爱因斯坦诺维奇凯奇
范文一：线性代数__吴赣昌_第四版__课后习题答案
线性代数 (理工类 第四版 吴赣昌 主编 )
(中国人民大学出版社 )
第一章
习题 1-1
1. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3
习题 1-2 1
2
3
4. (1)
(2)
(3)
习题 1-3 1
.
(2)
(3)
(4)
(5)
2. (1)
(2)
3. (1)
(2)
4. (1)
(2)
5
习题 1-4 1
2
3. (1)
(2)
4
5. (1)
(2)
(3)
(4)
习题 1-5 1. (1)
(2)
2. (1)
(2)
3. (1)
(2)
4
5
总复习题一 1. (1)
(2)
2
3
4. (1)
(2)
(3)
(4)
5
6
7. (1)
(2)
8
9. (1)
(2)
10
11
12
13
14. (1)
(2)
第二章 习题 2-1
1
2
习题 2-2
1 2. (1)
(2)
(3)
3. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4
5
6
7
8. (1)
(2)
9
10. (1)
(2)
(3)
11
12 13
14
习题 2-3
1.(1)
\(2)
(3)
2. (1)
(2)
(3)
3.
4.(1)
(2)
5
6
7.(1)
(2)
习题 2-4 1. (1)
(2)
2
3
4. (1)
(2)
(3)
5
6
习题 2-5 1. (1)
(2)
(3)
2
3. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4. (1)
(2)
(3)
(4)
5.(1)
(2)
(3)
(4)
6
习题 2-6
1
2
3
4
5. (1)
(2)
(3)
6
总习题二
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
范文二：线性代数第四版赵树嫄答案
○ 7 ○
8
9
10
11
12
(1) 按定义
(3)应用行列式性质
(4)
13
(4)
14
15略
16
17(1)
(2)
(3)
18
(1)-153, (2)40, (3)-270 19
yz+xyz+2xz+3xy
20
21
22
23
24
25
(2) (3)
(4)
26
27
28
-18
29
30
31略
32
33
34
35
36
37
38略 39略 40
(2)
(3)
而
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
41
42
43
44
(B)
CDCBC DCABA BACBD BCDAD ABDC
第二章
1
(4)略
2
3
4略
5
(2)
,14 (4)略
(5)略
(6)
(7)
6
(6)
(7)
7
所以
8
(9)
10
11
即
从而
所以
得
解得
所以
解得
12略
13
即
14
所以
又
所以
故
15
16
(1)略
(2)略
(3)
(4)
(5)
(6)略 (7)略
17
18略 19略 20
21
22略 23略
24
25略
26
有 即
所以
27
28
29略 30略
31
32略 33略
34
35略 36略 37略
38
求出
于是
所以
求出
于是
39略
40
41 因为
所以
因为
有
所以
则
42
43
44
45
46略 47略 48略 49略 50略
51
52
53
所以
57
(4)
(5)略
BDDCB BBCDD DBBCC BCCBA DCBBD AD
第三章
1
(4)
(5)
(6)
2
(4)略
3
5
6
7
(1)a 为任意实数, b ≠ 2
(2)a 为任意实数, b=2
8
为
9
10
11
12
令
13
14
15略
16
17
18略 19略
20
21
22
23
24
25
26略
27
28略
29略
30略
CABDC DBCCA ABDCD
CABBB 第四章
1
范文三：线性代数同济第四版答案第四章课后答案
第四章 向量组的线性相关性
1．设v 1=(1, 1, 0) T , v 2=(0, 1, 1) T , v 3=(3, 4, 0) T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.
解 v 1-v 2=(1, 1, 0) T -(0, 1, 1) T
T T
=(1-0, 1-1, 0-1) =(1, 0, -1)
3v 1+2v 2-v 3=3(1,
=(0,
1, 1,
0) +2(0, 2)
T T
1, 1) -(3,
T
4,
0)
T
T
=(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4,
3?0+2?1-0)
2．设3(a 1-a ) +2(a 2+a ) =5(a 3+a ) 其中a 1=(2, 5, 1, 3) T ,
T T
a 2=(10, 1, 5, 10) , a 3=(4, 1, -1, 1) , 求a
解 由3(a 1-a ) +2(a 2+a ) =5(a 3+a ) 整理得
a =
1
6
T
=(1, 2, 3, 4)
(3a 1+2a 2-5a 3) =
16
[3(2, 5, 1, 3) +2(10, 1, 5, 10) -5(4, 1, -1, 1) ]
T
T
T
3．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a 1, a 2, , a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, a m , 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, , λm 使 λ1a 1+ +λm a m +λ1b 1+ +λm b m =0
成立, 则a 1, , a m 线性相关, b 1, , b m 亦线性相关. (3)若只有当λ1, λ2, , λm 全为0时, 等式 λ1a 1+ +λm a m +λ1b 1+ +λm b m =0
才能成立, 则a 1, , a m 线性无关, b 1, , b m 亦线性无关.
(4)若a 1, , a m 线性相关, b 1, , b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, , λm 使λ1a 1+ +λm a m =0, λ1b 1+ +λm b m =0 同时成立.
解 (1) 设a 1=e 1=(1, 0, 0, , 0) a 2=a 3= =a m =0
满足a 1, a 2, , a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, , a m , 线性表示.
(2) 有不全为零的数λ1, λ2, , λm 使
λ1a 1+ +λm a m +λ1b 1+ +λm b m =0 原式可化为
λ1(a 1+b 1) + +λm (a m +b m ) =0
取a 1=e 1=-b 1, a 2=e 2=-b 2, , a m =e m =-b m 其中e 1, , e m 为单位向量, 则上式成立, 而
a 1, , a m , b 1, , b m 均线性相关
(3) 由λ1a 1+ +λm a m +λ1b 1+ +λm b m =0 (仅当λ1= =λm =0) ?a 1+b 1, a 2+b 2, , a m +b m 线性无关 取a 1=a 2= =a m =0 取b 1, , b m 为线性无关组
满足以上条件, 但不能说是a 1, a 2, , a m 线性无关的. (4) a 1=(1, 0) T a 2=(2, 0) T b 1=(0, 3) T b 2=(0, 4) T
λ1a 1+λ2a 2=0?λ1=-2λ2?
?
? ?λ1=λ2=0与题设矛盾. 3
λ1b 1+λ2b 2=0?λ1=-λ2?
?4
4．设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组 b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.
证明 设有x 1, x 2, x 3, x 4使得 x 1b 1+x 2b 2+x 3b 3+x 4b 4=0则
x 1(a 1+a 2) +x 2(a 2+a 3) +x 3(a 3+a 4) +x 4(a 4+a 1) =0 (x 1+x 4) a 1+(x 1+x 2) a 2+(x 2+x 3) a 3+(x 3+x 4) a 4=0
(1) 若a 1, a 2, a 3, a 4线性相关, 则存在不全为零的数k 1, k 2, k 3, k 4, k 1=x 1+x 4; k 2=x 1+x 2; k 3=x 2+x 3; k 4=x 3+x 4;
由k 1, k 2, k 3, k 4不全为零, 知x 1, x 2, x 3, x 4不全为零, 即b 1, b 2, b 3, b 4线性相 关.
?x 1??x 1
(2) 若a 1, a 2, a 3, a 4线性无关, 则?
?x 2?x ?3
+x 4=0
?1
+x 2=0 1
?
+x 3=00
+x 4=0?0
0110
0011
1??
? 0? 0? ? ?1? ?x 1?
?x 2?
=0 ?x 3?x 4??
10110
0011
1001
=0知此齐次方程存在非零解
由
100
则b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.
综合得证.
5．设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, , b r =a 1+a 2+ +a r , 且向量组 a 1, a 2, , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, , b r 线性无关. 证明 设k 1b 1+k 2b 2+ +k r b r =0则
(k 1+ +k r ) a 1+(k 2+ +k r ) a 2+ +(k p + +k r ) a p + +k r a r =0
因向量组a 1, a 2, , a r 线性无关, 故
?k 1+k 2+ +k r =0?1
?
k 2+ +k r =0? 0
? ?
?
?k =0?0?r
1
1??k 1??0?
? ? ?1? k 2? 0?
= ? ??
? ? ??k ? ?1? ?r ??0?
1 1
11 1
=1≠0故方程组只有零解
因为
0 0
则k 1=k 2= =k r =0所以b 1, b 2, , b r 线性无关
6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
?25 75(1)
75 ?25
31949432
17535420319494323110025-141200
21-20
43??1
?
132? 0
; (2) ?2134
?
?
48??11753542017210
43?
?r -3r
1132?2~?134r 3-3r 1
??
48?r 4-r 143??3?
?3??0?
12-20
21-1-2
25-52
1??-1?
?1??-2?
1201
2130
25-1431111
1??-1?
. ?3??-1?17233
43??3?
?5??5?
?25 75
解 (1)
75 ?25?25
r 4-r 3
0~ r 3-r 2 0
?0?1 0(2)
2 ?1
1201
2130
?25 0
0 ?0
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
1??1?r -2r
1-1?3 0~? 03
?r 4-r 1 ? -1??0
2520
1?
?-1?
， ?-2??0?
?1
r 3+r 2 0
~ r 3?r 4 0
?0
所以第1、2、3列构成一个最大无关组．
7．求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
?1??9??-2? ? ? ? 2? 100? -4?
(1) a 1= ?, a 2= , a 3= ; ??-1102
? ? ? ? ? ??4??4??-8?
T T T
(2) a 1=(1, 2, 1, 3) , a 2=(4, -1, -5, -6) , a 3=(1, -3, -4, -7) . 解 (1) -2a 1=a 3?a 1, a 3线性相关. T ?a 1 T
由 a 2
T ?a 3
??1? ?= 9? ??-2
2100-4
-1102
4??4?-8??
~
?1
0 0?
2820
-1190
4??-32? 0??3?
?-18? -10??
秩为2, 一组最大线性无关组为a 1, a 2.
T
?a 1 T
(2) a 2
T ?a 3
??1213??1? ? ?= 4-1-5-6?~ 0? 0?1-3-4-7????
213??1 ?~ 0-9-9-18? 0000???
2-9-5
1-9-5
T T
秩为2, 最大线性无关组为a 1, a 2.
8．设a 1, a 2, , a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2, , e n 能 由它们线性表示, 证明a 1, a 2, , a n 线性无关. 证明 n 维单位向量e 1, e 2, , e n 线性无关 不妨设:
e 1=k 11a 1+k 12a 2+ +k 1n a n e 2=k 21a 1+k 22a 2+ +k 2n a n e n =k n 1a 1+k n 2a 2+ +k nn a n
T ?e 1 T e 2 e T ?n
所以
??k 11? ? k 21?=
? ? k ??n 1
k 12k 22 k n 2
T
k 1n ??a 1
? T k 2n ? a 2
?
