我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。

例题与方法

例1 计算:(1)2458+503 (2)574+798

例2 计算:(1)956,597 (2)3475,308

例3 用简便方法计算:

(1)783+25+175 (2)2803+(2178+5497)+4722

例4 计算: 999+99+9

练习与思考

1、计算下面各题，并口述解题思路。

(1)256+503 (2)327+798 (3)379,297

(4)467,103 (5)2497+183 (6)3498,438

2、直接写出得数

(1)376+174+24 (2)864+(673+136)+227

(3)1324―875―125 (4)3842―1567―433―842

3、计算下列各题。

99999+9999+999+99+9

第二讲 加减法的巧算(二)

我们已经知道了有关简单加减法的巧算方法。对于稍复杂的加减法，如何进行巧算呢,这

一讲，我们就来讨论这个问题。

例题与方法

1、计算: 1654,(54+78)

2、计算: 2937,493,207

3、计算: 657897,657323+297

4、计算: 995+996+997+998+999

5、计算: 1000,91,1,92,2,93,3,94,4,95,5,96,6,97,7,98,8,99,9

练习与思考

1、下列各题。

538,194+162 497+334,297 7523+(653,1523)

9375,(2103+3375) 874―(457―126) 3467―253―174―47―126

2、计算下列各题。

657,(269+257)+169 77+79+79+80+81+83+84

901+902+905+898,907+908,895

1000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―84―16―83―17―82―18―81―19

加减法的巧算

加 减 法 的 巧 算

1、加法交换律:a +b =b +a

2、加法结合律:a +b +c =(a +b )+c =a +(b +c )

3、在连减或加、减混合运算中,如果算式中 没有括号 ,那么计算时可以 带着 运算符号“搬家” 。如 ,a -b -c =a -c -b, a-b +c =a +c -b

4、有小括号的,我们一起来研究:

5+(8-2)=? 5+8-2=? 所以:a +(b-c) =a +b -c

10-(5+2) =? 10-5+2 =?,为什么得数不一样?

怎样算才相等? 10-(5+2) = ,用字母表示这个规律。 10-(5-2)=? 10-5-2=?,为什么得数不一样?

怎样算才相等? 10-(5-2)= ,用字母表示这个规律。 我们来总结:

在加、减混合运算中,去括号时:如果 括号前面是“+” ,那么去掉括号 后,括号内的数的 运算符号不变 ;如果 括号前面是“-” ,那么去掉括号后, 括号内的数的运算符号“+” 变 为“-” , “-” 变 为“+” 。

a +(b -c )=a +b -c a-(b +c )=a -b -c a-(b -c )=a -b +c 在加、减混合运算中,添括号道理一样:

a +b -c =a +(b -c ) a-b +c =a -(b -c ) a-b -c =a -(b +c ) 例 875-364-236 1847-1928+628-136-64

1348-234-76+2234-48-24

例 512-382=(500+12)-(400-18)=500+12-400+18

6854-876-97= 6854-(1000-124) -(100-3) = 6854-1000+124-100+

3

练 习 :

1、 42+71+24+29+58 2、 43+(38+45)+(55+62+57) 3、 698+784+158 4、 3993+2996+7994+135

5、 4356+1287-356 6、 526-73-27-26

7、 4253-(253-158) 8、 1457-(185+457)

9、 389-497+234 10、 698-154+269+787

11、 699999+69999+6999+699+69+6

12、 200-(15-16)-(14-15)-(13-14)-(12-13)

乘 除 法 的 巧 算

乘法交换律:a ×b =b ×a

乘法结合律:a ×b ×c =(a×b) ×c =a ×(b×c)

乘法分配律:(a +b )×c =a ×c +b ×c (a-b) ×c =a ×c -b ×c 商不变性质:a ÷b =(a×n) ÷(b÷n) (n≠ 0)

=(a÷m) ÷(b÷m) (m≠ 0)

