用戸110
范文一：利用导数求函数值域
利用导数求函数最值
高二 苏庭
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
导数应用主要有以下三个方面:
?运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，
?利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P(x0 , y0)处的切线斜率。
由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值(在设变量时可采用直接法也可采用间接法(
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。
运用导数确定函数单调区间的一般步骤为:
(1)求出函数y=f(x)的导函数;
(2)在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间;解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析
例1、 求函数的值域.
分析:
求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解.
解答:
函数的定义域由求得，即x?,2.
当x>,2时，y′>0，即函数，在(,2，，?)上是增函数，又f(,2)=,1，? 所求函数的值域为[,1，，?). 点评:
(1)从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.
(2)求值域时，当x=,2，函数不可导，但函数 在[,2，，?)上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=,2时，取得最小值.
例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少,
分析:建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值( 解答:设一段长为xcm，则另一段长(16,x)cm(
?面积和
?S′,,2，令S′,0有x,8(
列表:
x (0，8) 8 (8，16)
S′ , 0 ，
2 ?当x,8时，S有最小值8cm(
点评: 这是解实际应用题的一般方法(先构造函数关系，再求满足条件的解，极值或最值(
2例3、如图所示，在二次函数f(x)=4x-x的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。
解析:设点B的坐标为(x,0)且0<><2,>
2 ?f(x)=4x-x图象的对称轴为x=2, ?点C的坐标为(4-x,0),
2 ? |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x。
223 ?矩形面积为y=(4-2x)(4x-x)=16x-12x+2x
22 y'=16-24x+6x=2(3x-12x+8)
令y'=0，解得，? 0<><2, 。="">
?极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值
范文二：利用导数求函数极值
考点40 利用导数求函数最值
1. （13课标ⅠT20）（本小题满分共12分）
已知函数f (x ) =e (ax +b ) -x -4x ，曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处切线方程为y =4x +4. （Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）讨论f (x ) 的单调性，并求f (x ) 的极大值.
【测量目标】导数的几何意义、利用导数求函数极值.
【考查方式】已知函数式，利用已知点处的切线方程求解原函数关系式中未知字母，利用函数的导数确定函数的单调性和极值.
【试题解析】（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数、极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值. 解：（1）f '(x ) =e x (ax +a +b ) -2x -4. （步骤1）
由已知得f (0)=4, f '(0)=4. 故b =4, a +b =8.
从而a =4, b =4. （步骤2）
（2）由（1）知，f (x ) =4e (x +1) -x -4x , x 2x 2
1f '(x ) =4e x (x +2) -2x -4=4(x +2)(ex -). （步骤3） 2
令f '(x ) =0, 得x =-ln 2或x =-2. （步骤4）
从而当x ∈(-∞, -2) (-ln 2, +∞) 时，f '(x ) >0;
当x ∈(-2, -ln 2) 时，f '(x ）?0. （步骤5）
故f (x ) 在(-∞, -2),(-ln 2, +∞) 上单调递增，在(-2, -ln 2) 上单调递减.
-2当x =-2时，函数f (x ) 取得极大值，极大值为f (-2) =4(1-e ). （步骤6）
2. （13福建T12）设函数f (x ) 的定义域为R ，x 0(x 0≠0) 是f (x ) 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）
A ．?x ∈R , f (x ) ≤f (x 0) B ．-x 0是f (-x ) 的极小值点
C ．-x 0是-f (x ) 的极小值点 D ．-x 0是-f (-x ) 的极小值点
【测量目标】利用导数研究函数的极值问题．
【考查方式】列出符合题目所给条件函数，通过导数求解函数的极值判定正确的选项．
【参考答案】D
x ) 3=(x (1) -1) x +【试题解析】不妨取函数f (x ) =x 3-3x ，则f '(
的极大值点，但显然f (x 0) 不是最大值，故排除A ；（步骤1） ，易判断x 0=-1为f (x )
因为f (-x ) =-x 3+3x , f '(-x ) =-3(x +1)(x -1) ，易知，-x 0=1为-f (x ) 的极大值点，故排除B ；（步骤2）
又-f (x ) =-x +3x , [-f (x ) ]'=-3(x +1)(x -1) ，易知，-x 0=1为-f (x ) 的极大值点，故3
排除C ；（步骤3）
∵-f (-x ) 的图象与f (x ) 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得-x 0应为函数-f (-x ) 的极小值点．故D 正确．（步骤4）
3. （13课标Ⅱ21）(本小题满分12分)
己知函数f (x ) = x 2e -x
（1）求f (x ) 的极小值和极大值；
（2）当曲线y = f (x ) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围.
【测量目标】利用导数求函数的极值，导数的几何意义.
【考查方式】给定函数f (x )，用导数判断函数的极大值和最大值.
【试题解析】（1）先求出f (x )导数，然后求出极限点，再求出极值. （2）设出切点，然后运用基本不等式求出截距的取值范围.
解：（1）f (x ) 的定义域为(-∞, +∞), f '(x )=-e x (x -2). 当x ∈(-∞,0)或x ∈(2, +∞)时，-x
f '(x )<0; 当x="" ∈(0,2)时，f="" '(x="" )="">0. 所以f （x ）在(-∞,0), 2(, +∞
上单调递减. (步骤1) )上单调递减，在（0,2）
故当x =0时，f （x ）取得极小值，极小值为f （0）=0；当x =2时，f （x ）取得极大值，极大值为f （2）=4e . (步骤2) -2
(2)设切点为（t ，f （t ）），则l 的方程为y =f '(t )(x -t )+f (t ). 所以l 在x 轴的截距为m (t )=t -f (t )t 2=t +=t -2++3. (步骤3) 'f t t -2t -2
2(x ≠0), 则当x 由已知和f '(x )=-e -x x (x -2)得t ∈(-∞,0) (2, +∞). 令h (x )=x +
x ∈(0, +∞)时，h （x
）的取值范围为??+∞; 当x ∈(-∞, -2)时，h （x ）的取值范围是)
(-∞, -3). (步骤4)
所以当t ∈(-∞,0) (2, +∞)时，m （t ）的取值范围是(
-∞,0) ?3, +∞. ?)综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(
-∞,0) ?3, +∞. (步骤5) ?)
范文三：【doc】巧用导数求函数值域
巧用导数求函数值域
P,lJ列午从第k站出发时,邮政午Jl柑内共有
邮袋数kn—k(k:1,2,…,n)个.
(2)a:-(k—n/2)+n/4,
1n为偶数时,k:n/2时,最大值是n/4;
1n为奇数时,k=(一1)/2或k=(+1)/2
时,最大值是(n一11/4.
所以,?n为偶数时,第n/2站的邮袋数
最多,最多是n/4个;
:1n为奇数时,第(一1)/2站或第(+1)/2
站的邮袋数最多,最多是(n一1)/4个.
上述两道例题分别是解几与三角,代数
的综合题.对于例4,解题时要有化_{思想,要
有辩证思维.恰I,转化问题,逐步逼近目标:及
时修正方向,力求少止弯路.对于例5,解题时
无法套用已知的模式,I能具体问题其体分
析,面埘陌生的问题与题,应多角度观察思
考,以设定切入点.从实际出发,轻易放弃分
析审读时所产生的符种想法,把握住种相
关的数晕或实际要素之问的有用的关系,并
加以深化和推进.
