范文一：非欧几何的诞生的意义

非欧几何的诞生的意义

朱晨 1105 161101150 非欧几何的产生具有三个重大意义：

1、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。

2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。

3、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论的科学发现。

范文二：非欧几何诞生的两种思想

非欧几何诞生的两种思想

rJNWU

西北大学(自然科学版)

2011年6月,第4l卷第3期,Jun.,2011,Vo1.41,No.3 JournalofNorthwestUniversity(NaturalScienceEdition)

非欧几何诞生的两种思想

牟金保

(西北大学数学与科学史研究中心,陕西西安710127)

摘要:目的系统分析和探讨非欧几何诞生的两种思想.方法运用文献考证和历史分析的方法

对非欧几何诞生的两种思想进行研究.结果非欧几何诞生的两种重要思想分别是欧氏第五公设

研究和运用微分几何研究;前者利用无模型观点直观揭示了非欧实质,后者以模型为依据不但利于

人们理解和接受,而且产生了更一般的非欧几何.结论两种思想研究的结合,使非欧几何真正诞

生和快速发展,实现了非欧几何与欧氏几何的统一,为空间概念的扩展创造了必要条件.

关键词:第五公设;微分几何;罗氏几何;黎曼非欧几何

中图分类号:0184文献标识码:A文章编号:1000-274X(2011)03-0543-05

TwothoughtscausingthebirthofNon-Euclideangeometry

MOUJin.bao

(CenterfortheHistoryofMathematicsandScience,NorthwestUniversity,Xian710127,Chi

na)

Abstract:AimToanalyzeanddiscusssystematicallytwothoughtscausingthebirthofNon—Euclideangeometry.

MethodsLiteraturereviewedandhistoricanalysis.ResultsThetwoimportantthoughtscausingthebirthofNon-

EuclideangeometrywerethefifthaxiomresearchofEuclideanandtheapplicationofDifferentialgeometryresearch;

theformer,fromfree—

modelpointofviewrevealstheessenceofNon-Euclideangeometry,thelatter,basedonmod—

els,notonlypromotespeopletounderstandandacceptitbutalsogeneratesamoregeneralNon—Euclideangeome—

try.ConclusionThecombinationoftwothoughtsmakestheNon-Euclideangeometryemergeanddeveloprapidly,

achievestheunityofNon--EuclideangeometryandEuclideangeometryandcreatesnecessaryconditionsfortheex.-

tensionofspaceconcept.

Keywords:thefifthaxioms;differentialgeometry;Lobatchevskygeometry;RiemannianNon-Euclideangeometry

在数学史上,非欧几何的建立不仅是几何学从

直观进入抽象的标志,而且也是几何学发展由近代

几何向现代几何转折的标志.现今非欧几何是解

决现实生活中实际问题和建立爱因斯坦相对论的必

备知识,它对于研究宇宙空间,原子核世界,航海

航空问题意义重大而深远.研究非欧几何诞生思想

方法是非欧几何向更深层次推广的基础性工作.从

公元前3世纪以来,人们就试图证明欧几里得平行

公理,历时两千多年,直到19世纪才有了结果.这

样,非欧几何的诞生就被认为是19世纪几何学最

富革命性的成就?J.笔者发现,之所以非欧几何在

这个时候真正诞生与本文提出的两种思想密不可

分.

非欧几何诞生的第1种思想

自《几何原本》以来,它其中的公理都很明白, 惟独平行公理比较复杂,似乎需要证明,后来人们 又把平行公理称之为欧几里得第五公设(以下简称 第五公设),被认为是世界数学难题之一.随之这 一

问题成为众多数学家,甚至哲学家审视的对象. 从整个非欧几何史来看,非欧几何诞生的第1种思 收稿日期:2010.11-05

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11001217);国家青年科学基金资助项目

(11073016)

作者简介:牟金保,男,陕西岐山人,从事非欧几何学,数学教育与数学史研究.

西北大学(自然科学版)第41卷

想经历了3种不同的途径:第1种途径是17世纪 以前,对平行公理的试证,按这种途径试证第五公 设并具有代表性的有古希腊学者普塞德纽斯(Posi— donius,公元前l35一前51)J,希腊的托勒密(Ptole— my,约100—170),公元5世纪希腊评论家普罗克鲁 (Proclus,410----485),阿拉伯数学家纳西尔?丁 (Nasir.Eddin,1201—1274),英国数学家沃利斯 (Wallis,1616—17O3)等,都以失败告终;第2种途 径是18世纪,在第五公设试证基础上,无形引出两 种非欧公理,但当时他们自己并没有意识到是一种 新几何体系.其中这3位具有代表性的数学家是意 大利数学家萨凯里(G.Sacchefi,l667—1733),瑞士 数学家兰伯特(Lambert,l728一l777),法国数学家 勒让德(Legendre,1752—1833).第3种途径是19 世纪俄国数学家罗巴切夫斯基(Lobatchevsky,

l793—1856)和匈牙利数学家亚诺什?鲍耶(Janos.

Bolyai,1802--1860)在总结前人关于第五公设精深 研究的基础上,不约而同地利用其他公理来代替第 五公设而产生欧几里得几何以外的几何.德国数学 家高斯(Guass,l777—1855)虽然生前没有专门发表 文章讨论过非欧几何,但从他遗留下的信件中知道 他在1820年左右已经有许多关于非欧几何的定理, 并且对于非欧几何学的观念,他是非常清楚的,非欧 几何学这个名词就是他定的?.问题的关键是这种 新几何会产生许多奇怪的结论:如三角形内角和不 等于180.,圆周率也不是3.14等等,完全背离现 实空间观念.为解决这一问题就必须解决非欧几何 逻辑上的相容性.当时高斯,罗巴切夫斯基和鲍耶 都试图做到这一点,但都没能成功.于是,非欧几 何学在人们心中就只是个假说.这就是非欧几何诞 生的第1种思想即:从欧氏第五公设研究到非欧几 何.

2非欧几何诞生的第l1种思想

17—18世纪无穷小分析方法系统地被应用到 几何学上,加之欧拉(Euler,l707—1783),拉格朗日 (Lagrange,l736—1813)和蒙日(Monge,1746— 1818)建立了曲线的理论,直接导致了微分几何的 萌芽.最终,1827年高斯的着作《曲面论》问世使微 分几何成为一门独立的学科.这样一下子就把研究 的图形从直线,圆,平面,球,圆柱和圆锥发展到无穷 多种曲线,曲面以及由它们组成的无穷集合——曲 线族和曲面族.当时,高斯的学生德国数学家闵定 (Minding,1806--1885)最先注意到《曲面论》.他研 究了具有常数高斯曲率的曲面并在1840年发表的 一

篇论文中指出,在具有常数曲率k的曲面上,任意 测地线三角形的边与角之间有如下关系引: cotAsinC+co$Ccos=cotsin 图1测地三角形ABC

Fig.1GeodesictriangleABC 当在正曲率的情形下如图1,则上列公式变为球面 三角形中大家熟悉的公式

cotAsinC+cosCcosb=cotasinb 图2伪球面上的三角形ABC

Fig.2Pseudo—sphericaltriangleABC 当在负曲率的情形下如图2,上列公式仍有意义,设 ?=又因为虚角的三角函数和双曲函数的关系为 sin(ix)=ishx,COS(ix)=chx ?高斯于1824年11月813给Taurinus的信中就已经用到 了"非欧几何学"

第3期牟金保:非欧几何诞生的两种思想—?——545———— 上列公式可变为

c.sinC+c.sGch(-垒-)

r

:ch(旦)sh(_垒-)

rr

这就是双曲三角学关系.早在1835年罗巴切夫斯 基在其《理想几何学》中就指出可以先假设关于双 曲三角学关系的正确性,用来替代他的公理.很显 然后来他并不知道闵定的研究成果,否则他会推出 他的理想几何学在欧几里得空间曲面上是有实现的 可能,并且推出伪球面的内在几何学和罗巴切夫斯

. 基几何学(以下简称罗氏几何)一致

直到1868年,意大利的数学家贝尔特拉米(E.

