阿宝
范文一：直观图与表面积体积
一、选择题（共24小题）
1、已知△ABC 的直观图是边长为a 的等边△A 1B 1C 1（如图），那么原三角形的面积为（ ）
A 、a 2 B 、a 2
C 、a 2 D 、a 2
2、如图所示的直观图的平面图形ABCD 是（ ）
A 、任意梯形 B 、直角梯形
C 、任意四边形 D 、平行四边形
3、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
4、已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（
）
A 、 B 、
C 、 D 、
5、已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′=C′O ′=1，
A ′O ′=，那么原△ABC 的面积是（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
6、用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
7、下列几种说法正确的个数是（ ）
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A 、1 B 、2
C 、3 D 、4
8、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A 、2+C 、 B 、D 、1+
9、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
10、将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为（ ）
A 、7 B 、6
C 、3 D 、9
11、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A 、C 、 B 、D 、
12、圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（ ）
A 、81π B 、100π
C 、14π D 、169π
13、（2010?北京）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E 、F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，A 1E=x，DQ=y，DP=z（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ）
A 、与x ，y ，z 都有关 B 、与x 有关，与y ，z 无关
C 、与y 有关，与x ，z 无关 D 、与z 有关，与x ，y 无关
14、如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E ，F 在线段AB 上，点M 在线段B 1C 1上，点N 在线段C 1D 1上，且EF=1，D 1N=x，AE=y，M 是B 1C 1的中点，则四面体MNEF 的体积（ ）
A 、与x 有关，与y 无关 B 、与x 无关，与y 无关
C 、与x 无关，与y 有关 D 、与x 有关，与y 有关
15、（2005?广东）已知高为3的直棱柱ABC ﹣ A ，则三棱锥B 1﹣
ABC 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形（如图）
的体积为（ ）
A 、 C 、 B 、 D 、
16、（2003?天津）棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A 、C 、 B 、D 、
17、一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A 、B ，则经过这个几何体的面，A 、B 间的最短路程是（ ）
A 、5 B 、
C 、4 D 、3
18、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别等于2，4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN 最大值为（ ）
A 、5 B 、6
C 、7 D 、8
19、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）
A 、20 B 、22
C 、24 D 、26
20、（2000?北京）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A 、1：3 B 、2：3
C 、1：2 D 、2：9
21、（2005?湖北）木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A 、60倍 B 、60倍
C 、120倍 D 、120倍
22、（2005?安徽）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A 、 B 、8π
C 、 D 、4π
23、球面上有三点A 、B 、C ，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
24、圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设圆柱的体积为V ，则球的体积为（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、2V
二、填空题（共2小题）
25、（2006?江西）如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为 _________ ．
26、（2005?江西）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=BC=，BB 1=2，∠ABC=90°，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 _________ ．
答案与评分标准
一、选择题（共24小题）
1、已知△ABC 的直观图是边长为a 的等边△A 1B 1C 1（如图），那么原三角形的面积为（ ）
