范文一：浅谈高斯的数学成就

浅谈高斯的数学成就

浅谈高斯的数学成就

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摘要

正如莱布尼茨所说:“不学习数学史就不能正确的了解数学这门学科的发展。”学习数学史能够正确的认识到数学是什么;数学的发展过程;数学的研究领域以及数学与其他学科的交叉;数学在人类文明过程中的作用。数学是一门基础学科，但它研究的范畴横跨了整个自然学科，毫不夸张的说，没有数学就没当今的文明。因此，数学史是每一学习者的必修课程。

关键词

高斯 二次互反律 十七边形作图 消元法 数学史

引言

在小学的时候我们经常听到这样一个故事:有一个孩童在年纪很小的时候，他们的老师给他们出了一个数学题,1+2+3+4+??+100.结果这个孩童在五分钟后就给出了正确答案:5050.这个孩童就是后来被誉为“数学王子”的高斯，他在计算这个问题的时候其实间接地给出了后来等差数列求和的公式: 1,2,3, ,n n(n,1)

2.

(1)

推广到一般形式为: a1,a2, ,an (a1,an)n2(2)或a1,a2, ,an na1,n,n,1,2d

(其中an为等差数列，d为公差)。下面就是伟大的数学家高斯的生平以及他的成就介绍。

正文

一、数学家高斯与其成果介绍

高斯(1777年4月30日,1855年2月23日)，生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家。高斯被认为是最重要的数学家，并拥有“数学王子”的美誉。

1792年，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了“二项式定理”的一般形式、数论上的“二次互反律”、“质数分布定理”及“算术几何平均”。 1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是“正十七边形尺规作图之理论与方法”。

高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了“最小二乘法原理”。高理的数论研究总结在《算术研究》中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是

这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用叠代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。例如以下方程组的求解:

a11

a

m1

a1n

x=b

amn

(?)

其中(b不等于0)。求解此方程组必须先把矩阵化为阶梯形或严格阶梯形，此过程运算量巨大，不适合当m与n很大时的求解，只能提供理论依据，当m与n很小时可以通过高斯消元法进行求解。例如以下:

a11x1,a12x2

a21x1,a22x2

ax,ax

s22 s11

,......,a1nxn b1,......,a2nxn b2

,.......,asnxn bn

要想把矩阵华为阶梯形非易事,所以高斯消元法只能提供理论支持，不能进行复杂的运算。

除此之外，高斯在很多方面还有很多成就，具体如下: 定理一 (根的存在定理) 凡有理整f(x) 0方程必

。

推论:一元n次方程个根。

f(x) a0x,a1x

n(n,1)

, ,an,1x,an

必有n个根，且只有n

定理二 正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如(4k+3)的质因子的幂次均为偶数。

定理三 (素数分布定理)即对于任何大于3的正整数m，都至少有一小于m的正整

数n存在，使m n皆为素数。

定理四 (取整函数)设x R， 用 x 表示不超过x 的最大整数，并用 x 表示x的非负纯小数,则 y x 称为高函数。 任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即:x= x + x 。(0 x 1)其公式如下:

,(x,b)

2

f(x) ae

c

2

成果五 (几何平均数) N个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。 设一组数据为X1，X2，...，Xn，且大于0，则几何平均数为:

xg x1x2.....xn

成果六 (高斯--博内公式)平面上任意三角形三角和恒等于 ，对于一般曲面上有三条测地线构成的三角形(如下图)。其内角和满足以下公式:

kd

A

A 1, 2, 3, 这里 kd 表示高斯曲率k在三角形A上的积分， i(i 1,2,3)为测地三角形三内角值。

将这一公式到一般曲面上任意闭曲线上围成的但联通区域情形为:

m

csds, ( , i 1i), kd 2

这里 表示测地曲面沿闭曲线c的线积分， (i=1，2，3)为组成c的各弧段的内角值。也可以表示成

Dkd 2 x(D)

这里X(D)表示欧拉示性数，它等于1减去曲面上洞的个数，是通常多面体欧拉数即欧拉公式

X(D) ,e,f

(其中 、e.f分别表示为多面体顶点数、棱数、面数)的推广。

(3)过N4作OP1垂直线交于圆O于P4， 则以圆O为基准圆，P1为正十七边形之第一顶点， P4为第四顶点，以P1P4长依次分割圆周即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。此效果图如下:

二、学习数学史的意义

数学是一门历史性比较强或者累积性很强的科学，重大的数学理论总是在继承和发展原有的理论基础上建立起来的，它们不仅会推翻原有的理论，而且总会包容原先的理论。例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性;在几何学中，非欧几何可以看成是欧式几何的推广;溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰;同样现代分析中的函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，可以说在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人的建筑的情况。如果我们对比天文学的“地心说”，物理学的“以太说”，就可以发现数学的发展不同于其他科学的这种特点。因此有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。未读数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”这种说法虽然有点绝对，但却形象的说明了数学这栋大厦的累积性。

人们经常把现代数学比作成茂密的大树，它的分支也越来也多。按美国《数学评论》杂志的分类，当今数学包含了60多个二级学科，400多个三级学科，更细的难以统计。面对如此庞大的知识体系系统，职业数学家越来越被局限于以一、二个专门系统。庞加莱曾经被?

