利用列初等变换求标准正交基

范文一：利用列初等变换求标准正交基

利用列初等变换求标准正交基

郭桂容

( 六盘水师范高等专科学校数学系; 贵州水城 553004)

摘要: 文中给出一种仅用矩阵的第三种列初等变换便可直接将的一个基化为正交基, 从而再单位化求标准正交基的方法, 并用具体例子验证了该方法是简便易行的。

关键词: 列初等变换; 三角矩阵; 正交基; 单位化

中图分类号: O 241.6 文献标识码: A 文章编号: 1661- 055X(2006)06- 0001- 03

Row Elementar y Tr ansfor mation Evaluate Standar d Or thogonal Basis

GUO Gui- rong

(Liupanshui Teachers College,Shuicheng 553004,China)

Abstr act: In the paper we obtain a method to evaluate standard orthogonal basis by translating a basis in into orthogonal basis and uniting orthogonal basis, for only third row elementary transformation is used and validate the method is easy and convenient by giving some concrete examples.

Key wor ds: row elementary transformation, triangular matrix, orthogonal basis, unit

##’’%%%%引理 1 A 是正定矩阵存在可逆矩阵 C , !a0 O a 0 O 1111 % %%%% % % % % %% % T % % 的主子式都大于零。% % 使 A=CC<=>A 0 *% % % % T *($(AP= 且 PAP= , % % % %[1]554,559% % % % 证明: 见。 B B % % %%% % % % % % % % 引理 2 A 是正定矩阵, 则对任意可逆矩阵 P % % % % * 0 && ))T , 有 PAP 也是正定矩阵。其中 B 是 n- 1 阶正定矩阵。证明: 由引理 1 知存在可逆矩阵 C , 使 A= Ta 1jCC , 于是对任意可逆矩阵 P, CP 是可逆矩阵且证明由引理知 , 用乘 A 的第 :3 a?0 - 11TTTa 11PAP=(CP)CP , 再由引理 1 知 PAP 也是正定矩

阵。 1 列加到第 j 列, 就可以把第 1 行第 j 列变成零。

引理 3 设 A=( a) 为 n 阶正定矩阵, 则 a>0。 ijiia 1j这样做相当于用 T(- )右乘 A, 这样存在第三 1j证明: 由引理 1 知存在可逆矩阵 C=( c) , 使 ija 11TA=CC 。由 C 可逆知 C 的第 i 列元素不全为零, aa 121nn 种初等矩阵之积 P=T(- ) T(- ) , 使得 12 lnaa 1111

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a j1 乘的第行加到第行, 就可A 1 j 再用 - a 11

收稿日期: 2006- 09- 26

作者简介: 郭桂容( 1974- ) , 女, 河南修武人, 讲师, 主要从事高等代数、课程与教学论研究。

以把第 j 行第 1 列位置的元素变成零。这样做相 P, 使得

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正交基的一种方法, 再将正交基标准化可得一个 % !# # a0O 11 ##标准正交基。具体的步骤可归纳为下列三步: # # # ## #0 ##T" & AB 的阶主子式为 , = =a PAP k+1 k11 k # #T # # ?求 A A,其中 A=(,, ) !!!12nB k ### # # # T # #0 $ ’A A , 对其对角线施 ?引进一个 2 n×n 矩阵 *+ T由引理 2 知 PAP 是正定矩阵, 由引理 1 及 a>0 11A

B知, >0 , 再由引理 1 得 B 是正定的。 k n(n- 1) 行次 T (k)(i

,n)可以由 !,!, ,!线性表示。 12n n 3 证明: 因为 A 的列向量是 R的一个基, 所以求 R的标准正交基。

TT[1]365 从而 AA 是 n 阶正定矩阵(第 6 ?0 ,A A

题)。由定理 5 知, 可知存在第三种初等矩阵之积

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T A A n(n- 1) 施正定矩阵, 于是对角线元素大于零, 因此我们只要对行型列次看出, A, B, T(k)(i

初等变换便可直接求出正交基,计算量较少。

参考文献:

[1]张禾瑞.高等代数:第三版[M].北京:高等教育出版社, 1983

[2]王西信.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2001:109- 116

[3]邓泽清.线性代数及其应用[M].北京:高等教育出版社, 2003:83- 88

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范文二：利用列初等变换求标准正交基

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范文四：标准正交基

辽东学院教案纸课程:高等代数第9.2.1页

?2 标准正交基

教学目的通过教学，使学生掌握n维Euclid空间标准正交基的定义、刻画及其求法，理解n维Euclid空间的同构定理(

教学内容

Euclid空间的度量性态可以集中体现在基上，就是这一节要阐述的标准正交基(利用标准正交基，在节末我们还将介绍Euclid空间的同构(因此，本节较完整地揭示了n维Euclid空间的结构(

2.1 正交向量组的性质

定义1 Euclid空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交向量组(

若正交向量组的每一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个标准正交向量组(

例1 向量

,,,,1111,,，0，，0，,α=(0，1，0)，α=，α=( ,,123,,,,2222,,,,

3构成R的一个标准正交组，因为|α|=|α|=|α|=1，〈α,α〉=〈α,α123122〉=〈α，α〉=0( 331

例2 考虑定义在闭区间[0，2π]且所有连续函数所作成的Euclid空间C[0，2π](函数组

1，cosx，sinx，…，cosnx，sinnx，… (1) 构成C[0，2π]的一个正交组(事实上

，若m,n，,,2,2, =2π，mxcosnxdx= 1dxcos,,,000，若m,n，,

，若m,n，,,2,mxsinnxdx= sin,,00，若m,n，,

2,2,2,mxsinnxdx=nxdx =nxdx=0( coscossin,,,000

所以

辽东学院教案纸课程:高等代数第9.2.2页

〈1，1〉=2π,〈cosnx，cosnx〉=〈sinnx，sinnx〉=π，

〈1，cosnx〉=〈1，sinnx〉=0，

〈cosmx，cosnx〉=〈sinmx，sinnx〉=〈cosmx，sinnx〉= 0，其中m?n( 把(1)中每一向量除以它的长度，则得C[0，2π]的一个标准正交组

11111( ，cosx，sinx，？，cosnx，sinnx,？,,,,,2

定理9.2.1 设{α，α，…，α}是Euclid空间V的一个正交12n

向量组，则α,α,…,α线性无关( 12n

证设k, k,…, k?R，使得kα+kα+…+kα=(因为当,12 n1122nni?j 时，〈α,α〉=0，所以 ijnn

0=，α, ，=，α,，=α，α，=kα，α( ,k,ki i ijiii,,jjjj,1j,1

但，α,α，?0，所以 k=0，i=1，2，…，n，故α，α，…，α线i ii12n性无关(

2.2 标准正交基

设V是一个n维Euclid空间(若V中n个向量α，α，…，α12构成一个正交组，则由定理9.2.1知道这n个向量构成V的一个基(这n

样的一个基叫做V的一个正交基(若V的一个正交基还是一个标准正交向量组，则称这个基是V的一个标准正交基( (i) n例3 Euclid空间R的基e=(0,…,0,1,0,…,0)，i=1，2，…，n，i

n是R的一个标准正交基(

若{α,α,…,α }是n维Euclid空间V的一个标准正交基(设,12n

αV，则α可以唯一地写成

α=xα+xα+…+xα， 1122nn

x，x，…，x是α在基{α,α,…,α }下的坐标(由于{α,α,…,12n12n12α }是标准正交基，则 n

〈α,α〉==x( (2) x,,,ii,jjij,1

因此，向量α在一个标准正交基下的第i 个坐标等于α与第i 个基向量的内积(

其次，令β==yα+yα+…+yα，则 1122nn

〈,〉=xy+xy+…+xy( (3) α β1122nn

因此，向量α与β的内积等于它们在一标准正交基下对应坐标乘积的和。由此还得到

222,，,,x，x，？，x|α|=( (4) 12n

辽东学院教案纸课程:高等代数第9.2.3页

22d (α，β)= |α,β|= (5) (x,y)，？，(x,y)nn11

这些公式都是解析几何里熟知公式的推广(由此表明，在Euclid空间中引入标准正交基对于揭示空间结构、简化表述都有好处(

注不难证明，若n维Euclid空间V的一个基α,…,α满足1n(2)(或(3))，则这个基是V的一个标准正交基(

自然产生这样的问题:在一个n维Euclid空间中，标准正交基是不是存在?下面的定理不但给予肯定的回答，而且还给出一种方法，使得我们可以从一个任意基出发，来构造一个标准正交基(

