理科数学

一 选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个 选项中,选择一个符合题目要求的选项。

1 若 cos sin z i θθ=+(i 为虚数单位) ,则 21z =-的 θ值可能是 (A )

6

π

(B )

4

π

(C )

3

π

(D )

2

π

2 已知集合 {}1,1M =-, 1

12

4, 2

x N x

x Z +?

?

=<>

?

,则 M N ?=

(A ) {}1,1- (B ) {}1- (C ) {}0 (D ) {}1, 0- 3下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

(A ) (1),(2) (B ) (1),(3) (C ) (1),(4) (D ) (2),(4)

4 设 1

1,1,

, 32a ??∈-???

?

,则使函数 y x α

=的定义域为 R 且为奇函数的所有 α值为 (A ) 1, 3 (B ) 1,1- (C ) 1, 3- (D ) 1,1, 3- 5 函数 sin(2) cos(2) 6

3

y x x π

π

=+

++

的最小正周期和最大值分别为

(A ) ,1π (B )

π (C ) 2,1π (D )

2π

6 给 出 下 列 三 个 等 式 :() () () f xy f x f y =+, () () () f x y f x f y +=,

() () () 1() ()

f x f y f x y f x f y ++=-。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

(A ) () 3x

f x = (B ) () sin f x x = (C ) 2() log f x x = (D ) () tan f x x =

7 命题“对任意的 x R ∈, 32

10x x -+≤”的否定是

(A )不存在 x R ∈, 3210x x -+≤ (B )存在 x R ∈, 32

10x x -+≤ (C )存在 x R ∈, 3

2

10x x -+> (D )对任意的 x R ∈, 3

2

10x x -+>

8 某班 50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13秒与 19秒之间,将测试结果按如 下方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13秒且小于 14秒;第二组,成绩大于等于 14秒 且小于 15秒; …… 第六组,成绩大于等于 18秒且小于 19秒。右图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图。设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ,成绩大于等 于 15秒且小于 17秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为 (A ) 0.9, 35 (B ) 0.9, 45 (C ) 0.1, 35 (D ) 0.1, 45

9 下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是

(1) :2p m <或 6m="">; 2

:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。

(2) () :

1; ()

f x p f x -= :() q y f x =是函数。

(3) :cos cos ; p αβ= :t a n t a n q αβ=。

(4) :; p A B A ?= :U U q C B C A ?。

(A ) (1),(2) (B ) (2),(3) (C ) (3),(4) (D ) (1),(4)

10 阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是 (A ) 2500, 2500 (B ) 2550, 2550 (C ) 2500, 2550 (D ) 2550, 2500

11 在直角 ABC ?中, CD 是斜边 A B 上的高,则下列等式不成立的是

(A ) 2AC AC AB =?

(B ) 2B C B A B C =?

(C ) 2

AB

AC CD =?

(D ) 2

2

() () A C A B B A B C C D

A B

???= 12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为 向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是

12

. 质点 P 移动 5次后位于点 (2,3) 的概率为

(A ) 5

1

() 2

(B ) 2

551

() 2

C (C ) 3

3

51

() 2

C (D ) 2

3

5

551

() 2

C C

第Ⅱ卷 (共 90分)

注意事项 :

1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上 . 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 .

4

小题,每小题 4分,共 16分,答案须填在题中横线上 . (13)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 2

=2px (p >0)的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正 向的夹角为 60°, .

(14)设 D 是不等式组 ??

?

??

??≥≤≤≥+≤+1, 40,

32102y x y x y x ,

表示的平面区域,则

D 中的点 P (x , y )到直线 x +y =10距

离的最大值是 .

(15)与直线 x +y -2=0和曲线 x 2+y 2

-12x -12y +64=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 . (16)函数 y =loga (x +3)-1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx +ny +1=0上,其中

mn >0,则

n

m

21+

的最小值为 .

6小题,共 74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17(本小题满分 12分) 设数列 {}n a 满足 2

1

*

12333...3

, . 3

n n n a a a a n N -+++=

∈

(I)求数列 {}n a 的通项 ; (II)设 , n n

n b a =求数列 {}n b 的前 n 项和 n S .

18(本小题满分 12分)设 b c 和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 , 用随机变量 ξ表示方 程 2

0x bx c ++=实根的个数 (重根按一个计 ). (I)求方程 2

0x bx c ++= 有实根的概率 ;

(II) 求 ξ的分布列和数学期望 ;

(III)求在先后两次出现的点数中有 6的条件下 , 方程方程 2

0x bx c ++= 有实根的概率 .

19(本小题满分 12分)如图 , 在直四棱柱 1111ABCD A B C D -中 , 已知

122DC DD AD AB ===, AD DC ⊥, A B D C .

(I)设 E 是 DC 的中点 , 求证 : 11D E A BD 平 面 ; (II)求二面角 11A BD C --的余弦值 .

C1

A1

B

A

分 )

如图,甲船以每小时 302海里的速度向正北方向航行,乙船

按固定方向匀速直线航行 . 当甲船位于 A 1处时,乙船位于甲船的

北偏西 105°方向的 B 1处, 此时两船相距 20海里 . 当甲船航行 20

分钟到达 A 1处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B 1处,

此时两船相距 102海里,问乙船每小时航行多少海里?

(21) (本小题满分 12分)

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3;最 小值为 1;

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线 l 1y =kx +m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点(A , B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点 . 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标 .

]

(22)(本小题满分 14分 )

设函数 f (x )=x 2+b ln(x +1),其中 b ≠ 0.

(Ⅰ ) 当 b >

2

1时,判断函数 f (x ) 在定义域上的单调性;

(Ⅱ)求函数 f (x ) 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n , 不等式 ln(3

2

11) 11(n

n

n -

>

+) 都成立 .

参考答案

1-12. 【答案】 : DBDAAB, CADDCB 13. 【答案】

:

2

p

14. 【答案】

:

15. 【答案】 :. 22(2) (2) 2x y -+-= 16. 【答案】 : 8。

17【答案】 : (I)2

1

12333...3

, 3n n n

a a a a -+++=

2

2

1231

133...3(2), 3

n n n a a a a n ---+++=≥

1

113

(2). 3

3

3

n n n n a n --=-

=

≥

1(2). 3

n n

a n =

≥

验证 1n =时也满足上式, *

1(). 3

n n

a n N =∈

(II) 3n

n b n =?,

23132333... 3n

n S n =?+?+?+?

2

3

1

233333

n

n n S n +-=+++-?

1

1

33

2313n n n S n ++--=-?-,

1

1

133

3

2

4

4

n n n n S ++=

?-?+?

18【答案】 :(I )基本事件总数为 6636?=, 若使方程有实根,则 2

40b c ?=-≥

,即 b ≥ 当 1c =时, 2, 3, 4, 5, 6b =; 当 2c =时, 3, 4, 5, 6b =; 当 3c =时, 4, 5, 6b =;

2

3

4

1

3132333... 3

n n S n +==?+?+?+?

当 4c =时, 4, 5, 6b =; 当 5c =时, 5, 6b =; 当 6c =时, 5, 6b =,

目标事件个数为 54332219, +++++= 因此方程 2

0x bx c ++= 有实根的概率为 19. 36

(II)由题意知, 0,1, 2ξ=,则

17(0) 36

P ξ==

, 21(1) , 36

18

P ξ==

=

17(2) 36

P ξ==

,

故 ξ的分布列为

ξ的数学期望 171170121. 36

18

36

E ξ=?+?

+?

=

(III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M , “方程 2

0ax bx c ++= 有实根” 为事件 N ,则 11() 36

P M =

, 7() 36

P M N =

,

() 7() ()

11

P M N P N M P M =

=.

19【答案】 :(I)连结 B E ,则四边形 D ABE 为正方形,

11BE AD A D ∴==,且 11BE AD A D , 11A D EB ∴四 边 形 为平行四边形, 11D E A B ∴ .

1111D E A BD A B A BD ?? 平 面 , 平 面 ,

11. D E A BD ∴ 平 面

(II) 以 D 为原点, 1, , DA DC DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系, 不妨设 1D A =,则 11(0,0, 0), (1,0, 0), (1,1,0), (0,2, 2), (1,0, 2). D A B C A

1(1,0, 2), (1,1,0). DA DB ∴==

设 (, , ) n x y z =

为平面 1A BD 的一个法向量,

由 1, n DA n DB ⊥⊥ 得 200x y x y +=??+=?

,

取 1z =,则 (2, 2,1) n =--

.

设 111(, , ) m x y z =

为平面 1C BD 的一个法向量,

由 , m D C m D B ⊥⊥ 得 1111

2200y z x y +=??+=?,

取 11z =, 则 (1,1,1) m =-

.

3cos , 3

m n m n m n

?-<>==

=-

由于该二面角 11A BD C --为锐角,

所以所求的二面角 11A BD C --

3

20【答案】 解如图,连结 12A B

, 22A B =

122060

A A =

?=

122A A B ?是等边三角形, 1121056045B A B ∠=?-?=?,

在 121A B B ?中,由余弦定理得

2

2

2

12111211122

2

2cos 4520220200

2

B B A B A B A B A B =+-??=+-??=,

12B B =

因此乙船的速度的大小为 6020

=

答:乙船每小时航行 海里 .

21【答案】 (I)由题意设椭圆的标准方程为 222

2

1(0) x y a b a

b

+

=>>

3, 1a c a c +=-=, 2

2, 1, 3a c b ===

2

2

1. 4

3

x

y

∴

+

=

(II)设 1122(, ), (, ) A x y B x y ,由 2214

3y kx m x y =+??