誉为最后一个数学通才，虽然比他稍晚的希尔伯特也跨越过众多领域，但这样的数学家毕竟越来越少了，而正是希尔伯特在巴黎演讲中指出:“数学科学是一个不可分割的整体，他的生命力正是在于各个部分之间的联系”，并提醒人们警惕数学“被分割成许多孤立的分支”

?的危险。有的学者认为，“跟这种危险作斗争的最稳妥的办法也许就是要对于数学的过去成就、传统和目标得到一些知识。”?这也是呼吁人们了解一些数学的历史。因此无论是数学专业还是非数学专业的人都应该学习数学史，来增强他们对数学的了解。

三、数学的发展时期

数学在发展的过程中经历了许多坎坷与挫折，经历了许多时期。大概可以分为以下四个时期:

第一时期 数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。

第二时期 初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要 变量数学时期，它产生于17世纪，大体上经历了两个决定性的重大步骤:第一步是解析几何的产生;第二步是微积分，是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。 现代数学，大致从19世纪上半叶开始。数学发展的现代阶段的开端，以其所有的基础---代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

参考文献

[1] 《数学问题》,希尔伯特，大连理工大学出版社(2009) .

[2] 《古今数学思想》，克莱因，上海科学技术出版社(1979) .

[3] 《数学史概论》，李文林，高等教育出版社(第三版) .

[4] 《数学史概论》，李文林，高等教育出版社(第三版) .

[5] 《一个数学家的经历》，乌拉姆，上海科学技术出版社.

范文二：论数学家高斯的主要数学成就

小教大专部543班吕军1002507294

目 录

...................................................... 1 论数学家高斯的成长史对数学的几点影响 ................ 2 目 录

一、高斯的背景 .................................................................... 2

1、高斯简介 ..................................................................... 2

2、高斯的家庭背景 . ........................................................ 3

二、高斯的小故事 ................................................................ 3

1、早熟的童年 . ................................................................ 3

2、初露头角 ..................................................................... 4

3、开始新的旅程 . ............................................................ 5

三、高斯的成就 .................................................................... 6

1、尺规做正十七边形。 . ................................................ 6

2、神秘的小星 . ................................................................ 8

四、高斯对数学教育方面的影响 ........................................ 9

1、高斯对于数学教学的影响 . ........................................ 9

2、高斯对于我们有什么影响 . ...................................... 10

论数学家高斯的成长史对数学的几点影响

大自然，您是我的女神，我一生的效劳都服从于您的规律。 ——莎士比亚

一、高斯的背景

1、高斯简介

C.F. Gauss（1777年4月30日—1855年2月23日）是 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。生于不伦瑞克，卒于哥廷根。

高斯幼时家境贫困，但聪敏异常，1792年，在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入了卡罗琳学院学习。1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台

长直至逝世。

2、高斯的家庭背景

他的祖父是贫苦的农民。父亲约翰·狄特里希是个园艺工人，还当过运河看守人和泥瓦匠。他识字不多，但是为人诚实耿直，做事一丝苟，在家相当严厉。母亲陶乐珊·本茨是石匠的女儿，聪明直率，性格坚强。陶乐珊34岁的时候和约翰结婚，独生子高斯是她的心肝宝贝。她了解爱子的兴趣和才能，积极支持他求学上进。约翰于1806年去世。此后高斯母子俩在长期坎坷的生活道路上相依为命，感情至深。高斯成名以后尽心竭力使母亲度过安乐的晚年。在她生命的最后4年，93岁高龄的陶乐珊双目已经完全失明。在母亲的长期病患中，高斯一直亲自在旁侍候。

二、高斯的小故事

1、早熟的童年

他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六， 约翰在费力地计算他管辖下工人的周薪，没有察觉儿子正好在旁看 着。结果好不容易计算出来，他深深地松了一口气。不料小高斯过来 拉拉他的衣角，细声说：

“算错啦，爸爸。总数是??”

约翰惊讶不已，决定重算一遍，果然，儿子是对的! 后来高斯 曾半开玩笑地说：

“我在学会说话以前，已经学会计算。”

2、初露头角

1787年，小高斯刚满10岁。一天，神情严厉的布特纳夹着讲义 来上算术课。一上讲台，他背过身子在黑板上写下一串长长的算式：

1+2+3+4+??+98+99+100=?

