范文一：《数学家的爱情》阅读理解答案

数学家是朋友送他的绰号，因为他对数字特别敏感，数学运算得特别快。朋友都说他是数学天才。可是数学天才的爱情之路却一直不顺。一次，他跟一个交往不久的女友去饭店吃饭，结账时却跟服务员吵了起来。那天饭钱应该是79.8元，如果服务员报出准确的数值，他也不会生气。可是服务员向他要80元。他说，不对吧。服务员说，账单上这么写的。说着把手写的账单递给他，他看账单上真写着80元，就说，你们算错账了，不是80元，是79.80元。服务员说，我们这里都是按四舍五入收费的。他说，你们怎么收费我不管，但是你们这账确实算错了。服务员说，差两角钱还算差呀？数学家说，怎么不算差？79.80元和80元能划等号吗？服务员说他小气，数学家就跟她吵了起来。女友很尴尬，劝了半天劝不住他，索性走了。当晚就跟他分手了。女友觉得他为两角钱就能跟人吵一架，以后她可过不了。数学家很苦恼。朋友劝他别上火，说总能遇到理解他的人。后来他真遇到了一个这样的人。她是个会计，也喜欢计算，也是看到一组数字就把它们加起来算出结果。两个人在一起时总比赛谁算得快。跟她在一起，数学家很开心。数学家想跟她结婚，却因为一件小事又黄了。那天是情人节，数学家陪女友去逛街。看到一家新开业的咖啡厅在搞打折优惠活动，就进去了。要了两杯咖啡，又要了五样小点心。吃完去结账，看到结账的队伍排得很长。原来那天收银员有事没来，女老板临时顶替。她不太会算账，借助计算器也算得很慢。要结账的人在旁边催她，越催她越着急，越着急越算不好。数学家见状走过去说，你要是信得过我们，我们帮你算。女老板抬头看看数学家和他的女友，觉得他们不像坏人，就同意了。于是，数学家帮女老板算账，女友帮核实，女老板在旁边收钱。不一会儿，结账的队伍就消失了，剩下最后一位客人。就是这最后一个人的账，让数学家和女友出现了分歧。数学家算出客人应付182元，女友说是188元。让客人自己算，结果跟数学家一样。最后让女老板算，女老板算完后，看看数学家又看看他女友，说，这位先生算得对。数学家女友说，你说谎！女老板说，我为什么要说谎？我们三个算的结果都一样，说明你确实算错了。数学家女友说，我没错，不信我重新给你算一遍。客人有点儿不高兴，说，你这人怎么这样？算错了还不承认。女老板说，您别生气，我按您算的结果收钱。客人递过来200元钱，女老板找给他18元。客人拿着找回的零钱走了。数学家女友气愤不已，她看看女老板，又看看数学家，一句话没说就走了。数学家跑出去追女友。女友说，除非你承认自己算错了，否则别再来找我。数学家觉得女友不讲道理，就没再找她。女老板很感激数学家那天帮她算账，他再去喝咖啡时，说啥也不要钱。一来二去，两个人成了朋友，后来又成了恋人。女老板是个年轻的单身女人，厌倦了职场的尔虞我诈，辞职开了这家咖啡厅。数学家经常来帮女老板算账，女老板对他的计算能力崇拜得五体投地。一年后的情人节，两个人结婚了。结婚那天，咖啡厅全体商品打八折。服务员问：开心果也打折吗？女老板说，当然不打，开心怎么能打折呢？数学家觉得这话很耳熟，就问，开心果不打折，那去年怎么打了？女老板看着数学家笑了，说，去年也没打。最后那位客人买了一碟开心果，你算账时一并打了折，所以那天的账，你当时的女友算的是对的。数学家很意外，说，那你为什么说她算错了？女老板说，傻瓜，因为我看上你了呗。数学家很生气，说，你怎么能这样！数学家不能原谅女老板，执意跟她离了婚。女老板不理解，数学家为什么这么对她。（选自《小说选刊》，有改动） （1）下列对小说有关内容的分析和概括，最恰当的两项是（5分）A ．小说第四自然段看似闲笔，其实承上启下，引导故事情节自然发展，引发阅读兴趣。B ．数学家和女会计都乐于助人，因爱好相同而相恋，最终分手根本上是性格使然。C ．小说题目匠心独运，既是对内容的准确浓缩，又包含明显的调侃意味。D ．小说通过人物的肖像、言行、心理及环境描写，刻画了社会众生相。E ．小说通过跌宕起伏、扣人心弦的情节，启发读者思考爱情的真正涵义。（2）小说第七自然段画线句子分别写到女老板和数学家女友两次“看看”，试就此对人物心理加以分析。（6分）（3）小说最后才交代一年前数学家算错了账，这样处理有何作用？结合作品加以分析。（6 分）（4）数学天才为什么

赢得爱情又为什么失去爱情？请结合作品进行分析。你从这个人物身上得到了什么启示？（8分） 11．（25分） （1）（5分）答B 给3分，答A 给2分，答C 给1分，答D 、E 不给分。

（2）（6分）①女老板的两次“看看”，表明她已经知道数学家算错，但对是否说明真相有些犹豫，最终选择了偏向数学家，透露了对他的好感。②数学家女友的两次“看看”，表明了她的不解和气愤，她觉得这两个人不可理喻，于是怒而离开。（3）（6分）①使故事情节平中见奇，形成高潮；②使女老板和数学家的形象更加丰满；③进一步揭示人际交往中情商重要性的主题；④增添作品的情趣，让人回味。（4）（8分）赢得爱情的原因：精于数学计算，为人耿直，乐于助人。失去爱情的原因：性格偏执，与人交往中缺少理解和沟通。启示：①处理问题要坚持原则与变通并重，与人相处要善于理解和沟通；②原则就是原则，这是底线，任何时候都不能放弃

范文二：我欲看理解的一位数学家[新版]