A 、C 、a a 22B 、D 、a a 22
考点：平面图形的直观图。
专题：计算题；作图题。
分析：由斜二测画法还原出原图，关键看三角形高的变化，利用面积公式直接求解即可．
解答：解：在原图与直观图中有OB=O1B 1，BC=B1C 1．
在直观图中，过A 1作A 1D 1⊥B 1C 1，因为△A 1B 1C 1是等边三角形，
所以A 1D 1=a ，在Rt △A 1O 1D 1中，
a ，
a=a ， ∵∠A 1O 1D 1=45°，∴O 1A 1=根据直观图画法规则知：OA=2O1A 1=2×∴△ABC 的面积为×a×a=a ， 2
故选C ．
点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图的画法、直观图与原图面积的联系，考查对斜二测画法的理解．
2、如图所示的直观图的平面图形ABCD 是（ ）
A 、任意梯形 B 、直角梯形
C 、任意四边形 D 、平行四边形
考点：平面图形的直观图。
专题：常规题型。
分析：由直观图可知，BC ，AD 两条边与横轴平行且不等，边AB 与纵轴平行，得到AB 与两条相邻的边之间是垂直关系，而另外一条边CD 不和上下两条边垂直，得到平面图形是一个直角梯形．
解答：解：根据直观图可知，BC ，AD 两条边与横轴平行且不等，
边AB 与纵轴平行，
∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC
∴平面图形ABCD 是一个直角梯形，
故选B ．
点评：本题考查平面图形的直观图，考查有直观图得到平面图形，考查画直观图要注意到两条坐标轴之间的关系，本题是一个基础题．
3、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
考点：空间几何体的直观图。
专题：作图题。
分析：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，得到结果．
解答：解：根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，
并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A 正确．
故选A
点评：本题考查空间几何体的直观图，考查直观图的画法，要弄清楚正方形模型所放置的位置，本题是一个最基础的题目．
4、已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
考点：空间几何体的直观图。
分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．
解答：解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，
由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2
故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，
故选B ．
点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．
5、已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′=C′O ′=1，
A ′O ′=，那么原△ABC 的面积是（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
考点：斜二测法画直观图。
专题：计算题。
分析：由直观图和原图的面积之间的关系直接求解即可．
解答：解：因为，
且若△A ′B ′C ′的面积为×2××=，
那么△ABC 的面积为
故选A ．
点评：本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查．
6、用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
考点：斜二测法画直观图。
专题：作图题。
分析：直接由斜二画法画出直观图，与答案选项对照即可．
解答：解：可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，在直观图中此角变为钝角，排除C 和D ，又圆三角形的高在y 轴上，在直观图中在y ′轴上，长度减半，故为B
故选B
点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图的画法，考查作图、识图能力．
7、下列几种说法正确的个数是（ ）
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A 、1 B 、2
C 、3 D 、4
考点：斜二测法画直观图。
分析：通过举反例得到①错；通过斜二测画法的法则：平行性不变；平行于x 轴的长度也不变，但平行于y
轴的线
段长度变味原来的一半．，判断出②错③④对．
解答：解：对于①，例如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故①错
对于②③④，由于斜二测画法的法则是平行于x 的轴的线平行性与长度都不变；但平行于y 轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故②错③④对
故选B
点评：本题考查画直观图的方法：斜二测画法，其法则是平行性不变；平行于x 轴的长度也不变，但平行于y 轴的线段长度变味原来的一半．
8、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A 、2+C 、 B 、D 、1+
考点：斜二测法画直观图。
专题：计算题；作图题。
分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+
面积关系求解． ，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的
解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+． 故选A
点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．
