范文一：三射线定理

三 射 线 定 理

陕西定边县第三中学 白治清

从一点发出的不在同一平面内的三条射线，形成三种空间角(即“线线角”，“面面角”与“线面角” )，这三种空间角之间的关系问题，是立体几何的一个基本问题，在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用，本文将探讨这三种空间角之间的关系.

一、由“线线角”求“面面角”

定理1 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线，如果?BOC=，?COA=，,, 1 2?AOB=，二面角C-OA-B，A-OB-C与B-OC-A的平面角分别等于β 、β 、β ，那么 , 31 23

,,,,coscoscos123 ? cosβ=1sinsin,,23

,,,,coscoscos231cosβ= ? 2sin,sin,31

,,,coscoscos,312cosβ= ? 3sin,sin,12

证明:先证明?，分5种情况:

(1) 与 ，均为锐角. ,, 23

如图1，在OA上取一点P，使OP=1，在平面AOB内，

作PM?OA，交OB于M，在平面AOC内，作PN?OA，交OC于N，

连结MN，?NPM=β . 1

,,,,PN=tg，PM= tg，ON=sec，OM=sec，在?PMN3322

与?OMN中应用余弦定理，得

222,,,,MN=tg+tg-2tgtgcosβ 确 13322

22=sec+ sec-2secseccos. ,,,,,2 3231

用、、 的三角函数表示cosβ，得 ,,,123 1

,,,coscoscos,123cosβ= 1sin,sin,23

(2)与中有一个锐角，一个钝角. ,,23

如图2，不妨设为锐角，为钝角，作OC的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B与,,3 2

,,,C-OA-B“互补”，所以D-OA-B的平面角等于. 1

,,,,，AOD,,,,.?BOD=对于射线OA、OB、OD应用?， 得 12

,,,,,cos(,),cos(,)cos123,,,cos()=， 1sin(,,,)sin,23

1

,,,coscoscos,123即cos. ,,1sin,sin,23

(3)与均为钝角. ,,23

如图3， 作OB、OC的反向延长线OD、OE，二面角D-OA-E与C-OA-B是“对顶角”，

所以D-OA-E的平面角等于β . 1

，AOD,,,,，DOE,,，，AOE,,,,，.对于射线OA、OD、OE应用?，得 312

,,,,,cos,cos(,)cos(,)123cos, ,1sin(,,,)sin(,,,)23

,,,coscoscos,123 . ,sin,sin,23

(4)与中有一个直角. ,,23

,,如图4，不妨设 = 在平面AOB内作OD?,，,.,2 322

OA，则?COD=β . 1

,若β?因为，不论是锐角还是钝角，都有 ,,132α

,,,3,，?BOD=二面角B-OD-C是直二面角，对于射线,22

OD、OC、OB应用?、?、?，得

,,,,cos,cos,cos131,2cos=， ,2sin,,sin,312

,cos2,,即cos 1sin,3

,,,cos,coscos13,cos12,. 另一方面，直接应用?，得cosβ=1,sin,3sinsin,32

,,若β=，则cosβ=0，这时， ,.,11122

,,,cos,coscos322另一方面，直接应用?，得cosβ=,0. 1,,sinsin32可见，当、中有一个直角时，?仍旧适用。 ,,23

(5)与均为直角. ,,23

这时，β= ,，cosβ=cos, . 1111

2

,,,cos,coscos122另一方面，直接应用?，得cosβ= ,cos,.11,,sinsin22

、均为直角时，1?仍旧适用。 可见，当,,23

综合上述，?得证. 同理可证?与?. 定理1证毕。

二、由“线线角”求“线面角”

定理2 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线，如果?BOC=, ?COA=，,,12

?AOB=，直线OA、OB、OC分别与平面BOC、COA、AOB所成的角等于θ、θ、,312θ，那么 3

22222sinθ=(1,cos,cos,cos+2coscoscos)/sin. ? ,,,,,,,12131231

22222sinθ=(1,cos,cos,cos+2coscoscos)/sin. ? ,,,,,,,12231232

22222sinθ=(1,cos,cos,cos+2coscoscos)/sin. ? ,,,,,,,12312323

证明:先证明?.