一看这长长的式子，

学生们都害怕得低下了头，连大气也不敢出。学校的规矩是，第一 个算出答数的孩子把他的石板放在讲台上，第二个就放在第一个上 面，??老师刚写完题目，小高斯轻轻地走上前来，把石板放在讲 台上说：

“老师，放在这里啦。”

看到其余的孩子都在满头大汗地一个个数相加，老师根本不相 信，这个班上年纪最小的学生会创造出什么奇迹。

“谁不动脑子，想胡乱写一个数交差了事，可得当心!”布特纳 一边说，一边样子吓人地挥舞着他那硕大的拳头。

可是，小高斯沉静地坐在椅子上，对老师的警告毫不理会。下 课以后，布特纳把石板都看了一遍，在小高斯的石板上只有简单的 一个数。高斯在晚年的时候曾经提到，在班上的所有答案中只有他 是对的；不过他没有说明是怎样计算出来的。

3、开始新的旅程

夜幕徐徐降落，在教室里看书的小高斯收拾起书包回家。走出校门，他发觉外面比黑洞洞的教室要亮不少，忍不住又把书取出，阅读起来。他在暮色下边走边看，不知不觉来到斐迪南公爵的不伦瑞克宫的门口。正在花园散步的公爵夫人十分惊奇：一个小孩子捧着一本厚厚的书竟看得这样入迷? 她叫住孩子，问他叫什么名字，看的是什么书。大大出乎这位贵妇人的意料，小孩子看的竟是大学者欧拉的专著——《微分学原理》! 于是她把这件事告诉了公爵，公爵早就听闻有一个很聪明的孩子，于是他召见了高斯，高斯去见了公爵，公爵就要考他，出了两个这样的题目。

1234 ×5678等于多少?

一听到计算，小高斯一双大眼睛立刻明亮起来：

“7006652。”

“那么13579×97531呢?”

“1324373449。”

公爵发现了这个天才般德孩童，于是就送他上学，在当时来说，一个平民的孩子能上学是多么值得自豪而开心的事情啊。公爵答应，从现在起由他负担一切费用，直到高斯大学毕业。

三、高斯的成就

1、尺规做正十七边形。

用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”， 欧几里得几何的公设里承认直线和圆存在。使用尺规可以作正三角形，可以作正四边形、正五边形、正十五边形，以及通过反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例如由正三角形通过二等分边可以得到正六边形，再得到正十二边形，等等。自然就会提出这样的问题：能不能用尺规作正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形或正十九边形呢? 历史上多少著名的学者，为了回答这个问题，作过种种尝试，倾注了无数的心血。结果都无一例外地失败了。

前人的失败激起他不可遏止的热情，高斯意识到，要摸鱼，首先要弄清哪些地方有鱼通过反复尝试，他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创

造了把问题由一个领域(几何学) 转移到另一个领域(代数学) 来解决的第一个例子。高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了：使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，17，257，65537，?或者边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作

正七、九、十一、十三或十九边形。如图的正十七边形的完整做法。

2、神秘的小星

在新世纪的元旦，西西里岛天文台台长、意大利天文学家皮亚 齐(1746—1826) 发现一颗小星正朝着太阳方向移动。当时的哲学家们认为，太阳系除了现有的7颗行星(水星、金星、地球、火星、木星、土星和天王星) 以外，不存在别的行星。因为在他们看来，7是一个具有特殊含义的数字。哲学家黑格尔就这样断言：

“正好是7颗。一颗不多，一颗不少。再找是白费时间。” 但是，提丢斯的法则有一定指导意义，而根据这条法则，在距离太阳260 000 000英里处附近应该存在一颗行星。他们怀着这种信念，苦苦寻找，搜索一无所获。现在决定性时刻到了! 这桩旷日持久的公案眼看就要解决。不料横祸飞来：2月21日皮亚齐突然病倒。观察被迫中断。他在病床上挣扎着把观察结果写信通告欧洲同行。可是，事不凑巧，这时正值拿破仑远征埃及，地中海已经被英国舰队严密封锁。等到欧洲的天文学家们得知这个姗姗来迟的消息，小星已经靠近太阳，消失在太阳的耀眼的光芒之中! 可是要发现这个行星谈何容易，望远镜根本找不到，计算工作量竞庞大到这种程度，不但许多数理天文学家望而却步，即使是20世纪30年代的计算机也深感力不从心。 难怪牛顿把它列为数理天文学中最困难的问题之一。

大家不约而同地把期待的目光转向高斯。复杂的计算的确是高斯

一向的爱好和罕见的特长。在他的著作中，复杂的计算比比皆是。三角函数表、对数表等各种数表他无须查阅，因为他能背出所有这些数的前几位数字。使用有错误的表格反而使他高兴，因为这使他得到有趣的消遣——修正表格中的错误! 毫无疑问，再没有人比高斯更胜任这一重任。在生活上长期受他们关心照顾的高斯不愿使他们失望，他怀着不胜留恋的心情卷起他数论研究的宏伟蓝图，投身到浩如烟海的天文计算之中。轨道果然计算出来。正好经过一年，1801年的元旦，高斯的朋友，德国天文学家奥伯斯，在高斯计算的轨道上重新找到这颗调皮的小星——谷神星。不久智神星和其他姐妹小行星也被紧盯着的望远镜先后找到。这种轨道的计算在上一世纪曾经花了欧拉3天时间(有人说他的一只眼睛就是因此失明的) ，经过高斯改进，现在只需要辛苦几个小时。高斯使它成为一种方法，一种固定的程序，只需3个观测数据(包括时间和位置) ，轨道就可以计算出来。这就是至今仍在轨道计算中应用的高斯方法，稍加改进就完全可以适用于现 代计算机。