无数字的数学应用题,往往是经过简化
或近似处理后的实际问题,与纯数学题的着
距有的较近,有的较远,建立数学模的关键,
就是准确分析问题中的有关的数晕联系与图
形关系,采用数学的方法加以反映,表述为数
学问题,
无数宁,宁母的应用题提供给我们的往
往是模糊的实际课题,需要我们应用数学的
T具,观点和策略,组织被感知的现实,将实际
问题,情境或事物”数学化”,”结构化”,”程
序化”,这就是无数宁的应用题的建模思路;
对同一问题设汁的数学模往往唯一,借
助同一模型又能解决同的问题,体现了无
数宁的应用题的条件,结论与建模思路的开
放性.冈此,解决这类问题,对激发,培养学生
的创新精神,实践能力和适应社会生活的能
力卜分有益.
参考文献
【11陈烽.两道高考数学用题的启示.中困考试,
2003,1
【21曾克叫.数学建模嘲页.数学建模专.
?
24?
巧用导数求函数值域
镉矬水备第一中学刘奕忠
函数的值域是全体函数值所成的集合,
它取决于定义域和埘应法则,求值域的主要
方法有:定义法,方法,换元法,判别式法,
反函数法,等式法,三角代换法,数形结
合法,利用函数的单调性,导数法等,而导数
法是利用导数公式及其运算法则求函数最值,
并结合函数的极限来求函数值域的方法,此
法求值域往往是较简捷的方法之一.
例1求函数Y:2,,Ix+1+46一X的值域.
分析先求函数的定义域为[_1,6],注意
到(+1):+(?6一)=7,可采用三角代换法
或数形结合法.然而,要发现(4x+1)+
(?6一):7埘有的学生来说并非易事,若考
虑导数法,借助函数的单调性,最值来求值域,
显然较为简捷.
设f(x):2,,Ix+1+?6一,?[-1,6],贝0
令厂l(+10,得詈,又
/’():?35,厂(一1)=?7,厂(6)=2x/7,所以函
)
数的值域为[?7,435],
根据闭【又=问上的连续函数必有最大值与
最小值定理可知,定义域为闭间的可导函
数均可用导数法卣接求其值域,如果定义域
为开【又=问或半不半闭【又=问,那么可再借用函
数极限进一步来求函数的值域.
例2求函数Y:.4x+
_
3的值域,
X’+1
分析此类问题常用判别武法求解,将函
数化为方程一4+Y一3:0,再分Y:0,
v?0讨论,若用导数法巳lJ可避免分类讨论,还
可较易作出函数的图象来进一步研究该函数
的其它问题.
设厂(x)::4x+3
,则函数的定义域为
(一?,+?),令厂’()=二兰=0,得
=一
2或=1/2,所以=一2时,f(x)有极
小值为厂(一2)=一1;=1/2时,f(x)有极大
值为f(1/2):4,又lim():hrn兰尝:0,
冈此函数的值域为[一l,4].
该函数的图象
大致如右图所示,借
助图象我们还可进
一
步研究函数的其
它性质等问题.
y木
}
例3求Y=+?2一1的值域.
分析此类题型常用换元法或判别式法
求解,而用导数法更简捷..
冈为Y’=1+1/?2一1在函数定义域
[1/2,+?)上恒为正,所以函数Y=+?2一1
在其定义域【1/2,+?)上单调递增,冈此函数
的值域为[1/2,+?).
对于有些复合函数,直接求导,求导过程
较繁,可先换元再用求导.
例4求函数Y=9+4×3+5(x?【l,2])
的值域.
解设3=f,f?[3,9]贝0Y=f+4f+5,冈
为Y’=2t+4在t?【3,9]上恒为正,所以函数
Y=t+4t+5的值域为[26,122],即原函数的
值域为[26,1221.
对于解决某些实际问题,用导数法求值
域或最值,还可最大程度地减少运算景.
例5如图,某海滨浴
场的岸边可近似地看作
一
条直线,救生员在岸边
的处,发现海中B处
(ZBAD=45.)有人求救,
救生员没有直接从处ACD
游向处,而是沿岸边跑到离最近的D
处(BD=300米),然后游向B处.若救生员在岸
边的行进速度为6米/秒,在海水中行进速度
为2米/秒.
(1)分析救生员的选择是台正确:
(2)在AD上找一处C,使救生员从到
时问最短,并求出最短时间.
分析(1到的时问=15045秒到
D再山D到B的时问t2:+:200秒.
62
冈t2<,故救生员的选择是正确的.
(2)设救生员从A到时问为f秒,在AD
上找一处C的变晕设法一般采用设CD为
米或设CD=.
菪设CD为x,则f:—300—
-
x+—x/3002
—
+x2
.
62
?[0,300],如果用判别式法求其最值,显然
运算晕较大,学生常常望而却步:如果用导数
法求其最值,那么运算过程可得到较大的简
lv
化.令t’=一+—一=0,得=7545,
624300+x
冈函数fI有一个极值,故,l1=75?2时,f有
最小值,所以最短时间为(50+10045)秒.
~ZBCD三,
则f:—300-30—
0cota
+.
62sin
令ft:?50(1-3cosa):
0.
sin’
.
得COS6~:1/3.
冈函数t只有一个极值,故COSa=1/3
时,t有最小值,此时CD=BCcosa=300cota
=
75.,/2,所以最短时问为(50+10045)秒.
总之,利用导数,结合函数极限求值域的
方法,不仅具有通用的优越性,可最大程度地
减少运算晕,而且很容易作出函数的图象,有
利于我们进一步研究该函数的其它问题.
?25?
范文四：利用导数求函数的极值
利用导数求函数的极值
例 求下列函数的极值：
1．f (x ) =x 3-12x ；2．f (x ) =x 2e -x ；3．f (x ) =2x -2. x 2+1
分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f '(x ) =0求出在函数f (x ) 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
解：1．函数定义域为R ．f '(x ) =3x 2-12=3(x +2)(x -2).
令f '(x ) =0，得x =±2．
当x >2或x <-2时，f '(x="" )="">0，
∴函数在(-∞, -2)和(2, +∞)上是增函数；
当-2
∴函数在（－2，2）上是减函数．
∴当x =-2时，函数有极大值f (-2) =16，
当x =2时，函数有极小值f (2) =-16.
2．函数定义域为R ．f '(x )=2xe -x -x 2e -x=x (2-x ) e -x
令f '(x ) =0，得x =0或x =2．
当x <0或x>2时，f '(x ) <>
∴函数f (x ) 在(-∞, 0)和(2, +∞)上是减函数；
当0
∴函数f (x ) 在（0，2）上是增函数．
∴当x =0时，函数取得极小值f (0) =0，
当x =2时，函数取得极大值f (2) =4e ．
3．函数的定义域为R ． -2
2(1+x 2) -2x ?2x 2(1-x )(1+x ) f '(x )==. 2222(x +1) (x +1)
令f '(x ) =0，得x =±1．
当x <-1或x>1时，f '(x ) <>
∴函数f (x ) 在(-∞, -1)和(1, +∞)上是减函数；
当-1
∴函数f (x ) 在（－1，1）上是增函数．
∴当x =-1时，函数取得极小值f (-1) =-3，
当x =1时，函数取得极大值f (1) =-1.