在OA上任取一点P，作PQ?平面BOC，Q为垂足，OQ是OA在平面BOC内的射

影，?POQ=θ，分5种情况。 1

(1)OQ在?BOC的内部.

如图5，作QR?OC，垂足为R，连PR，?PRQ是二面角B-OC-A的

,平面角，设?PRQ=. 3

,,,?OPQ= ?OPR= ?QPR= ,,,,,,,,,123222

二面角O-PR-Q是直二面角，对于射线PR、PO、PQ应用定理1，得

,,,,,,cos(,),cos(,)cos(,)123,222 cos, ,,,2sin(,,)sin(,,)2322

即 sinθ=sinsinβ, ,123

222sinθ=sin,sinβ, (a) 123

,,,coscoscos,312,对于射线OA、OB、OC应用定理1?，得cosβ= 3sin,sin,12

,,,coscoscos,22312即sinβ=1,() (b) 3sin,sin,12

将(b)式代入(a)式，得

2，，,,,,,,coscoscos22312,,,,,sin1,sinθ= 12,,sinsin,,,,,,12，，

3

222,,,,,,1coscoscos2coscoscos,,,，123123 . ,2sin,1

(2)OQ在?BOC的两边的反向延长线所形成的角的内部. 如图6 OD、OE是OB、OC的反向延长线，OQ在?DOE的内部. ?DOE=，?AOE=π-，?AOD=π-，对于射线OA、OD、OE应用(1)的结,,,123

论，得

222,,,,,,,,,,1coscos()cos()2coscos()cos(),,,,,，,,2123123Sin,= 12sin,1

222,,,,,,1coscoscos2coscoscos,,,，123123= 2sin,1

(3)OQ在?BOC的一边及另一边的反向延长线所形成的角的内部. 如图7 OD是OC的反向延长线，OQ在?BOD的内部.

,,,,?AOD=,,,,对于射线OA、OB、OD应用(1)，?BOD=12

得

222,,,,,,,,,,1,cos(,),cos(,),cos，2cos(,)cos,cos，，2123123sin= ,12sin(,,,)1

222,,,,,,1coscoscos2coscoscos,,,，123123= 2sin,1

(4)OQ在?BOC的一边上，如图8，OQ在OC上.

22这时，=，sin=sin，另一方面，由定理2?，得 ,,,,1212

222,,,,,,1coscoscos2coscoscos,,,，2123123sin=(c),1 2sin,1

因为二面角B-OC-A是直二面角，由定理1?，得 ,,,,coscoscos,312cos, 2cos,cos,12

cos,,cos,cos,即 (d) 312

将(d)式代入(c)式，得

222222,,,,,,1coscoscoscos2coscos,,,，2121212sin= ,12sin,1

2222,,,,sin,cos，(1,sin)cos21212= ,sin,22sin,1

可见，当OQ在?BOC的一边上时，定理2仍旧适用。 (5)OQ在?BOC的一边的反向延长线上;

如图9，OQ在OC的反向延长线OD上.

4

?BOD=, ?AOD= ,,,,,,12

对于射线OA、OB、OD应用(4)，得

222,,,,,,,,,,1cos()cos()cos2cos()cos()cos,,,,,，,,2123123sin=,1 2sin,1

222,,,,,,1coscoscos2coscoscos,,,123123= . 2sin,1

综合上述，定理2?得证，同理可证?与?，定理2证毕.

三、由“面面角”求“线线角”与“线面角”及由“线面角”求“线线角”与“面面

角”.