Beltrami,1835--1899)才注意到闵定的结果和罗氏 几何学的联系,于是他发表了《非欧几何学的实际 解释》,利用当时微分几何的最新成果证明了关于 伪球面上的内在几何学与罗氏几何一致J.这种具 体而实在的喇叭状特殊曲面(伪球面)模型消除了 大家对罗氏几何学的怀疑,使非欧几何由假说变为 定论.当时,这篇文章引起了数学家对罗巴切夫斯 基工作的重视,罗巴切夫斯基的独创性研究也由此 得到学术界的认可,他被现代数学史家贝尔(Bell, 1883--1960)誉为"几何学中的哥白尼".许多数 学家意识到微分几何能更深入,更系统地研究非欧 几何,他们开始站在更高的知识体系下研究非欧几 何.于是,从闵定研究思想开始作为非欧几何诞生 的第?种思想,即从微分几何研究到非欧几何. 3非欧几何诞生的两种思想来源分析

3.1第1种思想来源分析

长期以来,人们试图证明欧氏第五公设并未取 得成功,从而导致非欧几何的萌芽.这种全新几何 体系的构造,高斯,罗巴切夫斯基和鲍耶几乎同时相 互独立完成.在数学史上,最早公开发表非欧几何 文献的是罗巴切夫斯基的《论几何原理》,在这里仅 分析罗氏几何的思想来源.

罗巴切夫斯基通过对欧氏几何体系的研究,深 知要建立几何学体系就必须首先明确概念以确立定 义,最后揭示真理以推证定理.对于基本概念罗巴 切夫斯基首先选定一组基本概念不加定义,作为解 释其余一切概念的出发点对于基本定理首先选定一 系列基本命题不加证明,作为一切定理的基础,这些 不证自明的基本命题称为公理.选定基本概念和基

本公理后,先按欧氏几何学把全部公理分为5组J: 第l组——关联公理;第2组——顺序公理;第3 组——运动公理;第4组——连续公理;第5组—— 平行公理.于是,罗氏几何就是保持前4组公理不 变,只改变第5组公理,即把第五公设变为罗氏公 设:在平面上通过一直线外的一点,至少可作两条直 线与该直线平行,然后在这5组公理的基础上推导 出大量的新命题,而构成了与欧几里得几何完全不 一

样的几何体系.

罗巴切夫斯基在《论几何原理》中这样写道: "我们看到的直边三角形各角之和不可能 大于叮T.留下的假设是这个和等于1T或小于 竹.两者都可以被采纳而结果毫不矛盾.由此 而产生两种几何:一种是就其单纯性而言迄今 通用的,承认所有事实上的度;另一种几何是虚 想的,更加一般的,因而它的计算是困难的他容 许直线依赖于角的可能性".

由此看来,罗巴切夫斯基首先是从直边三角形 出发,在这种几何体系下定义新的概念和公理,直观 表述第?种思想所不能及的非欧几何实质内 容.1.]:

1)通过极限面上的映射法建立罗巴切夫斯基 三角法,对于直边三角形ABC(C是直角),0,b,c为 A,,c对应的边,其中F()为罗巴切夫斯基函数, 即F()=2arccote可(k是罗巴切夫斯基空间的常 数,e为自然对数的底数)可以推出limF(x)='iT;— 'u

limF()=0.—

??

2)在罗巴切夫斯基几何体系下,可推导出不同 于欧氏几何的三角公式.

3)罗巴切夫斯基三角形内角之和小于竹,并且 当三角形面积无限增大时,其内角和趋向于零,当三 角形面积无限减小时,其内角和趋向于1『,即在微小 区域,罗氏几何与欧氏几何相似.设s为罗氏三角形 面积,[竹一(A++c)]为角亏,k为罗氏常数,则 有s=K[盯一(A十+G)].

4)当半径无限增大时,圆周的极限不是直线, 而是一种特殊曲线,称为极限圆.当半径无限增大 时,球面不是平面而是一种特殊曲面,称为极限球 面.(因极限球面是罗巴切夫斯基推导三角公式的 基础,亦欧氏几何是罗氏几何的极限情形) 5)平面上两直线有3种关系:相交,平行和超平 行,其中超平行是没有交点,但有唯一一条公垂线. 这种思想从第五公设研究出发,虽直观揭示了 非欧几何的很多实质,但始终未能提供现实模型的 依据,这种无模型的推理大多数人未能理解和接受. 3.2第?种思想来源分析

随着微分几何的产生与发展,从闵定开始,已发 .?——

546.-——西北大学(自然科学版)第41卷 现用微分几何作为工具研究非欧几何更加系统.这 种思想是几何空间概念大发展的一个起点,从此,不 仅空间唯一性观念被打破,而且几何学更加统一化. 根据高斯曲率k的不同情况可以把非欧几何清晰统 一

到高斯公式?:

ffkd~r=A+B+C一

其中,A,,c是高斯曲面上3条测地线围成的三角 形内角,如图1;后为高斯曲率;s为测地线所围成区 域.

I当k=0时"d=0亦A++c一订=0

与萨凯里直角假设一致,其模型是平面,不存在角 盈,角亏,属于欧氏几何范畴;

?当k<0时IIkdtr<0亦A+B+c一1T<0 与萨凯里锐角假设一致,其模型是伪球面,存在角亏 [1r一(A++C)],属于罗氏几何范畴;

?当k>0时『Jkdtr>0亦A+B+c一叮r>0 与萨凯里钝角假设一致,其模型是球面,存在角盈 [(A++c)一1T],属于黎曼非欧几何范畴. 之后,德国数学家黎曼(Riemann,1826--1866)

用微分几何研究非欧几何就更加一般化,其出发点 与前人研究几何学思维完全不同,既不想象几何图 形,也不设想空间形式,而是把高斯的曲面内蕴几何 思想从两个曲纹面坐标,Y推广到It个曲纹面坐标 .,,…,,定义了流形上邻近点()与(+)

间的距离ds:?aijdxf,其中口是l,2,…,

的函数,0=ajl(,k=1,2,…,It).这样就可以建立 一

种It维弯曲空间,也称黎曼空间?,即黎曼空间几 何学(简称黎曼几何).这种几何不仅包括欧几里得 几何和罗氏几何作为其特例,而且引起了整个空间 观念的深刻变革.在一个It维空间中,含有一个参数 的方程=(t),i=1,2,…,n被看成定义一条曲 线,那么就可用参数方程=(t),:=(t),, =

(t)定义三维空间的一条曲线s.对于三维空间 点(l,2,3)就有无限接近的点(1+dxl,2+2, 3

,+dx,),于是ds=?aqdx,其中系数口是关

于.,:,,的函数,通过研究这一组变数的函数性 质,最终推出这个函数最简单的二次微分形式 2dx+dx+dx;

[1+}(+;+;)]一

其中,k为空间曲率.当时黎曼只想到k=0的情况, 后来海姆霍芝(Helmhohz,182l—l894),李(Sophus lie,1842--1899)和贝尔特拉米在他的基础上继续 研究,巧妙地运用微分几何得到了一个确定的结论: 3种常曲率的面上各有一种几何学.

I当k:0即曲率恒等于零时,就是欧氏几何 的面.

?当k<0即曲率为负常数时,就是罗氏几何 的面.

?当k>0时曲率为正常数时,就是黎曼几何 的面.

这种思想凭借微分几何的发展,解决了第1种 思想的缺陷,统一了非欧几何与欧氏几何,扩展了空 间观念.

4结语

通过对两种思想研究发现,第1种思想既没有 摆脱几何自身范围去思考,也没有将其提高到一个 理论的高度,建立模型用数学工具解决,而只是试图 用实践来证实,势必发现不了替代一个公设得到的

新几何体系与原有几何体系的内在联系,只能不系统地揭示一些非欧实质.第?种思想刚一开始就利

用微分几何知识,找到了伪球面上的模型,消除了大

家对非欧几何体系的怀疑,证实了非欧几何的真实

存在,发现了更为一般的非欧几何,此时也是第1种

思想和第?种思想的结合.从此,第五公设问题不

再只是研究初等数学问题,而是直接与数学发展接

轨,几何学的直观被打破,带来了几何空间概念的大

发展.

同时,两种思想研究也说明在数学史上,数学成

就不会被新的数学成就所否定,而是作为某些条件

下的局部情形被包括在新的数学成就中.

