为好色找理由
一. 教学内容：
向量的综合应用
二. 重点、难点：
1.
2.
3.
同向时，
4.
反向时，
5.
6.
【典型例题】
[例1] 四边形ABCD满足
，判断ABCD的形状。
解：由已知：
∴
∴
同理
∴
ABCD
[例2] 四边形ABCD中，
，判断四边形ABCD的形状。
解：
∴
若
∴
与四边形ABCD不符
∴
∵
同理：
∴
同理
∴ 矩形ABCD
[例3] O为
内一点，求
的最小值。
解：令
，
，
∴
时，
∴ O为
重心
[例4]
为非
，
为何值时，
最小，并证明此时
解：
∴
时，
此时，
∴
[例5]
，
夹角为
，
为何值时，
与
夹角为锐角
解：
与
方向相同???? ∴
∵
与
夹角为锐角??? ∴
>0，且
∴
∴
∴
[例6] A（4，0），B（0，4），C（
）
（1）
且
，求
；
（2）若
，求
的值。
解：
（1）
∴
∴
（2）
[例7]
，
，若
，求
解：
∴
∵
∴
[例8]
，
，
（1）
时，求
夹角
（2）
，
最大值为
，求
解：（1）
（2）
①
时，
②
时，
∴
[例9] 已知
，求
与
的夹角。
解：
∴
∴
∴
∴
∴
[例10] 已知直线
与抛物线
交于A、B，O为原点，求
的取值范围。
解：
∴
∴
∴
设
∴
∴
【模拟试题】
1.
，
，则
夹角为（??? ）
A. 30°??? B. 45°??? C. 75°??? D. 135°
2. 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
，则P点的轨迹一定过
的（??? ）
A. 外心??? B. 内心??? C. 重心??? D. 垂心
3. 已知
为单位向量，它的夹角为
，那
（??? ）
A.
B.
C.
D. 4
4. 若
夹角为
，
，
，则
（??? ）
A. 2??? B. 4??? C. 6??? D. 12
5.
为非
，满足
且
，则
夹角为（??? ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知
，
，若
，则
与
夹角为（??? ）
A. 30°??? B. 60°??? C. 120°??? D. 150°
7. 在
中，
，
，
，则
（??? ）
A. 5??? B.
C.
D.
8. 已知
，满足对任意
，恒有
，则（??? ）
A.
B.
C.
D.
9. 若
，且
，则向量
与
夹角为（??? ）
A. 30°??? B. 60°??? C. 120°??? D. 150°
10. 已知
，
，关于
的方程
有实根，则
与
的夹角的取值范围（??? ）
A.
B.
C.
D.
【试题答案】
1. B??? 2. B??? 3. C??? 4. C?? ?5. A??? 6. C??? 7. A??? 8. C??? 9. C??? 10. B
法向量的应用
法向量的应用
现行高中数学教科书第二册(下B)第九章提到了法向量的定义:如果向量 平面α，那么向量 叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下:
一、求点到平面的距离
θ
A
α
B
h
设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平面α于点B，而 是平面α的法向量，那么向量 在 方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，
所以 ※
例1:已知棱长为1的正方体ABCD,A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，
求点A1到平面DBEF的距离。
z
x
B
A1
y
F
E
B1
C1
D1
D
C
A
解:如图建立空间直角坐标系，
,(1，1，0) ， ,(0， ，1)， ,(1，0，
1)
设平面DBEF的法向量为 ,(x，y，z)，则有:
即 x，y,0
y，z,0
令x,1, y=,1, z= , 取 ,(1，,1， )，则A1到平面DBEF的距离
注:此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用(※)式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如 和 ，那么 , × 。但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设 ,(x，y，z)，通过建立方程组求出一组特解。
二、求异面直线间的距离
假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定
平面α，且直线a?α，设 是平面α的法向量，那么 ? ， ? 。所以异面直
线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面α的距离，方法同例1。
z
A1
y
x
A
C1
B
C
D1
B1
D
例2:已知棱长为1的正方体ABCD,A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。 解:如图建立空间直角坐标系，
则 ,(,1，1，0)， ,(1，0，1)
连接A1C1，则A1C1?AC,设平面A1C1D的
法向量为 ,(x，y，z),
由 可解得 ,(1，1，,1)，又 ,(0，0，
1)
所以点A到平面A1C1D的距离为 ，即直线DA1和AC间的距离为 。
注:这道题若用几何推理，需连结D1B，交?DA1C1和?B1CA分别为E、F，并证明?D1DE??B1BE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线段长而且三等分线段D1B，进而求解EF，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。
三、求直线与平面所成的角
E
z
x