? a T
k nn ???n
?
??? ???
两边取行列式，得
e 1
T T
k 11=k 21 k n 1
k 12k 22 k n 2
T
k 1n a 1T
k 2n a 2
e 1
T T
a 1
≠0?
T T
e 2
由
e 2
a 2
≠0
e n
T
T
k nn a n
e n
T
a n
T
即n 维向量组a 1, a 2, , a n 所构成矩阵的秩为n 故a 1, a 2, , a n 线性无关.
9．设a 1, a 2, , a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.
证明 设ε1, ε2, , εn 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量
T
a =(k 1, k 2, , k n ) 则有a =ε1k 1+ε2k 2+ +εn k n 即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.
必要性
?
a 1, a 2, , a n 线性无关，且a 1, a 2, , a n 能由单位向量线性表示，即
α1=k 11ε1+k 12ε2+ +k 1n εn α2=k 21ε1+k 22ε2+ +k 2n εn
αn =k n 1ε1+k n 2ε2+ +k nn εn
T ?a 1 T a 2故
a T ?n
??k 11? ? k 21?=
? ? k ??n 1k 11
k 12k 22 k n 2
k 11
≠0?
k 21 k n 1
k 12k 22 k n 2 k 12k 22 k n 2
T
k 1n ??ε1?
? T ?k 2n ? ε2?
? ? ??
εT ?k nn ???n ?
两边取行列式，得
a 1 a n
T
T T T T
T
k 1n ε1T
k 2n ε2
a 2
=
k 21 k n 1
T
k nn εn
a 1
k 1n k 2n k nn
≠0
由
a 2
a n
T
令A n ?n
?k 11 k 21=
k ?n 1
k 12k 22 k n 2
k 1n ?
?k 2n ?
则 ? ?k nn ??
T ?a 1 T a 2由
a T ?n T T
??ε1??a 1? ?
T T
a ? ε2? -12
=A ?A ? ?
? ? ? εT ? a T ??n ??n T
??ε1?? ?
T
? ε2??= ? ? ?? εT ???n ?
即ε1, ε2, , εn 都能由a 1, a 2, , a n 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由a 1, a 2, , a n 线性表示. 已知任一n 维向量都可由a 1, a 2, , a n 线性表示，则单位向量组： ε1, ε2, , εn 可由a 1, a 2, , a n 线性表示，由8题知a 1, a 2, , a n 线性无关.
10．设向量组A :a 1, a 2, , a s 的秩为r 1, 向量组B :b 1, b 2, , b t 的秩r 2 向量组C : a 1, a 2, , a s , b 1, b 2, , b r 的秩r 3, 证明 max{r 1, r 2}≤r 3≤r 1+r 2
证明 设A , B , C 的最大线性无关组分别为A ', B ', C ', 含有的向量个数 (秩) 分别为r 1, r 2, r 2, 则A , B , C 分别与A ', B ', C '等价, 易知A , B 均可由C 线性表示, 则秩(C ) ≥秩(A ), 秩(C ) ≥秩(B ) ，即max{r 1, r 2}≤r 3
设A '与B '中的向量共同构成向量组D , 则A , B 均可由D 线性表示, 即C 可由D 线性表示, 从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ') ≥秩(D ), D 为r 1+r 2阶矩阵，所以秩(D ) ≤r 1+r 2即r 3≤r 1+r 2.
11. 证明R (A +B )≤R (A )+R (B ).
证明:设A =(a 1, a 2, , a n ) T B =(b 1, b 2, , b n ) T
T T T T
且A , B 行向量组的最大无关组分别为α1T , α2, , αr β1T , β2, , βs 显然, 存在矩阵A ', B ', 使得
?
T ?a 1 T a 2 a T ?n
T
??α1??b 1T ??β1T ?? ? ? ?
T T T
? α2? b 2? β2??=A ' ?, ?=B ' ? ? ? ? ?? αT ? b T ? βT ???s ??n ??s ?
T T
?α1??β1T ?+b 1?
? ? ?T T T +b 2? α2? β2?
''?=A ?+B ?
? ? ?T ?T ?T ? +b n ??αs ??βs ?
R (A +B )≤R (A )+R (B ) 充分性
T ?a 1 T a 2
∴A +B =
a T ?n
因此
12．设向量组B :b 1, , b r 能由向量组A :a 1, , a s 线性表示为
(b 1, , b r ) =(a 1, , a s ) K ，
其中K 为s ?r 矩阵，且A 组线性无关。证明B 组线性无关的充分必要条
件是矩阵K 的秩R (K ) =r . 证明 ?若B 组线性无关
令B =(b 1, , b r ) A =(a 1, , a s ) 则有B =AK
由定理知R (B ) =R (AK ) ≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ) 由B 组:b 1, b 2, , b r 线性无关知R (B ) =r ，故R (K ) ≥r . 又知K 为r ?s 阶矩阵则R (K ) ≤min{r , s }
由于向量组B :b 1, b 2, , b r 能由向量组A :a 1, a 2, , a s 线性表示, 则r ≤s ∴min{r , s }=r
综上所述知r ≤R (K ) ≤r 即R (K ) =r ．
?若R (k ) =r
令x 1b 1+x 2b 2+ +x r b r =0, 其中x i 为实数i =1, 2, , r
?x 1? ?
则有(b 1, b 2, , b r ) ?=0
x ??r ?
?x 1? ?
又(b 1, , b r ) =(a 1, , a s ) K , 则(a 1, , a s ) K ?=0
x ??r ?
?
由于a 1, a 2, , a s 线性无关, 所以K ?
?
x 1??x 2?
=0 ? ?x r ??
?k 11x 1+k 21x 2+ +k r 1x r =0
?
k x +k 22x 2+ +k r 2x r =0?121
?
即 ? （1）
?k 1r x 1+k 2r x 2+ +k rr x r =0? ?
?k 1s x 1+k 2s x 2+ +k rs x r =0
由于R (K ) =r 则(1)式等价于下列方程组:
?k 11x 1+k 21x 2+ +k r 1x r =0?
?k 12x 1+k 22x 2+ +k r 2x r =0
?
???k 1r x 1+k 2r x 2+ +k rr x r =0
k 11k 21k 22 k 2r
k r 1k r 2 k rr
≠0
由于
k 12 k 1r
所以方程组只有零解x 1=x 2= =x r =0. 所以b 1, b 2, , b r 线性无关, 证毕.
13．设
T
V 1={x =(x 1, x 2, , x n ) x 1, , x n ∈R 满足x 1+x 2+ +x n =0}
V 2={x =(x 1, x 2, , x n )
T
x 1, , x n ∈R 满足x 1+x 2+ +x n =1}
问V 1, V 2是不是向量空间？为什么？
证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若α∈V , β∈V ，则α+β∈V 若α∈V , λ∈R ，则λα∈V V 1是向量空间，因为：
T
α=(α1, α2, , αn ) α1+α2+ +αn =0
T
β=(β1, β2, , βn ) β1+β2+ +βn =0
T
α+β=(α1+β1, α2+β2, , αn +βn ) 且(α1+β1) +(α2+β2) + +(αn +βn ) =(β1+β2+ +βn ) +(α1+α2+ +αn ) =0 故α+β∈V 1 λ∈R , λα=(α1, α2, , αn )
λα1+λα2+ +λαn =λ(α1+α2+ +αn ) =λ?0=0故λα∈V 1 V 2不是向量空间，因为：
(α1+β1) +(α2+β2) + +(αn +βn )
=(β1+β2+ +βn ) +(α1+α2+ +αn ) =1+1=2故α+β?V 2 λ∈R , λα=(λα1, λα2, , λαn )
λα1+λα2+ +λαn =λ(α1+α2+ +αn ) =λ?1=λ 故当λ≠1时，λα?V 2
14．试证:由a 1=(0, 1, 1) T , a 2=(1, 0, 1) T , a 3=(1, 1, 0) T 所生成的向量空间就 是R 3.
证明 设A =(a 1, a 2, a 3)
A =a 1, a 2, a 31
1
101
11=(-1) 0
-1
110
101
1=-2≠0 1
于是R (A ) =3故线性无关. 由于a 1, a 2, a 3均为三维, 且秩为3,
所以a 1, a 2, a 3为此三维空间的一组基, 故由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间 就是R 3.
15．由a 1=(1, 1, 0, 0) T , a 2=(1, 0, 1, 1) T , 所生成的向量空间记作V 1, 由
T T
b 1=(2, -1, 3, 3) , a 2=(0, 1, -1, -1) , 所生成的向量空间记作V 2, 试证 V 1=V 2.
证明 设V 1={x =k 1a 1+k 2a 2k 1, k 1∈R }
V 2={x =λ1β1+λ2β2λ1, λ1∈R }
任取V 1中一向量, 可写成k 1a 1+k 2a 2, 要证k 1a 1+k 2a 2∈V 2, 从而得V 1?V 2 由k 1a 1+k 2a 2=λ1β1+λ2β2得
?k 1??k 1??k 2?k ?2
+k 2=2λ1=λ2-λ1
?2λ1=k 1+k 2??
=3λ1-λ2?-λ1+λ2=k 1=3λ1-λ2
上式中, 把k 1, k 2看成已知数, 把λ1, λ2看成未知数
D 1=
2-1
01
=2≠0 ?λ1, λ2有唯一解
∴V 1?V 2
同理可证: V 2?V 1 ( D 2=
11
10
≠0)
故V 1=V 2
16．验证a 1=(1, -1, 0) T , a 2=(2, 1, 3) T , a 3=(3, 1, 2) T 为R 3的一个基, 并把
T T
v 1=(5, 0, 7) , v 2=(-9, -8, -13) 用这个基线性表示.
1
2
3
1=-6≠0 2
解 由于a 1, a 2, a 3=-11
3
即矩阵(a 1, a 2, a 3) 的秩为3
故a 1, a 2, a 3线性无关，则为R 3的一个基. 设v 1=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3，则
?k 1+2k 2+3k 3=5?
?-k 1+k 2+k 3=0??
?3k 2+2k 3=7
故v 1=2a 1+3a 2-a 3
?k 1=2?
?k 2=3 ?k =-1?3
设v 2=λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3，则
?λ1+2λ2+3λ3=-9?k 1=3??-λ+λ+λ=-8???k 2=-3 123??k =-23λ+2λ=-13?33?2
故线性表示为
v 2=3a 1-3a 2-2a 3
17．求下列齐次线性方程组的基础解系:
?x 1-8x 2+10x 3+2x 4=0?2x 1-3x 2-2x 3+x 4=0??
(1)?2x 1+4x 2+5x 3-x 4=0 (2)?3x 1+5x 2+4x 3-2x 4=0
??3x +8x +6x -2x =0234?1?8x 1+7x 2+6x 3-3x 4=0(3)nx 1+(n -1) x 2+ 2x n -1+x n =0.
