范文一：凸多面体欧拉定理的证明

凸多面体欧拉定理的证明

l0湖南数学通讯1996年第5期 的方式构造:

1)定义N1到?I的1—1对应g,使 g一1g;

2)定义g(1):1,1是g的一个不动点; 3)将g延拓为?到?的映射,对每个 ?N,的标准分解式为

=p--,P1…P,为质数

定义

g()=(g(pI))-…(g(p,)) 4)取g()的一个不动点k:g(k):k. 5)作?到N的映射,:

f()=培(),?N.(18)

则,是方程(*)的解.

证明从前面的叙述可知(*)的解具有 定理所述的结构,故必要性成立.往证充分 性

在(18)中取=1且注意g(1):1,可知 f(1)=.又由3)可知在N上g为积性函数 g(ab)=g(?)g(b),?,b?N

由,的定义可知

ab)=k?培(ab)=培(a)?kg(b) :

,(a),(b).

,(f):{(,(f))

注意k是g的不动点,同样可得

,(,()):姆(姆(s)):培()g(g(s))

:s.

于是可得

f2,(s)):f)s))

=

{?{))?25=s()).

故,确为(*)的一个解.

3.竞赛题的解

由于1998:2?33?37,故

f(1998):,(1)'g(2)'(a(3))?g(37)

(19)

为取极小值,可令

f(1)=1,g(2):3,g(3)=2,g(37)=5, g(5)=37(20)

而对?N1,{2,3,5,37},令g()=.

则g在??上定义且满足g一=g.f则

按定理由g定全确定且满足(*).于是将

(20)代人(19)即得所求的极小值为

凸聪娃f(1998)mia=1x3X23=枷120.学,凸多面体欧拉定理的证明 l6L>/杨笃庆n//

10一I(娄底师专数学系417000)nf矿qf.L//lJ 耄要譬妻一,欧拉定理的话扑证明称为多面体的棱和顶点.如果多面体在它

们……………,

1998年第5期湖南数学通讯

相等,只相差一个多边形(即面),因此只要证

明—E+F=1.

证法一把所得的平面网络剖分成三角

形,然后将三角形一个一个地抹掉,最后剩下

一

个三角形,下面我们计算抹去一个三角形 后,数—+的改变情况.

将平面网络中不是三角形的多边形用连 接"对角线"的方法使其变为三角形,每画一 条对角线,棱和面,同时增加1,V没有变 化,所以剖分唐三角形后—E+,不变.抹 去三角形的方法是:

?当三角形只有一条边是平面网络的边 界时,抹去不属于其他三角形部分(包括边, 顶点),这样,棱E和面F同时减少1,而顶点 不受影响;

?当只有两条边不属于其他三角形的边 时,这时便抹去一个顶点,两条边(棱),一个 面;

E+,保持不变. 所以—

这个过程一直进行下去,最后只剩下一 个三角形,它有三个顶点,三条棱,一个面,这 时V—E+F=1.

所以,原平面网络必满足V—E+,=1. 证法二利用碱少网络所包含的区域的 个数.

若一个连通网络的棱不组成任何回(环) 路,则称此网络为树形.若去掉一个自由顶点 以及与它相连的一条棱,即,E同时减少 1,匮此一,的值不变,继续这个步骤,直到 最后只剩下一条棱和它的两个端点,于是 —

E=1.

从多面体表面挖去一个面后经过拓扑变 形得到平面网络,区域的个数为,,顶点个数 为V,棱的个数为E,把围成一个区域的各条 棱中的一条棱去掉,使区域的个数减少一个, 但顶点的个数不变,棱数也少1,使区域的个 数减少一个,但顶点的个数不变,棱数也少 l,使得网络仍然是连通的,只要网络存在区 域,继续下去,最后使网络变成树形,由于这 个树形与原来的网络的顶点鼓相同,而树形 的棱减少了,.

所以V一(E—F):一,+F=1

下面以t正_十二面体为例:.

图5继续抹去图6最后情形图7十二面体的树形 正十二面体

(图1)挖去它的一个面衄lE后放到平面 上得平面网络(图2).方法一:酣分成三角形 得图3,抹去只属于一个三角形的边AB,C, C.D,DE,EA得圈4,抹AF,BJ,CL,,ER, …

得图5,抹去sf=『,胛,OP,PS得图6,它有 三个顶点,三条棱,一个面,于是—E+F= 1;方法二:在平面网络图二中依次抹去AB, BC,CD,ng,EA,FG,删,9,RT,SH得

12湖南数学通讯1998年第5期

图7为一树形,于是F=0,V;20,E=19,所 以V—E+F=1.