D1
y
A
C1
B1
A1
B
D
C
直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量 与平面α的法向量 所成的锐角的余角，所以有 。
例3:已知棱长为1的正方体ABCD,A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角。
解:如图建立空间直角坐标系，
,(0，1，0)， ,(,1，0，1)，
,(0， ，1)
设平面ABC1D1的法向量为 ,(x，y，z),
由 可解得 ,(1，0，1)
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则 ，
所以直线AE与平面ABC1D1所成的角为arcsin 。
四、求二面角的大小
D
l
β
B
A
C
α
已知二面角α,l,β，点A是二面角α,l,β内一点，过点A向α、β引垂线，垂足分别为C、B，则AC、AB确定平面ABC，延伸平面ABC，交直线l于点D，根据二面角的平面角的定义，易证?CDB就是二面角α,l,β的平面角。?CDB,180?,?CAB，而?CAB可看成α、β的法向量 、 所成的角(或其补角)。
例4:已知棱长为1的正方体ABCD,A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。
z
y
x
D1
A1
D
B1
C1
C
B
A
解:如图建立空间直角坐标系， ,(,1，1，0)， ,(0，1，,1)
设 、 分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，
由 可解得 ,(1，1，1)
易知 ,(0，0，1)，
所以， ,
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos 或 ,arccos 。 注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向，
取的方向不同求
出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定
其大小。
五、证明两平面平行或垂直
若α?β， 则 ? ;反之也成立。
若α?β， 则 ? ;反之也成立。
例5:已知棱长为1的正方体ABCD,A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、
A1D和B1A上任一点，求证:平面A1EF?平面B1MC。
F
y
E
M
x
z
D1
C1
B1
A1
C
D
B
A
证明:如图建立空间直角坐标系，
则 ,(,1，1，0)， ,(,1，0，,1)
,(1，0，1)， ,(0，,1，,1)
设 ， ， ( 、 、 ，且均不为0)
设 、 分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
由 可得 即
解得: ,(1，1，,1)
由 可得 即
解得 ,(,1，1，,1)，所以 ,, ， ? ，
所以平面A1EF?平面B1MC。
注:如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用
? 来证明。
利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行
几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有
局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标
系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一
般都是如:正(长)方体、直棱柱、正棱锥等。
利用法向量解2005年高考立体几何试题 A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
x
y
z
图4
例5 (05江西 理)如图4，在长方体 中，AD= =1，AB=2，点E在棱AB
上移动。
(?)证明: ;
(?)当E为AB的中点时，求点E到面 的距离;
(?)AE等于何值时，二面角 的大小为 。
分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，
求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向
量法求解。下面给出向量法求解。
解:建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， 。
(?)证明:由 ， ，
，有 ，于是 。
(?)E是AB的中点，得 。
， ， 。
设平面 的法向量为 ，单位法向量为 ， 由 ，解得 。
于是 ，有 。
设点E到平面 的距离为 ，则
。
所以点E到平面 的距离为 。
(?)平面 的法向量 ，设平面 的法向量 。 又 ， 。
由 ，得
，解得 ，于是 。
设所求的二面角为 ，则 。
有 ，得 。
解得 ，
所以，当AE= 时，二面角 的大小为 。
例6
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
图 5
(05全国卷?)如图5，四棱锥 中， 底面ABCD为矩形， 底面ABCD，AD=PD， E，F分别CD、PB的中点。
(?)求证:EF 平面PAB;
(?)设AB= BC，求AC与平面AEF所成角的大小。 分析:本题考查的是立体几何的重点内容:直线与平面 垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理 论证能力，本题也是一题两法。
(?)证明:建立空间直角坐标系(如图5)，设AD=
PD=1，AB= ( )，则
E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .
