微积分的应用

微积分的应用

工商管理类1103班 学号：20113186 辛悦

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分、积分学及其应用。微分学主要括导数的运算，是一套关化率的理论。它使得函数、速度、加度和曲的斜率等均可套通用的符号进行讨论。积分包括求积分的运算，为定义计面、体积、等提一套通用的

许多著名的科学家为微积分的创立做出了贡献，他们将微积分应用不同领域，使过去许多初数学束手无策的问题迎刃而解，充分体现了积分的凡之处。当然，当社会也无法缺分。举

1、 在经济中的应

设某服装企业制作牛仔裤的总收入函数为R(Q)=83Q-0.0+Q2，总成函数为C(Q)=6000+3Q+0.01Q2，Q的单位为，R(Q)C(Q)的

（1） 分别求企业制作500条和900条牛仔裤

润及边际利润；

（2） 是否产量越高，赚钱

解答：（1）由总收入和总成本与总利润的关系，可得总

L(Q)=R(Q)-C(Q)=-6000+80Q-0.05Q2

则企业制造500条牛仔裤的利润为L(500)=21500元，

L(500)=21500/500=43元；制作900条牛仔裤的利润L(900)=25500元，平均利润

由总利润函数，求得边际利润L′(Q)=80-0.1Q,因此L′(500)=30，L′(900)=-10，即产量为500条时，再多制作1条总利大约会增30元；产量为900条时，再多制作1条润大约会

(2)由（1）中的结果可看出，制作900条牛仔裤的平均利润远低于制作500条牛裤的平均利润，且产量为500条时，再制作第501条时总利润会增加，而产量900条，再制作第901条时利润会减少。由此见是产量越

2、在经济管理中的应

在经济管理中的应用比如：复利和贴现、蛛网模型，以蛛模

在市场经济中常会遇到循环现象，即产品在某期的产量低于上一期且供不求，这时期价格就会上升；而价格上升，又会促进下一期的产量增加，出现供大的现，这时价格又会下降，循环反复直至达到衡，即供求相等。蛛网模型就是过进时间变化的因素，连续考察属于不同时期的需量、供量和格之间的相互，用动态分析的方法，论述诸如农品、牧产品这类生产周期较长的商品的量和格偏离均衡状态以后的际波动过及

3、 在经济学和管理学中的

① 微积分第二基本定理说明，如果函数f(x)在区间[a,b]

F(x)是f(x)的一个原函数，那么

a∫bf(x)dx=F(b)-F(a)

由导数的定义我们知道f(x)是F(x)关于x的变化率，而F(b)-F(a)是F(x)在[a,b]上的改变量，所以积分第二理又

a∫bF′(x)dx=F(b)-F(a)

因此在经济学中由边际函数求总量的问题，比如由边际需求求总求，由边际成本求总收益，由边际利润求总利润等都可以长定

② 终值和现值是经济管理中的两个重要概念，因为它可将不同时期的资金转换为同一时期的资加以比较、析

③ 洛伦兹曲线是衡量某一社会收入分配平均程度（衡量贫富差距）的常用工，以人口累积百分比P为横轴坐标，以收入累计百分比工作为纵轴坐标，画出曲，如图曲线L，称线L为洛伦兹曲，

曲线上点（P,I）

义：总人口中100P%

人口占有全社会收

100I%，如（0.30,0.15）点

是曲线上的一点，则说

人口中30%的最穷人

占有全社会收入的15%。

用洛伦兹曲线可以衡量社会是否存在富

但无法衡量贫富

差距的大小，所以我们希望能有一个反映社会贫富差距大的量化指标，基尼系数就是一个反映社会贫差距的大常用

4、 在概率中的

概率论中研究的随机变量主要有两类：一类是离散型随机变量，另一类是连续型随机变量，在研究连续型随机变时定积重要

所谓连续型随机变量，是指其取值充满区间的随机变量，比如某种灯泡使用寿命，某类人群身高等都是连续型随机变量。下面给出定积在概率中的计算随机事件生的概率和随的平均

对于随即变量X，若存在非负可积函数f(x)(-∞

a∫bf(x)dx

则称X为连续型随机变量，称f(x)为X概

根据概率的性质可以证明，连续型随机变量在某一区间内的概率与间端

aP(a

微积分在各领域的应用是非常广泛的，无法一陈述，微积分的建立是人类头脑最伟大的创之一，一部微积分发展史是人一步一步顽强地认客观事物的历史，是人类理性思的结晶，它结一整套的科学方法，创了科学的新纪元，并加强与加深