9、棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
专题：计算题。
分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．
解答：解：因为四个面是全等的正三角形
则． ， 故选A
点评：本题考查棱锥的面积，是基础题．
10、将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体（使截面平行于底面），所得几何体的表面积为（ ）
A 、7 B 、6
C 、3 D 、9
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
专题：计算题。
分析：先计算出原正四面体的表面积，再计算每截去一个小正四面体时，减少的表面积，然后求得结果． 解答：解：原正四面体的表面积为4×=9，每截去一个小正四面体，
表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，
故表面积减少4×2×=2，故所得几何体的表面积为7．
故选A ．
点评：本题考查棱锥的结构特征，棱锥的表面积，是基础题．
11、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A 、C 、 B 、D 、
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：计算题。
分析：设圆柱底面积半径为r ，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．
解答：解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2πr，
222全面积：侧面积=[（2πr）+2πr]：（2πr）
=．
故选A ．
点评：本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．
12、圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（ ）
A 、81π B 、100π
C 、14π D 、169π
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
专题：计算题。
分析：利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的面积
公式进行运算．
解答：解：∵圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r ，
22则下底面半径和高分别为4r 和4r ，由 100=（4r ）+（4r ﹣r ）得，r=2，
故圆台的侧面积等于π（r+4r）l=π（2+8）×10=100π，
故选 B ．
点评：本题考查圆台的侧面积的求法，利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形．
13、（2010?北京）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E 、F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，A 1E=x，DQ=y，DP=z（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ）
A 、与x ，y ，z 都有关 B 、与x 有关，与y ，z 无关
C 、与y 有关，与x ，z 无关 D 、与z 有关，与x ，y 无关
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：动点型；运动思想。
分析：四面体PEFQ 的体积，找出三角形△EFQ 面积是不变量，P 到平面的距离是变化的，从而确定选项． 解答：解：从图中可以分析出，△EFQ 的面积永远不变，为面A 1B 1CD 面积的，
而当P 点变化时，它到面A 1B 1CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．
故选D ．
点评：本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．
14、如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E ，F 在线段AB 上，点M 在线段B 1C 1上，点N 在线段C 1D 1上，且EF=1，D 1N=x，AE=y，M 是B 1C 1的中点，则四面体MNEF 的体积（ ）
A 、与x 有关，与y 无关 B 、与x 无关，与y 无关
C 、与x 无关，与y 有关 D 、与x 有关，与y 有关
考点：组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：分析：由棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF=1，M 是B 1C 1的中点，点N 是棱C 1D 1上动点，由于M 点到EF 的距离固定，故底面积S △MEF 的大小于EF 点的位置没有关系，又根据C 1D 1∥EF 得到C 1D 1与面MEF 平行，则点N 的位置对四面体MNEF 的体积的没有影响，进而我们易判断四面体MNEF 的体积所具有的性质．
解答：解：连接MA ，则MA 到为M 点到AB 的距离，
又∵EF=1，故S △MEF 为定值，
又∵C 1D 1∥AB ，则由线面平行的判定定理易得
C 1D 1∥面MEF ，
又由N 是棱C 1D 1上动点，故N 点到平面MEF 的距离也为定值，
即四面体MNEF 的底面积和高均为定值
故四面体MNEF 的体积为定值，与x 无关，与y 无关．
故选B ．
点评：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据空间中点、线、面之间的位置关系及其性质，判断出四面体PQEF 的底面积和高均为定值，是解答本题的关键．
15、（2005?广东）已知高为3的直棱柱ABC ﹣ A ，则三棱锥B 1﹣ABC 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形（如图）
的体积为（ ）