我希望了解的一位数学家

——《传奇数学家华罗庚:纪念华罗庚诞辰100周年》读书笔记

华罗庚先生出生于1910年11月12日，今年恰是他诞辰100周年，偶然遇见《传奇数学家华罗庚:纪念华罗庚诞辰100周年》一书，怀着一种崇敬与纪念来阅读了此书。

此书的目的在于纪念，收录了华罗庚先生前于的一些信件以及同事、子女、学生等人的纪念文章，所以比起一般的纪传文章，能使读者更全面地了解先生。另外，此书也没有纪传文章清涩的风格，更能给读者一种感性的认识，给读者至少给了我一种前所未有的心灵震撼。

正如世人对所有科学家的评论一样，华罗庚先生是一个天才，而华先生的故事就是一个天才出自于勤奋的故事，就是因为他的勤奋，所以称为天才，这两者是密不可分的。

也如大多数伟大的科学家一样，华罗庚先生出贫寒，因家境不好，读完初中后，便不得不退学去当店员。 18岁时患伤寒病，造成左腿残疾。所谓天将降大任于是人也，便是说的华先生这样的人吧，也可以说正是这样的经历才能让他在今后的艰难的人生路上一步一步坚强地走下去。

后来，回忆起这段生活，他也说:“那正是我应当接受教育的年月，但一个?穷?字剥夺掉我的梦想:在西北风口上，擦着鼻涕，一双草鞋一支烟，一卷灯草一根针地为

了活命而挣扎，顽强地自学到18岁。”

描述华罗庚先生的早年,书中运用了这样的一句俗话——“温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿，人只有经过苦难磨练才有望获得成功。”也或许正是这样的出身，这样的境遇，让他的思维得以开阔，让他在未成年时期就有了成年人的睿智与成熟。

19岁那年，华罗庚突然染上伤寒，此后在腿部留下了残疾。在病痛和贫困面前，华罗庚没有失望，反而更加迷恋数学，华罗庚开始数学研究时，仅有一本《代数》、一本《几何》和一本缺页的《微积分》。之后他开始尝试写些论文，投寄到《科学》、《学艺》等刊物发表。

最令我佩服的是，1930年12月他在《科学》第15卷第2期上发表了苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》，文中指出，苏家驹的解法中把一个13阶行列式算错了。那个时代，像他这样的一个无名小辈敢于这样地指出一个权威的错误，他对科学的严谨程度可想而知。

华罗庚先生关于治学态度书中有这样一段朴实却颇有深意的论述:科学是老老实实的学问，搞科学研究工作就要采取老老实实、实事求是的态度，不能有半点虚假浮夸。不知就不知，不懂就不懂，不懂的不要装懂，而且还要追下去，不懂，不懂在什么地方;懂，懂在什么地方。老老实实的态度，首先就是要扎扎实实地打好基础。科学是踏实的学问，连贯性和系统性都很强，前面的东西没有学好，后面的东西就上不去;基础没有打好，搞尖端就比较困难。我们在工作中经常遇到一些问题解决不了，其中不少是由于基础未打好所致。一个人在科学研究和其他工作上进步的快慢，往往和他的基础有关。

由于身在一个师范类的院校可能比较关注也是关于数学家教育的问题，此书中有一部分是他的学生徐贤修的一篇追念先生的文章《不靠历史记载，不需权贵褒饰的伟人》。其中有一些关于先生平时点点滴滴的描写特别有感触，他的谦虚低调，他对学生

的关心，时时处处体现出来的就是一个师者的气质。他虽然是一个严谨的科学家，但是对于我来说，他最吸引我的还是他的宽广的胸怀，他的大度与宽容之下难得的细腻。

徐贤修在文中对先生有这样的描述:先生一向君子风范，坦荡磊落，从不设防。我看过那些攻击他的大字报，内容大都是对他说过的话断章取义，捕风捉影。“**”过后，所有加在先生身上的不实之词，自然全部推倒。先生大度雍容，宽宥了所有诬陷伤害过他的人。对那些登门忏悔道歉的门生，计他非但不前嫌，反而大加劝慰。法国作家雨果有一句话:“地球上最宽广的是海洋，比海洋更宽广的是天空，但人的胸怀可以比天空更宽广。”学先生的学问难～学先生的雅量，也难。 ” 先生虽身处逆境，但仍然洒脱飘逸，豁达大度，我深受感染。他的开导，使我仿佛醍醐灌顶，不再为受到的小小委屈耿耿于怀。先生给我讲的破译敌军密码的故事，立即激发了我对“密码学”的兴趣。当时，没有任何可读的中文书籍，只能找来一本英文的《密码学原理》，如获至宝，开始啃书。那书内容陈旧，领我入门倒也足够。随着信息时代的到来，到处都离不开信息的获取、存储与传递，因此信息安全问题日益受到关注。“密码学”发展得日臻完善成熟，为保障信息安全的各种实用技术提供理论与方法。1976年，美国斯坦福大学的两位电机工程学的学者迪费和海尔曼联名发表了一篇重要的论文《密码学的新方向》，把“密码学”的研究与应用推向一个新的高度。他们建立的新方法所依赖的理论还是“数论”。已经发展得十分成熟的现代“密码学”中充满了数学，“数论”依然是其最重要的基础理论之一。先生的先知先觉能不令人惊叹,

华罗庚先生的知性、理性、感性深深地打动了我，我对教育的感知也更加深刻了，人家都说搞科学的人都是“呆子”，不懂的与人交流。但是正是华罗庚改变了我对科学家的看法，他们的君子风范比他们的学术更具感染性。也或许可以这样说，如果他们的人文素养没有达到一定的高度，他们的学术也不会有一番成就。虽然这可能是两个不同的领域，但是这两个领域存在一种潜在的联系。二者缺一不可，缺少任何一个都不可能成为华罗庚先生一样的大师、学者。

