饥渴的芊芊
范文一：二次函数解析式
怎样确定二次函数的解析式?
确定二次函数的解析式一般采用待定系数法.应根据已知条件的不同特点,适当选取二次函数的一般
式、顶点式或交点式,以使计算最简便为宜.
(1)已知抛物线上三个点的坐标,最好选用一般式.
例 1 已知抛物线经过 A (0, 4), B (1, 3)和 C (2, 6)三点,求二次函数的解析式.
. c bx ax y 2++=设二次函数的解析式为 规范解法
因 A 、 B 、 C 三点在函数的图象上,
所以它们的坐标满足函数的解析式.
把 A 、 B 、 C 三点的坐标代入所设解析式,
??
???=++=++=. 6c b 2a 4,
3c b a , 4c 得方程组
?????=-==. 4c ,
3b , 2a 解得 . 4x 3x 2y 2+-=故所求函数解析式为
(2)若已知条件与抛物线的顶点有关,则用顶点式比较恰当.
例 2 已知二次函数的图象顶点为(2, 3),且经过点(3, 1),求这个二次函数的解析式.
. n ) m x (a y 2++=式为 设二次函数的解析 规范解法
. 3) 2x (a y , ) 3, 2(2+-=得 的坐标代入 把顶点
. 3) 23(a 1, ) 1, 3(2+-=得 的坐标代入 再把点
解得 a =-2.
. 3) 2x (2y 2+--=式为 故所求二次函数的解析
(3)已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标,选用交点式比较简便.
例 3 已知 A (2, 0), B (-1, 0), C (1,-3)三个点在抛物线上,求二次函数的解析式.
思路启迪
由 A 、 B 两点的纵坐标为 0知,这两点是抛物线与 x 轴的交点.
规范解法 设二次函数的解析式为
), x x )(x x (a y 21--=
). 1x )(2x (a y , 1x , 2x 21+-=-==得 代入 把
再把点 C (1, -3)的坐标代入,
得-3=a (1-2)(1+1),
. 23a =
解得 ). 1x )(2x (23y +-=故所求解析式为
点评
上述 3个例题均可采用二次函数的一般式求解.
如例 2中的抛物线顶点坐标为(2, 3),可以列出两个方程,即 顶点的横坐标 22=-
a b , ① 顶点的纵坐标 3442
=-a b ac , ②
再把点(3, 1)的坐标代入 c bx ax y ++=2,得 9a+3b+c=1
③ 把方程①、②、③联立得方程组,解得 ?????-==-=. 5c ,
8b , 2a
. 5x 8x 2y 2-+-=故所求解析式为
显然,选用一般式解决例 2的问题比用顶点式麻烦得多.
因此,求二次函数的解析式,根据己知条件选取表达式是关键.
例 4 已知二次函数的图象经过点 A (3,— 2)和 B (1, 0),且对称轴是直线 x =3.求这个二次函
数的解析式.
思路启迪一
已知对称轴是直线 x =3,因对称轴经过顶点,所以这是与顶点有关的问题.
. h 3) -a(xy 12+=设二次函数的解析式为 规范解法
把 A (3,-2), b (1, 0)两点的坐标代入,得
?????-==?????=+--=+-.
2h , 21a . 0h ) 31(a , 2h ) 33(a 22解得 . 2) 3x (21y 2--=故所求解析式为
思路启迪二
由对称轴是直线 x =3,且点 A 的横坐标是 3,知点 A (3,— 2)是抛物线的顶点,可设解析式为顶点
式.
23) -a(xy 22-=设二次函数的解析式为 规范解法
21
a , 02) 31(a , ) 0, 1(B 2==--解得 得 的坐标代入 把点
. 2) 3x (21y 2--=故所求解析式为
思路启迪三
由对称轴是直线 x =3,可得关于 a 、 b 的一个方程 . 3a 2b =-
又知图象经过两定点,可设解析式为一
般式,
. c bx ax y 32++=设二次函数的解析式为 规范解法
???????=++-=++=-. 0c b a 2
c b 3a 9,
3a 2b , 得 根据题意 解这个方程组,得 ???
????=-==. 25,
3, 21c b a . 25x 3x 21y 2+-=故所求析式为
思路启迪四
由点 B (1, 0)的纵坐标是 0知,它是抛物线与 x 轴的交点,若能求出抛物线与 x 轴的另一个交点,
即点 B 关于对称轴 x =3的对称点.则可设解析式为交点式.
. 5m , 32
m 1(m,0),B 3x B(1,0) 4==+'=解得 则
的对称点 关于直线 设点 规范解法 ) 0, 5(B 的坐标为 所以点 ' 设二次函数的解析式为 y =a (x -1)(x -5).
得 代入 的坐标 把点 , ) 2, 3(A -
a (3-1)(3-5)=-2,
. 21a =解得
). 5x )(1x (21y --=故所求解析式为
思路启迪五
同解法 4得到 B′(5, 0),就具备了图象过三个定点,可设其解析式为一般式.