得 ， ， 。
由 ，得 ，即 ，
同理 ，又 ，
所以，EF 平面PAB。
(?)解:由 ，得 ，即 。
得 ， ， 。
有 ， ， 。
设平面AEF的法向量为
由 ，解得 。
于是 。
设AC与面AEF所成的角为 ， 与 的夹角为 。
则 。
得 。
所以，AC与平面AEF所成角的大小为 。
说明:用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC与平面AEF所
成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面
的法向量 ，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。 A
B
C
D
M
P
图 6
利用法向量也可顺利求解2005全国卷?第18题:
如图6 已知四棱锥 的底面为直角梯
形，AB//DC， ， 底面ABCD，
且PA=AD=DC= ，M是PB的中点。
(?)证明:面PAD 面PCD;
(?)求AC与PB所成的角;
(?)求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
解:(略)
说明:本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果
采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。
以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可
弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。
向量的应用
高二上同步 麻天贇
3向量的应用 2011,11,19
【模长】
1(在平行四边形ABCD中，若，则必有( ) .C AB，AD,AB,AD
A B或 C ABCD是矩形 D ABCD是正方形 AD,0AB,0AD,0
2(已知的夹角为60?，求. 109a,4,b,5,a与b3a,b3(已知点C在线段AB的延长线上，且,则等于 . ,2BC,AB,BC,,CA【加乘运算】
4(在平行四边形ABCD中，M为上任一点，则+等于( ).B ABAM,DMDB
A B C D ABADBCAC
5(设是两个单位向量，它们的夹角是60?，则 .-9/2 e、e(2e,e),(,3e，2e),121212
【综合题】
,,,,,,6(已知 |，|=|,|，求证:. ,ababab
,7(与的夹角为，求: AB,3.2,AC,4.8,AB60AC
?; AB,AC
?与的夹角. ABAB,AC
,,,,8(=,x,1，2x，1,，=,x，1，x,2.,，?， abab
?求 x ,3, 10
,,,?求向量所对应的单位向量 (ab)ba,0
,,,,,,,,9(已知:=,2，1,，=,1，1,，=k，，=,k，问是否存在实数k使 ababnabm
,,
, (1)?， n3m
,,1,5(2)? nm2,,,,,,310(等边三角形ABC，边长为1，求?，?，?. , ABABBCBCCACA2
,,,11(已知点A(1，-2)，若向量AB与=(2，3)同向，=;求点B的坐标. AB213a
,,,,012(若平面向量与=(1，-2)的夹角是，且，求向量的坐标. b,35ba180b
,,,,13(已知向量=(sinθ,1) = (1,cosθ),, ab,,,,22
,,,?若求 ,,,,ba,,4
,?求的最大值。 ,ab，22321，,，,4，
,,,,n+114(已知S为数列{a}的前n项和，=(S,1), = (-1,2 a+2), , abba,nnnn
an(1)求证:为等差数列; {}n2
(2) 求{a}的通项公式. n
15(在直角坐标平面上的一列点A(1,a), A(2,a),…,A(n,a), …,简记为{A}. 若由 xOy1122nnn
,,构成的数列{b}满足,n=1,2,…，其中为方向与y轴正方向相同的单b,bb,AA,jjnnnn，1n，1n
位向量，则称{A}.为T点列. n
111?判断A(1,1), A(2,), A(3,),…,A(n,a), …是否为T点列，并说明理由; 122nn2n3
?若{A}为T点列，且点A在点A的右上方. 任取其中连续三点A、 A 、A，判n21kk+1k+2断?AAA的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)，并予以证明; kk+1k+2
向量的应用
教案内容 集备记录
平面向量的应用
教学目标:
1、知识与技能:经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力 ，运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算。
2、过程与方法:通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题 。通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具。
3、情感态度价值观:提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力，加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