如果已知“面面角”，那么解定理1的?、?、?联立的方程组，可求得“线线角”，

再由定理2可求“线面角”.类似地，由“线面角”可求“线线角”与“面面角”。 四、应用举例 ?例1 ?ABC与?ABD是两个等腰直角三角形，?ABC=?ABD=90，二面角D-AB-C?为60，求BD与AC所成的角. ?，作BE解:如图10‖AC，?ABE=135.

，得 对于射线BA、BD、BE应用定理1

cos，DBE-cos45:cos135:?cos60= sin45:sin135:

解得

1cos?DBE= . ,4

11?BD与AC所成的角等于180,arccos()，即arccos . ,44

例2 正四棱锥侧棱与底面成角，相邻两侧面成二面角β，试证明: ,

2,coscosβ= 2cos,,2

证明:设?SAB= =?SAD x

对于射线AS、AB、AD应用定理2，得

2221,cos90:,cos,cos，2cos90:coscosxxxx2sin,=， 2sin90:

122即cos=cos. x,2

对于射线AS、AB、AD应用定理1，得

12,,cos22,cos90:,cosxcos2,,cosβ= 221sinxcos,,221,cos,2

本文发表在陕师大《中学数学教学参考》原题为《对三种空间角之间关系的探讨》.

5

范文二：[专题]三余弦定理的证明

三余弦定理

获A获面上一点～获A的直获AO在面上的射影获AB～AC获面上的一直获～那获条

?OAC,?BAC,?OAB三角的余弦获系获,

cos?OAC=cos?BAC×cos?OAB

通俗点获就是～cos平面斜获平面直获获角与(OAC)=cos斜获射影平面直获获与角(BAC)xcos平面斜获斜获射影获角与(OAB),又叫最小角定理或爪子定理～可以用于求平面斜获平面直获与内成的最小角,

　如上获～自点作?于点～获作?于～获～获易知OOBABBBBCACCOC?、?、?均获直角三角形,ABCAOCABO

?～?～?～不获获获,,cosθ1=ABOAcosθ2=ACABcosθ=ACOAcosθ=cosθ1×cosθ2

　例　如获～已知,是正三柱～棱是中点～若?～1A1B1C1ABCDACAB1BC1求以获～棱与获面的二面角的度数年全高考国数学理科获BC1DBC1CBC1α.(199423)

例　已知?的直角获两～,获斜获上一点～获沿将此直2RtABCAC=2BC=3PABCP

角三角形折成直二面角,,;如下获,～当获～求二面角,,大小,ACPBAB=?7PACB

上海市年高考获获～获度系数(19860.28)

例,已知菱形的获获获～?～获沿获角获将此菱形折成直二面角 3ABCD1BAD=60?BD

如获,求异面直获与所成的角～求二面角的大小,A-BD-C(6)( 1)ACBD( 2)A-CD-B

范文三：三余弦定理的证明

三余弦定理

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB

通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．

如上图，自点O作OB⊥AB于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角形．cosθ1=AB∶OA，cosθ2=AC∶AB，cosθ=AC∶OA，不难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2．

例1 如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥

BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)

例2 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数

0.28)

例3．已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如图6)．( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD-B的大小．

范文四：三余弦定理的证明[教学]

三余弦定理

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么?OAC,?BAC,?OAB三角的余弦关系为: ,,,cos?OAC=cos?BAC×cos?OAB

通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)(又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角(

如上图，自点O作OB?AB于点B，过B作BC?AC于C，连OC，则易知?ABC、?AOC、?ABO均为直角三角形(cosθ1=AB?OA，cosθ2=AC?AB，cosθ=AC?OA，不难验证:cosθ=cosθ1×cosθ2(

例1 如图，已知A1B1C1,ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1?BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题)

例2 已知Rt?ABC的两直角边AC=2，BC=3(P为斜边AB上一点，现沿CP

将此直角三角形折成直二面角A,CP,B(如下图)，当AB=?7时，求二面角P,AC

,B大小((上海市1986年高考试题，难度系数0.28)

