静夜_思
若b^2-4ac<0>
[编辑本段]
韦达定理的推广
韦达定理在更高方程中也是可以使用的。
它的
我们有
?Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
?XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其
如
在
由代数
在复数集中必根。因此，该方程的左端以在复数范围内分解成一
其中是该程的个根。两端比较系数即得韦
法国数家韦达最早发现代数方程的根与系数之间这种关，因此，人们把个关系称为韦达定理。史是有趣的，达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作第一个实质性
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系为1)
x2-(x1+x2)x+x1x2=0(
3.次三项式的因式分解(公
在分二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方
另
射影定
[编辑本段]
韦达
设x1，x2，……，xn是一元n次方程?AiX^i=0的n个解。
则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=?AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好
用乘法原理)
通
A(n-1)=-An(?xi)
A(n-2)=An(?xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以:?Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
?XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其
有关韦
例1 已知p，q,198，求方程x2，px，q,0
(’94祖冲之杯数学邀请赛
解:设方程的整数根为x1、x2，不妨设x1?x2(由达定理，
x1，x2,,p，x1x2,q(
于是x1x2,(x1，x2),p，q,198，
即x1x2,x1,x2，1,199(
?(x1,1)(x2,1),199(
注意x1,1、x2,1均为
解得x1,2，x2,200;x1,,198，x2,0(
例2 已知关于x方程x2,(12,m)x，m,1,0的两个根都正整数，
值(
解:设方程的个正整数根为x1、x2，且不妨设x1?x2(韦达定理
x1，x2,12,m，x1x2,m,1(
于是x1x2，x1，x2,11，
即(x1，1)(x2，1),12(
?x1、x2为正整数，
解得x1,1，x2,5;x1,2，x2,3(
故
例3 求实数k，使得方程kx2，(k，1)x，(k,1),0
解:若k,0，得x,1，即k,0符
若k?0，二次方程的两个整数根为x1、x2，由达定理
?x1x2,x1,x2,2，
(x1,1)(x2,1),3(
因为x1,1、x2,1均为整数，所以
例4 已知二次数y,,x2，px，q图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两
α,1,β，求证:p，q,1(
(’97四川省初中数学竞赛
证明:由题意，可知方程,x2，px，q,0的两根为α、β(韦达定理
α，β,p，αβ,,q(
q,α，β,αβ， 于是p，
,,(αβ,α,β，1)，1
,,(α,1)(β,1)，1,1(因α,1,β)(
?
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?
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? 【唯美句子】 走累的时候，我就到升旗哪里的一角台阶坐下，双抚膝，再
让心灵受
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? 【唯美句子】 一个人着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，到很远的地方又走回来。阳光很好，温，柔和。漫天的
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? 【唯句子】 清风飘然，秋水缓。一丝云起，一片叶落，剔透生命的灵。轻轻用手摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装,瞬间回眸，点亮了生命
顶 11 收藏 9
? 【唯句子】 几只从南方归来的子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺暖树，谁家新啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让心旷神怡。 顶 0 收
? 【唯美句子】 年清浅，岁月转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也乎开朗了许多，在个风轻云淡的早晨，踏着初春阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水为解开了冰冻而快的流淌， 清澈见底的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄露出了嫩芽，这一丛，儿一簇，好像是接的议论着些什么，又好象是在偷
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? 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜看海，还喜诗人笔下的意境，每夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏，在脑海中寻诗的恬淡闲。在春暖花开时，身着一身衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，鸥，沙滩，有扬帆在落日下的，在心旷神怡中，做一帘
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? 【唯句子】 繁华如三千东流水，只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自，置身置魂于野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正淡泊名利、鄙功名利禄
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? 【唯美句子】 世俗名利和山绿水之间，你选择了淡泊明，持竿垂钓泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁远，晓梦跹姹紫