参考文献:

[1]李文林.数学珍宝[M].北京:科学出版社,1998:571, 573-574,583.

?这种空间的弯曲第一次被人类感觉到是在1919年5月29日,英国天文学家爱丁顿(A.S.Eddington,1882--1944)和克罗姆

林(A.Crommelin,1865--1939)分别在西非几内亚湾的普林西比(Prieipe)岛和巴西的索布腊尔(Sobra1)测得光在太阳边

缘出现1.61?0.3s和1.98?0.128的弯曲.

第3期牟金保:非欧几何诞生的两种思想一547一

?

学术动态?

陕西省专家组检查西北大学省重点学科专项资金建设项目进展情况 2011年3月28日一29日,由陕西师范大学原副校长李钟善教授担任组长的陕西省学科建设专家组来

到西北大学,对学校42个省重点学科建设项目及1O个省特色学科建设项目2009--2010年度进展情况进行

了检查.

2011年3月28日上午,在长安校区召开了检查工作会议,方光华校长,李浩副校长和高岭副校长参加

了本次会议.方光华校长代表学校致辞,对专家组的莅临表示欢迎,并对陕西省委,陕西省政府和陕西省教

育厅以及社会各界长期以来对西北大学学科建设的关心,帮助和支持表示衷心感谢.他指出,学校历来十分

重视学科建设工作,省重点学科专项资金建设项目启动实施3年来,为学校发展注入了生机和活力,为提升

学科水平,提高办学效益,促进学校全面快速发展提供了强有力的支持.学校将通过此次检查工作会议把学

科建设的成果展示和汇报给各位专家,诚恳听取专家们的指导意见,更好地加强我校学科建设工作.

西北大学42个省重点学科建设项目及l0个省特色学科建设项目负责人,围绕着专项资金使用情况,学

科建设已取得的成绩和预期标志性成果及存在问题等方面依次进行了汇报.专家组在逐一听取了汇报和查

阅材料后,就相关问题对每个项目进行了质询.之后,专家组进行了实地考察. 在意见反馈会上,专家组认为:西北大学在省重点学科建设工作上取得了突出成绩,专项资金的使用有

着比较完备的规章制度,资金管理严格,使用效益突出,在学科队伍建设,科研成果产出以及服务地方经济社

会发展等方面取得明显成绩.同时,专家组也对我校在项目建设的过程中存在的问题和不足提出了宝贵的

意见和建议:一是要紧紧抓住历史机遇,坚持以学科建设为龙头的办学思想,提高办学实力和核心竞争力,大

力促进高水平大学建设目标尽快实现;二是要重视加强队伍建设,有计划地引进高层次人才和拔尖人才,加

大高层次学术团队建设和学术带头人的培养力度;三是要不断提高科技创新能力,促使产生更多,更大标志

为国家特别是性成果,集中财力物力,使部分重点学科尽快接近和达到一流水平,陕西经济与社会发展做出

更大贡献.

此次陕西省学科建设专家组进校检查工作,对西北大学今后更加科学有效地管理和使用省重点学科建

设项目和省特色学科建设项目专项资金,进一步提升学科建设水平有着良好的指导作用.

(薛鲍)

范文三：非欧几何诞生的意义.doc

非欧几何诞生的意义

谈及非欧几何我们就得从它的基础学科——欧式几何入手。

几何学的发源可以追溯的古埃及，几何学的本意是测量的意思，它是古埃及人进行土地测量时的各种经验成果的总结。“据希腊历史学家Herodotus说，埃及是因为尼罗河每年涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的。”

古希腊人继承和发展了古埃及的几何学，爱奥尼亚学派的领袖和创立人泰勒斯(Thales)和他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)等著名的哲学家和数学家用演绎法将古埃及的“试验几何学”改造为“推理几何学”，晚期的毕达哥拉斯学派(公元前400年左右)已要求数学结果应当根据明白规定的公理用演绎法推出。欧几里得(Euclid BC330-BC275)集几何学之大成，将前人分散的几何学成果概括总结加以系统化，写成了《几何原本》这部影响历史的著作。《几何原本》共十三卷，其中五卷为平面几何，五卷为立体几何，三卷为数和比例。欧几里得几何学是科学史上第一个公理化演绎系统，欧几里得从二十三个名词定义、五条公理(一切科学所共有的真理)、五条公设(只是为某一门科学所接受的第一性原理)，共推导出467条定理。

《几何原本》虽然是前人成果的概括总结，“但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理，明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的，此外，定理的《几何原本》的证明有一些遗漏和错误，并且在论证过程中引入了很多没有提出的

假定，这些假定是因为在图形上看或直观上显然的事实而无意中用上去的。另外，欧几里得时代并不十分看重演绎推理，“事实上，希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起的。希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论。Proclus把这种无需非多大力气得出的结果陈作横财或红利。”《几何原本》中的公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一直线与两直线相交且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”

(If a straight line falling on two straight lines makes

the interior angles onthe same side less than two right angles,

the two straight lines, if producedindefinitely, meet on that

side on which the angles are less than the two right angles. ) 这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它。两千多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题，数学家们主要沿两条研究途径前进:一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设;另一条途径是试图从其他九条公理、公设推导出平行公设来。但十八世纪以前的两千一百年的历史中，平行公设的研究似乎没有什么进展，以至于一些数学家很沮丧，“寻求另一个可接受的公理一替代Euclid公理，或者证明Euclid断言必然是一个定理，做这种工作的人是如此之多，又是如此徒劳无功，使得1759年d`Alembert把平行公理问题称之为‘几何原理中的家丑’”。沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是

1795年普雷菲尔(Joseph Fenn 1748——1819)给出的:“通过不再直线L上的一给定点P,在P与L的平面上，只有一条直线不与L相交。”我们今天中学课本里使用的公理“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”就来源于此。沿第二条途径，数学家尝试用直接法和间接法两种方法来证明第五公设。1733年，意大利数学家萨克里(Gerolamo Saccheri 1667-1733)出版了《欧几里得无懈可击》(Euclid ab Omni Naevo Vindicatus)一书，提出用归谬法证明第五公设，萨克里从四边形ABCD开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D。这样第五公设便等价于角 C和角D是直角这个论断。萨克里提出两个假设:

1、钝角假设:角C和角D都是钝角。

2、锐角假设:角C和角D都是锐角。

萨克里自认为这两个假设并用其他九条公里、公设可以导出矛盾，于是就证明了第五公设。实际上萨克里的证明过于冗长，不自觉的引入了与第五公设等价的其他假设;或得出的结论只是与经验不符，并未得出矛盾。但萨克里的研究为后人提供了帮助，其后J.兰伯特(Lambert)、F.K.施魏卡特(Schweikart)和F.A.托里努斯(Taurinus)等人得出结论，第五公设不能证明，即它与其他九条公理、公设相互独立;并且注意到，球面上的几何具有以钝角假设为基础的几何性质，虚半径球面具有以锐角假设为基础的几何性质。这种结论已非常接近非欧几何了。

在前人的基础上，高斯(Gauss 1777-1855)、鲍耶(Bolyai 1802-1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky 1793-1856)三人都独立地发现了非欧几何(双曲线几何学)，后两人被认为是非欧几何的创建者，他们都公开发表了自己的论文，而高斯并没有写出过完整的推导。由于罗巴切夫斯基一生都为使非欧几何得到承认而努力，为了纪念罗巴切夫斯基对发展几何学所做出的贡献，这种非欧几何学被称为罗巴切夫斯基几何学。1854年，G.F.B.黎曼又建立了另一种形式的非欧几何，即黎曼几何。今天学习非欧几何并不特别困难，由于第五公设是独立的，因此选取与第五公设相矛盾的公理可以建立逻辑上相容的几何，这种几何就是非欧几何。它有两种形式，如果用“过直线外一点至少可以引两条直线平行于已知直线”这个命题代替第五公设，就可得到罗巴切夫斯基几何，即双曲几何:如果用“过直线外一点不存在平行于已知直线的直线”这个命题代替第五公设，就可得到黎曼几何，即椭圆几何。