还有好多文章是悼念华罗庚老师的，在此只是一笔带过。比如说万哲先的《忆华罗庚老师1950年回到清华园执教》，严士健的《先生之风，山高水长》，丁夏畦的《深切怀念华罗庚老师》。这么多的悼念文章可见，华罗庚先生作为一位师者，不仅做到传道授业解惑，还用一颗慈爱的心来帮助学生。 华先生在整个数学界的名声也很响，书中也有好多国际友人对他的评论。比如说G(B(Kolata的《华罗庚形成中国的数学》P.T.Bateman的《华罗庚文集》序，弥永昌吉的《华罗庚教授在日本》，P.Rosenstiehl的《1979年11月华罗庚在法国》，T.M.Apostol的《华罗庚与加州理工学院》，白鸟富美子的《华罗庚先生即将访日 》，白鸟富美子的《悲歌》，森本光生的《听华罗庚先生最后一课 》，龙泽周熊的《华罗庚先生的数学成就》，小松彦三郎的《悼华罗庚先生之溘逝》。 华罗庚也是一位伟大的父亲，他没有因为自己的繁忙的工作而放弃了家人。在这本书中他的子女对他的描述，在我心中树立了一个伟大父亲的形象。有华顺的《爸爸的故事 》，华俊东的《爸爸的精神永远留在我心中》，华陵的《追忆我的父亲华罗庚》，华光的《荣誉属于祖国才智献给人民》，华苏的《我记忆里的父亲》，华密的《爸爸的情与爱》。

正如华罗庚先生自己所言，科学上没有平坦的大道，真理长河中有无数礁石险滩。只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。他的奋斗历程以及对待科学的严谨态度是每个科研工作者应该学习的。而我认为他那种儒家特有的君子风范，正是我们每个在学习的。

华罗庚确是一个代表着中国光荣的名家因为有这个名字，我们的国家才没有在国

际理论科学界中被人遗忘;因为有这个名字，在一片荒芜的中国理论科学界中，才存

在着一点可足欣慰的希望。

范文三：数学家的观点对数学学习的启示

数学家的观点对数学学习的启示

范文贵

【专题名称】中学数学教与学(初中读本)

【专 题 号】G351

【复印期号】2008年01期

【原文出处】《数学教育学报》(津)2007年3期第17,20页

【作者简介】范文贵 渤海大学教育学院，辽宁 锦州，121000

许多数学教育工作者呼吁:创造适合学生发展的学习环境，调整学生在学习中的位置，成为数学家式的学生，学生是数学知识的生产者而不是消费者[1]。我们应该认真反思我们的数学教学过程，数学家的观点为此提供了许多关于数学学习方面的认识，值得我们借鉴。

戴维斯(W.J.Davis)指出:在数学学习中，学生进行数学工作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才能有更多的机会取得成功[2]。针对学生在数学学习中的创造性，贝尔特拉米(Beltrami)提出:学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏。实际上，沉溺在许多无益的练习之中，正好是一种在无意义劳动掩盖之下的懒惰，这样做除了使人消磨意志之外别无其他作用[3]。未来的课堂必须给学生提供像数学家那样研究数学的机会[4]。让学生有机会探索研究数学问题，而不是一味地接受教师传授的数学知识，学生单纯地做数学习题会使他们丧失创造性，剑桥报告(Cambridge Report)指出:连篇的算术练习和重复的“实际生活”问题比没有价值更糟糕，它们阻碍了学习的进展。我们以为，直到最近还在小学中讲授的那种算术，在智力内容上就是如此地贫乏，常见的对该学科的反感，并不是对于困难问题的不幸反抗，这是对于繁琐偏见的完全合理的反应[5]。同时还需要指出的是，“像数学家一样研究数学问题”并不是要按照“培养一个数学家”那样的高标准要求学生，不过是为了强调通过数学学习培养学生的问题探究能力的重要性，否则就要陷入“精英教育”的怪圈。我们确实相信:如果我们让学生用有意义的方式学习数学，他们应该学会数学地思维。数学家要面对数学问题的挑战，他要寻找一种方法，进行多次尝试活动，达到解决问题的目的。他分析问题，用符号表示它，做出假设，建立联系，探索解决问题的其他可行的方法。他要尽力对他的问题进行演绎论证，与他的同事讨论这些解决问题的方法，目的在于更好地理解这些问题，这种讨论将促进他们进一步推广这些数学概念。这些思想也会在学校数学教学中出现。

一、数学家从问题开始研究数学

科学修养的主要标准是能否抓住“重要问题”和是否能想出新的解决方法。对他们来说，艰深的问题和巧妙的解决方法使杰出的科学区别于仅仅是能干的或者普通的科学[6]。在数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要[7]。P.R.Halmos认为:一个正确的、问得好的问题就是这场战斗的一半，并且常常是唯一需要灵感的部分。问题的答案可能是困难的，并且它可能需要机敏地运用已知的技术，但常常是，创造与观察的颤音就集中在问题之中[5]。

扪心自问，世界上有多少“猜想”或“问题”是以中国人的名字命名的,中国数学的致命伤是缺乏原创性成果。国内外数学的差距主要在创新，中国像陈省身、丘成桐等大师那样的原创性成果太少。能够提出世界难题是创新人才的标志之一，恐怕他才具有摘取菲尔兹奖、沃尔夫奖的实力。我们独创的东西不够多，开创一个新的领域，让全世界的人跟着你，这类东西不够多[8]。中国数学在整体上仍和国际先进水平有相当大的差距。如果说我们在技巧上、证明难度上还比较强的话，那么我们在数学创意、新理论建立、新科学奠基方面，则有很大距离。如此考虑，也许“推测数学”的提出，正击中我们的弱点[9]。常见我国数学家解决外国人的猜想，却几乎没有听到中国人有过什么重要猜想。这一点源于在基础教育中“中国学生提的学术问题很少”[10]。数学研究不必非得去解答别人提出的问题，我们要多做些原创性的研究，注重整体研究力量的提高。

问题提出不仅有利于促进学生对知识的理解与反思，培养学生发现问题的创造潜能，而且是其终生学习和毕生发展的基础。教师要有培养学生提出问题的意识。一位好老师教学生如何解题固然很好，但是如何提高学生学习的兴趣、培养学生学会提出问题更重要。当学生遇到一个问题，他要学会对这个问题产生一些想法，同时要学会查找一些文献。提出问题的训练从小的方面来讲就是问老师或同学，从大的方面来讲，就是自己做一些比较起来还没有人“问”过的问题。一个好的数学研究者跟差的数学研究者相比，往往决定于他问的问题有没有意思，是不是重要的问题。对学生来讲，问一些自己认为有意思的问题是一个很好的训练。“正多边形的推广——‘分数’多边形”课例[11]和利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析[12]反映出:只要教师给学生提出问题的时间和机会，学生能够提出一些有价值问题，有一些问题甚至超出教师预料之外，学生沿着自己感兴趣的问题继续走下去，探索出自己的研究结果。这也正体现了“数学的本质就在于它的自由”[13]。