解
?1
(1)A = 2
3?
-848
1056
2?
?初等行变换-1?~-2??
?1
0 ?0
01043-40
0?1?-?4?0?
?x 1=-4x 3?
所以原方程组等价于? 31
?x 2=x 3+x 4?44
取x 3=1, x 4=-3得x 1=-4, x 2=0
取x 3=0, x 4=4得x 1=0, x 2=1
?-4??0? ? ? 0? 1?ξ=, ξ=因此基础解系为1 2? ?10
? ? ? ?-3???4?
?2
(2) A = 3
8?
-357
-246
1?
?初等行变换-2?~-3??
?
1 0 0 ?
010
21914190
1??19?7?
-
?190?
??-
21?
x 1=-x 3+x 4??1919
所以原方程组等价于?
?x =-14x +7x 234?1919?
取x 3=1, x 4=2得x 1=0, x 2=0
取x 3=0, x 4=19得x 1=1, x 2=7
?0??1? ? ? 0? 7?
因此基础解系为ξ1= ?, ξ2= ?
10 ? ? ? ??2??19?
(3)原方程组即为
x n =-nx 1-(n -1) x 2- -2x n -1
取x 1=1, x 2=x 3= =x n -1=0得x n =-n
取x 2=1, x 1=x 3=x 4= =x n -1=0得x n =-(n -1) =-n +1
取x n -1=1, x 1=x 2= =x n -2=0得x n =-2
?1 0
所以基础解系为(ξ1, ξ2, , ξn -1) =
0 ?-n
01 0-n +1
0??0? ? ?1??-2?
?2
18．设A =
?9
R (B ) =2.
-2-5
12
3???, 求一个4?2矩阵B , 使AB =0, 且 8?
?
解 由于R (B ) =2, 所以可设B =
?
?2AB =
?9?1 0 2 ?0
0102
3080-2-50??? 3? 0? ? ?8? ?
12
?
3? ??8? ?
10x 1x 3
0??
1??0
= ?x 20??x 4??
10x 1x 3
0?
?1?
则由 x 2??x 4??
0?
??可得 0?
x 1??-2?
? ?x 2? 2?
= , 解此非齐次线性方程组可得唯一解 ??x 3-9? ?
?x 4??5??
?11? ?
?12? ?x 1?
1 ? ? 0
x 2? 2? 11， 故所求矩阵=B = x ? 5? 23- ? ? 5 x ?2??4? -1?2 ? ?
?2?
0??1?1?． ?21??2?
19．求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
T T
ξ1=(0, 1, 2, 3) , ξ1=(3, 2, 1, 0) . 解 显然原方程组的通解为
? ?
x 1??0??3?? ? ?x 2? 1? 2?
=k 1+k 2? ? 1?,(k 1, k 2∈R ) x 32? ? ?
? ??x 4?3???0?
=3k 2=k 1+2k 2=2k 1+k 2=3k 1
?x 1
??x 2即??x 3?x ?4
消去k 1, k 2得
?2x 1-3x 2+x 4=0
此即所求的齐次线性方程组. ?
?x 1-3x 3+2x 4=0
20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, η2, η3是它 的三个解向量．且
?2??1? ? ? 3? 2?η1= ?，η2+η3= ?
43 ? ? ? ?5???4?
求该方程组的通解．
解 由于矩阵的秩为3，n -r =4-3=1，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于η1, η2, η3均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得
?3? ?4
2η1-(η2+η3) =(η1-η2) +(η1-η2) = ?=齐次解
5?
(齐次解) (齐次解) ?
??6?
?3??2? ? ? 4? 3?
为其基础解系向量，故此方程组的通解：x =k ?+ ?，(k ∈R )
54 ? ? ? ??6??5?
21．设A , B 都是n 阶方阵，且AB =0，证明R (A ) +R (B ) ≤n ．
证明 设A 的秩为r 1，B 的秩为r 2，则由AB =0知，B 的每一列向量 都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．
(1) 当r 1=n 时, 该齐次线性方程组只有零解, 故此时B =0, r 1=n ，r 2=0，r 1+r 2=n 结论成立．
(2) 当r 1
22．设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明 R (A ) +R (A -E ) =n
(提示:利用题11及题21的结论)
证明 A (A -E ) =A 2-A =A -A =0 所以由21题所证可知R (A ) +R (A -E ) ≤n 又 R (A -E ) =R (E -A ) 由11题所证可知
R (A ) +R (A -E ) =R (A ) +R (E -A ) ≥R (A +E -A ) =R (E ) =n 由此R (A ) +R (A -E ) =n ．
23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系：
x 1+x 2=??
(1) ?2x 1+x 2+x 3+2x 4=
?
?5x 1+3x 2+2x 3+2x 4=
?1100
解 (1)B = 2112
5322?
?x 1-5x 2+2x 3-3x 4=11, ?
1, (2)?5x 1+3x 2+6x 3-x 4=-1,
?
3; ?2x 1+4x 2+2x 3+x 4=-6. 5?10-8??10初等行变换? ?1?~ 01-1013?
00?3?012???5,
?-8??-1? ? ? 13? 1?
∴η= , ξ= ??01
? ? ? ??2??0?
?1
(2) B = 5
2?
-534
262
-3-11
11?
?初等行变换-1?~-6??
?
1 0 0 ?
010
971-70
-
1
2120
?1??-2? ?0???
?1??-9??1? ? ? ? -2? 1? -1?
∴η= , ξ1= , ξ2= ???070
? ? ? ? ? ?002??????
24．设η*是非齐次线性方程组Ax =b 的一个解, ξ1, , ξn -r 是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系, 证明: (1)η*, ξ1, , ξn -r 线性无关；
(2) η*, η*+ξ1, , η*+ξn -r 线性无关。
证明 (1)反证法, 假设η*, ξ1, , ξn -r 线性相关, 则存在着不全为0的数 C 0, C 1, , C n -r 使得下式成立:
*
C 0η+C 1ξ1+ +C n -r ξn -r =0 (1)
其中, C 0≠0否则, ξ1, , ξn -r 线性相关, 而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。
由于η*为特解，ξ1, , ξn -r 为基础解系，故得
**
A (C 0η+C 1ξ1+ +C n -r ξn -r ) =C 0A η=C 0b 而由(1)式可得A (C 0η*+C 1ξ1+ +C n -r ξn -r ) =0
故b =0，而题中, 该方程组为非齐次线性方程组, 得b ≠0 产生矛盾, 假设不成立, 故η*, ξ1, , ξn -r 线性无关. (2)反证法, 假使η*, η*+ξ1, , η*+ξn -r 线性相关. 则存在着不全为零的数C 0, C 1, , C n -r 使得下式成立:
***
C 0η+C 1(η+ξ1) + +C n -r (η+ξn -r ) =0 （2） 即(C 0+C 1+ +C n -r ) η*+C 1ξ1+ +C n -r ξn -r =0
1) 若C 0+C 1+ +C n -r =0, 由于ξ1, , ξn -r 是线性无关的一组基础解 2) 系, 故C 0=C 1= =C n -r =0, 由(2)式得C 0=0此时 C 0=C 1= =C n -r =0与假设矛盾.
3) 若C 0+C 1+ +C n -r ≠0由题(1)知, η*, ξ1, , ξn -r 线性无关, 故
C 0+C 1+ +C n -r =C 1=C 2= =C n -r =0与假设矛盾,
综上, 假设不成立, 原命题得证.
25. 设η1, , ηs 是非齐次线性方程组Ax =b 的s 个解，k 1, , k s 为实数， 满足k 1+k 2+ +k s =1. 证明
x =k 1η1+k 2η2+ +k s ηs 也是它的解.
证明 由于η1, , ηs 是非齐次线性方程组Ax =b 的s 个解. 故有 A ηi =b (i =1, , s )
而A (k 1η1+k 2η2+ +k s ηs ) =k 1A η1+k 2A η2+ +k s A ηs =b (k 1+ +k s ) =b
即 Ax =b （x =k 1η1+k 2η2+ +k s ηs ） 从而x 也是方程的解．
26．设非齐次线性方程组Ax =b 的系数矩阵的秩为r ，η1, , ηn -r +1是它 的n -r +1个线性无关的解(由题24知它确有n -r +1个线性无关的 解) ．试证它的任一解可表示为
x =k 1η1+k 2η2+ +k n -r +1ηn -r +1 （其中k 1+ +k n -r +1=1）. 证明 设x 为Ax =b 的任一解．
由题设知：η1, η2, , ηn -r +1线性无关且均为Ax =b 的解．
取ξ1=η2-η1, ξ2=η3-η1, , ξn -r =ηn -r +1-η1，则它的均为Ax =b 的 解．
用反证法证：ξ1, ξ2, , ξn -r 线性无关．
反设它们线性相关，则存在不全为零的数： l 1, l 2, , l n -r 使得l 1ξ1+l 2ξ2+ +l n -r ξn -r =0
即l 1(η2-η1) +l 2(η3-η1) + +l n -r (ηn -r +1-η1) =0
亦即-(l 1+l 2+ +l n -r ) η1+l 1η2+l 2η3+ +l n -r ηn -r +1=0 由η1, η2, , ηn -r +1线性无关知
-(l 1+l 2+ +l n -r ) =l 1=l 2= =l n -r =0 矛盾，故假设不对．
∴ξ1, ξ2, , ξn -r 线性无关，为Ax =b 的一组基．
由于x , η1均为Ax =b 的解，所以x -η1为的Ax =b 解?x -η1可由 ξ1, ξ2, , ξn -r 线性表出．
x -η1=k 2ξ1+k 3ξ2+ +k n -r -1ξn -r
=k 2(η2-η1) +k 3(η3-η1) + +k n -r +1(ηn -r +1-η1)
x =η1(1-k 2-k 3- -k n -r +1) +k 2η2+k 3η3+ +k n -r +1ηn -r +1=0 令k 1=1-k 2-k 3- -k n -r +1则k 1+k 2+k 3+ +k n -r +1=1 x =k 1η1+k 2η2+ +k n -r +1ηn -r +1, 证毕．
第五章 相似矩阵及二次型
1．试用施密特法把下列向量组正交化：
?1
(1) (a 1, a 2, a 3) = 1
1?
123
1??4?； 9??
?1
(2) (a 1, a 2, a 3) =
-1 ?1
?1? ?
令b 1=a 1= 1?，
1???
1-101
-1?
?1?
?1??0?
解 (1) 根据施密特正交化方法:
?-1? ?[b 1, a 2]
b 2=a 2-b 1= 0?，
[b 1, b 1] 1?
??
?1?
?[b 1, a 3][b 2, a 3]1
b 3=a 3-b 1-b 2= -2?，
[b 1, b 1][b 2, b 2]3 ?
