寡妇村村长_
例1(试求:
2355(1)(x,)的展开式中x的系数; 2x
126(2)(2x,)的展开式中的常数项; x
93)(x1)的展开式中系数最大的项; (,
1003(3x，2)(4)在的展开式中，系数为有理数的项的个数(
2r35,rrrr15,5r解:(1)T, C(x)(,),(,2)Cx，r1552x
依题意155r,5，解得r,2 ,
r25C故(,2),40为所求x的系数 5
1,,rr12,3rr26r6 r rCCx(2)T,(2x),(,1)?2? (,)，r166x
依题意12,3r,0，解得r,4
242C(,1)故?2,60为所求的常数项( 6
r9,rrCx(,1)(3)T, ，r19
4545C,C,126?，而(,1),1，(,1),-1 99
5? T,126x是所求系数最大的项 5
rr50,r100,rrr100,r332C(3x)(2),C,3,2x(4)T,, ，r1100100
rr要使x的系数为有理数，指数50,与都必须是整数， 23
因此r应是6的倍数，即r,6k(k?Z)，
2又0?6k?100，解得0?k?16(k?Z) 3
?x的系数为有理数的项共有17项(
评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围(应当注意
的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分(
例2(试求:
10210(1)(x，2)(x,1)的展开式中x的系数;
23452(2)(x,1),(x,1)，(x,1),(x,1)，(x,1)的展开式中x的系数;
3,,1,,(3)的展开式中的常数项. x，,2,,x,,
101098解:(1)? (x，2),x，20x，180x，…
10210? (x，2)(x1)的展开式中x的系数是1，180,179 ,,
2345(2)? (x,1),(x,1)，(x,1),(x,1)，(x,1)
56xxxx(,1){1,[,(,1)]}(,1)，(,1) ,,xx1,[,(,1)]
3263,C?所求展开式中x的系数就是(x,1)的展开式中x的系数,-20 6
63,,,,11,,,,(3)? = x,x，,2,,,,xx,,,,
3C? 所求展开式中的常数项是-,,20 6
评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展
开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征(
n3例3((1)已知(1，x)的展开式中，x的系数是x的系数的7倍，求n的值;
7324(2)已知(ax，1)(a?0)的展开式中，x的系数是x的系数与x的系数的等差
中项，求a的值;
1gx8x(3)已知(2x，)的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x的值(
n(n,1)(n,2)31C,7C解:(1)依题意，即,7n nn6
2由于n?N，整理得n,3n,40,0，解得n,8
523443Ca，Ca,2Ca(2) 依题意 777
102由于a?0，整理得5a,10a，3,0，解得a,1? 5
44lgx4C(2x)(x)(3)依题意T,,1120， 58
，4(1lgx)整理得x,1，两边取对数，得
2lgx，lgx,0，解得lgx,0或lgx,,1
1?x,1或x, 10
n评述 (a，b)的展开式及其通项公式是a，b，n，r，T五个量的统一体，已知与未知，r1
相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数(
42343例4((1)若(2x，),a，ax，ax，ax，ax 01234
22则(a，a，a),(aa)的值等于 ; ，02413
121010C，4C，？，2C(2)1，2, ( 101010
42，3解(1)令x,1，得a，a，a，a，a,()， 01234
4(3,2)令x,-1，得a-a，a-a，a,， 01234
22由此可得(a，a，a),(a，a) 02413
,(a，a，a，a，a)( a,a，a,a，a) 0123401234
4(3，2)(3,2),[],1
10rr10(2)在(1，x),中， Cx,10,0r
12101010C，4C，？，2C,3,59049令x,2，得1，2 101010
n评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a，b),
nrn,rr为恒等式( Cab,n10r,
海涅定理及其运用
２００６年９月第２５卷第５期
保山师专学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ′Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｓｅｐ．，２００６
Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．５
海涅定理及其运用
李成林
郑继刚
６７８０００）
（保山师范高等专科学校数学系，云南保山
摘
要：揭示了海涅定理的内涵，分别给出了不同函数极限的海涅定理，归纳总结了它的应用并举出实例。
文献标识码：Ａ
文章编号：１００８－６５８７（２００６）０５－０５０－０３
关键词：海涅定理；极限；导数中图分类号：Ｏ１７
ＨｅｉｎｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＩｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＬｉＣｈｅｎｇ－ｌｉｎ；ＺｈｅｎｇＪｉ－ｇａｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒＣｏｌｌｅｇｅ，Ｂａｏｓｈａｎ，Ｙｕｎｎａｎ６７８０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｉｎｔｅｎｄｅｄｔｏｇｉｖｅａｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＨｅｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｌｉｍｉｔｓａｎｄｓｕｍｍａｒｉｚｅｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｈｒｏｕｇｈｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｅｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ；Ｌｉｍｉｔ；Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ
海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。根据海涅定理的必要条件还可以判断函数极限是否存在。所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。
定理
而不相等，则ｌｉｍｆ（ｘ）不存在。
ｘ→ｘ０
对于下列三种函数极限，分别有其如下的海涅
ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ! 对任意数列｛ｘｎ｝，且ｌｉｍｘｎ＝＋∞，
ｘ→∞
ｎ→∞
有ｌｉｍｆ（ｘｎ）＝Ａ
ｎ→∞
ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ! 对任意数列｛ｘｎ｝和任意! ＞０，存在
ｘ→ａ＋
１海涅定理的内涵
海涅定理是德国数学家海涅（Ｈｅｉｎｅ）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。
海涅定理
ｎ→∞
ｎ→∞
Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ０，存在
ｘ→ａ＋
ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ! 任意数列｛ｘｎ｝，ｘｎ≠ｘ０，
ｘ→ｘ０
，当Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ－! ０，(Ｎ２∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ２) ｆ（ｘｎ）－ｂ０，(Ｎ３∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ３) ｙｎ＞Ａ．
取Ｎ＝ｍａｘ｛Ｎ１，Ｎ２，Ｎ３｝，&ｎ＞Ｎ) ｘｎ＞Ａ与ｙｎ＞Ａ．由已知条件，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）Ｎ)
＋ε＝２εｆ（ｙｎ）－ｂ≤ｆ（ｙｎ）－ｆ（ｘｎ）＋ｆ（ｘｎ）－ｂ０，(Ａ＞０，&ｘ′＞Ａ与&ｘ″＞Ａ有
ｘ→＋∞
，则极限ｌｉｍｆ（ｘ）存在。ｆ（ｘ′）－ｆ（ｘ）
Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ函数）在原点可导，而在其它点处不可导。
ｆｘ）－（ｆ０）＝０＝ｆ＇证明：因为ｌｉｍ（（０），因此ｆ（ｘ）ｘ→０在原点可导。当ｘ０≠０时，设｛ｘｎ｝是大于且趋于ｘ０的
有理数，｛ｘ＇ｎ｝是大于且趋于ｘ０的无理数列。于是当
２
ｘ０为无理数时，ｌｉｍｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘ０）＝ｌｉｍｘｎ＝∞，但ｌｉｍ
ｎ→∞ｎ→∞ｎ０ｎ→∞ｎ０
０，(Ｎ１∈Ｎ，&ｎ＞Ｎ１) ｘｎ＞Ａ。由已知条件，&ｎ＞Ｎ１
与&ｍ＞Ｎ１) ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｍ）＜ε．
根据数列柯西收敛准则，数列｛ｆ（ｘｎ）｝收敛，设
ｌｉｍｆ（ｘｎ）＝ｂ
ｎ→∞
ｆ（ｘ＇ｎ）－ｆ（ｘ０）＝０，由海涅定理知ｆ（ｘ）在无理点ｘ不可
０
ｎ０
??５２保山师专学报第２５卷
导。当ｘ０为非零有理点时，ｌｉｍｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘ０）＝２ｘ０，但ｌｉｍ
ｎ→∞
ｎ０
且有上界ｆ（ｘ０）．用连续性公理，数列｛ｆ（ａｎ）｝收敛。
设ｌｉｍｆ（ａｎ）＝ｌ，有ｆ（ａｎ）≤ｌ≤ｆ（ｘ０）．
ｎ→∞
ｎ→∞
ｆ（ｘ＇ｎ）－ｆ（ｘ０）＝－∞，由海涅定理知ｆ（ｘ）在非零有理点ｘ
０
ｎ０
处也不可导。
其次再证明，在（ａ，ｘ０）内任意数列｛ｂｎ｝，且ｌｉｍ
ｎ→∞
ｎ→∞
ｎ→∞
２．６应用于某些函数极限问题的证明
在证明某些函数极限问题时，可利用海涅定理来证明．
例８
若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加，则对任意
－
＋
ｂｎ＝ｘ０，ｂｎ≠ｘ０，借助于已知ｌｉｍｆ（ａｎ）＝ｌ可证ｌｉｍｆ（ｂｎ）＝ｌ
根据海涅定理，ｌｉｍｆ（ｘ０）＝ｌ≤ｆ（ｘ０）或ｆ（ｘ０－０）≤ｆ（ｘ０）．
ｘ→ｘ０
－
参考文献：
ｘ０∈（ａ，ｂ），极限ｆ（ｘ０－０）＝ｌｉｍｆ（ｘ）与ｆ（ｘ０＋０）＝ｌｉｍｆ（ｘ）皆
ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０
存在，且
［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９６０．［３］汪林．数学分析中的问题和反例［Ｍ］．云南科技出版社，１９８８．［４］刘玉琏，杨奎元，吕凤，等．数学分析讲义学习指导书［Ｍ］．北京：高