?+=?

?得

222

(34) 84(3) 0k x mkx m +++-=,

2

2

2

2

6416(34)(3) 0m k k m ?=-+->, 2

2

340k m +->.

2

12122

2

84(3) , . 3434m k m x x x x k

k

-+=-?=

++

22

22

121212122

3(4) () () () . 34m k y y kx m kx m k x x m k x x m k

-?=+?+=+++=

+

以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0), D 1AD BD k k ?=-,

1

2

12122

y y x x ∴

?

=---, 1212122() 40y y x x x x +-++=,

2

2

2

2

2

2

3(4) 4(3) 1640343434m k m m k k

k

k

--+

+

+=+++,

2

2

71640m m k k ++=,解得

1222, 7

k m k m =-=-

,且满足 22

340k m +->.

当 2m k =-时, :(2) l y k x =-,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾; 当 27

k m =-

时, 2:() 7

l y k x =-

,直线过定点 2(

, 0). 7

综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 2

(, 0). 7

22【答案】 (I) 函数 2

() ln(1) f x x b x =++的定义域为 ()1, -+∞.

2

22'() 21

1

b x x b

f x x x x ++=+

=

++,

令 2() 22g x x x b =++,则 () g x 在 1

, 2??-

+∞ ??

?上递增,在 11, 2?

?-- ??

?上递减, m in 11() () 22g x g b =-

=-

+. 当 12

b >

时, m in 1() 02

g x b =-

+>,

2

() 220g x x x b =++>在 ()1, -+∞上恒成立 . '

() 0, f x ∴>

即当 12

b >

时 , 函数 () f x 在定义域 ()1, -+∞上单调递增。

(II )分以下几种情形讨论: (1)由(I )知当 12

b >

时函数 () f x 无极值点 .

(2)当 12

b =

时, 2

12()

'() 1

x f x x +

=

+,

11, 2x ??∴∈-- ???时, '

() 0, f x >

1

, 2x ??∈-+∞

???

时, '

() 0, f x > 12

b ∴=

时,函数 () f x 在 ()1, -+∞上无极值点。

(3)当 12

b

时,解 '

() 0f x =

得两个不同解 112

x --=

, 212

x -+=

.

当 0b

时, 1112

x --=

<>

, 2112

x -+=

>-,

()()121, , 1, , x x ∴?-+∞∈-+∞

此时 () f x 在 ()1, -+∞

上有唯一的极小值点 212

x -+

=.

当 102

b

时, ()12, 1, , x x ∈-+∞

'

() f x 在 ()()121, , , x x -+∞都大于 0 , '

() f x 在 12(, ) x x 上小于 0 ,

此时 () f x

有一个极大值点 112

x --=

和一个极小值点 212

x -+=

.

综上可知, 0b <时, ()="" f="" x="" 在="" ()1,="">

上有唯一的极小值点 22

x =

;

102

b

时, () f x

有一个极大值点 12

x =

和一个极小值点 22

x =

;

12

b ≥

时,函数 () f x 在 ()1, -+∞上无极值点。

(III ) 当 1b =-时, 2

() ln(1). f x x x =-+ 令 3

3

2

() () ln(1), h x x f x x x x =-=-++则

3

2

'

3(1)

() 1

x x h x x +-=

+在 [)0, +∞上恒正,

() h x ∴在 [)0, +∞上单调递增,当 ()0, x ∈+∞时,恒有 () (0)0h x h >=.

即当 ()0, x ∈+∞时,有 3

2

ln(1) 0, x x x -++>2

3

ln(1) x x x +>-,

对任意正整数 n ,取 1x n

=得 2

3

111ln(

1) n

n

n

+>

-

2007—2012山东高考数学分类汇编

(2007— 2012) 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学汇编

1. 复数

(2007)(1)若 cos i sin z θθ=+(i 为虚数单位) ,则使 2

1z =-的 θ值可能是( )

A .

6

π B .

4

π C .

3

π D .

2

π

(2008)(2)设 z 的共轭复数是 z ,或 z +z =4, z 2z =8,则 z

z

等于

(A ) 1 (B ) -i (C)±1 (D) ±i (2009)(2)复数 31i i

--等于

(A ) 1+2i (B ) 1-2i (C ) 2 +i (D ) 2 – i

(2010) (2) 已知 2(, )

a i b i a b i

+=+2a i b i i

+=+(a,b ∈ R )

,其中 i 为虚数单位,则 a+b=

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

(2011)2.复数 z=22i i

-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限

(2012)(1) 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i为虚数单位 ) ,则 z 为

A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i

2. 集合

(2007)(2) 已知集合 {}11M =-,

, 1

1242x N x x +??=<>

Z , , 则 M N = ( )

A . {}11-,

B . {}1-

C . {}0 D . {}10-,

(2008)(1)满足 M

?{}1234, , , a a a a 且 {}{}12312, , , M a a a a a ?=的集合 M 的个数

是

(A ) 1 (B)2 (C)3 (D)4

(2009)(1)集合 A={0, 2, a },B={1,a 2}. 若 A B={0, 1, 2, 4, 16},则 a 的值

为

(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 4

(2010)(1)已知全集 U=R,集合 M={x||x-1|≤2},则 U

M e

=

(A ) {x|-1<><3} (b){x|-1≤x="" ≤3}=""><-1或 x="">3} (D){x|x≤-1或 x ≥3}

(2011)1.设集合 M ={x|2

60x

x +-<}, n="{x|1≤" x="" ≤="" 3},则="" m="" ∩="" n="">

A . [1,2)

B . [1,2] C . [2,3] D . [2,3]

(2012)2 已知全集 ={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3,}, B={2,4} ,则(CuA ) B 为 A {1,2,4} B {2,3,4}

C {0,2,4} D {0,2,3,4}

3. 函数的图像

(2008)(3)函数 ln cos () 22

y x x π

π

=-

的图象是

(2009) (6) 函数 x x x

x

e e y e e

--+=

-的图像大致为

(2010) (11)函数 y =2x

-2

x 的图像大致是

(2011)9.函数 2sin 2

x y x =

-的图象大致是

(2012) (9)函数 x

x

x y --=

2

26cos 的图像大致为

A

D

3. 绝对值

(2008)(4)设函数 ()1f x x x a =

++-的图象关于直线 x =1对称,则 a 的值为

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

(2008)(16)若不等式|3x -b |<4的解集中的整数有且仅有 1,="" 2,="" 3,则="" b="" 的取值范="" 围为(5,="" 7)="">

(2009) (13)不等式

21

2

0x x ---<的解集为>

(2011)4.不等式 |5||3|10x x -++≥的解集是

A . [-5, 7]

B . [-4, 6]

C . (][), 57, -∞-+∞ D . (][), 46, -∞-+∞

(2012)(13)若不等式 2|4|≤-kx 的解集为 , 31|≤≤x x 则实数 k =__________。

4. 三视图

(2007)(3

)

A .①②

B .①③

C .①④ D.②④

(2008)(6) 右图是一个几何体的三视图, 根据

图中数据,可得该几何体的表面积是 (A)9π (B ) 10π (C)11π (D)12π

(2009)(4) 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何

体的体积为

(A ) 2π+ (B ) 4π+ (C ) 23

π+

(D ) 43

π+

(2011)11.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下

列三个命题:① 存在三棱柱,

其正(主)视图、俯视图如下图;② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯

①正方形 ②圆锥

③三棱台 ④正四棱锥

视图如右图;③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命 题的个数是 A . 3 B . 2 C . 1 D . 0

(2012)(14)如图,正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为

1, E,F 分别为线段 AA 1,B 1C 上的点, 则三棱锥 D 1-EDF 的 体积为 ____________。

(2010) (3)在空间,下列命题正确的是

(A )平行直线的平行投影重合

(B )平行于同一直线的两个平面平行 (C )垂直于同一平面的两个平面平行 (D )垂直于同一平面的两条直线平行

5. 指数函数

(2007)(4)设 11132

a ??

∈-?

??

?

, , ,则使函数 a

y x =的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值

为( ) A . 1, 3

B . 1-, 1 C . 1-, 3

D . 1-, 1, 3

(2011)3.若点(a,9)在函数 3x y =的图象上,则 tan=6

a π的值为

A . 0 B

.

3

C . 1 D

6. 三角函数

(2007)(5) 函数 sin 2cos 263y x x ππ???

?=+-+ ? ??

?

?

?

的最小正周期和最大值分别为

( ) A . π, 1

B . π

C . 2π, 1 D . 2π

(2008)(5

)已知 cos() sin 6

παα-+=7sin() 6

πα+的值是

(A ) -

5

32 (B )

5

32 (C)-

5

4 (D)

5

4

(2009)(3) 将函数 y=sin 2x 的图像向左平移 4

π

个单位,再向上平移 1个单位,所得图

像的函数解析式是

(A ) y=cos 2x (B ) y=2

2cos x (C ) y=1+sin 24x π?

?

+

??

?

(D ) y=2

2sin x (2011)6.若函数 () sin f x x ω= (ω>0)在区间 0, 3π?????

?

上单调递增,在区间 ,

3

2π

π??

?

???

上

单调递减,则 ω= A . 3

B . 2

C .

32

D .

23

(2012) (7)若 4

2ππθ??

∈??

??