教学重难点
1、教学重点:熟悉向量的性质及运算律;能根据向量性质特点构造向量;熟练
新疆王新敞奎屯平面几何性质在解题中应用;熟练向量求解的坐标化思路
2、教学难点: 运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲” 教学时数:2课时
教学步骤:
第一课时
知 识 梳理
1.利用向量处理几何问题的步骤为:
(1) 建立平面直角坐标系; (2) 设点的坐标;
(3) 求出有关向量的坐标;
(4) 利用向量的运算计算结果;
(5) 得到结论. F
2.平面向量在物理中的应用
如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功: W= |F| |S| cosα. α S
,,,,,,
3( 重要不等式: ,,,||||||||ababab
热 点 考 点 题 型 探 析
考点一:平面向量在平面几何
题型1. 用向量证明几何题
[例1] 已知:如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的
新疆新疆王新敞王新敞奎屯奎屯两条对角线求证AC?BD
AC 解析:证法一:?,AB，， AD
BDAB,AD,，
1
??,(，)?(,) ACBDABABADAD
22,,,,,,,O ABAD
?? ACBD
证法二:以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，
222A(a，b)，C(c，O)则由,AB,,,BC,得a，b,c
?,,,(c，O),(a，b),(c,a，,b)， ACBCBA
,，,(a，b)，(c，O),(c，a，b) BCBDBA
222??,c,a,b,O ACBD
?? 即 AC?BD ACBD
练习:
1(证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
1[解析] 设= b，= a，则=+= b+a, CBACACCDAD2
1=b+a EB,EC，CB2
?A, G, D共线，B, G, E共线
?可设=λ，= μ, AGEGEBAD
A 11则=λ=λ(b+ a)=λb+λa, AGAD22
11= μ= μ(b+ a)=μb+μa, EGEB F E 22
G 111? 即:b + (μb+μa) =λb+λa AE，EG,AG222
B C 111 D ?(μ,λ) a + (μ,λ+)b = 0 ?a, b不平行， 222
21,,,,,,,,0,,,,,,,,,,2,,32,,,AGAD? ,,1113,,,，,,0,,,,,,223,
,,,,,,,,,,,,,
2(已知M(4,0),N(1,0)，若动点Pxy(,)满足，求动点P的轨MNMPNP,,6||迹方程.
[解析] MP,(x,4,y),MN,(,3,0),PN,(1,x,,y)
22,3(x,4),6(1,x)，(,y)由已知得，
2
22xy22化简得,这就是动点P的轨迹方程. 3x，4y,12,即，,143
考点二: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用 题型1: 与函数综合题
,,CCABC[例2] 为?的内角A、B、C的对边，，m,(cos,sin)abc,,22,,,,CC,，且与的夹角为，求C; n,,(cos,sin)mn322
,,,CCCC解析: ?m,(cos,sin)，n,,(cos,sin) 2222
,,,CC22? mnC,,,,cossincos22
,,,,,,,,1又,,,,, mnmn||||coscos332
1,?，?, cosC,C32
,,,,,,,,,,,,l[例3] 已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满OAOBOC,,
,,,,,,,,,,,,,32足,记.求函数OAxOBxyOC,，,,，,,,(1)[ln(23)]0yfx,()2
的解析式; yfx,()
,,,,,,,,,,,,
[解题思路]: A、B、C三点共线， OAOBOC,，,,,(1)
,,,,,,,,,,,,32解析: OAxOBxyOC,，,,，,,(1)[ln(23)] 2
3322？，，，,,xxy1ln(23)1？,，，yxxln(23)A、B、C三点共线， ？22练习:
,b,,(,,),b,(0,,1)3( 已知向量，，则向量与的夹角aa,(2cos,,2sin,)2
为( )
,,,3,,,,，,A( B( C( D( ,222
,,
,ab,,2sin,,(,),,答案:A 解析:又所以选A ,,cossin,,,,,,22||||ab,
,,
,4(在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边;若向量 与m,(2,0)
,,的夹角为，求角B的大小 nBB,,(sin,1cos)3,,,
,mnB,2sin1,,,cos,,,解:由题意得:，即2232||||mn,2sin(1cos)BB，,
3
sin1B ,222cos,B
122 ？,,？,,,2sin1cos2coscos10BBBB？,,,coscos1()BB或舍去2
20<><>
归纳小结:
理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力.
