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把正六边形的各边n等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。通过仔细观察可以发现，网格中不仅有小正三角形，还有许多大小不同的正六边形。那么网格中一共有多少个大小不同的正六边形呢？
这是一个有趣又有一定难度的数数问题，通过分析解答该题可以锻炼我们的观察分析能力和归纳推理能力。
我们还是从研究分析简单的情形入手，最后归纳出一般的公式。
如图，把正六边形的各边2等分，用线段依次连
接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正六边形呢？
通过观察分析可以发现，图中既有边长为1（图中小正三角形的边长规定为1个单位长度）的正六边形，又有边长为2的正六边形。
下面我们从上到下逐行数出边长为1和边长为2的正六边形的个数。（为便于说明，我们用正六边形的上边代表正六边形。）
第一行有边长为1的正六边形2个。有边长为2的正六边形1个 第二行有边长为1的正六边形3个，没有边长为2的正六边形。 第三行有边长为1的正六边形2个，没有边长为2的正六边形。
第四行没有正六边形。
因此图中一共有2+1+3+2=8个大小不同的正六边形。
通过以上分析可以发现，当正六边形各边等分数为n时，网格中边长为1的正六边形的个数的表达式是：n+（n+1）+…+（2n-1）+（2n-2）+…+n，边长为i（1≤i≤n)的正六边形的个数的表达式是：（n+1-i）+（n+2-i）+…+（2n+1-2i）+（2n-2i）…+（n+1-i）。该式化简整理如下：
（n+1-i）+（n+2-i）+…+（2n+1-2i）+（2n-2i）…+（n+1-i） =（n+1-i）+（2n-2i）］［（2n-2i+1）-（n+1-i）］×2+（2n+1-2i） =（3n+1-3i）（n-i）+（2n+1-2i）
=3n2+n-6ni-i+3i2+2n+1-2i
=3n2+3n+1-6ni-3i+3i2
从而正六边形的总数是： 12
?i?1
nn（3n2+3n+1-6ni-3i+3i2） =?［（3n2+3n+1）-(6ni-3)i+3i2）］
i?1
=n（3n2+3n+1）-(6n+3)（1+2+…+n）+3(12+22+…+n2)
11n（n+1）(6n+3)+3×n（n+1）（2n +1） 62
9331=3n3+3n2+n-3n3-n2-n+n3+n2+n 2222=3n3+3n2+n-
=n3
有了公式，正六边形中正六边形的个数就不需要再费心费力地去数了，只要用公式进行简单的计算就行了。
注：在以上整理化简和求和过程中，用到了以下三个求和公式： 1、1+2+…+n=n(n+1)/2
2、12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
下表是正六边形各边等分数n为1～6时正六边形中大小不同的正六边形的个数：
有兴趣的读者可以亲自画图数一数，分析验证一下。
二〇一二年十一月一日
正六边形的面积计算
正六边形的面积计算
一、多边形内角和公式：（n－２）×180°
二、正多边形各内角度数公式：（n－２）×180°÷n
三、正六边形单位面积计算步骤（见上图）：
已知：边长a，∠DAB=120°, ∠CAD=60°, ∠CDA=30°, ⑴ Sin30°= AC/AD
AC= AD×Sin30°= a×1/2
AC=1/2 ×a
⑵ Cos30°= CD/AD
CD = AD×Cos30°= a×(31/2/2)
⑶梯形ADHEF面积：
=梯形AEDH面积×2
=｛(AC×2＋DH＋DH)×CD÷2｝×2
=｛(1/2 ×a×2＋a＋a)×a×(31/2/2)÷2｝×2 ≈2.6a2
二〇〇九年九月二日
正六边形中的数数问题
正六边形中的数数问题
如图，把正六边形的各边2等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点（包括对应顶点）。这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。在这个图形里，既有正三角形，又有平行四边形、梯形和正六边形。那么，有多少个不同的正三角形、平行四边形、梯形和正六边形呢？这就是正六边形中的数数问题。
