超几何分布:
1.
<1> 到的次品数X 的
2. 袋中有大小同的3个白球,3个红球5个黑球,从中抽取3球,,若取一个白球得1分, 取得一个红球扣1分,取得一个黑球得0分,求所得分数ξ的概率
3. 有6间安排4旅游者住,每人可任一房间,且进住各房
<1> 事A :指定的4个房间中各有1个;<2> 事件B :
人。
4. 有A 、B 两个口袋,A 袋中有4白球,2个黑球;B 中装3个白球,4个黑球。A 、B 两袋各取2个球交换后,求A 袋中有仍4个白球的
5. 袋中装着标有字1、2、3、4、5的小各2个。从袋中任取3球,3个小球上最大数字的9倍分,每小球被取
<1>取的3个小球上的数字
<3>计分介于20分到40分之间的概率。
<4>事件D:一号
1
条件概率、超几何分布、独立事件概率总结卷
北师
【超几何分布】
1、10张券中含有3张中奖的奖券,每购1张,则前3个购买者
超几何分问题转化: 10
133A 72?A 3 (A ) C ?0.7?0.3 (B ) C ?0.7?0.3 (C ) (D ) 310A 103102132
1、某人有5把匙,其中有两把房门匙,但忘记了开房的哪两把,只好逐把试
5件产2件次品,抽
3112A 3A 32?A 2A 3?A 2 (A ) 1-3 (B ) +33A 5A 5A 5
332321?() 1?() 2 (C ) 1-() 3 (D ) C 32?() 2?() +C 355555
【条件概率】
1、两位工人加工同一种零件共100,甲加工了40个,其中35个是合格,乙加工了60个,其中有50个合格,令A 件为“从100个产品中任意取个,取出的合品”,B 事件为“100个产品中任意取一个,
40
35P(A∩B) 3577P(A∩B) =,故P(A|B)=答案:100P(B)4088
2.市场上供应的灯中,甲厂产品占70%,乙占30%,甲厂产品合格是95%,乙厂 产品的合率是80%,
A .0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285
解析:选A. 记A 为事“
则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95.
∴P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.
【独立事件概率】
11.(2009年高考上海) 若事件E
于( )
111A .0 B. C. D. 1642
1解析:
16. 故选B.
2.如图示,在两个圆盘中,针
指针时落在奇数
4221A. B. C. D. 9933
解析:选A. 由独立事件发生的概率得
3.(2010年厦门市高中调研) 图
1或关概率都是,且是
( )
1111A. B. C. D. 84216
解析:选A. 理解件间的关系,设“a 闭合”为事件A ,“b 闭”为件B ,“c 闭合”为事件C ,则灯亮应为
11=P(B ) =P(C)=.
5. 箱子里有
5个黑球,4个白,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回 中,重新取球;若取出白球,则停止取球,
解析:选B. 由题意知,第四
54第四取的球是白球的
7.明天午李明要参加奥运
闹钟叫醒自己,设甲闹钟准时响的概是0.80,乙闹准响的概率是0.90,则两个闹钟
解析:记件A 为“甲闹准
P =1-P()=1-(1-0.8) ×(1-0.9) =0.98.
答案:0.98
(耗用子弹型)某射手有5发子弹,击
到子
分析:确ξ取哪些值以及值
解:本要求我们给出
我们知只有5发子弹,所
当ξ=1时,即P (ξ=1) =0. 9;
当ξ=2时,要求第一次没射中,第二次
ξ=3时,要求前两次没有射中,三次射,P (ξ=3) =0. 12?0. 9=0. 009; P (ξ=4) =0. 13?0. 9=0. 0009;第5次射击不同,只前四次射不中,都要5发子弹,也不考虑是否射中,以P (ξ=5) =0. 14,所以耗用子弹数ξ的
说明:搞清ξ=5的含义,防止这步出错.ξ=5,可分两种情况:一是前4发都没射中,恰第5射中,概率为0.14×0.9;二是这5发都没中,概率为0.15,所以,P (ξ=5) =0. 14?0. 9+0. 15.当,ξ=5
好题6.、乙两名跳高运动员在
且每试跳成功与
(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)、乙两人在第一
解:记“第i 次试跳成功”为
依题意
且Ai 、Bi(i=1,2,3) 相互独立.
(1)“第三次试跳才成”
∴P(A 1A 2A3) =P(A1)P(A2)P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.
∴甲三次试跳才
(2)“甲、乙两人在第
法一:∵C =A1B1∪A1B1∪A1B1,
且A1B1、A1B1、A1B1彼此互斥,
∴P(C)=P(A1B1) +P(A1B1) +P(A1B1)
=P(A1)P(B1) +P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)
=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88.