规范解法 5 同解法 4,求得点 B (1, 0)关于对称轴 x =3的对称点 B '(5, 0),设二次函数的解析
式为 . c bx ax y 2++=
), 2, 3(A 0c bx ax 5x , 1x 2-=++==的两根及图象过点 是一元二次方程 由
???????=-==?????????-=+++=+=-. 25c ,
3b , 21a . 2c b 3a 9, 51a c , 51a b 解得 得
. 25x 3x 21y 2+-=
故所求解析式为
点评 例 4各解法中以解法 2最佳. 它体现在对点 A (3, — 2) 是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好. 因 此,我们在解题过程中既要学会一题多思,一题多解,拓开思路;更要注意寻求合理的解题途径,选好突
破口.
注 本题还可直接把 A 、 B 、B′三点坐标代入所设一般式,求 a 、 b 、 c 的值.
29.如何利用“抛物线 x 轴交点间的距离”求二次函数的解析式?
已知抛物线与 x 轴两交点间的距离,求二次函数的解析式,一般有下列两种情况:
例 1 已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与 x 轴两交点间的距离为 4.求二次函数的
解析式.
思路启迪
在已知抛物线与 x 轴两交点的距离和顶点坐标的情况下, 问题比较容易解决. 由顶点坐标为 (3, -2) 的条件,易知其对称轴为 x =3,再利用抛物线的对称性,可知图象与 x 轴两交点的坐标分别为(1, 0)和
(5, 0). 此时,可随意使用二次函数的一般式或交点式,得二次函数的解析式为
. 25x 3x 21y 2+-=
点评 同一个题目使用不同的方法求解后,应进一步比较分析它们的优缺点,才能不断提高解题水平,求得
最简捷的解法.
例 2 已知二次函数的图象经过 ??? ??-25, 0A 和 ) 6, 1(--B 两点, 且图象与 x 轴的两个交点间的距离为
4.求二次函数的解析式.
思路启迪
已知抛物线与 x 轴的两个交点间的距离,不知道它的对称轴,情况就比上述问题要复杂得多.利用 A 、
B 两点的坐标可以确定两个方程,即 . 6c b a 25c -=+--=和 根据待定系数法的要求,必须设法找到
第三个方程,才能利用二次函数的一般式求得 a 、 b 、 c 的值.确定第三个方程的思路有二. 规范解法 1 因为抛物线与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 0c bx ax
2=++的两个根 .
x , x 21方程的求根公式为 , a 2ac 4b b x 22, 1-±-=
. 4|x x |21=-可列方程 即 . 4a 2ac 4b b a 2ac 4b b 22=-----+-
. 4a ac 4b 2=- 两边平方,得 . 16422=-a ac b
. a 16ac 4b 22=-∴
. , 0c b a 25c 得方程组即可求解 联立 和 把这个方程与程 =+--=
规范解法 2 根据一元二次方程根与系数的关系,
, 16x x , a b x x 2121=-=+
, 16) x x (, , 4|x x |22121=-=-得 两边平方 把
. 16x x 4) x x (21221=-+即
. a 16ac 4b , a c x x , a b x x 222121=-=-=+得 代入并整理 把
点评
以上两种变形方法都应熟练掌握,它们对解决“已知抛物线与 x 轴的两个交点间的距离,求二次函数
解析式”的问题大有益处.
30.怎样求二次函数的最大(小)值?
求二次函数的最大值和最小值的问题,有着广泛的应用.
求二次函数
c bx ax y 2++=的最值,有下面三种方法: (1)公式法.
由二次函数
c bx ax y 2++=的图象看出,当 a>0时,抛物线的开口向上,它的顶点 ???? ??--a 4b ac 4, a 2b 2
在最低处.由此可得:当 a>0且 a 2b x -=时,函数达到最小值,这个最小值就是 抛物线顶点的纵坐标, 即 . a 4b ac 4y 2-=最小 当 a<>
a 2b x -=时, 函数达到最大值, 这个最大值就是 抛物线顶点的纵坐标,即
. a 4b ac 4y 2-=最大 例 1 求函数 322--=x x y 的最大值或最小值 .
规范解法 由 a=1>0知抛物线开口向上 故当
, 122a 2b x 时 =--=-= . 44412a 4b ac 4y 2-=--=-=最小
(2)配方法.
变形为 利用配方法把二次函数 c bx ax y 2++=
. a 4b ac 4a 2b x a y 22
-+??? ??+=
. 0a 2b x , x 2≥??? ??+则有 对任意实数 , a 4b ac 4y , a 2b x 0a 2
-=-=>最小 时 当 若
. a 4b ac 4y , a 2b x 0a 2
-=-=<最大 时="" 当="">
例 2 求二次函数 25-2x y 2-+=x 的最大值或最小值 .
规范解法
. 8945x 2 1x 25x 22x 5x 2y 222+??? ?
?--=??
? ??+--=-+-= ∵ , 045, 022≥??? ??-<-=x>
. 89y , 45x ==∴最大 时 当
点评
利用公式法与配方法求二次函数的最值时,应根据具体情况,选用恰当的方法.
(3)判别式法.
所谓“判别式法”就是利用一元二次方程根的判别式 ac 4b 2-来求二次函数的最值的方法.
例 3 求函数
232--=x x y 的最大值或最小值 . . 0) 2y (x 32x 2=+--把解析式变形为 规范解法
. 0) 2y (24) 3(, 0ac 4b , x 22≥+?+-≥-即 必有判别式 为实数 因
. 825y , -≥得 解这个不等式
. 8252x 3x 2y 2-
--=的最小值为 故函数 点评
用“判别式法”求二次函数的最大值或最小值,有时比公式法和配方法更为简便,它不仅可用来求二
次函数的最值,还可求更为广泛的一类函数的最值.