有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了工业生产，也有了现代化的社会。天飞机，宇宙飞船等现化交通工具积分的

最后，用恩格斯的一句话来结尾，“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果某个地我们看到人类精神纯粹的和唯一功，那就正

微积分的应用

微积分的应用

微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微，“无限求和’”就积分。无限是极限，极限的思想是微积分的基础，它是一种运动的思想看待问题。如，子弹飞出枪膛瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间行的路程之和就是

如果将整个数比作一棵大树，那初等学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，树干的主要部分就微积分。微积分堪称类智慧最伟大的成一。从17世纪始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学入了“量数学”时代，即微积分断完善成为一学科。个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的，使微积分为数学的一个重要分

从微积分成为门学来说，是在17世纪，是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公前3世纪，古希腊的学家、力学家阿基米德(元前287—前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问中就隐含着代积分的思想。作为微积分基础极限理论来，早在国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下”中，著“一尺之棰，日取其半，

1

他的割圆术提出“割之弥细，所失少，割之又割以至于不可割，则与圆合而无所失矣”。他在1615年《量酒桶体积的新科》一书中，就曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳。意大数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段(不可分)成的。些都为后来的微积分

17世纪生产力的发展动了自科学和技术的发展，不但有的数学成到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究动着的物体和变的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的的一般性和们之间的依系。到了17世纪下半叶，在前人创性究的基础上，英国数学家、理学家艾萨克?牛顿(1642,1727)从物理学的角研究微积分，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“数术”的主要著是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的算法》和《流数术无穷极数》。这些概念力学概念的数学反映。牛顿为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时作为自变量，把和时间有固变作为流量，不仅这，他还把几何图形——线、角、体，都看力学位移的

德国数学家莱尼茨(G(W(Leibniz 1646,1716)则从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之

2

研究过，他们为积分诞生作了开创性贡。但池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨立微积分的途径与方法牛顿是同的。莱尼茨是研究曲线的切线和曲线包面积，运用分学方引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于顿一筹，既洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高数学的发。莱布尼茨创造的积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代展样，促进了微分学的发展，莱布尼茨是数

牛顿当时采用微分和积分符号现在用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼比别人更早更明确地识到，好的符号能大大省思维劳动，运用符号技巧是数学成功的键之一。限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独地建立了积分学。他们建立微积分的发点是直观的无小量，论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立极限论，康托等建立了严格的实数理

客观世界的一事物，小至子，大至宇，始终都在运动和变化着。因此数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用

由于函数概念的生和运用的

3

要，一门新的数分支就继解析几之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数发展中的地位是十分重要的，可说它是继欧氏几何后，全部数

4

(1)一元微积分的应用

第一部

I。一

§1 曲线的渐近线

函数曲线的渐近线对作那些可以延伸到穷远的函数的图形，把握图形变化趋势具有重要的作用，曲线的渐近分为：垂直，水平，斜渐线（水平渐近是其特殊情况），我们先给出它们的统

关于函数的渐线一般教科书常只给出水及垂直渐近线的求法，但曲线的渐近线通常也是研究生考试的必考内容，这里给出了斜

一。渐

定义1.1.1当曲线y?f(x)上的一动M沿着曲线移向无穷远点时，若

的距离

y

图 1-1.1

二。渐线的求法：渐

下面分别

1.

函数的平及垂直近线的求法：

分的课程

如果limf(x)?c(limf(x)?c)?y?c为y?f(x)一

x???

x???

(-?)(limfx(?)?+（或?）-?)x?c为y?f(x)一条垂直如果limf(x)???或

x?c?

x?c?

渐近线；（如图1-1.2）

y?

?

2

,y??

?