类似于乘法分配律:(a +b ) ÷c =a ÷c +b ÷c (a-b) ÷c =a ÷c -b ÷c 类似于乘法交换律:a ÷b ÷c =a ÷c ÷b

乘除法混合运算与加减混合运算道理相通:

(1)无括号:a ×b ÷c =a ÷c ×b =b ÷c ×a

(2)去括号:a ×(b×c) =a ×b ×c a×(b÷c) =a ×b ÷c

a÷(b×c) =a ÷b ÷c a÷(b÷c) =a ÷b ×c

(3)添括号:a ×b ×c =a ×(b×c) a×b ÷c =a ×(b÷c)

a÷b ÷c =a ÷(b×c) a÷b ×c =a ÷(b÷c)

两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。

(a ×b )÷(c×d) =(a÷c) ×(b÷d)

=(a÷d) ×(b÷c)

例 2004 ×25 (100-4) ×25 125 ×792 425 ÷25 (182 +325)÷13 (2046-1059-735)÷3 2275 ÷13 ÷5 136 ×5 ÷8 4032 ÷(8 ×9) 125 ×(16 ÷10)

2560 ÷(10 ÷4) 2460 ÷5 ÷2 527 ×15 ÷5

练习:

180×25 1375÷25 (1040-324-528)÷4 1125÷125 4505÷17÷5 384×12÷8 2352÷(7×8) 1200×(4÷12) 1250÷(10÷8) 2250÷75÷3 636×35÷7 (126×56)÷(7×18) 99×45 280×36+360×72 1999+999×999 287÷13-101÷13-82÷13

找 规 律

一年有春夏秋冬四季,年复一年,这就是周期性变化规律。又如,数列 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0,…是按照 0, 1, 2三个数重复出现的,这也是周 期性变化规律。

例 1 节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照 5盏红灯、再接 4盏蓝灯、再接 3盏黄灯,然后又是 5盏红灯、 4盏蓝灯、 3盏黄灯…这样排下去。问:

(1)第 100盏灯是什么颜色?

(2)前 150盏彩灯中有多少盏蓝灯?

例 2 有一串数,任何相邻的四个数之和都等于 25。已知第 1个数是 3,第 6个数是 6,第 11个数是 7。问:这串数中第 24个数是几?前 77个数的和是 多少?

例 3 下面这串数的规律是:从第 3个数起,每个数都是它前面两个数之和 的个位数。问:这串数中第 88个数是几?

628088640448…

例 4 在下面的一串数中,从第五数起,每个数都是它前面四个数之和的个位 数字。那么在这串数中,能否出现相邻的四个数是“ 2000”?

135761939237134…

例 5 A,B,C,D四个盒子中依次放有 8, 6, 3, 1个球。第 1个小朋友找到放 球最少的盒子,然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;第 2个小朋友也 找到放球最少的盒子,然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子…当 100位小朋友放完后, A,B,C,D 四个盒子中各放有几个球?

例 1 求 67999的个位数字。

例 2 求 291+3291的个位数字。

例 3 求 28128-2929的个位数字。

例 4 求下列各除法运算所得的余数。

7855÷5 555÷3

例 5 某种细菌每时分裂一次, 每次 1个细菌分裂成 3个细菌。 20时后, 将 这些细菌每 7个分为一组,还剩下几个细菌?

例 找规律填数。

(1) 4, 7, 10, 13, () ,… (5) 84, 72, 60, () , () ,…

(2) 2, 6, 18, () , () ,… (6) 625, 125, 25, () , () ,…

(3) 1, 4, 9, 16, () ,… (7) 2, 6, 12, 20, () , ()…

(4) 3, 7, 10, 17, 27, () (8) 11, 12, 14, 18, 26, () (9) 2, 5, 11, 23, 47, () , ()

(10) 12, 15, 17, 30, 22, 45, () , ()

(11) 2, 8, 5, 6, 8, 4, () ,( )

数 字 谜

1、将 2~7这六个数字分别填入下式的

中,使得等式成立。

2

、将 1

~

9

分别填入下式的九个 内,使算式取得最大值。

3、将 1~8分别填入下式的八个 内,使算式取得最小值。

4、

5、

6、

乘 法 原 理

例 1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋,他每次演出都 要戴一顶帽子、穿一双鞋。问:小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配?