先看有多少个不同的正三角形。
第一步，面积为1（设最小正三角形的面积为1）的正三角形有： （2+3）+（3+4）+（4+3）+（3+2）=24（个）
第二步，面积为4（由4个最小正三角形组成）的正三角形有： 1+2+3+3+2+1=12（个）
注：前三个加数是倒立正三角形的个数，后三个加数是正立正三角形的个数。
第四步，面积为9（由9个最小正三角形组成）的正三角形有:1+1=2（个）
注：正立正三角形和倒立正三角形各有1个。
第五步，正三角形一共有24+12+2=38（个）
用同样方法可以逐行分类数出平行四边形共有87个，梯形共有102个，正六边形共有8个。
如果把正六边形的各边n等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点（包括对应顶点）。那么这样形成的网格状图形里一共有多少个不同的正三角形、平行四边形、梯形和正六边形呢？
公式如下：
1、当n=2m时,正三角形的个数有：28m3+9m2+m （个）
当n=2m+1时，正三角形的个数有：28m3+51m2+31m+6（个）
2、平行四边形的个数有:(9/2)n4+2n3-(1/2)n（个）
3、当n=2m时,梯形的个数有:102m4+4m3-3m2-m（个）
当n=2m+1时，梯形的个数有: 102m4+208m3+156m2+50m+6（个）
4、正六边形的个数有n3（个）
2012年8月3日星期五
计算正六边形的面积
計算"正六邊形"的面積
:題目::
:1:請問正六邊形中的?A , 120? 度
AB:2:若, 1,則ΔA’AB的面積為何, :答: ? ?FAB ,120? ??A’AB ,60?
同理??ABC ,120? ??A’AB ,60?,?A A’B ,60?,ΔA’AB 為正三角形
同理得知ΔB’EF 和ΔC’CD為正三角形
332a ΔA’AB面積, ΔB’EF面積, ΔC’CD面積, , :平方單位:44
A'B':3:請試著說明為何 , 3 ,
ABABFEAA'AF:答:?, 1 ,:ΔA’AB為正三角形:,又?,,:正六邊
FEB'FB'FAA'AF形:且 , :ΔB’EF為正三角形:,故 ,,,1
B'FA'B'AA'AF?,,,,3
A'B':4:若 , 3,則ΔA’B’C’的面積為何,
B'CA'C':答:承上,同理可證 , , 3 ,ΔA’B’C’ 為邊長3的正三角形
933322a?ΔA’B’C’面積, , × , :平方單位:3444
:5:正六邊形ABCDEF的面積為何,
:答:正六邊形ABCDEF的面積 ,ΔA’B’C’ 面積 , 3 ×ΔA’AB面積
9363333 , , 3 × , , :平方單位: 4442
设点O是正六边形ABCDEF的中心
解析几何第一章习题解答
第一章
1. 设点O是正六边形ABCDEF的中心， 在向量、、 、、 OAOBOCODOE、
、、、、 ABDEEFOFBCCD、 O
和中，哪些向量是相等的, FA
[解]:如图1-1，在正六边形ABCDEF中，
相等的向量对是: 图1-1
OA和EF;OB和FA;OC和AB;OE和CD;OF和DE.
2. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边,,、,,、,,、
,,的中点，求证:,. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立, KLNM
1[证明]:如图1-2，连结AC, 则在,BAC中， KLAC. 与方向相同;在,DACKLAC2
1中，NMAC. 与方向相同，从而NMAC2
KL,NM且KL与方向相同，所以KL,NM
. NM
3. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量:
(1) 、; ABCD
(2) 、; AECG
(3) 、; ACEG
(4) 、; ADGF
(5) 、. BECH图1—3
[解]:相等的向量对是
(2)、(3)和(5);
互为反向量的向量对是(1)和(4)。
4.要使下列各式成立，向量应满足什么条件, a,b
(1) (2) a，b,a,b;a，b,a，b;(3) (4) a，b,a,b;a,b,a，b;(5) a,b,a,b.