2

.

y?arctanx,

有水平渐近线两条:

y?tanx

垂直渐近线：x?? 图: 1-1.2

例如：y?e;y?arctanx;y?

x

(2k?1)

? 2

11

均有水平渐近线；y?;y?lnx,y?tanx均有垂xx

直渐近线；

注意点：水平渐近时应让x别趋于正负无穷求极限，如果得不同极限则得不同渐近线；对于

*2关有理函数垂

x2?2x?1(x?1)2x?1

例如：y?2垂直渐近线x??2 ??

x?x?2(x?1)(x?2)(x?2)

这里x?1虽也是分母的零，但因它也分子的零点，因此它是函数的可去断点，故x?1不是函数的垂直渐近线；故求有理函数

1）将分，分子分解因，2）消去公因子，则由分母为零的点即可得函数

3.斜

由斜渐近

x???

是函数有

斜渐近线求法如下：设f(x)的斜渐近线为：y?ax?b；1）求a（斜渐

f(x)?ax?b

?0

x???x???x因 （1.1.1）

f(x)axbf(x)lim?lim?lim?0?lim?ax???x???x???x???xxxxlim[f(x)?ax?b]?0?lim

2）求出a

x???

（斜渐近之截距）即可求

x???

f(x)

不存在或为无大，则

x???

f(x)

?0，lim[f(x)?ax]?limf(x)?b有水平渐近线y=b，故在求

x???x???x

斜渐近线

3）和求直，水平渐近类似，求斜渐近

4.例题：

2(x?2)(x?3)

的渐近线.

x?1

解 易函数f(x)的

?limf(x)???,limf(x)???, ??

x?1

x?1

?x?1

又?lim

x??

2(x?2)(x?3)f(x)

?lim?2, x??x(x?1)x

2(x?2)(x?3)?2x(x?1)?2(x?2)(x?3)?

?4, lim??2x??lim

x???x?1x?1?x??

?y?2x?4是线的一条斜

三。考研真题：

1.曲

x2

2.曲线 y ? 的斜渐近线的方程为—

2x?1

*3曲线 y ?

的斜渐

x?y?4 52cosx?x 的水平渐近线为—— 1x

y??ln(1?e*5. x ) 的渐近

A 0； B. 1; C. 2; D. 3

1

答案与提：1）. Y=2x+1（无垂直

3） y ? x ? （垂直：x=0）

2

（ 3）的提示：计算y-ax=b时

1

4） y ? 垂：设a为满足5x-2cosx=0的点 ，则垂直渐

5

* 5）D，提示;

有一条垂渐近线；x=0；

3

12141） 2

§2. 定积分的应用

定积分是某种总量的数学模，它在几何学、物理学、经济学、会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大力. 也正这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善. 因此，在学习的过程中，我们不仅要握计算些实际问题的公式，更重要的在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和——微元法，不断积累和

一.定积分的元法：在应

U（总

方法——微元法，1.元素法的

1）由分写出微元 据具体问题，选取一个积变量，例如x 为积分量，并确定的变化区间【a，b】，任取【a，b】的区间微【x，x+dx】求出相应于个区间微元上部分△U的近似值，即求出所求总量U的一个区间微，

bb

2）、由元写出积分 据 dU ? f ( x ) dx 写出表

U?dU?f(x)dx

aa

应用微元法解实际问

1） 所求总量U于区间【a，b】具有可加性，即果把区间【a，b】分成许多部分区间, 则应地U分成许多部分量, 而总量U等所有部分量△U之和. 这一要求

2）使用元法的关键是确给出部分量△U的

dUf ( x ) dx f ( x ) dx ? ? ? U 在通常情况下，要检

穷小并非事，因此，在实

??

2.定积分的意义

b

f ( x ) dx1）.定积分 可看作一个“高级”的加法—即求和与取极限；即将“微元”

上进行“累积”

这就是“素法”的思想，因在用元素法计算定积时关键在于找准“元素”及“累积”

2）这种法是建立在“行”意义上的，如是非平行意义，例如非平行力，

?