31.怎样利用二次函数的最值求得其他函数的最值?
利用二次函数的最值,可以进一步研究其他一些函数的最值问题.举例如下.
例 1 求函数 22122+--
=x x y 的最大值或最小值 .
思路启迪
在函数的解析式中, 含有二次三项式 , 2x 2x 2+-故可构造关于 x 的二次函数 , 2x 2x t 2+-=, 先 求出其最值,再通过不等式运算求出函数
2x 2x 1
2y 2+--=的最值. . 2x 2x t 2+-=令 规范解法
. 11) -(x t, 2+=得 配方
得 两边同加上 , 2, 0t 11<>
22x 2x 12y 1, 2t 1212<><>
. 2x 2x 12y 2只有最小值 显然函数 +--=
. 1y , 1x ==最小 时 故当
例 2 求函数 3
22+--=x x y 的最大值或最小值 . 思路启迪
在函数解析式中,含有关于 x 的二次三项式 , 3x 2x 2+--可构造二次函数 2x t -=
, 3x 2+-通过求二次函数的最值,求得 3x 2x y 2+--=的最值.
. 4) 1x (t , , 3x 2-x t 22++-=+-=得 配方 令 规范解法
. 1x 3x , 03x 2x 2≤≤-≥++-的取值范围是 得 由
当 x =-1时,
∵a=-1<0, ∴t="" 有最大值="" 4,即="" t≤4,从而="" y≤2.="" 又∵="" ,="" 0322≥+--x="" x="" 当="" x="">
∴y≥0,综上 0≤y≤2. 故函数 3x 2x y 2+--=既有最大值,又有最小值.当 x =-1时, ; 2y =最大 当 x =1时,
. 0y =最小
注 ①以上两例,都是根据已知函数的特征,构造出一个二次函数,先求出二次函数的最值,再通过
不等式的运算求得已知函数的最值.
②求函数的最值应先考虑自变量的取值范围. 如二次函数 c bx ax y 2++=的自变量取值范围是全体
实数.再如例 1中,因 2x 2x 12y , 01) 1x (2x 2x 222+--
=≠+-=+-故 的自变量取值范围也是
全体实数,在解题过程中可以不作叙述.但例 2中,应限制被开方数
, 03x 2x 2≥+--所得自变量的取 值范围不再是全体实数,而是-3≤x≤1,必须加以明确.因为函数的最值一定是自变量取某一确定值时 函数的对应值,如果你所求的函数最值,在自变量的取值范围内找不到确定的值,使它对应的函数值就是 这个“最值”,那么表明你所求的连函数值都不是,更谈不上是函数的最值了.所以,求自变量的取值范
围是求函数最值不可缺少的步骤.
例 3 已知 x 、 y 为实数,且 x+y=2,求 22x
y +的最小值 .
思路启迪
在 x 、 y 满足一定条件的前提下,求函数 22y x +的最值,叫做求函数的条件最值.求条件最值最基 本的方法是通过代入消元,把表达式转化为只含有一个自变量的一元二次函数的形式,再利用二次函数的
最值求解.
. x 2y 2y x -==+解出 由
代入①,得
. 442) 2(222+-=-+=x x x x t . 2) 1x (2t , 2+-=得 配平方
. 2y x 22的最小值是 故 +
例 4 设, |x-y|=2求 xy 的最小值.
思路启迪
要想把式子 xy 转化为只含有一个未知数,比如只含有 x 的式子,就需对, |x-y|=2分类讨论去绝对
值符号,从中解出 y ,再代入消元.
规范解法 由 |x-y|=2知 x≠y,有以下两种情况:
①当 x>y时, x -y =2,解得 y =x -2.
. 1) 1x (x 2x ) 2x (x xy 22--=-=-=∴
. 1xy , 1x -=有最小值 时 当
. 1) 1x (x 2x ) 2x (x xy 22-+=+=+=∴
. 1xy , 1x --=有最小值 时 当
再从①、 ②中比较出最小值, 才是所求的最小值. 由于两种情况下的最小值都是-1, 故当 x =±1时,
xy 达到最小值-1.
32.解二次函数最值的应用题的方法步骤是什么?
解二次函数最值应用题的基本方法,是设法把关于最值的实际问题,转化为二次函数的最值问题,然
后按求二次函数最值的方法求解.其一般步骤是:
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式;
(2)把关系式转化为二次函数的解析式;
(3)求二次函数的最大值或最小值.
例 1 用 12米长的木料做成如图 13— 20所示的矩形窗框(包括中间的十字形),问当长、宽各是多
少时,矩形窗框的面积最大 ? 最大的面积是多少
?
规范解法 设窗框长为 x 米,
. 3x 312米 -
. x 4x 3x 312x y 2+-=??? ??-=矩形窑框的面积为
. 4) 2x (y , 2+--=得 配平方
). (4y , ) (2x 平方米 时 米 当 最大 ==
). (2243x 312, 米 此时 =-=-
答:当窗框的长、宽各为 2米时,窗框的面积最大,最大的面积是 4平方米.