A 、 C 、 B 、 D 、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：由直棱柱推知三棱锥B 1﹣ABC 与直棱柱同高，同底，再由体积公式求解．
解答：解：根据题意：
∵棱柱ABC ﹣ A 1B 1C 1为直棱柱
∴高为B 1B 2的长度，底为
∴． 故选D ．
点评：本题主要考查直棱柱的基本特征及从中截取的几何体与原几何体的关系．
16、（2003?天津）棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A 、C 、 B 、D 、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．
解答：解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的． 一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是所以八面体的体积为：
故选C ． ． ，高为，
点评：本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题．
17、一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A 、B ，则经过这个几何体的面，A 、B 间的最短路程是（ ）
A 、5 B 、
C 、4 D 、3
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题；简单空间图形的三视图。
专题：计算题；作图题。
分析：画出解答几何体的部分侧面展开图，容易解得AB 的最小值．
解答：解：三视图复原几何体是长方体，AB 侧面展开图
以及数据如图，所以|AB|的最小值为：
故选B ．
点评：本题考查空集几何体的三视图，及其侧面展开图，是基础题．
18、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别等于2，4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN 最大值为（ ）
A 、5 B 、6
C 、7 D 、8
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：据题意，由球的弦与直径的关系，可以求出两条弦AB ，CD 到球心的距离，进而得到MN 最大值． 解答：解：∵球的半径为4，两条弦AB ，CD 的长度分别等于2，4，
则AB 弦到球心的距离为=3，CD 弦到球心的距离为=2
当M ，O ，N 三点共线，且M ，N 分别在O 点两侧时
MN 最大值为5
故选A ．
点评：本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．其中根据已知条件确定MN 取最大值时的情况是解答本题的关键．
19、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）
A 、20 B 、22
C 、24 D 、26
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：由球的体积求出正方体的对角线，然后求出正方体的棱长，再求它的表面积．
解答：解：设球的半径为R ，正方体棱长为a ， 则， 2R=a ，a=2，
所以S=6×4=24
故选C
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
20、（2000?北京）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A 、1：3 B 、2：3
C 、1：2 D 、2：9
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：设出球的半径，根据条件求出圆锥的体积，球的体积，求出体积之比．
解答：解：设球的半径为r ，所以圆锥的体积为：
球的体积： 圆锥与球的体积之比是：1：2
故选C ．
点评：本题考查圆锥的体积，球的体积，考查计算能力，是基础题．
21、（2005?湖北）木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A 、60倍 B 、60倍
C 、120倍 D 、120倍
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：通过木星的体积约是地球体积的倍，求出它们的半径之比，然后求出表面积之比，即可． 解答：解：木星的体积约是地球体积的倍， 则它的半径约是地球半径的倍（体积比是半径比的立方）
故表面积约是地球表面积的120倍（面积比是半径比的平方）．
故选C ．
点评：本题考查球的体积和表面积的问题，考查相似比的问题，是基础题．
22、（2005?安徽）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A 、 B 、8π
C 、 D 、4π
考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算。
专题：计算题。
分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．
2解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr，r=1
球的半径为：R=
所以球的表面积：4πR=4π×2
=8π
故选B ．
点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
23、球面上有三点A 、B 、C ，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4π，则此球的体积为（ ）
A 、 B 、
C 、 D 、
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：因为正三角形ABC 的外径r=2，故可以得到高，D 是BC 的中点．在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ，最后利用体积公式求出球的体积即可． 解答：解：因为正三角形ABC 的外径r=2，故高AD=r=3，D 是BC 的中点．