化”处理。

3）.要意定积分的应用有范围的：其总量必须某直线段（区间）有关，否则便不

3.元素

平面图形面积；积（旋转体

2）物理应

二。利

1. 旋转

体积微元dV??[f(x)]2dx, 旋转体的体

ab

2）绕y轴旋转

体积微元dV??[?(y)]dy旋转体的体积V??

2

?

d

c

[?(y)]2dy. （1.1.4）

2.平行

体积微元dV?A(x)dx, 所求立体的体积 V??A(x)dx. （1.1.5）

ab

注：绕y轴旋转还可用谓的“柱壳法”：设由函y=f(x)，直线：x=a，x=b，x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转：取区间微元：【x，x+dx】其对应的以dx为底，f(x)为的矩形绕 Y轴旋转的体积微元为dv=2?xf(x)dx，故绕y

b

Vy??2?xf(x)dx （1.1.6）

a

图1-1.3

例1.1..2.求y?sinx,(0?x??)x轴所围曲边梯形绕y轴旋

解1.如用公式（1.2。1）则化成两个曲

?

?

2.应

?

?

例1.1.3.计算摆x?a(t?sint),y?a(1?cost)相应于0?t?2?的一

成的图形绕x，y轴旋转所得旋转体体积。

2a

2a

22

解：方法1.绕y轴旋转：Vy?

233

?x(y)dy??x(y)dy?6?a（运算麻烦） 1??0

2?a2?

方法2.应用

?

xydx?2??a3(t?sint)(1?cost)d(t?sint)?6?3a3

三。 物理应用：

1.功：定积分的引入知，沿x轴方向作

x?a移动

W?

. (

?(x)dx?a

b

注：具计算作功一的问题时，不可

例1.1.4 把一个带?q电的点电荷放在r上坐标原点处，它产生一个电场，这个电对周围的电荷有作用力. 由物理知道, 如果一个单位正电荷

q

(k是

当这个单正电荷 在电中从 r?a处沿r轴移动到r?b处时, 计算电

的地方, 那么场对它的

解 取r为积分变量，r?[a,b],任一小区间[r,r?dr],

kq

dr,

W??

b

a

kq?1??11?dr?kq??kq???. 2??r?r?a?ab?

b

如果要考虑将位电荷

?

??

a

kqkq?1?

dr?kq??. 2??ar?r?a

??

例1.1.5 在底面积为S的圆柱形容器中盛

胀, 把容中的一个塞(面积

解 如，活塞的位置用坐标x表示. 物理学知道，一定量的气体在等

p与体积V的积是常

活塞上

kk.因为V?xS, 所以p?.故作用在VxS

kk

?S?.在气体膨

所以作用活塞上的力也是变.取x为积分变量，

k

[a,b]上任一小区间. 当活塞从x移动到x?dx时，变力F所作的功近似于dx,即功微元

x

b

bkkb

为dW?dx.于是所

axxaa

图1-1。4

例1.1.7 如图1-1.5一圆形蓄水池高为5米, 底半径3米, 池内盛满了水. 问要把池内的水全部

解 建立下坐标系，x为积分量，x?[0,5],取任一

5

?x2?

功微元 dW?88.2??x?dx,所求功W??88.2??x?dx?88.2????3462（千焦）

?2?0

5

x??x

图1-1.5

例1.1.8 如图1-1.6 有一直径为20m的半球

解： 取区间微

?V??y2?x??(100?x2)?x(m3), 抽出这层水需作的功为

?W?g??(100?x2)?x?x?g??x(100?x2)?x(焦)其中??1000( kg/m3)是水的密度，

g?9.8(m/s2)重力加速度.

所求功为

W??g??x(100?x2)dx?g???x(100?x2)dx?g

1010

??

4

?104

?2500??g?7.693?107(焦).

图1-1.6 2.水压力

由物理学知道，水深为h

?

是水的密度．如果有

一面积为A的平板水地放置在水深为h，那么，平板一侧受的水压为P?p?A． 如果平板垂直放置在中，由于水深不同的点压强p不相等，板一侧所受的水压力就不能直接使用

例1.1.9 一个横放着圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水, 设桶的底径为R水的比重为,? 计算桶的一端面上所受的压

图1-1.7（1） 图1-1.7（2）

解 桶一端面建立图坐标系，取x

[x,x?dx],小形片上各处压

dP?2?xR2?x2dx,端面上所受

R

RR

R2?x2d(R2?x2)

2?3?2?