说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意f '(x 0)=0只是函数f (x ) 在x 0处有极值的必要条件，如果再加之x 0附近导数的符号相反，才能断定函数在x 0处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．
复杂函数的极值
例 求下列函数的极值：
21．f (x ) =x 2(x -5) ；2．f (x ) =x -x -6.
分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数f (x ) 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数f (x ) 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．
解：1．f '(x ) =2
3x (x -5) +x 2=2(x -5) +3x 5(x -2) =. 3x 3x
令f '(x ) =0，解得x =2，但x =0也可能是极值点．
当x <0或x>2时，f '(x ) >0，
∴函数f (x ) 在(-∞, 0)和(2, +∞)上是增函数；
当0
∴函数f (x ) 在（0，2）上是减函数．
∴当x =0时，函数取得极大值f (0) =0，
当x =2时，函数取得极小值f (2) =-4．
2??x -x -6, (x ≤-2或x ≥3), 2．f (x ) ?2 ??-x +x +6, (-2
?2x -1, (x <-2或x>3), ?∴f '(x ) ?-2x +1, (-2
?不存在, (x =-2或x =3). ?
令f '(x ) =0，得x =
当x <-2或1．>
∴函数f (x ) 在(-∞, -2)和 , 3?上是减函数；
当x >3或-2
∴函数f (x ) 在(3, +∞)和 -2, ?上是增函数．
∴当x =-2和x =3时，函数f (x ) 有极小值0， 当x =??1?2?125时，函数有极大值． 24
说明：在确定极值时，只讨论满足f '(x 0) =0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中x =0处，2中x =-2及x =3处函数都不可导，但f '(x ) 在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f (x ) 在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．
根据函数的极值确定参数的值
32例 已知f (x ) =ax +bx +cx (a ≠0) 在x =±1时取得极值，且f (1) =-1．
1．试求常数a 、b 、c 的值；
2．试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．
分析：考察函数f (x ) 是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f '(x ) =0的根建立起由极值点x =±1所确定的相关等
式，运用待定系数法求出参数a 、b 、c 的值．
解：1．解法一：f '(x ) =3ax 2+2bx +c ．
x =±1是函数f (x ) 的极值点，
2∴x =±1是方程f '(x ) =0，即3ax +2bx +c =0的两根，
由根与系数的关系，得
?2b -=0, （1）??3a ?c ?=-1, （2）??3a
又f (1) =-1，∴a +b +c =-1， （3）
由（1）、（2）、（3）解得a =13, b =0, c =-． 22
解法二：由f '(-1) =f '(1) =0得
3a +2b +c =0， （1）
3a -2b +c =0 （2）
又f (1) =-1，∴a +b +c =-1， （3）
13, b =0, c =-． 22
13332332．f (x ) =x -x ，∴f '(x ) =x -=(x -1)(x +1). 22222解（1）、（2）、（3）得a =
当x <-1或x>1时，f '(x ) >0，当-1
∴函数f (x ) 在(-∞, -1)和(1, +∞)上是增函数，在（－1，1）上是减函数．
∴当x =-1时，函数取得极大值f (-1) =1，
当x =1时，函数取得极小值f (1) =-1．
说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用f '(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．
当x >2或x <-2时，f '(x="" )="">0，
∴函数在(-∞, -2)和(2, +∞)上是增函数；
当-2
∴函数在（－2，2）上是减函数．
∴当x =-2时，函数有极大值f (-2) =16，
当x =2时，函数有极小值f (2) =-16.
2．函数定义域为R ．f '(x )=2xe -x -x 2e -x=x (2-x ) e -x
令f '(x ) =0，得x =0或x =2．
当x <0或x>2时，f '(x ) <>
∴函数f (x ) 在(-∞, 0)和(2, +∞)上是减函数；
当0
∴函数f (x ) 在（0，2）上是增函数．
∴当x =0时，函数取得极小值f (0) =0，
当x =2时，函数取得极大值f (2) =4e -2．
3．函数的定义域为R ．
2(1+x 2) -2x ?2x 2(1-x )(1+x ) f '(x )==. 2222(x +1) (x +1)
令f '(x ) =0，得x =±1．
当x <-1或x>1时，f '(x ) <>
∴函数f (x ) 在(-∞, -1)和(1, +∞)上是减函数；
当-1
∴函数f (x ) 在（－1，1）上是增函数．
∴当x =-1时，函数取得极小值f (-1) =-3，
当x =1时，函数取得极大值f (1) =-1.
说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意f '(x 0)=0只是函数
如果再加之x 0附近导数的符号相反，才能断定函数在x 0处f (x ) 在x 0处有极值的必要条件，
取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．
利用导数求函数的单调区间
例 求下列函数的单调区间：
1．f (x ) =x 4-2x 2+3；
2．f (x ) =2x -x 2；
3．f (x ) =x +b (b >0). x
分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．
解：1．函数f (x ) 的定义域为R ，f '(x ) =x 4-4x =4(x -1)(x +1) x
令f '(x ) >0，得-1
∴函数f (x ) 的单调递增区间为（－1，0）和(1, +∞) ；
令f '(x ) <0，得x><>
∴函数f (x ) 的单调递减区间为(-∞, -1) 和（0，1）．
2．函数定义域为0≤x ≤2.
f '(x ) =(2x -x 2) '
22x -x 2=1-x 2x -x 2.
令f '(x ) >0，得0
∴函数f (x ) 的递增区间为（0，1）；
令f '(x ) <>
∴函数f (x ) 的单调递减区间为（1，2）．
3．函数定义域为x ≠0, f '(x ) =1-b 1=(x -b )(x +). 22x x
令f '(x ) >0，得x >或x <>
∴函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -b ) 和(b , +∞) ；
令f '(x ) <0，得-b>
∴函数f (x ) 的单调递减区间是(-, 0) 和(0, ) ．
说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f (x ) 的单调递增区间和递减区间分别写成(-1, 0) (1, +∞) 和(-∞, -1) (0, 1) 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．
求解析式并根据单调性确定参数
例 已知f (x ) =x 2+c ，且f [f (x )]=f (x 2+1).
1．设g (x ) =f [f (x )]，求g (x ) 的解析式；
2．设?(x ) =g (x ) -λf (x ) ，试问：是否存在实数λ，使?(x ) 在(-∞, -1)内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．
分析：根据题设条件可以求出?(x ) 的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数?(x ) 是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数λ的取值范围，使问题获解．
解：1．由题意得f [f (x )]=f (x +c ) =(x +c ) +c ， 222
f (x 2+1) =(x 2+1) 2+c . f [f (x )]=f (x 2+1) ，
∴(x +c ) +c =(x +1) +c , ∴x +c =x +1, ∴c =1.
∴f (x ) =x +1, g (x ) =f [f (x )]=f (x +1) =(x +1) +1.
2．?(x ) =g (x ) -λf (x ) =x +(2-λ) x +(2-λ) ．
若满足条件的λ存在，则?'(x ) =4x +2(2-λ) x .