二,欧拉定理的度量证明

首先我们介绍一下有关球面几何的知

识

球面多边形的边规定是太圆的圆弧,球 面上任意两个太圆必有两个交点,且是一条 直径的两个端点,我们规定球面多边形的大 圆弧都是劣弧(--边形即月形蜘外),球面多 边形的内角规定如下:

以球面三角形舳c为例(图8)过A分 别做两边船及AC的切线船】,ACl,所得的 角BACI(也就是大圆弧船及AC形成的 二面角)就为点A处的内角口,即BtACl= 口.

引理设单位球面上n边形(n?2)的 个内角的弧度分别为】,n2,…,口,球面的 面积为w,则n个内角之和为

月

=

(n一2)+,(n?2).

引理的证明可以利用数学归纳法给出 X

图8球而角图9球面投影

证法三在凸多面体P的内部取一点 0,以0为球心作一单位球面s,于是P的表 面上任一点与球心决定以O为端点的射 线.该射线与球面s相交且只有一个交点r, 于是'与建立了一一对应,称为球面投 影.称为_Y的投影象或象.这种投影将P 的边形投影到球面n边形,P上F个面,E 条棱,V个顶点投影到球面上就有F个球面 多边形,条棱,V个顶点(如图9).

设第个球面多边形是边形,它有

个内角口J.,,一,,面积为叶,则

=

(一2).=12一,F

将上述F个不等式相加得

,,篇)((一))

=?一2所+?.

左边等于V个顶点的周角之和,即为 2.

而?是F个球面多边形边数的总和,但 J=I

每条棱都计算了两次,所以?=2E,而 =】

?=4,所以2zrV=2碰一2+4,即

】

—

E+F=2.

在介绍证法四之前,我们引人立体角的 概念.立体角是指过一顶点所作三个或三个 以上不同平面角围成的角,如图10为三个平 面角组成的立体角,用0一船C记.立体角 的每个平面角是用有关平面和以0为中心 的单位球面的交圆弧船,AC,BC来度量,即 c=AOB,6=AOC,a=BOC,而立体

角的大小是用单位球面所截下的球面多边形 的面积来度量,即0一佃=S,a.4Be,但 S?埘口+卢+y一.

O

囝10围1I

立体角的补立体角定义:设fJ一舳c为 立体角.平面OAB上OC,C位于C关于 OAB的反对一侧,OBC上OA,OCA上OB ...

.

_/

1998年第5期湖南数学通讯I3 (口'.A与C相同)则立体角D—AC称为 立体角D一c的补立体角(如图I1).一 BOC:口.AOB=c,COA= b;?,b,c分别与A,B,C互为补角, 即

A+0=B+b:C+c:.

0+A:b+B=c+C:.

设立体角D一舳,D—A的大小

它们是球面三角形ABC, 分别为和,

AC的面积,则

M:A+B+C一:2一(口+b+c) M:A+B+C一:2一(a+b+c) 即一个立体角的补角等于2,r与它的平 面角之和的差,由于凸多边形的外角和等于 2,可推广有结论,凸多面体的补立体角之 和等于4tr.

证法四对于凸多面体P,为立体角 的个数.F为面的个数,R为平面角,?为平 面角之和,?={.对于P的各个立体角,它 的补立体角等于2减去它的所有平面角之 和,将P的所有补立体角相加得?=4tr=

2trV一?,即8A:4V一?.所-Z:4V一8. 设第个面的平面角的个数为;则该

面的内角之和为(啦一2),即(2一4)?.共 有F个面,所以全部平面角之和.

f

?:2?m?一4FA.

rI

f

又R:?n,,所以

J=】

1,,

?=(2R一4F)/\.即R=专(4F+丢)

1

:

{(4F+4V一8)=2+2一4,设多面体

由于每个平面角由两条棱组成, 的棱数为,

每条棱的两端点又是立体角的顶点.于是每 条棱计算了4次,所以2R:4E.故2E:2F +2V一4.即一E+F:2.

参考,文献

[I]江泽涵.多面体的欧拉定理和闭曲面的拓扑分 类.人民教育出版社,1964年

[2]苏步青.拓扑学初步复旦大学出版社,1986年 [3]王敬庚.直观拓扑选.北京师范大学参考资料. [4]现代数学讲座.湖南教育出版社,1990年 [5)裘光明译.拓扑学奇趣.北京大学出版社,1987年 几个动点类帕三角形.不等式

刘健

(江西南昌华东交通大学330013)

1995年,作者在文献[1]中建立了下述 三角形不等式:设任一点P至AABC三顶点 ^.口,C的距离分别为Rl,R2.,则

++?-?+^^+^^+h

其中k.,分别为AABC的边a,b,c上 的高线.

