利用C语言求二阶实数矩阵的特征值

由于二阶矩阵的行列式可以直接求出，而三阶及其以上的矩阵的特征值的求解十分复杂，涉及

到其他复杂的算法，这里不作讨论。本文在于利用C语言求解二阶实数型矩阵的特征值。算法简单

易懂。

源代码如下:

#include

#include

#include void main()

{

double a,b,c,d;//分别代表矩阵的四个元素

double x1,x2;//矩阵特征值

double disc;

double array[2][2];

inti,j;

double p,q;

printf("输入二阶方阵的四个元素:\n");

for(i=0;i<2;i++)>

{

for(j=0;j<2;j++)>

{

scanf("%lf",&array[i][j]);

}

}

printf("输入的矩阵为:\n");

for(i=0;i<2;i++)>

{

1

C语言的简单应用

for(j=0;j<2;j++)>

{

printf("%-5g",array[i][j]);

if(j==1)

{

printf("\n");

}

}

}

a=array[0][0];

b=array[0][1];

c=array[1][0];

d=array[1][1];

disc=(a+d)*(a+d)-4*(a*d-b*c);

p=(a+d)/2.0;

if(disc>0)

{

q=sqrt(disc)/2.0;

x1=p+q;

x2=p-q;

printf("矩阵特征值为:\n");

printf("%g\n%g\n",x1,x2);

}

if(disc==0.0)

{

x1=x2=p;

printf("矩阵特征值为:\n");

printf("%g\n%g\n",x1,x2);

}

2

C语言的简单应用

if(disc<0)>

{

q=sqrt(-disc)/2.0;

printf("矩阵特征值为:\n");

printf("%g+%gi\n%g-%gi\n",p,q,p,q);

}

system("pause");

}

运行结果如下:

本程序的不足之处在于不能计算复数矩阵，原因是复数的计算需要定义一个新的数据结构，学

过数据结构的朋友们想必都知道。由于本人不是计算机专业科班出生，但是对编程有比较大的兴趣，

希望以后从事工程计算的工作。

3

求实数二阶矩阵特征值的C语言算法

利用C语言求二阶实数矩阵的特征值

由于二阶矩阵的行列式可以直接求出，而三阶及其以上的矩阵的特征值的求解十分复杂，涉及到其他复杂的算法，这里不作讨论。本文在于利用C语言求解二阶实数型矩阵的特征值。算法简单易懂。

源代码如下：

#include

#include

#include

void main()

{

double a,b,c,d;//分别代表矩阵的四个元素 double x1,x2;//矩阵特征值 double disc; double array[2][2]; inti,j; double p,q; printf("输入二阶方阵的四个元素：\n"); for(i=0;i<2;i++) {="" }="" printf("输入的矩阵为：\n");="" for(i=""><2;i++)>

1

for(j=0;j<2;j++) {="" }="">

for(j=0;j<>

{

printf("%-5g",array[i][j]);

if(j==1)

{

printf("\n");

}

}

}

a=array[0][0];

b=array[0][1];

c=array[1][0];

d=array[1][1];

disc=(a+d)*(a+d)-4*(a*d-b*c);

p=(a+d)/2.0;

if(disc>0)

{

q=sqrt(disc)/2.0;

x1=p+q;

x2=p-q;

printf("矩阵特征值为：\n");

printf("%g\n%g\n",x1,x2);

}

if(disc==0.0)

{

x1=x2=p;

printf("矩阵特征值为：\n");

printf("%g\n%g\n",x1,x2);

}

2

} if(disc<0) {="" }="" system("pause");="" q="sqrt(-disc)/2.0;" printf("矩阵特征值为：\n");="">

运行结果如下：

本程序的不足之处在于不能计算复数矩阵，原因是复数的计算需要定义一个新的数据结构，学过数据结构的朋友们想必都知道。由于本人不是计算机专业科班出生，但是对编程有比较大的兴趣，希望以后从事工程计算的工作。

3

矩阵的特征值计算

编号

本科生毕业论文

矩阵特征值的计算

Matrix eigenvalue calculation

学 生 姓 名 黄碧涛

专 业 信息与计算科学

学 号 080111226

指 导 教 师 尹伟石

学 院 理学院

摘要:

在当今社会，随着现代科学技术的发展，矩阵计算和大型稀疏矩阵在计算数学、数学物理、经济学、生物学等领域有着广泛的应用。因此引起了许多数学学者、工程技术人员和科技人员的青睐。而矩阵计算的理论和方法对于方程组的