布置作业:导与练第67--68页:自主整合，自我检测1---4， 例1，例3 板书设计:
课题
一、知识点回顾: 二、例题分析 1.利用向量处理几何问题的步骤为:
2.平面向量在物理中的应用
,,,,,,
3.重要不等式: ,,,||||||||ababab
第二课时
考点三: 平面向量在物理中的应用
题型1: 用向量解决物理问题
[例4] 设炮弹被以初速v和仰角抛出(空气阻力忽略不计).当初速度v的大,00小一定时，发射角多大时，炮弹飞行的距离最远. ,
解析:将v分解为水平方向和竖直方向两个分速度v和v，则| v|=| v|cos, ,01210
| v|=| v|sin , 由物理学知识可知， ,20
炮弹在水平方向飞行的距离S =| v|?t=| v|cos?t(t是飞行时间) ? ,10
12炮弹在垂直方向的位移是0=| v|?t-gt(g是重力加速度) ? 22
22vvv2||sin,cos,sin2,2||sin,000S由?得t=,?代入?得= ,ggg
由于| v|一定，所以当,=45?时，S有最大值. 0
,故发射角=45?时，炮弹飞行的距离最远.
a[例5] 某人骑车以每小时公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当
a速度为2时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向. P
a解析: 设表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
v v,2a a无风时此人感到风速为,，设实际风速为v，
OAOBaaa那么此时人感到的风速为v , ，设= ,，= ,2 O B A
4
+= ?= v , ， ?POOAaPAPA
这就是感到由正北方向吹来的风速，
?+= ?= v ,2，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由POOBaPBPB
东北方向吹来的风速就是，由题意:，PBO = 45:, PA,BO, BA = AO PB
从而，?POB为等腰直角三角形，?PO = PB = 即:|v | = 22aa
?实际风速是的西北风 2a
练习: 5(点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，,3)(即点P的运动v
方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(,10，v
10)，则5秒后点P的坐标为( )
A((,2，4) B (10，,5) C (,30，25) D (5，,10) 答案:B 解析:5秒后点P的坐标为(,10，10)+5(4，,3)= (10,- 5) 6(在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处, 答案:船航行的方向是与河岸垂直方向 D C 成30:夹角，即指向河的上游.
下游 上游
: 30
A B 基础巩固训练
1. 如果一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 ( A )
A( s>|a| B( s<|a| c(="" s="|a|" d(="" s与|a|不能比大小="">
,,,,,,,,,,,,,,,,o，AOBOA,1OB,3OAOB,,0，,AOC302. 已知，，，点C在内，且，
,,,,,,,,,,,,mOCmOAnOB,，设 ，则等于 ( ) (,)mnR,n
133 A( B(3 C( D( 33
,,,,,,,,,,,,,,,,
OA,1OB,3OAOB,,0答案B? ，，
11ACAB,,??ABC为直角三角形，其中 42
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1131OCOAACOAABOAOBOAOAOB,，,，,，,,，()? 4444
31m,3mn,,,? 即 故本题的答案为B( n44
5
3.在?ABC中，已知向量
ABACABAC1AB与AC满足(，),BC,0且,,，则?ABC为( )2|AB||AC||AB||AC|
A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形C(等腰非等边三角形D(等边三角形
,,,,,,,,
ABAC,,,,,,,,答案: D [解析]非零向量与满足()?=0，即角A的平分线垂直于BC，，
||||ABAC
,,,,,,,,
ABAC1,,,,,,,,,cosA,? AB=AC，又= ，?A=，所以?ABC为等边三角形 ,23||||ABAC
4. 在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为 OA,(OB，OC)
.
AO,xOM,2,x,2答案: 如图，设，则， A所以 ,OA,2OM,,2,OA,OMOA,(OB，OC)O
CB22M ， ,2x(2,x),2x,4x,2(x,1),2
,,,,,,,,,,,,,
x,1故当时，取最小值-2. OMmOAnOB,，
归纳小结:
在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛.