先画草图,再想算式。

例 2 从甲地到乙地有 2条路,从乙地到丙地有 3条路,从丙地到丁地也 有 2条路。问:从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法?

画图、例举、想算式。

乘法原理:如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行,做第 1步有 m 1种 方法,做第 2步有 m 2种方法…做第 n 步有 m n 种方法,那么按照这样的步骤完 成这件任务共有 N =m 1×m 2×…×m n 中不同的方法。

例 3 用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个三位数?(各位上的数字 允许重复)

例 4 如下图, A,B,C,D,E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中 的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?

例 5 求 360共有多少个不同的约数(五年级学) 。

360=2×2×2×3×3×5

360=23×32×5

约数个数为 4×3×2=24(个 )

练习:

1、有五顶不同的帽子, 两件不同的上衣, 三条不同的裤子。从中取出一顶 帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问:有多少种不同的装束?

2、 “ IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这 3个字母写成三种不同颜色。 现在有五种不同颜色的笔, 按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的 “ IMO ” ?

3、在右图的方格纸中放两枚棋子,要求两枚棋子不

在同一行也不在同一列。问:共有多少种不同的放法?

4、 要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个 (不能同时评一 个班) ,共有多少种不同的评选结果?

5、 甲组有 6人, 乙组有 8人, 丙组有 9人。 从三个组中各选一人参加会议, 共有多少种不同选法?

6、 用四种颜色给右图的五块区域染色, 要求每块区域染一种颜色, 相邻的 区域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?

加 法 原 理

例 1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中 火车有 4班,汽车有 3班,轮船有 2班。问:一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地,共有多少种不同走法?

例 2 旗杆上最多可以挂两面信号旗,现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一 面,如果用挂信号旗表示信号,最多能表示出多少种不同的信号?

加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 m 1种不同 的方法, 在第二类方法中有 m 2种不同方法……在第 n 类方法中有 m n 中不同方 法,那么完成这件任务共有 N =m 1+m 2+…+m n 中不同的方法。

例 3 两次掷一枚 sai 子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?

例 4 用五种颜色给下图的五个区域染色, 每个区域染一种颜色, 相邻的区 域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?

例 5 用 1, 2, 3, 4 这四种数码组成五位数,数字可以重复,至少有连续 三位是 1的五位数有多少个?

练习:

1、南京去上海可以乘火车、 乘飞机、 乘汽车和乘轮船。如果每天有 20班火 车、 6班飞机、 8班汽车和 4班轮船,那么共有多少种不同的走法?

2、光明小学四、五、六年级共订 300份报纸,每个年级至少订 99份报纸。 问:共有多少种不同的订法?

3、将 10颗相同的珠子分成 3份,共有多少种不同的分法?

4、在所有的两位数种,两位数码之和是偶数的共有多少个?

5、用五种颜色给下图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域 染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?

6、用 1, 2, 3这三种数码组成四位数,在可能组成的四位数中,至少有连 续两位是 2的有多少个?