在△OBC 中，BO=CO=R，∠BOC=
在Rt △ABD 中，AB=BC=
∴V== ，所以BC=BO=222R ，BD=BC=22R ． ． R ，所以由AB =BD+AD，得2R =R +9，所以R=
故选D ．
点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，球的体积和表面积是常考的题型，是基础题．
24、圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设圆柱的体积为V ，则球的体积为（ ）
A 、 C 、 B 、 D 、2V
考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：设出球的半径，圆柱的底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出球的表面积，求出球的半径，求出球的体积． 解答：解：设球的半径为R ，所以圆柱的高为2R ，圆柱的底面半径为r ：V=πr?2R，所以圆柱的侧面积为：4
所以
=4πR，所以22，，所以球的体积：=
故选B ．
点评：本题是基础题，考查圆柱、球的表面积、体积的计算，考查空间想象能力，计算能力．
二、填空题（共2小题）
25、（2006?江西）如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为 10 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
分析：将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，
正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．
解答：解：将正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1沿侧棱CC 1展开，在拼接一次，
其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论． 故答案为：10
点评：本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．
26、（2005?江西）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=BC=，BB 1=2，∠ABC=90°，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为
．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：分类讨论。
分析：分类讨论，若把面ABA 1B 1和面B 1C 1BC 展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度． 若把把面ABA 1B 1和面A 1B 1C 展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ACC 1A 1和面A 1B 1C 1展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
以上求出的EF 的长度的最小值即为所求．
解答：解：直三棱柱底面为等腰直角三角形，若把面ABA 1B 1和面B 1C 1BC 展开在同一个平面内，
线段EF 就在直角三角形A 1EF 中，由勾股定理得 EF===．
若把把面ABA 1B 1和面A 1B 1C 展开在同一个平面内，设BB 1的中点为G ，则线段EF 就在直角三角形EFG 中， 由勾股定理得 EF===．
若把把面ACC 1A 1和面A 1B 1C 1展开在同一个面内，过F 作与CC 1行的直线，过E 作与AC 平行的直线，所作的两线交与
点H ，则EF 就在直角三角形EFH 中，由勾股定理得 EF===， 综上，从E 到F 两点的最短路径的长度为
故答案为：． ， 点评：本题考查把两个平面展开在同一个平面内的方法，利用勾股定理求线段的长度，体现了分类讨论的数学思想．
范文二：直观图面积问题
直观图中的面积问题
内蒙古 熊明军 辽宁 曾玲莉
直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实际物体的形象，掌握直观图的画法是学好立体几何的基础。在直观图的学习中，熟记斜二侧画法的作图原理是必须的，但对于直观
S2直观图图的面积问题，我们无需作出图形，可直接利用经验公式:,S4原图加以解决。下面对其中常见的几类面积问题举例剖析，希望能对同学们的学习有所帮助。
一、经验公式的获得
ABCD假设给定一个边长为的正方形，可以求得其斜二测画法a
2下的直观图面积与平面直角坐标系下正方形面积之比为。 4
y
AB
A'B'
x
DCD'E'C'
2S,a如左图:在平面直角坐标系下，显然; 正方形
a:A'D',，A'D'E',45由斜二测画法作图原理知:在右图中，，2
222Rt,A'D'E'A'E',D'E'S,aA'E',D'E',a，即在等腰中，得。 直观图44
22aSS2直观图直观图4,,,从而有:。 24SSa正方形原图
本文在此不讨论纯理论性的东西，也就不再对该经验公式进行一
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般性的证明。不过实际上我们可以得到，只要是以斜二侧画法原理为前提作出的直观图其面积都满足该公式。
二、已知原图面积，求直观图面积
ABCD例1、已知某四边形的面积为，试求其在斜二测画法22
下作出的直观图的面积。
【解析】此题告诉的已知四边形没有明确的特征，因此其直观图
S2直观图利用斜二侧画法是无法作出的。但是，根据经验公式,可得:S4原图SS22直观图直观图，即。 S,，22,1,,直观图44S22四边形
三、已知直观图面积，求原图面积
,A'B'C',ABC例2、已知在斜二测画法下作出的平面直观图是
,ABCa边长为的正三角形，试求的面积。
,A'B'C',ABC【解析】题中所给的条件能轻易地确定直观图的
S132:2直观图SSaasin60a,,，，，,,面积，;根据经验公式ABC,'''直观图24S4原图
S4443622直观图可知SSSaa。 ,,,，,，,,ABC'''原图直观图422222
4