二、实验和证明是数学家研究问题过程中的两个阶段

在日常生活中，要证实某件事情，最普通的办法就是对它进行检验、试验、试探或实验。实际上，数学差不多也是一样。许多数学家花费大量时间观察、思考和分析特定的例子，这种方法促进了数学理论的进一步发展，并使我们对于现有理论有更加深入的理解。高斯声称(他的笔记可以为证)，他获得数学真理的方法是“通过系统的实验”。事实可能就是如此:大多数重要的数学进展都始于对例子的实验[14]。数学家总是以推理论证的形式发表论文，没有也不可能写出他在证明之前所做的大量试探性、试验性的工作。但是数学家在证明一个定理之前，必须经历大量的具体计算，进行各种试验或检验，才能形成证明的思路和方法。只有在这个时候，才能在逻辑上进行综合，表达为一系列的推理论证，即证明。由此可见，“演”中有“算”。另一方面，“算”中有“演”充分表现在算术和代数中[15]。因此数学研究中存在着两个阶段:实验和证明。《实验数学》杂志的创办人、几何学家爱泼斯坦(Epstein,D.)和列维(Levy,S.)则从词源学的角度考察“证明(prove)”一词含有“尝试”“试验”和“证实”的意义.他们说:“英语‘证明(prove)’有两个基本意义，一是尝试或试验，二是证实。”[15]当然，数学中的实验是一种抽象的思想实验，它不同于自然科学中的实物实验;数学实验只是提出猜想和假说的一种方法，它还必须经过逻辑证明，才能使猜想或假说变成定理。英国数学家、菲尔兹奖获得者M.F?阿蒂亚认为:与其他自然科学的情况一样，数学中的一些发现也要经过几个阶段才能实现，而形式证明只是最后一步。最初阶段在于鉴别出一些重要的事实，将它们排列成具体含义的模式，并由此提炼出看起来很有道理的定律或公式。接着，人们用新的经验事实来检验这种公式。只是到了此时，数学家才开始考虑证明问题

[16]。对哈代来说，证明只不过是数学大厦的门面而不是其结构中的支柱[13]。

开展数学实验活动激发他们潜在的学习能力，致力于高层次的学习状态。此时此刻学生的学习不仅仅是记忆定义、定理和公式，而是通过操作实验来建构知识，有效地领会数学知识结构中的思想方法。学生通过操作实验学习数学，可以获得更多的反馈信息，并且不断地改进他们对数学新知识的理解。开展数学实验活动可以进一步培养学生的动手能力、观察和分析问题的能力，能使学生进入主动探索状态、变被动的接受学习为主动的建构过程，同时培养学生的创新精神、意识和能力。

三、数学家在合作中研究数学

数学中许多研究成果都是众多学者合作的结果，即使是一些个人独立完成的数学成果，这些成绩的取得都是在查询、借鉴、反思前人研究成果的基础上完成的，而且他们的成果的认可也需要经过社会的检验。数学家Lbers指出:“尽管一个数学家感到他在发展其理论时有完全的自由，但是我还是认为数学实际上是人类集体的努力，是人类理解世界的更一般的努力的一部分。尽管我们看不到惊奇的事，但是我们还是可以说，数学的任何一个有意义的部分都至少有一个机会被发现是令人愉快和惊奇的。”[5]正是由于整个队伍的集体努力，他们(数学家)才能证明这些定理。莱斯特弗(Restivo)指出:“独立的数学家不可能创造数学，是数学界(数学研究共同体)创造了数学。”[17]怀尔斯证明费马大定理就是这样的例证[18]。正如戈德曼(Nicholas Goodman)所描述的:“数学定理，不是靠个人内省能够发现的东西，它并不存在于我的脑中，数学理论，像其他科学理论一样是社会的产物。它的创造与发展是由诸多智慧辩证影响的结果，而不是仅仅靠个人——每一代数学家都反思上一代数学家的数学，把过时的、肤浅的、错误的结果抛弃掉，把丰富的、能产生新认识的结果进一步纳入关注的视野当中。”[19]正如牛顿所说:“如果我比其他人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”[20]这种继承性合作促进了数学的发展。

希尔顿(Peter Hilton)就直言不讳地对数学研究中合作、协商的作用进行了阐述:“首先，我得说我确实喜欢这种方法。我非常喜欢同朋友进行合作。其次，我认为这样做很有效果。因为如果一个人只是自己单干，那么他就可能会做得筋疲力尽。但是，如果两个人一起工作，当其中一个人感到情绪低落时，另一个人就会鼓励他。或者，如果一个人选择的伙伴并不是重复你所做的工作，而是起到一种相互补充作用的话，那么可能会产生一种更好的效果。”达克尼斯(Persi Diaconis)指出:“同一位好的合作伙伴一起工作很有效，既刺激又有趣。我发现在数学领域中，越来越多的人在互相合作。数学家喜欢互相交谈，因为互动、合作能使一个人的工作超越其平常水平。”[21]数学发展的历史告诉我们，数学家不仅依赖自己的独立思考来研究问题，而且他们也非常注意相互之间的合作与集思广益。在数学飞跃发展的现代，数学的各个分支向纵深方向发展，每个数学家熟悉的数学知识是非常有限的，而数学家面对的问题往往是综合性的。因此数学家之间有组织、有分工的专题研究合作是弥补自身不足的有效方式，打破自己的习惯思维，互相取长补短，促进数学问题解决。