∵函数?(x ) 在(-∞, -1)内是减函数，∴当x <-1时，?'(x )=""><>
即4x +2(2-λ) x <0对于x ∈(-∞,="" -1)="">
∴2(2-λ) >-4x , ∴x <-1, ∴-4x=""><>
2233422222222222
∴2(2-λ) ≥-4，解得λ≤4．
又函数?(x ) 在（－1，0）上是增函数，∴当-1
即4x 3+2(2-λ) x >0对于x ∈(-1, 0) 恒成立，
∴2(2-λ) <-4x 2,="">
∴2(2-λ) ≤-4，解得λ≥4．
故当λ=4时，?(x ) 在(-∞, -1)上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的λ存在．
说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f (x ) a 恒成立?[f (x )]min >a ，究其原因是对函数的思想方法理解不深．
利用导数比较大小
例 已知a 、b 为实数，且b >a >e ，其中e 为自然对数的底，求证：a >b ．
分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f (x ) >g (x ), x ∈(a , b ) ，可以等价转化为证明F (x ) =f (x ) -g (x ) >0，如果b a F '(x )>0，则函数F (x ) 在(a , b ) 上是增函数，如果F (a ) ≥0，由增函数的定义可知，当x ∈(a , b ) 时，有F (x ) >0，即f (x ) >g (x ) ．
解：证法一：
b >a >e ，∴要证a b >b a ，只要证b ln a >a ln b ，
设f (b ) =b ln a -a ln b (b >e ) ，则f '(b ) =ln a -a ． b
b >a >e ，∴ln a >1，且a <1，∴f '(b="" )="">0. b
∴函数f (b ) =b ?ln a -a ln b 在(e , +∞) 上是增函数．
∴f (b ) >f (a ) =a ln a -a ln a =0，即b ln a -a ln b >0，
∴b ln a >a ln b , ∴a b >b a .
证法二：要证a >b ，只要证b ?ln a >a ln b (e (x >e ) ，则f '(x ) =<0， ，设f="" (x="" )="a" b="" x="" x="">
∴函数f (x ) 在(e , +∞) 上是减函数．
又 e f (b ) ，即ln a ln b >, ∴a b >b a . a b
说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f '(x ) >g '(x ) ?f (x ) >g (x ) 的错误结论．
判断函数在给定区间上的单调性
例 函数y =log 1 1+?
2?1??在区间(0, +∞) 上是（ ） x ?
A ．增函数，且y >0 B ．减函数，且y >0
C ．增函数，且y <0 d="" ．减函数，且y=""><>
分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y 的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u =1+1，且x ∈(0, +∞), ∴u >1， x
则y =log 1u <0，排除a 、b="">
2
由复合函数的性质可知，u 在 (0, +∞) 上为减函数． 又y =log 1u 亦为减函数，故y =log 1 1+
2?2?1?排除D ，选C ． ?在 (0, +∞) 上为增函数，x ?
解法二：利用导数法
y '=1?1??log 1e ? -2?=log 2e >0 ?x ?x (1+x ) 21+x 1
（x ∈(0, +∞) ），故y 在(0, +∞) 上是增函数．
由解法一知y <0．所以选c>
说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．
利用公式2求函数的导数
例 求下列函数的导数：
1．y =x 12；2．y =1；3．y =x 3． 4x
分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数y =1和y =x 3的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用4x
幂函数的导数公式求导．
解：1．y '=(x 12) '=12x 12-1=12x 11.
2．y '=(x ) '=(-4) x
335-4-4-1=-4x -5=-324. x 53-13-33．y '=(x ) '=(x ) '=x 5=x 5=. 2555x
说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．
根据斜率求对应曲线的切线方程
例 求曲线y =2x -1的斜率等于4的切线方程．
分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．
解：设切点为P (x 0, y 0) ，则 2
y '=(2x 2-1) '=4x ，∴y 'x =x 0=4，即4x 0=4，∴x 0=1
当x 0=1时，y 0=1，故切点P 的坐标为（1，1）．
∴所求切线方程为y -1=4(x -1)
即4x -y -3=0.
说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．
求直线方程
例 求过曲线y =cos x 上点P ?π1?, ?且与过这点的切线垂直的直线方程． 3?2?
分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．
解： y =cos x ，∴y '=-sin x . 曲线在点P π3?π1?, ?处的切线斜率是y 'π=-sin =-. x =3232??3
2， ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为
∴所求的直线方程为y -12?π?= x -?， 23??
即2x -3y -2π+=0． 32
说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零，当y '=0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．
求曲线方程的交点处切线的夹角
例 设曲线y =11y =和曲线在它们的交点处的两切线的夹角为α，求ta n α的值． 2x x
分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可．
-2??y =x 解：联立两曲线方程?解得两曲线交点为（1，1）． -1??y =x
设两曲线在交点处的切线斜率分别为k 1、k 2，则
'2?1?k 1= 2?x =1=-3x =1=-2, x ?x ? '1?1?k 2= ?x =1=-2x =1=-1. x ?x ?
由两直线夹角公式
tan α=k 1-k 2-2-(-1) 1==. 1+k 1?k 21+(-2) ?(-1) 3
说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件，函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．
求常函数的导数
例 设y =π2，则y '等于（ ）
A ．2π B ．π C ．0 D ．以上都不是
分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可
解：因为π是常数，常数的导数为零，所以选C ．
2
根据条件确定函数的参数是否存在
x 2+ax +b 例 已知函数f (x ) =log 32，是否存在实数a 、b 、c ，使f (x ) 同时满足下x +cx +1
列三个条件：（1）定义域为R 的奇函数；（2）在[1, +∞)上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a 、b 、c ；若不存在，说明理由．
分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a 、b 、c 存在，然后用三个已给条件逐一确定a 、b 、c 的值．
解：f (x ) 是奇函数?f (0) =0?log 3b =0, ∴b =1.
x 2-ax +1x 2+ax +1=-log 32又 f (-x ) =-f (x ) ，即log 32， x -cx +1x +cx +1
x 2+1-ax x 2+1+cx =2?(x 2+1) 2-a 2x 2=(x 2+1) 2-c 2x 2． ∴2x +1-cx x +1+ax
∴a =c ?a =c 或a =-c ，但a =c 时，f (x ) =0，不合题意；故a =-c ．这时22
x 2-cx +1f (x ) =log 32在[1, +∞)上是增函数，且最大值是1． x +cx +1
x 2-cx +1设u (x ) =2在[1, +∞)上是增函数，且最大值是3． x +cx +1
(2x -c )(x 2+cx +1) -(2x +c )(x 2-cx +1) 2c (x 2-1) 2c (x +1)(x -1) u '(x ) ===(x 2+cx +1) 2(x 2+cx +1) 2(x 2+cx +1) 2
，当x >1时x 2-1>0?u '(x ) >0，故c >0；又当x <-1时，u '(x="" )="">0；当x ∈(-1, 1) 时，u '(x ) <>
故c >0，又当x <-1时，u '(x="" )="">0，当x ∈(-1, 1) 时，u '(x ) <>
所以u (x ) 在(-∞, -1) (1, +∞) 是增函数，在（－1，1）上是减函数．
又 x >1时，x 2-cx +1
以存在满足条件的a 、b 、c ，即a =-1, b =1, c =1.
说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义． 此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施．若用求导数的方法解决就迎刃而解．
因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法．切不可忘记．
供水站建在何处使水管费最少
例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C 的位置．
解：解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km，则
BD =40, AC =50-x , ∴BC =BD 2+CD 2=x 2+402又设总的水管费用为y 元，依题意有
y =3a (50-x ) +5a x 2+402(0
y '=-3a +5ax
x +4022．令y '=0，解得x =30.