从欧几里得几何学到非欧几何学经历了两千多年的历史，人类也从古代进入了近现代，这里有一个非常有趣的问题:如果欧几里得复活，他能理解非欧几何吗,我们可以注意到欧几里得几何学是从经验上升的理论的，是从现实原型中抽象出来的，从测量土地到比较成熟的欧几里得几何学，这一过程经历了比从欧几里得几何学到非欧几何学还要长的历史(古埃及在公元前3000年左右就产生了数学，现存的最早的古埃及数学文件是公元前1700左右的草片文书)。今天似乎有一种意见，数学仅仅是一种符号的演算，其中并没有物理的意义，

但是，非欧几何的发展史却告诉我们，非欧几何之所以诞生，是因为数学家在寻找几何公理的物理意义中产生的，“对于这个公理的考虑是基于这样的事实，即它作为一个公理，应该是不证自明的真理，因为几何公理是我们关于物质空间的基本事实而且数学的和物理学的广大分支都使用欧几里得几何的性质，数学家都想确知他们依赖于真理。换言之，平行公理的问题不仅是真正的物理问题，而且是所有能有的基本的物理问题。”从这个意义上说，从埃及到欧几里的几何学，再到非欧几何学，其本质并未改变。

非欧几何的诞生:

1、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。

2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学，从而推动了社会的发展和进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展。

3、非欧几何实际上预示了相对论的产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论，但是，也许爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论

的科学发现。

它不仅仅是解决了人们长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。非欧几何更是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

范文四：非欧几何的诞生及其给我们的启示论文

非欧几何的诞生及其给我们的启示 摘 要:数学史上,非欧几何占有特殊的地位.以非欧几何的发明过程 为基本线索,探讨了其对数学学

科本身、人类文化、哲学思想的影响;对数学科研者、数学教育工作者 及高校学生的启示.

关键词:非欧几何;罗巴切夫斯基几何;黎曼几何

1 非欧几何的发展史

1.1 问题的提出

非欧几何的发展源于 2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》.其 中公设五是欧几里得自己提出的,它的内容是“ 若一条直线与两直线相交,且若同 侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点” .这一 公设引起了广泛的讨论,因为它不如其他公理、公设那样简明,欧几里得本人也不 满意这条公设,他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它,怀疑它可能不 是一个独立的公设,或许能用其它公设或公理代替.从古希腊时代开始到 19 世纪 的 2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀,孜孜不倦的试图解决这个问 题.数学家们主要沿 2 条研究途径前进:一条途径是寻找一条更为自明的命题代替 平行公设;另一条途径是试图从其他 9 条公理、公设推导出平行公设来.沿第一 条途径找到的第五公设最简单的表述是 1795 年苏格兰数学家普雷菲尔(J.Playfair 1748-1819) 给出的:“ 过直线外一点, 有且只有一条直线与原直线平行” 也就是我 们今天中学课本里使用的平行公理.但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元 5 世 纪就陈述过它.然而问题是,所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受, 更“ 自然” .历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫 (Ptolemy , 约公元 150 年) 做出的, 后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“ 证明” 无意中 假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行,这就是上面提到的普雷菲 尔公设.

1.2 问题的解决

1.2.1 非欧几何的萌芽

沿第二条途径论证第五公设的工作在 18 世纪取得突破性进展.首先是意大利人萨 凯里(Saccharin 1667-1733)提出用归谬法证明第五公设,萨凯里从四边形 ABCD

开始,如果角 A 和角 B 是直角,且 AC =BD ,容易证明角 C 等于角 D .这样第五公设 便等价于角 C 和角 D 是直角这个论断. 萨凯里提出另 2 个假设:(1)钝角假设:角 C 和角 D 都是钝角; (2)锐角假设:角 C 和角 D 都是锐角.最后在锐角假设下,萨凯 里导出了一系列结果,因为与经验认识违背,使他放弃了最后结论.但是从客观上 为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法, 开辟了一条不同于前人的新途径. 其 后瑞士数学家兰伯特 (Lambert1728-1777) 所做的工作与萨凯里相似. 他也考察了 一类四边形, 其中 3 个角为直角, 而第 5 个角有 3 种可能性:直角、 钝角和锐角. 他 同样在锐角假设下得到“ 三角形的面积取决于其内角和;三角形的面积正比于平角 与内角和的差.他认为只要一组假设相互没有矛盾,就提供了一种几何的可能.著 名的法国数学家勒让德(A.M.Legendar1752-1833)对平行公设问题也十分关注, 他得到的一个重要定理:“ 三角形内角之和不能大于两直角” .这预示着可能存在 着一种新几何. 19 世纪初,德国人萨外卡特(schweikart 1780-1859)使这种思想 更加明朗化.他通过对“ 星形几何” 的研究,指出:“ 存在两类几何:狭义的 几何(欧氏几何)星形几何.在后一个里面,三角形有一个特点,就是三角形内角 之和不等于两直角” .

1.2.2 非欧几何的诞生

前面提到的一些数学家尤其是兰伯特,都是非欧几何的先驱,但是他们都没有正式 提出一种新几何并建立其系统的理论. 而著名的数学家高斯 (Gauss 1777-1855) 、 波约(Bolyai 1802-1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793-1856)就这样做 了,成为非欧几何的创始人.高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设 的人.早在 1792 年他就已经有一种思想,去建立一种逻辑几何学,其中欧几里得 第五公设不成立. 1794 年高斯发现在他的这种几何中,四边形的面积正比于 2 个 平角与四边形内角和的差,并由此导出三角形的面积不超过一个常数,无论其顶点 相距多远.后来他进一步发展了他的新几何,称之为非欧几何.他坚信这种几何在 逻辑上是无矛盾的,并且是真实的,能够应用的,为此他还测量了 3个山峰构成的 三角形内角,他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出.但他的测量 因为仪器的误差而宣告失败.遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的

论著.人们是在他逝世后,从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究 结果和看法.匈牙利青年数学家波约在研究欧几里得第五公设的基础上建立了一种 新几何,他称之为“ 绝对空间中的几何” ,并写了一篇 26 页的论文《绝对空间的科

学》.本论文出版时作为附录附于其父的书《为好学青年的数学原理

论著》.当时的波约已建立起非欧几何的思想,并且相信新几何不是自相矛盾的, 在 1823-11-23 给他父亲的信中, 波约写道:“ 我已得到如此奇异的发现, 使我自己 也为之惊讶不止” [1],在非欧几何的 3 个发明人中,只有罗巴切夫斯基最早且系统 地发表了自己的研究成果.罗巴切夫斯基曾卓越的指出:“ 直到今天,几何学中的 平行线理论还是不完善的,从欧几里得时代以来,两千多年来徒劳无益的努力,促 使我们怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况,它是大家想要证明的,也是 可以像别的物理规律一样单用实验(如天文检测)来检验.最后,我肯定了推测的 真实性,而且认为困难的问题完全解决了” ,“ 不论是如何给出的,只可以认为是 说明,而且数学证明的完整意义不是不应该获得尊重的” [2].他的工作是在前人的 基础上, 引用与欧氏第五公设相矛盾的命题, 即直线外 1 点可作 2 条平行线为假设, 并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系.经过推理后,得出 3 个结论:(1) 用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设,即第五公设是独立的;(2) 与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合,展开一系列推理,获 得了许多在逻辑上无矛盾的定理,构成了不同于欧氏几何的新的几何学;(3)这 种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样,只能凭实验,例如用天 文观测来检验.这 3条结论显然与欧氏几何不同,是一种全新的几何体系,是罗氏 独创性思维的结晶.他的结论是在 1826 年 2 月的一次学术报告上以《简要叙述平 行定理的一个严格证明》为题报告的.由于罗巴切夫斯基对非欧几何的特殊贡献, 人们把这种几何称为罗氏几何.