虽然数学家的合作研究有别于学生的合作研究，但是数学家合作研究的精神激励着学生在合作中探索、研究数学。在数学学习中，学生要继承数学家的研究成果;同时学生若能与志同道合者共同磋商，必然能点燃学生数学思维的火花，进发出智慧之光，优化数学学习效果。学生应把数学问题解决看成人类的一种共同的探索研究活动，必须学会以集体通力合作的方式解决问题，也必须学会在各种想法和办法的冲突中做出令人信服的论证。在“平面上的密铺”课例研究[22]的第一阶段基础上，我们引导学生进行第二阶段的“密铺”:探究两类以上正多边形组合密铺。由于这个问题比较复杂，我们让学生分组合作探究，最后，经过大家合作探究，发现两类正多边形组合密铺有5大类，共8种图形(另文发表)。一个人的能力是有限的，面对一个复杂问题，单靠一个人或一个小组在短时间内难以完成复杂的探究任务，这就需要我们把它分解，各个小组的学生积极踊跃前来“招标”，经过分工协作，最后大家共同解决它。合作探究小组采用演讲、谈判、合作与分析等方式促使学生将一些非正式的、具体的探究结果转化为正式的、系统的研究结果。合作探究的最终成果是依赖于个人或各个合作小组的“独立”研究成果，它是合作探究的基础，体现学生的个性特征。合作探究的过程也是比较的过程，比较相互合作中的一致性和差异性，有效解决问题方法来源于探究共同体的争论，最后达成共识。

四、数学家也会犯错误和失败

数学知识是可纠正的且永远要接受更正[23]。概率论专家Doob曾说:“在发表的数学学术论文中，平均每两页就有一个非印刷性错误，不过这些错误绝大部分都可以补正。”[24]甚至有人说:不幸的是，一代人给出的证明在下一代人眼中总是错误的[13]。数学家哈达玛认为:优秀的数学家常犯错误，但能很快发现并纠正;他还说他本人就比他的学生犯错误更多。数学家李德伍德概括数学家的成功过程为:数学家的大部分光阴是在挫折与失败中度过的。可见，数学家大多把自己的成就看作是由大量失败的砖石堆积而成的，成就的取得自然是智慧的产物[25]。N.Bourbaki认为:数学家一直习惯于纠正他们的错误——并且他们看到了，他们的科学因此而丰富了而不是贫瘠了[5]。数学家比别人看得更远些，那是因为他站在巨人的肩膀上;另一方面数学家站在巨人的肩膀上研究问题时，还要批判性分析巨人(也包括自己的)研究结果的错误。发现谬误并纠正谬误，对于那些不是初学数学的人(数学家)来说是一种极好的检测手段，它可以检验你是否已经正确而深入地了解数学的真谛，还可以锻炼你的智力，并将你的判断和推理严格地约束在一种顺序之中[3]。T.J.Fletcher认为:数学并不是从课本中已完成的定理出发，而是始于丰富而又变化的环境??(数学家)在得到初步结果之前有一个发现、创造、犯错误、丢弃和承认的阶段[3]。在证明“四色猜想”的历程中，英国数学家希伍德(Heawood,P.J.)的7页长论文指出了肯普(Kempe,A.B.)证明中的漏洞，虽然如此，希伍德认为:肯普的构想与方法极有价值[26]。德国生物学家E?海克尔对他的“生物遗传基本规律”所给出的简明说法:“个体发育重复系种发育”，根据这一遗传学原理，学生应该重蹈原始开拓者走过的路程[27]。数学家所遇到的困难，课堂上的学生同样也会遇到，这种思想对于我们研究学生在课堂教学中探索数学问题具有重要的借鉴和指导作用。

因此，通过历史上数学家的错误、困惑、挫折和失败，我们可以预测、诊断和解释学生学习数学概念时可能会犯的错误或遭遇的困惑、挫折和失败。另一方面，诚如M?克莱因所说，通常的数学课程使学生产生这样的错误印象:数学家们“几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难”;也如Bidwell所说:传统的数学课堂让学生们觉得“数学乃是一切都已发现好了的”[28]。实际上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛，可以改变学生对数学的错误看法，让他们明白:数学不过是人类的一种文化活动，数学学习都会遭遇困难、挫折、失误和失败。在最初的探索阶段上，开始的一些思想，往往是不完善的或者有错谬之处，但却有启发意义;这些思想是在接触实验材料的过程中出现的。因此，我们改变学生的数学观，帮助学生树立研究数学的自信心，学会分析数学研究过程中的错误，使得学生能够利用解决数学问题中的错误继续研究数学问题。在学校中，有数百种途径使儿童知道犯错误是不可以的。因此，他们变得害怕出错，也害怕冒风险去独立地思考。我们要辩证地对待学生的错误，特别是在数学探究课上，如果学生合理地冒了一次风险，那么即使其方案仍有改进的余地甚至有错误的地方，也应该对其创造力给予奖励。对于原始性创新我们要鼓励探索，宽容失败。数学史就是数学家们不断地犯错误，又不断地发现和纠正错误，最终找到通向数学科学真理道路的历史。数学探索研究的道路就是以错误为铺路石的。因此，具备勇于犯错误的精神，并善于从错误中学习，是数学研究工作者必须具备的基本素质。对于学生来说，也是如此。他们要学会从错误中学习，使得错误不但不会成为前进

的障碍，相反倒是科学知识增长最重要的动力之一。教师要区别对待学生的错误。教师还可以整理学生的错误，单独地抽出时间利用学生的错误进行教学，引起学生的重视。从数学教育观念角度看，教师对学生的错误要表现出更为积极的态度，要把这种错误看成是其数学学习历程中的一个阶段，并在此基础上获得数学理解的进一步发展。

当然数学力量的来源还包括在研究中数学家之间的对话交流，这种习惯是在大家能动地分享数学思想和举行研究讨论班中养成的。教师精心策划的对话意在发现真理，引起学生探究数学问题的兴趣和共鸣。

总之，数学家的观点有助于我们对数学学习的反思。数学家的观点可以被认为是数学家认识数学、改造数学、研究数学、争取“自由”的真实体验，不仅为数学学习理论研究提供了丰富的资料，而且为我们提供了认识和学习数学的思路。所以，我们认为在数学学习中应该重视数学家的观点，让其作为数学文化的载体之一和认识数学的另一途径，将会对数学学习有积极的作用。当然数学家的观点是他们研究数学的个人经验，尚需学生辩证地吸取其合理成分，将其融入到自己创造性的数学学习中去。