ABCD例3、如图所示，梯形是某一平面图形在斜二测画法下作
3AD,OD,1AB?DCAB,2CD,AB出的直观图。若，，，并且，AD2
平行于轴，求原图面积。 y
y
CD
x
BAO
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【解析】如果根据斜二侧画法的原理来分析，从而得出原图形，
S2直观图也是可以求解，但利用经验公式就免去了复杂的作图过程。,S4原图
直接由题中已知条件即可求出在斜二测画法下作出的直观图面积，由
4求解即可。 S,S原图直观图2
四、利用经验公式求解相关问题
OABCO例4、平面直角坐标系下的正方形，其中为坐标原点，
x'，，2,2点坐标为，试求其直观图中定点B'到的距离。 B
【解析】正方形在斜二测画法下作出的直观图是平行四边形，无需作图，直接利用经验公式便能很快求解。
已知;其在斜二测画法下作出直观图平行于轴的长S,2，2,4x原图
S22直观图x'h,度不变，设点到的距离为，则由的变形S,SB'直观图原图S44原图
22h,知2，h,，4，即。 24
用斜二测画法下作出平面直观图的作图原理必须掌握，但对于某些题型，能不作图就不作，直接利用经验公式求解显得更快捷方便。
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范文三：平面图形与其直观图的面积关系及其应用
平面图形与其直观图的面积关系及其应用
山东省济宁市实验中学(272023) 陈辉 刘粉
新课标对学生作图能力的要求明显加强，因此，探究平面图形的直观图的性质很有必
F要(若记平面内的封闭图形为，在这个平面内建立直角坐标系后，按照斜二测画法(“横
,,FF不变、纵减半、角45”)画出这个图形的直观图与原图形比较，形状有明显不同，并且由于图形在直角坐标系中的位置不同，得到相应的直观图的形状也可能不同(那么不同形状的直观图，它们的面积是否相等,倘若相等，那么它们的面积与原图形的面积有没有一定的比例关系,这就是本文予以解决的(
1 平面图形与其直观图的面积关系 Y1.1 三角形与其直观图的面积关系
ECABX(1)若的一边与轴平行，如图1，则 ,ABC
,,,由斜二侧画法可作出其直观图(由作法可得 ,ABC
1BDA,,,,,,ODODADADABAB,,,,,, 2XO 1,,,,DEDECECE,,,Y' 2
,,,则其直观图的高为 ,ABCC'E'
B'12A',,D',,,h,DE,sin45,,DE,sin45,,DE X'O24
图1
1122,,,？S,,AB,h,,AB,DE,,S ,,,,ABC,ABC2244
YX(2)若的任意一边不与轴平行，如图2，则过点 ,ABC
C,AADDX作轴的平行线，交于点，则由1可知 BC
22DAS,S，S,,S，,S,,,,,,,,,,ABC,ABD,ACD,ABD,ACD44B 22XO,,(S，S),,S,ABD,ACD,ABC44图2
由(1)、(2)可知，任意三角形的直观图的面积是原三角形
22S,,S面积的倍，即 (*) ,,,,ABC,ABC44
,MM1.2 多边形与其直观图的面积关系
M任意多边形可以分割为若干个三角形，不妨设为个，并设其面积分别为n
,MS,S,？,S，则由(*)式得其直观图的面积为 12n
1
222,,,S,S，S，？，S,,S，,S，？，,S ,多边形M12n12n444
2,S,,(S，S，？，S) 多边形M12n4
2由上可知，任意多边形的直观图的面积是原多边形面积的倍，即4
2
,SS 多边形M,M多边形4
,1.3 曲边形与其直观图的面积关系 NN
A,A,？,A(1)若曲边形为凸曲边形，如图3，设为其边缘的等分点，连接nN12n
AA,AA,？,AA,AAAAAAAA,,,，再连接设1223n,1nn1131411n,,AAA,,AAA,？,,AAAS,S,？,S的面积为，设1231341n,1n12n,2
,,,,,,,,,,AAA,,AAA,？,,AAAAAA,AAA,？,AAA,,,的直观图的面1231341n,1n1231341n,1n
,,,S,S,？,S积分别为，则 12n,2An-1AAin,,,S(SS？S),，，， A,12n,2曲边形NAlimi-11n,，,
AA42A3222,，,，，,SSS()= 122n,lim图3444n,，,
22,S,,，，，()SSS = 曲边形N122n,lim4n,，,4
(2)若曲边形为凹曲边形，则将其分割若干个凸曲边形，证法同2( N
2由上可知，任意曲边形的直观图的面积是原曲边形面积的倍，4
2
,SS 曲边形N,N曲边形4
2综上所述:任意平面图形的直观图的面积是原平面图形面积的倍，即4
2
2
,SS 平面图形F,F平面图形4
2 平面图形与其直观图面积关系的应用
例1 利用斜二侧画法画出一个平面图形的直观图是边长为1的正方形(如图4)，则这个平面图形的面积为Y'_______________(
2,,S,S解:因为 又 S,14
O'X'
,图4所以，这个平面图形的面积为 ( S,22S,22
例2 利用斜二侧画法画出一个周长为4的矩形的直观图，则此直观图的面积的最大值
为_______________(
解:设矩形的两邻边长分别为、，则此直观图的面积的为 x2,x
22222x，,x2,(2)()S,S,x,x,, 44424
2即此直观图的面积的最大值为( 4
显然，利用此结直接接题比利用基本方法(斜二测画法画图)高效的多～
作者简介:
陈辉:男，山东泰安人，山东省济宁市实验中学二级教师。 刘粉:女，山东济宁人，山东省济宁市实验中学二级教师。 通讯地址:山东省济宁市实验中学高一数学组
邮编:272023
Email: chenhuilf@tom.com
3
范文四：81三视图与直观图面积与体积
8.1 8.2 几何体，三视图与直观图，面积与体
积
一、【教学重点】
1. 几何体的结构特征；（正棱锥，正四面体，外接球，内切球……）
2. 三视图的画法；
3. 斜二测画法与直观图；
4. 面积与体积计算。
二、【典型例题】
例1、（1）水平放置的△ABC 的斜二测直观图如下图所示，已知A 'C '=3, B 'C '=2，则AB 边上中线的实际长度为 。
x '
（2）
乙、丙依次对应的几何体的标号是（ ）
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A ．④③② B ．②①③ C ． ①②③ D ．③②④
