二阶线性递推数列的研究

二阶线性递

祁　平　(苏州市教育科

　　近十年, 数学竞赛中常有涉及二阶线性递推数列的问题. 国内刊物介绍二阶线性递推数列(au n +bu n -1+cu n -2=0, ac ≠0, n ≥3) 的文章虽较多, 但这章(如[1],[2]) 均直引入“特征方程”的概念, 读者常怎想到引入“特征方程”来研究{u n }的通项的疑问. 本文的研究, 将回这一问

1　一阶线性

考虑一阶线性递推数列au n +bu n -1=0, ab ≠0, n ≥2.

不失一般性, 可以假设a =1. 由u n =-bu n -1=(-b ) 2u n -2=…=(-b ) n -1u 1, 知道一阶线性递推列u n +bu n -1=0

受一阶线性递推数列通项公式的启示, 自希望二阶线性递推列

kx 的通项公式.

明性质21

证明　由题设得ax 21+bx 1+c =0, 两

-2n -1-2

边同乘以x n 得ax n +cx n =0, 同11+bx 11n -1-2理得ax n +cx n =0, 两式相加得2+bx 22

au n +bu n -1+cu n -2=0. n

所以u n =x n 1+x 2是某个二阶性递推数列au n +bu n -1+cu n -2=0的通项

有了性质2, 我们就不难知道, 在中代数里, 这样一个简单问题:“

k k

c =0(a ≠0) 的两根为x 1, x 2, u k =x 1+x 2(k =1, 2, 3) , 求证:au 3+bu 2+cu 1=0. ”的出处. 该问题只是性质2的一

把两个性质结合起

推论1　设ax 2+bx +c =0(a ≠0)

p x 1+qx 2是某个二阶线性

+cu n -

=0的通项公式.

取n =1, 2, 3代通项公式,

kx , u 2=kx , u 3=kx , 再入递推关系式au 3+bu 2+cu 1=0,

当u 1, u 2给定, 如何求二阶

au n +bu n -1+cu n -2=0的通项? 将推1中引入的p , q 看

p x 1+qx 2=u 1, x 1　x 2而行

p x 1+qx 2=u 2, x 1　x 2

总能找到p , q 使u n =p x n 1+qx 2, 且n =1, 2时, u 1, u 2就为给定

有一点不足的是,

ax +bx +c =0的两

可见二阶线性递推数列通项公式中的x 应该是程ax 2+bx +c =0的根. 2　阶线性递推数列的通

一阶线性递推数列通

决定, 但是二阶线性递推数列通项公式需由u 1和u 2一起定, 为此, 需要进一步研究阶性递推数列通项公式的

性质1　如果x 是方程ax 2+bx +c =0的根, 那么u n =kx n 某个二线性递推数列au n +bu n -1+cu n -2=0的通

性质2　如果x 1, x 2是方程ax 2+bx +

c =0的两个根, 那么u n =x 1+x 2是某个二

阶线性递推数列au n +bu n -1+cu n -2=0的通项公式.

类似上面的讨论, 容

用. 对两根相等的情, 我们

推论2　设ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的

两根相等为x 0, u n =np x n 0+qx 0(n =1, 2, …) , p , q 为待常数, 则u n 是某个阶线性递推数列au n +bu n -1+cu n -2=0的通

简证　将ax 20+bx 0+c =0两边同

以np x n , 易得a (np x n b (np x 0) +00) +

n -2

c (np x 0) =0, 即a (np x 0) +

b [(n -

　　　　　　　　　　　　　　　中

-1

1) p x n ]+c [(n -0-2

) =0. 2cx n 0

-1-2-2

) =p x n (bx 0+2c ) 又p (bx n +2cx n 000

-2-2) p x n ]+p (bx n 00

2, b -4ac =0, ∴-2a 2a

=-, 即x 0=-, 则bx 0+2c =0. )

b b

-1

∴a (np x n 1) p x n ]+c [(n 0) +b [(n -0

=0, (∵x 0=-

为满足u 1=1, u 2=2, 解方程组

p +q =1,

得q =0, p =1, ∴u n =np +

2p +q =2,

(n +1) q =n . {u n }

有了推论1、推论2, 要判断{u n }是否为周期

如例2, u n +3=2

n +3

-2) p 00.

n -2

]=0.

n -1

(1)

+cqx 0

n -2

n +3

又由性质1, aqx 0+bqx 0=

=u n , {u n }的周期为3.

