上运动（如图5-2-8）。由于小球m 相对车厢受到一个惯性力f =ma ，所以它可以“平

tga =

g ，此单摆可以在车厢中以OA 为中心做简谐振动。当

衡”在OA 位置，

m a +g 小球相对静止在平衡位置A 处时，绳中张力为，等效重力加速度

g '=a 2+g 2，单摆的周期

T =2π

（2）等效摆长l '

l a 2+g 2

单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9中的双线摆，其等效摆长不是l ，而是l sin θ，周期

图5-2-9

T =2π

l s i n θ

再如图5-2-10所示，摆球m 固定在边长为L 、质量可忽略的等边三角形支架ABC 的顶角C 上，三角支架可围绕固定的AB 边自由转动，AB 边与竖直方向成a 角。

当m 作小角度摆动时，实际上是围绕AB 的中

图5-2-10

点D 运动，故等效摆长

l '=L cos 300=

L 2

正因为m 绕D 点摆动，当它静止在平衡位置时，指向D 点的弹力为mg sin a ，等效重力加速度为g sin a ，因此此异型摆的周期

T =2π

l 'L =2πg '2g sin a

（3）悬点不固定的单摆

如图5-2-11，一质量为M 的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为l ，摆球的质量为m 的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运动，悬点不固定。

由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力mg ，摆线拉力N 和惯性力ma M 的作用，如图

分析摆球

N=mg cos θ-ma M sin θ ①（忽略摆球向心力）

回复力 F =mg sin θ+ma M cos θ ② 分析车厢：

N sin θ=Ma M ③

因为θ很小，所以可认为sin θ=θ，cos θ=1，sin θ=0

则由①、③式可得

a M =

m g θM

把它代入②

F =mg (1+

) θM

摆球偏离平衡位置的位移 x =θl

所以 F =mg (M +m ) x MI 因此摆球作简谐振动，周期

T =2πml (M +m ) g

T =2π

g l g ，因为此时M 基本不动，一般由周期表达式可知：当M ?m 时，情况下，

T <>

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