法二:P(C)=1-P(A1)P(B1)
=1-0.3×0.4=0.88.
∴甲、两人在第一次试跳
【n 次独立重复实验】
41.(2008年高考福建卷)
粒种
12164896A. B. C. D. 125125125125
解析:选C. 由题意,3粒种恰
4448故P(X=2) =C32·(=55125
52.(原创题) 设X ~B(2,p) ,Y ~B(4,p) ,已知P(X≥1) =P(Y≥1) =________. 9
51126565解析:由1-C20p0(1-p)2=p =,由1-C40(=答案:93338181
1.每次试验成功率为p (0
<1)>1)>
3333(A ) C 10p (1-p ) 7 (B ) C 10p (1-p ) 3 (C ) p 3(1-p ) 7 (D ) p 7(1-p ) 3
1、甲、乙两队加乒乓球团体比赛,甲与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥术水平,则
323233323231() () (D ) C 4() () (A ) C 32() 3? (B ) C 32() 2() (C ) C 455535533
1、一射手命中10环概为0.7,命中9环的概为0.3,则该射手打3得 到不少于29环率为 【答案】 0.784(设每次命中的环数都是
1、一名球运动员投篮命中率
数不少于9个的概率为 【答案】 0.046
1、一射手同一目标独立地进行4击,已知至少命中一
2
6.口袋放有大小相等的两个
?-1 第n 次摸取红球义数列{an}∶an =?,如果Sn 为数列{an}的前n 项和,1 第n 次摸取白球?
那
)
2、某
车间有5台车床,每台车床的停车或开车相互独立的,若每车在任一1时刻处于停
车的概率;(23?1?(1)P 5(3)=C 5 ??3?3?2?40 ?=?3?243
52?2?211(2)P (B )=1-P B =1-C 55 ?= ?3?243()
9.种植种树苗,成活率
⑴全部
⑶恰好成活3棵概率; ⑷至少成
⑶P 5(3)=C 50.9?0.1=0.0729; ⑷P =P 5(4)+P 5(5)=0.91854 332
6.(2010·北京考科·T17)某同学参3门课程的考试。假设该学第门课程取得优秀成绩的概率为4,第二、第三门
且不同课是否取得优秀成绩相互
(Ⅰ) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;
(Ⅱ) 求p ,q 的值;
(Ⅲ) 求数学期望E ξ。
【命题立】本题考查了对
【思路点拨】(1)“至”问题一般用对立事件求率方便。(2)利用独事件别求出ξ=0,3时的概率,立方程解出p , q 的值。(3)求出a , d ,代入期望公式
【规范解答】事件A i 示“该生第i 门课程取得秀成绩”,i =1,2,3,由
(I )于事件“该生至少有1门取得优秀成绩”与事
6119=, 125125
16(II )
424 P (ξ=3) =P (A 1A 2A 3) =pq = 5125
6整
32由p >q ,可得p =,q =. 55生少有1门课程取得优秀成绩
(III )由
=432132132?(1-) ?(1-) +??(1-) +?(1-) ?555555555
37 = 125
b =P (ξ=2) =1-P (ξ=0) -P (ξ=1) -P (ξ=3)
=1-6372458--= 125125125125
E (ξ) =0?P (ξ=0) +1?P (ξ=1) +2?P (ξ=2) +3?P (ξ=3)
=0?63758249+1?+2?+3?=。 1251251251255
【方法技】(1)“至少”、“
(2)事
7.(2010·福建高考理科·T16)
(I )记“得m + n = 0 成立有数组(m , n)”为事
(II )设ξ=m ,
【命题立意】本考查概率与统计、不式等基础知识,查算求解能力、应用识,考查分
【思路点拨】第一步先解一元二次不等式的解集,到集合S ,进而求出A 包含基本事件;第二步求出m 的能值,再求出ξ可能取值,计算出ξ所对应的概率,画出分布列,求出数
【规范解答】(I )(x -3)(x +2) ≤0?-2≤x ≤3,则m , n ∈{-2, -1, 0, 1, 2, 3} 22
m +n =0有?