(2)

(1) +(2) 即得u n =np x 0+qx 0是某个

二阶线性递推数列au n +bu n -1+cu n -2=0的项

例1　求斐波那契数列通项,

-u n -222

例4　已知函数f (x ) 定义在非负整数集上, 且于任意

(1992年上海市数学竞赛题) 分析　由于f (x ) 义在非负整集上, 所以将f (x ) 成由递推公式f (x ) =f (x -1) +f (x +1) 生成

解　由方程x =1+x 2得x 2-x +1=

0的两根为x 1=22

-u n -2

=0, u 1=u 2=1.

p +

解　∵方程x 2-x -1=0

和x 2=

由推论1, 解

方程组

p +

, x 2=

q =1,

由推论1, f (x ) =p q +

得p =∴u n =5

u 2=-

, q =-

(x ∈N ) , p , q 为常数.

∴f (x +6) =f (x ) , 周期为6.

则f (1992) =f (0+6×332) =f (0) =1992.

例5　设数列{a n },{b n }满足a 0=1, b 0

=0,

a n +1=7a n +6b n -n

例2　已知u n +u n -1+u n -2=0, u 1=1.

解　由推论1易得:

+. u n =22

例3　已知u n -2u n -1+u n -2=0(n ≥3) , u 1=1, u 2=2, 求{u n }的

3, 4,

(1) (2)

b n +1=8a n +7b n -

n =0, 1, 2, …,

解　∵方程x 2-2x +1=0

x 2=x 0=1, 由推论2得np x 0+qx 0=np +q 是某个二阶线性递推数列au n +bu n -cu n -2

完全平方数.

(2000年全国

分析　联想本文的推论, 我们希望

从递推式(1) 解得b n =

(a n +1-7a n +6

=0的通项公式.

2005年第6期　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　　　　　　?29?3) , 代入递推

3) (7-4

3) =1, 23) +

n n

为了消去递推公式

a n +2-=14a n +1--a n -.

222解方程x 2-14x +1=0, 则x 1=7+4

3, x 2=7-4

, 易得a 1=4, a 2=49, 故2

∴a n =c n +==

(2+22(2+

(2-2

3) 3)

3) +(2-

. =

由二

项

式定理, a n

设c n =a n -c 1=

∑

2k n -C n 2

, 即a n (n =0, 1, 2, …) 为

, c 2=22

完全平方数.

参考文献

1　王燕京1二阶线性递归数列1数学通讯, 1988(9) 2　卢辰康1数列的推与通项式1国内外

由推论得c n =-4

3) n .

(7+44

(2±

3) n +

(74

学, 1985(4)

∵7±43=3) 2, (7+

例谈三角形重心

任念兵　(上海市育才

　　向量是数形结合的重要载体, 是解决很多数问题的力工具. 本文给出三角形重心的向量形式及其重推论, 并谈谈这个结论的巧妙

定理点G 是△A B C 重心

++=0.

推论　G 是△A B C , O △A B C , 则有3=++.

证　图, =

+++=

例1　M N △B C 和D E F 的重心, 求证:A +B +=3M . 明　如图2, A A +M +N , B =+M +N , +M +N . 而M , N 分

图2别是△A B C 和

D E F , A ++=0, N ++=0, A +B +=3M .

2　求面积比

例2　(2004) 设O 点在△A B C

图1

+(++

) , ++=0, 即得推论成立.

3=0, 则△A B C

积比为(　　) .

(A ) 2　　(B )

　　(C ) 3　　(D ) 23

以下举例说明定

1　证明向量关系

二阶线性递推数列的求解方法

二阶线性递推数列的求解方法二线性递推数列

詹旺息

(浙江省温州二黄龙校区,浙江温州325007) 对一阶线性递推数列,如由条件a.=2,an+l=2a+1,求{a} 的通项公式.在这里,由an+t=2a+l可以拼凑出一个比数列, 先求该新构造的等比列的通项公式,进而得{a}的通项公 .解法如下:a+1:2(a+1),设b+,一+1,则b一+1,那么数列fb}是首项b:aI+l=3,公q=2的等比数列,因此b=3?2…, 所以a=3?2…-1.而对于如a:2,an+l=5a+3这种一眼看不出来的一性递推列,我们可以用待定数来求解.解法下:aI+x=5(a+x),则a+I=5a+4x.4x=3,.?.x={,因此似于面的求

5-三.

'44

而对于二阶线性递推数列,一个自然的想法是可类比求解阶线性递推数列的方法来求解的通项公式, 如下

例1.数列a}满足a.=1,a2=2,an+2=6a+1-9a,求数

解:设a叶2-xa+l=y(a+l-xa),则an+2:(x+y)an+1-xya,.?.

【

x+y

,n十1—3a=3(~'n+l--3an),n+l=an+2--3an+l,则

b=an+l--3a那么数列{b}是以b.=a-3a.=-1

等比数列.b=一1.3",,.