例3(已知菱形ABCD的边长为1，?BAD=60?，现沿对角线BD将此菱形折成

直二面角 A-BD-C(如图6)(( 1)求异面直线AC与BD所成的角;( 2)求二面角A-CD-B

的大小(

范文五：三射线定理及其典型应用

三射线定理及其典型应用

2015年10月21日?意琦行 ?数海拾贝

三射线定理 ????如图, 、 、 分别是从 出发的三条射 线, 、 、 分别为 、 、 ,二面角 (记其大小为

)满足:

三射线定理描述了异面共边的两个角的另外两边构成的角(空间斜 角)与这两个角形成的二面角(空间正角)之间的数量关系,因此往 往用来求二面角的大小或者空间斜角的大小.三射线定理中的基本图 形又称为三面角.

证明 ????如图,过射线 上一点 作垂直于 的平面,射线 、 分别与该平面相交于 、

两点.

方法一 ????利用空间向量

根据已知,有

PA PB PC P ∠ APC ∠ BPC ∠ APB αβθA ? PC ? B φcos θ=cos α? cos β+sin α? sin β? cos φ.

PC H PC PA PB M N ? PM ? → ? ? ? PN ? → ? ? =(+) ? (+)

PH ? → ? ? HM ? → ? ? ? PH ? → ? ? HN ? →

? ? ? =P +? H 2HM ? → ? ? ? HN

? → ? ? ? =P +HM ? HN ? cos φ, H

2

又

于是两边同除以 得 方法二 ????利用余弦定理

在三角形 和三角形 中分别应用余弦定理,有

两式相减得

移项整理即得.

三射线定理的记忆 ????可以借助两角差的余弦公式记忆,当 时,三射线定理退化为两角和与差的余弦公式.当 时,三射线 定理变成著名的三余弦定理:接下来通过两道例题说明该定理在空间求角时的作用.

例 1 (知斜求正)如图,在直角三角形 中, 为直角, , , 、 分别是 、 上的点,且 , ,将 沿 折起到 的位置, 使 .求平面 与平面 所成锐角的余弦值.

? =PM ? PN cos θ,

PM

? → ? ? ? PN ? →

? ? PM ? PN cos θ=cos α? cos β+sin α? sin β? cos φ.

MNP MNH MN 2MN 2=M +N ? 2? MP ? NP ? cos θ,

P 2P 2=M +N ? 2? MH ? NH ? cos φ,

H 2H 20=2P ? 2? MP ? NP ? cos θ+2? MH ? NH ? cos φ,

H 2φ=0, πφ=πcos θ=cos α? cos β.

ABC C BC =3AC =6D E AC AB DE ∥ BC DE =2△ ADE DE △ DE A 1D ⊥ CD A 1CD A 1BE A 1

解 ????这是一道由2012年高考北京卷理科数学第16题改编的习题. 如图,在底面 里分别延长 和 ,交于 (实际上就是 在未折叠的三角形 还原在直观图中),于是所求的锐角就是二 面角 的大小.

我们可以利用三面角 中解决问题.令 , , , ,而

于是

解得

BCDE CD BE A ABC C ? A ? B A 1A ? DE A 1∠ AD =αA 1∠ EA =βA 1∠ CAB =θC ? A ? B =φA 1cos α=, cos β=, cos θ=, √ √ √ 2√ =? +? ? cos φ, 2√ √ √ √ cos φ=. √

事实上,取 的中点 ,则 即为二面角 的平面角.

例 2(知正求斜)如图,在长方形 中, , , 为 中点,

为线段 (端点除外)上一动点.现将 沿 折起,使平面 与平面 垂直.在平面 内过点 作 , 为垂足.设 ,则 的取值范围 是 _______.

解 ????这是2009年高考浙江卷理科数学第17题.

我们可以利用三面角 解决问题.令 , , ,且 ,于是可得 即

于是

其取值范围不难求得为 .

接下来给出两道练习题.