为: ?m =1?m =-1?m =2?m =-2?m =0,因此A 包含的基本事件或?或?或?或??n =-1?n =1?n =-2?n =2?n =0
(1, -1), (-1, 1), (2, -2), (-2, 2), (0, 0) ;
(II )m 的可能去取为-2, -1, 0, 1, 2, 3,则m
P (m 2=0) =P (m 2=9) =12122,P (m =1) =P (m =4) == 663
因此ξ=m 2得分布列为:
所以其
【方法技巧】有关概率统计的,越越常见利用枚举法的求解方法,枚时一定要考虑全面,漏解是最常见的误,如题要求的是有序的数组(m ,n ),坐位置是有序的,如(1,2)和(2,1)是不同的况,不要当成同一种。因为这部分内容与实际生活
大,随着课改的深入,高考将越来视这部分的内容,试
10.(1)设在四次独立重复试验,事件A 至少发生一
一次试验中件A 2)某人某个目标射击,至击中目标为止,1每次
212n -110.(1) P = (2) P =?() 333
9. (2010·天津高考理
结果互不影响。
(Ⅰ)假这名射手射击5次,恰
(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求3次连击中目标,另外2次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标1分,未击中目标得0分,在3次击中,若有2次续击中,而另外1次击,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射射击3次后的总的分数,求ξ
【命题立意】本小主要考查二项分布及其率计算公式、离散型机量的分布列、互斥事件相互独立事件基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的
【思路拨】利用二项分
【规范解】(1)设X 为射手
中, ??2??. 在5次射击3?
40?2??2?恰有2次击中
(Ⅱ)设“第i 次射击击中目标”件A i (i =1,2,3,4,5) ;“手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目
?2??1?1?2?1?1??2?8 = ?? ?+? ??+ ?? ?= ?3??3?3?3?3?3??3?81
(Ⅲ)由意可知,ξ的所有
1?1? P (ζ=0) =P (A 1A 2A 3) = ?= ?3?273
P (ζ=1) =P (A 1A 2A 3) +P (A 1A 2A 3) +P (A 1A 2A 3)
2?1?121?1?22 =? ?+??+ ??= 3?3?333?3?39
2124P (ζ=2) =P (A 1A 2A 3) =??= 3332722
8?2?11?1?P (ζ=3) =P (A 1A 2A 3) +P (A 1A 2A 3) = ??+? ?= ?3?33?3?27
8?2? P (ζ=6) =P (A 1A 2A 3) = ?=?3?27
所以ξ的分布列是
322
112.、乙两人玩投篮游戏,
下投进次数为m ;乙
(1)分别计算甲、乙投进不同次数的概率;
(2)现在规:若m >n ,甲获胜;若n ≥m ,则乙获胜.你认为这样规
解:(1)甲、乙投进
(2)这规定甲、乙获胜的机
11111当m =3时,n =2,1,0,其概率为×(++) =; 84248
3119
313
1931∴甲获胜的概
1从
1甲和
3 某一中学生心理咨询服务电话接通率为,某
一问题询该服务中心.且每人拨
分析:3个人做一次试验,看三次独立重试,拨通这一电话的人数即为
?3?k ?3??1?:由题:ξ~B 3, ?,所以P (ξ=k ) =C 3 ? ??4??4??4?k 3-k , k =0, 1, 2, 3,分
说明:
独立重复试验某事件生数次的概率 例 果在一次试验中,某事A 生的概率为p ,那么在n 次独立重复试
分析:
k k n -k p (ξ=k ) =C n p q , (q =1-p , k =0, 1, 2, , n ) 其中的k 取偶数0,2,4,?时,
式(p +q ) 展开
解:由题,因为n ξ~B (n , p )且ξ取不同值时事件互斥,所以,
11(q +p ) n +(q -p ) n =1+(1-2p ) n
2200n 22n -244n -4P =P (ξ=0) +P (ξ=2) +P (ξ=4) + =C n p q +C n p q +C n p q + =[][]
.(因
说明:如何获得二项开中的偶数次的和?这要抓住(q +p ) n 与(q -p ) n 开式的特点:联与区分,从而达到去除p 奇次,留下p 偶次的
超几何分布的期望和方差
超几
(030012太原五中
王志军)
一、准备知识:
1.
m
n?m
mm+1m+1k?1
;(2)Cn+Cn=Cn+1;(3)Cn?1=
kkkk?1
;Cn(即kCn=nCn?1)
n
2.
021222n2n
(1)(Cn)+(Cn)+(Cn)+…+(Cn)=C2n
证明提示:利用二式定理,比较恒等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n中“=”左右两边展式的xn的系数,再利用组合数性质(1)可
(2)CMCN?M+CMCN?M+CMCN?M+…+CMCN?M=CN
n1n?12n?2mn?mn
证明提示:利用二式定理,比较恒等式(1+x)M(1+x)N?M=(1+x)N中“=”号左右两边展式的xn的系数,再利用组合数性质(1)可
3.方差的性质
(1)D(aX+b)=a2DX;(2)DX=EX2?(EX)2;
4.