顶 2 收藏 3
? 【唯美句】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春夏雨中风绰约的模样，可突其来的秋雨，无情的打落了它丽的花瓣，看着在空中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，伸出颤抖的双手，将落在泥土里的花瓣
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? 【唯句子】 滴答滴答，疏疏落落秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起。听着雨水轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐进入了梦乡。 顶 3
? 【唯句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明，此刻的我是伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我中的眼泪。 顶 4 收
? 【唯美句子】 看着此情此景，我细细聆听。像是听到了落叶的呢，秋风的
在这极短的间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永的痴缠。落叶安详的躺在地，露出幸福的模样，你，它多像一个进梦乡孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它到爱的缠绵，翔
? 【唯美子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上个姐姐，还有那位大叔，不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一交警管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。上，什么都是
? 【唯句子】 我嗅到浓郁的香奈，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，却不知道，那的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想的自由呢，完全地体验
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? 【唯句子】 那些繁华的都市，水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充着一种悲哀，夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁鲁，我看到
? 【优美语句】 踏过一片，用博识的学问激起片片微;采过一花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过梦，决定从那里
顶 0 收藏 0
? 【优语句】 人生如一本书，应该多些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人如一支歌，应该一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一丽的色彩，一些灰暗的
顶 0 收藏 0
? 【优语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着光的土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条就了我们生命美丽的情感
顶 0 收藏 0
? 【优语句】 生活如海，宽容作，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如，宽容为径，循登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方之动听。 顶 0
? 【优语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就一首深情歌，转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带春光无限。 顶 0
? 【优美语句】 努力奋，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相己一定做得更
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? 【优美语句】 品味活，完善人性。存在就是机会，考才能提高。人需要不断打碎自己，应该重新组装自
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? 【优美语句】 母爱是一缕光，让你的心灵即使在寒冷的天也能感到暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上的风尘依纯洁明
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? 【优美语句】 母爱温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱
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? 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波潋滟，金光闪，夕阳下的海水让最后一蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我脚踝，我张开臂拥抱温馨的时??我爱大海宽广的胸怀，无论多的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一海的燕，填平她的波涛，平她的汹涌愤怒，只留下平
案例：韦达定理的发现与证明
www.docin.com/newmobi 案例: 定理的发现与
正如大家所悉的～一元二次方程的根与系数的系的明应当说并不难～但从教学的角度看～我们则又显是应考虑这样的问题～首先这一结果是如何发现的,其次～我们又如何才能使的证明对于学来说成为十分