例 2 已知三角形的两边和为 20cm ,这两边的夹角为 120°(图 13— 21).求它的面积的最大值;当
面积最大时,这两边的长各是多少 ?
思路启迪
已知三角形两边之和为 20cm ,应设其中一边为 x cm,并将这条边上的高用 x 表示,即可把该三角形
的面积表示为 x 的函数.
规范解法 在如图 13— 21所示的△AB C 中,设 BC 边的长为 xcm ,则 AB =(20-x ) cm .
过 A 作 BC 边上的高 AD ,与 CB 的延长线交于点 D .
∵∠ABD=180°-120°=60°,
. cm ) x 20(2AD -=∴
). x 20(23x 21y ABC -?=
?∴的面积为 . 043a . x 5x 4y 2<-=+-=这里>
). cm (2544) 5(y , ) cm (10423
5x 22
=???? ??--=???? ??--=有最大值 时 当 此时 20-x =10(cm ).
. cm 10, ; cm 325:2三角形两边的长各为 当面积最大时 是 这个三角形的最大面积 答 例 3 快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,航行路线互相垂直.如图 13— 22.快艇的速度为 40千米/小时,轮船的速度是 15千米/小时, A 、 C 两地间的距离是 120千米.问经过多少时间,快艇和轮
船的距离最小 ? (精确到 0.1小时)
思路启迪
设经过 t 小时后,快艇和轮船间的距离最小,此时快艇在图 13— 22所示的 B 点位置,轮船在 D 点位
置.因连结两点以线段最短,故快艇和轮船间的最短距离,就是线段 BD 的长.
∵快艇速度为 40千米/小时,轮船速度为 15千米/小时, AC =120千米,
∴BC=120-40t ; CD =15t .
在 Rt△BCD 中,由勾股定理,得
即大约经过 2.6小时,快艇和轮船间的距离最小.
例 4某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20件,每件盈利 40元.为了扩大销路,增加盈利, 尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价 1元,商场平均每天可 多售出 2件.
(1)某商场平均每天要盈利 1200元,每件衬衫应降价多少元 ?
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多 ?
思路启迪
商场所获的利润是由售出的商品数量和这件商品的利润相乘而得到的.
如果每件衬衫降价 x 元,则盈利为(40-x )元,则可多售出 2x 件衬衫,即每天可售出(20+2x )件 衬衫,从而可求出每天的利润.
由于这个关系式是一个二次项系数为负数的二次函数,所以可求出盈利的最大值,
规范解法 (1)设每件衬衫应降价 x 元,根据题意,得(40-x )(20+2x )=1200.
整理,得
. 0 200 30
2= +
-x
x
20 x ,
10
x ,
2
1
= =
解这个方程
即当降价 10元或 20元时,由于销售量不同,都可获利 1200元.但“为了扩大销售”,“尽快减少 库存”可降价 20元,每天销售量将增加,符合题中要求.
(2)设商场平均每天盈利 y 元,则
.
1250
)
15
x (2
) x 2
20
)(
x
40
(
y 2+
-
-
=
+
-
=
即每件衬衫降价 15元时,商场平均每天盈利最多,达到 1250元.
答:若商场平均每天盈利 1200元时,每件衬衫应降价 10元或 20元;每件衬衫降价 15元时,商场平 均每天盈利最多,达到 1250元.
点评
通过解答上述的几个实际问题,会使我们感觉到数学的美在于它源于实践,用于实践.我们从生产、 生活的实践中发现和总结规律,进而能根据客观规律指导实践,解决生产、生活中的一些实际问题. 初中数学中的一次函数、二次函数问题是与实际问题联
范文二：二次函数解析式
二次函数解析式
一、二次函数的解析式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），
2
（2）顶点式：y=a（x+h）+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（－m，k）（3）两点式：y=a（x-x1）（x-x2）其中x 1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线x=
x 1+x 2
；2
）
22x x C．y＝2－2（＋1）
1．下列函数中属于二次函数的是（A．y＝x（x＋1）
2
x B．y＝1
D．y＝
2
x 2．函数y＝a＋bx ＋c(a,b,c是常数)是二次函数的条件是(
)
A．a≠0且b≠0
2m
y=(m+m ) x 3．若
2
B．a≠0且b≠0,c≠0
?2m ?1
C．a≠0
）
D．a,b,c为任意实数
是二次函数，则m 的值是（
C．m＝-1或m＝3
B．m＝2
2
D．m＝3）
D．以上答案均不正确
4．圆的面积公式S＝πr 中，S和r 之间的关系是（A．正比例函数关系
B．一次函数关系
）
2
C．二次函数关系
5.下面给出了6个函数（①y＝3x －1;
12
⑤y＝x +1;
2
②y＝-x -3x;
;
④y＝x(x ＋x＋1);
2
x 3+x 2+3x
x ⑥y＝. 其中是二次函数的有（B．2个
C．3个
D．4个
）
A．1个
6．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x）件商品，那商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（
A．y＝?10x -560x+7350C．y＝?10x +350x
22
）
B．y＝?10x +560x-7350D．y＝?10x +350x-7350
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2
2
7．一般地，形如＿＿＿＿＿＿的函数是二次函数。
8．圆的半径是1cm，当半径增加xcm 时，圆的面积将增加y cm ，则y 与x 之间的函数关系为＿＿＿＿.
n
9．已知y＝nx
2
2
?2
是二次函数，则n 的值为＿＿＿.