1.2.3 非欧几何的发展与确认

非欧几何要获得人们的普遍接受,需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实 意义.罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标. 1854 年, 黎曼 (G . F . B . Riemann 1826-1866)摆脱高斯等前人把几何对象局限在 3 维欧几里 得空间的曲线和曲面的束缚,从维度出发,建立了更一般的抽象几何空间.黎曼仿 照传统的微分几何定义流形上 2 点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹 角.并以这些概念为基础,展开对 n 维流形几何性质的研究.在 n 维流形上他也 定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率.他指出对于 3 维空 间,有以下 3 种情形:(1)曲率为正常数; (2)曲率为负常数; (3)曲率恒等于 0.黎曼 指出后 2 种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学,而第一

种情形则是黎曼本人的创造,它对应于另一种非欧几何学.黎曼创造的几何中的一 条基本规定是:在同一平面内任何 2 条直线都有公共点 (交点 ) .在黎曼几何学中不 承认平行线的存在. 它的另一条公设讲:直线可以无限延长, 但总的长度是有限的. 黎 曼几何的模型是一个经过适当“ 改进” 的球面. 19 世纪 70 年代以后, 意大利数学 家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中 给出了非欧几何的直观模型,从而揭示出非欧几何的现实意义.贝尔特拉米的模型 是一个叫“ 伪球面” 的曲面,它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得.贝尔特拉 米证明,罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“ 伪球面” 片上的几何关 系相符合:也就是说,对应于罗巴切夫斯基几何的每一断言,就有一个伪球面上的 内蕴几何事实.这使罗巴切夫斯基几何立刻就有了现实意义.克莱茵的模型比贝尔 特拉米的简单明了.在普通欧氏平面上取 1 个圆,并且只考虑整个圆的内部.他约 定把圆的内部叫“ 平面” ,圆的弦叫“ 直线” (根据约定将弦的端点除外).可以证 明,这种圆内部的普通(即欧氏)几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理,而且 反过来,罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实.在 克莱茵之后, 庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了模型:在欧氏平面内划 1 条直线, 而使之分为上、下 2 个平面,把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面,其 上的欧氏点当作罗氏几何的点,把以该直线上任一点为中心,任意长为半径所做出 的半圆作为罗氏几何的直线,然后对如此规定了的罗氏元素一一验证罗氏几何诸公 理全部成立.这样一来,如果罗氏系统在今后出现了正、反 2 个相互矛盾的命题的 话,则只要按上述规定之几何元素之间的对应名称进行翻译,立即成为相互矛盾的 2 个欧氏几何定理,从而欧氏几何就有矛盾了.因此,只要承诺欧氏几何是无矛盾 的,那么罗氏几何一定也是相容的,这就把罗氏几何的相容性证明通过上述庞家莱 模型转化为欧氏系统的相容性证明.由于人们承认欧氏几何是相容的,因此,罗氏 几何也是相容的. 这样一来, 就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性. 至 此,历经 2 000 余 a ,非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了, 也真正获得了广泛的理解,人们最初的愿望终于变成了现实.

2 非欧几何发展史的启示

非欧几何的诞生,是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤.在这里我们将沿 着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义. M . 克莱茵(M. Klein) 在评价 这一段历史的时候说:“ 非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影

响的程度是那么厉害.当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理,并且断定欧氏几 何是唯一正确的.但在一百年后,高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新 几何” .

2.1 对数学学科本身

2.1.1 数学发展的相对独立性

通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式,使人们清楚地 看到数学可以有自己的逻辑体系存在,从而独立发展.数学发展的相对独立性突出 表现为:数学理论的发展往往具有超前性,它可以独立于物理世界而进行,可以超 前于社会实践,并反作用于社会实践,推动数学乃至于整个科学向前发展. 19 世 纪前, 数学始终与应用数学紧密结合在一起, 即数学不能离开实用学科而独立发展, 研究数学的最终目的是为了解决实际问题.但是非欧几何第一次使数学的发展领先 于实用科学,超越人们的经验.非欧几何为数学创造了一个全新的世界:人类可以 利用自己的思维,按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考.于是数学被认为应当 是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构.这种 观点逐渐被人们了解,于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂 [1].

2.1.2 数学的本质在于它的充分自由

非欧几何的创立,使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学 空间与物理空间的不同.数学家创造出几何理论,然后由此决定他们的空间观.这 种建立在数学理论基础上的空间观、自然观,一般并不能否定客观世界的存在等内 容,它仅仅强调这样一些事实:人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自 己的创造.物质世界现实与这种现实的理论,永远是两回事.正因为如此,人类探 索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头.非欧几何的创立使人们认识到数学 是人的精神的创造物,而不是对客观现实的直接临摹,这样就使数学获得了极大的 自由,同时也使数学丧失了对现实的确定性.数学从自然界和科学中解脱出来,继 续着它自己的行程.对此, M. 克莱茵说:“ 数学史的这一阶段,使数学摆脱了与现 实的紧密联系, 并使数学本身从科学中分离出来了, 就如同科学从哲学中分离出来, 哲学从宗教中分离出来,宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样.现在可以利用 乔治 . 康托的话了:‘ 数学的本质在于它的充分自由’ ” .

2.1.3 几何观念的更新

非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面,使几何学的观念得到更新.传统

欧氏几何认为空间是唯一的,而非欧几何的出现打破了这种观念,促使人们对欧氏 几何乃至整个几何学的基础问题作深入探讨. 2.2.1 非欧几何是敢于向传统挑战、 勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧 几何,但 3 人对待新几何的态度是不同的.高斯很早就意识到了新几何的存在,但 他没有向世人公布他的新思想,他受康特(Kant )唯心思想的影响,不敢向传统几 何学界达 2 000 a 之久的欧氏几何挑战,以致推迟了非欧几何的诞生.波约致力于 平行公设的研究,终于发现了新几何.这其中还有一个故事,当高斯决定将自己的 发现秘而不宣时,波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世,然而高 斯回信给他的父亲 F. 波约中说:“ 夸奖他就等于称赞我自己.整篇文章的内容,你 儿子采取的思路和获得的结果,与我在 30 至 35 年前的思考不谋而合” [3],波约对 高斯的回答深感失望,认为高斯想剽窃自己的成果,特别是在罗巴切夫斯基关于非 欧几何的著作出版后,他更决定从此不再发表论文.罗巴切夫斯基在 1826 年公开 新几何思想后,并没有得到同代人的理解与赞扬,反而遭到讽刺和攻击,“ 可是没 有任何力量可以动摇罗巴切夫斯基的信心,他像屹立在大海中的灯塔,惊涛骇浪的 冲击, 十足显出他刚毅的意志, 他一生始终为新思想而斗争 [4]” . 在他双目失明时, 还口授完成了《泛几何学》.

3 人们发现新几何的过程启示我们:只有突破了对传统、对权威的迷信,才能充分 发挥科学的创造性;只有不畏艰难困苦,勇于为科学献身,才能追求、捍卫超越时 代的真理.一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基 3 人们同时发现了新几何,这是人 们对历史的公正,但人们更喜欢称新几何为罗氏几何,这正是人们对罗巴切夫斯基 为科学献身精神的高度赞扬.

2.2.2 非欧几何精神促使人们树立宽容、包容一切的产物非欧几何的创立,解放了 人类思想, 新见解、 新观点不断涌现, “ 数学显现为人类思想的自由创造物” [5]. 数 学的发展使康托由衷的说道:“ 数学的本质在于其自由” .这种思想活跃而且民主 的艺术气氛,使数学以前所未有的速度向前发展.非欧几何曲折的创建历程及其所 带来的数学的发展,使人们意识到自由创造、百家争鸣对科学发展的重要性,促使 人们树立宽容、包容一切的精神与美德 [6].