四、高斯对数学教育方面的影响

1、高斯对于数学教学的影响

我们以后是小学教师，很有可能是一名小学数学教师，作于教师，

我们对于数学的教学应该有怎样的体会呢？首先，教小学数学绝对不是简单教会他们加减乘除如此的简单，我们要教的是方法，善于对孩子们的引导，善于让孩子们自己思考，善于观察孩子们的特点，遵循其发展的特点，让他们各尽其才。

2、高斯对于我们有什么影响

高斯的经历对于我们来说，成功的道路就是持之以恒，对于数学的兴趣要浓厚，对于真知，我们要经过反复的实践，数学就犹如漫天的星辰，浩瀚无垠，对于问题的探索性就看我们的啦，一定要保持一个好奇心。

范文三：高斯的成就和启示

“数学王子”高斯的成就和启示

【摘要】正如亨利·庞加莱所说：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”高斯是近代数学奠基者之一，和牛顿、阿基米德被誉为数学史上三大杰出的数学家。他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献，“数学王子”是对他一生的成就恰如其份的颂赞。除此之外，高斯还在天文学、大地测量学和物理学有杰出的研究成果，为后世人们的研究工作奠定基础。本论文主要从数学领域谈谈高斯的重要成就和给我们的启示，并圆内接正十七边形的画法。

【关键词】高斯 成长经历数学成就正十七边形 启发

一、家庭背景

“数学王子”高斯的门第决不是王族。约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friederich Gauss ，1777年4月30日—1855年2月23日) 出生于德意志不伦瑞克一个简陋的村舍里。高斯的祖父是一个贫穷的农民，生活贫困。父亲格哈德作为园丁、水渠管理人和砌砖工人艰苦地劳动一生，是一个正直、极为诚实的粗鲁的人。孩提时代的高斯尊重顺从他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。然而他的父亲常常根据自己的人生经验来为年幼的高斯规划人生，曾尽一切力量加以阻挠儿子完成不朽的工作。

幸运的是，高斯有一位鼎力支持他成才的母亲罗捷雅和慧眼识才的舅舅弗里德里希。罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，她对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了一些伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友波尔约问道：“高斯将来会有出息吗？”波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家”，为此她激动得热泪盈眶。

高斯的舅舅弗里德里希是一个非常聪明有天分的人，他发现他姐姐的孩子有着敏锐、不肯安静的头脑，于是就在这个年轻天才的身上倾注自己的才智，通过他特殊的人生哲学唤起高斯的敏捷的逻辑思维。正是由于弗里德里希的慧眼识才，才使得高斯走上科学研究的道路，成为一位罕见的“数学王子”。

二、数学成就

在整个数学史中，从没有过像高斯那样早熟的。人们不知道阿基米德在什么时候显露出天才的迹象。牛顿最早表现出他极高的数学才能时，可能也没有受到注意。虽然看起来难以置信，高斯却在3岁以前就显示出了他的天才。有一天，他观看父亲算帐，计算结束后，父亲念出了钱数准备写下时，身边传来细小的声音：“爸爸，算错了，应该是……”。核对账单的结果，表明高斯说的数是对的。

10岁时，他的老师出了一道数学题：求1+2+3+4+……+100。而高斯在五分钟后就给出了正确答案：5050。高斯是这样计算的：1与100、2与99、3与98……每一对的和都是101，而100以内这样的数共有50对，101×50=5050。他的这种计算方法，代数上称为等差级数求和公式。

1792年，高斯进人布伦斯维克的著名学院(卡罗琳学院) 深造，攻读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的著作，并且立刻精通了这些数学家的著作。

1795年，高斯进入哥廷根大学，第一年就发明了最小二乘法。第二年又严格地得出了可用直尺圆规作图的正多边形的条件：边数必须是2k 或22k +1，从而宣布了自欧几里德以来几何作图上的一项成就——发现正十七边形的作图法，并用代数方法和几何图形结合起来证明了这一作图方法。为了纪念高斯这一成就， 在哥庭根大学的校园里，高斯的塑像下特意砌了正十七边形的底座。同年，高斯又发表并证明了著名的数论方面的定理——二次互反律。这一定理欧拉早已发现，但是欧拉和勒让德都没有能力加以证明。这是高斯的得意之作，一生曾用八种方法证明，称之为“黄金律”。

1799年，高斯又证明了一个重要的定理：任何一元代数方程都有一个根。这一结果数学上称为“代数基本定理”，也被称做“高斯定理”。

1801年，高斯出版了他的《算术研究》。在此之后，他把他的活动范围扩大到天文学、大地测量学、电磁学等领域中的数学和实用两个方面。

1825年到1831年，高斯仍在数论方面作出贡献，继二次剩余论之后，又借助于他的复数理论提出了四次剩余论，又发现了一种用复数来对奇数进行因式分解的方法，例如3=(1+2i )(1-2i ) 的形式，生动地表示新的素数(即质数) 论的诞生。在1828年，高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。

高斯对待学问十分严谨，不轻易发表他的著作，除非他相信这篇著作已达到完美无缺的地步。任何结论，不论多么重要，都要等他认为完善之后才发表，因此高斯一生共发表155篇论文，而遗下了大量的稿件，他的许多成就都是他死后在他的草稿和日记中发掘的。