, sin 2=8

θ,则 sin θ=___________

(A )

35

(B )

45

(C

)

4

(D )

34

7. 函数的性质

(2007)(6)给 出下列 三个 等式 :

() () () f xy f x f y =+, () () () f x y f x f y +=,

() () () 1() ()

f x f y f x y f x f y ++=

-,下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )

A . () 3x f x = B . () sin f x x =

C . 2() log f x x =

D . () tan f x x =

(2009) (16)已知定义在

R 上的奇函数 () f x 满足 (4) () f x f x -=-,且在区间 [0, 2]

上是增 函数 . 若 方程 () (0f x m m =>) 在区 间 [-8, 8]上 有四 个不同 的根 1, 234, , , x x x x 则

1234x x x x +++=_____________

(2009) (10) 定义在 R 上的函数 () f x 满足 2lo g (1) ,

0() (1) (2), 0x x f x f x f x x -≤?=?--->?

,则

(2009) f 的值为

(A ) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(2010)(4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0时, f(x)=2

x

+2x+b(b为常数 ) ,

则 f(-1)=

(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

(2011)10.已知 () f x 是 R 上最小正周期为 2的周期函数,且当 02

x ≤<时 ,="" 3()="" f="" x="" x="" x="-," 则函数="" ()="" y="" f="" x="的图象在区间" [0,6]上与="" x="" 轴的交点的个数为="" a="" .="">

B . 7

C . 8

D . 9

(2012)(8) 定 义在

R 上的 函 数 f (x )满 足 ()(). 6x f x f =+当 -3≤ x <-1时>

()x f =()2

2+-x ;当 -1≤ x <3时, ()x="" f="." x="" 则="" ()1f="" +()2f="" +()3f="" +?="" +()2012f="">

(A ) 335(B ) 338(C ) 1678(D ) 2012

8. 命题的否定

(2007)(7)命题“对任意的 x ∈R , 3

2

10x

x -+≤ ”的否定是( )

A .不存在 x ∈R , 3

2

10x x -+≤

B .存在 x ∈R , 32

10x x -+≤ C .存在 x ∈R , 3

210x x -+>

D .对任意的 x ∈R , 32

10x x -+>

9. 统计 频率分布直方图

(2007)(8)某班 50名学生在一次百米测试中,成绩全

部介于 13秒与 19秒之间, 将测试结果按如下方式分成六 组:第一组,成绩大于等于 13秒且小于 14秒;第二组, 成绩大于等于 14秒且小于 15秒; …… 第六组,成绩大

于等于 18秒且小于等于 19秒. 右图是按上述分组方法得 到的频率分布直方图.设成绩小于 17秒的学生人数占全 班总人数的百分比为 x ,成绩大于等于 15秒且小于 17秒 的学生人数为 y , 则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为( ) A . 0.9, 35 B . 0.9, 45

C . 0.1, 35

D . 0.1, 45

0 13 14 15 16 17 18 19

秒

(2009)(8)某工厂对一批产品进行了抽样检测。右

图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制

的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 []

96106

, ,

样 本 数 据 分 组 为

[)[)[)[)[)

969898100100102102104104106

, , , , , , , , ,

已知样本中产品净重小于 100克的个数是 36, 则样本中

净重大于或等于 98克并且小于 104克的产品的个数是

(A ) 90 (B ) 75 (C ) 60 (D ) 45

(2008)(8)右图是根据 《山东统计年整 2007》 中的资

料作成的 1997年至 2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图 . 图中

左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十

位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中

可以得到 1997年至 2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为

(A ) 304.6(B ) 303.6(C)302.6(D)301.6

(2010)(6)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,, 若该样本的平均值为 1,则 样本方差为

6

5

(D)2

(2011)7.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

广告费用 x (万元) 4 2 3 5

销售额 y (万元) 49 26 39 54

根据上表可得回归方程 ?

??

y bx a

=+中的 ?b 为 9. 4, 据此模型预报广告费用为 6万元时销售 额为

A . 63. 6万元 B . 65. 5万元 C . 67. 7万元 D . 72. 0万元 (2012)(4) 采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做问卷调查, 为此将他们随机编号 为 1,2, … , 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9. 抽到的 32人 中,编号落入区间 [1,450]的人做问卷 A ,编号落入区间 [451,750]的人做问卷 B ,其余的人 做问卷 C. 则抽到的人中,做问卷 B 的人数为

(A ) 7 (B ) 9 (C ) 10 (D ) 15

10. 充分条件 必要条件

(2007)(9)下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是()

① p :2

m <-或>

m >; q :23

y x m x m

=+++有两个不同的零点.

②

()

:1

()

f x

p

f x

-

=; :()

q y f x

=是偶函数.

③ :cos cos

p αβ

=; :tan tan

q αβ

=.

④ :

p A B A

=

; :

U U

q B A

?

痧 .

A .①② B .②③ C .③④ D .①④

(2009)(5) 已知 αβ

, 表示两个不同的平面, m 为平面 α内的一条直线, 则 “ βα⊥” 是“ β

⊥

m ”的

(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件

(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件

(2010)(9)设{a

n

}是等比数列,则“ a 1

(A )充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、

29 1 1 5 8

3 0 2 6 3 1 0 2 4 7

第 8题图

(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件

(2011)5. 对于函数 (), y f x x R =

∈,“ |() |y f x =的图象关于 y 轴对称 ” 是 “ y =() f x 是

奇函数 ” 的

A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D . 既不充分也不必要

(2012) (3) 设 a >0 且 a ≠ 1 , 则 “函数 f(x)= a3在 R 上是减函数 ” , 是 “函数 g(x)=(2-a)

3

x 在 R 上是增函数”的

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

11. 程序框图

(2007)(10)阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T

的值依次

是( )

A . 2500, 2500 B . 2550, 2550 C . 2500, 2550

D . 2550, 2500`

(2008)(13)执行右边的程序框图,若 p =0.8,则输出的 n =______ . (2009) (15)执行右边的程序框图 , 输出的 T= ______.

(2010)(13)执行右图所示的程序框图,若输入 10x =,则输出 y 的值为 ______ . (2011)13. 执行右图所示的程序框图, 输入 l=2, m=3, n=5, 则输出的 y 的值是 ______ (2012)(6)执行右面的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为

______

12. 向量的运算

(2007)(11) 在直角 A B C △ 中, C D 是斜边 A B 上的高, 则下列等式不成立的是 ( )

A . 2

AC

AC AB = B . 2

BC

BA BC =

C . 2AB AC CD =

D . 22

() () AC AB BA BC C D AB

?=

(2009)(7)设 p 是 A B C 所在平面内的一点, 2BC BA BP

+=,则

(A ) PA PB +=0 (B ) PC PA

+=0

(C ) PB PC +=0 (D ) PA PB PC

++=0

(2010) (12)定义平面向量之间的一种运算 “⊙” 如下:对任意的 (, ) a m n =, (, )

b p q =令 a b mq np =- ,下面说法错误的是 (A )若 a 与 b 共线,则 a ⊙ b =0 (B ) a ⊙ b=b⊙ a

(C)对任意的 λ∈R ,有(λa )⊙ b=λ(a ⊙ b ) (D) (a ⊙ b ) 2+(a 2b ) 2=2

2

a

b

(2011)12. 设 1A , 2A , 3A , 4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若 1312A A A A λ=

(λ∈ R ) , 1412

A A A A μ= (μ∈ R ) ,且 11

2λμ

+=, 则称 3A , 4A 调和分割 1A , 2A , 已知平 面上的点 C , D 调和分割点 A , B 则下面说法正确的是 A . C 可能是线段 AB 的中点 B . D 可能是线段 AB 的中点

C . C , D 可能同时在线段 AB 上

D . C , D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

(2012)(16)如图,在平面直角坐标系 xOy

中,一

单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动 到圆心位于 (2,1) 时, OP 的坐标为 ______________。

13. 排列组合 概率

(2007)(12) 位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位; 移

动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是

12

,质点 P 移动五次后位 `于点

(23) , 的概率是( ) A . 2

12?? ???

B . 3

23

1C 2??

???

C . 2

23

1C 2??

???

D . 3

12231C C 2?? ???

(2008)(7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1, 2, 3,?, 18的 18名火炬

手 . 若从中任选 3人,则选出的火炬手的编号能组成 3为公差的等差数列的概率为 (A ) 511

(B ) 681 (C )

306

1

(D )

408

1

(2009)(11)在区间 []1,1-上随机取一个数 x , cos 2

x π的值介于 0到 1

2

之间的概率为

(A )

13

(B)

2

π

(C)

12

(D)

2

3

(2010) (5)已知随机变量 Z 服从正态分布 N (0, 2

e

) , 若 P(Z>2)=0.023,则 P (-2≤ Z ≤ 2)=

(A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977

(2010)(8)某台小型晚会由 6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第

四位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排

方案共有 (A ) 36种 (B ) 42种 (C)48种 (D ) 54种

(2012)(11)现有 16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张 . 从中任

取 3张,要求这 3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1张,不同取法的种数为 (A ) 232 (B)252 (C)472 (D)484

14. 二项式定理 (2008)(9) (x-3

1

x

) 12展开式中的常数项为

(A ) -1320

(B ) 1320

(C ) -220 (D)220

(2011)14

.若 6

(x x

-

展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为

定积分

(2008)(14)设函数 2

() (0) f x ax

c a =+≠. 若 ) () (01

x f dx x f =?

, 0≤ x 0≤ 1, 则 x 0的

值为

3

3.