?1?
1?
-1?
3?2
0-?．
3?1?1?
3??1? ? 0?
b =a =(2) 根据施密特正交化方法令11 -1?
? ?1???
1
故正交化后得: (b 1, b 2, b 3) = 1
1?
?1? ?
[b 1, a 2]1 -3?
b 2=a 2-b 1= ?[b 1, b 1]32
? ??1?
?-1? ?
[b 1, a 3][b 2, a 3]1 3?
b 3=a 3-b 1-b 2= ?b 1, b 1b 2, b 253 ? ??4?
? 1 0
故正交化后得 (b 1, b 2, b 3) =
-1 1?
13-12313
-
1??5?3?5? 3??5?4??5?
2．下列矩阵是不是正交阵:
? 1
1 (1) - 2 1 ?3
-12
1??3?1?
; (2) ?2?-1?
?
?1 9 -8 9 4 -?9
-891
4??9?4?． -?97??9?-
112
94-9
解 (1) 第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵．
(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．
3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为A , B 是n 阶正交阵，故A -1=A T ，B -1=B T
T -1-1
(AB ) (AB ) =B T A T AB =B A AB =E 故AB 也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量:
?1(1)
?2
?1 -1???; (2) 24? 3
?
213
?a 1 3?
? a 23?; (3)
? 6? a ?n
????(a 1???
a 2
a n ), (a 1≠0) .
并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① A -λE =
1-λ2
-14-λ
=(λ-2)(λ-3)
故A 的特征值为λ1=2, λ2=3．
② 当λ1=2时, 解方程(A -2E ) x =0, 由
?-1-1??11??-1?
得基础解系???(A -2E ) = P 1= ?~ ? ? 2??2?00??1?
所以k 1P 1(k 1≠0) 是对应于λ1=2的全部特征值向量．
当λ2=3时, 解方程(A -3E ) x =0, 由
?-2
(A -3E ) =
?2
-1?
??1?
~
?2 ?0
?1?1? -? 得基础解系?P =2? 2?0?
?1?
所以k 2P 2(k 2≠0) 是对应于λ3=3的全部特征向量．
?1?
3 -?③ [P 1, P 2]=P T P =(-1, 1) =≠0 12
2?21??
故P 1, P 2不正交．
1-λ
21-λ3
336-λ
=-λ(λ+1)(λ-9)
(2) ① A -λE =
23
故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9．
② 当λ1=0时，解方程Ax =0，由
?1 A = 2
3?
213
3??3?6??
~
?1
0 0?
210
3??-1?? ?1?得基础解系P 1= -1?
1?0????
故k 1P 1(k 1≠0) 是对应于λ1=0的全部特征值向量.
当λ2=-1时, 解方程(A +E ) x =0，由
?2
A +E = 2
3?
223
3??3?7??
~
?2
0 0?
200
3??-1?? ?1?得基础解系P 2= 1?
0?0????
故k 2P 2(k 2≠0) 是对应于λ2=-1的全部特征值向量
当λ3=9时，解方程(A -9E ) x =0，由
?-8
A -9E = 2
3?
2-83
3??3?-3??
?1
0 ?0
110
~
?1? ?
-1? 2?
?1 1?-?得基础解系P 3= ?2?2
?0?
???1?
故k 3P 3(k 3≠0) 是对应于λ3=9的全部特征值向量．
?-1? ?T
③ [P 1, P 2]=P 1P 2=(-1, -1, 1) 1?=0，
0???
?1? ? 2? 1?T
[P 2, P 3]=P 2P 3=(-1, 1, 0) =0， 2?
? ???1?
? [P 1, P 3]=P T 1P 3=(-1, -1, 1) ?
1??2?1?
=0， 2??1??
所以P 1, P 2, P 3两两正交．
a 1-λ
2
a 1a 2a 2-λ a n a 2
2
a 1a n a 2a n
a n -λ
2
(3) A -λE =
a 2a 1 a n a 1
22
=λn -λn -1(a 12+a 2+ +a n )
22
=λn -1[λ-(a 12+a 2+ +a n ) ]
n
∴λ1=a +a + +a
n
2
1222n
=
∑
i =1
a i , λ2=λ3= =λn =0
2
当λ1=
∑
i =1
a i 时，
2
(A -λE )
222
?-a 2-a 3- -a n
a 2a 1
=
a n a 1?
a 1a 2
-a 1-a 3- -a n
a n a 2
2
2
2
??
a 2a n ?
?
?
222
-a 1-a 2- -a n -1??
a 1a n
-a 1?
?
a n 0-a 2?初等行变换
~ ?
?
0 a n -a n -1?
?
0 00?
取x n 为自由未知量，并令x n =a n ，设x 1=a 1, x 2=a 2, x n -1=a n -1.
?a n 0 0 ?0
00
?a 1? ? a 2?
故基础解系为P 1= ?
? a ??n ?
当λ2=λ3= =λn =0时，
?a 12
a 2a 1
(A -0?E )=
a a ?n 1
a 1a 2a 2 a n a 2
2
a 1a n ?
?a 2a n ?
? ?2?a n ?
?a 1
初等行变换
~
?0
a 20 0
a n ??0?
? ??0?
???? ????
可得基础解系
?-a 2 a 1
P 2= 0
?0
?-a n ??-a 2?
? ?
0? 0?
?, P = a ?, , P = 0
n
?3 1?
? ?
? ?
0????a 1
综上所述可知原矩阵的特征向量为
?a 1
a 2
(P 1, P 2, , P n )=
a ?n
-a 2a 1 0
-a n ?
?0?
? ?a 1??
-2-4?0??1?50
? ?
5．设方阵A = -2x -2?与Λ= 0y 0?相似，求x , y .
-4-2 00-4?1?????
解 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ的特征多项式相同，即
1-λ
A -λE =Λ-λE ?
-2x -λ-2
-4-2=1-λ
5-λ00
0y -λ0
00-4-λ
-2-4
?x =4
． ??
?y =5
6．设A , B 都是n 阶方阵，且A ≠0，证明AB 与BA 相似． 证明 A ≠0则A 可逆
A (AB ) A =(A
-1
-1
A )(BA ) =BA 则AB 与BA 相似．
7．设3阶方阵A 的特征值为λ1=1, λ2=0, λ3=-1；对应的特征向量依 次为
?1? ?
P 1= 2?，P 2= -2
1 2?
???
求A .
?
2?
?-2?? ?
?，P 3= -1? ? 2????
解 根据特征向量的性质知(P 1, P 2, P 3) 可逆,
?λ1
-1
得:(P 1, P 2, P 3) A (P 1, P 2, P 3) =
??λ1
可得A =(P 1, P 2, P 3)
?
?-102?
?1
得A = 012?
3
20??2?
λ2
?
?? λ3??
λ2
?
?-1(P , P , P ) ?123
λ3??
8．设3阶对称矩阵A 的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为
T
P 1=(1, 1, 1) , 求A .
?x 1
解 设A = x 2
x ?3
x 2x 4x 5
x 3??x 5? x 6??
?x 1+x 2+x 3=6?1??1?
? ??
由A 1?=6 1?，知①?x 2+x 4+x 5=6
1? 1??x +x +x =6????56?3
3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知A -3E 的秩为1， ?x 1-3
故利用①可推出 x 2
x
3?
x 2x 4-3x 5
?
?x 5?x 6-3??x 3
~
?1
x 2 x ?3
1x 4-3x 5
??x 5? x 6-3??
1
秩为1.
?(1, 1, 1) =a (x 2, x 4-3, x 5)
则存在实的a , b 使得②?成立．
?(1, 1, 1) =b (x 3, x 5, x 6-3)
由①②解得x 2=x 3=1, x 1=x 4=x 6=4, x 5=1．
?4
得A = 1
1?
141
1??1?． 4??
9．试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称矩阵化为对角矩阵:
?2
(1) -2
0?
-21-2
0?
?-2?0??
?2
; (2) 2
-2?
-21-λ-2
25-4
-2?
?-4?． 5??
2-λ
解 (1) A -λE =-2
-2=(1-λ)(λ-4)(λ+2) -λ
故得特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4．
当λ1=-2时，由
?4 -2 0?
-23-2
0??x 1??x 1??1?
? ?? ?
-2? x 2?=0解得 x 2?=k 1 2?
2? ? x ?2???x 3????3?
?13?
?
单位特征向量可取:P 1= 23?
23???
当λ2=1时, 由
?1
-2 0?
-20-2
0??x 1??x 1??2?
? ?? ?
-2? x 2?=0解得 x 2?=k 2 1?
-2? ? x ?-1???x 3????3?
?23?
?
单位特征向量可取: P 2= 13?
-23???
当λ3=4时, 由
?-2
-2 0?
-2-3-2
0??x 1??x 1??2?
? ?? ?
-2? x 2?=0 解得 x 2?=k 3 -2?．
1? x ? x ?-4???3????3?
?23? ?
单位特征向量可取: P 3= -23?
13????11
得正交阵(P 1, P 2, P 3) =P = 2
3 ?2?-2 -1
P AP = 0
0?
010
0??0? 4??
25-λ-4
-2?
?2
-4?=-(λ-1) (λ-10) ， 5-λ??
21-2
2?
?-2? 1??
?2-λ
(2)A -λE = 2
-2?
故得特征值为λ1=λ2=1, λ3=10 当λ1=λ2=1时，由
?1 2 -2?
24-4
-2??x 1??0??x 1??-2??2?
? ? ?? ? ?
-4? x 2?= 0?解得 x 2?=k 1 1?+k 2 0?
0? 1? x ? 0? x ?4???3????????3?
此二个向量正交, 单位化后, 得两个单位正交的特征向量
?-2?
?1
P 1= 1?
5 ?0??P 2
*
?-2??-2??25? ?-4 ? ?= 1?- 1?= 45?单位化得P 2=
5 0?? ?
???0??1?
2
?25?
?5
45? 3 ??1?
当λ3=10时, 由
-2??x 1??0??x 1??-1?
? ?? ? ?
-5-4? x 2?= 0?解得 x 2?=k 3 -2?
2? ? ? x ?-4-5???x 3??0????3?
?-1?
?1
单位化P 3= -2?:得正交阵(P 1, P 2, P 3)
3 ??2??-8 2 -2?
? - = ?
25150
2515451553010
1?-?3?2?-? 3?2?3??0??0?． 1??
?1
-1
P AP = 0
0?
-2??3109
10．(1) 设A = ，求； ??(A ) =A -5A ?
3??-2
?212? ?
(2) 设A = 122?, 求?(A ) =A 10-6A 9+5A 8．
221????3
解 (1) A =
?-2
2???是实对称矩阵. 3?
-1?
?2?
1?
?2?
?1
故可找到正交相似变换矩阵P = 2
1 ?2
使得P
-1
?1AP =
?00???=Λ 5?