先考察2维空间V=L(α，α)的情形(取=α(借助于几何β1211直观，为了求得β，我们考察线性组合α+kβ，从这里决定实数k，221

使α+kβ与β正交(由 211

0=〈α+kβ,β〉=〈α,β〉+k〈β,β〉 2112111及β?得 1

,,,21k =,( ,,,11

所以取

,,，21β=α,,， 221,,,11

则〈β，β〉=0.又因为,线性无关, 所以对于任意实数k,+k2112 2β= +k?,，从而β?,(这样就得到V的一个正交基{β，β1 2121}( 2

一般地，我们来证明

定理9.2.2 设{α,α,…,α }是Euclid空间V的一组线性无关12 m

的向量，则可以求出V的一个正交组{β,β,…,β}，使得β可以12 mk由α,α,…,α线性表示，k=1,2,…, m( 12 k

证由上面的陈述知道m=1，2时定理成立(

假设1

,,,,,,k1kk,1,,？,,β=α,( kk1k,1,,,,,,11k,1k,1

由于假定了β是α,α,…,α 的线性组合，i=1, 2 ,…, k,1，所以把这i12 i

些线性组合代入上式，则得β 是α,α,…,α 的线性组合(由α,k12k1α,…,α线性无关可知β?，又因为假定了β,β,…,β两两,2 kk12 k1正交，所以

,,,kiβ,β=α,β,β,β=0，i=1，…，k,1( kikiii,,,ii

辽东学院教案纸课程:高等代数第9.2.4页

这样，β,β,…,β也满足定理的要求( 12 k

这个定理实际上给出了一种方法，使得我们可以从Euclid空间的任意一组线性无关的向量出发，得出一个正交组(这个方法叫做Gram,Schmidt正交化方法，简称正交化方法(