一

3a~

=一3'?

由?式可得a,,-3an_

l=一3",

3ao_1- 32a?=一3", 3a2

一2—

3a3

一

:一3

3n-2

2—

3n-1l一3

把上面各式相加有an一3n-Ia=一(n一1)3n-z.

a一(n一4)3.

上题中求得的x和y正好是相的,我们再

道题目.

例2.数列a}满足al=5,a2=2,an=2an-】+3a一

(n?3),

通项公式.

解:设a,xa一l:y(a一xa),整理

一

3,解得:(

a一3a—

i=一(a兀_l一3a一2)或a+a一l:3(a一1+a一2),

一3a=(一1)",(a2-

3a~)=(一1.-1x13?

a+an_I=3(a2+a1)=3

由??两式得4a=3x7+(一1)n-Ix13, .

1(3~-~x7+(

该题目中求得的x和y是不同的,所以构造的等比列有两种形式.类于上两道题目的解答过程,事实上.对于一般的二线性递数列,有

定理1:若xI,x2是递推关

(n?3)的特

程x一=clX+C2的两个

(1)当xl?x2时,a:仅1xnl+o【2x;

(2)当x?x2时,a=(p+132n)x,

其中.,0~213,32是由初始值确定

习兴趣.态的事物比静态的事物更能引起学生的注意.更能凋动学生的兴趣,从而激发学生的学习兴趣.现代教育技术能为教创设一个生有趣的教学情境,化无声为有声,化静为动,激发了学的学习兴趣,提高生的学习积极性.传统教学中,学生面静态呆板的课本和书,难免觉枯燥乏味.现代教育术运用于教学,克服了这一陷,静止的文本可以按指定的轨迹运动,静态的可以像动画一样动.可以像流水般呈现幅幅变幻的图像,色彩以变化,速度以控制.学生在动画刺激下,始终保持着浓厚学兴趣.极大地调动了学积极性,到了良的效果.媒体教学通过像向学脑输入生动的立体形象,由此传递的言清晰明 ,形象具

二,教育技术在教材设计中的

1.创设问题情境.激起课堂

创设问情境是一种心理机制,它对大脑皮层具有很强烈的持续的刺激作用,使一时猜不透,想不通,又丢不,放不下,尤能激发学生的学习热情,使学生思维活跃,想象丰富,记忆加强.例如:授"直角三角形"这一章知识时,某教师出如下问题:你能否过河就测出河宽?不上山测出山高? 接近敌人阵而测出敌我之间的距?从而让学生产悬念.于要了解问题的答案,使学生一开始就问题的学习产生浓的兴趣.尽管节课在面的内容都是一些杂的运算.但学生在学习中情高涨,趣盎

足.例如:《立体图形的展开图》教学中,我首先向学生提问: 生中有许多漂亮的包装盒,你知道它们是哪些形状的硬纸板围成呢?等学生答后,我用多媒体播放了粉笔盒,茶叶罐(圆柱体)等几包装的展开图.学生精神观看后,情绪高涨,思路开阔.并配轻松的背景音乐.有于学生掌学习数学的重要方法.创问题情境是指在新奇未知事刺激下,学生认知中突然提出问题或接受教师提问产生解决问题的烈愿望,作为自己学习活动的的一种情景.瑞士心学家皮亚杰人的研究表明:当感性输的信息与人现有认知结之间有中等程度的不符合时.人兴趣最大.因此,课堂教学,创设良好的问情境能有地激发和培养学生的学习兴趣,为课教学创设一种,活跃,

2.培养师生感

在课堂中适当给予学生思考与活,讨论的时间,既让学生积极参与.又能意学生的学习反应,克服因人机对话造成的情淡薄的题,培养

参考文献:

[1]刘兼.数学新课程与数学学习.高等教育出版 [2]张大均.教与学的策.人教育出

[3]吕达.教学心理

[4]黄翔.数学新课程究.高等教育出

考试周刊2011-~59@

直观分析,巧解

任吉峰

(江省如皋第一职业高级中学,江苏如皋226511) 《数学通讯}2004年第2,4期.楼可飞老师在题"过双曲线的焦的定长弦有多少条?"的解中运用了"数法",分析得很透彻,精准.我认为原文的"代数法"虽然能够较好地解决问题,繁琐又不易于操.巧妙地把"数形结合" 思想方法加以运用.则

原题:过双曲~2x'-y"-2=0的焦点F作直线l交双线于 A,B两点,若IABI=4,则这样的直线有少条? 认识本题之前.我们不妨先从以下些方面来认"过焦点的

1.立足基础.掌握

看下面两个引例,体会一下双曲

实轴长2a.通径d=的妙

引例l:过双曲线x2_y:1的焦点F作直线l交双曲

右支于A,B两点.则IABI的最

:,产/7l

?Fg-

图1

分析:如图1.过右焦点F

AB和弦CD中,显然IABI<ICDI,则弦长IABI最小.(根据焦点

长大小的变化趋势,确定IABI

因为"过双曲线的焦点且垂直

点所在轴的弦即为通径",

,l12

IABI.