高斯的科学日记（Notizenjournai) 是数学史上最宝贵的文件之一。第一篇记录了他的伟大发现。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。

要是在这本日记中埋藏了几年或几十年的东西当时被立刻发表的话，足以为高斯赢得半打伟大的声誉。然而事实是，直到他去世很久以后，人们才知道，有多少19世纪的数学，高斯在1800年以前就已经预见并领先了。要是他能泄漏一些他所知道的东西，很可能目前的数学要比现在的状况前进半个世纪或者更多。

有一个比喻说得非常好。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。单单从高斯的数学成就看，他对18、19世纪的数学发展做出了巨大的贡献，不愧被称为“数学王子”。

三、高斯和正十七边形

尺规作图起源于古希腊的数学课题，是欧几里得提出的一种用无刻度的直尺和圆规作图的方法。尺规作图只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同，直尺必须没有刻度，无限长，且只能

使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。

很久以前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作圆的内接正多边形。早在《几何原本》一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图问题。然而，似乎更容易完成的正七、九、十一边形却未能作出。在欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步，直到1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法，堪称数学史上的奇迹。

在经过继续研究后，高斯运用自己的理论巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，然后通过这个方程的整数解来确定哪些正多边形可以用尺规作出，最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：

1) n＝2m （其中m 为正整数）。

t 2) 边数n 为质数且形如 n ＝22+1（其中t 为非负整数），即n 为质数的费

马数。

3) 边数 n 具有n ＝2m p 1p 2p 3……pk 的形式（其中p 1，p 2，p 3，……，p k 为互不相同的费马质数）。

下面是正十七边形作法：先计算或作出cos(360°/17)。

设正17边形中心角为a ，则17a=360°，即16a=360°-a

故sin16a=-sina，而

sin16a=2sin8a*cos8a=4sin4a*cos4a*cos8a=16sina*cosa*cos2a*cos4a*cos8a 因sina 不等于0，两边除之有：

16cosa*cos2a*cos4a*cos8a=-1

又由2cosa*cos2a=cosa+cos3a，cos15a=cos2a，cos12a=cos5a

有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

令：

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有：

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cos15a)

经计算知xy=-1 因而：x =(-1+) /4

y =(-1-) /4

其次再设：x1=cosa+cos4a x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a y2=cos6a+cos7a

有：x1+x2=(-1+) /4

y1+y2=(-1-) /4

最后，由cosa+cos4a=x1，cosa*cos4a=(y1)/2

可求cosa 的表达式，它是数的加减乘除平方根的组合，故正17边形可用尺规作出。

四、个人感想

虽然高斯有着与生俱来的数学天分，但他的成就离不开他勤奋、严谨、虚心钻研的人生态度。我们每个人的天分是不可改变的，但是怀揣着一颗对数学无比热枕的心能帮助我们在追求更高境界的数学的道路上走得更远。

数学是一门极严谨的学科，研究者应该有缜密的逻辑思维和严谨的科学态度。高斯做到了这一点，他的座右铭是“少些，但要成熟些”；他的格言“不留下进一步要做的事”。高斯在科学研究过程中会对某一个定理多次给予不同的证明，以求最简、严谨。他说：“绝不能以为获得一个证明以后，研究便告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品。有时候你开始没有得到最简单和最完善的证明，但就是这样的证明才能深入到高级算术的真理的奇妙联系中去，这正是吸引我们去继续研究的主动力，并且最能使我们有所发现。”学习数学就要像高斯那样不马虎，力求完美。

从高斯的身上还可以看到，学习者就需要一个适合自己的、科学的程序或者说是学习方法，去做自己最感兴趣的事情，而不是盲目地追求着什么。高斯十二岁的时候已经开始怀疑元素几何学中的基础证明，当他十六岁的时候，就预测在欧式几何外必然会产生一门完全不同的几何学。同样，高斯的事例启示我们在学习的过程中要持一种怀疑的态度，用发展的眼光看待问题，决不能循规蹈矩。除此之外，高斯在毫不知情的情况下用一个晚上的时间解决困扰了科学家们2000多年的问题，可见，人的潜能是无限大的，要相信自己的能力。

天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的灵感，对平凡的我们来说可能没有那得天独厚的才智，但是却可以用勤奋、科学的态度弥补那百分之一的不足。

参考文献：

[1]E. T. 贝尔（Eric Temple Bell）著；徐源译. 数学大师-从芝诺到庞加莱. 上海：上海科技教育出版社, 2004.12.

[2] (美) 克莱因著. 古今数学思想第2册英文. 上海:上海科学技术出版社, 2014.01.版社, 2004.12.

[3]高斯：“我一生的效劳都服从于您的规律”[J].学习博览.2013(10)：20-21.