????(R2?x2)3??R.

33??0

例1.1.10 将角边各为a及2a的直三角形薄板垂直地入水中，边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边水面的距离恰等于该边的长，求薄板所受侧压力.（图1-1.8） 解：取任一

2(a?x)dx,

所求压力

P??

(x?2a)???2(a?x)dx

a

7??a3.3

图1-1.8

3.引力

由物理知道，质量分为m1,m2

km1,m2

其中2

r

k为引力系数，引力的方

如果要计算一细棒对一个点的引力，么，由于细棒上各点与该质点的离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，

例1.1.11假有一长度为 l密度为?的均匀棒，在其垂线上距棒a单位处有一质量为m质点M，试计算该棒对质点M的引力. （图1-1.9） 解 如图 建

?ll?

y???,?,任取一

?22?

小段与

a2?y2,小段对质点的引力?F?k

m?dy

,

a2?y2

32

水平方向

am?dy

32

(a2?y2)

由对称性，在铅直方向分力为 F

y?0.

,Fx???k

l2l?2

am?dy(a2?y2)

?

?2km?la(4a2?l)

122

,

图1-1.9

*例1.1.12 计算半径为a, 度为?,均质的形薄板以样的引力吸引质量为m的质点P. 质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄平面的垂直直线上, 最短距离PQ

解 .由于薄板质均质且关于

，显然引力在水方向的分力为0，在垂直方向的力指向y轴的正向，所求的引力F看成布在区间[0,a]上.选取区间

?m??2?xdx,对

xcos?bx

?Fy?2km??2dx?2km??dx. b?x2(b2?x2即相应于

?bxdx?2km??1?220(b2?x?

引力F的大

. Fy?2km???

a

?

. 即所求图1-1.10

四。考研真题：

2

2

1.设曲线y?ax(a?0,x?0)，与y?1?x交与点A，过坐标原点O与A的直线与线围成一平面图形，问a为何值时图形绕x轴旋转一周所得旋转体

2

?a?y?ax

?x?y?解：当x?

0时，由? 2

1?a??y?1?x

直线OA

的方程为：y?

V?0

a2x22??a2x4)dx?1?a15

a2(1?a)

5

2

(a?0)

dV?(4a?a2)

??0?a?4所求旋转体体积为：7da

15(1?a)2

Vmax?

2.位

解：s?

?

xe?xdx?1

2

3.设D1是由抛物线y?2x，和直线x=a，x=2和y=0所围成的平面区域，D2是由抛物线

y?2x2，和直

（1）试求D1绕x轴旋转所的旋转体体V1及D2绕y轴旋转所成的旋体体积V2 （2）试问a为何值时，V1?V2取得

4?(32?a5)22

,V2??a2?2a2??解：（1）V1???(2x)dx?

5a

2

2a2

?

y

dy??a4 2

V?V1?V2?

（2）

?a?1,Vmax

4

(32?a5)??a4?V??4?a3(1?a)?05

129??

5

4.过坐标原点作线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴所成平面图形D （1）求D的面积；（2）D绕直线：x=e旋转一周所成转体体积。 解：（1）设切点为x0

1

1

(x?x0)，因切线过原点，有：x0

1e

x0?e?方程：y=x，D的面

e20

（2）可视为线，x轴，及x=e所围三

1?

V?V1?V2??e2???(e?ey)2dy?(5e2?12e?3)

360

5..某门的形状与大小图1-1.11所示：其中直线l为对称轴，闸门的上部为

下部由二次抛物线与段AB所围成，当水面闸门的上端相平时，欲使闸门矩部分承受的水压力与闸门下部承受的水压之比为5:4，闸门矩形分的高h应为多少m（米）。 解：抛物线方程：x?h?1?y2，闸门矩形部

?

12

p1?2?