(1)二项分布:在一次随机试验中,事件可发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这事件发生的次数X是一个随机变量.如果在一次验中某事件生的概率是P,那么在n次独立重复试中这个事件好发k次的概率是Pn(X=k)=Cnkpkqn?k,(其中k=0,1,2,…,n,q=1?p).于是得到随机变量X的概率
XP
00n
Cnpq
1
11n?1
Cnpq
……
k
kkn?k
Cnpq
……
n
nn0
Cnpq
称这样的机变量X服从二项分布,
kkn?k
b(k;n,p)=Cnpq.
(2)若X~Β(n,p),则EX=np
(3)
二、超几何分布列:
一般地,在有M件次品的N件产品中,取n件,其中恰有X件次品
太原五中wangzhj2004@yahoo.com.cn第1页共3
kn?kCMCN?M
P(X=k)=,k=0,1,2,?,m,
CN
称分布列
XP
0nCMCN?M
nCN
1
1n?1CMCN?M
nCN
……
m
mn?mCMCN?M
nCN
为超几何分布列.如随变量X的分布列为超几分布列,则称随机变X服
kn?kCMCN?M
可知其满足机变量的分布列性质:(1)
CN0n1n?1mn?mCMCNCMCNCMCN?M?M?M
(2)可加性++…+=1nnn
CNCNCN
kn?k
kCMCN?M
(3)X的数学期望EX=∑n
CNk=0
m
=
10n1n?12n?2kn?kmn?m
(+++…+0?CC1?CC2?CC+…+k?CCm?CCMN?MMN?MMN?MMN?MMN?M)nCN
10n?11n?2k?1n?km?1n?m
(M?CM?1CN?M+M?CM?1CN?M+…+M?CM?1CN?M+…+M?CM?1CN?M)nCN
=
=
M0n?11n?2k?1n?km?1n?m
(++…+CCCC+…+CCCCM?1N?MM?1N?MM?1N?MM?1N?M)nCNMn?1
CN?1nCN
nMnM
,因此,EX=NN
=
=
(4)X的方差DX=EX2?(EX)2
kn?k
k2CMCNnM2?M
=∑-()n
NCNk=0
m
=
1nM220n21n?122n?22kn?k2mn?m
+++…+)-0?CC1?CC2?CC+…+k?CCm?CC()MN?MMN?MMN?MMN?MMN?Mn
NCN
1nM20n?11n?2k?1n?km?1n?m
(++…+)-1?MCC2?MCC+…+k?MCCm?MCC()M?1N?MM?1N?MM?1N?MM?1N?Mn
NCN
=
太原五中wangzhj2004@yahoo.com.cn第2页共3
2012-4-6=
人教A普通高中课程标
MnCN
[(CM?1CN?M
0n?1
+CM?1CN?M
1n?2
k?1n?km?1n?m
+…+)+(+…+CMCCC?1N?MM?1N?M
0n?11n?2k?1n?km?1n?m
]-(0?CM?1CN?M+1?CM?1CN?M+…+(k?1)?CM?1CN?M+…+(m?1)?CM?1CN?M)
nM2
N
=
MnM2n?1n?2
[+(]-CM?1)C()N?1N?2n
NCN
=
nMn(n?1)M(M?1)nM2
+-(NN(N?1)N
nMnM2n(n?1)M(M?1)nMnM2n(n?1)M(M?1)-(+,因
=
三、超几分布的数学期望
根据
M
→p(二项分布中的p)N
nM
2.当N→+∞时,超几何分布的学
N
nM
3.N→+∞时,
N1.在超几何分布中,当N→+∞时,(
nM2n(n?1)M(M?1)
)+→np?(np)2+n(n?1)p2=np(1?p)=DX(二项分布的方差)NN(N?1)
4.当N→+∞时,超
太原五中wangzhj2004@yahoo.com.cn第3页共3
超几何分布的数学期望
超几何分布的数学期望 离散型随量的分列及数学期望是理科数学的一个必考题,而超何分布也是一个重要内容。对超几何分布的数学期的计算,定义计算量大,有没有公式快速计算呢,次偶然,我的生刚便有了新现,也如分布一样,超几何分布的数学期望也有公式可表示的。现从公式、明及简单应用三个方面予以叙述,大
一、超几何分布的定义
一般地,含有m件次品的n件产品中,取n件,其中恰好有x件次
例2:若100件产品中含10次品,从中抽取n件品,若随机变量x表示抽取的
解:此题若从定义入手,很难。
而由公式得
练1:设有100个大小相同的,其中5个黑球,95个白球,从中任取20个球,
练2:设10件产品中有次品a件,中抽取3件,抽得次
收
超几何分布的期望与方差
有趣
重庆清华中学
1. “超几何分布”
一批产品有n个,其中有次品m个,中任取a个(),求
分
分析:由于取到次品的个数的取值与a和m的大小有关,所以下面分情
讨论:
?当时,的分布列为: ,am,
, 0 1 2 ? k ? a
0a11a,22a,kak,a0CCCCCCCCCC,,mnmmnm,mnm,mnm,mnm P ? ? aaaaaCCCCCnnnnn
11220aakaka,,,CCCCkCCaCC,,,,,2mnmmnmmnmmnm,,,, ,E,aCn