布置作业: 导与练作业手册:223页1---8，10
板书设计:
课题
一、知识点回顾: 二、例题分析 1.向量的性质及运算律;
2.平面几何性质在解题中应用;
新疆王新敞奎屯3.向量求解的坐标化思路
教学反思:
6
平面向量的应用
第三节 平面向量的应用
【知识点】：
一、线段的定比分点
1、设P 分P 1P 2的比为λ，则λ=
2
λ叫做P 分P 1P 2的比，P 为P 1P 2的定比分点；
2、当λ>0时，P 在P 1P 2的线段上；此时P 为P 1P 2的内分点；
当-1<><0时，p 在p="" 2p="" 1的延长线上；此时p="" 为p="" 1p="" 2的左外分点；=""><-1时，p 在p="" 1p="" 2的延长线上；此时p="" 为p="" 1p="" 2的右外分点；="">
x 1+λx 2?
x =?1+λ 设P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), P (x , y ) , 因为P 1=λPP 2，所以：?y +λy 2?y =1
1+λ?
注意：根据这个公式可以在P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), P (x , y ) 三个量中，知道两个求第三个； 三、中点坐标公式和三角形重心坐标公式：
1、中点坐标公式：
x 1+x 2?x =?2 ； 若P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), P (x , y ) ，且P 为P 1P 2的中点：则?
y +y 2?y =1
2?
2、三角形重心坐标公式：
若?ABC 的三个顶点坐标为：A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) ，P (x , y )为?ABC 的重心：则
x 1+x 2+x 3?
x =?3； ?y 1+y 2+y 3?y =
3?
注意：重心分?ABC 的中线为2：1的性质；
四、平移和平移公式： 1、平移的概念；
2、点的平移公式：设P (x , y ) 是旧点，它按=(h , k )平移后的新点是P ' (x ' , y ' ) ，则它们的坐标有如下关
系： ?
?x ' =x +h
；
?y ' =y +k
注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题； 五、图形的平移：
1、知道新旧两个图象的表达式，可以通过新旧图象上的两个对应点的平移求解平移向量； 2、知道新旧两个图象的表达式，可以运用待定系数法求解平移向量；
总 校 0757-22223508 22201877 北区分校 0757-28099568 22132782 容桂分校 0757-23279177 大良一分校 0757-22811999 22319088 龙江分校 0757-23386968 22132989 桂城分校 0757-86338928 北 滘 分校 0757-22395188 63312568 乐从分校 0757-28866441 63312561 石岐分校 0760-88852255 小 榄 分校 0760-22259911 18933309536
【相关例题】：
1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题
【例1】 已知向量OP 1, OP 2, OP 3满足条件OP
1+OP 2+OP 3=0===1，求证：
?P 1P 2P 3是正三角形
解：令O 为坐标原点，可设P θ1, sin θ1), P 2(cos θ2, sin θ2), P θ3, sin θ3) 1(cos 3(cos 由OP 1+OP 2=-OP 3，即(cos θ1, sin θ1)+(cos θ2, sin θ2)=(-cos θ3-sin θ3)
?cos θ1+cos θ2=-cos θ3①
?
?sin θ1+sin θ2=-sin θ3②
两式平方和为1+2cos (θ1-θ2)+1=1，cos (θ1-θ2)=-
1， 2
120， 由此可知θ1-θ2的最小正角为120，即OP 1与OP 2的夹角为OP 3的夹角为120， 同理可得OP 1与OP 3的夹角为120，OP 2与
这说明P 1, P 2, P 3三点均匀分部在一个单位圆上， 所以?P 1P 2P 3为等腰三角形.
【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设A (2a , 0), B (0, 2a )，则D (a , 0), C (0, a )， 从而可求：=
(-2a , a ), =(a , -2a ),
cos θ=
(-2a , a )?(a , -2a )-4a 2
==
a ?a
5a 2
=-
4
. 5
?4?
∴θ=arccos -?.
?5?
2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题
1?BC ?
【例3】 已知?ABC ，AD 为中线，求证AD =AB 2+AC 2- ?
2?2?
2
()
2
证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系， 设A (a , b ), C (c , 0)，D
, 0?，
2
?c ?
?2?
c 2?c ?2
-ac +a 2+b 2， = -a ?+(0-b )=4?2?
2
?1+?-. 2? ?
??
2
1?2c 2?c 222222
=?a +b +(c -a )+b -?=a +b -ac +，
2?4?4
1?=+?-，
2? ?