(2010) (7)由曲线 y=2

x

,y=3

x 围成的封闭图形面积为 (A )

112

(B) 14

(C)

13

(D)

712

(2012)(15)设 a >0. 若曲线 x y =

与直线 x =a , y=0所围成封闭图形的面积为 2

a ,

则 =a ______。

15. 归纳推理 (2011)15.设函数 () (0) 2

x f x x x =

>+, 观察 :

1() () , 2

x f x f x x ==

+ 21() (()) , 34x f x f f x x ==+

32() (()) , 78

x f x f f x x ==

+

43() (()) , 1516

x f x f f x x ==

+

根据以上事实,由归纳推理可得:

当 n N +∈且 2n ≥时, 1() (()) n n f x f f x -== .

16. 函数的零点

(2009) (14)若函数 () (0a 1) x

f x a

x a a =--≠>) , 且 有两个零点 , 则实数 a 的 取值范围是 .

(2011)16.已知函数 f x () =log (0a 1). a

x x b a +-≠>, 且 当 2

数 f x () 的零点 *

0(, 1), , n=x n n n N ∈+∈则 .

(2012) (12)设函数 ()x

x f 1=

, ()()0, , 2≠∈+=a R b a bx ax x g . 若 ()x f y =的图像与

()x g y =的图像有且仅有两个不同的公共点 A (x 1,y 1) ,B(x2,y 2), 则下列判断正确的是

A. 当 a<0时, x=""><0,y1+y2>0 B. 当 a<0时 ,="" x1+x2="">0, y1+y2<0 c.="" 当="" a="">0时, x 1+x2<0,><0 d.="" 当="" a="">0时, x 1+x2>0, y1+y2>0

17. 线性规划

(2007)(14) 设 D 是不等式组 21023041

x y x y x y +??

+??

???≤ , ≥ ,

≤ ≤ , ≥ 表示的平面区域, 则 D 中的点 () P x y , 到 直线 10x y +=距离的最大值是 ___________.

(2008)(12)设二元一次不等式组 ??

???≤-+≥+-≥-+0142, 080192y x y x y x ,

所表示的平面区域为 M ,使函数

y =a x (a >0, a ≠ 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是

(A ) [1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]

(2009)(12) 设 , x y 满足约束条件 360, 20, 0, 0, x y x y x y --≤??

-+≥??≥≥?

若目标函数 (0, z ax by a b =+>>0)

的最大值为 12,则 23

a b

+的最小值为

(A ) 256 (B) 83 (C) 11

3 (D) 4

(2010)(10)设变量 x 、 y 满足约束条件 2,

5100, 80, x y o x y x y -+≥??-+≤??+-≤?

, 则目标函数 z =3x -4y 的最

大值和最小值分别 为 (A ) 3,-11 (B) -3, -11 (C)11, -3 (D)11,3

(2012)(5)设变量 y x , 满足约束条件 ??

???-≥-≤+≥+, 14, 42, 22y x y x y x 则目标函数 z=3x-y的取值范围是

(A ) ?????

?

-

6, 23

(B ) 3, 12??

--????(C ) []6, 1- (D ) 3-62??????

18. 直线与圆

(2007)(15)与直线 20x y +-=和曲线 2

2

1212540x

y x y +---=都相切的半径最

小的圆的标准方程是 .

(2008)(11)已知圆的方程为

X

2

+Y 2-6X -8Y =0. 设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦

分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为

(A ) 10

6 (B ) 20

6 (C ) 306 (D ) 406

(2010)(16)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l :1y x =-被圆

C

所截得的弦长为 l 垂直的直线的方程为 .

19. 圆锥曲线

(2007)(13)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 2

2(0) y px p =>的焦点, A 是抛物线上

的一点, FA

与 x 轴正向的夹角为 60

,则 O A 为 ____________ .

(2008) (10)设椭圆 C 1的离心率为 13

5

,焦点在 X 轴上且长轴长为 26. 若曲线 C 2上的点

到椭圆 C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C 2的标准方程为

(A ) 13

42

22

2=-y x (B)

1513222

2=-y x (C)

14

3

2

22

2=-

y x (D)

112

13

2

22

2=-

y x

(2009)(9)设双曲线

222

2

1x y a

b

-

=的一条渐近线与抛物线 2

1y x =+只有一个公共点,

则双曲线的离心率为

(A )

54

(B) 5 (C)

2

(D) (2011)8.已知双曲线

222

2

1(0b 0) x y a a

b

-

=>, >的两条渐近线均和圆

C:22650x y x +-+=相切 , 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 , 则该双曲线的方程为 A .

2

2

15

4

x

y

-

= B .

2

2

14

5

x

y -

= C .

2

2

13

6

x

y

-

= D .

2

2

16

3

x

y

-

=

(2012)(10) 已 知 椭 圆

C :

()012

22

2>>=+b a b

y a

x

的 离 心 学 率 为

2

3。 双 曲 线

12

2

=-y

x 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,

则椭圆 C 的方程为 (A )

12

82

2

=+y

x (B )

16

12

2

2

=+

y

x

(C )

14

16

2

2

=+

y

x

(D )

15

20

2

2

=+

y

x

20. 均值不等式求最值

(2007)(16)函数 log (3) 1a

y x =+-(01) a a >≠且 , 的图象恒过定点 A ,若点 A 在

直线 10mx ny ++=上,其中 0m n >,则

12m

n

+

的最小值为 ___________.

(2010)(14)若对任意 0x >,

2

31

x a x x ≤++恒成立,则 a 的取值范围是 ______.

21. 解三角形

(2008)(15) 已知 a , b , c 为△ ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, 向量 m =(

1, 3-)

, n =(cos A ,sin A ) . 若 m ⊥ n ,且 a cos B +b cos A =c sin C ,则角 B =________.

(2010)(15)在 A B C ?中,角 , , A B C 所对的边分别为 a , b , c

,若 a =

2b =

,

sin cos B B +=A 的大小为 ____________.

三、解答题:本大题共 6小题,共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22. 三角函数与解三角形 (2008)(17) (本小题满分 12分)

已知函数 f (x ) =) 0, 0)(cos() sin(3><+-+ω??ω?ωπx x="" 为偶函数,="" 且函数="" y="f" (x="" )="" 图象的两相邻对称轴间的距离为="" .="">

(Ⅰ)求 f (

8

π)的值;

(Ⅱ) 将函数 y =f (x ) 的图象向右平移 6

π个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到

原来的 4倍,纵坐标不变,得到函数 y =g (x ) 的图象,求 g (x ) 的单调递减区间 .

(2009)(17) (本小题满分 12分) (注意:在试题卷上作答无效 .........

) 设函数 ()2

cos(2) sin 3

f x x x π

=+

+。

(Ⅰ)求函数 ()f x 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ) 设 A , B , C 为 A B C ?的三个内角, 若 1

1

cos , () 324

c B f =

=-,

且 C 为锐角, 求 A 。

(2010)(17) (本小题满分 12分)

已知函数 ()()2

11

sin 2sin cos cos sin 02

22f x x x π????π??

=+-

+ ???

<,其图象过点>

π6, 1

2

) . (Ⅰ)求 ?的值;

(Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12

,纵坐标不变,得到函数

()y f x =的图象,求函数 ()g x 在 [0,

π4

]上的最大值和最小值.

(2012)(17) (本小题满分 12分)

已知向量 m=(sinx , 1) ()(), 02cos 2, cos 3, 1, sin >??

?

?

?==A x A

x A n x m 函数 f

(x ) =n m ?的最大值为 6. (Ⅰ)求 A ;

(Ⅱ)将函数 ()x f y =的图象像左平移 12

π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为

原来的

12

倍,纵坐标不变,得到函数 ()x g y =的图象。求 ()x g 在 ??

?

??

?245,

0π上的值域。 (2007)(20) (本小题满分 12分)

如图,甲船以每小时 甲船位于 1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 1B 处, 此时两船相距 20海里, 当甲

船航行 20分钟到达 2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120

方向的 2B

处,此时两船相距

(2011)17. (本小题满分 12分)

在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 cos A -2cos C

2c-a =cos B

b

.

(I )求

sin sin C A

的值;

(II )若 cosB=14

, b=2, A B C ?的面积 S 。

23. 数列 (2007)(17) (本小题满分 12分)

设数列 {}n a 满足 2

1

123333

3

n n n a a a a -++++=

… , a ∈*

N .

(Ⅰ)求数列 {}n a 的通项;

(Ⅱ)设 n n

n b a =

,求数列 {}n b 的前 n 项和 n S .

(2008) (19)(本小题满分 12分 )

将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a 1

a 2 a 3

a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

??

记表中的第一列数 a 1, a 2, a 4, a 7,? 构成的数列为 {b n }, b 1=a 1=1. S n 为数列 {b n }的前 n 项和,

且满足=n N n n

S S b b 2

2-1=(n ≥ 2) . (Ⅰ ) 证明数列{

n

S 1}成等差数列,并求数列{b n }的通项公式;

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 为同一个正数 . 当 91

481-

=a 时,求上表中第 k (k ≥ 3) 行所有项和的和 .

(2009)20. (本小题满分 12分) (注意:在试题卷上作答无效 .........

) 等 比 数 列 {}n a 的 前 n 项 和 为 , 已 知 对 任 意 的 , n N ∈, 点 (. ) n n S

均 在 函 数 (01, , y b x r b b b r ==>≠且 均 为 常 数 的图象上。

(Ⅰ)求 r 的值。

(Ⅱ)当 b=2时,记 22(log1)() n bn a n n ==∈

证明:对任意的,不等式成立

121

2

111n n

b b b b b b +++??>

…

(2010)(18) (本小题满分 12分)

已知等差数列 {}n a 满足:37a =, 5726a a +=. {}n a 的前 n 项和为 n S . (Ⅰ)求 n a 及 n S ; (Ⅱ)令 b n =2

11

n a -(n ∈N *) ,求数列 {}n b 的前 n 项和 n T .