在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x =30（km ）处取得最小值，此时AC =50-x =20（km ）．
∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省．
解法二：设∠BCD =θ，则BC =
∴AC =50-40?cot θ．
设总的水管费用为f (θ) ，依题意，有 40π, CD =40?cot θ, (0<><). sin="">
405-3cos θ=150a +40a ? sin θsin θ
(5-3cos θ) '?sin θ-(5-3cos θ) ?(sinθ) ''∴f (θ) =40a ? sin 2θ
3-5cos θ =40a ? 2sin θ
3令f '(θ) =0，得cos θ=． 5
3根据问题的实际意义，当cos θ=时，函数取得最小值，此时5
43sin θ=, ∴cot θ=, ∴AC =50-40cot θ=20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂54f (θ) =3a (50-40?cot θ) +5a ?
20km 处，可使水管费用最省．
说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．
运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有
利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．
利用导数求函数的最值
例 求下列函数的最值：
1．f (x ) =3x -x 3, (-≤x ≤3) ；
2．f (x ) =sin 2x -x , (-π
2≤x ≤π
2) ；
a 2b 2
+, (0
4．f (x ) =x +-x 2．
分析：函数f (x ) 在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间[a , b ]上函数的最值时，只需求出函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．
解：1．f '(x ) =3-3x 2，令f '(x ) =0，得x =±1，
∴f (1) =2, f (-1) =-2．又f (-) =0, f (3) =-18.
∴[f (x )]max =2, [f (x )]min =-18.
2．f '(x ) =2cos 2x -1，令f '(x ) =0，得x =±π
6， ∴f π?π?3π?π?-, f -?=-+， ?=626626????
又f π?π?π?π??=-, f -?=． 2?2?2?2?
π, [f (x )]min =-. 22∴[f (x )]max =π
a 2b 2b 2x 2-a 2(1-x ) 2
3．f '(x ) =-2+． =222x (1-x ) x (1-x )
2222令f '(x ) =0，即b x -a (1-x ) =0，解得x =a . a +b
a a
a ∴函数f (x ) 在点x =处取得极小值，也是最小值为 a +b 当0
?a ?22f ?=(a +b ) . 即[f (x )]min =(a +b ) ． ?a +b ?
4．函数定义域为-1≤x ≤1，当x ∈(-1, 1) 时，
f '(x ) =1-x
-x 2.
?2?2?=2， ，∴f ?2?2?令f '(x ) =0，解得x =
又f (-1) =-1, f (1) =1，∴[f (x )]max =2, [f (x )]min =-1.
说明：对于闭区间[a , b ]上的连续函数，如果在相应开区间(a , b ) 内可导，求[a , b ]上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．
求两变量乘积的最大值
例 已知x 、y 为正实数，且满足关系式x 2-2x +4y 2=0，求x ?y 的最大值．
分析：题中有两个变量x 和y ，首先应选择一个主要变量，将x 、y 表示为某一变量（x 或y 或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值．
解：解法一：4y =2x -x , y >0, ∴y =
∴x ?y =2212x -x 2， 21x 2x -x 2． 2
?x >0由?解得0
设f (x ) =xy =1x 2x -x 2(0
当0
x (3-2x )
22x -x 2 =．
令f '(x )=0，得x=3或x=0（舍）． 2
∴f ?=?3?
?2?333，又f (2) =0，∴函数f (x ) 的最大值为． 88
3． 8即x ?y 的最大值为
解法二：由x 2-2x +4y 2=0得(x -1) 2+4y 2=1(x >0, y >0) ， 1sin α(0<><π) ，="">
11∴x ?y =sin α(1+cos α) ，设f (α) =sin α(1+cos α) ， 22
12则f '(α) =-sin α+(1+cos α) ?cos α 2设x -1=cos α, y =[]
=11??(2cos 2α+cos α-1) =(cosα+1) cos α-?. 22??
1． 2令f '(α) =0，得cos α=-1或cos α=
0<><π, ∴α="">
3，此时x =33, y =. 24
∴f 33?π?3??π??=, ∴f =. ? ???88?3???3??max
3333, y =时，[x ?y ]max =. 248即当x =
说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．
直接利用导数的运算法则求导
例 求下列函数的导数：
1．y =x -3x -5x +6； 2．y =x ?tan x
3．y =(x +1)(x +2)(x +3) ； 4．y =42x -1. x +1
分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．
解：1．y '=(x -3x -5x +6) '
42
=(x 4) '-3(x 2) '-5x '+(6) '=4x 3-6x -5.
'?x ?sin x ?(x sin x ) '?cos x -x sin x ?(cosx ) '2．y '=(x ?tan x ) '= ?=2cos x cos x ??
22(s i n x +c o s x ) ?c o s x +x s i n x s i n x ?c o s x +x c o 2s x ?(x s i n x ) = = 22c o s x c o s x
12s i n 2x +x c o 2s x +x s i n x s i n 2x +2x ==. 22c o s x 2c o s x
3．解法一：y '=[(x +1)(x +2) ]'(x +3) +(x +1)(x +2)(x +3) '
=[(x +1) '(x +2) +(x +1)(x +2) '](x +3) +(x +1)(x +2)
=(x +2+x +1)(x +3) +(x +1)(x +2)
=(2x +3)(x +3) +(x +1)(x +2)
=3x +12x +11.
解法二：y =x 3+6x 2+11x +6，
∴ y '=3x +12x +11. 22
'?x -1?(x -1) '(x +1) -(x -1)(x +1) '4．解法一：y '= ?=(x +1) 2?x +1?
=(x +1) -(x -1) 2=. (x +1) 2(x +1) 2
2， x +1
'2?2(2) '(x +1) -2(x +1) '?'=(-) =- y '= 1- ?2x +1(x +1) ?x +1?解法二：y =1-
=2. (x +1) 2
说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法同．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素．从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手．
化简函数解析式在求解
例 求下列函数的导数．
x x 5+x 7+x 94x +cos 4； 1．y =；2．y =sin 44x
3．y =x 1+x 1-x 2x ). ；4．y =-sin (1-2cos +241-x 1+x
分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长，且易出错．可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转化为易求导的结构形式再求导数．
x 5+x 7+x 9
解：1．y ==x 2+x 3+x 4， x
∴y '=2x +3x 2+4x 3.
x x ?x x ?2．y = sin 2+cos 2?-2sin 2?cos 2 44?44?
=1-2s i n
∴ y '= 22x 11-c o s x 31=1-?=+c o s x 222441?31?+cos x ?=-sin x . 4?44?
(1+x ) 2(1-x ) 22(1+x ) 4+==-2. 3．y =1-x 1-x 1-x 1-x
∴y '=(4(4) '(1-x ) -4(1-x ) '4-2) '==. 1-x (1-x ) 2(1-x ) 2
x x 1?cos =-sin x ， 222
'1?1?∴y '= -sin x ?=-cos x . 2?2?4．y =-sin
说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
根据点和切线确定抛物线的系数
例 已知抛物线y =ax 2+bx +c 通过点P (1, 1) ，且在点Q (2, -1) 处与直线y =x -3相切，求实数a 、b 、c 的值．
分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来．题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值是可行的途径．
解：∵曲线y =ax 2+bx +c 过P (1, 1) 点，
∴a +b +c =1①
y '=2ax +b ，∴ y 'x =2=4a +b
∴4a +b =1②
又曲线过Q (2, -1) 点，∴4a +2b +c =-1③．
, c =9. 联立解①、②、③得a =3, b =-11
说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2, -1) 在曲线上这一关键的隐含条件．
利用导数求和
例 利用导数求和．
1．S n =1+2x +3x 2+ +nx n -1, (x ≠0, n ∈N *)
123n 2．S n =C n +2C n +3C n + +nC n , (n ∈N *)
分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决．转换思维角度，由求导公式(x ) '=nx n n -1，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快．
解：1．当x =1时，
S n =1+2+3+ +n =
当x ≠1时， 1n (n +1) 2
x -x n +1
x +x +x + +x =， 1-x 23n
两边都是关于x 的函数，求导得
n +1'??x -x (x +x 2+x 3+ +x n ) '= 1-x ??， ??