=d=::,_=4.

结论l:过双曲线焦点的弦

曲线于同一支时,则通径最短,且弦

长为d:.

引例2:过双曲线x一:1

焦点F作直线l交双曲线的不

于M,N两点,则弦IMNI的最

分析:如图2,过右焦点F的

MN和弦PQ,显然IMNI<IPQI,则

结论2:过双曲线焦点的弦交双曲线于不支时.则实轴长最短,且弦

2.逆向思维.整合

结合引例及其结论,我们就不难解决文开始的原题了. 分析:题目中未明确直与双线交于同支还异支.因此如图3.两种可能都有.题目中弦是已知的.

可以反过来考虑直线的可能

解:(1)若交于右支,IABI=d

==4,则交于右支且符合

的直线只有1条,并且就是通

(2)若交于异支,IABI=4>实轴

长2a=2,则交于异支且符合

直线有2条.因此.这样的直

有3条.

图3

显然,只要把上面引例中结论与方法进行整合,同时逆地去思维.问题就迎刃而解了.下的变式例题

应用这个定理,我们来解决2008年广东高考卷中的一道大

例3.设p,q为实数,d,B是方程x'一px+q=0的两个实根,数

(1)易让,田

(2)由x1=p,x:=p2一q,.

.x.=1

呲_(aI+na2)仅"..',

一

=(1+n)"

r—

p",.-鬣'.{

:1二.0【"+.B":

,"13-~,p一0【.B

f(1+n)a"(仪=13)

牡=:1(d?p)'LB—

上越在2009年全国商中数联赛中也考到.最

求着名~Fibonacci数列的通项公

项公式.

..方程X2--X--解:.1:0有两个不同的根x.:—

—

x/3

一

,x:

T1-x/T

故可设其通项公式为a=d.()+ f).._.a.=?0. .

爵,从:f—l+V—T-1一f—1-V—7-1(?1).

"5\2/5\2/

对于二阶线性递推数列,可以利用定理1很快地加解决.但我认为,深理解二阶线性推数列的求法.对数学想方法的掌握是大有处的,求数列的通项公式与求方程的根联系来,很好地实现了学各知识之间的

二阶线性递推数列求解方法

二阶线性递推数列求解

对于阶线性递推数列,如由条件a=2,a=2a+1,求{a}的通项公式,在里,由a=2a+1可以拼凑一个等比数列,先求该新构造的等比数列的通公式,进而求得{a}的通项公式,解法如下,a+1=2,a+1,,设b=a+1,则b=a+1,那么数列{b}是首b=a+1=3,公比q=2的等比数列,因此b=3?2,所以a=3?2-1,而对于如a=2,a=5a+3这种一眼看不出来的一阶线性递推数列,我可以用待定系数来求,解法下,设a+x=5,a+x,,则a=5a+4x,?4x=3,?x=,因此类前面

而对于二阶线性递数列,一个自然的想法是可否类比解一阶线性递推数列的方法来求解数列通项式,如

例,, 数列{a}满足a=1,a=2,a=6a-9a,求数列{a}的项公

解,设a-xa=y,a-xa,,则a=,x+y,a-xya,?x+y=6xy=9,求得x=3y=3,?a-3a=3,a-3a,,设b=a-3a,则b=a-3a,那么数列{b}是以b=a-3a=-1为首项,公

由?式可得a-3a=-3

3a-3a=-3

……

3a-3a=-3

把上面各式相加有a-3a=-,n-1,3,?a=-,n-4,3.

上题中求得的x和y正好是相的,我们再来看下面的一

例,,数列{a}满足a=5,a=2,a=2a+3a,n?3,,求{a}的项公

解,设a-xa=y,a-xa,,整理

?a-3a=-,a-3a,或a+a=3,a+a,,

?a-3a=,-1,,a-3a,=,-1,×13 ?

a+a=3,a+a,=3×7?

由??两式得4a=3×7+,-1,×13,

?a=,3×7+,-1,×13,.