(2011)20. (本小题满分 12分)

等比数列 {}n a 中, 123, , a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 123, , a a a 中的

(Ⅰ)求数列 n a 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 {}n b 满足:(1) ln n n n b a a =+-,求数列 {}n b 的前 n 项和 n S .

(2012)(20) (本小题满分 12分)

在等差数列 {an }中, a 3+a4+a5=84, a 5=73. (Ⅰ)求数列 {an }的通项公式;

(Ⅱ)对任意 m ∈ N ﹡,将数列 {an }中落入区间(9n , 92n )内的项的个数记为 m b ,求数列 {m b }的前 m 项和 m S .

24. 概率及其分布列 (2007)(18) (本小题满分 12分)

设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ表示方程 20x bx c ++=实 根的个数(重根按一个计) . (Ⅰ)求方程 20x bx c ++=有实根的概率; (Ⅱ)求 ξ的分布列和数学期望;

(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5的条件下,方程 20x bx c ++=有实根的概率.

(2008)(18) (本小题满分 12分)

甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分, 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为

3

2,乙队中 3人答对的概率分别为 2

1

, 32,

32且各人正确与否相互之间没有影响 . 用 ε表示甲队的总得分 . (Ⅰ)求随机变量 ε分布列和数学期望; (Ⅱ ) 用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件,求 P (AB ).

(2009) (19)(本小题满分 12分 ) (注意:在试题卷上作答无效 .........

) 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中, 规定每人最多投 3次; 在 A 处每投进 一球得 3分, 在 B 处每投进一球得 2分; 如果前两次得分之和超过 3分即停止投篮, 否则 投三次。某同学在 A 处的命中率 1q 为 0.25,在 B 处的命中率为 2q . 该同学选择先在 A 处 投一球,以后都在 B 处投,用 ε表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

()I求 2q 的值;

()II求随机变量 ε的数学期量 E ε;

()III试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3分与选择上述方式投篮得分超过 3分的

概率的大小。

(2010)(20) (本小题满分 12分)

某学校举行知识竞赛 , 第一轮选拔共设有 , , , A B C D 四个问题,规则如下:

① 每位参加者计分器的初始分均为 10分,答对问题 , , , A B C D 分别加 1分、 2分、 3分、 6分,答错任一题减 2分;

② 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8分时,答题结束,淘汰出局;当 累计分数大于或等于 14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14分时,答题结束,淘汰出局,当累计分数大于或等于 14分时,答题结束,进入下一轮; 当答完四题,累计分数仍不足 14分时,答题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 , , , A B C D 顺序作答,直至答题结束 .

假设甲同学对问题 , , , A B C D 回答正确的概率依次为

3111

, , , 4234

,且各题回答正确与否相 互之间没有影响 .

(Ⅰ ) 求甲同学能进入下一轮的概率;

(Ⅱ)用 ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ξ的分布列和数学的 E ξ.

(2011)18. (本小题满分 12分)

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A 、 B 、 C 进行围棋比赛,甲对 A ,乙对 B ,丙对 C 各一 盘,已知甲胜 A ,乙胜 B ,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ )求红队至少两名队员获胜的概率;

(Ⅱ )用 ξ表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ的分布列和数学期望 E ξ.

(2012)(19)现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为

,命中得

1分, 没有命中得 0分; 向乙靶射击两次, 每次命中的概率为 , 每命中一次得 2分, 没有 命中得 0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率;

(Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX

25. 立体几何与空间向量 (2007)(19) (本小题满分 12分)

如 图 , 在 直 四 棱 柱 1

11A B C D A B C D -

中 , 已 知

122D C D D AD AB ===, AD D C ⊥, AB D C ∥ .

(Ⅰ)设 E 是 D C 的中点,求证:1D E ∥ 平面 11A BD ; (Ⅱ)求二面角 11A BD C --的余弦值.

(2008)(20)(本小题满分 12分 )

如图,已知四棱锥 P -ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ⊥平面 ABCD , 60A B C ∠=?, E , F 分别是 BC , PC 的中点 .

(Ⅰ)证明:AE ⊥ PD ;

(Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所

成最大角的正切值为 2

,求二面角 E — AF — C

的余弦值 .

(2009)(18) (本小题满分 12分) (注意:在 .

试题卷上作答无效 ........

) 如图,在直四棱柱 1111ABC D A B C D -中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD,AB=4,BC=CD=2,1A A ,AB 的中 点。

(Ⅰ)证明:直线 1E E ∥平面 1FC C ;

B

A

1A 1D

1C

1B

E

(Ⅱ)求二面角 1B FC C --的弦值。

(2010)(19) (本小题满分 12分)

如图,在五棱锥 P — ABCDE 中, PA ⊥平面 ABCDE , AB ∥ CD , AC ∥ ED , AE ∥ BC , ∠ABC =45°, AB

, BC =2AE =4,三角形 PAB 是等腰三角形. (Ⅰ)求证:平面 PCD ⊥平面 P AC ;

(Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P — ACDE 的体积.

(2011)19. (本小题满分 12分)

在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ ACB=90?,EA⊥ 平面ABCD, EF ∥ AB,FG∥ BC, EG∥ AC . AB =2EF .

(Ⅰ )若M是线段AD的中点,求证:GM∥ 平面ABFE ; (Ⅱ )若AC=BC =2AE , 求二面角A -BF -C的大小.

(2012)(18) (本小题满分 12分)

在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB ∥ CD , ∠ DAB=60°, FC ⊥平面 ABCD , AE ⊥ BD , CB=CD=CF.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面 AED ;

(Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。 (19) (本小题满分 12分)

26. 直线与圆锥曲线 (2007)(21) (本小题满分 12分)

已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线 :l y kx m =+与椭圆 C 相交于 A , B 两点 (A B , 不是左右顶点) ,且以 A B 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

(2008) (22)(本小题满分 14分 )

如图,设抛物线方程为 x 2=2py (p >0), M 为 直线 y =-2p 上 任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A , B . (Ⅰ)求证:A , M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ) 已知当 M 点的坐标为 (2, -2p )

时, AB =求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点 M ,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 2

2(0) x py p =>上,

其中,点 C 满足 OC OA OB =+

(O 为坐标原点) . 若存在,求出所有适合题意的点 M 的 坐标;若不存在,请说明理由 .

(2009)(22) (本小题满分 14分) (注意:在试题卷上作答无效 .........

)

设椭圆 E :

222

2

1(, 0) x

y

a b a b

+

=

>M N , O 为坐标原点

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒在两个交点

A , B 且 O

A O B

??→⊥??→?若存在, 写出该圆的方程, 关求 AB 的取值范围; 若不存在, 说明理由。

(2010)(21) (本小题满分 12分)

如图,已知椭圆

222

2

1(0) x y a b a b +=>>

的离心率为

2

以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 12, F F 为顶点的三角

形的周长为 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦 点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 1PF 和

2PF 与椭圆的交点分别为 B A 、 和 C D 、 .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ)设直线 1PF 、 2PF 的斜率分别为 1k 、 2k ,证明

12·1k k =;

(Ⅲ)是否存在常数 λ,使得 AB CD AB CD λ+=恒成立?若 存在,求 λ的值;若 不存在,请说明理由 .

(2011)22. (本小题满分 14分)

已知动直线 l 与椭圆 C:

2

2

13

2

x

y

+

=交于 P ()11, x y 、 Q ()22, x y 两不同点,且 △ OPQ 的面

积 O P Q S ?

=

2

, 其中 O 为坐标原点 .

(Ⅰ )证明 2212x x +和 2212y y +均为定值 ;

(Ⅱ )设线段 PQ 的中点为 M ,求 ||||OM PQ ?的最大值; (Ⅲ ) 椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ,

使得 2

O D E O D G O EG S S S ???===? 若存在, 判断 △ DEG

的形状;若不存在,请说明理由 .

(2012)(21) (本小题满分 13分)

在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C :()022

>=p py x 的焦点, M 是抛物线 C 上位

于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的 距离为

34

。

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M , 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由;

(Ⅲ)若点 M

的横坐标为 ,直线 4

1:+

=kx y l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A , B

,

l 与圆 Q 有两个不同的交点 D , E ,求当

12

≤ k ≤ 2时, 22||||DE AB +的最小值。

27. 导数 导数的应用 (2007)(22) (本小题满分 14分)

设函数 2() ln(1) f x x b x =++,其中 0b ≠. (Ⅰ)当 1

2

b >

时,判断函数 () f x 在定义域上的单调性;

(Ⅱ)求函数 () f x 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 231

11ln 1n n

n ??

+>-

???都成立.

(2008)(21) (本小题满分 12分)

已知函数 1

() ln(1), (1)

n

f x a x x =

+--其中 n ∈ N*,a 为常数 . (Ⅰ)当 n =2时,求函数 f (x ) 的极值;

(Ⅱ)当 a =1时,证明:对任意的正整数 n , 当 x ≥ 2时,有 f (x ) ≤ x -1.

(2009)(21) (本小题满分 12分) (注意:在试题卷上作答无效 .........