练习1、如图, 是半径为 的球的球心,点 、 、 在球面 上, 、 、 两两垂直, 、 分别是大圆弧 与 A A 1M ∠ DME C ? A ? B A 1ABCD AB =2BC =1E DC F EC △ AFD AF ABD ABC ABD D DK ⊥ AB K AK =t t A ? DKF ∠ DAK =α∠ FAK =β∠ DAF =θD ? AK ? F =πcos ∠ DAF =cos ∠ DAK ? cos ∠ FAK ,

=? , DA AK DF AK =, AD 2(, 1) 1O 1A B C OA OB OC E F AB AC

的中点,则点

、 在该球面上的球面距离是_______.

练习2、如图,一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长均为 ,将正 四面体与正四棱锥组合起来,使得正四面体的其中一个面与正四棱锥 的一个侧面重合.问得到的多面体有多少个面?

参考答案

练习1、 练习2、组合体为三棱柱,有 个面.

更多的内容可以参考:

《每日一题[46]?三射线定理》

《每日一题[154]?折叠中的二面角》

《每日一题[202]?又见三射线》

《每日一题[255]?代表平面—出击!》

E F 1π5

每日一题[46]?三射线定理

2015年3月5日?意琦行 ?数海拾贝

已知二面角 为 , , , , 与 成 角,则异面直线 与 所成角的余 弦值为 ________.

正确答案是 . 事实上,我们有一般的结论(三射线定理).

如图, 、 、 分别是从 出发的三条射线, 、 、 分别为 、 、 ,则二面角 (记 其大小为 )满足:

证明如下:

过射线 上一点 作垂直于 的平面,射线 、 分别与该 平面相交于 、 两点,则

α? AB ? β120° CD ? αCD ⊥ AB EF ? βEF AB 30° CD EF

1PA PB PC P ∠ APC ∠ BPC ∠ APB αβθA ? PC ? B φcos θ=cos α? cos β+sin α? sin β? cos φ.

PC H PC PA PB M N ? → ? ? ? ? → ? ? ? → ? ? ? → ? ? ? ? → ? ? ? →

? ? ?

又

于是两边同除以 得

在今天的这道试题中,应用三射线定理,有

于是所求值为 . ? PM ? → ? ? ? PN ? → ? ? =(+) ? (+)

PH ? → ? ? HM ? → ? ? ? PH ? → ? ? HN ? → ? ? ? =P +? H 2HM ? → ? ? ? HN ? →

? ? ? =P +HM ? HN ? cos φ,

H 2? =PM ? PN cos θ,

PM ? → ? ? ? PN ? → ? ? PM ? PN cos θ=cos α? cos β+sin α? sin β? cos φ.

cos θ=cos ? cos +sin ? sin ? cos =? ,

30° 90° 30° 90° 120°

11

每日一题[154]?折叠中的二面角

2015年6月22日?意琦行 ?数海拾贝

2015年高考浙江卷理科数学第8题(选择压轴题):

如图,已知三角形 , 是 的中点,沿直线 将三角形 折成三角形 ,所成二面角 的平面角为 ,则( ? ? ? ?

)

A . B . C . D . 正确答案是B.

得到答案是容易的,可以取以下两种极端情形进行排除:

ABC D AB CD ACD CD A ′ ? CD ? B A ′ α∠ DB ? α

A ′ ∠ DB ? α

A ′ ∠ CB ? α

A ′ ∠ CB ? α

A

′

当 时,显然 ,而

,排除D;

当 时,显然 ,而

,排除A、C.

下面证明选项 B

是正确的.

如图,在平面 内过 作线段 垂直于 ,且

, 亦为 的中点.设在折叠过程中, 的对应点 为 ,则根据二面角的平面角的定义有 . 若线段 与线段 重合,那么就有 ,命题 成立;

若线段 不于线段 重合,那么 和 分别位于直线 两 侧,于是 和 分别位于平面 两侧.进而在三角形 和三角形 中, 且 ,于是 .而在三角形 和三角形 中, 且 ,于是 ,于是命 题成立.