从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1
因此?(A ) =A 10-5A 9=P Λ10P -1-5P Λ9P -1
?1
=P
?01?1 = 2?1?-2
=
?-2
0?-1?5?P -P 10? 5??0-1??-4
?? 1??0-2??1
??=-2 -2??1
0?-1?-4
?P =P 10? 5??0
1?
?? 1?
0?-1
??P 0?
0?1?1
? ? 0?2?-11???． 1?
(2) 同(1)求得正交相似变换矩阵
? - P = -
?
666663
-
12120
1??3?1?? 3?1??3?010
8
?-1 -1
使得P AP = 0
0?0??-10?=Λ, A =P ΛP 5??
8
?(A ) =A
8
10
-6A +5A
2
9
=A (A -6A +5E ) =A (A -E )(A -5E )
=P ΛP
8
-1
?1
? 1 2?
112
2??-3? 2? 1 0???2
1-32
2??1
? 2?=2 1
-2-4???
11-2
-2?
?-2?． 4??
11．用矩阵记号表示下列二次型:
(1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; (2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ;
222
(3) f =x 12+x 2+x 3+x 4-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4. 解 (1)
?1
f =(x , y , z ) 2
1?
242-11-2
1??x ?? ?2? y ?． z ?1????-2??x ?? ?-2? y ?．
?-7???z ?
?1
(2) f =(x , y , z ) -1
-2?
(3)
?1 -1
f =(x 1, x 2, x 3, x 4)
2 ?-1
-113-2
2310
-1??
? -2? 0? ? ?1? ?x 1?
?x 2?
． ?x 3?x 4??
12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
22
+3x 3+4x 2x 3; (1) f =2x 12+3x 2
222
+x 3+x 4+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4． (2) f =x 12+x 2
?2
解 (1) 二次型的矩阵为A = 0
0?
032
0??2? 3??
2-λ
A -λE =
00
03-λ2
023-λ
=(2-λ)(5-λ)(1-λ)
故A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1． 当λ1=2时, 解方程(A -2E ) x =0，由
?0
A -2E = 0
0?
012
0??2?1??
~
?0
0 0?
100
2??1? 0??
?1??1?
? ?
得基础解系ξ1= 0?. 取P 1= 0?
0? 0?????
当λ2=5时，解方程(A -5E ) x =0，由
?-3
A -5E = 0
0?
0-22
0??2?-2??
~
?1
0 0?
010
0??-1? 0??
?0??0?
? ?
得基础解系ξ2= 1?取P 2= 12?．
1? 12?????
当λ3=1时，解方程(A -E ) x =0，由 ?1
A -E = 0
0?
022
0??2?2??
~
?1
0 0?
010
0??1? 0??
0?0???
? ?
得基础解系ξ3= -1?取P 3= -12?，
1? 12?????
于是正交变换为
?x 1??1
? x 2?= 0 x ? 0?3??
011
22
??y 1?
??
-12? y 2?
y ?12???3?0
22
+y 3． 且有f =2y 12+5y 2
?1 1
(2)二次型矩阵为A =
0 ?-1
11-10
0-111
-1?
?0?
?1??1?
1-λ
A -λE =
10-1
11-λ-10
0-11-λ1
-1011-λ
2
=(λ+1)(λ-3)(λ-1) ，
故A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1
?1? ? 2? -1?
2?， 当λ1=-1时，可得单位特征向量P 1=
1? -? 2?1 ??2??1? ? 2? 1?2?， 当λ2=3时，可得单位特征向量P 2=
1? -? 2?
1 -??2?
?
当λ3=λ4=1时，可得单位特征向量P 3=
?1??0?? 1?2? ?0?
，P 4= 2?． 1? 0?
1?2?
??
0??2?
于是正交变换为
11?1
22 2
?x 1?1 ? -10x 2?22
= x ? 1113 -- ?
x ? 222?4?
1 1
-0
2?2
22+y 3+且有f =-y 12+3y 2
?
0??
y 1?1?? ?2? y 2?
? ?y
0? 3?
?? ?y 4?
1??2?2
y 4．
13．证明：二次型f =x T Ax 在x =1时的最大值为矩阵A 的最大特征 值.
证明 A 为实对称矩阵，则有一正交矩阵T ，使得
?λ1? ?
λ2 ?-1
TAT = =B 成立． ?
? λn ???
其中λ1, λ2, , λn 为A 的特征值，不妨设λ1最大，
T
为正交矩阵，则T -1=T T 且T =1，故A =T -1B T =T T B T
22
则f =x T Ax =x T T T BTx =y T By =λ1y 12+λ2y 2+ +λn y n ． 其中y =Tx
当y ==x =x =1时，
2222
=1即y 1+y 2+ +y n =1 即y 12+y 22+ +y n
f 最大=(λ1y 1+ +λn y n ) 最大
22
y 1=1
=
λ1．
故得证．
14．判别下列二次型的正定性：
22
(1)f =-2x 12-6x 2-4x 3+2x 1x 2+2x 1x 3;
222
(2)f =x 12+3x 2+9x 3+19x 4-2x 1x 2+4x 1x 3+2x 1x 4-6x 2x 4
-12x 3x 4
?-2
解 (1) A = 1
1?
1-60
1??0?, -4??
-2
1-60
10-4
=-38<>
a 11
=-2<>
-21
1-6
=11>0，1
1
故f 为负定．
?1
-1
(2) A =
2 ?1
1-12
-12
30
-130-3
209-6
1?
?-3?1
，，a 11=1>0?-6-1??19?
-13
=4>0,
0=6>0, A =24>0． 9
故f 为正定．
15．设U 为可逆矩阵, A =U T U , 证明f =x T Ax 为正定二次型．
?a 11
证明 设U =
a ?n 1
a 12 a n 2
T
? a 1n ?
? ?=(a 1, a 2, , a n ) ，x =
a nn ?? ?
x 1??x 1?
， ? ?x n ??
f =x T Ax =x T U T Ux =(Ux ) (Ux )
=(a 11x 1+ +a 1n x n , a 21x 1+ +a 2n x n , , a n 1x 1+ +a nn x n ) ?a 11x 1+ +a 1n x n
a 21x 1+ +a 2n x n ?
a x + +a x
nn n ?n 11
2
?
??? ???
2
2
=(a 11x 1+ +a 1n x n ) +(a 21x 1+ +a 2n x n ) + +(a n 1x 1+ +a nn x n ) ≥0．
?a 11x 1+ +a 1n x n =0?
若“=0”成立，则?成立．
?a x + +a x =0
nn n ?n 11
?x 1?
? x 1?
即对任意x = ?使α1x 1+α2x 2+ +αn x n =0成立．
? x ??n ?
则α1, α2, , αn 线性相关, U 的秩小于n ，则U 不可逆，与题意产生矛盾．
于是f >0成立．
故f =x T Ax 为正定二次型．
16．设对称矩阵A 为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵U ，使A =U T U ． 证明 A 正定，则矩阵A 满秩，且其特征值全为正． 不妨设λ1, , λn 为其特征值，λi >0i =1, , n 由定理8知，存在一正交矩阵P
?λ1
使P T AP =Λ=
?
? = ?
λ2
???? ?λn ??
λ1
λ2
??? ? ?? ?
λn ???
λ1
λ2
?
??? ?λn ??
又因P 为正交矩阵，则P 可逆，P -1=P T ． 所以A =PQ Q T P T =PQ ?(PQ ) T ． 令(PQ ) T =U ，U 可逆, 则A =U T U .
范文四：同济大学第四版线性代数课后习题答案
第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 : (1)381411
02---;
解 3
81411
02---
=2?(-4) ?3+0?(-1) ?(-1) +1?1?8 -0?1?3-2?(-1) ?8-1?(-4) ?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ) .
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y ) y +yx (x +y ) +(x +y ) yx -y 3-(x +y ) 3-x 3 =3xy (x +y ) -y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3) .
2. 按自然数从小到大为标准次序 , 求下列各排列的逆序 数 :
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为 4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ) ;
解 逆序数为 2)
1(-n n :
3 2 (1个 ) 5 2, 5 4(2个 ) 7 2, 7 4, 7 6(3个 )
??????
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2) (n -1个 )
(6)1 3 ???(2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.
解 逆序数为 n (n -1) :
3 2(1个 )
5 2, 5 4 (2个 )
??????
(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2) (n -1个 ) 4 2(1个 )
6 2, 6 4(2个 )
??????
(2n )2, (2n )4, (2n )6,???, (2n )(2n -2) (n -1个 )
3.写出四阶行列式中含有因子 a 11a 23的项 .
解 含因子 a 11a 23的项的一般形式为
(-1) t a 11a 23a 3r a 4s ,
其中 rs 是 2和 4构成的排列 ,这种排列共有两个 ,即 24和 42.所以含因子 a 11a 23的项分别是
(-1) t a 11a 23a 32a 44=(-1) 1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,
(-1) t a 11a 23a 34a 42=(-1) 2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.
4.计算下列各行列式 :
(1)711002520214
214; 解 71
1
025202142140
1
00142320211021
473234
-----======c c c c 34) 1(14322110
14+-?---= 1432211014--=014
1720010
993231=-++======c c c c .
(2)2605232112131412-; 解 26
05232112131412-26050322213041224--=====c c 0
41203212213041
224--=====r r 00
00032122130
412
14=--=====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解 ef cf bf de cd bd ae
ac ab ---e c b e c b e c b adf ---=
abcdef 4111111
11=---=.
(4)d
c b a 100110011001---. 解 d c b a 100110011001---d
c b a
ab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 10110) 1)(1(12--+--=+0
101123-+-++=====cd c ad
a ab dc c
cd
ad ab +-+--=+11) 1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明 :
(1)111222
2b b a a b ab a +=(a -b ) 3;
证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22) 1(2
221
3-----=+21) )((a b a a b a b +--==(a -b ) 3 . (2)y x z x z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax ) (33+=+++++++++;
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz ay y x by ax x z bx
az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y x z x
z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b a ) (33+=.
(3)0) 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1(2
22222222
2222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明
2
222222222222
222) 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得 ) 5
232125232125232125
232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得 )
02
212221222122
2122222=++++=d d c c b b a a . (4)4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a )
() () (0) () () (00111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a
d a c a b ---------=
)
() () (1
11) )()((2
22a d d a c c a b d c b a d a c a b +++---=
)
)(() )((1
1) )()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=
) () (11) )()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ) . (5)1
22
1
1 000 0
0 10
00 01a x a a a a x x x
n n n
+?
??-????????????????
????-???--- =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明 .
当 n =2时 , 2121
221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立 . 假设对于 (n -1) 阶行列式命题成立 , 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ? ? ? +a n -2x +a n -1, 则 D n 按第一列展开 , 有
1
11
00 100 01
) 1(11-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n . 因此 , 对于 n 阶行列式命题成立 .