设V是一个n(n>0)维Euclid空间，取{α,α,…,α}是V的一个基(利12 n

用正交化方法，可以得出V的一个正交基{β,β,…,β}(再令 12 n

=/||，i=1，2，…，n( γββiii

则{γ,γ,…,γ}就是V的一个标准正交基(因此得到 12 n

推论9.2.1 任意n(n>0)维Euclid空间一定有正交基，因而有标准正交基(

应该指出，由定理的证明有

L(α,α,…,α)=L(,,…,)，i=1，2，…，n( βββ12 k12 k

就相当于由基α,α,…,α到基β,β,…,β的过渡矩阵是上三角12 n12 n

矩阵(

例4 把α=(1，1，0，0)，α=(1，0，1，0)，α=(,1，0，0，12341)，α=(1，,1，,1，1)变成R的标准正交基( 4

解先把它们正交化，得

β=α=(1，1，0，0)， 11

,,，11,,21 =α,,=， β，,，1，0,,221,22,,,,11

,,,,，，111,,3231,, β=α,,=， ,，,，1,,3312,,333,,,,,,1122

，，，,,,,,,414243,,,,,β=α,=(1,,1,,1,1)( 44123，，，,,,,,,112233

再标准化，得其标准正交基为

,,,,11112,,,，，0，0,，,，，0γ=，γ=， 12,,,,22666,,,,

,,11131111,,,，，，γ=,,，γ=( ，,，,，,,34,,222212121212,,,,

由于标准正交基在Euclid空间中占有重要的地位，所以有必要来讨论从一个标准正交基到另一个标准正交基的基变换公式(

设{α,α,…,α}和{β,β,…,β}是n维Euclid空间V的两个12 n12 n

标准正交基，由{α,α,…,α}到{β,β,…,β}的过渡矩阵是12 n12 n

U=(u)，则 ijnn

辽东学院教案纸课程:高等代数第9.2.5页

β=，1?i?n， u,i,kikk,1

且,=(因为{α,α,…,α}是标准正交基，所以 ββδi jij12 n

nnnnn

〈β,β〉==( u,，u,uu,，,,uuij,,,,,kikljlkikjkiljkl,1,1,,11k,1klkl

于是

=δ( uuij,kikjk,1

因此，U ,U=I，从而U U ,= U ,U=I(这样，我们证得 nn

定理9.2.3 n维Euclid空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵(

2.3 n维Euclid空间的同构

利用标准正交基，很容易解决两个有限维Euclid空间的同构问题(

定义3 Euclid空间V与W说是同构的，若

1)作为实数域上向量空间，存在V到W的一个同构映射σ:V?W;

2),α,β?V，都有α,β=σ(α),σ(β) (

定理9.2.4 两个有限维Euclid空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等(

证设V和W是两个有限维Euclid空间(若在R上V与W同构，则由定理7.1.2知道dimV=dimW(

反过来，设dimV=dimW=n(若n=0，则V与W当然同构(

设n,0(在V中取一个标准正交基{};在W中取一,,,,？,,12n

个标准正交基{}(对于V的每一向量 ,,,,？,,12n

α= x,，x,，？，x,1122nn

规定

σ(α)=( x,，x,，？，x,1122nnn则映射σ是实数域上向量空间V到W的同构映射(设=, x,，,iii,1nnn=是V中任意两个向量，则σ()= σ()= (于y,x,，y,，,,,iiiiiii,1i,1i,1

是由(3)得

，=xy+…+xy=σ(),σ()( 11nn

所以Euclid空间V与W同构(

n推论9.2.2 任意n维Euclid空间都与R同构(

辽东学院教案纸

课程:高等代数第9.2.6页

课外作业,

P455,456,1,3,6,8(

辽东学院教案纸

课程:高等代数第9.2.7页

范文五：标准正交基

欧氏空间

标准正交基

1.(一、欧氏空间定义及基本性质)

2.(二、标准正交基)(本页)

3.(三、正交变换)

在解析几何中, 通常采用直角坐标系, 即空间中选取三个两两正交的单位向量作为这3维空间的基. 由此联想到在维欧氏空间里是否能找到一组两两正交的单位向量作为基, 使一些问题的讨论更方便些.

定义 6

设为欧氏空间, 为中一组非零向量. 如果此组向量两两正交, 即 (, ), 则称为一正交向量组.

定理 2

设是维欧氏空间的一个正交向量组, 则线性无关, 从而 .

证明见提示7.2.

定义 7

设为维欧氏空间.

(1) 若是的一个正交组, 则它们构成的一个基, 称为正交基.

(2) 若为的一个正交基, 且 ()为单位向量, 则称为标准正交基.

显然, 为标准正交基可描述为

其中

例 4 在标准欧氏空间中, 向量组 , ,

是一个标准正交基.

因为 , 且 . 例 5 是标准欧氏空间的一个标准正交基.

定理 3

设为欧氏空间的一个基, 则为标准正交基的充分必要条件是度量矩阵为单位矩阵.

引入标准正交基的好处: 设为维欧氏空间的一个标准正交基, 则

(1) 向量关于的第个坐标等于与的内积:

设 , 则

(2) 在标准正交基下, 两向量的内积等于其各个坐标对应乘积之和:

设 , , 则由第一节公式(II),

(这里是标准正交基的度量矩阵, 由定理3, .) 定理 4 (施密特正交化)

设是欧氏空间的一个基, 则可求出的一个标准正交基

, 且可由线性表示(这一过程称为施密特正交化过程).

例 6 由标准欧氏空间的基 , , 出发, 施行施密特正交化方法, 求的一个标准正交基.

解 ,

所以,

, ,

记为所求的标准正交基.

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