等教育出版社．
ｆ（ｘ０－０）≤ｆ（ｘ０）≤ｆ（ｘ０＋０）．
证明：只须证明ｆ（ｘ０－０）≤ｆ（ｘ０）．同法可证ｆ（ｘ０）
≤ｆ（ｘ０＋０）．
首先证明，在（ａ，ｘ０）内任意单调增加数列｛ａｎ｝，且
ｎ→∞
［５］孙涛．数学分析经典习题解析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．［６］吴良森，毛羽辉，等．数学分析学习指导书［Ｍ］．北京：高等教育出
版社，２００４．
ｌｉｍａｎ＝ｘ０，ａｎ≠ｘ０相应函数值数列｛ｆ（ａｎ）｝也单调增加。
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海涅定理及其运用
海涅定理及其运用
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：李成林， 郑继刚， Li Cheng-lin， Zheng Ji-gang保山师范高等专科学校,数学系,云南,保山,678000保山师专学报JOURNAL OF BAOSHAN TEACHERS' COLLEGE2006，25(5)0次
参考文献(6条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 2001
2. 刘玉琏. 傅沛仁 数学分析讲义 1960
3. 汪林 数学分析中的问题和反例 1988
4. 刘玉琏. 杨奎元. 吕凤 数学分析讲义学习指导书
5. 孙涛 数学分析经典习题解析 2004
6. 吴良森. 毛羽辉 数学分析学习指导书 2004
相似文献(6条)
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本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_bsszxb200605016.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：dd3b6769-85f9-465b-b955-9dcb01479d9e
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海涅定理及其应用
海涅定理及其应用
高等数学研究Vo1.10,No.5
STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSSep.,2007 海涅定理及其应用'
吴少祥余庆红(西安电力高等专科学校西安710032)
摘要介绍了海涅定理的内涵,归纳总结了它的应用并举出实例
关键词海涅定理;极限;数列;函数列中圈分类号O171.1
海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁.根据海涅定理,求函数极限可以转化为求数
列极限,同样求数列极限也可以转化为求函数极限.因此,函数极限的所有性质都可用数列极限的
有关性质来加以证明根据海涅定理的必要条件还可以判断函数极限是否存在.所以在求数列或函
数极限时,海涅定理起着重要作用.
1.海涅定理
数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变
化的整体与部分,连续与离散之间的关系.数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续
地变化,只要它们的变化趋势相同,从极限的意义来说,效果都是一样的.因此,数列极限与函数极
限在一定的条件下能相互转化.能够建立这种联系的就是海涅定理. 海涅定理1设)在的某去心邻域(;)内有定义,则liraf()存在的充要条件是: 妒—?0
对任何包含于(;)且以为极限的数列{},极限lim厂()都存在且相等. 下面介绍其他几种等价类型的海涅定理.
定理2设厂()在II>M上有定义,,~1]lim)=A的充要条件是:对于任何以?为极限 的数列{}(1I>M),都有lim)=A.
定理3设厂()在的某一邻域V(x.;)内有定义,则函数厂()在点x.连续的充分必要条 件是:对任何含于(;)且以为极限的数列{},都有lim)=厂().
定理4设函数厂()在点的某空心右邻域(;)有定义,则lim厂()=A的充要条件 叫时
是:对任何以为极限的单调递减数列{}c(.;),都有lim)=A. 定理5设函数厂()在点的某空心左邻域(‰;)有定义,则lim厂()=A的充要条件. 一
是:对任何以为极限的单调递增数列{}c(.;),都有lim)=A. 海涅定理有许多种形式,不仅结构形式类似,证明方法也很类似,在此不一一列举了.
2.海涅定理的应用举例
2.1用海涅定理证明函数极限的定理
有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.此处
从略.
?收稿日期:2007—01—09
第1O卷第5期吴少祥,余庆红:海涅定理及其应用31
2.2利用函数性质及海涅定理求数列的极限
求数列极限时,有时,可先求对应的函数极限,再利用函数性质及海涅定理求出数列极限
例I求极限limln[arctan(订)].
解因为厂()=In(arctan)在=詈处连续,当na.时,订-?詈,由海涅定理,知 ln[arctan(订)]=ln[arctan(订)]=ln(arctan詈)=0
2.3证明函数极限不存在
海涅定理还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以.为极限的
数列{},使limf(x)不存在;或找到两个都以为极限的数列{}与数列{},使limf(x)与 limf(x',)都存在而不相等,.~lJlimf(x)不存在.
例2证明极限lim(1+sin)不存在.