（3）已知一个正三棱锥的高为1，底面边长为2，画出它的三视图，并求三视图的面积、该三棱锥的侧面积。
例2、在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？
三、【课堂训练】
1．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，则该组合体的上下两部分分别是
_______.
2．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形，且直角边的边长为1，那么这个几何体的体积等于
11 A ． B ．
2412
11C
． D ． 63
3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （
）
122A 、+ B 、1+ C 、1+2 D 、2+ 222
4．如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）
俯视图 正视图 侧视图
5．棱长为1cm 那么这个几何体的表面积是 cm
6．四面体PABC 中，PA 、PB 、PC ABC 的投影是△ABC 的 。
四、【课后作业】 2
1．高考真题体验；
2. 《课时活页卷》P253，第1，5，8，11题
范文五：直观图与视图
直观图与视图
一、选择题(本大题共12题，每小题4分，共48分。)
2(若某几何图形的三维视图如(22—3)所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 3(将长方体截去一个四凌锥，得到的几何体如(图22—5,6)，则该几何体的左视图为( )
4(在一个几何体的三视图中，正
视图和俯视图如(22—7,8)所示，
则相应的侧视图可以为( )
5(如(图22—9)为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
6(如(图22—11)是一个球体与一个圆台的组合体，则此组合体的俯视图可能是( )
A.(2)(3) B.(2)(4) C.(1)(3) D.(1) (4)
AB7(正方体中，P、Q、E、F分别是、、 ADABCDABCD,1111
、的中点，则正方体的过P、Q、E、F的截面 BCCD1111
图形的形状是( )
A(正方形 B(平行四边形
C(正五边形 D(正六边形
8(如(图22—13)，已知圆柱的底面半径为2,高为4,从A点绕着圆柱转两圈到B点，
则最短的路线长是( )
22414，,214，,A( B(
22412，,212，,C( D(
9(一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如(图22—14)所示，则该几何体的俯视图为( )
10(将正方体模型放置在你的水平细视线的左上角，用斜二测画法绘制成直观图，则正确的是
( )
H11(向高为水瓶中注水，注满为止(如果注水体积与水深的函数关系如图，那么水瓶的Vh形状是图中的( )
BD,AB,12(如图，设平面，平面，垂足分别为,且CD,,,
ABCD,(EF是平面与平面的交线，如果增加一个条件就能,,
推出,给出四个条件不可能是 BDEF,
平面; ?AC,,
; ?ACEF,
题12图 BD与在平面内的射 ?AC,
影在同一条直线上;
BD与在平面内的射影所在的直线交于一点(那么这个条件不可能是( ) ?AC,
A( B( ????
C( D( ??
二、填空题(共2题，每题6分，共12分。)
13(一个由单位立方体搭成的几何体，已知
其正视图和俯视图如图所示，试据此分
析此几何体最多由 块单位立方
体组成，最少又由 块单位立方体组成
ABCDABCDABCD,中，当底面四边形 14(在值四棱锥1111
满足条件 时，有
ACBD,((注:填上 111
你认为正确的一种条件即
可，不必考虑所有可能的
情形)
三、解答题(共4题,每题10分，共40分。)
15(如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA?平面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的
中点,点E在棱CD上移动.
(1)当点E为CD的中点时,试判断直线EF与平面PAC的关系,并说明理由; (2)求证:PE?AF.
题15图