??1?BC ?
AD =AB 2+AC 2- ?.
22??
2
2
()
2
3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量
∠AOB =150，∠BOC =90，【例4】 已知点O 是?ABC 内的一点，
00
设
=, =, =, =2=1=3, 试用a , 和b 表示c .
解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，∠AOx =120，所以A 2cos 1200, 2sin 1200, 即A -1,3， 易求B (0，-1)，C (3,0)，设
()
()
=λ1
+λ2, 即-1=λ1(0，-1)+λ2(3,0)，?λ1=-3-1=3λ?2??
，??1.
??=-λ1?λ2=-3?
()
1a =-c .
3
【例5】 如图，
==1, 与的夹角为1200，与300=5，
用表示.
解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A (1, 0)，
?35?
?， 由∠COA =300，所以C 5cos300, 5sin 300, 即C 22???
()
?13?
? 同理可求B -2, 2?
??
?535??13?
?=λ1(1， , ? )OC =λ1OA +λ2OB , 即 0+λ2 - 22??
???22?
3
??5101
=λ1-λ2?λ1=??2?32，. ??
35?5?=λλ=22??23?2?∴=
1035+. 33
4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题
【例6】 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD . (2)当
CD
的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. CC 1
(1)证明：设=a , =b , CC 1=c , 依题意，|a |=|b |，、、 CC 1中两两所成夹角为θ，于是
=-=a －b ，CC 1?=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cosθ－|c |·|b |cosθ=0,∴C 1C ⊥BD .
(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由1?C 1=(+AA 1) ?(-CC 1)
=(a +b +c ) ·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cosθ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴
CD
=1时，A 1C ⊥平面C 1BD . CC 1
【例7】 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，
∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. (1)求的长；
(2)求cos 解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0) ，N (1，0，1) ∴||=(1-0) 2+(0-1) 2+(1-0) 2=3. (2)解：依题意得：A 1(1，0，2) ，C (0，0，0) ，B 1(0，1，2). ∴BA 1=(1, -1, 2), CB 1=(0，1，2) BA 1?CB 1=1×0+(－1) ×1+2× 2=3 4 |BA 1|=(1-0) 2+(0-1) 2+(2-0) 2= |CB 1|=(0-0) 2+(1-0) 2+(2-0) 2= ∴cos 11= 36?5 =30. 10 (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2) ，M (, , 2) 1122 11 C 1=(, , 0), A 1=(-1, 1, -2) 22 11 ∴A 1?C 1=(-1) ?+1?+(-2) ?0=0, ∴A 1⊥C 1, 22 ∴A 1B ⊥C 1M . 5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 【例8】 求平面内两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 间的距离公式 解：设点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，∴=(x 2-x 1, y 2-y 1) ∴||=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2 , 而|AB |=|AB | ∴点A 与点B 之间的距离为：|AB |=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2 6. 利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 【例9】 证明: cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β 证明：在单位圆O 上任取两点A , B ，以Ox 为始边，以OA , OB 为终边的角分别为β, α，则A 点坐标为(cosβ, sin β), B 点坐标为 (cosα, sin α) ； 则向量OA =(cosβ, sin β), OB =(cosα, sin α) ，它们的夹角为α-β， ||=||=1, ?=cos αcos β+sin αsin β, 由向量夹角公式得： cos(α-β) = =cos αcos β+sin αsin β, 从而得证. 注：用同样的方法可证明cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β 7. 利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题. 【例10】 证明柯西不等式(x 1+y 1) ?