10．函数y＝2x 中，自变量x 的取值范围是＿＿＿，函数值y 的取值范围是＿＿＿。11．已知等边三角形的边长为x(cm)，则此三角形的面积S(cm )关于x 的函数关系式是＿＿＿.
12.二次函数y＝ax 的图象过（2，1），则二次函数的表达式为＿＿＿.
3m 13.若函数y＝(m-4)x
2
2
2
2
?2m ?38
是二次函数，求m 的值。
14．如图34-1-1所示，要用总长为20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。若设AB 的长为xm，则矩形的面积y＝＿＿＿.
2cm 15．如图34-1-2所示，有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S()与
它的一边长x(cm)之间的函数关系式＿＿＿.
16.y＝(m －2m－3)x ＋(m－1)x＋m 是关于x 的二次函数，则m 满足的条件是什么？
2
2
2
二、二次函数的关系式：
1．若已知抛物线的顶点为（0,0)，则二次函数的关系式可设为y=ax2(a≠0). 2．若已知抛物线的顶点在y 轴上，则二次函数的关系式可设为y=ax2+k(a≠0). 3．若已知抛物线的顶点在x 轴上，则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)2(a≠0).
4．若已知抛物线的顶点为（h , k ）则二次函数的关系式可设为y =a (x-h）2+k（a≠0) . （1）已知关于x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y 轴于点（0，2），且过点
（-1，0）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式；
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（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式；
（4）已知抛物线与X 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式；
（5）已知抛物线通过三点（1，0），（0，-2），（2，3）求此抛物线的解析式；
（6）抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与X 轴的一个交点的横坐标是8，求此抛物线的解析式；
（7）抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大值=4，求此抛物线的解析式；
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范文三：二次函数解析式
1. 抛物线顶点坐标是(-2,1),且过点(1,-2).则此抛物线解析式是?.
2. 抛物线过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2)三点. 则此抛物线解析式?.
3. 抛物线过A(1,4),B(-1,-1),C(3，-1) 三点. 则此抛物线解析式是?.
4. 已知直线y=x-2和抛物线y=ax+bx+c的两个交点分别在x 轴和y 轴上，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的解析式.
5. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2，-4) ，O(0，0) ，B(2，0) 三点．
求抛物线y=ax2+bx+c的解析式
16. 直线y=- x+2分别交y 轴x 轴于点A 、B, 抛物线y=-x2+bx+c过点A 、B. 2
求这个抛物线的解析式；
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象过点(3，-6) ，求其解析式.
8. 直线y=-x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax2+bx+c经过A 、
B 、C(1，0) 三点.
求抛物线的解析式;
2
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （﹣3，0）． 求二次函数的表达式；
10. 抛物线
y=x 2+bx+c与y 轴交于点C （0，﹣4）与x 轴交于点A ，B 且B 点的坐标为（2，0）求该抛物线的解析式．
11. 抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的一交点为A （-6，0），与y 轴的交点为C （0，3），且经过点G （-2，3）. 求抛物线的表达式；
12. 半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线y=
﹣
（1）求抛物线的解析式；
x 2+bx+c过A 、B 两点．
如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.
(1)当h=2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围) ；
(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，
求h 的取值范围.
1. (2013·仙桃)2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一
条抛物线(如图). 若不考虑外力因素，羽毛球行进高度
y(米) 与水平距离x(米) 之间满足关系y=-22810x +x+，999则羽毛球飞出的水平距离为 米.
2. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部
分ACB 和矩形的三边AE,ED,DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16
米，AE=8米，抛物线的顶点C 到ED 距离是11米，以ED 所在的直
线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h(单位：
米) 随时间ｔ(单位：时) 的变化满足函数关系h=-1(t-19)2+8(0≤t ≤128
40) 且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为
某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.
(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元) ，设每件商品的售价上涨x 元(x为整数) ，每个月的销售利润为y 元.
(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润? 最大利润是多少?
水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y （千克）与销售
单价x （元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y 与x 之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）
/千克
范文四：二次函数解析式
教学过程
一、 复习预习
我们在学二次函数之前就学过一次函数和反比例函数，这两种函数确定解析式的方法都是：待定系数法，那二次函数是否也可以用这种方法呢？可以试一试，再试之前不如先来回忆一下待定系数法---先解设解析式，然后有几个系数需要确定就准备好几个点坐标，最后把点带入所设解析式求出系数，达到确定解析式的目的。
二、知识讲解
考点/易错点1 ： 二次函数解析式的形式
1、一般式：y=ax2+bx+c（a ≠0）
2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a ≠0）
顶点坐标（h ，k ）
直线x=h为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值
3、双根式：y=a(x-x 1)(x-x 2) （a ≠0） (x 1, x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标)
并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行
4、 顶点在原点：y =ax 2(a ≠0)
5、过原点：y =ax 2+bx (a ≠0)
6、 顶点在y 轴：y =ax 2+c (a ≠0)
考点/易错点2 ：待定系数法
先设出二次函数的表达式，其中自变量的系数和常数项用表示常数的字母代替，然后根据题目中的已知条件求出字母常数的值，则求出二次函数的表达式。
易错点： 表达式形式的选择
在求二次函数表达式时，要根据题目中不同的已知条件，灵活的选用不同函数表达式以有效地减小运算量，但注意所求函数的最后形式必须是一般式。
三、例题精析
【例题1】
【题干】如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为Q (-2，-1) ，且与y 轴交于点C (0，3) 。求该抛物线的函数关系式。
【答案】
解：（1）∵抛物线的顶点为Q （-2，－1）， ∴设抛物线的函数关系式为
将C （0，3）代入上式，得
.