[解]:(1)所在的直线垂直时有; a,ba，b,a,b
(2)同向时有 a,ba，b,a，b;
(3)且反向时有 a,ba,b,a，b,a,b;
1
解析几何第一章习题解答
(4)反向时有 a,ba,b,a，b;
(5)同向，且时有 a,ba,ba,b,a,b.
5. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明:三中线向量ALBMCN, ,
可 以构成一个三角形.
1[证明]: ？AL,(AB，AC)2
1 BM,(BA，BC)2
1 CN,(CA，CB)2
1 ？AL，BM，CN,(AB，AC，BA，BC，CA，CB),02
从而三中线向量构成一个三角形。 AL,BM,CN
6. 设L、M、N是?ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
+=++. OA，OBOCOMONOL
[证明] ？OA,OL，LA
OB,OM，MB
OC,ON，NC
？OA，OB，OC,OL，OM，ON，(LA，MB，NC)
= OL，OM，ON,(AL，BM，CN)
由上题结论知: AL，BM，CN,0
？OA，OB，OC,OL，OM，ON
7. 用向量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]:如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点
？AD,OD,OA
BC,OC,OB
AD,BC但
图1-4 ？OD,OA,OC,OB
OA，OC,OD，OB
由于??而不平行于BD， (OA，OC)(OB，OD)AC,BD,AC？， OA，OC,OD，OB,0
从而OA=OC，OB=OD。
8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
+++,4. OCODOMOAOB
2
解析几何第一章习题解答
[证明]:因为,OM
1(+), ,OCOMOA2
1(+), ODOB2
所以 2,OM
1(+++) OCODOAOB2
所以 图1-5 +++,4. OCODOMOAOB
9. 设点O是平面上正多边形AA?A的中心，证明: 12n,++?+,. OAOAOA012n[证明]:因为
，,,, OAOAOA132
，,,, OAOAOA243
??
+,,, OAOAOAn,11n
，,,,OAOAOAn21
所以 2(++?+) OAOAOA12n
,,(++?+), OAOAOA12n,所以 (,,2)(++?+),. OAOAOA012n显然 ,?2, 即 ,,2?0. ,所以 ++?+,. OAOAOA012n
10. 设一直线上三点A, B, P满足AP,,(,,,1),O是空间任意一点，求证: PB
,OA，OB, OP1，,
[证明]:如图1-7，因为
,,, APOPOA
,,, PBOBOP
所以 ,,, (), OPOAOBOP,
(1+,),+,, OPOAOB 图1-7 ,OA，OB从而 ,. OP1，,
11. 在?ABC中，设AB,，,，AT是角A的平ACee12分线(它与BC交于T点)，试将AT分解为,的线性ee12组合.
|BT||e|1 [解]:因为 ,,|TC||e|1
BT且 与方向相同， TC
图1-8 3
解析几何第一章习题解答
|e|1所以 ,. BTTC|e|2
由上题结论有
|e|1e，e12|e|e，|e|e|e|21122,,. AT|e||e|，|e|1121，|e|2
12. 用向量法证明:P是?ABC重心的充要条件是,++, PAPBPC0.