即S n =1+2x +3x + +nx
2n -1
1-(n +1) x n +nx n +1=. 2
(1-x )
122n n
2． (1+x ) n =1+C n x +C n x + +C n x
两边都是关于x 的可导函数，求导得
1232n n -1n (1+x ) n -1=C n +2C n x +3C n x + +nC n x ， 123n 令x =1，得n ?2n -1=C n ， +2C n +3C n + +nC n 123n 即S n =C n +2C n +3C n + +nC n =n ?2n -1.
说明：通过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题获得解决，其关键是抓住了数列通项的形式结构．学生易犯的错误是受思维定式的影响不善于联想．
导数定义的利用
f (x 0+?x ) -f (x 0) f (x 0+2??x ) -f (x 0)
=k ，则lim 等于（ ）
?x →0?x →0?x ?x
1
A ．2k B ．k C ．k D ．以上都不是
2
例 若lim
分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可
f (x 0+2??x ) -f (x 0)
?x →0?x
f (x 0+2??x ) -f (x 0)
?2 =lim
?x →02??x
f (x 0+2??x ) -f (x 0)
=2k ，应选A =2?lim
?x →02??x
解：由于lim
求曲线方程的斜率和方程
例 已知曲线y =x +
15
上一点A (2, ) ，用斜率定义求： x 2
（1）点A 的切线的斜率
（2）点A 处的切线方程
分析：求曲线在A 处的斜率k A ，即求lim 解：（1）?y =f (2+?x ) -f (2)
?x →0
f (2+?x ) -f (2)
?x
=2+?x +
11-?x
-(2+) =+?x
2+?x 22(2+?x )
??y -?x ?x ?=lim ?+?
?x →0?x ?x →02?x (2+?x ) ?x ??lim
??31lim ?+1?= ?x →02(2+?x ) ??4
（2）切线方程为y -即3x -4y +4=0
说明：上述求导方法也是用定义求运动物体S =S (t ) 在时刻t 0处的瞬时速度的步骤．
53
=(x -2) 24
判断分段函数的在段点处的导数
?12
(x +1)(x ≤1) ??2
例 已知函数f (x ) =?，判断f (x ) 在x =1处是否可导？
1?(x +1)(x >1) ??2
分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．
11
(1+?x ) 2+1-(12+1)
?y 解：lim =lim =1 ?x →0?x ?x →0?x
[]
1?12?
(1+?x +1) -(1+1) ??y 2?2??
lim +=lim ?x →0?x ?x →0?x
=1
2
∴f (x ) 在x =1处不可导．
说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即lim
+
-
?x →0
f (x 0+?x ) -f (x 0)
，当?x →0；
?x
包括?x →0；?x →0，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．
利用导数定义的求解
例 设函数f (x ) 在点x 0处可导，试求下列各极限的值．
f (x 0-?x ) -f (x 0)
；
?x →0?x
f (x 0+h ) -f (x 0-h )
. 2．lim
h →02h
f (x 0-k ) -f (x 0)
3．若f '(x 0) =2，则lim 等于（ ）
k →02k
1
A ．－1 B ．－2 C ．－1 D ．
2
1．lim
分析：在导数的定义中，增量?x 的形式是多种多样的，但不论?x 选择哪种形式，?y 也必须选择相对应的形式．利用函数f (x ) 在点x 0处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．
解：1．原式＝lim
?x →0
f (x 0-?x ) -f (x 0)
-(-?x )
f (x 0-?x ) -f (x 0)
=-f '(x 0)
?x →0-?x
f (x 0+h ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0-h )
2．原式＝lim
h →02h
=-lim
f (x 0+h ) -f (x 0) f (x 0-h ) -f (x 0) ?1?lim +lim ?h →02?h -h ?h →0? 1
=[f '(x 0) +f '(x 0) ]=f '(x 0). 2=
f [x 0+(-k ) ]-f (x 0)
=2（含?x =-k ），
k →0-k
f (x 0-k ) -f (x 0) ∴lim k →02k
f [(x 0+(-k ) ]-f (x 0) 11
=-lim =-f '(x 0)
2k →0-k 21
=-?2=-1. 故选A ．
2
3． f '(x 0) =lim
说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．
利用定义求导数
例 1．求函数y =
x 在x =1处的导数；
2
2．求函数y =x +ax +b （a 、b 为常数）的导数．
分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数y =f (x ) 在x =x 0
处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．
解：1．解法一（导数定义法）：?y =+?x -1，
?y +?x -11
==, ?x ?x +?x +1
111
lim =, ∴y 'x =1=. ?x →0+?x +122
解法二（导函数的函数值法）：?y =
x +?x -x ，
?y =?x
lim
x +?x -x
=
?x 1
,
x +?x +x
?y 11=lim =.
?x →0?x ?x →0
x +?x +x 2x
∴y '=
1
, ∴y 'x =1=.
22x
1
2．?y =[(x +?x ) 2+a (x +?x ) +b ]-(x 2+ax +b ) =2x ??x +(?x ) +a ??x =(2x +a ) ??x +(?x )
2
2
?y (2x +a ) ??x +(?x ) 2
==(2x +a ) +?x , ?x ?x ?y
=lim (2x +a +?x ) =2x +a , ∴y '=2x +a .
?x →0?x ?x →0lim
说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．
证明函数的在一点处连续
例 证明：若函数f (x ) 在点x 0处可导，则函数f (x ) 在点x 0处连续．
分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明f (x 0) 在点x 0处连续，必须证明lim f (x ) =f (x 0) ．由于函数f (x ) 在点x 0处可导，因此，根据函数在点x 0处
x →x 0
可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式）的转化．
解：证法一：设x =x 0+?x ，则当x →x 0时，?x →0，
x →x 0
lim f (x ) =lim f (x 0+?x )
x →x 0
x →x 0
=lim [f (x 0+?x ) -f (x 0) +f (x 0) ]
?f (x 0+?x ) -f (x 0) ?=lim ???x +f (x 0) ? x →x 0?x ??=lim
?x →0
f (x 0+?x ) -f (x 0)
?lim ?x +lim f (x 0) ?x →0?x →0?x
=f '(x 0) ?0+f (x 0) =f (x 0).
∴函数f (x ) 在点x 0处连续． 证法二：∵函数f (x ) 在点x 0处可导， ∴在点x 0处有
x →x 0
lim [f (x ) -f (x 0)]=lim ?y
?x →0
?y ??y ?
=lim ??x ?=lim ?lim ?x x →0?x ?x →0?x ?x →0
??