简 易 方 程

含有未知数的等式叫方程。 如:

χ+5=18 χ+χ+χ+χ=35 8-χ=5

5χ=30 χ÷4=6 3χ+6=12

6(χ-2)=24 (χ+4)÷2=3 χ+у=5

使方程左右两边相等的未知数的值,叫做 方程的解 。

例 χ+3=93χ=18

χ+3-3=9-3 3χ÷() =18÷()

χ=6 χ=()

练习:

χ+3.2=4.6 χ-1.8=4 χ-2=15 1.6χ=6.4 χ÷7=0.3 χ÷3=2.1

解下列方程。

χ+0.3=1.8 3+χ=5.4 χ-1.5=4 χ-6=7.6 5χ=1.5 0.2χ=6 χ÷1.1=3 χ÷5=15

稍复杂的方程。

例 2χ-20=4 练习:3χ+6=18 16+8χ=40 2χ-20+20=4+20

2χ=24

2χ÷2=24÷2 2χ-7.5=8.5 4χ-3×9=29 χ=12

接着做完:

例 2χ+2.8×2=10.4例 (2.8+χ)×2=10.4

(2.8+χ)×2÷2=10.4÷2

2.8+χ=5.2

练习:

8(χ-6.2)=41.6 5(χ+1.5)=17.5 (χ-3)÷2=7.5

例 χ+2.4χ=5.1练习:13.2χ+9χ=33.3 8χ-3χ=105 (1+2.4)χ=5.1

3.4χ=5.1

3.4χ÷3.4=5.1÷3.4

χ=1.5 5.4χ+χ=12.8 χ-0.36χ=16

解方程综合练习:

χ+4.8=7.2 χ÷8=0.4 3(χ+2.1)=10.5 χ-6.5=3.2 6χ+18=48 12χ-9χ=8.7 2.5χ=14 3.4χ-48=26.8 42χ+25χ=134 χ-7.9=2.6 2χ-97=34.2 13(χ+5)=169

年 龄 问 题

年龄问题的主要特点是:二人年龄的差保持不变,它不随岁月的流逝而改 变;二人的年龄随着岁月的变化,将增或减同一个自然数;两人年龄的倍数关 系随着年龄的增长而发生变化,年龄越大,倍数越小。

解答年龄问题的主要方法:①画线段图 ②方程解

1、儿子今年 10岁, 5年前母亲的年龄是他的 6倍,母亲今年多少岁?

2、今年爸爸 48岁,儿子 20岁,几年前爸爸的年龄是他的 5倍?

3、 兄弟二人的年龄相差 5岁, 兄 3年后的年龄为弟 4年前的 3倍。 问:兄、 弟二人今年各多少岁?

4、今年兄弟二人年龄之和为 55岁,哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数 相同,那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的 2倍,请问哥哥今年多少岁?

5、 哥哥 5年前的年龄与妹妹 4年后的年龄相等, 哥哥 2年后的年龄与妹妹 8年后的年龄和为 97岁,请问二人今年各多少岁?

6、 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的 4倍。 2000年,父亲的年 龄是哥哥和弟弟年龄之和的 2倍。问:父亲出生在哪一年?

7、今年爷爷 78岁,长孙 27岁,次孙 23岁,三孙 16岁。问:几年后爷爷 的年龄等于三个孙子年龄之和?

鸡 兔 同 笼

主要方法:①假设法 ②方程解

例 1 小梅数她家的鸡与兔,数头有 16个,数脚有 44只。问:小梅家的鸡 与兔各有多少只?

解法一:假设 16只都是鸡,那么脚有 2×16=32(只)

实际脚有 44只, 相差 44-32=12(只) , 想一想是什么原因呢? 对了,我们把兔当成了鸡,每只兔少算了 4-2=2(只)脚, 所以, 12÷2=6(只) ,这里的 6只表示什么只数呢?

综合式:兔 (44-2×16)÷(4-2)=6(只)

鸡 16-6=10(只)

解法二:设鸡有χ只,那么兔有(16-χ)只。

2χ+4×(16-χ)=44

2χ+4×16-4χ=44

64-2χ=44

20-2χ=0

χ=10

兔有 16-χ=16-10=6

例 2 100个和尚 140个馍, 大和尚 1人分 3个馍, 小和尚 1人分 1个馍。 问:大、小和尚各有多少人?

例 3 鸡、兔共 100只,鸡脚比兔脚多 20只。问:鸡、兔各多少只?