) 两县城 A 和 B 相距 20Km ,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上 择一点 C 建造垃圾理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城 B 的影响度之和。 记 C 点到城 A 的距离 xKm , 建在 C 处的垃 圾处理厂对城 B 的影响度为 Y ,统计调查表明;垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点 到城 B 的平方成反比,比例系数为 4;城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比,比例系数为 K ,当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时,对城 A 和城 B )总影响度为 0.065

(Ⅰ)将 Y 表示成 X 的函数;

(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧 AB 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处

理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点城 A 的距离;若不存在,说明理 由。

(2010)22)(本小题满分 14分 )

已知函数 1() ln 1a f x x ax x

-=-+-() a R ∈.

(Ⅰ ) 当 12

a ≤

时,讨论 () f x 的单调性;

(Ⅱ)设 2

() 24. g x x bx =-+当 14

a =

时,若对任意 1(0,2) x ∈,存在 []21, 2x ∈,使

12() () f x g x ≥,求实数 b 取值范围 .

(2011)21. (本小题满分 12分)

某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形,

左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的体积为 803

π

立方米, 且 2l r ≥ . 假设该容器的

建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元, 半球形部分每 平方米建造费用为 (3) c c >千元,设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

(2012)22(本小题满分 13分 )

已知函数 ()x f =

2

ln x k e

+k 为常数, c=2.71828??是自然对数的底数) , 曲线 ()

x f y =在点(1, ()1f )处的切线与 x 轴平行。

(Ⅰ)求 k 的值;

(Ⅱ)求 ()x f 的单调区间;

(Ⅲ)设 ()()x x x g +=2 '() f x , 其中 '() f x 为 ()x f 的导函数,证明:对任意 0>x ,

()2

1-+<>

x g .

2007年高考山东理科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学 第Ⅰ卷(共 60分)

一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,选 择一个符合题目要求的选项.

(1)若 cos isin z θθ=+(i 为虚数单位) ,则使 2

1z =-的 θ值可能是( )

A .

6

π

B .

4

π C .

3

π D .

2

π (2)已知集合 {}11M =-, , 11242x N x x +??

=<>

Z , ,则 M N = ( ) A . {}11-,

B . {}1-

C . {}0

D . {}10-,

(3

)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A .①② B .①③ C .①④ D .②④

(4)设 11132a ?

?∈-????

, ,则使函数 a

y x =的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为( ) A . 1, 3

B . 1-, 1

C . 1-, 3

D . 1-, 1, 3

(5)函数 sin 2cos 263y x x ππ????=+-+ ? ?????

的最小正周期和最大值分别为( ) A . π, 1

B . π

C . 2π, 1

D . 2π(6) 给 出 下 列 三 个 等 式 :() () () f xy f x f y =+, () () () f x y f x f y +=,

() ()

() 1() ()

f x f y f x y f x f y ++=

-,下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )

A . () 3x

f x =

B . () sin f x x =

C . 2() log f x x =

D . () tan f x x =

(7)命题“对任意的 x ∈R , 3

2

10x x -+≤ ”的否定是( )

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A .不存在 x ∈R , 32

10x x -+≤ B .存在 x ∈R , 3

2

10x x -+≤ C .存在 x ∈R , 3

2

10x x -+> D .对任意的 x ∈R , 3

2

10x x -+>

(8) 某班 50名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13秒与 19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大 于等于 13秒且小于 14秒; 第二组, 成绩大于等于 14秒且小于 15秒; … … 第六组, 成绩大于等于 18秒且小于等于 19秒. 右 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ,成绩大于等于 15秒且小于 17秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分 析出 x 和 y 分别为( )

A . 0.9, 35 B . 0.9, 45 C . 0.1, 35 D . 0.1, 45

(9)下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是( ) ① p :2m <-或 6m="">; q :23y x mx m =+++有两个不同 的零点. ② ()

:

1()

f x p f x -=; :() q y f x =是偶函数. ③ :cos cos p αβ=; :tan tan q αβ=. ④ :p A B A = ; :U U

q B A ?

痧 .

A .①② B .②③ C .③④ D .①④

(10)阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是( ) A . 2500, 2500 B . 2550, 2550 C . 2500, 2550 D . 2550, 2500`

(11)在直角 ABC △ 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式 不成立的是( )

A . 2AC AC AB = B . 2BC BA BC =

C . 2AB AC CD =

D . 22

() () AC AB BA BC CD AB

?=

(12)位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向 为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是

1

2

,质点 P 移动五次后位 `于点 (23) ,

的概

秒

率是( )

A . 2

12?? ???

B . 3

23

1C 2?? ???

C . 2

23

1C 2?? ???

D . 3

12231C C 2?? ???

第Ⅱ卷(共 90分)

二、填空题:本大题共 4小题,每小题 4分,共 16分.答案须填在题中横线上.

(13)设 O 是坐标原点, F 是抛物线 2

2(0) y px p =>的焦点, A 是抛物线上的一点, FA

与 x 轴正向的夹角为 60

,则 OA

为 .

(14)设 D 是不等式组 21023041

x y x y x y +??+?

????≤ , ≥ , ≤ ≤ , ≥ 表示的平面区域,则 D 中的点 () P x y , 到直线

10x y +=距离的最大值是

(15)与直线 20x y +-=和曲线 221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标 准方程是 .

(16) 函 数 log (3) 1a y x =+-(01) a a >≠且 , 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 10mx ny ++=上,其中 0mn >,则

12

m n

+的最小值为 三、解答题:本大题共 6小题,共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12分) 设数列 {}n a 满足 2

1

123333

3

n n n a a a a -++++=

… , a ∈*

N . (Ⅰ)求数列 {}n a 的通项; (Ⅱ)设 n n

n

b a =

,求数列 {}n b 的前 n 项和 n S . (18) (本小题满分 12分)

设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ξ表示方程 2

0x bx c ++=实根 的个数(重根按一个计) .

(Ⅰ)求方程 2

0x bx c ++=有实根的概率; (Ⅱ)求 ξ的分布列和数学期望;

(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5的条件下,方程 2

0x bx c ++=有实根的概率.

(19) (本小题满分 12分)

如图,在直四棱柱 1111ABCD A BC D -中,已知 122DC DD AD AB ===, AD DC ⊥,

AB DC ∥ .

(Ⅰ)设 E 是 DC 的中点,求证:1D E ∥ 平面 11A BD ; (Ⅱ)求二面角 11A BD C --的余弦值.

(20) (本小题满分 12分)

如图,

甲船以每小时 海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲

船位于 1A 处时,乙船位于甲船的北偏西 105

方向的 1B 处,此时两船相距

20海里,当甲船 航行 20分钟到达 2A 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120

方向的 2B 处,

此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?

(21) (本小题满分 12分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线 :l y kx m =+与椭圆 C 相交于 A , B 两点(A B , 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (22) (本小题满分 14分) 设函数 2

() ln(1) f x x b x =++,其中 0b ≠. (Ⅰ)当 1

2

b >

时,判断函数 () f x 在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数 () f x 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 23111

ln 1n n n

??+>- ???都成立.

B

D A

1A 1

D

1C

1B

E

1A

2

A

2007年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题 (1) D (2) B (3) D

(4) A (5) A (6) B (7) C (8) A

(9) D

(10) D

(11) C

(12) B

第Ⅱ卷

二、填空题 (13

p

(14

) (15) 22(2) (2) 2x y -+-=

(16) 8

三、解答题 (17) (本小题满分 12分)

解:(Ⅰ) 2

1

123333

3

n n n

a a a a -++++=

… , ① ∴当 2n ≥ 时, 2212311

3333

n n n a a a a ---++++=… . ② ① -②得 1

133n n a -=, 13

n n a =.

在①中,令 1n =,得 113

a =. 1

3n n a ∴=.

(Ⅱ) n n

n

b a =

, 3n n b n ∴=. 23323333n n S n ∴=+?+?++… , ③ 23413323333n n S n +∴=+?+?++… . ④

④ -③得 12323(3333) n n n S n +∴=-++++… . 即 1

3(13) 23

13n n n S n +-=--, 1(21)3344

n n n S +-∴=+. (18) (本小题满分 12分)

解:(Ⅰ)由题意知:设基本事件空间为 Ω,记“方程 2

0x bx c ++=没有实根”为事件 A , “方程 2

0x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件 B , “方程 2

0x bx c ++=有两个相异实

数”为事件 C ,则 {}

() 126b c b c Ω==, , ,

, … , ,

{}2() 40126A b c b c b c =-<=, ,="" ,="" ,="" ,="" …="" ,="" ,="">

}

2() 40126B b c b c b c =-==, , , , , … , ,

{}2

() 40126C b c b

c b c =->=, , , , , … , ,

所以 Ω是的基本事件总数为 36个, A 中的基本事件总数为 17个,

B 中的基本事件总数为 2个, C 中的基本事件总数为 17个. 又因为 B C , 是互斥事件,

故所求概率 21719() () 363636

P P B B C =+=

+=. (Ⅱ)由题意, ξ的可能取值为 012,

, ,则 {}17036P ξ==

, {}1118P ξ==, {}17

236

P ξ==, 故 ξ的分布列为:

所以 ξ的数学期望 0121361836

E ξ=?+?+?=. (Ⅲ) 记 “先后两次出现的点数有中 5” 为事件 D , “方程 2

0x bx c ++=有实数” 为事件 E , 由上面分析得

11() 36P D =

, 7() 36P D E = , () 7

() () 11

P D E P E D P D ∴=

= . (19) (本小题满分 12分)

解法一:

(Ⅰ)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

11BE AD A D ∴==,且 11BE AD A D ∥ ∥ ,

∴四边形 11A D EB 为平行四边形. 11D E A B ∴∥ .