kk,1kCmC, mm,1
0112110aakaka,,,,,mCCCCCCCC(),,,,,mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111 ,?,EaCn
构造模型如下:一批产品共有n,1个,其中有次品m,1个,从任
a,1C(,),则不同的取法种数为:;如果按取到的次品个数分别为0、111,,,,anam,n,1
0112110aakaka,,,,,CCCCCCCC,,,,,1、2?分类讨论,则取法种数为。 mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111
0112110aakaka,,,,,a,1CCCCCCCC,,,,,C所以有, n,1mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111
a,1mCamn,1则 ?,,,EaCnn
am,,?当时,的分布列为:
, 0 1 2 ? k ? m
1
0a11a,22a,kak,mam,CCCCCCCCCC,mnm,mnmmnm,mnm,mnm, P ? ? aaaaaCCCCCnnnnn
1122aakakmam,,,,CCCCkCCmCC,,,,,2mnmmnmmnmmnm,,,, ,E,aCn
kk,1kCmC, mm,1
011211aakakmam,,,,,,mCCCCCCCC(),,,,,mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111 ,?,EaCn
构造模型如下:一批产品共有n,1个,其中有次品m,1个,从任
a,1Cam,(,),则不同的取法种数为:;如果按取到的次品个数分别为0、111,,,,ann,1
011211aakakmam,,,,,,CCCCCCCC,,,,,1、2?分类讨论,则取法种数为。 mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111
011211aakakmam,,,,,,a,1CCCCCCCC,,,,,C所以有, n,1mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111
a,1mCamn,1则 ?,,,EaCnn
综上所述,超几何分布模型中,取到次品个数,分布
kak,amCC*mnm,,期望为:。 ,,E()(0min,,),,,,,,PkkamkN,,anCn
下面就的情形计算其方差,另一种情形同理可得。 am,
22DEE,,,,,,,
211222220aakaka,,,2CCCCkCCaCC,,,,,ma,,mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,aCn,,n20112110aakaka,,,,,mCCCCkCCaCC(2),,,,,ma,,mnmmnmmnmmnm,,,,,,,,1111 ,,,,aCn,,na,10aakak,,,,01121,CC)(mCCCCCC,,,,mnm,,1mnmmnmmnm,,,,,,111,aCn12110akaka,,,,2,,mCCkCCaCC,,,,,,11,,,,mamnmmnmmnm,,,,,,111,,,,,,,,aCn,,n
kk,,12 kCmC,,,11,,,,mm,,12
2
aaakaka,,,,,,102132202,,mCmCCCCCCCC,,,,,,,1(),,manmnmmnmmnmmnm,,,,,,,,,12222,,,,?,,D,,,aCn,,naa,,122,,mCmC,,1,,mann,,12,,,,,,,,aCn,,n
amnmna,,,,,,,2nn,1,,
综上所述,随机变量的分布列、期望与方差求法具有明显的规律性,们妨
分布叫做“超几何分布”。
随机变量服从于“超几何分布”,记作:,此时,,,~(,;)Cnma
kak,amnmna,,amCC,,,,*mnm,,,。 ,,E()(0min,,),,,,,,PkkamkND,,,,2annn1C,,,n
2.“超几何分布”模型在解题中的用
例:袋中装有50只白球,45只黑球,5只红球,现从中随机抽取20个球,求取出的红球个数的分列、望与
分析:白球、黑球视为“正品”,红球视为“次品”,则问题转化为:100件产品中有5件次品,随机从中抽取20产品,求取出次品个的分布、期望
解:据题意知,,即n=100,m=5,a=20 ,~(100,5;20)C
kakkk,,20CCCCmnm,595所以 ()(0,1,2,3,4,5),,,,,Pkka20CCn100
所以,其分布列为:
,0 1 2 3 4 5
P 0.3193 0.4201 0.2073 0.0479 0.0052 0.0002
am520,,; E,,,1n100
,,amnmna,,,,205958076,,, ,D,,,22nn11009999,,,,
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