6. 设 n 阶行列式 D =det(a ij ), 把 D 上下翻转、 或逆时针旋转 90?、或依副对角线翻转 , 依次得
n nn n a a a a D 11111 ???????????????=, 11112 n nn n a a a a D ???????????????= , 11113 a a a a D n n
nn ???????????????=,
证明 D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3=D .
证明 因为 D =det(a ij ) , 所以 n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 221
1
111
111111 ) 1( ??????????????????-=???????????????=-
???=?
????????????????????--=-- ) 1() 1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a D D n n n n 2
) 1() 1() 2( 21) 1() 1(--+-+???++-=-=.
同理可证 nn
n n n n a a a a D ???????????????-=- ) 1(11112
) 1(2D D n n T
n n 2)
1(2) 1() 1() 1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----) 1(2
) 1(2
) 1(22
) 1(3) 1()
1()
1() 1(.
7. 计算下列各行列式 (D k 为 k 阶行列式 ) :
(1)a
a
D n 1
1?
??=, 其中对角线上元素都是 a , 未写出的元素
都是 0; 解
a
a a a a D n 0 0010 000 00 00
0 00
10 00?????????????????????????????????=(按第 n 行展开 ) )
1() 1(1
0 0
0 0
0 00
0 001
0 000) 1(-?-+?
???????????????????????????-=n n n a
a a ) 1() 1(2 ) 1(-?-????-+n n n a a a
n n n n
n a a a
+?
??-?-=--+)
2)(2(1
) 1() 1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1) .
(2)x
a a a x a a a x
D n ????????????
???????= ; 解 将第一行乘 (-1) 分别加到其余各行 , 得 a
x x a a
x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=00
0 0 00 0
, 再将各列都加到第一列上 , 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0
0 ) 1(=[x +(n -1) a ](x -a ) n -1. (3)1
1
1 1 ) ( ) 1() ( ) 1(1
1
11???-?
????????-?
?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n
n n ; 解 根据第 6题结果 , 有 n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D ) ( ) 1() ( ) 1( 11 11) 1(1
112) 1(1-???--?????????-?
?????-???-???-=---++
此行列式为范德蒙德行列式 .
∏≥>≥++++--+--=1
1) 1(1)]1() 1[() 1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
) 1()]([) 1(j i n n n j i
∏≥>≥++???+-++-?
-?-=1
12
1
) 1(2
) 1() () 1() 1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=1
1) (j i n j i .
(4)n
n
n
n
n d c d c b a b a D ????????????=
1
1112; 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ??????
??????=
1
1112(按第 1行展开 ) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----?
???????????=
0)
1(11
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+?
?????
??????-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即 D 2n =(a n d n -b n c n ) D 2n -2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222) (.
而 1
111111
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1
2) (. (5) D=det(a ij ) , 其中 a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0
4321 4 0123
3 10122 2101
1 3210) det(???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n 0
432
1
1 11111 11111 1111
1 1111 2132?
??----????????????????
?????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r
5242321 0 22210 02210 0021
0 0001 1213-???----????????????????
?????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c =(-1) n -1(n -1)2n -2.
(6)n
n a a a D +??????????????????+???+=1 11 1 111
1
2
1, 其中 a 1a 2 ? ? ? a n
≠0.
解
n
n a a a D +??????????????????+???+=1 1
1 1 111 1
2
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????
?????-???-???-???-=====--10
0001 000 100 0
100 0100 00
113322
1
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
00011 000 00 110
00 011
00 001 ------+-???-????
???????????????????????-???-??????=n
n n a a a a a a a a
∑=------+?????????????????????????
?????????????=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
13121121100 0001
0 000 00 100
00 01000 001
) 11)((121∑=+=n
i i n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组 :
(1)?????=+++-=----=+-+=+++0112325322
4254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
2135132
41211
111
-=----=D , 142112
105132412211151-=------=D , 28411
2
3
5122
4121
1
15
12-=-----=D , 426110135
232
4221513-=----=D , 1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 11==
D
D x , 22==D D x , 33==D D x , 14-==D D
x .
(2)??
?
????=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
10006510006510
0651
00065==D , 150751006510006510
00650
00061==D , 11455101651006500
06000012-==D , 703511065000601000500163==D , 3955
1
00060100005100
065010654-==D , 2121
1
000
0510006510
065100655==D , 所以
66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 665
3954-=x , 6652124=x .
9. 问 λ, μ取何值时 , 齐次线性方程组 ?????=++=++=++0
200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非
零解?
解 系数行列式为
μλμμμλ-==2111D .
令 D =0, 得 μ=0或 λ=1.
于是 , 当 μ=0或 λ=1时该齐次线性方程组有非零解 .
10. 问 λ取何值时 , 齐次线性方程组 ?????=-++=+-+=+--0) 1(0
) 3(20
42) 1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解?
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
311113242D
=(1-λ) 3+(λ-3) -4(1-λ) -2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ) 3+2(1-λ) 2+λ-3. 令 D =0, 得
λ=0, λ=2或 λ=3.
于是 , 当 λ=0, λ=2或 λ=3时 , 该齐次线性方程组有非零解 .
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换 :
?????++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量 x 1, x 2, x 3到变量 y 1, y 2, y 3的线性变换 . 解 由已知 :
?
???
?????? ?
?=???? ??221321323513122y y y x x x ,
故 ???? ?????? ?
?=???? ??-3211
221323513122x x x y y y ?
???
?????? ??----=321423736947y y y ,
?????-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
?????++=++-=+=321332123
11542322y y y x y y y x y y x ,
?????+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y , 求从 z 1, z 2, z 3到 x 1, x 2, x 3的线性变换 .
解 由已知
???? ?????? ??-=???? ??221321514232102y y y x x x ???
?
?????? ??--???? ??-=32131
010
201
3514232102z z z
???? ?????? ??----=321161109412316z z z ,
所以有 ?????+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设 ???? ??--=111111111A , ????
??--=150421321B , 求 3AB -2A 及 A T B .
解 ????
??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB
????
??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,
???
?
??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T .
4. 计算下列乘积 : (1)???
?
?????? ??-127075321134;
解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132) 2(71112374????
??=49635.
(2)???
?
??123) 321(;
解 ???
?
??123) 321(=(1?3+2?2+3?1) =(10).
(3)) 21(312-???
?
??;
解 ) 21(312-????
?????? ???-??-??-?=23) 1(321) 1(122) 1(2???
?
??---=6321
42. (4)????
?
??---??? ??-20
4
131
210131
43110412 ; 解 ????
?
??---??? ??-20
4
131210131
43110412??? ??---=6520876. (5)????
?????? ??321332313232212131211321) (x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
???
?
?????? ??321332313232212131211321) (x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3) ???
?
??321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设 ??? ??=3121A , ??
? ??=2101
B , 问 : (1)AB =BA 吗 ? 解 AB ≠BA .
因为 ??? ??=64
43AB , ??
? ??=8321BA , 所以 AB ≠BA .
(2)(A +B ) 2=A 2+2AB +B 2吗 ? 解 (A +B ) 2≠A 2+2AB +B 2.
因为 ??? ??=+52
22B A , ??? ?
???? ?
?=+5222
52
22) (2B A ??
? ??=2914148,
但 ??? ??+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??? ??=27151610, 所以 (A +B ) 2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B ) =A 2-B 2吗 ? 解 (A +B )(A -B ) ≠A 2-B 2.
因为 ??? ??=+52
22B A , ??
? ??=-1020
B A , ??
? ??=??? ????? ??=-+9060
102052
22) )((B A B A , 而 ??
? ??=??? ??-??? ??=-71
8243011148322B A ,
故 (A +B )(A -B ) ≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的 :
(1)若 A 2=0, 则 A =0;
解 取 ??
? ??=0010A , 则 A 2=0, 但 A ≠0. (2)若 A 2=A , 则 A =0或 A =E ;
解 取 ??? ?
?=0011A , 则 A 2=A , 但 A ≠0且 A ≠E . (3)若 AX =AY , 且 A ≠0, 则 X =Y .
解 取 ??? ??=0001A , ??? ??-=1111X , ??
? ??=1011Y , 则 AX =AY , 且 A ≠0, 但 X ≠Y .
7. 设 ??
? ??=101λA , 求 A 2, A 3, ? ? ?, A k . 解 ??
? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA , ??
? ??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A , ? ? ? ? ? ?,
??
? ??=101λk A k . 8. 设 ???
? ??=λλλ001001A , 求 A k . 解 首先观察
???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ???
? ??=222002012λλλλλ,
???
? ??=?=3232323003033λλλλλλA A A , ???
? ??=?=43423434004064λλλλλλA A A , ???
? ??=?=545345450050105λλλλλλA A A , ? ? ? ? ? ?,
??=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002) 1(121----????
? . 用数学归纳法证明 :
当 k =2时 , 显然成立 .
假设 k 时成立,则 k +1时,
???? ?
??????
? ??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002) 1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ?????
? ??+++=+-+--+11111100) 1(02) 1() 1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知 :
?????
? ??-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002) 1(121. 9. 设 A , B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,证明 B T AB 也是 对称矩阵 .
证明 因为 A T =A , 所以
(B T AB ) T =B T (B T A ) T =B T A T B =B T AB ,
从而 B T AB 是对称矩阵 .
10. 设 A , B 都是 n 阶对称矩阵, 证明 AB 是对称矩阵的充分 必要条件是 AB =BA .
证明 充分性 : 因为 A T =A , B T =B , 且 AB =BA , 所以 (AB ) T =(BA ) T =A T B T =AB ,
即 AB 是对称矩阵 .
必要性 : 因为 A T =A , B T =B , 且 (AB ) T =AB , 所以
AB =(AB ) T =B T A T =BA .
11. 求下列矩阵的逆矩阵 :
(1)??
? ??5221; 解 ??? ?
?=5221A . |A |=1, 故 A -1存在 . 因为 ??? ?
?--=??? ??=1225*22122111A A A A A ,
故 *||11A A A =-??
? ??--=1225. (2)??
? ??-θθθθcos sin sin cos ; 解 ??
? ??-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故 A -1存在 . 因为 ??? ?
?-=??? ??=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-??
? ??-=θθθθcos sin sin cos . (3)???
? ??---145243121; 解 ???
? ??---=145243121A . |A |=2≠0, 故 A -1存在 . 因为 ???? ?
?-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-????? ?
?-----=1716213213012. (4)????? ?
?n a a a 0021(a 1a 2? ? ?a n ≠0) .
解 ????
? ??=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ???????
? ??=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程 :
(1)??
? ??-=??? ??12643152X ; 解 ??? ??-??? ?
?=-126431521X ??? ??-??? ??--=12642153??? ??-=80232. (2)??? ??-=???