又 1D E ?平面 1A BD , 1A B ?平面 1A BD ,

1D E ∴∥ 平面 1A BD .

(Ⅱ)以 D 为原点, 1DA DC DD , , 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空

间直角坐标系, 不妨设 1DA =, 则 (000) D , , , (100) A , , , (110) B , , , (022) C , , , 1(102) A , , ,

B

C

A

1A 1D

1C

1B

E

1(102) DA ∴= , , , (110) DB = , , ,

设 () x y z =, , n 为平面 1A BD 的一个法向量.

由 1DA ⊥

n , DB ⊥ n ,

得 200. x z x y +=??+=?

,

取 1z =,则 (231) =-,

, n . 又 2(023) DC = , , , (110) DB = , , ,

设 111() x y z =, , m 为平面 1C BD 的一个法向量,

由 DC ⊥ m , DB ⊥ m ,得 11112200.

y z x y +=??+=?,

取 11z =,则 (1

11) =-, , m , 设 m 与 n 的夹角为 a ,二面角 11A BD C --为 θ,显然 θ为锐角,

cos 3θ∴=

==-

m n m n

. cos 3θ∴=, 即所求二面角 11A BD C --

的余弦为 3

. 解法二:

(Ⅰ)以 D 为原点, 1DA DC DD , , 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系,

设 DA a =,由题意知:

(000) D , , , (00) A a , , , (0) B a a , , , (020) C a , , , 1(022) C a a , , , 1(02) A a a , , , 1(002) D a , , , (00) E a , , .

1(02) D E a a ∴=- , , , 1(02) DA a a = , , , (0) DB a a =

, ,

,

又 (02) (0) (02) a a a a a a -=-, ,

, , , , , 1D E DB DA ∴=-

.

1DA DB ? , 平面 1A BD , 1D E ?平面 1A BD ,

1D E ∴∥ 平面 1A BD .

(Ⅱ)取 DB 的中点 F , 1DC 的中点 M ,连结 1A F , FM , 由(Ⅰ)及题意得知:022a a

F ?? ???

, , (0) M a a , , ,

1222a a FA a ??∴=- ??? , , , 22a a FM a ??=- ??? , ,

12(0) 022a a FA DB a a a ??

=-= ??? , , , , ,

(0) 022a a FM DB a a a ??

+=-+= ???

, , , .

1FA DB ∴⊥, FM DB ⊥, 1A FM ∴∠ 为所求二面角的平面角.

111cos FA FM A FM FA FM

∴=

∠ 2a a a a a a ????-- ? ?= , ,

, 2222a a a --+==. 所以二面角 11A BD C --

的余弦值为 3

. 解法三:

(Ⅰ)证明:如解法一图,连结 1AD , AE , 设 11AD A D G = , AE BD F = ,连结 GF , 由题意知 G 是 1A D 的中点,又 E 是 CD 的中点,

∴四边形 ABED 是平行四边形,故 F 是 AE 的中点, ∴在 1AED △ 中, 1GF D E ∥ ,

又 GF ?平面 1A BD , 1D E ?平面 1A BD ,

1D E ∴∥ 平面 1A BD .

(Ⅱ)如图,在四边形 ABCD 中,设 AD a =,

AB AD = , AD DC ⊥, AB DC ∥ , AD AB ∴⊥.

故 BD =

,由(Ⅰ)得

B

D

1A 1D

1C

1B

E

H

2222222BC BE EC a a a =+=+=, 2DC a =, 90DBC ∴= ∠ ,即 BD BC ⊥.

又 1BD BB ⊥, BD ∴⊥平面 11BCC B ,又 1BC ?平面 11BCC B , 1BD BC ∴⊥, 取 1DC 的中点 M ,连结 1A F , FM , 由题意知:1FM BC ∴∥ , FM BD ∴⊥.

又 11A D A B =, 1A F BD ∴⊥. 1A FM ∴∠ 为二面角 11A BD C --的平面角. 连结 1A M ,在 1A FM △ 中,

由题意知:1A F =

, 112FM BC ===, 取 11D C 的中点 H ,连结 1A H , HM ,

在 1Rt A HM △

中, 1A H , HM a =

, 1

AM ∴=. 2

2

2

1111cos 2A F FM A M A FM A F FM +-∴=

∠ 22

2

933a a a +-=

= ∴二面角 11A BD C --

的余弦值为

3

. (20) (本小题满分 12分)

解法一:如图,连结 11A B

,由已知 22A B =

1220

60

A A ==1221A A A B ∴=,

又 12218012060A A B =-=

∠ ,

122A A B ∴△

是等边三角形, 1212A B A A ∴==,

由已知, 1120A B =, 1121056045B A B =-=

∠ ,

在 121A B B △ 中,由余弦定理, 2

2

2

12111212122cos45B B A B A B A B A B =+-

22202202

=+-??200=.

1A

2

A

12B B ∴=

60=(海里 /小时)

.

答:乙船每小时航行 海里.

解法二:如图, 连结 21A B , 由已知 1220A B =

,

1220

60

A A ==112105B A A = ∠ , cos105cos(4560) =+ cos 45cos60sin 45sin 60=-

=

sin105sin(4560) =+ sin 45cos60cos 45sin 60=+

=

.

在 211A A B △ 中,由余弦定理,

222

21221211122cos105A B A B A A A B A A =+-

2220220=+-?

100(4=+.

1110(1A B ∴=.

由正弦定理 1112111222sin sin 2A B A A B B A A A B =

==

∠ ∠ , 12145A A B ∴= ∠ ,即 121604515B A B =-= ∠ ,

cos15sin105==

在 112B A B △

中,由已知 12AB =,由余弦定理,

22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++

22210(1210(14

=+-??

200=.

12B B ∴=

1

A

2

A

乙船的速度的大小为

6020

=/小时.

答:乙船每小时航行 海里. (21) (本小题满分 12分)

解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 22221(0) x y a b a b

+=>>,

由已知得:3a c +=, 1a c -=,

2a ∴=, 1c =, 2223b a c ∴=-=.

∴椭圆的标准方程为 22

143

x y +

=. (Ⅱ)设 11() A x y , , 22() B x y , ,

联立 221. 4

3y kx m x y =+???+=??,

得 222

(34) 84(3) 0k x mkx m +++-=,

222222122

21226416(34)(3) 03408344(3)

. 34m k k m k m mk x x k m x x k ?

??=-+->+->?

?

+=-?+?

?-=

?+?

,即 ,则 , 又 222

2

121212122

3(4)

()() () 34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+,

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 (20) D ,

, 1AD BD k k ∴=-,即

1212122

y y

x x =---, 1212122() 40y y x x x x ∴+-++=,

222222

3(4) 4(3) 1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=.

解得:12m k =-, 227

k m =-

,且均满足 22

340k m +->, 当 12m k =-时, l 的方程为 (2) y k x =-,直线过定点 (20) , ,与已知矛盾; 当 227k m =-

时, l 的方程为 27y k x ??=- ???,直线过定点 207??

???

, . 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 2

07?? ???

, . (22) (本小题满分 14分)

解:(Ⅰ)由题意知, () f x 的定义域为 (1) -+∞, , 322() 211

b x x b f x x x x ++'=+=++ 设 2

() 22g x x x b =-+,其图象的对称轴为 1

(1) 2

x =-

∈-+∞, , max 11() 22g x g b ??

∴=-=-+ ???

.

当 12b >

时, max 1

() 02

g x b =-+>, 即 2() 230g x x x b =+->在 (1) -+∞, 上恒成立, ∴当 (1) x ∈-+∞,

时, () 0f x '>, ∴当 1

2

b >

时,函数 () f x 在定义域 (1

) -+∞, 上单调递增. (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 1

2

b >时,函数 () f x 无极值点.

② 12b =时, 3

122() 01

x f x x ?

?+ ?

??'==+有两个相同的解 12x =-, 112x ?

?∈-- ??? , 时, () 0f x '>,

12x ??

∈-+∞ ???, 时, () 0f x '>,

1

2

b ∴=

时,函数 () f x 在 (1

) -+∞, 上无极值点. ③当 12b

时, () 0f x '=

有两个不同解, 1x =

2x =,

0b

时, 1112x -=

<>

, 2102

x -=>,

即 1(1) x ∈-+∞, , [)21x ∈-+∞, .

0b ∴<时, ()="" f="" x="" ',="" ()="" f="" x="" 随="" x="">

由此表可知:0b <时, ()="" f="" x="" 有惟一极小值点="" 1x="">

,

当 102b

时, 11x =>-, 12(1) x x ∴∈-+∞, ,

此时, () f x ', () f x 随 x 的变化情况如下表:

由 此 表 可 知 :102b

时 , () f x 有 一 个 极 大 值 1x =和 一 个 极 小 值 点 2x =

综上所述:

0b <时, ()="" f="" x="" 有惟一最小值点="" x="">

;

102b

时, () f x 有一个极大值点 x =和一个极小值点 x =; 1

2

b ≥ 时, () f x 无极值点.

(Ⅲ)当 1b =-时,函数 2() ln(1) f x x x =-+, 令函数 222() () ln(1) h x x f x x x x =-=-++,

则 22

2

13(1) () 3211

x x h x x x x x +-'=-+=++. ∴当 [)0x ∈+∞,

时, () 0f x '>,所以函数 () h x 在 [)0+∞, 上单调递增, 又 (0)0h =.