例 4 一批钢材,用小卡车装载要 45辆,用大卡车装载只要 36辆。已知每 辆大卡车比每辆小卡车多装 4吨,那么,这批钢材有多少吨?

例 5 乐乐百货商店委托搬运站运送 500只花瓶, 双方商定每只运费 0.24元, 但如果发生损坏, 那么每打破一只不仅不给运费, 而且赔偿 1.26元, 结果搬运 站共得运费 115.5元。问:搬运过程中共打破了几只花瓶?

例 6 小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了 2分钟,然后两人各跳了 3分钟,一 共跳了 780下。 已知小喜比小乐每分钟多跳 12下, 那么小喜比小乐共多跳了多 少下?

练习:

1、学校有象棋、跳棋共 26副, 2人下一副象棋, 6人下一副跳棋,恰好可 供 120个学生进行活动。问:象棋与跳棋各有多少副?

2、龟、鹤共有 100个头,鹤腿比龟腿多 20只。问:龟、鹤各几只?

3、振兴小学六年级举行数学竞赛,共有 20道试题。做对一题得 5分,没 做或做错一题都要扣 3分。小健得了 60分,那么他做对了几道题?

4、有一批水果,用大筐 80只可装运完,用小筐 120只也可装运完。已知 每只大筐比每只小筐多装运 20千克,那么这批水果有多少千克?

5、蜘蛛有 8条腿,蜻蜓有 6条腿和 2对翅膀, 蝉有 6条腿和 1对翅膀。现 有三种小虫共 18只,有 118条腿和 20对翅膀。问:每种小虫各有几只?

6、鸡、兔共有脚 100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚 92只。问:鸡、兔各几只?

盈 亏 问 题 a

主要方法:①比较法 ②方程解

例 1 小朋友分糖果, 若每人分 4粒则多 9粒; 若每人分 5粒则少 6粒。 问:有多少个小朋友分多少粒糖?

解法一:设有χ个小朋友。 4χ+9=5χ-6

9=χ-6

15=χ(χ=15)

糖:4χ+9=4×15+9=60+9=69

解法二:每人 4粒 多 粒

5粒 少 粒

每人多分 5-4=1粒,总数相差 9+6=15 粒。

小朋友:(9+6)÷(5-4)=15÷1=15(人)

糖:4×15+9=60+9=69(粒)

想一想:每人 4粒 多 9粒 每人 5粒 少 6粒

每人 3粒 多 24粒 每人 7粒 少 36粒

每人相差?粒 总数相差?粒 每人相差?粒 总数相差?粒

例 2 小朋友分糖果,每人分 10粒,正好分完;每人分 16粒,则有 3个小 朋友分不到糖果。问:有多少粒糖果?

例 3 王老师去买小提琴,若买 7把,则所带的钱差 110元;若买 5把,则 所带的钱还差 30元。问:儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?

练习:

1、小朋友分糖果,每人 3粒,余 30粒;每人 5粒,少 4粒。问:有多少个 小朋友?多少粒糖?

2、学校买来一批图书。若每人发 9本,则少 25本;若每人发 6本,则少 7本。问:有多少个学生?买了多少本图书?

3、参加美术活动小组的同学,分配若干支彩色笔。如果每人分 4支,那么 多 12支;如果每人分 8支,那么恰有 1人没分到笔。 问:有多少同学?多少支 彩色笔?

4、信心小学去春游。如果每辆车坐 60人,那么有 15人上不了车;如果每 辆车多坐 5人,那么恰好多出一辆车。问:有多少辆车?多少个学生?

5、同学们为学校搬砖,每人搬 18块,还余 2块;每人搬 20块,就有一位 同学没砖可搬。问:共有砖多少块?

6、某数的 8倍减去 153,比其 5倍多 66,求这个数。

1、某班学生去划船, 如果增加一条船, 那么每条船正好坐 6人;如果减少 一条船,那么每条船就要坐 9人。问:学生有多少人?