. ∴
【解析】顶点式：y=a（x-h ）2+k（a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．
， 即 .
【例题2】
【题干】已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A ．y=2（x+1）2+8 B ．y=18（x+1）2-8
2 C ．y=（x-1）2+8 D ．y=2（x-1）2-8 9
【答案】D
【解析】顶点式：y=a（x-h ）2+k（a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．
【例题3】
【题干】抛物线以x=3为对称轴，在y 轴截距为-4，且最大值为-1，求该抛物线的函数关系式。
【答案】解：∵抛物线对称轴为x=3，最大值为-1
∴抛物线顶点为（3，-1）
∴设函数解析式为y=a(x-3)2-1（a ≠0）
∵抛物线过（0，-4）点
∴代入有 -4=9a-1
1 3
1 ∴y= -(x-3)2-1 3
1 ∴y= -x 2+2x-4 3 ∴a=-
【解析】在y 轴截距是指与y 轴交点的纵坐标，由在y 轴截距为-4，我们知道了抛物线过（0，-4）这个点。我们又知道了抛物线的对称轴和顶点，也就是知道了抛物线的顶点坐标是（3，-1），知道顶点坐标求函数解析式应用顶点式最为简单。
【例题4】
【题干】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
【答案】设二次函数的解析式为：y=a（x-h ）+k
由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1），
与x 轴的交点坐标是（0，0）和（2，0）
把顶点坐标（1，-1），代入解析式得：y=a（x-1）-1，
把坐标（0，0）代入解析式得：a （0-1）-1=0
解之得：a=1
∴二次函数的解析式为y=x-2x ．
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1），设抛物线解析式的顶点式y=a（x-1）22222-1，再将点（0，0）代入求a 即可．
四、课堂运用
【基础】
1、已知二次函数的图象经（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，那么这个二次函数的解析式是_____________．
【答案】y=-x2+3x．
【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a ≠0），把（0，0），（1，2），（-1，-4）代入得：
c ＝0 a+b+c＝2 a ?b+c＝?4 ，
解之得 a ＝?1 b＝3 c＝0 ；
所以该函数的解析式为：y=-x2+3x．
2、抛物线有最小值为-1，当x=1时，y=1，且当x ≥2时，y 随x 的增大而增大。求这个二次函数的解析式．
【答案】解：∵抛物线对称轴为x=2，最大值为-1。
∴抛物线顶点为（2，-1）
∴设函数解析式为y=a(x-2)2-1（a ≠0）
∵抛物线过（1,1）点
∴代入有 1=a-1， ∴a=2， ∴y= 2 (x-2)2-1
∴y= 2x2-8x+7
【解析】由x ≥2时，y 随x 的增大而增大这个条件，可知抛物线的对称轴为x=2,知道抛物线的对称轴和最小值，即知道抛物线顶点坐标为（2，-1），应用顶点式最为简单，又知道抛物线上一点（1,1），代入即可求二次函数解析式
【巩固】
1、已知二次函数图象经过（0，1）（1，0）（3，0），求此二次函数的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把（0，1），（1，0），（3，0）分别代入得：c ＝1,
a+b+c＝0，9a+3b+c＝0 13解得：a =, b =-, c＝1 34
∴二次函数的解析式为：y =123x -x +1 34
【解析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把（0，1）（1，0）（3，0）分别代入求出a ，b ，c 即可．
【拔高】
1、以直线x=1为对称轴，在y 轴截距为-6，与x 轴两个交点间距离为4，求此二次函数的解析式．
【答案】解∵抛物线与x 轴两个交点间距离为4，对称轴为x=1
∴抛物线与x 轴两个交点为（-1,0）（3,0）
∴可设双根式为y=a(x+1)(x-3)（a ≠0）
∵抛物线过点（0，-6）
∴代入有 -6=-3a
∴a=2
∴y=2(x+1)(x-3)
∴y=2x2-4x-6
【解析】．由于抛物线的对称性，知道了对称轴和与x 轴两交点间距离，就可以得出抛物线在x 轴上的交点坐标，所以最简单的是用双根式，之后由在y 轴截距为-6，可以得出抛物线过（0，-6）点，代入可求出解析式
五、课程小结
在利用待定系数法求二次函数解析式时，为使运算简便，应注意：①当已知抛物线经过三点或二次函数的三组对应值时，常设函数式为一般式；②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设函数式为顶点式；③当已知抛物线与x 轴的两个交点时，常设函数式为两点式。
六、课后作业
【基础】
1、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）．
求此抛物线的解析式。
【答案】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得，
解得 ，所以y=x2﹣2x
【解析】．根据题意把（0，0），（2，0）代入即可。
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【巩固】
1、抛物线过（3,2）（0,5）两点，且以直线x=2为对称轴，求此抛物线的解析式。
【答案】解（一）：∵抛物线对称轴为x=2，
∴抛物线顶点为（2，k ）
∴设函数解析式为y=a(x-2)2+k（a ≠0）
∵抛物线过（3,2）（0,5）点
?a +k =2∴代入有? 4a +k =5?