解取数列=2n'tr+导订,(n=I,2,…),~lJlimx=lim(2n,a"+?订)=+oo,I~1limx(I +sin)=0.又取数列=2n'tr,(rt=1,2,…).~lJlimx.=lim2n,tr=+oo,且limx(1+sin) =+ao,由海涅定理知极限lim(1+sin)不存在.
2.4判断函数在某点的可导性
应用海涅定理,可求得函数差,商的极限,从而可判断函数在某点的可导性. 例3证明函数)=x2D(x)(其中D(x)为Dirichlet函数)在原点可导,而在其它点处不可导
证明~#Jlim..鼍:lim:limxD():0:,,(o),所以厂()在:0Ho一Ust---,0枷'''''…. 处可导且厂(0)=0.当.?0时,设数列{}是大于且趋于.的有理数列,数列{}是大于且 趋于.的无理数列.于是当.为无理数时,因为
lim二:lim生:lim:+..
-+?
n一0-.?^一X0卜?n—X0
而
lim:lim:0
?n一'H?.
n一0
故由海涅定理可知,厂()在无理点.处不可导.当为非零有理数时,因为 一
lim
.
=lim=
一
lira
.
():2xoX
0l'k--.t.~OX0'H蕾n一n—H?
而
ll?m一l"ira豆:一?l———?————一=—?——=一? 'H?—x0'H?n一
故由海涅定理可知,厂()在有理点处也不可导.所以)=x2D(x)只在原点可导,而在其它点
处不可导.
2.5根据函数的特性,应用海涅定理分析解决其它问题
32高等数学研究2007年9月
例4设)为周期函数,且lim)=0,证明)三0.
分析要抓住)为周期函数这一点.假设有一点,使得)?0,则就有无穷多个点 +nT,(n=1,2,…),使得有I+nT)I=I)I>0. 当n充分大时,+n也可以取得充分大.由条件lim)=0推出I+n)I<I)I,
从而矛盾.证明如下:
证法一用反证法.假设)s0不成立,则至少存在一点,使得)?0. 因为limf()=0,故对于8o:I)I>0,总存在M>0,当>M时,有 I)I<o=Io)I(1)
设为)的周期,取定一个正整数n,使得+nT>M,则由(1)式有 I-(0+nr)I<I-(o)I(2)
由于)是周期函数,所以Ix.+n)I=I)I,这与(2)式矛盾,所以)三0. 证法二设)的周期为T,为任一固定实数,取=+nT(n=1,2,…),于是由周期 函数的定义有)=+nT)=)(n=1,2,…),所以有
lima)=)(1)
由于lim)=0,又limx=+a.,所以根据海涅定理有
lira)=0(2)
于是由(1)和(2)并由极限的唯一性可得)=0.又因为是任一实数,所以对一切实数,有 );0.
例5命题:"若厂()在(一a.,+00)上连续,)在(一a.,+a.)上有界,则厂x)在
(一a.,+a.)上也有界"是否正确?
解因为)=sin在(一ao,+ao)上有界且其导数在(一ao,+ao)连续,但在= 点处有,厂()=2n叮r,从而limf()=a.,所以命题不正确.
类似地,)=COS也可以作为此题的反例.
若能充分观察到sinx所特有的有界性及在a.点邻域内的无限振荡性,及狄利克莱函数D()
在任一点的任一邻域内的无限振荡性,则很多举反例的问题就迎刃而解了. 例6判断命题"若)在点可导,则)在点的某个邻域内连续"的正确性. 解):(一)D():一),?Q
tO,?Q
容易看出)只在点处连续,在其他点处均不连续,由例3可知,)在点.处可导,且厂(.) =0,所以命题不正确.
参考文献
[1]华东师范大学数学系编.《数学分析》[M].北京:高等教育出版社,2001. [2]刘玉琏,傅沛仁编.《数学分析讲义》[M].北京:高等教育出版社.1960. [3]汪林编.《数学分析中的问题和反例》[M].云南科技出版社,1988.
怎么理解海涅定理？
怎么理解海涅定理？
海涅定理的表述是：
存在的充要条件是：对属于函数f(x)定义域的任意数列{an}，且
，an 不等于a ，则有
。
先看左边，意思就是说“所有”离a 很近的点，它们的像离b 很近。而右边对应的提出，“任意”一列趋近于a 的点列，它们的像是趋近于b 。
乍一看，左边推右边是显然的，因为既然“所有”离a 的点的像都离b 很近，那么自然，一列趋于a 的点列（说明这列点有无穷多个点离a 很近）它们的像肯定也离b 很近了。其实右边也有一个条件，与左边的“所有”这个条件一样强，那就是“任意”二字。所以两边是等价条件。
其实就如百度百科上说的，海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。这是句大白话，理解靠个人。在应用中，海涅定理常常会用来证明f(X)在a 点的极限不等于b ，方法就是找两列趋于a 的点列，让他们极限不相等即可。多应用，理解就会加深了。
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