[证明]:“” 若P为?ABC的重心，则 ,
,2,+, PEPAPBCP,图1-9 从而 +,=, PAPBCP0,即 +，=. PAPBPC0, 若+，=, PAPBPC0“”
则+,,,, PAPBPCCP
取E，F，G分别为AB，BC，CA之中点，则有
1,(+). PEPAPB 2
从而 ,2. PECP
同理可证 ,2, ,2.故P为?ABC的重心. BPAPPFPG,,,13. 证明三个向量,,+3+2, ,4,6+2，,,3+12，11共面，aceeeeeeeeeb123123123,其中能否用,线性表示,如能表示，写出线性表示关系式. acb
[证明]:由于向量, , 不共面，即它们线性无关. eee123,,考虑表达式 ,+,+v,，即 ac0b,, (,+3+2)+, (4,6+2)+v (,3+12，11),, eeeeeeeee0123123123,或 (,,+4,,3v) +(3,,6,，12v) +(2,+2,，11v) ,. eee0123由于, , 线性无关，故有 eee123
,,,，4,3v,0,,,,, 3612v,0,,，,
,,,2，2，11v,0.,
解得 ,,,10，,,,1，v,2. ,,,ac由于 ,,,10,0，所以能用,线性表示 b
,,,11,,，. acb105
,,,14. 在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,,3,,1)，M(a, b, c)关于 i,j,k
(1) 坐标平面;(2) 坐标轴;(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]:M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, ,c)，
M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(,a, b, c)，
M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,,b, c)，
M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,,b,,c)，
4
解析几何第一章习题解答
M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(,a, b,,c)，
M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(,a,,b, c). 类似考虑P (2,,3，,1)即可.
15. 已知向量, , 的分量如下: abc
(1) ,{0, ,1, 2}，,{0, 2, ,4}，,{1, 2, ,1}; abc
(2) ,{1, 2, 3}，,{2, ,1, 0}，,{0, 5, 6}. abc
试判别它们是否共面,能否将表成，的线性组合,若能表示，写出表示式. cab
0,12
[解]:(1) 因为 ,0,所以 , , 三向量共面, 02,4abc
12,1
又因为, 的对应坐标成比例，即//，但， ababca
故不能将表成, 的线性组合. cab
123
(2) 因为 ,0,所以 , , 三向量共面. 2,10abc
056
又因为 , 的对应坐标不成比例，即， abab
故可以将表成, 的线性组合. cab,,设 ,,+,, 亦即{0, 5, 6},,{1, 2, 3}+,{2, ,1, 0} cab
从而
,,，2,0,,,,, 2,,0,,
,,3,6.,
解得 ,,2，,,,1, ,,,所以 ,2,. cab
16.证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重
心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. [证明]:设四面体AAAA,A对面重心为G, 欲证AG交于一点(i,1, 2, 3, 4). 1234iiii
，3OAOGii在AG上取一点P，使,3, 从而,， APPGOPiiiiiiii1，3
设A(x, y, z)(i,1, 2, 3, 4)，则 i iii
，，，，，，xxxyyyzzz,,234234234G,,, ,,1333,,
，，，，，，xxxyyyzzz,,134134134G 2,,,,,333,,
，，，，，，xxxyyyzzz,,124124124G,,, ,,3333,,
，，，，，，xxxyyyzzz,,123123123,,G, ,,4333,,所以
5
解析几何第一章习题解答
y，y，yx，x，xz，z，z234234234y，3,x，3,z，3,111333P(,,) 11，31，31，3
x，x，x，xy，y，y，yz，z，z，z123412341234,P(,,). 1444同理得P,P,P,P，所以AG交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三2341ii
倍.
,17(已知向量与单位向量的夹角为，且，求射影向量与射影，AB150AB,10ABABeee
,又如果，求射影向量与射影. e,eABAB,,ee
,[解] 射影= ABABcos，(e,AB),10.COS150,,53,e
射影向量= AB,53ee
::,, ？e,,e,？，(e,AB),180,，(e,AB),30
,, ？射影= ABABcos，(e,AB),10.COS30,53,,e
, 射影向量= AB53e,e
18试证明:射影(,,+?+,),,射影+射影a，aa,aln1ll a12n221+?+,射影. anln
[证明]:用数学归纳法来证.
当n,2时，有
射影(,,),射影()+射影(),,射影+,射影. ,a,aa，aal12ll1l2la12112221
假设当n,k时等式成立，即有
射影(),,射影+?+,射影. ,a，？，,aaal1lkl11kk1k
欲证当n,k+1时亦然. 事实上
射影() ,a，？，,a，,al11kkk，1k，1
,射影[()+] ,a，？，,a,al11kkk，1k，1
,射影()+射影() ,a，？，,a,all11kkk，1k，1
,,射影+?+,射影+,射影 aaa1lklk+1l1kk，1
故等式对自然数n成立.