该题目中求得的x和y是不的,所以构造等比数列有两种形式,比以上两道题目的解答过程,事实上,对于一般的二线性递推列,有如

定理,,若x,x是递推关系a=ca+ca,n?3,的特征方程x=cx+c

,,,当x?x

,,,当x?x时,a=,β+βn,x,

其中α、α、β、β是由初始值确定的

应用这个定理,我们来解决,::,年广东高考卷中的一

例,,设p,q为实数,α,β是方程x-px+q=0的两个

,,,证明,α+β=p,αβ=q.

,,,求数列{x}的通项公

,,,易证,略,

,,,由x=p,x=p-q,?x=1

当α=β时,设x=,a+na,α,?a=1,a+a,α=p,?a=1a=1,

?x=,1+n,α

当α?β时,设x=aα+aβ,?a+a=1aα+aβ=p,?a=a=

?x=?α+?β=,

综上所述,x=,1+n,α(α=β)(α?β),

上题在,::,全国高中数学联赛中也考到,最我们来求著名的Fibonacci数列通项公

例,,设数列{a}满足a=1,a=1,a=a+a,求数列{a}的项公

解,?方程x-x-1=0有两个不同的根x=,x=,

?α+α=0α?摇+α?摇=1,?α=α=-,

从而a=-,n?1,,

对于二阶线性递推数列,可以利用定理,很地加以解决,但我认为,深刻理解二阶性递推数列的求法,对于数思想方法的掌握是大益处的,将求数列的通项公式与求方程的根联系来,很好地实现了学各知识之间的

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二阶线性递推数列的通项公式

2010年5月第23卷第3保定学院学报

2010年第3期Vol．23No．3

文章编号：1674-2494（2010）03-0034-04

二阶线性递推数列的通

高焕江

（邢台医学高等专科学校数学

摘要：在数学建模中常常用数列的递推公式求数列通项，递推公式求数列通项既可考等价与化归数思想，又能加深考生等差与等数列的理解，因而这类题在高考和学竞赛中经推导出二阶线性递推数列的通项式. 常出现. 故一阶线性递推数列

关键词：数列；递推公式；通

文献标识码：A

引理1若数列{a n }的递推公式为a n+1=pa n +q（p ≠0），则有

q q

p n -1+. 1）p =1时，a n =a 1+（n-1）q ；2）当p ≠1

证明1）当p =1时，数列{a n }是公差为q 的等差数列，此时a n =a 1+（n-1）q ；2）p ≠1时，令a n+1+α=p （a n +α），则有a n+1=pa n +α（p -1）．将此式a n+1=pa n +q 比较，得α（p -1）=q，

．p-1

q q ，且b n +1=pb n ，从而{b n }是首项为a 1+，公比为p 的等比数列，故b n =b 1p n -1=p-1p-1

q q q

p n -1，于是a n =b n -α=（a 1-p n -1+.

从以上推导过程可以看，当递推公式a n +1=pa n +q 中的参数p 、q 复数时，结论

1二阶齐次线性递推数列的通

定理1[1]若二阶齐次线性递推数列的递推关系

；a 2-αa 1p -p +n-1a 2-αa 1n -1

2）当p +4q >0时，a n =（a 1-·α+β，其中α=，β=；

3）当p 2+4q <0时，a n="（a" 1-n="" -1·αn-1+β，其中α="，β=.">

α+β=p，

姨αβ=-q.

[2]

证明令a n+1-αa n =β（a n -αa n-1），则有a n+1=（α+β）a n -αβa n-1．将此式与已知递推公式a n+1=pa n +qa n-1比较，有

收稿日期：2009－11－25

作者简介：高焕江（1963－），男，河北沧州人，副教授.

高焕江：二阶线性递推数列的

1）当p 2+4q =0，此方程组有一一组实数解α=等比

上式两边同除以βn +1，得令b n =

，β=，此时数列{a n+1-αa n }是首项为a 2-αa 1，

a n+1a a n 1a a 1a n 1

=（a 2-αa 1，但由于=1，故

则{b n }是公差为（a 2-αa 12的等差数列，故b n =b 1+（n+1）（a 2-αa 12，从而n ，βββ

p -p +，β=．显然有a n =a 1βn -1+（n+1）（a 2-αa 1）βn -2=a 1βn-1+（n-1）（a 2-αa 1）βn -2．

2）当p 2+4q >0时，方程组有组实数解．取其一组解作为α、β的

β-α≠0≠1，则数列（a n+1-αa n ）是首项为a 2-αa 1，

上式两边同除以βn +1，得令b n =

a a a 1

n =（a 2-αa 12. n +1-ββββ

a n a 1

则b n+1=b n +（a 2-αa 1. ，a

这个递推公式已经符合面所讨论过的“a n+1=pa n +q”类型，且β-a ≠0≠1，由

b n =［b 1-n -1n -1

（+，从而a n =（a 1-·αn -1+β．

β（β-a ）ββ（β-a ）β-a β-a

p -i ，

3）当p 2+4q <>

n -1

．显然β-α≠0≠1，按照与2）相同的步骤也

2ββ-a β-a 作为以上结论应用，看如下2个求数列项的

例1数列{a n }中a 1=1，a 2=1，a n +1=a n +a n -1（n ≥2），求它的

解令a n +1-αa n =β（a n -αa n-1），变形为a n +1=（α+β）a n -αβa n-1．将此式与a n +1=a n +a n -1

推得的通项公式与2）中推出的通项公式形式完全相同，只不过此式中的α、β是复

1αβ=-1.