矩阵的特征求解是矩阵理论的一个重要方向，成为计算数学的一个重要分支。 值问题是矩阵计算的一个重要方向，在许多学科中具有广泛的应用，因此矩阵特征值的界的估计及求解的理论研究等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题，国际上研究工作十分活跃。许多科学和工程中的一些问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题。

例如,结构工程的有限元分析、电力系统的分析、流体力学及图像数据压缩等应用中常遇到求大型稀疏矩阵的特征值问题. 因而矩阵特征值计算间题成为数值代数领域长期关注的问题, 最近M.Gu与S.C.Eisenstat提出的2-对角矩阵分割方法把SVD问题最终归结为单边对角矩阵的SVD问题, 然后利用Jessup与Sorensen的研究结果给出奇异值及奇异向量的算法求特征值的数值软件通常针对不同的稀疏矩阵采用不同的算法以提高运算速度。所以本文主要介绍几种求解某种特定矩阵的计算方法。文章开始引出特征值和特征向量的概念，从这个概念出发我们可以得到一种最基本的求解方法—利用特征函数。但是，这个方法有很

几种比较简洁基础的方法多缺陷，且在计算机上不易实现。所以，在此我们运用

来求解并且比较各种方法在实践中的利弊。

首先要运用以下文中提到的方法分别计算10乘10的矩阵和50乘50的矩阵，解出结果后分析算法并比较其在计算机上的实现能力与步骤的简易程度，从而比较选择出更快捷更简单的方法。之后建立一个更复杂的大型稀疏矩阵，综合运用这些方法，依此类推，再做一次比较。

关键字:特征值;基本幂法;大型稀疏矩阵

Abstract:

In today's society, with the development of modern science and technology, the matrix computing and large-scale sparse matrix computing mathematics, mathematical physics, economics, biology and other fields. Therefore caused many scholars of mathematics, engineering and technical personnel and scientific and technical personnel of all ages. Matrix calculation of the theories and methods for the solution of the equations is an important direction of the matrix theory has become an important branch of computational mathematics. Matrix eigenvalue problem is an important direction matrix calculation, with a wide range of applications in many disciplines, so the matrix eigenvalue sector estimates and solving theoretical research is a major issue for today's computational mathematics and scientific and engineering computing research field international research is very active. In many scientific and engineering problems, often can be attributed to the eigenvalues and eigenvectors of seeking a phalanx.

For example, structural engineering, finite element analysis, power system analysis, fluid mechanics and image data compression applications such as often encountered in seeking a large sparse matrix eigenvalue problem and thus the matrix eigenvalue computing problems become long-term concern of the field of numerical algebra. segmentation method the the recent M.Gu and SCEisenstat 2 - diagonal matrix of the SVD boils down to the diagonal matrix SVD for unilateral problems, then use the algorithm for the characteristics of Jessup and Sorensen's research results show the singular values and singular vectors value of numerical software is usually different for different sparse matrix algorithm to improve the operation speed. This paper describes the several calculation methods to solve a particular matrix. The article start leads to the concept of eigenvalues and eigenvectors, starting from this concept we can get a basic solution method - using the characteristic function. However, this method has many defects, and not easy to achieve on the computer. Therefore, we use a few of the more simple-based method to solve and compare the pros and cons of various methods in practice.

First to use the method mentioned in the following text to calculate 10 x 10 matrix and 50 by 50 matrix, the solution results, the analysis algorithm and compare its simple ability to achieve and the steps on the computer more efficient and to compare selected an easier way. After the establishment of a more complex large-scale sparse matrix, the combination of these methods,

and so on, do it again compare.

eigenvalue; basic power method; large sparse matrixKeywords:

第一章 问题的引入与背景

背景:

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目 的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的 概念，然而在历史上次序正好相反。

先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵 的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根(特征值)以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生 于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数 学论文。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822,1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后 来，克莱伯施(A.Clebsch，1831,1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在 矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和 初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和 庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用

从上面的叙述中我们可以看到，对于矩阵求解特征值的的方法，虽然很多，理论也比较丰富，但是对于每一个方法而言，它的应用是有其很大的局限性的，即使有些方法适用的范围比较广，但是运行效率或实现途径也会遇到很多问题。本文

详细的介绍了比较基本的矩阵特征值计算方法，是为了在现实生活中让人们能够更好地，更快捷的运用。在实际求解一般特征值过程中，或多或少都会存在一些不易计算的量，所以一个好的算法，缜密精细的算法会避免很多不必要的麻烦。但是即便如此，关于这方面的定理，还有待于进一步的研究。