不等式(I)实际上等价于

RlR2

百

+?1(2)?JL

注意到sinB+sinC~<2?要等,上式启发作 者发现了下述更强的不等式:

定理1对任意AABC与任一点P有 L+—R—2AB+—C?2(3).l.…

.

等号当且仅当/\ABC为正三角形且P为其

范文二：多面体欧拉定理

欧拉定理

定理 简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系

V+F-E=2

公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

定理的证明

分析:以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变(这里F1=F-1)。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明:V+F1-E=1

(1)去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变

(2)再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，

V+F1-E=2-0-1=1，

所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

定理的意义

(1)数学规律:公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律;

(2)思想方法创新训练:在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸;在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形(立体图?平面图)。

(3)引入拓扑新学科:“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域:拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

(4)给出多面体分类方法:

在欧拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，

所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

欧拉定理又一证法

如图(1)多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，如图(2)

我们在两个图中求所有面的内角总和Σα

一方面，在图(1)中利用面求内角总和。

设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，

各面的内角总和为:

Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800]

= (n1+n2+…+nF -2F) ?1800

=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 (1)

另一方面，在图(2)的拉开图中，利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)?1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在

边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)?3600，边上的n个顶点处的

内角和(n-2)?1800。所以，多面体所有各面的内角和为:

Σα = (V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800=(V-2)?3600. (2)

由(1)(2)得

(E-F) ?3600 =(V-2)?3600

所以 V+F-E=2.

简单多面体

表面经过连续变形可以变为球面的多面体叫做简单多面体

范文三：多面体欧拉定理

假如我是欧拉??

——多面体欧拉定理的发现

一、教学目的

1、 了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。

2、 进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象； 3、 通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力； 4、 让学生再次体验几何体的美；

5、 在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。

二、教学重点

1、 体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面； 2、 让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。

三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。

四、教学过程

1

2

t

3

教案设计说明

南宁二中 黄江兰

本节课设计为“研究性学习课题”。以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。

本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。

在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。 在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。最后问题四的解决，使学生对整个过程进行一个回顾，进行反思和总结，老师对学生的反思总结进行整理和升华，让学生意识到学习中反思和总结的重要性，并最终体会到自主学习的重要性。

4

范文四：多面体欧拉定理

多面体欧拉定理

?????

.

!!:;ii;:iiiiii~iiii:=l?._童??囊

!

.

:;il_…:多面体欧拉定理?_._=_叠??薯_?叠.一_囊.一0.叠一誓?

表面充气成球面,

欧拉大师做贡献;

点1线2面为3,

点面去线等于2.

说明:第一句指的是欧拉定理(V"t-F—E=2) 的适用范围:表面经连续变形能成为球面的多面 体;第三句中的点指的是顶点(记为1),线指的是 棱(因棱有两个端点而记为2),面指的是多面体 的面(因不共线三点确定一个面而记为3);第四 句是指欧拉定理"顶点数+面数一棱数=2"可简 记为"1+3—2=2"(此等式易记难忘!). 孙伯友提供(湖南邵阳市二中422000) ~ii!iiiii::i;i!::i::i?.誓ll_..:董摹_?Z

lll趣一说函数?____置

?.?:

函数是一种特殊的映射,当A,B是非空的数 的集合时,映射f:AB就叫做从A到B的函数, 记作Y=f(x),其中x?A,Y?B.

解析式Y=厂()表示,对于集合A中的任意 一

个,在对应法则厂的作用下,即可得到Y,因 此,厂是使"对应"得以实现的方式和途径,是联系 与Y的纽带,从而是函数的核心.厂可用一个或 多个解析式来表示,也可以用数表或图象等其他 方式表示.

原象集合A叫函数f(x)的定义域,象集合C 叫函数f(x)的值域,很明显CC_B. "函数"概念是初中和高中阶段的重点和难 点,有不少的同学直到高三也不能深刻理解这一 概念.原因在于这一概念的抽象性,如果把"函数" 与我们实际生活结合起来,同学们学起来就会觉 得既有意义又容易理解和运用.

1函数是个"信使"

"函"字本身就有"信件"之意,每封信都是由 邮递员按地址投递到不同的地方,每封信上都写 有确定的地址,不能含混不清.同样,"函数"也是 这样,每个自变量都要按一定的对应法则与确 定的y一一对应.自变量就是"一封信",它被 "对应法则"这个信使送到确定的"收信人"—— 手里.