【参考文献】 [1] Paul Ernest.Construsting Mathematical Knowledge: Epistemology and Mathematics Education[M].The Falmer Press,1994 [2] Davis W J.我们所教的数学就是我们所做的数学吗[J].数学译林，1997,(1):56,63 [3] 莫裹兹.数学家言行录[M].朱剑英译.南京:江苏教育出版社，1998 [4] Whitin D J, Whitin P.Exploring Mathematics Through Talkdng and Writing[A].In: Burke M J.Learning Mathematics for A New Century[C].Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics,Inc,2000 [5] Kaput N.数学家谈数学本质[M].王庆人译.台北:儒邻图书有限公司，1992 [6] 哈里特?朱克曼.科学界的精英——美国的诺贝尔奖金获得者[M].周叶谦译.北京:商务印书馆，1993 [7] 数学家眼中的数学[N].光明日报，2002-08-23(B1) [8] 吴文俊.中国数学期待复兴[N].光明日报，2002-08-21 [9] 张奠宙.数学教育经纬[M].南京:江苏教育出版社，2003 [10] 丘成桐.中国学生提的学术问题很少[N].文汇报，2004-06-22 [11] 邱红松，杨玉东，范文贵，等.“正多边形定义的推广”课例研究[J].上海教育科研，2004,(6):60,63 [12] 范文贵.利用几何画板开展探究性数学学习的案例分析[J].中国电化教育，2003,(4):34,63 [13] 克莱茵M.数学:确定性的丧失[M].李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社，1999 [14] David Epstein，Silvio Levy.数学的实验和证明[J].数学译林，1996,(1):58,63 [15] 林夏水.数学哲学[M].北京:商务印书馆，2003 [16] 阿蒂亚MF.数学与计算机革命[J].数学译林，1991,(1):62,67 [17] Restivo, Van Bendegem, Fisher R.Math World: Philosophical and Social Studies of Mathematics and Mathematics Education[M]. Albany: State University of New York Press,1993 [18] 孙宏安.费马大定理及其证明[J].数学通报，1997,(6):42,47 [19] Goodman N.Mathematics as An Obiective Science[A].In: Tymoczko T.New Directions in the Philosophy of Mathematics[C].Boston: Birkhauser,1986 [20] 贝尔ET.数学精英[M].徐源译.北京:商务印书馆，1991 [21] Grouws DA.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M]. New York: Macmilian Publishing Company,1992 [22] 邱红松，范文贵，金卫国.学生在活动课中获得了什么——“平面上的密铺”课例研究[J].中学数学教与学，2004,(11):33,36 [23] Paul Ernest.数学教育哲学[M].齐建华译.上海:上海教育出版社，1997 [24] 张奠宙.数学和数学教育的特征.数学教育科学论文集[M].天津:天津科学技术出版社，1990 [25] 蒋文彬.数学家的“昨夜星辰”观[J].中学生理科月刊，1998,(12):13,15 [26] 吴振奎.数学大师的创造与失误[M].天津:天津教育出版社，2004 [27] 波利亚G.数学的发现(第二卷)[M].刘远图，秦璋译.北京:科学出版社，1987 [28] 汪晓勤，苏英俊.数学家也会犯错误[J].中学数学教学参考，2004,(3):63,64^

范文四：伟大数学家欧拉对数学的贡献 - 副本

伟大数学家欧拉对数学的贡献

\

研究目的

1 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

通过对伟大数学家欧拉对数学的贡献，提高数学素质，加强对数学的兴趣，了解欧拉的精神，学习欧拉的思想。

数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

——克莱因《西方文化中的数学》

目录

2 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

第一部分????????????欧拉介绍(欧拉在数学方面的成果)4页

第二部分????????????我对欧拉的一个定理的研究7页

第三部分????????????对欧拉贡献总结10页

第四部分????????????过程资料(照片)11页

欧拉介绍

一(欧拉的生平

3 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

1707年出生在瑞士的巴塞尔(Basel)城，小时候他

就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这

本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有

味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请

教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾

轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校

园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家

微积分权威约翰?伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748

年)的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊。约翰?伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生:“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而你将他带大成人。”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始了他的数学生涯。

1725年约翰?伯努利的儿子丹尼尔?伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡(1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授(1735年，欧拉解决了一个天文学的难题(计算彗星轨道)，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了(然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁(1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所

长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下

重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失

明(不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及

欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，

虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究

成果全部化为灰烬了(

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失

夺回来(欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然

以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直

到逝世，竟达17年之久(

1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。欧拉生活、工作过的三个国家:瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。 二(欧拉的名言

1.如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

2.虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形:一定的虚构假设足以解释许多现象。

三(欧拉的著作

《代数学入门》、《微分学原理》、《无穷分析引论》、《积分学原理》、《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》、《关于曲面上曲线的研究》、《代数学入门》? 四(欧拉解决的著名七桥问题

4 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

1七桥问题Seven Bridges Problem

18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个

公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接

起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰

好通过每座桥一次，再回到起点,欧拉于1736年研究并

解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，

证明上述走法是不可能的。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块

陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样

的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入

一块陆地(或点)时，他(或她)同时也由另一座

桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥(或

线)，从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

五(欧拉在数学得出的结论

1.欧拉线

出定理:三角形的欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提

重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

如又图，欧拉线(图中的红线)是指过三角形的垂

心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和欧拉圆圆心(红

点)的一条直线

2.欧拉函数

φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0

的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互

素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

φ:N?N，n?φ(n)称为欧拉函数。

3.欧拉定理

在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

5 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

4.欧拉恒等式

其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。

这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction。这是复分析的欧拉公式的特例:对任何实数x，

，作代入即给出恒等式。

理查德?费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”，因为它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来。

这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e，圆周率π，两个单位:虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它