2、少先队员植树, 如果每人挖 5个坑, 那么还有 3个坑无人挖; 如果其中 2人各挖 4个坑,其余每人挖 6个坑,那么恰好将坑挖完。问:一共要挖几个 坑?

3、在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面,则余 8米; 若把绳子三折垂到水面,则余 2米。问:桥有多高?绳子有多长?

4、乐乐家去学校上学,每分钟走 50米,走了 2分钟后,发觉按这样的速 度走下去,到学校就会迟到 8分钟。于是乐乐开始加快速度,每分钟比原来多 走 10米,结果到达学校时离上课还有 5分钟。问:乐乐家离学校有多远?

5、王师傅加工一批零件,每天加工 20个,可以提前 1天完成。工作 4天 后,由于改进了技术,每天可多加工 5个,结果提前 3天完成。问:这批零件 有多少个?

6、食堂采购员小李去买肉,如果买牛肉 18千克,那么差 4元;如果买猪 肉 20千克,那么多 2元。已知牛肉、猪肉每千克差价 8角,求牛肉、猪肉每千 克各多少钱?

从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,那么 问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法。

例 1 有一个数,把它乘以 4以后减去 46,再把所得的差除以 3,然后减去 10,最后得 4。问:这个数是几?

例 2 小马虎在做一道加法题目时,把个位上的 5看成了 9,把十位上的 8看成了 3,结果得到的“和”是 123。问:正确的结果应是多少?

例 3 学校运来 36棵树苗,乐乐与欢欢两人争着去栽,乐乐先拿了若干树 苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了 10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回来 6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的 2倍。问:最初乐乐拿了多少棵树苗?

例 4 甲、乙、丙三组共有图书 90本,乙组向甲组借 3本后,又送给丙组 5本,结果三个组拥有相等数目的图书。问:甲、乙、丙三个组原来各有多少 本图书?

例 5 一捆电线, 第一次用去全长的一半多 3米, 第二次用去余下的一半少 10米,第三次用去 15米,最后还剩 7米,这捆电线原有多少米?

6、有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四 等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚。问:原来至少 有多少枚棋子?

7、袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操 作了 5次,袋中还有 3个球。问:袋中原有多少个球?

8、三堆苹果共 48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第 二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;最后又从第三 堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时,三堆苹果数恰好相 等。问:三堆苹果原来各有多少个?

9、有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两 桶,使它们各增加原有油的一倍;再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各 增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时,各桶油都是 16千克。问:各桶原有油多少千克 ?

10、兄弟三人分 24个橘子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁 数。如果老三先把所得的橘子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的橘 子的一半平分给老三与老大, 最后老大把现有的橘子的一半平分给老二与老三, 这时每人的橘子数恰好相同。问:兄弟三人的年龄各多少岁?

页 码 问 题

先来看“数”与“数码”之间的关系:

一位数共有 9个,组成所有的一位数需要 9个数码;

两位数共有 90个,组成所有的两位数需要 2×90=180(个)数码;

三位数共有 900个,组成所有的三位数需要 3×900=2700(个)数码。 完成下表:

例 1 一本书共 204页,需多少个数码编页码?

例 2 一本小说的页码,在排版时必须用 2211个数码。问:这本书共有多 少页?

例 3 一本书的页码从 1至 62,即共有 62页。在把这本书的各页的页码累 加起来时,有一个页码被错误地多加了一次。结果,得到的和数为 2000。问:这个被多加了一次的页码是几?

例 4 有一本 48页的书, 中间缺了一张, 小明将残书的页码相加, 得到 1131。 老师说小明计算错了,你知道为什么吗?

例 5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数: 123456789101112…问:左起第 2000位上的数字是多少?

例 6 排一本 400页的书的页码,共需要多少个数码“ 0”?

练习:

1、一本书共有 200页,那么共需要多少个数码编页码?