2函数是个"产品加工厂"

工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函 数就是把自变量按规格——"对应法则""加工" 成不同产品——.它也象个"数字发生器"把原料 ——

自变量,投入不同的"数字发生器"——"对 应法则"就会得到不同的产物——因变量y. 3函数是个"无能的射手"

有本领的射手可以"一箭双雕",可函数不行,

有可能射不中目标,但它能多箭一雕.正如,由数 集A到数集B的映射中,B中每个元素必有原 象,也可有多个原象.A中元素在B中可以没有 象.

4函数是"封建社会的婚姻"

在封建社会,流传着"好女不嫁二夫",但"一 夫可多妻".同样函数中多个自变量可对应一个 函数值y,但是一个"妇女"——自变量不能找 多个"婆家"——值.在现代社会是"一夫一妻" 制,这正如有反函数的函数与y之间必须是一 一

对应的.

有了上面的解释,你对"函数"这个概念是否 更加了解了呢?其实,只要我们对数学产生了兴 ?趣,能经常和我们的生活联系在一起,就易学多 了.

刘玉兰提供(河北省南皮县第一中学

061500)

范文五：多面体欧拉定理5

多面体欧拉定理的发现

温州中学 黄 振

【教学背景】

数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。本节课试图在这一方面做一个尝试。

【教学目标】

1. 知识目标

了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。

2. 能力目标

①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。 ②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。

③发展学生的创新意识和创新能力。

3. 情感目标

① 以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

② 体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】欧拉定理的发现和证明。

【教学难点】欧拉定理的证明。

【教学设计】

一.创设情境，提出问题

播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗?

（设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。）

二.探究猜想，导入定理

多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。

首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。教师在学生发表自己的看法的基础上举例（如下图），随着图形由简到繁，从熟悉到不熟悉，引导学生继续思考，得出规律。

（1）（2）

（3）（4）（5）

式子V+F-E＝2是否对所有的多面体都成立？继续让学生思考、讨论（寻找使上式不成立的多面体），然后汇报交流结果。

如果学生不能发现时，我们可以引导学生观察图（5），将中间的锥体的顶点向下拖动， 当顶点在棱柱的外面，此时就象在棱柱中挖去了一个“孔”，此时式子V+F-E＝2是否成立？（如下图，用多媒体演示图形变化过程）。

（5）（6）（7）

使式子不成立的多面体还有吗？（举例）

（8）（9）

这些多面体与前面的有什么不同呢？学生思考后回答，教师提炼概括：考虑一个多面 体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

而图（8）、（9）中的多面体的表面经过连续变形后，得到的是下列的图形

通过探究，学生自然而然就得到了欧拉定理：

一般地，简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有关系V+F-E=2。（其关系式叫做欧拉公式）

（设计意图：通过构建问题情境，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法，去发现公式。根据从简单到复杂的认知规律，通过多面体的连续变形，使学生体验到知识的形成过程的一波三折和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内趋力。）

三.认识欧拉，激发兴趣

利用多媒体展示欧拉的生平事迹，教师解说。

欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式。

（设计意图：通过介绍数学家的生平事迹，鼓励学生学习他们刻苦钻研的精神，激发学习兴趣。）

四.构建平台，证明定理

仅在教师的引导下进行探究式学习还是不够的，研究性学习强调的是通过学生的自主活动，由学生自行设计并控制整个学习过程，从中培养学生的创新精神和实践能力。如何构建合适的数学平台，让学生在上面探索欧拉定理的证明，是本节课的重点和难点。 我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数和边数相等，在下图中的三角形BCD中V+F-E=？若在△BCD中取点A，连接AB、AC、AD，V+F-E相应有什么变化?