问题的引入:

我们知道对于在实际的数学应用中矩阵占有重要位置。而线性变换又是矩阵的一种重要运算方式。我们为了利用矩阵来研究线性变换，对于每一个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。因此，我们必须研究在这个过程中占重要位置的特征值计算方法。

定义:设A是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数λ，存在一个非零向量ξ，使得

Aξ=λξ (1)

那么λ称为A的一个特征值，而ξ称为A的属于特征值λ的一个特征向量。从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变(λ)0)或者方向反向(λ<>

。 成0

第二章 矩阵求解与比较

1、问题的求解

1,1利用特征方程求解:

下来我们来寻找求解特征值的方法。设V是数域P上n维线性空间，，,1,，??，,是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵为A。设是特征,0n2

,x值，它的一个特征向量,在,，,，??，,下的坐标是??。 x,x,n0n120102

xx,,,,0101,,,,xx,,,,0202则A,的坐标是: ，A的坐标是: ,0,A0,,,,......,,,,,,,,xx0n0n,,,,

x,,01,,x,,02那么(1)式相当于坐标之间的等式EA (,),0,0,,...,,,,x0n,,

,x,这说明特征向量的坐标(x,x,??)满足齐次方程组0n0102

,axaxax(,),,...,,0,01111221nn,,axaxax,，(,),...,,0,21102222nn (2) ,..............,

,axax,ax,,,...，(,),0n11n220nnn,

由于?0，所以它的坐标??不全为0，即齐次方程组有非0解。,x,x,x,0n0102

)有非零解的充要条件是它的系数行列式为0，即 我们知道齐次线性方程组(2

,aaa(,),....,011121n

,axaa,(,)....,2110222n, EA|,|,,00.................

aa,a,,....(,)n1n20nn

此方程称为矩阵A的特征方程，其一般形式可以表示为:

1nn,。 ,，C,，....，C,，C,0110n,

1.2算法分析:

一般，使用特征方程来求矩阵特征值并不是一个好办法，对于高阶的满矩阵

4来说，求出特征方程系数的乘法次数大约与成正比，并且这个方法并不适合n

在计算机上进行使用。但是我们在高等代数中学过一些特征值的重要代数性质，他们对于简化一些求解的运算具有重要作用，是很有用的工具。

2. JACOBI对角化法:

2,1方法的引入:

为了在计算机上实现，和计算的简便，我们必须对矩阵作一些处理。这也就是我们要说的解决特征值问题的变换法。现在的变换法的类型和理论已经有很多种。我们这里只介绍求对角矩阵特征值的JACOBI对角化法。

变换法就是把一个矩阵变换为另一个具有相同特征值的矩阵。通常要进行很多个这样的变换，直到特征值可以观察出来，或是变到利用其他方法可以较容易的求解出来的形式。保持矩阵特征值不变的最一般的变换是对矩阵进行相似变换(关于相似变换的定义和理论参看文献[6]:

,1A= (3) NAN

其中N可以是任何一个与A的阶数相同的非奇异矩阵。对于对称矩阵A，N只需

,1TT是正交变换矩阵。若N是正交的，则由= ，方程(3)变为: NNA,NAN(4)

AA是对称的，所以也是对称的。因而用正交矩阵作相似变换，矩阵的对称性保持不变。若对称矩阵A的特征值表为对角矩阵形式，,,,,...,，相应，，12n

,的右特征值向量标为矩阵Q,qq...q，使得AQ=Q，则 ，，12n

TTT (5) A(NQ),NAQ,(NQ),

T由特征值的意义，得有和A相同的特征值，的特征向量矩阵是:。 AAQ,NQ

，则它的全部特征值就如果可将一个对称矩阵变换到它所有的非对角元素都为0

是对角元素。因此，变换法的目的是消去非对角元素使矩阵变得更接近于对角形。 2.2算法的具体实现过程:

Jacobi法的每一个变换消去对角矩阵中的一个非对角元素。为消去一对相等的非对角元素和，可用一个正交变换矩阵: aapqqp

p列q列1，，,,1,,,,,,p行cos,sin,,N (6) ,1,,,,q行,,sincos,,1,,,,1，，

,1A乘积= 只作用于A的p行和q行以及p列和q列。N可以看作是在第pNAN

个和第q个变量的平面内的一个旋转。N中的选择必须使元素，从aa(,a),0pqqp变换可得

22 (7) a,(,,，,)cos,sin,，,(cos,,sin,),0pqppqqpq

,2pq,2,因此有 (8) tg,,,ppqq

对(6)式进行进一步的处理，可得:

,,,ppqq2cos1/2 (9) ,，,2r

,,,ppqq2sin1/2 (10) ,,,2r

cos,sin,,,/r (11) pq

222其中r,(,,,)，4,。 (12) ppqqpq

因为不需要显式，所以用(8),(11)计算和比用方程(8)更好。,sin,cos,

,,,,可选和的符号都为正，于是的符号与相同。若，则应用,sin,cos,pqppqq方程(9)和(11)求解和值，反之，利用(10)和(11)式求解cos,sin,cos,

22和值。这样进行下去，不仅可以避免一次开方运算，而且当,比(,,,)sin,ppqqpq小很多时，对浮点运算不会有很大的精度损失。此变换把两个对角元素变为:

22,,,,,,,,a,cos，sin，2sincospp,ppqqpq (13) ,22a,,sin,，,cos,,2,sin,cos,qq,ppqqpq,

这两个元素也可用下面的公式进行计算:

,,,ar,，，()/2ppppqq,2 (14) ,,,,,ppqqpqar,(，,)/2,,,qqppqq,app,

而其他元素被此改为

,,,,,a,a,cos，sinippi,ipip (15) ,a,a,,,sin,，,cos,iqqi,iqiq,

通常的方法是完成一系列上述这种变换，每个变换消去在这一步矩阵中出现的模最大的非对角线元素。但是由于那些已经消去的元素并不总是保持为0，因

(k)此，这种方法具有迭代性质。若在第k-1次变换之后的矩阵用表示，则第kA次变换可写为:

kTk(，1)() (16) A,NANkk

(k，1)(k)A和A的特征向量矩阵有以下关系

(k，1)T(k) (17) Q,NQk

如果为将矩阵对角化需要s个变换，则

(s，1)TTT(1) (18) Q,N....NNQs21

(s，1)因为是对角矩阵的特征向量矩阵，故 Q

(s，1) (20) Q,I

(1)因此,原来矩阵A的特征向量是下面矩阵的各列

(1) Q,NN....N12s

2.3算法效率和不足:

22可以证明，每一个变换使对角元素的平方和增加,，同时使非对角元素的pq

,平方和减少同一个量。若在每一个变换中，选择为模最大的非对角元素，则pq

次变换必将整个矩阵的非对角元素的平方和至少减少一个因子[1-{2/n(n-1)}]。

1/2mn,,2,,因此，为把非对角元素的矩阵的Euclid范数(即，相关的理,A,ij,,E,,i,,j11,,论与性质参看文献[3])减少三个十进制位，若若需要不少于s次变换，则s满足

s/2,,2,s,,1,,10 (21) ,,nn(,1),,

可得近似式s<6.9n(n-1)>

因为每次变换的乘法次数近似为4n，所以为使非对角元素矩阵的Euclid范数减

3少三个十进制数位，最多需要次乘法。对于稀疏矩阵，开始时收敛的速度比28n

这快，但很快矩阵就变成满的。此外，对所有的矩阵来说，这个估计值都比较保守。因为随着迭代的进行，收敛的速度会加快，到n(n-1)/2次之后，收敛速度会变成二次的。

2,4算法在计算机上实现时的改进:

(k，1)用上面的方法做变换时，不必形成或存储每个变换矩阵。矩阵可存在A(k)的位置，另外只需少量的临时存储单元。有关在计算机上实现的主要问题是，A

在每一次变换之前为确定最大元素的位置所需要的时间。为了缩短搜索时间，简化计算步骤。我们可以在每次变换时不消去最大的非0元素，而是按照一定次序消去，例如按照次序(p,q)=(1,2),(1,3),?，(1，n),(2,3),(2,4),?等等。,pq

当所有的非对角元素被消去一次后，再重复该过程，一直到满足要求为止。 3.基本幂法:

3.1算法引入和实现过程:

对于大型矩阵我们很难得到全部特征值，其实在实际应用中，对于大型矩阵我们更关注一个矩阵的主特征值和主特征向量，也就是矩阵的模最大的特征值和特征向量。我们这里介绍一种最基本的向量迭代法—基本幂法。

设A的特征值排列为。可以证明若A是对称的，则任意一个,,,,...,,12n

(0)(0)向量可表示为该矩阵的诸特征向量的线性组合，即。uu,cq，cq，...，cq1122nn当A是非对称时，只要特征向量矩阵非奇异，这个表达式仍Q,qq...q，，12n