α+β=1，

1-1+a -αa 1α

，β=，代入前面推得的

αβ11a n =-αn -1+βn -1=βn -αn ）=姨

解令a n +1-αa n =β（a n -αa n-1），变形为a n +1=（α+β）a n -αβa n-1．将此式与a n+1=a n -a n -1比较，有

数列{a n }中a 1=1，a 2=2，当n ≥2时a n +1=a n -a n -1，求它的

1αβ=1.

α+β=1，

1-i 1+i

，β=，代入前面推出的公

姨姨此方程组无实数解，取其组复数解作为α、β

a -αa 1a -αa 1

αβ=1，2=α，a 1-2=β，得a n =βαn-1+αβn-1=αβ（αn-2+βn-2）=αn-2+βn-2=1-i 注

1=2cos ．32

n-2

保定学院学报2010年

2二阶非齐次线性递推数列的

定理2

若二阶非齐次线性递推数列

（n -1）（n -2）A ；当q ≠-1时，a n =a 1+（a 2-a 1-·1）若p+q=1，则当q =-1时，a n =a 1+（n -1）（a 2-a 1）+

n-1

1-（-q ）A

+（n -1）．2）若p+q≠1，则p 2+4q =0，a n =（a 1+λ）βn-1+（n -1）［a 2+λ-β（a 1+λ）］βn-2-λ，其中β=

a n =［a 1+λ-a +λ-α（a +λ）a +λ-α（a +λ）n-1

·αn-1+β-λ，

p A

，λ=. p-p+A

其中α=，β=，λ=.

当p 2+4q <>

a n =［a 1+λ-a +λ-α（a +λ）a +λ-α（a +λ）n-1

·αn-1+β-λ，

p-i p+i A

其中α=，β=，λ=.

证明

1）若p+q=1，且q =-1，则有p =2，此时递推关系为a n +1=2a n -a n-1+A ，变形为a n +1-a n =a n -a n -1+A ，令b n =a n +1-n-1

n-1

a n ，则b n =b n -1+A ，数列{b n }

1a n =a 1Σ（a k+1-a k ）=a 1+Σ［（a 2-a 1）+（k-1）A ］=a 1+（n-1）（a 2-a 1）+n-1）（n-2）A ；

k =1k =1

若p+q=1，且q ≠-1，则令a n +1+λa n +μ=k （a n +λa n-1+μ），即有

a n +1=（k -λ）a n +λka n -1+μ（k -1）.

此式与a n +1=pa n +qa n -1+A 比较，得λk =q ，

μ（k -1）=A .

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

k -λ=p ，

此方程组在q ≠-1时存在实数

．q +1

n -1

故数列{a n +1-a n +μ}是首项为a 2-a 1+μ、公比

k -1

a n =a 1+Σ（a k+1-a k ）=a 1+Σ［（a 2-a 1+μ）（-q ）-μ］=

k =1

n -1

1-（-q ）

a 1+（a 2-a 1+μ）-（n-1）μ=

1+q

n-1

a 1+（a 2-a 1-

n -1

A 1-（-q ）A +（n-1）. 2）若p+q≠1，则令a n +1+λ=p （a n +λ）+q （a n -1+λ），变形为a n +1=pa n +qa n -1+λ（p+q-1），此式与a n +1=pa n +qa n -1+A 比较，得λ=

A ．p+q-1

令b n =a n +λ，则有b n +1=pb n +qb n -1．即转化为二阶齐次线性递推数列的形式，应用二阶次线性递数列通项

当p 2+4q =0时，b n =b 1βn -1+（n-1）（b 2-βb 1）βn -2，从而

a n =bn -λ=（a 1+λ）βn -1+（n-1）［a 2+λ-β（a 1+λ）］βn -2-λ，

其中β=

. ，λ=

2p+q-1

n -1

·αn -1+β，从而β-αβ-α

当p 2+4q >0

高焕江：二阶线性递推数列的

a n =［a 1+λ-其

a +λ-α（a +λ）a +λ-α（a +λ）n -1

·αn -1+β-λ，

β-αβ-α

p -p +A ，β=，λ=.