CC

下面请同学们找一找，在平面图形中，V、F、E有什么关系？

学生分小组讨论，教师参与。

学生结论预测：

① 图形中每增加一个顶点，相应增加三条棱和两个面；

② 图形中每减少一个顶点，相应减少三条棱和两个面；

③ 图形中每减少一条棱，相应就减少一个面；

④ 图形中每增加一个面，相应增加一个顶点和两条棱。

CCC ⑤ 图形中的棱逐条减少，最后将只剩下一条线段；

⑥ 对于任意一个平面图形，将棱逐条减少，最后都只剩下一条线段，始终有V+F-E=1。

C

CA

得出结论：在平面图形中，始终有V+F-E=1成立。那么在空间图形中呢？

认识的过程总是从简单到复杂，请同学们证一证，在最简单的多面体——四面体中的欧拉公式。

学生个别学习，并分小组交流讨论，然后派代表发言。

学生的证明中可能出现没有将面BCD去掉，直接压成平面图形，如果这样做将在下一步证明时，会使V+F-E的值产生变化，从而得不到结果。教师在点评时必须要指出从立体到平面时，要注意面数的变化。

最后教师归纳总结，得出证明：

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形，只需证明：V+F1-E=1

B

CD

（1） 去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面

ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变

B

CB

（2） 再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如

去掉CA，就减少一个顶点C。同理去掉AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

B

BC

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，

V+F1-E=2-0-1=1，

所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

（设计意图：欧拉定理的证明是本节课的重点和难点。空间问题平面化这一转化思想是解决空间问题常用的方法，通过引导学生分析平面图形中的点、线、面的关系，抓住变形中的不变量，再让他们去自主探究简单多面体中的欧拉公式。整个公式的证明过程自然，真正体现学生的自主探究，既反映了数学发展的规律，又反映了学生的认知规律。如果学生提出其他证法，可以在讨论、辨别后作出评价。）

五.总结反思，深化认识

今天我们通过发现——猜想——再发现——得出完善的猜想——证明，再现了数学家欧拉得出公式的过程，过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：

B

CD

（1） 去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面

ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变

B

CB

（2） 再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如

去掉CA，就减少一个顶点C。同理去掉AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

B

BC

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，

V+F1-E=2-0-1=1，

所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

（设计意图：欧拉定理的证明是本节课的重点和难点。空间问题平面化这一转化思想是解决空间问题常用的方法，通过引导学生分析平面图形中的点、线、面的关系，抓住变形中的不变量，再让他们去自主探究简单多面体中的欧拉公式。整个公式的证明过程自然，真正体现学生的自主探究，既反映了数学发展的规律，又反映了学生的认知规律。如果学生提出其他证法，可以在讨论、辨别后作出评价。）

五.总结反思，深化认识

今天我们通过发现——猜想——再发现——得出完善的猜想——证明，再现了数学家欧拉得出公式的过程，过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：

拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮泥）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

欧拉定理向我们展示了数学的简洁和优美，几年前读过一篇数学小品文《“选美”的故事》，文中提到1998年David Wells在《The mathematical Intelligencer》(vol.10 No.4 p.30)针对数学界发出问卷，评选最优美的数学定理。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明、最优美、最深刻的数学定理让许多大数学家打分，最后，根据统计结果，公布了数学家心目中认为最美丽的数学定理。欧拉定理被评为第二名。

六.布置作业，延续探究

课后请同学们分小组研究：

① 简单多面体欧拉定理还有其他的证法吗？

② 充气后，表面经过连续变形能够变为环面的多面体，它的V+F-E有没有规律？

如果有，是什么？

③ 课本中C60的结构与足球有什么关系？试着研究C60分子中的面数、顶点数、棱

数。

（设计意图：使学生意会数学与自然和社会的联系，懂得数学的价值，增强“用数学”的意识，体验模型化思想，培养创新精神和实践能力。）

【教学反思】

新课程标准指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”教师要从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；要从教室空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换。研究性课题编入教材，使中学数学课程改革的一项重要举措。与原来的课程比较，研究性学习突出的是实践性、开发性、自主性和过程性。即通过研究性课题的教学，培养学生不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。如何使用本节内容，引导学生进行探索、发现和证明的课堂教学，是本案例设计的重点和难点。本文通过两次创建数学情景，一是由足球的表面问题引导学生去发现欧拉公式；一是通过设问，引发学生探究平面图形中的点、线、面的关系，延伸到探求简单多面体中公式的证明。能够完全放手让学生自主研究，充分体现了学生的“主人”地位，展示了一个生动活泼的、主动的和富有个性的数学学习活动的过程。

附：欧拉定理又一证法

如图（1）多面体，

设顶点数V， 面数F， D1 D 棱数E。剪掉一个面，E E

将其余的面拉平，使它 D D1

变为平面图形，如图A 1 C 1C

（2） 1 1

我们在两个图中求 E A

所有面的内角总和Σα B 一方面，在图（1） 图（1） 图（2）

中利用面求内角总和。

设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，

各面的内角总和为：

Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800

=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）

另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体所有各面的内角和为：

Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）

由（1）（2）得

(E-F) ·3600 =（V-2）·3600

所以 V+F-E=2.

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