,,,,,,19(证明在平面上如 果，且,, (i=1,2)，则有,. m,mmamabb2ii1,,,,,[证明]: 因为 ,所以，对该平面上任意向量,,，,, mmmcm2211,,,,,(,),,(,)(,，,) aamcmbb21,,,,,(,)+(,) ,,amambb21,,,,,,,,(,)+,(,),0, aammmmbb2211,,故 (,),. acb
6
解析几何第一章习题解答
,,,由的任意性知 ,,. ac0b,从而 ,. ab
:20(已知向量互相垂直，向量与的夹角都是，且计算: a,ba,b60a,1,b,2,c,3c
22 (1)(a，b);(2)(a，b)(a,b);(3)(3a,2b).(b,3c);(4)(a，2b,c)
[解]:
2222(1)(a，b),a，2a.b，b,1，2，0，2,5;
222(2)(a，b)(a,b),a，b,1,2,,3;
2(3)(3a,2b).(b,3c),3a.b,2b,9a.c，6b.c
7::,,8,9，3.cos60，6，2，3cos60,,;2
2222(4)(a，2b,c),a，4ab,2ac,4bc，4b，c
::22,1,2，3cos60,4，2，3cos60，4，2，3,11
21. 用向量法证明以下各题:
222(1) 三角形的余弦定理 a,b，c,2bccosA;
(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距. ,证明:(1)如图1-21，?ABC中，设,,,,,， ABACBCcab,,,且||,a，||,b,||,c. 则,,, cacabb,,,,,,222222,(,),+,2,,+,2||||cosA. acccccbbbbb图1-11 222此即 a,b+c,2bccosA.
(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P,
D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设,, ,PAPBa,,,, ,, 则,,, ,,, ABPCBCcacbbb
,1,,, ,(+), PDCAacab2
,,1,(，). PEcb图1-12 2
因为 ,, ,, PDABPEBC
,,,1122所以 (+)(,),(,),0, aaabbb22
,,,1122(+)(,),(,),0, cccbbb22,,222 222从而有 ,,,即 ||,||,||, acacbb
,1,,,1,,22所以 (，)(,),(,),0, caacac22,
所以 ,, 且 ||,|b|,||. PFCAac
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
,,22222.证明(，)?,，并说明在什么情形下等号成立. aabb,,,,22222[证明]:(，),|，|,||||sin，(,) aaaabbbb,,2222?||||,,. aabb
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解析几何第一章习题解答
,,2要使等号成立, 必须sin，(,),1, 从而sin，(,),1, aabb
,,,故，(,),，即当,时，等号成立. aabb2
,,,,23. 证明如果++,，那么，,，,，，并说明它的几何意义. acacca0bbb,,,,,,[证明]: 由++,, 有 (++)，,，,, 但 ，,， acaccccc0000bb,,于是 ，+，,, acc0b,所以 ，,，. ccab,,,同理 由 (++)，,, 有 ，,，, acacaa0bb,,从而 ，,，,，. accabb
其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
24. 如果非零向量(i,1,2,3)满足，,，，,，，那么,,是彼此垂rr,r，rrrrrrrrrri123231312123
直的单位向量，并且按这次序构成右手系.
[证明]:由向量积的定义易知,,彼此垂直，且构成右手系. rrr123
下证它们均为单位向量.
因为 ,，，,，, rrrrrr123231
所以 ||,||||, ||,||||, rrrrrr123231
2所以 ||,||||. rrr131
2由于 ||,0，从而 ||,1，||,1. rrr133
同理可证 ||,1，||,1. rr21
从而,,都是单位向量. rrr123
25. 用向量方法证明: 图1-13 (1)三角形的正弦定理
abc,,. sinAsinBsinC
(2)三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式: 2,,p(p,a)(p,b)(p,c).