2、排一本小说的页码,需要用 2202个数码,这本书共有多少页?

3、一本书的页码为 1至 62,即共有 62页。在把这本书的各页的页码累加 起来时,有一个页码漏加了。结果,得到的和数为 1939。问:这个被漏加的页 码是几?

4、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成大数:

1234567891011121314…

问:左起第 1000位数是几?

5、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。如果 第一页为图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又 为图画,以此类推。如果第一页为文字,那么第二、三、四页为图画,第五页 为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推。试问:

(1)假如这本书有 96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?

(2)假如这本书有 99页,那么多少页有图画?

加减法的巧算

——个 性 化 辅 导 专 家

第一讲 加减法的巧算

森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”

小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―一试。”

我们在进行速算时，选择合理的方法。下面介?

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2.

3.

接下来我们进行演练

1. 凑整法 （补数法）

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万?，

就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100， 55+45=100，

在上面算式中，

1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”

也就是说两个数互为“补数”。

例1 计算：

(1) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

专业 专注 全力以赴 我们一直在努力 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

——个 性 化 辅 导 专 家

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= ( 1+9)+ ( 2+8)+ ( 3+7)+ ( 4+6)+5+10 =10+10+10+10+10+5 =55 1. 在加、减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“-”，“-”变为“＋” a ＋(b-c)=a+b-c， a-(b＋c)=a-b-c， a-(b-c)=a-b+c 如：43+(38＋45) ＋(55＋62＋57) =43+38+45+55+62+57 =（43+57）+（38+62） +（45+55） =100+100+100 =300 括号前面是加号, 去掉括号不改号, 括号前面是减号, 去掉括号要改号. 3. 基准数法（标准数） 几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 =80×8-2-4+3+2-3-1+5 =640 练习 (1)3451+2452+2446+2453 (2)1208-569-208 (3)348+(252-166) (4)629+(320-129) （5）80+81+87+79+82+81

专业 专注 全力以赴 我们一直在努力

加减法的巧算

加减法的巧算

【亲爱的孩子:过了这条河我们就可以抵达花的海洋;爬过这座山我们就可以到达

山的顶峰;战胜这个困难我们就可以来到梦想的彼岸～】

在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧

算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果

都是整十、整百、整千??的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法

巧算的基础。

先讲加法的巧算。加法具有以下两个运算律:

加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即

a+b=b+a，

其中a，b各表示任意一数。例如，5+6=6+5。

一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。例如，

a+b+c+d=d+b+a+c=?

其中a，b，c，d各表示任意一数。

加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数;或者，先把后两个数相加，

再与第一个数相加，它们的和不变。即

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，

其中a，b，c各表示任意一数。例如，

4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。

一般地，多个数(三个以上)相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。

把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。

一、例题讲解:

1

亲爱的学子:在数学的领域中, 提出问题比解答问题更为重要。

1.凑整法

先把加在一起为整十、整百、整千??的加数加起来，然后再与其它的数相加。 例1计算:23，30，18，47，82;

随堂演练:

(1350，49，68)，(51，32，1650)

2.借数凑整法

有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976，85，可在85中借出24，即把85拆分成24，61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。 例2计算:57，64，238，46;

随堂演练:4993，3996，5997，848。

2

亲爱的学子:在数学的领域中, 提出问题比解答问题更为重要。

下面讲减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质: (1)在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如，

a-b-c,a-c-b，a-b+c,a+c-b，

其中a，b，c各表示一数。

(2)在加、减法混合运算中，去括号时:如果括号前面是“，”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变;如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“，”变为“-”，“-”变为“，”。例如，

a，(b-c)=a+b-c，

a-(b，c)=a-b-c，

a-(b-c)=a-b+c。

(3)在加、减法混合运算中，添括号时:如果添加的括号前面是“，”号，那么括号内的数的原运算符号不变;如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号“，”变为“,”，“-”变为“，”。例如，

a，b-c,a，(b-c)，

a-b，c=a-(b-c)，

a-b-c,a-(b，c)。

灵活运用这些性质，可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。

3.分组凑整法

例3计算: 1847-1928，628-136-64;