5.欧拉多面体

若用f表示一个正多面体的面数，e表示棱数，v表示顶点数，则有f，v,e=2

我对欧拉的一个定理的研究

——欧拉线

6 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

莱昂哈德?欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的 距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

欧拉线是指过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆圆心的一条直线。 注:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆，称为欧拉圆。

证明:

证法1

作?ABC的外接圆?连结并延长BO?交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM?设AM交OH于点G’

? BD是直径

? ?BAD、?BCD是直角

? AD?AB，DC?BC

? CH?AB，AH?BC

? DA//CH，DC//AH

? 四边形ADCH是平行四边形

? AH=DC

? M是BC的中点，O是BD的中点

? OM= 1/2DC

? OM= 1/2AH

? OM//AH

? ?OMG’ ??HAG’

?AG’/MG’=AH/MO=2/1

? G’是?ABC的重心

? G与G’重合

? O、G、H三点在同一条直线上

??OMG ??HAG,OM/AH=1/2

7 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

?OG/HG=1/2

证法2

设H,G,O,分别为?ABC的垂心、重心、外心

。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。

联结OD ，又因为O为外心，所以OD?BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE?BC。所以OD//AE，有?ODA=?EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。

联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有?OFC=?MCF

联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以?DFC=?FCA，?FDA=?CAD，又?OFC=?MCF，?ODA=?EAD，相减可得?OFD=?HCA,?ODF=?EAC,所以有?OFD??HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1

又?ODA=?EAD，所以?OGD??HGA。所以?OGD=?AGH,又联结AG并延长，所以?AGH+?DGH=180?,所以?OGD+?DGH=180?。即O、G、H三点共线。

证法3

利用向量证明，简单明了

设H,G,O,分别为?ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。 ?向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………(1) =向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD

=向量OA+向量OB+向量OC;

而向量OG=向量OA+向量AG

=向量OA+1/3(向量AB+向量AC)……………………………………………(2) =1/3[向量OA+(向量OA+向量AB)+(向量OA+向量AC)] =1/3(向量OA+向量OB+向量OC).

?向量OG=1/3向量OH，

?O、G、H三点共线且OG=1/3OH。

欧拉线的应用1 : 平面上

共圆的5个点,任取其中3点组

成三角形,过其重心作另外两

点连线的垂线,共有10条。则

这10线交于一点。

证明:设5个点对应的向量分

别是z1, z2, z3, z4, z5，且

它们的模相等。

因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2,

z1+z2这四个点构成一个菱形，

8 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。 这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是 z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。

取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。

2:平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

3:平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

证明:第2，3个结论缘于以下事实:欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

对欧拉贡献研究总结

一(瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示:“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学

[2]家拉普拉斯则认为:读读欧拉，他是所有人的老师。2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。

我认为欧拉是是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数

9 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域，，平均每年写出八百多页的论文，他是数学史上最多产的数学家。正因为他的惊人的记忆力与口算速度震惊世界。

“天才在于勤奋，欧拉就是这条真理的化身。”李文林表示，“很多科学家都很勤奋，而欧拉最为典型。他失明后的十多年都是在完全看不见的情况下作研究。欧拉心算能力很强，可以通过口述让别人记录。有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执，欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案。”

二(通过这次对伟大数学家欧拉对数学贡献的研究，加深了自己对数学的兴趣，同时也让我学会了欧拉锲而不舍的精神。

如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

研究过程资料

初等数论中欧拉定理的学习

10 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

初中竞赛时学到的欧拉线

我做出的欧拉线的证法

11 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

参考文献-------- 百度网页

百度知道

中国知网

第一范文网

12 如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎～

范文五：数学家的故事

数学家蒲丰（Buffon ，Georges Louis）(1707─1788)

“蒲丰于1777年给出了第一个几何概率的例子.”──伊夫斯

蒲丰是法国数学家、自然科学家.1707年9月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒于巴黎. 蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数学，并开始研究自然科学，特别是植物学.1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进入法兰西学院.1771年接受法王路易十四的爵封. 蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，他是第一个对地质史划分时期的科学家，他还首次提出太阳与慧星碰撞产生行星的理论. 蒲丰投针问题

一天, 法国数学家蒲丰请许多朋友到家里, 做了一次试验. 蒲丰在桌子上铺好一张大白纸, 白纸上画满了等距离的平行线, 他又拿出很多等长的小针, 小针的长度都是平行线的一半. 蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”客人们按他说的做了。

蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。蒲丰说：“这个数是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”这就是著名的“蒲丰试验”。

弗朗索瓦·韦达 1540年－1603年12月13日），法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。

在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示 已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》，同时还发现，这是π的第一个分析表达式。 主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》等，由于他贡献卓著，成为十六世纪法国最杰出的数学家。

毕达哥拉斯(Pythagoras) 是希腊的哲学家和数学家。出生在希腊

撒摩亚(Samoa)地方的贵族家庭， 传说他是一个非常优秀的教师，他认為每一个都该懂些几何。

有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人

建议：如果这人能学懂一个定理，那麼他就给他一块钱币。这个人

看在钱份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何却

產生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：

如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达

哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。 毕氏建立毕达歌拉斯兄弟会，崇拜整数、分数為偶像， 他们集中注意於研究自然数和有理数，特别是 完美数，它是本身正因数（除了本身之外）之和，例如：6=1+2+3、 28=1+2+4+7+14。他们认為上帝因為6是完美的，因此选择以6天创造