2.3 哲学思想方面

2.3.1 认识论的变革

法国哲学家、数学家彭加莱(Henri Poincare)说过 [7]:非欧几何的发现,是认识

论一次革命的根源.简单讲,人们可以说,这一发现已经胜利的打破了那个为传统 逻辑所要求的,束缚住任何理论的两难论题:即科学的原理要么(感官观察的事 实).他指出:原理可能是简单的任意约定,但是这些约定决不是同我们的心灵和 自然界无关的,它们只能靠着一切人的默契才能存在,它们并且紧密地依赖着我们 所生活的环境中的实际外界条件.事实上正是由于这一点,对于探索未知或目前无 法感知的事物,我们可对自然界的认识作某种“ 默契约定” ,这是认识一切事物的 开始和基础. 另外, 我们在理论评判中, 放弃非彼即此的评判, 爱因斯坦就说过 [8]:这种非彼即此的评判是不正确的.这些评判家、数学家的评判无疑是非欧几何创立 后,其对思想、理论建立,特别是对认识论有最为直接的影响;更进一步的近代的 理论和技术的进步均离不开它的内在影响,像“ 相对论” 的产生、特别是对时空的 进一步认识,集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可 以看成是非欧几何的直接结果.非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消 [9,10]. 2.3.2 打破人类的传统思维方式

分析和评价一种理论的首要依据应该是看其是否有 “ 相容性” , 即它是否有或会得 出自相矛盾的结论.如果一个理论尚不能“ 自圆其说” ,说明这一理论要么还只是 人类经验的一种简单表述和列举,还没有进化到“ 理论”的高度;要么至少还需要进 一步完善和改进. 本来非欧几 _何与欧氏几何理论建立的前提是矛盾的, 而欧氏几何 已被普遍接受.是否接受非欧几何势必产生这样的问题,矛盾的前提是否一定能够 导出矛盾的结果?传统的思维方式认为这是一定的,即矛盾的前提必然导致矛盾的 结果.接受非欧几何就意味着要冲破这一传统思维方式的束缚.随着时间的推移, 特别是非欧几何的成果的广泛应用,使人们认识到:我们在建立理论的过程中不能 保证矛盾的前提一定能导出矛盾的结果.因此,在理论的建立过程中,相容性是必 须具备的 [11],特别是在导出某个结论的过程中,我们必须清醒的认识到建立的理 论体系是否具有无矛盾性、是否具有排中性.

2.4 对数学科研者

2.4.1 勇敢面对在科学探索路途上的暴风雨在科学探索的征途上,一个人经得住一 时的挫折和打击并不难,难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗.罗巴切夫斯基的 新学说,违背了 2 000 多 a 来的传统思想,动摇了欧氏几何“ 神圣不可侵犯” 的权 威基础,同时也违背了人们的“ 常识” .他的学说一发表,社会上的嘲弄、攻击, 甚至侮辱、谩骂,暴雨般地袭来:科学院拒绝接受他的论文;大主教宣布他的学说

是“ 邪说” ; 大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“ 伪科学” , 是一场“ 笑话” ; 即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“ 对一个错误的怪人的宽容和惋惜态 度” ;连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何,如德国诗人歌德,在他的名 著 (浮士德 ) 中写下了这样的诗句:“ 有几何兮,名曰:‘ 非欧’ ,自己嘲笑,莫名其 妙” .面对种种攻击、嘲笑,罗巴切夫斯基毫不畏惧,寸步不让,他像屹立在大海 中的灯塔,表现出一个科学家“ 追求科学需要的特殊勇敢” .罗巴切夫斯基坚信自 己学说的正确性,为此奋斗一生.从 1826 年发表了非欧几何体系后,又陆续出版 了《关于几何原本》等 8本著作.在他逝世前 1 a,他的眼睛差不多瞎了,还口述, 用俄、法 2 种文字写成他的名著《泛几何学》.罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终 生的勇士.同样,一名数学工作者,特别是声望较高的学术专家,正确识别出那些 已经成熟的或具有明显现实意义的科技成果并不难,难的是及时识别出那些尚未成 熟或现实意义尚未显露出来的科学成果.数学的发展决不是一帆风顺的,在更多的 情况下是充满犹豫、徘徊,要经历艰难曲折甚至会面临更多危机的.我们每一位科 学工作者,既应当作一名勇于在逆境中顽强点头的科学探索者,又应当成为一个科 学领域中新生事物的坚定支持者.

2.4.2 正确对待数学领域里的成就

数学是一门历史性或者说积累性很强的学科.重大的数学理论总是在继承和发展原 有理论的基础上建立起来的,它们不仅不会推翻原有的理论,而且总是包含原先的 理论.如非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广.因此,有的数学史家认为“ 在大多 数的学科里, 一代人的建筑为下一代人所拆毁, 一个人的创造被下一个人所破坏. 惟 独数学,每一代人都在古老的大厦上添加一层楼” [12].克莱茵在考察第五公设研 究的历史特别是从 18~19 世纪非欧几何由“ 潜” 到“ 显” 转变的 100 多 a 的历史 过程时指出:“ 任何较大的数学分支或较大的特殊成果,都不会只是个人的工作, 充其量,某些决定性步骤或证明可以归功于个人.这种数学积累特别适用于非欧几 何” .事实上,自从《几何原本》以后到 19 世纪,第五公设问题就像一块磁石一样 广泛地吸引和激励着各个时代有才华的数学家为之奋斗.这就形成了一个在科学史 上时间跨度最长、成员最多,并以传播和研究第五公设为范式的数学共同体.在 这个共同体中,数学家相互交流思想,交换研究成果,对研究成果进行评议,形成 不断竞争和激励的体制.罗巴切夫斯基也是从前人和自己的失败得到启迪,使他大 胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明. 于是, 他便调转思路,

着手寻求第五公设不可证的解答.罗巴切夫斯基正是沿着这个途径,在试证第五公 设不可证的过程中发现一个新的几何世界的.也可以说,罗氏几何的出现应归功与 萨凯里、兰伯特等对第五公设的研究.在今天分支越来越细的数学领域里,精通多 个领域的知识的数学家也越来越少.对此,数学科研者应团结,相互进行交流;用 平和的心态对待已取得的成绩,不骄不躁.

2.5 对数学教师和数学学习者

2.5.1 在质疑问难中培养创新思维

罗巴切夫斯基认为,作为一名优秀的数学教师,讲授数学必须叙述精确、严密,所 有概念都应当完全清晰.因为在他看来,数学课程是以概念为基础的,几何学尤其 如此.所以他在备课中,通过对欧氏几何的逻辑结构的全面思考,发现了其逻辑体 系的缺陷,使他感到非常困惑.他决心在自己的教学实践中消除那些缺陷.后来他 确实编写了一本几何教科书《几何学教程》 (1883).他不仅在教材中形成并贯彻 了他的非欧几何思想, 而且他关于非欧几何的研究, 始终是和教学活动相结合的. 他 关于非欧几何的许多定理都是在授课过程中推导出来的,在学生中交流、修改和完 善的.我们可以肯定的说,他创立非欧几何的伟大成果是从几何教育改革的角度切 入的,是一个数学教育家取得伟大突破的成功范例.正如数学史家鲍尔加斯指出的 “ 罗巴切夫斯基希望建立起在教学法意义上无可指责的几何学” , “ 这是促使他改革 新几何的重要原因” .“ 他对教学法的探讨,获得了出色的、开创几何学发展新阶 段的、 作为人类研究和征服周世界围新方法的科学结论” . 所以作为一名 21 世纪的 数学教师,在平时的教学过程中要不断的学习这个时代的新的知识,要勇于质疑你 已经掌握的知识;教学中要引导学生广开思路,重视发散思维;教师要精选一些典 型问题,鼓励学生标新立异、大胆猜想、探索,培养学生的创新意识. 2.5.2 在教 学中训练学生的创新思维

罗巴切夫斯基刚开始是循着前人的思路,试图给出第五公设的证明.在仅存下来的 他的学生听课笔记中,就记载着他在 1816-1817 学年度几何教学中给出的几个证 明.但他很快就意识到证明是错误的.前人和自己的失败从反面启迪了他,使他大 胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明. 于是, 他便调转思路, 着手寻求第五公设不可证的解答.罗巴切夫斯基正是沿着这个途径,在试证第五公 设不可证的过程中发现一个新的几何世界的.“ 学起于思,思源于疑” ,我们在探 索知识的思维过程总是从问题开始,又在解决问题中得到发展.教师不仅要善于设

问,还要激发学生质疑问难.教学中,要鼓励学生在学习过程中碰到的问题提出来 并和同学讨论,让学生存在一个充分表现的机会.先对不同问题提供同一思路来解 决,之后提出个别条件的变化,要求用新的思路解决,以打破原来的思维定势,使 思维灵活而富有创造性.

2.5.3 非欧几何的历史对高校学生学习数学的意义

高校学生可通过对数学文化的学习,了解人类社会发展与数学发展的相互作用,认 识数学发生、发展的必然规律;了解人类从数学的角度认识客观世界的过程;发展 求知、 求实、 勇于探索的情感和态度; 体会数学的系统性、 严密性、 应用的广泛性, 了解数学真理的相对性;提高学习数学的兴趣.非欧几何的诞生和发展过程曲折而 又艰辛 , 而数学家们也为之付出了巨大的努力. 它于现今和以后的数学学习者有着深 远而又积极的意义和影响.知识的学习和研究永无止境,只有通过不断的创新和探 索,才有新的知识的创造和新知识领域的发现. “ 读史使人明智” ,学习非欧几何 学发展史对于揭示数学知识的现实来源和应用,对于引导学生体会真正的数学思维 过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,对于激发学生对数学的兴趣,培养探 索精神,都有重要意义.