b -αb b -αb n -1

·αn -1+β，从而β-αβ-α

当p 2+4q <0时，b n="（b" 1-a="" n="［a">

a +λ-α（a +λ）a +λ-α（a +λ）n -1

·αn -1+β-λ，

p -i p +iA

其中α=，β=，λ=．

作为上述结论的应用，看如求数列通项的例

数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，当n ≥2时a n +1=2a n +3a n-1-4，求

应用上面推出的二阶非齐

p -p +A β=λ=注意到a 2+λ-α（a 1+λ）=1，β-α=4，代入公式，

a n =［a 1+λ-a 2+λ-α（a 1+λ）a +λ-α（a 1+λ）n -11n

·αn -1+2β-λ=1+3n -1+（-1）］．

3结语

本文以一阶线性递推数列的通项公式为基础，运用类讨论、待定系数、变量替换、等价归等

别推出二阶齐次线性递推数列的通项公式和二阶非齐次线性递推数列的通公式，并举例说明它们求递推数列通项公式时的应用. 与同文献相比，不点是比较完备地推出了具体的性递推数列的通项公式，而不是仅指出推导路径. 有献认为，对于较为复杂的递推数列通项公式并通式通法[3]. 实际上，只要递推数列适当分类，有些递推数列是可以求其项公式的，至少对阶线递推数列和阶线性递推数列这样. 本文对三阶及三阶以上线性推数

［1］陶兴模．数学复习课的基本策略［J ］．数学通报，2005，44（4）：29-34. ［2］劳祥．递推数列求通项大观［J ］．数

［3］徐成瑞．几类一

General Term Formula of Second -Order Linear Recurrence Sequence

Gao Huanjiang

(TeachingInstitute of Mathematics ，Xingtai Medical College ，Xingtai 054000，China)

Abstract:Seeking the general term formula through the recurrence formula of a sequence is often used in mathematical modeling, it not only examines equivalence and transforming thought but also makes deeply understand arithmetic and geometric sequence better, so such topics is often appeared in college entrance examination and mathematics competition.This paper has derived the general term formula of second -order linear recurrence sequence which is based on the general term formula of first -order linear recurrence sequence ．

Key words :sequence; recurrence formula; general term formula

二阶齐次常系数线性递推数列的平方特征

二阶齐次常系数线性递推数列的平

胡瑞浩

( )金华市鞋塘高级中学 , 浙江 321036

( ) 中图分类号 :O122 - 42 文献标识码 :A 文章

定理 2 若有数列{ a } , { b} 分别满足设数列{ a } , 已知前两项, a及递推 a n n n 1 2

关系式 : 递推关系式 : a = aa + ba ( n ?3) a = aa + ba ( n ?3) , ( )1 n n - 1 n - 2 n n - 1 n - 2

2 2 2 2 2 ( ) ( ) aaab = a+ bb + b a+ bb 则= + 2 aba a + - n - 1 n - 1 n - 2 n - 1 n - 2 n n

3 2 2 ) ( babb n ?4, n - 2 n - 3

2 2 2 2 22 2 2 a= aa+ 2 aba a + ba ?且 b = a, b = a, b = a, a = aa + ba , . n + 1 - 1 n - 1 1 1 2 2 3 3 3 2 1 n n n

2 又 ba = a - aa ,( ) 则必有 b= an ?1. n - 2 n n - 1 n n

2 2 22 2 ba= a- 2 aa a + aa ?. 利用两个

少与递推数列的平方有关的问题 . 消去 a a 得 : n n - 1

2 3 2 2 2 2 例 1 斐那契数列{ F}

2 2= F+F, 则数列FF= 1 , F= 2 , 1 2 n + 2 n + 1 n ) aba . n - 1 2 2 2 2 2 2 { F } 满足递推关系

2 2 2 2 反之若有数列{ a } 满足 : a= 1 , a= 1 , n 0 1 ( ( )aa即= a+ )+ b a+ b b n n - 1

a= 4 , a = 2 a + 2 a - a , 则必有 : 3 2 22 n + 3 n + 2 n + 1 n ba( )( )- n ?42 ?a n - 2 n - 3 2 a = F . n n 定理 1若列 { a } 满足推关系式 n 例 2 数列{ a } 定如下 : a= a= 2 , n 1 2 2 ( ) ( ) 1, 则数列{ a} 满足