? ??--234311111012112X ; 解 1
111012112234311-???
? ??--??? ??-=X ???
? ??---??? ??-=03323210123431131 ???? ??---=32538122.
(3)??
? ??-=??? ??-??? ??-101311022141X ;
解 1
1110210132141--??? ??-??? ??-??? ??-=X ??
? ????? ??-??? ??-=210110131142121 ??? ????? ??=21010366121???
? ??=04111. (4)???
? ??---=???? ?????? ??021102341010100001100001010X . 解 1
1010100001021102341100001010--???
? ?????? ??---???? ??=X ???? ?????? ??---???? ??=010100001021102341100001010???? ??---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组 :
(1)?????=++=++=++3
532522132321321321x x x x x x x x x ;
解 方程组可表示为
???
? ??=???? ?????? ??321153522321321x x x , 故 ???? ??=???? ?????? ??=???? ??-0013211535223211
321x x x ,
从而有 ?????===0
01321x x x .
(2)?????=-+=--=--0
5231322321321321x x x x x x x x x .
解 方程组可表示为
???
? ??=???? ?????? ??-----012523312111321x x x , 故 ???? ??=???? ?????? ?
?-----=???? ??-3050125233121111321x x x , 故有 ?????===3
05321x x x . 14. 设 A k =O (k 为正整数 ) , 证明 (E -A ) -1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1. 证明 因为 A k =O , 所以 E -A k =E . 又因为
E -A k =(E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1) ,
所以 (E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1) =E ,
由定理 2推论知 (E -A ) 可逆 , 且
(E -A ) -1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.
证明 一方面 , 有 E =(E -A ) -1(E -A ) .
另一方面 , 由 A k =O , 有
E =(E -A ) +(A -A 2) +A 2-? ? ?-A k -1+(A k -1-A k )
=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ) ,
故 (E -A ) -1(E -A ) =(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ) ,
两端同时右乘 (E -A ) -1, 就有
(E -A ) -1(E -A ) =E +A +A 2+? ? ?+A k -1.
15. 设方阵 A 满足 A 2-A -2E =O , 证明 A 及 A +2E 都可逆 , 并 求 A -1及 (A +2E ) -1.
证明 由 A 2-A -2E =O 得
A 2-A =2E , 即 A (A -E ) =2E ,
或 E E A A =-?) (2
1, 由定理 2推论知 A 可逆 , 且 ) (2
11E A A -=-. 由 A 2-A -2E =O 得
A 2-A -6E =-4E , 即 (A +2E )(A -3E ) =-4E ,
或 E A E E A =-?+) 3(4
1) 2( 由定理 2推论知 (A +2E ) 可逆 , 且 ) 3(4
1) 2(1A E E A -=+-.
证明 由 A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,
即 |A ||A -E |=2,
故 |A |≠0,
所以 A 可逆 , 而 A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故 A +2E 也可逆 . 由 A 2-A -2E =O ?A (A -E ) =2E
?A -1A (A -E ) =2A -1E ?) (2
11E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ?(A +2E ) A -3(A +2E ) =-4E
? (A +2E )(A -3E ) =-4 E ,
所以 (A +2E ) -1(A +2E )(A -3E ) =-4(A +2 E ) -1,
) 3(4
1) 2(1A E E A -=+-. 16. 设 A 为 3阶矩阵 , 2
1||=A , 求 |(2A ) -1-5A *|. 解 因为 *|
|11A A A =-, 所以 |||521||*5) 2(|111----=-A A A A A |2
521|11---=A A =|-2A -1|=(-2) 3|A -1|=-8|A |-1=-8?2=-16. 17. 设 矩 阵 A 可 逆 , 证 明 其 伴 随 阵 A *也 可 逆 , 且 (A *)-1=(A -1)*.
证明 由 *|
|11A A A =-, 得 A *=|A |A -1, 所以当 A 可逆时 , 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,
从而 A *也可逆 .
因为 A *=|A |A -1, 所以
(A *)-1=|A |-1A . 又 *) (||)*(|
|1111---==A A A A A , 所以
(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.
18. 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A *, 证明 :
(1)若 |A |=0, 则 |A *|=0;
(2)|A *|=|A |n -1.
证明
(1)用反证法证明 . 假设 |A *|≠0, 则有 A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,
所以 A *=O , 这与 |A *|≠0矛盾,故当 |A |=0时 , 有 |A *|=0.
(2)由于 *|
|11A A A =-, 则 AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .
若 |A |≠0, 则 |A *|=|A |n -1;
若 |A |=0, 由 (1)知 |A *|=0, 此时命题也成立 .
因此 |A *|=|A |n -1.
19. 设 ???
? ??-=321011330A , AB =A +2B , 求 B . 解 由 AB =A +2E 可得 (A -2E ) B =A , 故
???? ??-???? ??---=-=--321011330121011332) 2(11A E A B ???? ?
?-=011321330. 20. 设 ???? ??=101020101A , 且 AB +E =A 2+B , 求 B .
解 由 AB +E =A 2+B 得 (A -E ) B =A 2-E , 即 (A -E ) B =(A -E )(A +E ) .
因为 010010101
00||≠-==-E A , 所以 (A -E ) 可逆 , 从而
???
?
??=+=201030102E A B .
21. 设 A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求 B . 解 由 A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E ) BA =-8E , B =-8(A *-2E ) -1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A ) -1 =-8(|A |E -2A ) -1 =-8(-2E -2A ) -1 =4(E +A ) -1
=4[diag(2, -1, 2)]-1
2
1 , 1 , 21(diag 4-=
=2diag(1, -2, 1).
22. 已知矩阵 A 的伴随阵 ????
?
?
?-=803001010010
0001*A , 且 ABA -1=BA -1+3E , 求 B .
解 由 |A *|=|A |3=8, 得 |A |=2. 由 ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,
B =3(A -E ) -1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)2
1(3---=-=A E A E
????
? ?
?-=?????
?
?--=-10
30060
6006000
0660
3001010010
000161
. 23. 设 P -1AP =Λ, 其中 ??? ??--=1141P , ??
? ??-=Λ2001, 求 A 11. 解 由 P -1AP =Λ, 得 A =P ΛP -1, 所以 A 11= A=P Λ11P -1.
|P |=3, ??
? ??-=11
41*P , ??? ??--=-1141311P ,
而 ??
? ??-=??? ?
?-=Λ1111
1120 012001,
故 ?????
??--??? ??-??? ??--=31313431200111411111A ??? ??--=68468327322731. 24. 设 AP =P Λ, 其中 ????
??--=111201111P , ???
? ??-=Λ511,
求 ?(A ) =A 8(5E -6A +A 2) . 解 ?(Λ) =Λ8(5E -6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5) -diag(-6,6,30) +diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0) =12diag(1,0,0) . ?(A ) =P ?(Λ) P -1
*) (|
|1P P P Λ=?
??
?? ??------???? ?????? ??---=1213032220000000011112011112 ???
?
??=1111111114.
25. 设矩阵 A 、 B 及 A +B 都可逆 , 证明 A -1+B -1也可逆 , 并 求其逆阵 . 证明 因为
A -1(A +B ) B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,
而 A -1(A +B ) B -1是三个可逆矩阵的乘积 , 所以 A -1(A +B ) B -1可逆 , 即 A -1+B -1可逆 .
(A -1+B -1) -1=[A -1(A +B ) B -1]-1=B (A +B ) -1A . 26. 计算 ????
? ?
?---?????
?
?3000320012101301300012001010
0121. 解 设 ??? ??=10
211A , ??? ??=3012
2A , ??? ??-=12131B , ??
? ??--=30322B ,
则 ??? ????? ??2121B O B E A O E A ??
?
??+=222111B A O B B A A ,
而 ??
? ??-=??? ??--+??? ??-??? ??=+4225303212131021211B B A ,
??
? ??--=??? ??--??? ??=90343032301222B A , 所以 ??? ????? ??2121B O B E A O E A ??? ??+=222111B A O B B A A ????
?
??---=9000
340042102521
, 即 ????? ?
?---?????
?
?3000320012101301300012001010
0121????
? ?
?---=90003400
42102521. 27. 取 ??? ??==-==10
01D C B A , 验证 |||||||| D C B A D C B A ≠.
解 4100120021
10
00210
10
0101
1010
0101
==-=--=D C B A , 而 0
||||||| ==D C B A ,
故 |
||||
||| D C B A D C B A ≠.
28. 设 ????? ??-=220
23443O O A , 求 |A 8|及 A 4
. 解 令 ??? ??-=34431A , ??? ??=22022A , 则 ??
?
??=21A O O A A , 故 8
218??? ??=A O O A A ??
? ??=8281A O O A ,
16
82
818281810||||||||||===A A A A A . ?
????
?
?=??? ??=464
444241422025005O O A O O A A . 29. 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆 , 求 (1)1
-?
?
? ??O B A O ; 解 设 ?
?
? ??=??? ??-43211
C C C C O B A O , 则
??? ??O B A O ??? ??4321C C C C ??? ?
?=??? ??=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ?????====s n E BC O BC O AC E AC 2143??????====--12
1413B C O C O
C A C ,
所以 ??
? ??=??? ??---O A B O O B A O 11
1
. (2)1
-??
? ??B C O A . 解 设 ??
?
??=??? ??-43211
D D D D B C O A , 则
??
? ??=??? ??++=??? ????? ??s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 423121
4321.
由此得 ?????=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121??????=-===----14
113211B D CA B D O
D A D ,
所以 ??
? ??-=??? ??-----1111
1
B CA B O A B C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵 : (1)????
?
?
?250038000012
0025; 解 设 ??? ??=1225A , ??
? ?
?=2538
B , 则 ??? ??--=??? ?
?=--522112251
1A , ??
? ??--=??? ?
?=--85322538
1
1B .
于是 ????
? ??----=??? ??=??? ??=?????
??----850032000052002125
0038000012
0025
1111
B A B A .
(2)????
?
?
?41
2
103120021
0001. 解 设 ??? ??=2101A , ??? ??=4103B , ??
? ??=2112C , 则
??? ??-=??? ??=????
?
?
?------11111
1
41
2103120021
0001
B CA B O A B C O A
???????
?
??-----=4112
1245
8103161
21002
1210001
.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵 : (1)???
?
??--340313021201;
解 ????
??--340313021201(下一步 : r 2+(-2) r 1, r 3+(-3) r 1. )
~????
??---020031001201(下一步 : r 2÷(-1) , r 3÷(-2) . )
~????
??--010031001201(下一步 : r 3-r 2. )
~????
??--300031001201(下一步 : r 3÷3. )
~????
??--100031001201(下一步 : r 2+3r 3. )
~????
??-100001001201(下一步 : r 1+(-2) r 2, r 1+r 3. )
~????
??100001000001.
(2)???
?
??----174034301320;
解 ???
?