(1)是正确的。若将这个任意向量左乘A，则向量如下: u

nn(1)(0) u,Au,cAq,,cqiiiii,,,0,0ii

(k)若用A左乘k次，则得向量为: u

nk()(0)kk (22) u,Au,,cqiii,,0i

k()k假定,,,，则当k很大，且c非0时，可得 (23) u,,cq112111

(k)q因此趋向于主特征向量成比例。因为一个特征向量可以任意乘一比例因子，u1

q一般可以在每一次左乘以后将试验向量正规化，所以，为求的一个迭代算法可1

表示为下列两个方程:

(k)(k),,vAu,1 (24) ,(k，1)(k),uv,,,

(k),,,v其中。

第三章 数据数值试验处理

算法应用举例:

(k)下面是对一个3×3矩阵进行Jacobi变换所得的矩阵的序列。 A

(k) cos, sin,k 矩阵 p,r A

q 1 2,18 -0.7071 0.7071 3.5,65，，3 ,, ,68.5,9,,,,5,98.5，，

2 1,20.9285 -0.4069 0.9135 3.5,7.7782,0.7071，，2 ,, ,7.778217.50,,,,,0.70710,0.5，，

3 2,1.3985 -0.8316 0.5554 20.964300.2877，，3 ,, 017.5,0.6459,,,,0.2877,0.6459,0.5，，

4 1,21.9009 0.9999 0.0109 20.9643,0.15980.2392，，3 ,, ,0.15980.46720,,,,0.23920,0.9314，，

5 1,20.5022 -1.0000 0.0078 20.9643,0.15980，，2 ,, ,0.15980.4672,0.0017,,,,0,0.00170，，

6 2,1.3999 1.0000 0.0012 20.968100.0000，，3 ,, 00.46590.0017,,,,0.00000.0017,0.9340，，

7 20.96810.00000.0000，，,,0.00000.46590.0000 ,,,,0.00000.0000,0.9340，，

3.2举例应用说明:

528.2547.6156.4，，,,(0)矩阵为273.8312.898.0。初始试验向量为 ,,u,111,,,,78.298.039.1，，

528.2547.6156.411，，，，，，,,,,,,第一次迭代: 273.8312.898.01,1232.20.5555,,,,,,,,,,,,78.298.039.110.1747，，，，，，

528.2547.6156.41859.81，，，，，，，，,,,,,,,,第二次迭代: 273.8312.898.00.5555,464.7,859.80.5405,,,,,,,,,,,,,,,,78.298.039.10.1747139.50.1622，，，，，，，，

528.2547.6156.41849.51，，，，，，，，,,,,,,,,第三次迭代: 273.8312.898.00.5405,458.7,849.80.5400,,,,,,,,,,,,,,,,78.298.039.10.1622137.50.1619，，，，，，，，

528.2547.6156.41849.21，，，，，，，，,,,,,,,,第四次迭代: (25) 273.8312.898.00.5400,458.6,849.20.5400,,,,,,,,,,,,,,,,78.298.039.10.1619137.50.1619，，，，，，，，

因而，矩阵的主特征向量(准确到四位十进数字)是，，，主特征10.54000.1619值是正规化因子的最后值，即=849.2。 ,1

当采用最大元素范数时，的符号应取最大元素的符号。此时将收敛于,，即,,1使它是负值，而向量序列将收敛于q，且符号不变化。 1

当有近似的主特征向量可利用时，可将它做为初始的试验向量。否则，可任

(0)选一试验向量。但是重要的是要尽量避免选那样的，它的系数c是0或与其u1他系数相比很小。虽然任意指定试验向量的方法对大多数矩阵是满意的，但是某些矩阵不适合。

第四章 总结

从上面的叙述中我们可以看到，对于矩阵求解特征值的的方法，虽然很多，理论也比较丰富，但是对于每一个方法而言，它的应用是有其很大的局限性的，即使有些方法适用的范围比较广，但是运行效率或实现途径也会遇到很多问题。本文详细的介绍了比较基本的矩阵特征值计算方法，是为了在现实生活中让人们能够更好地，更快捷的运用。在实际求解一般特征值过程中，或多或少都会存在一些不易计算的量，所以一个好的算法，缜密精细的算法会避免很多不必要的麻烦。但是即便如此，关于这方面的定理，还有待于进一步的研究。