=f '(x 0) ?0=0
∴lim f (x ) =f (x 0). ∴函数f (x ) 在点x 0处连续．
x →x 0
说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数f (x ) 在点x 0处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在?连续?有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为lim f (x 0+?x ) 是使论证推理出现失误的障碍．
?x →0
求指数、对数函数的导数
例 求下列函数的导数：
1．y =ln x 2+1；2．y =log 2(2x +3x +1) ； 3．y =e
sin(ax +b )
2
； 4．y =a cos(2x +1).
3x
分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．
解：1．解法一：可看成y =ln u , u =, v =x 2+1复合而成．
11-1
'''y '?v 2?(2x ) x =y u ?u v ?v x =
u 2
1-112
=?(x +1) 2?2x
x 2+12 =
x x 2+1?x 2+1
=x . x 2+1
解法二：y '=ln x +1=
[
2
]
'
1x 2+1
(x 2+1) '
=
1-12
?(x +1) 2?(x 2+1) 'x 2+12
11
=
1x 2+12
?
2
1x 2+1
?2x =
x . 2
x +1
解法三：y =ln x +1=
1
ln(x 2+1) ， 2
'1112x x
y '=ln(x 2+1) =?2?(x 2+1) '=2=2.
22x +12x +1x +1
[]
2．解法一：设y =log 2u , u =2x 2+3x +1，则
1
?log 2e ?(4x +3) u
?log e (4x +3) ?log 2e =22(4x +3) =. 2x +3x +12x 2+3x +1
'log 2e 22
?(2x +3x +1) ' 解法二：y '=log 2(2x +3x +1) =2
2x +3x +1
log 2e (4x +3) log 2e
?(4x +3) =. =22
2x +3x +12x +3x +1''y 'x =y u ?u x =
[]
3．解法一：设y =e , u =sin v , v =ax +b ，则
u
'''y 'x =y u ?u v ?u x =e ?cos v ?a
u
=a cos(ax +b ) ?e
解法二：y '=e
sin(ax +b )
[
sin(ax +b )
]'=e
sin(ax +b )
'
?[sin(ax +b ) ]
=e sin(ax +b ) ?cos(ax +b ) ?(ax +b ) '=a cos(ax +b ) ?e
sin(ax +b )
4．y '=[a cos(2x +1) ]'
3x
=(a 3x ) 'cos(2x +1) +a 3x ?[cos(2x +1) ]'
=a 3x ?ln a ?(3x ) 'cos(2x +1) +a 3x [-sin(2x +1)](2x +1) '=3a ln a ?cos(2x +1) -2a ?sin(2x +1) =a 3x [3ln a ?c o s 2(x +1) -2s i n 2(x +1) ].
3x
3x
说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．
解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．
变形函数解析式求导
例 求下列函数的导数：
x 3+x 2+21-x
（1）y =2； （2）y =ln ；
x -x +11+x
（3）y =(tanx )
sin x
2
； （4）y =x -x -6．
分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．
x 3+x 2+2x
=x +2+2. 解：（1）y =2
x -x +1x -x +1
x 2-x +1-x (2x -1) -x 2+1
． y '=1+=1+2
222(x -x +1) (x -x +1)
（2）y =
1
[ln(1-x ) -ln(1+x )]， 2
1?-11?11+x +1-x 1y '= -=2. ?=-
2?1-x 1+x ?2(1-x )(1+x ) x -1
（3）y =e
sin x ln(tanx )
y '=e
sin x ln(tanx )
[sinx ln(tanx ) ]'
=(tanx )
sin x
??1
cos x ln(tanx ) +sin x ??'tan x (tanx ) ??
'??sin x ??
=(tanx ) sin x ?cos x ln(tanx ) +cos ??
??cos ????
=cos x (tanx )
sin x
?cos 2x -sin x (-sin x ) ?
?ln(tanx ) +?
cos x ??
=cos x (tanx ) sin x ?ln(tanx ) +
2
??-x +x +6, x ∈[-2, 3],
（4）y =?2
??x -x -6, x ∈[-2, 3].
?
?1?
. ?cos x ?
?-2x +1, x ∈(2, 3),
' y =?
2x -1, x ∈(-∞, -2) (3, +∞). ?
当x =-2, 3时y '不存在．
说明：求y =
P (x )
P (x ) 、Q (x ) 为多项式）的导数时，若P (x ) 的次数不小于Q (x ) Q (x )
的次数，则由多项式除法可知，存在S (x ) 、R (x ) ，使P (x ) =Q (x ) S (x ) +R (x ) ．从而
P (x ) R (x )
=S (x ) +，这里S (x ) 、R (x ) 均为多项式，且R (x ) 的次数小于Q (x ) 的次数．再R (x ) Q (x )
求导可减少计算量．
对函数变形要注意定义域．如y =lg(x -1) -ln(x +1) ，则定义域变为x ∈(1, +∞) ，所以虽然y =l n x (-1) +l n x (+1) 的导数
112x 1-x
+=2与y =ln 的导数x -1x +1x -11+x
1+x ?1-x ?1+x -(1+x ) -(1-x ) 2x
结果相同，但我们还是应避免这种解法． = ?=
1-x ?1+x ?1-x (1+x ) 2x 2-1
函数求导法则的综合运用
例 求下列函数的导数：
1．y =x +x 2；2．y =(x 2-2x +3) ?e 2x ； 3．y =
3x -2x
；4．y =. 2x +31-x
分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，
可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．
解：1．取y 的绝对值，得y =x ?x +1，两边取寻数，得ln y =ln x +根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得
2
1
ln x 2+1. 2
112x 2x 2+1
， ?y '=+=
y x 2(x 2+1) x (x 2+1)
2x 2+12x 2+12x 2+12∴y '=y ?=x x +1?=. 222x (x +1) x (x +1) x +1
2．注意到y >0，两端取对数，得
ln y =ln(x 2-2x +3) +ln e 2x =ln(x 2-2x +3) +2x . 1(x 2-2x +3) '2x -22(x 2-x +2) ∴?y '=2 +2=2+2=2
y x -2x +3x -2x +3x -2x +3
2(x 2-x +2) 2(x 2-x +2) 2
?y =2?(x -2x +3) ?e 2x ∴y '=2
x -2x +3x -2x +3
=2(x 2-x +2) ?e 2x . 3．两端取对数，得
ln y =ln 3x -2-ln 2x +3，
两端对x 求导，得
1(3x -2) '(2x +3) '32?y '=-=-y 3x -22x +33x -22x +3
13
=.
(3x -2)(2x +3)
4．两端取对数，得
1
ln y =(lnx -ln -x ) ，
3
两边对x 求导，得
111-111?y '=(-) =. y 3x 1-x 3x (1-x )
∴y '=
111x ??y =.