范文四：论数学家高斯的主要数学成就.doc

小教大专部543班吕军1002507294

目 录

目 录 ...................................................... 1

论数学家高斯的成长史对数学的几点影响 ................ 2

一、高斯的背景 .................................................................. 2

1、高斯简介 ................................................................... 2

2、高斯的家庭背景 ....................................................... 3 二、高斯的小故事 .............................................................. 3

1、早熟的童年 ............................................................... 3

2、初露头角 ................................................................... 4

3、开始新的旅程 ........................................................... 5 三、高斯的成就 .................................................................. 6

1、尺规做正十七边形。 ............................................... 6

2、神秘的小星 ............................................................... 8 四、高斯对数学教育方面的影响 ...................................... 9

1、高斯对于数学教学的影响 ....................................... 9

2、高斯对于我们有什么影响 ..................................... 10

论数学家高斯的成长史对数学的几点影响

大自然，您是我的女神，我一生的效劳都服从于您的规律。

——莎士比亚 一、高斯的背景

1、高斯简介

C.F. Gauss(1777年4月30日—1855年2月23日)是 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉，并被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。生于不伦瑞克，卒于哥廷根。

高斯幼时家境贫困，但聪敏异常，1792年，在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入了卡罗琳学院学习。1795,1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台

长直至逝世。

2、高斯的家庭背景

他的祖父是贫苦的农民。父亲约翰?狄特里希是个园艺工人，还当过运河看守人和泥瓦匠。他识字不多，但是为人诚实耿直，做事一丝苟，在家相当严厉。母亲陶乐珊?本茨是石匠的女儿，聪明直率，性格坚强。陶乐珊34岁的时候和约翰结婚，独生子高斯是她的心肝宝贝。她了解爱子的兴趣和才能，积极支持他求学上进。约翰于1806年去世。此后高斯母子俩在长期坎坷的生活道路上相依为命，感情至深。高斯成名以后尽心竭力使母亲度过安乐的晚年。在她生命的最后4年，93岁高龄的陶乐珊双目已经完全失明。在母亲的长期病患中，高斯一直亲自在旁侍候。

二、高斯的小故事

1、早熟的童年

他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六， 约翰在费力地计算他管辖下工人的周薪，没有察觉儿子正好在旁看 着。结果好不容易计算出来，他深深地松了一口气。不料小高斯过来 拉拉他的衣角，细声说:

“算错啦，爸爸。总数是??”

约翰惊讶不已，决定重算一遍，果然，儿子是对的!后来高斯 曾半开玩笑地说:

“我在学会说话以前，已经学会计算。”

2、初露头角

1787年，小高斯刚满10岁。一天，神情严厉的布特纳夹着讲义 来上算术课。一上讲台，他背过身子在黑板上写下一串长长的算式:

1+2+3+4+??+98+99+100=?

一看这长长的式子，

学生们都害怕得低下了头，连大气也不敢出。学校的规矩是，第一 个算出答数的孩子把他的石板放在讲台上，第二个就放在第一个上 面，??老师刚写完题目，小高斯轻轻地走上前来，把石板放在讲 台上说:

“老师，放在这里啦。”

看到其余的孩子都在满头大汗地一个个数相加，老师根本不相 信，这个班上年纪最小的学生会创造出什么奇迹。

“谁不动脑子，想胡乱写一个数交差了事，可得当心!”布特纳 一边说，一边样子吓人地挥舞着他那硕大的拳头。

可是，小高斯沉静地坐在椅子上，对老师的警告毫不理会。下 课以后，布特纳把石板都看了一遍，在小高斯的石板上只有简单的 一个数。高斯在晚年的时候曾经提到，在班上的所有答案中只有他 是对的;不过他没有说明是怎样计算出来的。

3、开始新的旅程

夜幕徐徐降落，在教室里看书的小高斯收拾起书包回家。走出校门，他发觉外面比黑洞洞的教室要亮不少，忍不住又把书取出，阅读起来。他在暮色下边走边看，不知不觉来到斐迪南公爵的不伦瑞克宫的门口。正在花园散步的公爵夫人十分惊奇:一个小孩子捧着一本厚厚的书竟看得这样入迷?她叫住孩子，问他叫什么名字，看的是什么书。大大出乎这位贵妇人的意料，小孩子看的竟是大学者欧拉的专著——《微分学原理》!于是她把这件事告诉了公爵，公爵早就听闻有一个很聪明的孩子，于是他召见了高斯，高斯去见了公爵，公爵就要考他，出了两个这样的题目。

1234 ×5678等于多少?

一听到计算，小高斯一双大眼睛立刻明亮起来:

“7006652。”

“那么13579×97531呢?”

“1324373449。”

公爵发现了这个天才般德孩童，于是就送他上学，在当时来说，一个平民的孩子能上学是多么值得自豪而开心的事情啊。公爵答应，从现在起由他负担一切费用，直到高斯大学毕业。

三、高斯的成就

1、尺规做正十七边形。

用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”， 欧几里得几何的公设里承认直线和圆存在。使用尺规可以作正三角形，可以作正四边形、正五边形、正十五边形，以及通过反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例如由正三角形通过二等分边可以得到正六边形，再得到正十二边形，等等。自然就会提出这样的问题:能不能用尺规作正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形或正十九边形呢?历史上多少著名的学者，为了回答这个问题，作过种种尝试，倾注了无数的心血。结果都无一例外地失败了。

前人的失败激起他不可遏止的热情，高斯意识到，要摸鱼，首先要弄清哪些地方有鱼通过反复尝试，他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方程，这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创