参考文献:

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The Synthesis and Application of a New Cationic Polymer Flocuulant

Abstract: The noneuclidean geometry holds the special status in the history of mathematics. This article

takes the noneuclidean geometry invention process as the basic clue, it has discussed the impact of the

logarithm mathematical discipline itself, humanity culture and the philosophy concept; it also studied its

logarithm scientific research, mathematics and the university student's enlightenment.

Key words: Noneuclidean geometry; Lobatchevskian geometry; Riemannian geometry

范文五：[word格式] 非欧几何诞生的紫罗兰现象

非欧几何诞生的紫罗兰现象

20O4年第7期《贵州电力技术)(总第6l期)

非欧几何诞生的紫罗兰现象

贵州电力职业技术学院李小幸[551417]

1欧几里德与他的《几何原本》

—275年)生于雅 欧几里德(Enclid,公元前330

典,在雅典的柏拉图学院受过教育,是古希腊的数学

家和教育家,希腊被马其顿灭亡之后,其本土的文化

中断,但菲力仆的儿子亚力山大帝在侵占埃及后,在

尼罗河畔建立了亚力山大城和亚力山大大学.这个

大学继承了古希腊文化的正宗,并向前发展了1000

多年.欧几里德曾在亚力山大大学教过书.他继承

柏拉图把几何学建立在定义,公理及逻辑基础上的

工作,搜集了前人留下的关于几何学的资料,其中有

些证明不够严密的或己失传的,都由他自己加以补

充证明,从而集当时几何学之大成,以严密的体系编

着了《几何原本》一书,共有15卷.这是应用公理化

方法处理数学问题,特别是几何问题光辉的里程碑

和最早的典范,是传授数学知识,特别是几何知识,

影响深远,举世无双的教科书.欧几里德的几何学

思想,在几何学领域维持了2000多年的统治地位,

直到19世纪初,才有别的几何学出现.为了区别于

别的几何学派,便把他的几何学称为欧氏几何学.

《几何原本》也是经典的初等几何教科书,以后的各

类初等几何教科书,几乎是它的翻版.据不完全统

计,从1842年以来,已有各种不同文字的版本500

种以上,出版量仅次于《圣经》.

意大利人利玛窦(MatteoRicci,15521610)是最

早来我国的耶稣会传教士.他是法国着名数学家克

拉维斯(clavius,1537—1612)在罗马神学院的学生,

曾做过大科学家伽里略(Galilei,15641642)的几何

老师,他于1582年来到中国,带来了一些西文科技

书籍和贡品,如世界地图,自鸣种,天文仪器以及数

学书籍等,1596年9月22日他在南昌成功地预测了

一

次日食,使他名声大振.

利玛窦精通汉语,1600年在南京认识我国科学

家徐光启,随后二人合作,翻译了我国第一部引进的

西方数学着作,欧几里德《几何原本》的前六卷(1607

年).后7卷用了将近4年时间才由李善兰与英国

人伟烈亚力,艾约瑟译完,于1858年刊刻出版,至此

?

44?

我国有了完整的《几何原本》中译本.然而从《原本》

前6卷问世到后9卷正式刊行,其间经历了整整两

个半世纪(250年).

2《几何原本》的”污点”

《原本》首先列出23条定义,以5条公设和5条

公理为基础,然后演绎了467条定理,内容包括古希

腊时代已知的几何,算术,数论的有关知识,几何既

有平面几何,又有立体几何.

5条公设中的第五个就是着名的”欧几里德第

五公设”,即”如果一直线和两直线相交,所构成的两

个同旁内角之和小于两直角,那么,把这两直线延

长,它们一定在两内角的一侧相交.”在现行的初中

数学课本中,这条冗长的公理,已经被另一条与它等

价的所谓平行公理所代替,即:”过已知直线外一已

知点,能且只能作一直线,使它与已知直线平行.”正

因为这个公设的文字和内容都比其他四个公设冗长

而繁琐,欧几里德本人对此也持有疑虑,直到证明第

二十九个定理时,欧几里得在忍无可忍的情况下使

用了第五公设.许多人认为欧氏把它当作公设,也

许是找不到这命题的证明.并认为这是欧氏几何的

“污点”.从公元前3世纪到l9世纪初2000多年

间,许多数学家都试图直接证明第五分设,都想补救

欧氏体系之缺陷.数学家们付出了宝贵的年华,均

以失败告终.因为,他们的证明过程中往往自觉或

不自觉地引进了第五公设等价的命题——这个”污

点”导致20个世纪的数学家栽在这上头1

3时候到了,紫罗兰花就要开了

直接证明行不通,数学家们走上了间接证明的

途径.1733年意大利数学家萨凯里(G.Succheri,

1667—1773)首次给出了第五公设的所谓反证法证

明,发表了《免除所有污点的欧几里德几何》的文章.

萨凯里在证明中,把直观的合理与逻辑的必然混为

一

谈.因而他对第五公设的证明是错误的,还有瑞

士的伦伯特(Lambert,1728—1777)法国的勤让德

(Legendre,1752—1833)匈牙利的老鲍耶(W.Bolgai.

2004年第7期(-It州电力技术》(总第6l期)

1775—1856)等,都各自从正反两面做了深入的研

讨,得出了许多”稀奇古怪”的事实并未导出矛盾,而

伦伯特大胆地对第五公设是否可以利用其余公理证

明提出了怀疑,这是观念上的一大突破.

到了19世纪20年代,沿着伦伯特的思路,贯彻

萨凯里的方法.德国的高斯(Gauss,1777—1855)15

岁涉及平行理论,得出了借助欧几里得的其他公理

不可能证明第五公设.他在给托里劳斯的信中说:

“三角形的内角和小于180o,这个假定将引向一种

特殊的与我们的几何完全相异的几何,这种几何是

完全相容的,当我们发展它的时候,结果令人完全满

意,除了某一常数的值不能先天的表示定义而外,在

这种几何里我们可以解决任何问题,我们给予这常

数的值越大,则越接近欧几里德几何,而且它的无穷

大值会使双方系统合而为一.”不幸的是在他生前并

未发表他的着作,按照他的话说,恐愚人的呐喊,怕

教会的礼节,害怕与康德的理论冲突.大量的研究

结果在他去逝后由他的学生整理发表.致使这一科

学上重大发现,推迟了至少二十年,后人深以此为

撼.

匈牙利青年数学家鲍耶(J.Boljai,1802,1860)

继高斯之后也发现了这个新几何学.鲍耶的父亲是

高斯的大学同学,也是个数学家.他终身从事于欧

氏第五公设之证明工作,而未获较大成就.鲍耶尚

在维也纳工学院读书时就醉心于欧氏第五公设的证

明,他父亲得知后赶快写信给儿子力加劝阻.信上

写道:”我熟知一切方法,我还没有遇到一个思想未

曾为我所探讨过的.我经过了这个夜的无希望的黑

暗,并且我在这里面埋没了人生的一切光亮,一切快

乐.老天呀!希望你放弃这个问题,对它的害怕应

当更多于感情上的迷恋,这是因为它会剥夺你生活

中的全部时间,健康,休息和幸福的.”但鲍耶并没有

因为父亲的劝阻而放弃停顿对这个问题的研究.