(0) x ∴∈+∞, 时,恒有 () (0)0h x h >=,即 23ln(1) x x x >-+恒成立. 故当 (0) x ∈+∞,

时,有 23ln(1) x x x +>-. 对任意正整数 n 取 1(0) x n =∈+∞, ,则有 23111ln 1n n n

??+>- ???. 所以结论成立.

2007年高考数学山东卷(理科)

共 6页 第 1页

2007年高考数学山东卷(理科)

一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选 项中,选择符合题目要求的选项。

1 若 cos sin z i θθ=+(i 为虚数单位) ,则 2

1z =-的 θ值可能是

(A )

6π (B ) 4π (C ) 3π (D ) 2

π

2 已知集合 {}1,1M =-, 1124, 2x N x

x Z +??

=<>

,则 M N ?= (A ) {}1,1- (B ) {}1- (C ) {}0 (D ) {}1,0- 3下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

(A ) (1),(2) (B ) (1),(3) (C ) (1),(4) (D ) (2),(4)

4 设 11,1, ,32

a ?

?∈-???

?

,则使函数 y x α

=的定义域为 R 且为奇函数的所有 α值为 (A ) 1,3 (B ) 1,1- (C ) 1,3- (D ) 1,1,3- 5 函数 sin(2) cos(2) 63

y x x π

π

=+++的最小正周期和最大值分别为 (A ) ,1π (B )

π (C ) 2,1π (D )

2π6 给 出 下 列 三 个 等 式 :() () () f xy f x f y =+, () () () f x y f x f y +=,

() ()

() 1() ()

f x f y f x y f x f y ++=

-。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

(A ) () 3x

f x = (B ) () sin f x x = (C ) 2() log f x x = (D ) () tan f x x =

7 命题“对任意的 x R ∈, 3

2

10x x -+≤”的否定是

(A )不存在 x R ∈, 3

2

10x x -+≤ (B )存在 x R ∈, 3

2

10x x -+≤ (C )存在 x R ∈, 3

2

10x x -+> (D )对任意的 x R ∈, 3

2

10x x -+>

共 6页 第 2页

8 某班 50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13秒与 19秒之间,将测试结果按如 下方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13秒且小于 14秒;第二组,成绩大于等于 14秒 且小于 15秒; …… 第六组,成绩大于等于 18秒且小于 19秒。右图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图。设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ,成绩大于等 于 15秒且小于 17秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为 (A ) 0.9,35 (B ) 0.9, 45 (C ) 0.1,35 (D ) 0.1, 45

9 下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是

(1) :2p m <-或 6m="">; 2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。 (2) ()

:

1; ()

f x p f x -= :() q y f x =是偶函数。

(3) :cos cos ; p αβ= :t a n t a n q α

β=。

(4) :; p A B A ?= :U U q C B C A ?。

(A ) (1),(2) (B ) (2),(3) (C ) (3),(4) (D ) (1),(4)

10 阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是 (A ) 2500,2500 (B ) 2550,2550 (C ) 2500,2550 (D ) 2550,2500

共 6页 第 3页

11 在直角 ABC ?中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立的是

(A ) 2AC AC AB =? (B ) 2BC BA BC =?

(C ) 2AB AC CD =?

(D ) 22

() () AC AB BA BC CD AB

???=

12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为

向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是

1

2

. 质点 P 移动 5次后位于点 (2,3)的概率为 (A ) 51() 2

(B ) 2551() 2C (C ) 3351() 2C (D ) 235

551() 2C C

二.填空题:本大题共 4小题,每小题 4分,共 16分,答案须填在题中横线上。

13. 13 设 O 是坐标原点, F 是抛物线 2

2(0) y px p =>的焦点, A 是抛物线上的一点,

共 6页 第 4页

FA 与 x 轴正向的夹角为 60?

,则 OA 为 ________.

14. 设 D 是不等式组 21023041

x y x y x y +≤??+≥?

?≤≤??≥?表示的平面区域 , 则 D 中的点 (, ) P x y 到直线 10x y +=距

离的最大值是 _______.

15.与直线 20x y +-=和曲线 221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准 方程是 _________.

16.函数 log (3) 1(0, 1) a y x a a =+->≠的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 10

mx ny ++=上 , 其中 0mn >, 则

12

m n

+的最小值为 _______. 三.解答题:本大题共 6小题,共 74分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。

(17)(本小题满分 12分)设数列 {}n a 满足 21*

12333...3, . 3

n n n a a a a n N -+++=∈

(I)求数列 {}n a 的通项 ; (II)设 , n n

n

b a =

求数列 {}n b 的前 n 项和 n S . 18(本小题满分 12分)设 b c 和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 , 用随机变量 ξ表示方

共 6页 第 5页

程 2

0x bx c ++=实根的个数 (重根按一个计 ). (I)求方程 2

0x bx c ++= 有实根的概率 ; (II) 求 ξ的分布列和数学期望 ;

(III)求在先后两次出现的点数中有 5的条件下 , 方程 2

0x bx c ++= 有实根的概率 . 19(本小题满分 12分)如图 , 在直四棱柱 1111ABCD A BC D -中 , 已知

122DC DD AD AB ===, AD DC ⊥, AB DC .

(I)设 E 是 DC 的中点 , 求证 : 11D E A BD 平面 ; (II)求二面角 11A BD C --的余弦值 .

C1

A1

B

A

(20)(本小题满分 12分)如图 , 甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行 , 乙船按固定 方向匀速直线航行 , 当甲船位于 1A 处时 , 乙船位于甲船的北偏西 105?

的方向 1B 处 ,

此时两船相 距 20海里 . 当甲船航行 20分钟到达 2A 处时 , 乙船航行到甲船的北偏西 120?

方向的 2B 处 , 此时 两船相距 海里 , 问乙船每小时航行多少海里 ?

(21)(本小题满分 12分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 , 焦点在 x 轴 上 , 椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3, 最小值为 1. (I)求椭圆 C 的标准方程 ;

(II)若直线 :l y kx m =+与椭圆 C 相交于 A,B 两点 (A,B不是左右顶点 ), 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 . 求证 :直线 l 过定点 , 并求出该定 点的坐标 .

(22)(本小题满分

14分)设函数 2

() ln(1) f x x b x =++, 其中 0b ≠.

1

A

2

A

共 6页 第 6页

(I)当 1

2

b >

时 , 判断函数 () f x 在定义域上的单调性 ; (II)求函数 () f x 的极值点 ;

(III)证明对任意的正整数 n , 不等式 23

111

ln(1) n n n +>

-都成立 .

2007高考数学山东卷(理)

2007年高考数学山东卷(理科)详细解析

一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选 项中,选择符合题目要求的选项。

1 若 cos sin z i θθ=+(i 为虚数单位),则 21z =-的 θ值可能是

(A ) 6π

(B ) 4π (C )

3π (D ) 2π 【答案】 :D【分析】 :把 2π

代入验证即得。

2 已知集合 {}1,1M =-, 1

124, 2x N x x Z +?

?=<∈????,则 m="" n="" ?="">

(A ) {}1,1- (B ) {}1- (C ) {}0 (D ) {}1, 0-

【答案】 :B【分析】 :求 {}1124, 1, 02x N x

x Z +??=<>

。

3下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

(A ) (1),(2) (B ) (1),(3) (C ) (1),(4) (D ) (2), (4)

【答案】 :D【分析】 :从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设 11,1,

, 32a ??∈-????

,则使函数 y x α=的定义域为 R 且为奇函数的所有 α值为 (A ) 1, 3 (B ) 1,1- (C ) 1, 3- (D ) 1,1, 3-

【答案】 :A【分析】 :观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

5 函数 sin (2) c o s(2) 63y x x π

π

=+++的最小正周期和最大值分别为

(A ) ,1π (B )

π(C ) 2,1π (D )

2, π【答案】 :A【分析】 :化成 sin () y A x ω?=+的形式进行判断即 co s 2y x =。

6 给 出 下 列 三 个 等 式 :() () (f x y f x f y =+, () () () f x y f x f y +=,

() ()

() 1() ()

f x f y f x y f x f y ++=-。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 (A ) () 3x f x = (B ) () sin f x x = (C ) 2() lo g f x x = (D ) () ta n f x x =

【答案】 :B【分析】 :依据指、对数函数的性质可以发现 A , C 满足其中的一个等式,而 D 满足 () ()

() 1() ()

f x f y f x y f x f y ++=-, B 不满足其中任何一个等式 . 7 命题“对任意的 x R ∈, 3210x x -+≤”的否定是

(A )不存在 x R ∈, 3210x x -+≤ (B )存在 x R ∈, 32

10x x -+≤

(C )存在 x R ∈, 3210x x -+> (D )对任意的 x R ∈, 3210x x -+>

【答案】 :C【分析】 :注意两点:1)全称命题变为特称命题; 2)只对结论进行否定。 8 某班 50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13秒与 19秒之间,将测试结果按如 下方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13秒且小于 14秒;第二组,成绩大于等于 14秒 且小于 15秒; …… 第六组,成绩大于等于 18秒且小于 19秒。右图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图。设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ,成绩大于等 于 15秒且小于 17秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为

(A ) 0.9, 35 (B ) 0.9, 45 (C ) 0.1, 35 (D ) 0.1, 45

【答案】 : A . 【分析】 :从频率分布直方图上可以看出 0.9x =, 35y =.

9 下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是

(1) :2p m <-或 6m="">; 2:3q y x m x m =+++有两个不同的零点。

(2) ()

:1; () f x p f x -= :()

q y f x =是偶函数。 (3) :c o s c o s ; p αβ= :t a n t a n q αβ=。

(4) :; p A B A ?= :U U q C B C A ?。

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