1式中p,(a+b+c)是三角形的半周长，,为三角形的面积. 2,[证明]: (1) 如图1-13，在?ABC中，设,，,，,， ABBCaCAcb,,,且||,a，||,b, ||,c, 则 ++,, acac0bb,,从而有 ，,，,，, ccaabb,,所以 |，|,|，|,|，|, ccaabb
bcsinA,casinB,absinC,
abc于是 ,,. sinAsinBsinC
(2) 同上题图，?ABC的面积为
,1,,|，|, ab2
,122所以 ,,(，). ab4,,,2222因为 (，)+(,),, aaabbb
8
解析几何第一章习题解答
,,12222所以 ,,[,(,)]. aabb4,,由于 ++,, ac0b,,22从而 +,,，(，),, acacbb
,,,11222222所以 ,(,,),(c,a,b), aacbb22
112222222故有 ,,[ab,(c,a,b)] 44
1222222,[2ab,(c,a,b)][2ab+(c,a,b)] 16
,12222,[(a+b),c][,(a,b)] c16
1,(a+b+c)(a+b,c)(c+a,b)(c,a，b) 16
1,,2p,(2p,2c)(2p,2b)(2p,2a). 162所以 ,=p(p,a)(p,b)(p,c),
或 ,=. p(p,a)(p,b)(p,c)
26. 设, , 为三个非零向量，证明 abc
(1) (, , +,+,) =(, , ); abcababc
(2) (，, ，, ，) =2(, , ). abbccaabc
[证明]:(1)左端=(，),(+,+,) abcab
=(，),+(，),(,)+(，),(,) abcabaabb
=(，),+,(，),+,(，), abcabaabb
=()+,()+,() abcabaabb
=()=右端. abc
(2) 左端=[(+)，(+)],(+) bccaab
=[，+，+，],(+) bcbacaab
=(，),+(，),+(，),+(，),+(，),+(，), bcabaacaabcbbabcab
=()+()=2()=右端. bcacababc
27.设向径, , , 证明 ,()，()，() ROC,rr，rOA,rOB,rr，rr，r123122331
垂直于ABC平面.
[证明]:由于 =,[] AB,R(r，r)，(r，r)，(r，r)(r,r)21122331
= (rrr)，(rrr)，(rrr),(rrr),(rrr),(rrr)212223231112123131
=, (rrr),(rrr),0123123
所以 AB,R.
同理可证 . AC,R
所以 R,平面ABC. ,,,28(=++,++, =++, aecev,aebebeceaebeceuw111213212223313233
9
解析几何第一章习题解答
abc111,,,试证明 ()=(,,). u,v,wabceee123222
abc333
bcabca,111111[证明]: ，=(，)+(，)+(，) ？eeveeee122331abbcca222222,,,,,, ()=(，), ？u,v,wuvw
bcabca111111=c(，),+a(，),+b(，), eeeeeeeee333123231312abbcca222222,,abbcca111111,,=(，), e，，eecab123333,,abbcca222222,,
abc111
=(,,). abceee123222
abc333
,,,,29.在直角坐标系内已知, , ，求和 。 a{1,0,,1}(a，b)，cb{1,,2,0}c{,1,2,1}a，(b，c),,,,,,,解 (a，b)，c,(a*c)b,(b*c)a,,2{1,,2,0},(,5){1,0,,1},{3,4,,5}
,,,,,,,,,, a，(b，c),,(b，c)，a,(a*c)b,(b*a)c,,2{1,,2,0},{,1,2,1},{,1,2,,1}
,,,,,,,,,30.证明共面的充要条件是，，共面。 a,b,cb，cc，aa，b
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2解 (，，)=)-= (b,c,a)((b,c,c)(a,a,b)(a,b,c)c,a,bb，cc，aa，b
,,,,,,2由于 (a,b,c),0,(a,b,c),0
,,,,,,,,,故共面的充要条件是，，共面。 a,b,cb，cc，aa，b
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解析几何第一章习题解答
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