(x 2+y 2) ≥(x 1x 2+y 1y 2) 2 5 2 2 2 2 证明：令a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) （1） 当a =0或b =0时，a ?b =x 1x 2+y 1y 2=0，结论显然成立； （2） 当a ≠0且b ≠0时，令θ为a , b 的夹角，则θ∈[0, π] a ?b =x 1x 2+y 1y 2=|a ||b |cos θ. 又 |cos θ|≤1 ∴|a ?b |≤|a ||b |（当且仅当a //b 时等号成立） |x 1x 2+y 1y 2|≤ ∴ 2 2 x 1+y 1?x 2+y 2 2 2 2222 ∴(x 1+y 1) ?(x 2+y 2) ≥(x 1x 2+y 1y 2) 2. （当且仅当 2 2 x 1x 2 时等号成立） = y 1y 2 【例11】 求y =sin x +2sin x cos x +3cos x 的最值 解：原函数可变为y =2+sin 2x +cos 2x ， 所以只须求y '=sin 2x +cos 2x 的最值即可， 构造={sin 2x , cos 2x }, ={1, 1}， 那么sin 2x +cos 2x =≤=故y max =2+2, y min =2-2. 【例12】 三角形ABC 中，A (5，－1) 、B (－1，7) 、C (1，2) ，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cosABC 的值. 解：(1)点M 的坐标为x M = 2. -1+17+299 =0; y M ==, ∴M (0, ) 2222 . 2 9 ∴||=(5-0) 2+(-1-2= 2 (2) ||=(5+1) 2+(-1-7) 2=10, ||=(5-1) 2+(-1-2) 2=5 D 点分的比为2. ∴x D = -1+2?117+2?211 =, y D == 1+231+23 11114 ||=(5-) 2+(-1-) 2=2. 333 (3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）. 6 【平面向量的综合应用练习】 一、选择题 1、已知p 1(4, -3) 、p 2(-2, 6) ，若p 在线段p 1p 2上，且p 1p =2pp 2，则点p 的坐标为 [ ] A.(0,3) B.(3,0) C.(-3,0) D.(0,-3) 2、点p 分有向线段p 1p 2的比是3：1，则点p 1分有向线段p 2的比为： [ ] A. - 3214 B. - C. - D. - 4323 3、设点A(a,b),B(c,d)，若平移得A ’(2a,2b)，那么B 点之新坐标为 [ ] A. (2c,2d) B. (a+c,b+d) C. (a+2c,b+2d) D. (2a+c,2b+d) 4、若P 按=(-1, 2) 平移后得到点P ' (2, -1) ，则点P 的坐标为 [ ] A. （0，0） B. （1，1） C. （3，-3） D. （-3，3） 5、设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0) ，(0，2) ，(4，3) ，(3，1) ，则四边形ABCD 为( ) A. 正方形 C. 菱形 B. 矩形 D. 平行四边形 6、已知△ABC 中， =a ，=b ，a ·b <0，s △abc=""> A.30° 二、填空题 B. －150° 15 ,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( ) 4 D.30°或150° C.150° 1、p 1分p 2p 3的比为λ1，p 2分p 3p 1的比为λ2，则p 3分p 1p 2的比为 2、将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1) ，则向量a =_________. 3、等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm, AC =17 cm, 则CD =_________. 三、解答题 1、若一次函数y =-2x +10的图象与过A (-1, 2), B (2, 4) 的直线交于点P ，求P 分AB 所成的比。 2、 已知两点P , -6) ，P 2(3, 0) ，求点P (-1(-1 7 7 λ及y 的值。 , y ) 分有向线段P 1P 2的比为 3 3、已知函数y =x 2+2x +6按向量平移后得到函数y =x 2，那么求函数y =x 3按向量 平移后得到的函数的解析式。 4、如图，在△ABC 中，设=a ， =b ， =c , =λa ,(0<><1), =μb=""><><1),试用向量a ，b="" 表示c=""> 参考答案 一、1.A 2.D 3.B 4.C 5. 解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又||=， =(5，3），||=34，∴||≠|},∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1）， ∴1·4+2·1=6≠0, ∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D 6. 解析：∵ 1511 =·3·5sin α得sin α=, 则α=30°或α=150°. 242 又∵a ·b ＜0, ∴α=150°. 答案：C 二、1. 1 λ1λ2 2.(2,0) 3.13 cm 三、4解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m ) a +m μb ① 又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n ) b 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n ) b . ② ?1-m =λa ?λn +m -1=0 ∵a 与b 不共线，∴? 即? μm =1-n n +μm -1=0?? 解方程组③得：m = ③ 1-λ1-μ1, n =代入①式得c =(1－m ) a +m μb =λ(1－μ) a +μ(1－λ) b ］. 1-λμ1-λμ1-πμ 8