2 a- 3 aa+ 17 a- 16 n + 1 nn + 1 n 这说 , 二阶齐次常系数线性推数列 ( ) a= n ?1.n + 2 3 a- 17 - 4 a a + 18 a n + 1 n n + 1 n 2 { a } 的每项平方组成的新数列 { a} 满足新 n n 1 ) ( 明 :{ a } n ?1的项均具有 1 + n 2 ( ) 递推关系式 2. 因为数由它前面若 m 的形式 , 中 m 为正整数 . 干项递推关系全确

收稿日期 :2001 - 12 - 03

2002 年第 5 期

( ) n ?3.1 a = 1 + 代入递, 把证首先替换 n b n设 b= a, 则 n 2 n 1 关系式得 :1 += b = a = 1 , b = a = 4 , b = a = 9 且 1 2 2 4 3 6 b n + 2 1 1 11b= 2 b+ 2 b-b. 1 +1 + 1 + 1 + - 16 2 n + 1 n n - 1 n - 2 - 3 + 17 b bbbnnn + 1 n + 1 . 111 1 2 2 1 +1 + 1 + 1 + 3 - 4 + 18 - 17 ( ) 令 a+ b = 2 且 b a+ b= 2

3 - b = - 1 , 解得 : a = ?1 且 b = 1 . 化简得 : b= 14 b- b- 4 . n + 2 n + 1 n

?? 取 a = 1 . b= b+ b ? b= 14 b- b- 4 3 2 1n + 3 n + 2 n + 1

?数列{ b} 是另一个数列 { c} 的各项相减消去 - 4 得 : n n

2 b= 15 b- 15 b+ b平方 , 即 b= c. n + 3 n + 2 n + 1 nn n 2 2 3 ( ) 令 a+ b = 15 且 b a+ b= - 15 且 ( )而 c= 1 , c= 2 , c= c+ cn ?3 b1 2 n n - 1 n - 2 -

= 1 , 解得 : a = ?4 且 b = - 1 . 显然 , c正整

2 容易算出 : b= b= 1 , b= 9 , 1 2 3 因此 , a= b= c是完全平方

例 4 已知数列{ a } , a= 1 , a= - 1 , n 1 2 而 b= 4 b- b. 3 2 1

a = - a - 2 a ( n ?3) . n n - 1 n - 2 ? 取 a = 4 , b = - 1 . n + 2 2 2 求 : 2 - 7 a 是完全平方数 .

证对于数列{ a } 根据定理 1 有 : n 其中 c=b= 1 , c= b= 1 , 1 2 2 1 2 2 2 2 ( ) a = - a + 2 a + 8 a n ?4. n n - 1 n - 2 n - 3 ( ) c= 4 c- cn ?3, n n - 1 n - 2 n + 2 很明显 , { c} 是正整数列 . n 2 -b n2 n + 2 2设 b= 2 - 7 a , a =, n n n 7 1 1 1 ( 即 a = 1 + = 1 + 是 1 + 其 n 2 2 代入上得出列{ b} 的递推关系式 : ncm b n n n + 2 n + 1 n 2 -2 -()b2 2 - b b n - 1) nn - 2 m 是正数的形式. = - + 7 7 7 ( )例 31991 年全国高中数学赛试题 n - 1 ( ) 8 2 -bn - 3设 a 为下述自然数 N 的个数 : N 位数 n + . 7 字之和为 n , 且每位数字只能取 1 或 3 或 4 . 化简得 : b = - b+ 2 b + 8 b . n n - 1 n - 2 n - 3 求证 : a完平方数 , 这

a = a + a + a ,n n - 1 n - 3 n - 4 3 22 经计算 : b = 2- 7 a = 1 = 1 , 1 1 ? a= a+ a+ a. 2 n 2 n - 1 2 n - 3 2 n - 4 4 2 2 b= 2 - 7 a= 9 = 3 , 2 2 a= a+ a+ a.2 n + 1 2 n 2 n - 2 2 n - 3 5 2 2 ( ) b= 2- 7 a= 25 = - 5. 3 3 a.a-a+ a-a= a- 2 n 2 n 2 n - 42 n + 1 2 n - 1 2 n - 2 又 ? - 5 = - 1 ×3 - 2 ×1 , 取 a = - 1 , a.a+ a= 2 a+ a- 2 n + 1 2 n - 1 2 n 2 n - 2 2 n - 4 2此 b = c . n n a ,又 ? a + a = a - n - 4 n - 1 n - 3 n 其

a.? a+ a= a- 2 n + 1 2 n - 1 2 n + 2 2 n - 2 c= - c- 2 c( n ?3) . n n - 1 n - 2

a? 2 a+ a- 2 n - 42 n 2 n - 2 显然 , c 是整数. n = a- a.2 n + 2 2 n - 2 2 n + 2 2 c所以 , b= 2 - 7 a= 是

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