万物，且月亮绕行地球一週约28天. 「在一个直角三角形，斜边的平方是两股平方和。」这个定理中国人（周朝的商高）和巴比伦人早在毕氏提出前一千年就在使用，

但一般人仍将定理归属於毕达歌拉斯，是因為他证明了定理的普遍性。 毕氏认為寻找证明就是寻找认识，而这种认识比任何训练所累积的经

验都不容置疑，数学逻辑是真理的仲裁者。对毕达歌拉斯而言，数学之美在於有理数能解释一切自然现象。

这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至

导致他一个学生被处死。这位学生名叫希帕索斯，出於无聊，他

试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，

也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是

他的老师毕氏却不悦。因為毕氏已经用有理数解释了天地万物，

无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希帕索斯经洞察力获致的

成果一定经过了一段时间的讨论和深思熟虑，毕氏本应接受这新

数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑

推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将

希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数

才得以安全的被讨论著。后来，欧几里德以反证法证明根号2是

无理数。

锡里尼哇沙?拉玛奴江

1962年12月22日印度发行弓一张纪念邮票。这张邮票是為纪念印度的 「国宝」锡里尼哇沙?拉玛奴江（Srinivasa Ramanujan）诞生七十五週年而 发行的。拉玛奴江他是淡米尔人，生於1887年12月22日，是一个生於南印度没落的贫穷婆罗门家庭，没有受过大学育，靠自学及艰苦钻研数学，后来成為一个闻名国际的数学家。在数学家中，以贫穷家庭出身，而且能在没有研究数学的环境里，孤独的工作，发现了一些深入的结果的人是不太多。他到了二十七岁时才获得真正数学家的教导，他的才华像彗星突然出现长空，耀眼令人侧目。可惜的是肺病却蚕食了他的生命，他在三十三岁时悄然逝去。有一天一个老师讲：「三十个果子给三十个人平分，每一个人得到一个。同样的十四个果子给十四个人平分，每一个人得一个果子。」从这里老师下了结论：任何数给自己除得到是一。拉玛奴江觉得不对，马上站起来问：「是否每一个人也得到一个？」这时数字的奇妙性质引起了他的注意，也差不多在这个时候他对等差，等比级数的性质自己作了研究。

在1907年到1910年之间，他住在外面，找不到任何工作，有时替朋友补 习以换取一些吃的东西。在这段期间，他自己研究魔方阵、连环分数、超几 何级数、椭圆积分及一些数论问题，他把自己得到的结果写在二本记事簿里 ，生活不安定不能使到他对数学的爱好减少，一个善良的邻居老太太，看他 生活困难，几次在中餐时邀他在家里吃些东西。每天傍晚时分才在马德

拉斯(Madras)的海边散步和朋友聊天作為休息。有一天一个老朋友遇到他, 就 对他说：「人们称讚你有数学的天才！」拉玛奴江听了笑道：「天才？！请 你看看我的肘吧！」他的肘的皮肤显得又黑又厚。他解释他日夜在石板上计 算，用破布来擦掉石板上的字太花时间了，他每几分鐘就用肘直接擦石板的 字。朋友问他既然要作这麼多计算為甚麼不用纸来写。拉玛奴江说他连吃饭 都成问题，那里有钱去买大量的纸来用. 后来发现他患上了无法医治的肺病。在英国医院住了一个时期。哈地教授讲他在病中的一个故事：有一天哈地乘了一辆出租汽车去看他，这车牌号码是1729。哈地对拉玛奴江讲出了这个数字，看来没有甚麼意义。可是拉玛奴江想一下马上回答：「这是最小的整数能用二种方法来表示二个整数的立方的和。」(1729=13+123=93+103)

拉玛奴江被称為数学的预言家，他死后已经有五十四年了，可是他的一 些预测的结果，还是目前数学家正想法证明的。

陈景润（1933年5月22日－1996年3月19日），福建福州人，中国数学家。1953年毕业于厦门大学数学系，1957年进入中国科学院数学研究所。1966年发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称

“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。他所发表的成果也被称为“陈氏定理”。1978年由于在哥德巴赫猜想方面的杰出工作，与王元、潘承洞一起，共同获得中国自然科学奖一等奖。1937年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡。几所大学得知消息，都想邀请沈教授前进去讲学，他谢绝了邀请。由于他是英华的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课。 一天，沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有趣的现象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28= 5+23，100=11+89。每个大于4的偶数都可以表示为两个奇数之和。因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想。大数学欧拉说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确的。 它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉。??”陈景润瞪着眼睛，听得入神。 从此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣。课余时间他最爱到图书馆，不仅读了中学辅导书，这些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读。因此获得了“书呆子”的雅号。 兴趣是第一老师。正是这样的数学故事，引发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而引发了一位伟大的数学家。

阿基米德（约公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人。一天，阿基米德来到海滨散步，他一边走一边思考着数学问题。无边无垠的沙滩，细密而柔软的沙粒平平整整地铺展在脚下，又伸向远方。他习惯地蹲下来，顺手捡起一个贝壳，便在沙滩上演算起来，又好又便捷。回到住地，阿基米德十分兴奋地告诉他的朋友们说：" 沙滩，我发现沙滩是最好的学习地方，它是那么广阔，又是那么安静，你的思想可以飞翔到很远的地方，就象是飞翔在海面上的海鸥一样。" 神奇的沙滩、博大的海洋，给人智慧，给人力量。打那以后，阿基米德喜欢在海滩上徜洋徘徊，进行思考和学习。从求学的少年时代开始一直保持到生命的最后一息。公元前212年，罗马军队攻占了阿基米德的家乡叙拉古城。当时，已75岁高龄的阿基米德正在沙滩上聚精会神地演算数学，对于敌军的入侵竟丝毫未觉察。当罗马士兵拔出剑来要杀他的时候，阿基米德安静地说：" 给我留下一些时间，让我把这道还没有解答完的题做完，免得将来给世界留下一道尚未证完的难题。" 关于浮力原理的发现，有这样一个故事：相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心工匠做的金冠并非全金，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重。工匠到底有没有私吞黄金呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。经一大臣建议，国王请来阿基米德检验。最初，阿基米德也是冥思苦想而却无计可施。一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿上就跑了出去，大声喊着 “我知道了”。 他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于他所排出液体的重量。一直到现代，人们还在利用这个原理计

算物体比重和测定船舶载重量等由于阿基米德孜孜不倦、刻苦钻研，终于成为古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家和发明家，后人将他与牛顿、欧拉、高斯并称为" 数坛四杰" 、" 数学之神" 。我国数学泰斗华罗庚说：" 天才在于积累。聪明在于勤奋。" 面对知识的大海，人们应该象阿基米德那样，信念是罗盘，执著和勇毅作双浆，不懈追求，毕生探索。扬帆远航!

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