造了把问题由一个领域(几何学)转移到另一个领域(代数学)来解决的第一个例子。高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了:使用尺规所能作出的边数为奇数的正多边形，它的边数必定是费马素数或不同费马素数的乘积。这就是说，可以用尺规作出边数是3，5，17，257，65537，?或者边数是它们的乘积的正多边形，但是不能作正七、九、十一、十三或十九边形。如图的正十七边形的完整做法。

2、神秘的小星

在新世纪的元旦，西西里岛天文台台长、意大利天文学家皮亚 齐(1746—1826)发现一颗小星正朝着太阳方向移动。当时的哲学家们认为，太阳系除了现有的7颗行星(水星、金星、地球、火星、木星、土星和天王星)以外，不存在别的行星。因为在他们看来，7是一个具有特殊含义的数字。哲学家黑格尔就这样断言:

“正好是7颗。一颗不多，一颗不少。再找是白费时间。”

但是，提丢斯的法则有一定指导意义，而根据这条法则，在距离太阳260 000 000英里处附近应该存在一颗行星。他们怀着这种信念，苦苦寻找，搜索一无所获。现在决定性时刻到了!这桩旷日持久的公案眼看就要解决。不料横祸飞来:2月21日皮亚齐突然病倒。观察被迫中断。他在病床上挣扎着把观察结果写信通告欧洲同行。可是，事不凑巧，这时正值拿破仑远征埃及，地中海已经被英国舰队严密封锁。等到欧洲的天文学家们得知这个姗姗来迟的消息，小星已经靠近太阳，消失在太阳的耀眼的光芒之中!可是要发现这个行星谈何容易，望远镜根本找不到，计算工作量竞庞大到这种程度，不但许多数理天文学家望而却步，即使是20世纪30年代的计算机也深感力不从心。 难怪牛顿把它列为数理天文学中最困难的问题之一。

大家不约而同地把期待的目光转向高斯。复杂的计算的确是高斯

一向的爱好和罕见的特长。在他的著作中，复杂的计算比比皆是。三角函数表、对数表等各种数表他无须查阅，因为他能背出所有这些数的前几位数字。使用有错误的表格反而使他高兴，因为这使他得到有趣的消遣——修正表格中的错误!毫无疑问，再没有人比高斯更胜任这一重任。在生活上长期受他们关心照顾的高斯不愿使他们失望，他怀着不胜留恋的心情卷起他数论研究的宏伟蓝图，投身到浩如烟海的天文计算之中。轨道果然计算出来。正好经过一年，1801年的元旦，高斯的朋友，德国天文学家奥伯斯，在高斯计算的轨道上重新找到这颗调皮的小星——谷神星。不久智神星和其他姐妹小行星也被紧盯着的望远镜先后找到。这种轨道的计算在上一世纪曾经花了欧拉3天时间(有人说他的一只眼睛就是因此失明的)，经过高斯改进，现在只需要辛苦几个小时。高斯使它成为一种方法，一种固定的程序，只需3个观测数据(包括时间和位置)，轨道就可以计算出来。这就是至今仍在轨道计算中应用的高斯方法，稍加改进就完全可以适用于现 代计算机。

四、高斯对数学教育方面的影响

1、高斯对于数学教学的影响

我们以后是小学教师，很有可能是一名小学数学教师，作于教师，

我们对于数学的教学应该有怎样的体会呢,首先，教小学数学绝对不是简单教会他们加减乘除如此的简单，我们要教的是方法，善于对孩子们的引导，善于让孩子们自己思考，善于观察孩子们的特点，遵循其发展的特点，让他们各尽其才。

2、高斯对于我们有什么影响

高斯的经历对于我们来说，成功的道路就是持之以恒，对于数学的兴趣要浓厚，对于真知，我们要经过反复的实践，数学就犹如漫天的星辰，浩瀚无垠，对于问题的探索性就看我们的啦，一定要保持一个好奇心。

范文五：高斯的数学贡献

2010,2011学年第一学期

高斯的重要数学贡献

《 数学史 》课程论文

高斯(C.F.Gauss, 1777—1855年)德国数学

课程号: 家、物理学家和天文学家。高斯的研究领域，遍及

纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多任课教师 成绩 新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何

论文题目:高斯的重要数学贡献 学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所

取得的具体成就方面，他都是18、19世纪之交的

中坚人物。德国数学家F.克莱因曾经这样说过:“如 果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻论文要求:(对论文题目、内容、行文、字数等作出判分规定。) 岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯;

如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么格式要求参考毕业论文要求。字数3000左右。选题与学术水平占40其源头就是高斯。”高斯和牛顿、阿基米德，被誉

为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者分，论证能力占25分，论文撰写质量占25分、学习态度与论文字

之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、

欧拉并列，有“数学王子”之称。 数占10分。

1.高斯的生平简介

高斯1777年4月30日出生于德国布伦兹维克的一个贫苦农民家庭。幼时家境贫教师评语: 苦，聪敏异常。他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲，高斯的母亲对他的才华极

学号:_____姓名:___ _____ 为珍视。1784年，7岁的高斯上学了。 本 专1787年，高斯10岁，他进入了学习数学的班次。那时的高斯已经表现出了非同 一般的创造力与计算能力。高斯的计算能力，更主要的是高斯独到的数学方法和非同