?gxdx??gh闸门下部分承

3150h

2

hh?1

由题意：p1:p2?5:4即得：h=2

图1-1.11

6.某建工程打地基时，需用气锤将桩打进土层，气每次击打都将克服土层对的阻力作功，桩的阻力小与桩被打进地下的深度成正比，（比例数为k（k>0））气锤第一次打将桩打进地下am（），根据设计方案要求气锤每次击打桩时所做的功前次击打桩时所做的

1） 气锤击

2） 若打击次数不，气锤至多能将桩打地下多深？ 解：1）设第n次打后，桩被打进地下xn，第n次击打时锤所做的功为：（n=1,2,3，。。。），Wn由题意当桩被打进地下深为x时，

2

12121

W1??kxdx?kx1?ka,W2??

kxdx?k(x22?a2)

2220x1

x1

x

由

2

W2?rW1?x2?(1?r)a2?x2?

同理可得：x3?。

xn?xn?1

k2

(xn?1?(1?r?2

2）

设Wn?1?

xn

?

kxdx?

?rn?1)a2)?rWn??rnW1

?xn?1???limxn?1?n??

*7.为除井底的污泥缆绳将抓斗放入井

400N绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升的过中， 污以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉。将抓起污泥的抓斗提升至井口，克服重力需作 多少尔的功？（说明：①1N×1m=1J；②抓斗的位于井口上方的缆

分析：所求共应分为部分： ①克服抓斗身重力做功是常力功；②克缆绳重量作功， 因缆绳随提升高度增重量减少，故是变力作功 ③克服污泥重量功，因污泥也是随提升高度增加重量减

方法1.从井底起向上的x轴，做的为W?W1?W2?W3它分别表示克服抓斗重力功，缆绳功，泥功，其中：W1?400?30?12000J 将抓斗从x提升到x+dx

30

dW2?50?(30?x)dx?W2??50?(30?x)dx?22500J

在【t，t+dt】时间间隔内升污泥所需作

10

?3(2000?20t)dt?57000J故总功为：

W?W1?W2?W3?12000?25000?57000?91500J

*方法2.在时

?W?dW?[400?(2000?20t)?50(30?3t)]?3dt?30(390?17t)dt

10

W??30(390?17t)dt?91500J

§3：广

判定一个广义积分收敛性,是一个重要问题. 当被积数的原函求不出来,或者求原函数的计算过于复时,利用广义积分的定义来判断它的收性就不适用了. 因此,我们需要其

一。无穷

定理1.1（比较审敛原理）：设f(x),g(x)在区间[a,??);(a?0)上连续，，

??

??

1）如果：0?f(x)?g(x),(a?x???)且

?g(x)dx收敛，则f(x)dx收敛；

a

?

a

??

??

2）如果：0?g(x)?f(x),(a?x???)且

?g(x)dx发散，f(x)dx发散；

a

?

a

注：1.可将广义分比较原理与

2.可俗的说：大积收敛，则小积分

推论1.设f(x)

1） 如果存在

M

x

p,(a?x???) （1.1.7） ??

则

?

f(x)dx收敛；

a

2）如果存

N

x

,(a?x???) （1.1.8） ??

则

?

f(x)dx发散；

a

推论2（

1）当limxp

x???

f(x),(p?1) （1.1.9）

??

存在时

?

f(x)dx收敛；

a

2）当xlim???

xf(x),(p?1) （1.1.10）

??

存在或为无穷大时，

?

f(x)dx发散；

a

??

??

定义1.1.2：绝对收敛：如果积分?

f(x)dx收敛，则称级数

a

?

f(x)dx绝对收敛

a

定理1.2：绝对收敛级数必收敛

例1.1.13 判别广义积分

?

??

dx的敛散性.

1

x4

?1

解 因为0?

1

?

11

4

x4?1

x4

?

x

4/3

,这里p?3

?1,故由

例1.1.14 判别广义积分

?

??

1

x3/2

dx的敛散性. 2

1?x

x3/2x2x

?lim???, 故据推论2知，题

x??1?x2x???1?x2

例1.1.15 判别广义积分

?

??

1

1?e?x

的敛散性. x

1?e?x1

?, 由推论1知，题设广义积分

??arctanx

例1.1.16 判

1x

arctanx?