∴??a =1 ?k =1
∴y= (x-2)2+1
∴y= x2-4x+5
【解析】．分析：这题和上一题很像，可以还用双根式吗？（不能）为什么，应用什么形式解析式来解这道题，可以用两种方法解答，一是用一般式，直接根据条件代入求，二是虽然是给出对称轴，没给出顶点纵坐标，我们同样也可以用顶点式来解，此时顶点坐标为（2，k ），有两个待定系数，只要再知道抛物线上两个点坐标就可以求出函数解析式。
【拔高】
1、如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A ′B ′O ．一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；
【答案】解：（1）△A ′B ′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A （0，1），B （2，0），O （0，0），
∴A ′（﹣1，0），B ′（0，2）．设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a ≠0），
∵抛物线经过点A ′、B ′、B ， ∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+2．
【解析】．根据题意找出A ′、B ′的坐标，把A ′（﹣1，0），B ′（0，2）．B （2，0）代入即可。
范文五：二次函数解析式
1．已知抛物线y=﹣x +bx+c经过点A （3，0），B （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
2．（2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x+bx+c过点A （1，0），C （0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．
22
3．如图，抛物线y=x+bx+c与x 轴交于A （﹣1，0）和B （3，0）两点，交y 轴于点E ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求△DEF 的面积．
2
4．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
5．如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过A （﹣1，﹣1）、B （0，2）、C （1，3）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图象．
2
6．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x 轴交于A 、B 两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P （﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．
7．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′，求△O A′B ′的面积．
8．推理运算：二次函数的图象经过点A （0，﹣3），B （2，﹣3），C （﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
9．如图，A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点在一次函数y 1=﹣x+m与二次函数y 2=ax+bx﹣3的图象上．
（1）求m 的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y 1＞y 2时自变量x 的取值范围．
2
10．已知二次函数y=ax+bx﹣3的图象经过点A （2，﹣3），B （﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移 个单位．
11．已知二次函数y=x+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．
（1）求c 的值；
（2）求函数图象与x 轴的交点坐标．
12．已知一抛物线与x 轴的交点是A （﹣2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
22
13．二次函数图象过A 、C 、B 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求C 的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．
14．已知抛物线y=ax+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
15．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
16．已知二次函数y=x+bx+c的图象经过A （0，1），B （2，﹣1）两点．
（1）求b 和c 的值；
（2）试判断点P （﹣1，2）是否在此抛物线上．
17．已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．
18．己知二次函数y=x+bx+c，当x=1时y=3；当x=﹣1时，y=1，求这个二次函数的解析式．
19．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．
20．已知一个二次函数的图象经过A （3，0）、B （0，﹣3）、C （﹣2，5）三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象（草图），设它的顶点为P ，求△ABP 的面积．
21．已知一个二次函数y=ax+bx+c的图象经过（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）三点．求这个函数的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．
22．已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（3，0），（4，5）三点，求这个函数的解析式．
23．已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，求这个二次函数的解析式，并写出函数图象的对称轴和顶点坐标．
24．通过配方，确定抛物线y=﹣2x ﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
22222
25．已知二次函数y=x﹣6x+4．
2（1）用配方法将其化为y=a（x ﹣h ）+k的形式；
（2）写出它的图象的顶点坐标、对称轴．
26．如图，已知二次函数y=ax﹣bx ﹣c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=﹣+2，
（1）求二次函数的解析式．
（2）已知点P 在二次函数的图象上，且有S △PAB =8，求点P 的坐标．
22
27．已知抛物线经过一直线y=3x﹣3与x 轴、y 轴的交点，并经过（2，5）点．
求：（1）抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标及对称轴；
（3）当自变量x 在什么范围内变化时，函数y 随x 的增大而增大？
（4）在坐标系内画出抛物线的图象．
28．已知，二次函数y=ax﹣5x+c的图象如图．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）观察图象，回答：何时y 随x 的增大而增大；何时y 随x 的增大而减小．
2
29．已知二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象过0（0，0），A （1，﹣1），B （﹣2，14）和C （2，m ）四点．求这个函数的解析式及m 的值．
2
30．已知二次函数y=x+bx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x+bx+c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同． 22
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
21．（2013?湖州）已知抛物线y=﹣x +bx+c经过点A （3，0），B （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x +bx+c经过点A （3，0），B （﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y=﹣（x ﹣3）（x+1），
2即y=﹣x +2x+3，
22（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x +2x+3=﹣（x ﹣1）+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
2．（2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x+bx+c过点A （1，0），C （0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．