3x (1-x ) 3x (1-x ) 1-x
说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问
题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意ln y 是关于x 的复合函数．
指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．
求分段函数的导数
1?2
?x sin , x ≠0
例 求函数f (x ) =?的导数 x
??0, x =0
分析：当x =0时因为f '(0) 存在，所以应当用导数定义求f '(0) ，当x ≠0时，f (x ) 的关系式是初等函数x sin
1
，可以按各种求导法同求它的导数． x
1x 2sin
f (x ) -f (0) =lim x sin 1=0 解：当x =0时，f '(0) =lim =lim ?x →0?x →0?x →0x x x x ≠0当时，
11111111
f '(x ) =(x 2s ) '=(x 2) 's +x 2(i ) '=2x s i +x 2(-s 2c ) =i 2x n s -c i o
x x x x x x x x
2
n i o
说明：如果一个函数g (x ) 在点x 0连续，则有g (x 0) =lim g (x ) ，但如果我们不能断定
x →x 0
f (x ) 的导数f '(x ) 是否在点x 0=0连续，不能认为f '(0) =lim f (x ) ．
x →0
指出函数的复合关系
例 指出下列函数的复合关系．
1．y =(a +bx n ) m ；2．y =ln e x +2；
2
3．y =3log 2(x -2x +3) ；4．y =sin(x +) 。
1x
分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
解：函数的复合关系分别是
1．y =u , u =a +bx ； 2．y =ln u , u =3v , v =e x +2； 3．y =3, u =log 2v , v =x -2x +3； 4．y =u , u =sin v , v =x +
3
m n
u 2
1. x
说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四
则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．
求函数的导数
例 求下列函数的导数．
1．y =(2x -x +) ；2．y =31
x 41
-2x 2；
3．y =sin (2x +2π
3) ；4．y =x +x 2。
分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解：1．解法一：设u =2x -x +1, y =u 4，则 x
11313232''y '=y ?u =4u ?(6x -1-) =4(2x -x +) (6x --1). x u x 22x x x 3
4'3'??31??1??31??3解法二：y '=? 2x -x +??=4 2x -x +?? 2x -x +? x ??x ??x ??????
=4 2x -x +
-1
2??31??21?? 6x -1-2?. x ??x ?2．解法一：设y '=u , u =1-2x 2，则
?1-3?2? ''y '=y ?u =-u x u x 2??(-4x )??
312-2(-4x ) =-1-2x 2 ()
=2x 1-2x
＝2(32-2)2x (1-2x ) -2x 2.
?1解法二：y '= 2?-2x '???=?1-2x 2???()-12'?? ?
3-'12=-(1-2x ) 2?1-2x 2
2
3-12=-(1-2x ) 2?(-4x ) 2 ()
=2x (1-2x )
2x =. 22(1-2x ) -2x
3．解法一：设y =u , u =sin v , v =2x +22-32π
3，则
'''y 'x =y u ?u v ?v x =2u ?cos v ?2
π?π??? =2sin 2x +??cos 2x +??2 3?3???
2π?? =2sin 4x +?. 3??
''?2?π??π???π???解法二：y '=?sin 2x +??=2sin 2x +???sin 2x +?? 3??3???3?????
'π?π??π??? =2sin 2x +??cos 2x +?? 2x +?3?3??3???
π?π??? =2sin 2x +??cos 2x +??2 3?3???
2π?? =2sin 4x +?. 3??
4．解法一：y =x +x =2x +x . 设y =u , u =x 2+x 4，则 2412
1-1
''y 'u 2?(2x +4x 3) x =y u ?u x =2
1-124 =(x +x ) 2?(2x +4x 3) 2
x +2x 3x (1+2x 2) 1+2x 2
===. 2422x +x x +x +x
解法二：y '=(x +x 2) '=x '?+x 2+x (+x 2) '
=+x +2x 2
+x 2=1+2x 2+x 2.
说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运
算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导．
求复合函数的导数
例 求下列函数的导数（其中f (x ) 是可导函数）
1．y =f ?；2．y =f (x 2+1).
分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。
解：1．解法一：设y =f (u ), u =?1??x ?1，则 x
1?1??1?'''y '=y ?u =f (u ) ?-=-f ?. 2?x u x 2x ?x ??x ?
''??1??1?1??1??1?解法二：y '=?f ??=f ' ?? ?=-2f ' ?. x ?x ??x ??x ???x ??
2．解法一：设y =f (u ), u =v , v =x 2+1，则
1-1
''''y 'v 2?2x x =y u ?u u ?v x =f (u ) ?2
11 =f '(x x 2+1) ??2x 22x +1
=x
x 2+1f '(x 2+1).
解法二：y '=f (x +1) =f '(x +1) ?(x +1) '
22-1
2[=[f (
=]1x +1) ]?(x +1) 22'22?(x 2+1) ' =f '(x +1) ?(x +1) 22-12?2x . x
x 2+1f '(x 2+1).
说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。其次应重视f '(?(x )) 与[f (?(x )) ]'的区别，前者是对中间变量?(x ) 的求导，后者表示对自变量x 的求导．
范文五：利用导数求函数的极值——极值
利用导数研究函数的极值(1)——函数的极值
学习目标:理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件. 并会求解函数的极大值与极小 值 .
复习:
复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 0y '>, 那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间内 0y '<,那么函数 y="f(x)" 在为这个区间内的="" 函数="">
复习 2:用导数求函数单调区间的步骤 :①求函数 f (x ) 的导数 () f x '. ②令 解不 等式,得 x 的范围就是递增区间 . ③令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 .
新知讲授:
【问题导思】
1. 从远处看大山,一个个山头此起彼伏,山峰与山谷彼此相邻,如果这样的美景在数学 中可看作函数的图象,那么一个个山峰和山谷又称作什么呢?.
探究任务一 :
问题 1. 回答下列问题,并填空:
(1)函数 () y f x =在 a 、 b 、 c 、 d 等点的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?
(2) () y f x =在这些点的导数值是多少?
(3)在这些点附近, () y f x =的导数的符号有什么规律?
填空:函数 () y f x =在点 x a =的函数值 () f a 比它在点 x a =附近其它点的函数值都 , () f a '=x a =附近的左侧 () f x '0,右侧 () f x '类似地,函数 () y f x =在点 x b =的函数值 () f b 比它在点 x b =附近其它点的函数值都 , () f b '= ;而且在 点 x b =附近的左侧 () f x ' 0,右侧 () f x ' 0.
我们把点 a 叫做函数 () y f x =的极小值点, () f a 叫做函数 () y f x =的 极小值 ;点 b 叫做函 数 () y f x =的极大值点, () f b 叫做函数 () y f x =的 极大值 .
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为 极值 .
试试 :
(1)函数的极值 (填是,不是)唯一的 .
(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值
(3)函数的极值点一定出现在区间的 内,外 ) 部,区间的端点 极值点 .
(4)导数为 0的点是否一定是极值点 . 比如:函数 3() f x x =在 x=0处的导数 为 ,但它 (是或不是)极值点 .
即:导数为 0是点为极值点的 条件 .
(5)函数极值与单调性有什么关系?
求可导函数的极值的步骤:
(1)求导数 f ′ (x);
(2)求方程 f ′ (x)=0的所有实数根;
(3)列表、考察在每个根 x 0附近,从左到右,导函数 f ′ (x)的符号如何变化.
(4)结论 .
典型例题:
例 1. 已知函数 32
() 3911
f x x x x
=--+.
(1)写出函数的递减区间;
(2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象 . 练习 1. 求函数 f (x ) =(x 2-1) 3+1的极值 .
例 2. 已知函数 y =ax 3+bx 2,当 x =1时函数有极大值 3,
(1)求 a , b 的值;
(2)求函数 y 的极小值.
思考:已知函数 32() f x ax bx cx =++在点 0x 处取得极大值 5, 其导函数 () y f x '=的图象经过
点 (1,0), (2,0),如图所示,求 (1) 0x 的值 (2)a , b , c 的值 .
总结:求可导函数 f (x ) 的极值的步骤?
作业:学案(2)
检测:
16