3

亲爱的学子:在数学的领域中, 提出问题比解答问题更为重要。

随堂演练:1348-234-76，2234-48-24。

4.加补凑整法

512-382; 例4计算:

随堂练习:6854-876-97;

课后练习:

1、397-146，288-339

4

亲爱的学子:在数学的领域中, 提出问题比解答问题更为重要。

2、875-364-236;

3、89+899+8999+89999+899999

5 亲爱的学子:在数学的领域中, 提出问题比解答问题更为重要。

加减法的巧算

加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即

a+b=b+a，

加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数;或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即

a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，

1.凑整法

先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。

例1计算:(1)23，54，18，47，82;

(2)(1350，49，68)，(51，32，1650)。

解:(1)23，54，18，47，82

,(23，47)，(18，82)，54

,70，100，54,224;

(2)(1350，49，68)，(51，32，1650)

,1350，49，68，51，32+1650

,(1350，1650)，(49，51)，(68，32)

,3000，100，100,3200。

2.借数凑整法

有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976，85，可在85中借出24，即把85拆分成24，61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。

例2计算:(1)57，64，238，46;

(2)4993，3996，5997，848。

解:(1)57，64，238，46

,57，(62，2)，238，(43，3)

,(57，43)，(62，238)，2，3

,100，300，2，3,405;

(2)4993，3996，5997，848

=4993，3996，5997，(7，4，3，834)

=(4993，7)，(3996，4)，(5997，3)，834

=5000，4000，6000，834,15834。[

下面讲减法和加减法混合运算的巧算。加、减法有如下一些重要性质:

(1)在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如，

a-b-c,a-c-b，a-b+c,a+c-b，

其中a，b，c各表示一数。

(2)在加、减法混合运算中，去括号时:如果括号前面是“，”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变;如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“，”变为“-”，“-”变为“，”。例如，

a，(b-c)=a+b-c，

a-(b，c)=a-b-c，

a-(b-c)=a-b+c。

(3)在加、减法混合运算中，添括号时:如果添加的括号前面是“，”号，那么括号内的数的原运算符号不变;如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号“，”变为“,”，“-”变为“，”。例如，

a，b-c,a，(b-c)，

a-b，c=a-(b-c)，

a-b-c,a-(b，c)。

灵活运用这些性质，可得减法或加、减法混合计算的一些简便方法。

3.分组凑整法

例3计算:(1)875-364-236;

(2)1847-1928，628-136-64;

(3)1348-234-76，2234-48-24。

解:(1)875-364-236

=875-(364，236)

=875-600=275;

(2)1847-1928，628-136-64

=1847-(1928-628)-(136，64)

=1847-1300-200,347;

(3)1348-234-76，2234-48-24

=(1348-48)+(2234-234)-(76，24)

=1300，2000-100,3200。

4.加补凑整法

例4计算:(1)512-382;

(2)6854-876-97;

(3)397-146，288-339。

解:(1)512-382=(500，12)-(400-18)

=500+12-400+18

,(500-400)，(12，18)

,100，30,130;

(2)6854-876-97

=6854-(1000-124)-(100-3)

=6854-1000，124-100，3

=5854+24+3,5881;

(3)397-146，288-339

,397，3-3-146，288，12-12-339

,(397，3)，(288，12)-(146，3，12，339)

,400，300-500=200。

练习1

巧算下列各题:

1.42，71，24，29，58。

2.43+(38，45)，(55，62，57)。

3.698，784，158。

4.3993+2996+7994，135。

5.4356，1287-356。

6.526-73-27-26。

7.4253-(253-158)。

8.1457-(185，457)。

9.389-497，234。

10.698-154+269+787。

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