安静祝福她
证明等比数列
cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=3
a(2n-1)=3*a(2n-3)
a(2n)=3*a(2n-2)
bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)
因此bn/b(n-1)=3，所以bn为等比数列，公比为3。
2
设数列{a的第n}的
求证:数列{a的第n项}为等比数列
Sn=1/3(an-1)
S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)
Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/2
所以数列{an}为等比数列
3
已知三项是2，4,8，
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因为:
a(n+1)-an=2n
所以:
a2-a1=2
a3-a2=4
a4-a3=6
a5-a4=8
.....
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1个式子相加得到:
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右边是等
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)=2
因为比是2,不
5
数列an前n项和为Sn
(1)(Sn/n)是等比数列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+[标签:内容]
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证明等比数列
证明等比数列
证明等比数列记Cn=an*a
cn/c=an*a/an*a=a/a=3 a=3*a
a=3*a
bn=a+a=3*a+3*a=3
因此bn/b=3～所以bn为等比数列～公比为3。 2
设数列{a的第n项}的前n和Sn=1/3～n
Sn=1/3
S=1/3-1)
Sn-S=an=1/3+1)=/3
3an=an-a
2an=-a
an/a=-1/2
所以数列{an}为等比寡数列
3
已知前三酱是2～4,8～数列满想足a=a+2n～求数鹃列的通公式。这儿没围有
a-an=2n
所以:中
a2-a1=2
a3-征a2=4
a4-a3=咏6
a5-a4=8
..哦...
a-a=2
上n表-1个式
an-a1=2+4+谊6+8+.....2蛛
右边是等差数列～且和软=[2+2]/2=n胀
所以:
an-2=n^栽2-n
an=n^2-捞n+2
4、
已知数煮列{3*2的N此方}锌～求证是等比数列
烫根据题意～数
为了验剪证它是等比数列只需比较任一项和它相
所以第n项和撬第n+1项分别是3*逐2^n和3*2^,相崭比之后有:
[3*2^噪]/=2
因为比值呢是2,依赖n的
茎 数列an前n项和为Sn
S=4an
1、遭A=sn/n=S-S右n
即nS-nSn=S纹n
nS=Sn+nSn观
nS=Sn
S/=2S术n/n
即S[/]/[
S1/贾1=A1=1
所以患Sn/n是以2
爷 2、由1有Sn/n的是
所以S众n/n的
那么S=2蒸^n,S=2^
An=姚Sn-S
=n2^-2影^
=n*2*2^-2贼^
=[2n-]*2^刑
=2^
=*2^n/2
所以有S=4An喻
等比数列前n项和公式怎么证明
◆?◆?◆
文 |杨春波
怎么证明？你想这还不单！错位相
下面分情况讨论：
这种求和的方法很典，不仅对等比数列效，而且对等差比数列（指个差数列和一个等比列对应项相乘而得的数列，等数和等比数列均是其特殊情形）也有效，因此人们就给它起了个名字——错位相减法，这是一种常用的数列求和方
错位相减，构思巧妙，应用有效，
经典的方法，道了就要好好悟，多加练习，慢将其内化为自的方法；但同时
下面提供等比数列前n项公式的另外几种法，希望读者慢体悟。（以下
另证一
另证二
另证三
另证四
另证五
另证六
总结
以上六种证法，各有所长：位相减从项数
另证四、五则着从特殊到一般原则，从简单情形入手，及到了联想、类、猜想等多种思维
等比数列求和公式
课题： 等比
教学目标 （1）知识与技能目标
通过教学使学生掌握等比列前项和公式推过程，公特点，在此基
通过公式的推方法的探索与发现，向学生渗透培养特殊一，比与转化，分讨论等数学思想 ，
通过对公式的导方法的探索发现优化学生品质，事物之间等价化和理论联系实际
本节内容分为两课时，一节为等比数项和公式推导与应用，
教学重点是公式的推导，公式特点式运用; 难点是
幻灯片辅助教
发现式教学法，比较式学法 教
1、情境创设（
将古印度国王奖赏国际棋发明者的故给学生并导学生写出
师：发明者要求
12生：是=1++22+23+... +263
S
64
师：如何
学生灵机一动，设想S n =20+21+22+ +2n -1，则S 1=1, S 2=3, S 3=7，…，
猜想S n =2n -1，所以S 64=264-1 3、讨论交流，延伸拓展
求和：S n =30+31+32+ +3n -1
要猜想S n 的结果并不易，在教师
S n =2
那么S n =40+41+42+ +4n -1呢？
4n -1
有了前面的铺垫，题的结
3q n -12n -1
此时便可猜想出更一般的
q -1
以上的过程展示了从特殊一般的归纳猜想，这不仅与前的数学结构
a 1(q n -1) 2n -1
(q ≠1) 数列的求和公呼之欲
q -1
4、类比联
以上只是猜想，如何证明S 64=264-1？ （板书）， ①
启发学生： 在 ①式结构上何特点？，学生发
师：①式 与 ②式之间有何联系？
生：中间有62项是对相等的，作
即
.