解 因limx?limarctanx?, 故根据推论2知，题设广

x???x???x2

?

例1.1.17 判别广义积分解 ?e

?ax

?

??

e?axsinbxdx的收敛性，其中a,b都是常数，且a?0.

e

?ax

sinbx?e

?ax

,而

?

??

dx收敛 .

??

|e?axsinbx|dx收敛，故题设广义积分收敛 . ??0

sinx3

dx(a?0).的收敛性

ax2

3??1sinx31??sinx解 由于|2|?2,而dx收敛，故?a|2|dx收敛，即2axxxx

绝对收

?

??

??

??

a

sinx3

2x

二。无界

定理1.3：（比较原

??

??

1）如果：当x分靠近点a

?g(x)dx收敛，则?

a

a

??

f(x)dx收敛；

??

2）如：当x充靠近点a时

?

a

f(x)dx发散则

?g(x)dx发散

a

（即大收敛则小的收敛，反之小

c

,(c?0) p

(x?a)

x?a?0

推论3f(x)在区(a,b]上连

1）如果存在常M>0,

??

M

,(a?x?b) （1.1.11）

(x?a)q

则

?

a

f(x)dx收敛；

2） 如果存在

??

N

,(a?x?b) （1.1.12）

(x?a)q

则

?

a

f(x)dx发散

x?a?0

推论4.（极限形式）设f(x)在区间(a,b]上连续，且f(x)?0,limf(x)???

1）

x?a?0

q

??

存在，则广义积分

?

a

f(x)dx收敛

2）如果

x?a?0

lim(x?a)qf(x)?d?0(或lim(x?a)qf(x)=+?) （1.1.14）

x?a?0

??

存在，则广义积分

?

a

f(x)dx发散

dx

的收敛

解 ?积函数在点x?1的右邻域内无界.

?

3

x?1

lim(x?1)?

11

?lim?1, lnxx?1?x

故根据推

例1.1.20 判别广义积分

?

sin1

1

dx的收敛性. x

收敛，

sin

解： 因为

1

?1,而xx

?

1

dxx

广义积分

?

sin1

1

收敛，从

1?cosx

dx的

1?cosx

解 由于x?0是f(x)?的瑕点，且 m

x

?

例1.1.21 判别广义积分

?

20

12x

1?cosx11

~?(x?0),

2xm?2xmxm

所以，当m?2?1,即m?3时，题设广义积分收敛 ;当m?2?1,即m?3时，题设

三。考研真题：

??

1.求

?

e

dx

2

xlnx

??

解一：

?

e??

dxdx1

?lim?lim(1?)?1； 2b???xln2xb????xlnxlnbedx1??xln2xlnx

??

e

b

解二：

??

?

e

?1

2

.

?

2

?

解：

?

2

2tdt2

?

(9?t2)t30

??

d(t/3)2

?arctan(t/3)2?1?(t/3)30

??

??/3

32

3.

解：

??x?x,0?x?1

x?x2??2原式

=???/2?2)

??x?x,1?x?3/21

21

3

2

4.

1

的收敛性为（

） 设m，n均为正整数，，则反常积分

（A）

）仅与n的值有关

（C）与m，n的值都有关；（D

）与m，n的值

???I1?I2

00

2?1?对于：I 1f(x)??x,(x?0)

分1）n>1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1，m>2讨论，知 I 1对任意

p

对于I 2 当 0

? x ? 0

（罗比达）故I 2

x?1

故无论 I I 2 对

微积分在生活中的应用

微积分

摘:微积分最要的思想就是

个事物始终变化你不好研，但过微元分割成一小块一小块，那就可认为是常量处理，最终加起来就行。微积分是与实际联系着发展起的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济等自然科学、社会科学及应用科学等多个分中，有来越广泛的应用。特是计算机的明更有助于这些应用的不断发展。本文将对微积分在生中应用进分析与阐述，以展

关键

中图分号:O172 文

数学价值不仅在于掌握识，而且数字是解决生活中实问题的重要工具，并能促进类智慧的进步。过数学的断发展，改变了人们的观察能力、思维能力、分能力以及个人素质等，以更好的思维式指导行动，能适应当发展迅速新社会、新形势。本文将结合微积分在生活中多面应用，对微积分知识