注 ????也可以利用三射线定理

结合 ,有

α=π∠ DB =∠ ADB =πA ′ ∠ CB =∠ ACB <πa ′="" α="0∠" db="∠" db="">0A ′ A ′′ ∠ CB =∠ CB >0A ′ A ′′ ABC D MN CD AB =MN D MN M M ′ α=∠ DN M ′ MN AB ∠ DN =∠ DB M ′ A ′ MN AB A B MN A ′ B DN M ′ DB A ′ DB M ′ D =D M ′ A ′ B >B A ′ M ′ ∠ DB >∠ DB A ′ M ′ DB M ′ DN M ′ DN =DB B >N M ′ M ′ ∠ DB >∠ DN M ′ M ′ cos ∠ DB =cos ∠ DC cos ∠ BDC +sin ∠ DC sin ∠ BDC cos α, A ′ A ′ A ′ ∠ DC +∠ BDC =πA ′ 1+cos ∠ DB =(1+cos α) ? sin ∠ DC sin ∠ BDC ,

A ′ A

′

因此

考虑到余弦函数在 内单调递减,于是命题成立. cos ∠ DB ? cos α,

A ′ [0,π

]

每日一题[202]?又见三射线

2015年8月9日?意琦行 ?数海拾贝

2014年全国高中数学联赛山东省预赛第5题:

已知直角三角形 的两条直角边 , , 为斜边 上一点,将 将此三角形折成直二面角 ,当 时,二面角 的值为 _______

.

正确答案是 .

如图,在平面 内过 作直二面角 的棱 的垂线 交边 于 ,则 .

于是在平面 中过 作二面角 的棱 的垂线,垂 足为 ,连接 ,则 为二面角 的平面角,且 . 根据 每日一题[46]?三射线定理 ,有

于是

ABC AC =2BC =3P AB CP A ? CP ? B AB =√ P ? AC ? B arctan √ PCB P A ? CP ? B CP BC E EP ⊥ ACP PAC P P ? AC ? B AC D DE ∠ PDE P ? AC ? B tan ∠ PDE =EP cos ∠ ACB =cos ∠ ACP ? cos ∠ BCP ,

+?

222

解得

如图.

因此所求二面角 的值为 . =cos ∠ ACP ? sin ∠ ACP , A +B ? A C 2C 2B 2∠ ACP =, πP ? AC ? B arctan √

每日一题[255]?代表平面—出击!

2015年10月1日?意琦行 ?数海拾贝

已知平面 和 相交形成的四个二面角中的其中一个为

,则在空 间中过某定点 与这两个平面所成的线面角均为 的直线 条数为 _______.

正确答案是 .

解 ????我们知道,研究空间的角度问题时,平面与其他空间图形所成的 角度往往依托其法线进行计算.换句话说,平面的法线是平面方向的 代表.

在这个问题中,设平面 与平面 过 点的法线分别为 、 ,则 .而此时条件直线 与两个平面所成的线面角为 可 以转化为直线 与直线 、 所成的角均为 .

如图,平面上的两条直线(所成角为 )的平分线——为互相垂直的 两条直线——在运动过程中始终保持与两条直线所成的角相等,且该

角的取值范围分别为 以及 . 因此当 ,而与两条直线所成角均为 时对应的直线为 条.

αβ60° P 30° l 3αβP m n ? m , n ? =60° l 30° l m n 60° θ[, ]θπ[, ]π? θπθ=60° 60° 3

下面给出一个练习题. 将一个水平放置的正方形 绕直线 向上转动 到 ,再将所得正方形 绕直线 向上转动 到 ,则平面 与平面 所成二面角的正弦值

是_______.() 提示 ????可以化为法线问题后应用三射线定理,可以参考?每日一题[46]三射线定理 ,以及?每日一题[202]?又见三射线定理 . ABCD AB 45° ABC 1D 1ABC 1D 1BC 145° B A 2C 1D 2B A 2C 1D 2ABCD √

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