一般的创造力，使得他的数学老师布特纳对他刮目相看。他们一起学习，互相帮助，

高斯由此开始了真正的数学研究。 密封线 学生须将文字写在此线以下

1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，

特别是古典文学、数学尤为突出。经过引见，布伦兹维克公爵召见了14岁时的高斯。

这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成为了高斯继续学 习的资助人。1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。此时，15岁的

高斯就思考过第五公设问题。

教师签字: 1795—1798年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学习。

高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，作出了名扬世界的一系列 年 月 日 重大贡献。1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。1796年3月，学院:_ _专业:___ ____班级:___ ___

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19岁的高斯就发现正十七边形的尺规作图法(阿基米德与牛顿均未画出)，并给概率计算中大量使用。

出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题，为流传

了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。 3.1 正态分布的定义

1799年，高斯完成了博士论文。1801年高斯的著作《算术研究》问世。这本书

奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的定义1:概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由经典著作之一。 两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，

1807年，高斯赴哥丁根就职。任哥丁根大学数学教授和天文台台长。1820到1830分布越集中在均值附近。

定义2:年间，高斯发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些一种最常见的连续性随机变量的概率分布。 曲面的几何性质作研究。1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones 正态分布(normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution)，generales circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的《微分几何》。1833是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着年，构造了世界第一个电报机。1833年，和物理学家韦伯共同建立地磁观测台，组重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁记为:则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们经常说的标准论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。1855年2月23日在哥廷根逝世，终年78正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

岁。

3.2 正态分布的由来

2. 高斯:最小二乘法 (least square method )

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研

究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。1795年，18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。高斯使用的最小二 乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描

最小二乘法的定义: 述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等

最小二乘法——在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进指标;同一种生物体的身长、体重等指标;同一种种子的重量;测量同一物体行精度估算的方法。其中V为残差向量，P为其权矩阵。 的误差;弹着点沿某一方向的偏差;某个地区的年降水量;以及理想气体分子

最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似;还有其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态

最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最分布、t分布、F分布等。

佳函数匹配。 正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是

“钟”形曲线。

3. 高斯:正态分布 (normal distribution) 附:这种分布的概率密度函数的图像为:(如图3.1)

3.3 正态分布的发展 一般地，通过对足够多的测量数据的处理，可以得到一个新的、概率性质的测量

结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家A.棣莫弗于1733年首次形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布)，并在提出

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的，但由于高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高了费马小定理。

斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地位。正如美后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 国现代数学家狄克逊(1874—1954)所说:“它是数论中最重要的工具，并且在数论

在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高发展史上占有中心位置。”其实，高斯早在1796年就已经得出了这个定理及其证明。斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，发表在《算术研究》中的则是另一种证明。

其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以从二次互反律出发，高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律，以及与此相联后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系系的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而简单，高斯又发展起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年)上加上了一点补充，出了复整数和复整数数论;而它的进一步结果必然是代数数论，这方面由高斯的学生指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯戴德金(1831—1916)作出了决定性的贡献。

分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理正式提出了这个学说。 和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证明任何多个关

于整数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为19世纪数论的一个主要课题。

4. 高斯:三角形全等定理 高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学的开端。

高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。首先是对复数的承认，这是个老问

高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么,”搞不清楚。莱布尼阶的代数方程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件地使用了复二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重大的代数问题的出了三角形全等定理的概念 证明中来确认复数的地位。高斯以其对该定理的高超证明，使数学界不仅对高斯而且

对复数刮目相待。高斯不仅如此，他又把复数带进了数论，并且创立了复整数理论。

5. 高斯:《算术研究》 在这一理论中，高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在

普通整数中证明了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在

1801年高斯的著作《算术研究》问世。《算术研究》是用拉丁文写成的。这部书复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素(?1，?i)作为不同的因数，那么这是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。1800年，高斯将手稿寄给法个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多国科学院，请求出版，却遭到拒绝，于是高斯只好自筹资金发表。 定理都可能转化为复数的定理(扩大到复数领域)。

在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围:“本书所研究的是数学《算术研究》似乎任何一个学过中学普通代数的人都可以理解，但是，它完全不中的整数部分，分数和无理数不包括在内。” 是给初学者看的。在当时，读懂这本书的人较少。困难不是详细的计算示例而是对主

《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。题的理解和对深奥思路的认识。由于全书有7个部分，人们风趣地称它是部“加七道在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积封漆的著作”。

极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的已知方法进行了《算术研究》出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利克雷分类，还引进了新的方法。全书共有三个核心课题:同余理论、齐式论及剩余论和二(1805—1859)就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、数论等有多方次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。 面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝。狄利克雷第一个打开了“七道封漆”。

同余是《算术研究》中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提出的，但后来他以通俗的形式对《算术研究》作了详细的介绍和解释，使这部艰深的作品逐渐是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨论了同余数的运为较多的人所理解和掌握。

算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他还运用幂的同余理论证明

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参考文献

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[2]张亚军 李登峰. 数学王子——高斯高中数学教与学论文[J]. 高中数学教与

学.2007(2):41—42

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