致谢

在本文完成之际，谨向所有曾给予过我帮助指导的老师，同学和朋友们致以深深的谢意～

特别感谢我的导师尹伟石老师对我的关心和帮助。在课题的选择、资料的查找、方案的论证乃至最后的论文修改等各方面都给了我极大的帮助和支持。同时，吕彦飞老师严谨认真的治学态度、勤勤恳恳的工作作风也给了我极大的教诲，使我受益匪浅，这些品质都是我以后学习生后的榜样。

本课题研究设计工作的顺利完成，还要深深的感谢汪璜同学，在他的帮助下，使我能够快速的投入到本课题的研究设计工作中去。论文的撰写过程中还得到了实验室中老师同学的热情帮助，感谢他们为本文的研究设计工作所付出的辛勤劳动。还要感谢同班的所有同学在生活上和其他各个方面给予的大力支持和帮助。在此也要向辛勤培育我成长的母校、导师和领导们致以由衷的感谢和崇高的敬意。最后，衷心感谢为评阅本论文而付出辛勤劳动的各位专家和学者～

参考文献

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矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义

数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么,,

矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理～ 特征值时针对方阵而言的。

两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念

? 引例 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中

aaLaxy ,,,,,,n1112111,,,,,,

aaLaxy ,,,,,,n2122222Axy,,,,,,,,,,,LLLLMM ,,,,,,

,,,,,,aaLaxynnnnnn ,,,,,,12

? 我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y

y,,x,? 恰巧是输入x的 倍，即 ;对某些输入，其输出与输

入就不存在这种按比例放大的关系。

211,,,,? 例如，对系统 ，若输入 ,,,,A,x,,,,,343,,,,

21151,,,,,,,,? 则 ,,,,,,,,y,Ax,,,5,5x,,,,,,,,343153,,,,,,,,

?

21292,,,,,,,,? 若输入 ，则 ,,,,,,,,x,y,Ax,,,,x,,,,,,,,534526,,,,,,,,

? 所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按

,比例放大，放大倍数 等于多少,这显然是控制论中感兴趣的

问题。

基于此给出特征值与特征向量的概念:

? 定义 设A是一个n阶方阵，若存在着一个数 和一个非

零n维向量x，使得

Ax,,x

,则称 是方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值

的特征向量，或简称为A的特征向量 ,

矩阵A与B的特征值

编号

潍坊学院

课题名称:

学生姓名:

学 号:

专 业:

班 级:

指导教师:

毕 业 论 文 矩阵AB与BA的特征值 与特征向量 于龙娟 04050330102 数学与应用数学 2004级3班 王忠梅 2008年 06 月

矩阵AB与BA的特征值与特征向量

摘要

矩阵理论是高等代数的重要组成部分,而特征值与特征向量又是矩阵理论中既具有基本理论意义又具有重要应用价值的知识.在教科书中只是简单地涉及到一些乘积矩阵的有关特征值问题,并没有具体、深入地研究.本文主要讨论了矩阵AB与BA的特征值问题.通过分别对对称矩阵、可逆矩阵、一般方阵及一些特殊方阵的乘积进行研究,系统全面地得出了有关命题及结论.并举例说明了它们在求解矩阵的特征值以及相关证明题中的应用.

关键词: 矩阵;特征值;特征向量.

The Characteristic Value and Characteristic Vector

of MatrixABandBA

Abstract

The theory of matrix is an important part of higher algebra, while the characteristic value and the characteristic vector are the knowledge which is not only basic theory in the meaning but also important in the value of application. In our textbooks, some problems about the characteristic value of product matrix are simply mentioned instead of discussing concretely and deeply. In this paper, the characteristic value of matrixesABandBAis mainly discussed. According to studying the product of symmetrical matrix, reversible matrix, common matrix and some special matrixes, some concerned propositions and conclusions are given systematically and comprehensively. And then, the application is given in computing characteristic value of matrix and proving problems.

Key words: Matrix; Characteristic value; Characteristic vector.

目 录

引言.................................................................... 1

1. 预备知识............................................................. 1

2. 矩阵AB与BA的特征值问题的相关命题及结论 ............................ 3

2.1 对称矩阵乘积的特征值问题 .......................................... 3

2.2 可逆矩阵乘积的特征值问题 .......................................... 3

2.3 一般方阵乘积的特征值问题 .......................................... 4

2.4 特殊方阵乘积的特征值问题 .......................................... 5

3. 应用举例............................................................ 11

3.1 在计算矩阵特征值中的应用 ......................................... 12

3.2 在证明题中的应用 ................................................. 14

结束语................................................................. 16

参考文献............................................................... 17

致谢................................................................... 18

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