22
【解答】解：（1）∵二次函数y=x+bx+c过点A （1，0），C （0，﹣3）， ∴
解得， ，
22∴二次函数的解析式为y=x+2x﹣3；
（2）∵当y=0时，x +2x﹣3=0，
解得：x 1=﹣3，x 2=1；
∴A （1，0），B （﹣3，0），
∴AB=4，
设P （m ，n ），
∵△ABP 的面积为10， ∴AB ?|n|=10，
解得：n=±5，
2当n=5时，m +2m﹣3=5，
解得：m=﹣4或2，
2
∴P （﹣4，5）（2，5）；
2当n=﹣5时，m +2m﹣3=﹣5，
方程无解，
故P （﹣4，5）（2，5）；
3．（2013?黑龙江）如图，抛物线y=x+bx+c与x 轴交于A （﹣1，0）和B （3，0）两点，交y 轴于点E ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求△DEF 的面积．
2
2【解答】解：（1）∵抛物线y=x+bx+c与x 轴交于A （﹣1，0）和B （3，0）两点， ∴， 解得：，
2故抛物线解析式为：y=x﹣2x ﹣3；
（2）根据题意得：
， 解得：，，
∴D （4，5），
对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F （0，1），
2对于y=x﹣2x ﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E （0，﹣3），
∴EF=4，
过点D 作DM ⊥y 轴于点M ．
∴S △DEF =EF ?DM=8．
4．（2013?安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x ﹣1）﹣1（a ≠0），
∵函数图象经过原点（0，0），
∴a （0﹣1）﹣1=0，
解得a=1，
2∴该函数解析式为y=（x ﹣1）﹣1．
5．（2011?佛山）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过A （﹣1，﹣1）、B （0，2）、C （1，3）；
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图象．
222
【解答】解：（1）根据题意，得， 解得，，
2∴所求的解析式是y=﹣x +2x+2；
（2）二次函数的图象如图所示：
6．（2010?双鸭山）已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x 轴交于A 、B 两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P （﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．
2【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax+bx+c；
∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：
， 解得
2； ∴y=﹣x ﹣2x+3．
2（2）∵﹣（﹣2）﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，
∴点P （﹣2，3）在这个二次函数的图象上，
2∵﹣x ﹣2x+3=0，
∴x 1=﹣3，x 2=1；
∴与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0），
∴S △PAB =×4×3=6．
7．（2008?徐州）已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′，求△O A′B ′的面积．
2【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）+4
将B （2，﹣5）代入得：a=﹣1
22∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）+4=﹣x ﹣2x+3
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y 轴的交点为：（0，3）
2令y=0，﹣x ﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1，即抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）
（3）设抛物线与x 轴的交点为M 、N （M 在N 的左侧），由（2）知：M （﹣3，0），N （1，0）
当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A' （2，4），B' （5，﹣5）
∴S △OA ′B ′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．
8．（2008?镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A （0，﹣3），B （2，﹣3），C （﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 5 个单位，使得该图象的顶点在原点．
2【解答】解：（1）设y=ax+bx﹣3，（1分）
把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得
2，（2分） 解方程组得∴y=x﹣2x ﹣3；（3分）
2（也可设y=a（x ﹣1）+k）
（2）y=x﹣2x ﹣3=（x ﹣1）﹣4，（4分）
∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）
（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．（6分）
9．（2010?梧州）如图，A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点在一次函数y 1=﹣x+m与二次函数y 2=ax+bx﹣3的图象上．
（1）求m 的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y 1＞y 2时自变量x 的取值范围．
222
【解答】解：（1）由于A （﹣1，0）在一次函数y 1=﹣x+m的图象上，得：
﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；
2已知A （﹣1，0）、B （2，﹣3）在二次函数y 2=ax+bx﹣3的图象上，则有：
，解得；
∴二次函数的解析式为y 2=x﹣2x ﹣3；
（2）由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，﹣10，
∴当x ≥﹣1时，函数y 的值随x 的增大而增大；
（4）作图如图：
28．（2000?安徽）已知，二次函数y=ax﹣5x+c的图象如图．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）观察图象，回答：何时y 随x 的增大而增大；何时y 随x 的增大而减小．
2
【解答】解：（1）根据二次函数y=ax﹣5x+c的图象可得
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2
（2分）
解得a=1，c=4；（4分）
2所以这个二次函数的解析式是y=x﹣5x+4；（5分）
2y=x﹣5x+4 ==﹣ ，（7分）
）；（8分） 它的图象的顶点坐标（
（2）当x ＞，y 随x 的增大而增大；（10分）
当x ＜，y 随x 的增大而减小．（12分）
注：①顶点坐标如用公式得出同样给分；
2②对第（2）小题，如回答，函数y=x﹣5x+4的图象在对称轴右侧部分，y 随x 的增大而增大；在对称轴的左侧部分，y 随
x 的增大而减小；也视为正确，同样给分．
29．（2000?昆明）已知二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象过0（0，0），A （1，﹣1），B （﹣2，14）和C （2，m ）四点．求这个函数的解析式及m 的值． 2
【解答】解：由题意得， 解得；
2故此函数的解析式为y=2x﹣3x ．
把C （2，m ）代入抛物线中，得：2×4﹣3×2=2，故m=2．
30．（2002?包头）已知二次函数y=x+bx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x+bx+c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．
2【解答】解：（1）把点（1，0），（2，5）代入y=x+bx+c， 得
解得
222， 所以这个二次函数的解析式为：y=x+2x﹣3
22（2）由（1）知：y=x+2x﹣3=（x+1）﹣4
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∴抛物线的对称轴为：x=﹣1
2因此题目可设计为：已知二次函数y=x+bx+c的图象经过点（1，0），且对称轴为x=﹣1
求这个二次函数的解析式．
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