1823年,鲍耶21岁时,写信给父亲说:”我坚决地决

定出版自己的关于平行线的着作,只要一旦情况允

许,我便把资料整理就绪.”“我已经从写作中创造了

整个世界.”1830年,鲍耶在他父亲的一本几何着作

后面,以附录的方式发表了《关于一个与欧几里德平

行公理无关的空间的绝对真理的学说》.他父亲把

整个附录奇给高斯评阅,高斯阅后回信称赞小鲍耶

“具有头等品质的天才”.但是又写到:”如果我一开

始就说出我不能赞扬你儿子的工作的话,那么你一

定会感到很惊呀,但我不能说任何别的话,我要是称

赞他,就等于称赞我自己,因他研究的内容,采取的

方法,达到的结果和我30至35年前已经开始的部

分工作完全相同,我真是被这些给惊吓住了,对于这

些工作,关于我自己的结果,虽然一部分已经写好,

但我本来是一辈子不愿发表,大多数人对于我们所

讨论的问题,抱着不正确的态度,我发现只有少数几

个人才对我跟他们所谈的问题感兴趣,……我本想

打算把它们都写下来,免得他们与我一起被淹没,使

我高兴的是现在可以免除这项劳动,代替我工作的

是我老友的儿子.高斯的回信大大地刺痛了鲍耶,

他不相信有人在他之前已做了这些工作,误认为高

斯是在借已有的权威争夺他的优先权.虽然高斯在

私人信件中对鲍耶的评价颇高,但从未在公开场合

称赞过他,使鲍耶陷入失望,从此抛弃了一切数学研

究,在孤单苦闷中度过了余生.

差不多在同一时期,独立地发现这个新几何学

的,还有俄国的伟大数学家罗巴切夫斯基

(1_obachevski,1792,1856年).他出生在一个测量家

的穷苦家庭,三岁时就失去了父亲.于1807年进入

喀山大学学习,1810年就荣获硕士学位,1811年获

法官学位,1814年获纯粹数学副教授职位,于1816

年获教授称号,与高斯和鲍耶一样,罗巴切夫斯基起

初也是希望能证明欧氏第五公设,但后来意识到在

原则上是不可能的,他就鼓起勇气去创立新的几何

学,从而完成了数学史上一次最伟大的革命,他采用

了欧氏几何除第五公设外的所有公理,而以另一个

公理”过已知直线外一点,至少可以作两条直线与已

知直线平行.”去代替欧氏平行公理,从而在自己的

公理系统上,建立了新的几何学,其严密性绝不比欧

氏几何逊色,1826年2月11日,在喀山大学物理数

学系会议上宣读了他的”关于几何原理的讨论”的报

告.1829年他在《喀山通报》上发表了题为《关于几

何原本》的论着.这个新几何学由于比鲍耶的《附

录》发表要早三年,且内容极丰富,被公认为是属于

罗巴切夫斯的,称之为罗氏几何学,或称为双曲几何

学.他的平行公理,被称为罗氏平行公理.而1826

年2月11日,被公认为非欧几何学的诞生日.

正如高斯所料想的那样,罗巴切夫斯基的新几

何学一发表,就动摇了旧世界观的全部基础,给康德

派唯心主义理论以致命打击,因而引起教廷的褐力

反对和无耻的诽谤,总主教菲拉列特宣布他的学说

是歪理邪说,他本人被宣布为”疯子”.康德的唯心

主义理论在许多问题上是依赖于欧几里得几何来做

说明的.对于几何公理,康德说是先验的,是天赋的

真理.康德说人一生下来就有空间概念,而这种空

?

45?

2004年第7期《贵州电力技术)(总第6l期)

间概念,就象欧几里得在《几何原本》中的那样,伟大

的哥白尼(1473,1543)因创立”日心说”,触犯教廷

的”地静天动”的信条,被处以火刑.当时的最高数

学权威高斯深知这些,虽然很钦佩罗巴切夫斯基,但

不敢公开地表示支持.致使罗巴切夫斯基遭到批

判,诽谤,嘲笑,侮辱,谩骂,围攻.其荒唐无耻与不

通情理的程度是史无前例的.然而罗巴切夫斯基坚

忍不拔决不屈服,继续研究,直到逝世为止,先后发

表了八部着作.1855年,他的眼睛几乎全瞎了,但

还用口授的方法写下了他的最后一部着作《汛几何

学》.他为自己的科学学说斗争到最后一分钟.遗

憾的是,他没能亲眼看到胜利就与世长辞.罗巴切

夫斯基去逝三年后,非欧几何终于被全世界所公认.

罗氏几何学的诞生,打破了欧氏几何学空间是

唯一空间的观念,打开了探索几何学的广阔道路.

德国数学家黎曼(Riemunn,1826,1866年)出生在罗

氏划时代的罗氏几何学诞生的同年,28年后,1854

年,黎曼在德国的哥延根大学发表了《关于作为几何

基础的假设》的演讲.他根本不认为存在平行线,以

公设”在一平面上过已知直线外一点的所有直线,都

与这一直线相交.”替代欧氏平行公理,保留欧氏几

何的其他公理,建立了一种既不是欧氏几何,也不是

罗氏几何,但与它们同样瑰丽的新几何学——黎氏

几何学,又称为椭园几何学..而这条公设被称为黎

氏平行公理.黎曼的演讲中所阐述的理论,大大超

出了当时的数学理论水平,据说,在所有听众中,除

当时已年迈的高斯外,几乎没有任何人听得懂.

黎氏几何与罗氏几何合称非欧几何.

欧氏直线的现实意义与直观解释是非常明显

的,而罗氏几何的现实意义就不那么直观了.罗氏

直线指的是开圆内部的弦.所谓开园就是一个普通

平面上的圆不包括圆周,只考虑圆的内部,并且当我

们走近圆同时,测量长度的单位尺度以及我们的身

高等一切都在成正比例地无限缩短,这个园内的每

一

条弦(不包括它的两个端点),就如同一条两端可

以无限延长的直线.(F.Klein模型),因此通过一已

知直线Bc外的一点A至少可以作BE,CF两条线与

已知直线BC平行,因为它们与直线BC确实不相

交.圆周上的点B,C称为无穷远点.如图1,并且

过B点且夹在直线BE,CF之间可引无数条直线与

已知直线BC平行.假设在这个圆内的人作一个

“等边三角形”OAB,其中一个顶点在圆心O,由于越

靠近圆周,尺度就越缩短,在局外人的正常尺度看

来,这实际上是一个等腰三角形,AB要短些,即AB

<OA=OB.又由于”等边对等角”,所以这个三角形

的三个内角之和等于AOB的三倍,但以局外人正

?

46?

常的眼光看来,因为AB<OA=OB,所以AOB<

OAB=OBA,又因为AOB+OBA+OAB=

180~(两直角),所以AOB<AOB+OBA+

OAB=180.勒让德证明了:若有一个三角形的内

角和小于二直角,则一切三角形内角和都小于二直

角.于是得到结论,在罗氏空间里,三角形的内角和

小于180~.

F

?

图l

黎氏直线是过球心的大园,即经过球心的截面

与球面的交线,因而它们统统相交,没有平行线,并

且直线的长度是有限的,就是大园的周长.过两个

大园的交点,分别引这两园的切线,而把这两切线的

夹角定义为这两条直线的夹角,那么,由球面上的三

条”直线段”构成的三角形,其三内角之和,显然必大

于180o.例如,赤道和任意两条经线所构成的球面

三角形,两底角B,C都等于90~再加上顶角A的

度数,显然这个三角形的内角和大于180~.

人类生活在地球上,围绕地球比较欧氏,罗氏,

黎氏三种几何学,在我们的日常生活中,仅仅是地面

表面的一小片,极似欧氏平面,既使上不远的空间,

也极接近欧氏的三维空间.假如我们考虑更广泛的

空间,整个地球表面,就必须用黎氏几何学.例如,

北京与上海在地球表面的直线距离,必须是过地心

大园的一段劣弧(除非能打穿地球).如果远离地球

表面,而遨游太空,开发宇宙,那就必须用罗氏几何.

这种思想在爱因斯坦的相对论出现之后,在物理世

界大尺度重质量的恒星周围的空间与时间出现了这

种几何学的特征.假如我们有朝一日拥有某种手

段,可以在地球的内部直来直往,通行无阻,那么所

要应用的几何学,又将回到欧氏几何学.陈省生先

生说过,非欧几何的发明发现是人类19世纪最辉煌

的篇章之一.

参考文献

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2徐品方.数学简明史[M].学苑出版社,1992.

3苏联H.N.鲍里斯基.[M]奇妙的几何世界.陕西科学技

术出版社.

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5奏无勋.几何学通论[M].湖南科学出版社,1981.

(收稿Et期:20040326)

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