，
已知{a n }为等比数列，公为q ，求其前n
如何求和？（学生口述程，教师板
，即 （板书）
③式两端同乘以
，得
③－④得
的取值） 当
当
时，由③可得
时，由⑤得
.
④
（提问学生如何处
⑤，
③
， ②
于是
说明：错位相减法实际上是把一数列求问题转
错位相减
为等比数列.
（板书）例
的数列的和，其中
.
为等差数列，
（学生讨论，学生演
n 11?1?
设a n =n =n . n ，其中{n }为等差数列，?n ?为等
2
，
两式相减得
于是 . 6、
2：（2007山
n
a 1+3a 2+321a 3+... +3n -1a n =, a ∈N +
3
(1)求数列{a n }的通项
n
(2)设b n = ， 求数
a n n
解：（1）a 1+3a 2+321a 3+... +3n -1a n =, ①
n -312n -2
a 1+3a 2+31a 3+... +3a n -1=, (n ≥2) ②
3n n -1
① －②得3n -1a n =- (n ≥2)
331
a n =n (n ≥2)
3
验证n =1时上式也成立
1
所以 a n =n
3
（2）学生通过察知
例题
n +11n +13 S n =. 3n 结-?3+
244
1. 等比数列前项和式推导中蕴含
时注意q
2. 用错位相
四、作业：P143
练习 3
[教学反思]
本节的任务是要学生掌握等比数列前和公式，理解公式的推过程，体会转化的思想；方程思想认识等比列前项和公式，利用公式知三求一；与通公式结合求二，并能运用公式解决简单的问题. 在教中通过学生自主作，师生共同探究，公式的活运用中，一步渗透方的思想、分讨论的思想、价转化的思想. 利用公式推的教学，对学生进思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的学态度. 通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些差比数列的前
[教前预测]
（1）学生对等比数列前项和公式导的理解一定的困
（2）在使用等比求和公式学生
等比数列求和公式
万年历2013年3月6日
等比数列
等比数列的通项公式
等比数列求和公式
(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公
推广式：an=am×q^(n-m)；
(3) 求和公
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
(q为比值，n为项数）
(4)性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2
(5) "G是a、b
(6)在等比数中，首
注意：上述公中an
等比数列
如果一个数从第2项起，一项与它的前一的等于同一个数，这个数列就
（1）等比数列的
若通项公式形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an
（2）等比数列
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q≠ 1)
任意两项am，an的关系
（3）从等数列的定义、项公式、前n项和
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则
另外，一个各项为正数的等比数列各取同底数后构成一个等差列；反之，以任一个正C为底，用一个等差数各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”
等比中项定义：从第二项起，一项（穷数列
（5）无穷递缩等
无穷递缩等比数列各项和公式：对比数列 前n 项和，
性质
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等
③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则
（a2n），（a3n）…是等比
（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（4）按原来顺抽取间隔
（5）等比数列中，续的，等
（6）若（an）为等比数列且各项，公比为q，则（log
(7) 等数列前n项
(8) 数列{An}是等
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首为a1，公比q的等比数列的通向可以写成an*q/a1=q^n，
求等比数列通项
（1）待定系数法：已
构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
所以a（n+1）+3/an+3=2
∴｛an+3｝为首项4，公比为2的数列，所
等比数列的应用
等比数列在生活
如：银行有一种支付
即把前一期的息和
在计算下一期的息，也
按照复利计算本利和公式：本
等比数列小故事：
根据历史传说记载，国象棋起源于古印度，至今诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时用斯文写的．据说，有位印教宰相见王自负虚浮，决定给一教训．他向国推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心
国王这种新奇的游戏很快就产了浓厚的兴趣，高之余，他便问那位相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相口说道：您在棋盘上的第一个格子上放1粒子，第二个格上放2粒，三个格子上放4粒，第四格子上放8粒……即一个次在后的格子放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放为止，这样我就十分满足了． “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请
这位聪明的宰相到底求的是多少麦粒呢？稍算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直写数字就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总
如果造一个宽四米，高米的粮仓来储些粮食，么这个粮仓就
国王哪有这么多的麦子呢？他的句慷慨言，成了
正当王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道件事，他笑着对国王说：“陛下，这问题很简单啊，就像1+1=2一样容，您怎会被它倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小都给他？”轻教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人粮仓去，自己数出那些子就可以了。假如宰大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算下！）。就算宰相大人日不停数，数他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉
西萨·班·达依尔沉思片后笑道：“陛下，您的智慧超了我，那些赏