一、微积分概述

数学是人类的要工具，也是掌握他自然学科知识必备基础，应用于生活中能很好地解决实际问题。微积分主要是高等数学中研究函数的微、积分及其他概念的数学分支，是数

变化率理论等。微积作为数中的重要内容，主要自于实践。无论是在生活中还是学习中，微积分都能实现其最大化、优化的作用。械工作中，利用微积分进行制设计;园中，可利用积分计算面积或者不规则图形的面积;美术，可以应用其绘画色;在业管理中，可通过积分进行预测建模工;可见，微积分存在于活中的方方面面，是最方便的工具。如果有生活中大量实际问题的出现，没有数学家深入实际的研究，将生活中遇到的问题转化数学语言进行究，就不会有今天完善的微积分理论。微分的研究工作，实际为发点，主要考虑社会发展的需要，象而成的数学问题。整个微积分的研究过程对社会实践与进步起到决性作用，它向数学提出新题、新挑战，鼓励数学的进一步发，并提出了

二、

在现生活中，我们身边一切事物都能为数学研究提供务，实际上，微积分本身就在于生活的各物中，只不断深入挖掘，才能透过现象见本质，将抽象的学付诸于具体事物中。当我们对某个象的东西难以理解，就将它还原具体的事物中，也就是实现“具体―抽象―具”思维方式，以求不断进

(一)

在数极限的夹逼定中，画出3条与轴线垂直的线，分别代表3个垂直平面的平面，左到右将标记为Yn，a，Zn，并将a假设为固形式，Yn、Zn都向a无限接，而此时在Yn与Zn之间随意放入平面Xn，此值都是无限向a趋近，是夹逼定理的形象描

联系我们生中的实例，例如平在排队买票的过程中，很多人排成列长队，且后面的人越来越多，么夹在其中的人不必考虑多时间能排到自己，就会被后面的人“挟持”到购票窗，也就是夹逼定理的直观感受。其中Xn是实排的某个人，Yn和Zn则是某后面的队伍，而购票窗口即为确定的数值a。原本枯的积分，能够在生活中找到

(二)投资决策中的微积分

初等数学经济生活中的应用十分泛，例如在投资决策中，如果以均匀流的存款式，也就是将资金流水一的方式定期存入银行中，那么计t年末的总价值就通过定积分的方式。例如某企业一次性投资某项目2千万元，并决定年后建成投产，获得经济回报。如果忽略资金的时间价，那么5年时间就能收回投资本金，但是如果将资金时间价考虑进来，可能情况就会有所变化。因此，微积分的使用，投决策更趋于理性化、科学化，利

(三)“微法”计算

在研究定分计算平行截面的积已的立体空间体积时，假设将空间中某个立体面，一个曲面及垂直于x轴的个平面围成，使用任意点并与x轴面截立体垂直，得的截面面积也就是已知连续函数，此立体体积就能通过定积分表示。通过“微元法”得出结论。此种方法在生活中的应用，考虑为切瓜圈时，将洗净的黄瓜放水平放置的菜板，菜刀垂直于菜板的方向切去黄瓜两端，也就是所求体积的立体空。接来试想如将计算出这个不规则黄

距离且垂于菜板方向切下一黄瓜薄片，将其视为一个支柱体，这个体积也就是等于截面的积乘以厚度。举反三，如果这根黄瓜切成若干薄片，计算每个薄片的面积并加就可得到黄瓜的近似体积，且黄瓜约薄，体积值就约精确。么如何才提高这个数值的精确度呢,也就是将其无限细分，获得无限和，这正是定

综上述，微积分的明与使用并不是一蹴而就的，是人类集体智慧的结晶，是经过诸多专的共同奋与研究的结果，不断改进，不断探索最实现了从量到质的飞跃，从特殊到普遍性的过渡。微分在生活中的应用，不仅给人们解决了实际的生产问题，还体现了人类

参考文献:

[1]焦云航.以开放

[2]王荣波.经济生

[3]陈丹丹.漫谈微

[4]杨晓荣.经数学教学方式探

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