??----174034301320(下一步 : r 2?2+(-3) r 1, r 3+(-2) r 1. )
~????
??---310031001320(下一步 : r 3+r 2, r 1+3r 2. )
~????
??0000310010020(下一步 : r 1÷2. )
~????
??000031005010.
(3)???
?? ??---------12433023221453334311;
解 ????
?
??---------12
4330232214533
34311(下一步 : r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1
. )
~?????
??--------10105006630088400
34311(下一步 : r 2÷(-4) , r 3÷(-3) , r 4
÷(-5) . )
~????
?
??-----22
1002210022100
34311(下一步 : r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2
. )
~????
?
?
?---000000000022100
32011.
(4)????
?
??------34732038234202
173132. 解 ????
?
??------34732038234202
173132(下一步 : r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2
. )
~???
?? ??-----1187701298804202111110(下一步 : r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )
~?????
??--410
004100020201
11110(下一步 : r 1?r 2, r 2?(-1) , r 4-r 3
. )
~?????
??----000004100011110
20201(下一步 : r 2+r 3
. )
~????
?
?
?--000
004100030110
20201. 2. 设 ???
?
??=???? ?????? ??987654321100010101100001010A , 求 A .
解 ????
??100001010是初等矩阵 E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身 .
???
?
??100010101是初等矩阵 E (1, 2(1)), 其逆矩阵是
E (1, 2(-1)) ???
?
??-=100010101.
????
??-???? ?????? ??=100010101987654321100001010A
???
?
??=???? ??-???? ??=287221254100010101987321654.
3. 试利用矩阵的初等变换 , 求下列方阵的逆矩阵 : (1)???
?
??323513123;
解 ???? ??100010001323513123~???
?
??---101011001200410123
~???? ??----1012002110102/102/3023~????
??----2/102/11002110102/922/7003
~????
??----2/102/11002110102/33/26/7001
故逆矩阵为 ????
?? ??----21021211233267.
(2)???
?
? ??-----1210232112201023.
解 ???
?? ??-----10000100001000011210232112201023
~???
?
? ??----00100301100001001220594012102321
~???
?? ??--------20104301100001001200110012102321
~????? ??-------106124301100001001000110012102321 ~????
?
??----------1061
2631110`102211100001000
0100021 ~?????
?
?-------1061263111010421110
0001000010
0001 故逆矩阵为 ????
?
?
?-------1061263111010
4211
. 4. (1)设 ???? ??--=113122214A , ???
?
??--=132231B , 求 X 使 AX =B ;
解 因为
???? ??----=132231 113122214) , (B A ????
??--412315210 100010001 ~r ,
所以 ???
?
??--==-4123152101
B A X .
(2)设 ???
? ??---=433312120A , ??? ??-=132321B , 求 X 使 XA =B . 解 考虑 A T X T =B T . 因为
???? ??----=134313231221320) , (T T B A ????
??---411007101042001 ~r ,
所以 ???
?
??---==-417142) (1T T T B A X ,
从而 ??
? ??---==-4741121BA X . 5. 设 ???
?
??---=101110011A , AX =2X +A , 求 X .
解 原方程化为 (A -2E ) X =A . 因为 ????
??---------=-101101110110011011) , 2(A E A
???
?
??---011100101010110001~,
所以 ???
?
??---=-=-011101110) 2(1A E A X .
6. 在秩是 r 的矩阵中 , 有没有等于 0的 r -1阶子式 ? 有没有 等于 0的 r 阶子式 ?
解 在秩是 r 的矩阵中 , 可能存在等于 0的 r -1阶子式 , 也 可能存在等于 0的 r 阶子式 . 例如 , ???
?
??=010000100001A , R (A ) =3.
0000是等于 0的 2阶子式 , 0
100010
00是等于 0的 3阶子式 . 7. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B , 问 A , B 的秩的关系怎 样 ?
解 R (A ) ≥R (B ) .
这是因为 B 的非零子式必是 A 的非零子式 , 故 A 的秩不会 小于 B 的秩 .
8. 求作一个秩是 4的方阵 , 它的两个行向量是
(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).
解 用已知向量容易构成一个有 4个非零行的 5阶下三角 矩阵 :
?????
? ?
?-00
00001000001010001100001, 此矩阵的秩为 4, 其第 2行和第 3行是已知向量 .
9. 求下列矩阵的秩 , 并求一个最高阶非零子式 : (1)????
??---443112112013;
解 ????
??---443112112013(下一步 : r 1?r 2. )
~????
??---443120131211(下一步 : r 2-3r 1, r 3-r 1. )
~????
??----564056401211(下一步 : r 3-r 2. )
~??
? ??---000056401211, 矩阵的 2秩为 , 413-=-是一个最高阶非零子式 .
(2)???
?
??-------815073131213123;
解 ???
?
??-------815073131223123(下一步 : r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )
~??? ??------15273321059117014431(下一步 : r 3
-3r 2
. ) ~??
? ??----0000059117014431, 矩阵的秩是 2, 71
22
3-=-是一个最高阶非零子式 .
(3)????
?
?
?---0230108523570
3273812. 解 ????
?
?
?---0230108523570
32738
12(下一步 : r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4
. )
~????
?
??------023010242053
63071210(下一步 : r 2+3r 1, r 3+2r 1
. )
~?????
??-02301140000160000
7121
0(下一步 : r 2÷16r 4, r 3-16r 2
. )
~????
?
?
?-023
10000010000
71210
~????
?
?
?-00
0001000071210
02301, 矩阵的秩为 3, 0700
230855
70≠=-是一个最高阶非零子式 .
10. 设 A 、 B 都是 m ?n 矩阵 , 证明 A ~B 的充分必要条件是 R (A ) =R (B ) .
证明 根据定理 3, 必要性是成立的 .
充分性 . 设 R (A ) =R (B ) , 则 A 与 B 的标准形是相同的 . 设 A 与 B 的标准形为 D , 则有
A ~D , D ~B .
由等价关系的传递性 , 有 A ~B .
11. 设 ???
?
??----=32321321k k k A , 问 k 为何值 , 可使
(1)R (A ) =1; (2)R (A ) =2; (3)R (A ) =3.
解 ???? ??----=32321321k k k A ???
?
??+-----) 2)(1(001
1011 ~k k k k k r . (1)当 k =1时 , R (A ) =1; (2)当 k =-2且 k ≠1时 , R (A ) =2; (3)当 k ≠1且 k ≠-2时 , R (A ) =3.
12. 求解下列齐次线性方程组 :
(1)?????=+++=-++=-++0
222020
2432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 , 有 A =???? ??--212211121211~???? ??---3/4100131001
01,
于是 ???????==-==4
4434
24134334x x x x x x x x ,
故方程组的解为
?
???
??? ??-=????? ??1343344321k x x x x (k 为任意常数 ) .
(2)?????=-++=--+=-++0
510503630
2432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 , 有 A =???? ??----5110531631121~???
?
??-000001001021,
于是 ?????===+-=4
432
242102x x x x x x x x ,
故方程组的解为
???
?
? ??+????? ??-=????? ??10
010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数 ) .
(3)?????=-+-=+-+=-++=+-+074206340
72305324
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 , 有 A =?????
?
?-----74216314721
3513
2~????? ??1000
0100
00100001,
于是 ?????====000
4321x x x x ,
故方程组的解为
?????====000
04
321x x x x .
(4)?????=++-=+-+=-+-=+-+0327016131140
2332075434
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 , 有
A =?????
?
?-----3127161311423
327543~???????
??--00
00
000017201719101713173
01
,
于是 ???????==-=-=4
4334324311720
17191713173x x x x x x x x
x x ,
故方程组的解为
?
???
??
?
??--+??????? ??=????? ??1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数 ) .
13. 求解下列非齐次线性方程组 :
(1)?????=+=+-=-+8
311102132
2421321321x x x x x x x x ;
解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 , 有 B =???? ??--80311102132124~??? ?
?----6
00034111008331,
于是 R (A ) =2, 而 R (B ) =3, 故方程组无解 .
范文五：线性代数经管类吴赣昌_第四版__课后习题答案
第一章 习题1-1
1.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3
习题1-2
1
2
3
4((1)
(2)
(3)
习题1-3
1(
(2)
(3)
(4)
(5)
2.(1)
(2)
3.(1)
(2)
4.(1)
(2)
5
习题1-4 1
2
3.(1)
(2)
4
5.(1)
(2)
(3)
(4)
习题1-5 1((1)
(2)
2.(1)
(2)
3.(1)
(2)
4
5
总复习题一 1((1)
(2)
2
3
4.(1)
(2)
(3)
(4)
5
6
7.(1)
(2)
8
9.(1)
(2)
10
11
12
13
14.(1)
(2)
第二章
习题2-1 1
2
习题2-2 1
2.(1)
(2)
(3)
3.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
4
5
6
7
8.(1)
(2)
9
10.(1)
(2)
(3)
11 12 13
14
习题2-3
1.(1)
\(2)
(3)
2.(1)
(2)
(3)
3.
4.(1)
(2)
5
6
7.(1)
(2)
习题2-5 1.(1)
(2)
(3)
2
3.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.(1)
(2)
(3)
(4)
5.(1)
(2)
(3)
(4)
6
习题2-6 1
2
3
4
5.(1)
(2)
(3)
6
总习题二 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19.(1)
(2)
20.(1)
(2)
21.(1)
(2)
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34.(1)
(2)
第三章
习题3-1 1.(1)
(2)
(3)
2.(1)
(2)
(3)
(4)
3.(1)
(2)
(3)
(4)
4
5.(1)
(2)
6.(1)
(2)
7.(1)
(2)
习题3-2
1
2
3
4
5
习题3-3 1.(1)
(2)
(3)
2
3
4
5
6
习题3-4 1.(1)
(2)
(3)
(4)
2.(1)
(2)
3.(1)
(2)
4.(1)
(2)
(3)
5
6
习题3-5 1
2
3
4
5
6
习题3-6 1.(1)
(2)
(3)
2
3
4.(1)
(2)
5
6
7
总复习题三
1
2
3
4.(1)
(2)
5
6.(1)
(2)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19.(1)
(2)
20
21
22
第四章
习题4-1
1.
2
3
4.(1)
(2)
5
6
习题4-2 1.
2
3
4
5.(1)
(2)
6
7
8
9
10
习题4-3 1.(1)
(2)
(3)
2
3
4.(1)
(2)
5
6
7
习题4-4 1
2.(1)
(2)
3.(1)
(2)
4.(1)
(2)
5
6
总复习题四
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
第五章
习题5-1
1
2
3
4
5
6
7.(1)
(2)
习题5-2
1.(1)
(2)
2
3.(1)
(2)
4
5.(1)
(2)
(3)
总复习题五 习题5-1 1
2.(1)
(2)
3
4
5
6
7
8
9
10
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