例如为了找出一元二次方程根与的关系～教师行了“由具到抽象”、“由简单复杂的设计”～引导学生己去发现结论～在1996年全国初中青年学教师优秀课评比中有种形式的教案。通常采用让学生通过较多的题目求解～在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。大概也是基一种考虑～如袁为民老师在自己所撰写的教案《一二方程的根与数的关系》,载《学数学通用案设计精编》第97-102页,就采取了这方法。在对求根进行回忆后就以表格出示了四个二次项系数为1的一二方程～通过让学生求出其解～然计算出两根之和、两根之差、两之积、根商～发现根之和是一次项系数的相反数～两根之积是常数项～而两根之差～两根商的果没有同的规律～从而提出是不是合～继续表格示四个二次系数为1的一元二次方程～通过观察两根和与两根积是不是还有同样的规律～然后利表格观四二次项系数不为1的一元二次方程不是也有同样的规律～从而发现当二次项系数不为1时～两根恰为一次项系数除以二次项系数的相反数～而两根之积恰为常数项除以二次项系数。由此猜想韦达定理～最后用求根公式加以证明。该设计从表面看～学生动手又动脑～沉浸以发现的乐趣中～其实～这种设计降低了对学生思维上～恰好回避了最键、最实质、学生最知道的题:为么要计算两根和与两积～难点虽然化为乌有～但缺少思维落差～形原地步～故什么角度提题～如何将教学难点“为什么要计算两根和与两根”嵌放于初始问题之中是我们设计的难点。新的学知产生的渠道～也正是我们寻
与上述做不同～笔者采取了这样
一、引例:
2,1,、求一元
想到通过解方程出两个根～再求出和与积～达到激发学原有认
的,
2 解: ,7x，12,0x
(x,3)(x,4),0
? x,3,0orx,4,0
? x,3orx,4
? ，,3，4,7 ,,3，4,12 xxxx1212
2,2,、提问:
[,2,的提出与学生的有认知产生冲突～学生不知从何
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一种迫切想知这类问题解决的“捷径”的兴趣～从而激发学的求知欲] 二、 导学生观察引例中两根和、两积与方程数中什么系～为了让学生积极动脑～人人参与～得到结论～分学生前后四人一组～让他们观察～猜想～思考的关系。最后在师发、引导下猜测出
2若方程的两根为、～则 ? ，px，q,0，,,p,,qxxxxxxx121212
本例仅选一个解方程的题目～这样～学生发现的难度提高了～但数学思品质也相对提了～只要教学语言使用得当～问题情境设计得好～学生是从一个题中去获得发
[指出猜测不一正确～我们能否证明这一猜想,] 通过学讨论得
22证:由求
224,p，,qp4,p,,qp,,xx2122
22
,p，,4q,p,,4qpp,2p，,，,,,pxx1222p
2222,p，,4q,p,,4q,(,4q)pppp ,,,,,qxx12224
指出:我们发现一个命题～而且是可以称之为定理的命题～所我们可
出引例
2三、提问:一般
方程系数又有什关系,能否用前面已有的结论去发现新果呢,
的分组讨论～教的巡回指导、启发得到只要将其转化为二
以了。
bc2证: 两边同除以得: a，x，,0xaa
cb由前可
从而归纳出一般的一元二次方程根与系数之
2若一元二次方
cb则 ，,,,,xxxx1212aa
指出:,1,这结果曾由法国数学家韦达所揭示～现通称为韦
为韦达
,2,事实证明～只要同学们用心观察～认真作比较分析～样的结
是不能发现的～学们有兴趣的话可以去探索一下两根之、之商
系数的关系。
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www.docin.com/newmobi [上面个结论之间的关系:由简单到复杂、由殊到一般～以使生今后在运用这一知识时～减少忘记除以二次项系数的错误～即培养了学生类比能力。又拓了解决问题的
四、小结
b21、若一元二次
c ,,xx12a
22、若方程的两根为、～则 ，px，q,0，,,p,,qxxxxxxx1212123、应用定理时应注
,1,应用韦达定时～应先把方程化为一般形式,不要忘记除以
且检验 。 a,0
b,2,不
,3,应用韦定理解题时～要灵活利用定理进行
,应用韦达定
该教学
根据本节教学内特点～本案例复习入手～首先给学生个悬念～发学生的好奇心和求欲。接着利用学生的“爱动”心理～分组进行讨论～引导学生与到知识的发生、发展、形和运用的过程～使学生从被动思维变为主动探索。学生以观察实例为基础～用归纳的方法形成关系式～把学生教学过程转化为生亲自观察、发现、论证、探索的过程～了识的“发生”“发现”及成的过程。培养了学生用数学的观点、思维法观察、探索和思考问题的习惯。使教学遵循了的直观到抽象的思维的认知规律。揭示了事物发展从“特殊”到“一般”再到“特殊”的辩证规律～既提高了学生学习兴趣～增强信心～有于接受知识～有益于形成对问题进行索～究和决的能力～体现了“数学学主要是数学活动的学”的教育理念
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案例:
周承科
浙江
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韦达定理的发现与证明
案例: 韦达定的发现
正如大家所悉的～一元二次方程的根与系数的系的明应当说并不难～但从教学的角度看～我们则又显是应考虑这样的问题～首先这一结果是如何发现的,其次～我们又如何才能使的证明对于学来说成为十分
例如为了找出一元二次方程根与的关系～教师行了“由具到抽象”、“由简单复杂的设计”～引导学生己去发现结论～在1996年全国初中青年学教师优秀课评比中有种形式的教案。通常采用让学生通过较多的题目求解～在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。大概也是基一种考虑～如袁为民老师在自己所撰写的教案《一二方程的根与数的关系》,载《学数学通用案设计精编》第97-102页,就采取了这方法。在对求根进行回忆后就以表格出示了四个二次项系数为1的一二方程～通过让学生求出其解～然计算出两根之和、两根之差、两之积、根商～发现根之和是一次项系数的相反数～两根之积是常数项～而两根之差～两根商的果没有同的规律～从而提出是不是合～继续表格示四个二次系数为1的一元二次方程～通过观察两根和与两根积是不是还有同样的规律～然后利表格观四二次项系数不为1的一元二次方程不是也有同样的规律～从而发现当二次项系数不为1时～两根恰为一次项系数除以二次项系数的相反数～而两根之积恰为常数项除以二次项系数。由此猜想韦达定理～最后用求根公式加以证明。该设计从表面看～学生动手又动脑～沉浸以发现的乐趣中～其实～这种设计降低了对学生思维上～恰好回避了最键、最实质、学生最知道的题:为么要计算两根和与两积～难点虽然化为乌有～但缺少思维落差～形原地步～故什么角度提题～如何将教学难点“为什么要计算两根和与两根”嵌放于初始问题之中是我们设计的难点。新的学知产生的渠道～也正是我们寻
与上述做不同～笔者采取了这样
一、引例:
2,1,、求一元
想到通过解方程出两个根～再求出和与积～达到激发学原有认
的,
2 解: ,7x，12,0x
(x,3)(x,4),0
? x,3,0orx,4,0
? x,3orx,4
? ，,3，4,7 ,,3，4,12 xxxx1212
2,2,、提问:
[,2,的提出学生的原有认知产生冲突～学生不知从何手～使
一种迫切想知这类问题解决的“捷径”的兴趣～从而激发学的求知欲] 二、 导学生观察引例中两根和、两积与方程数中什么系～为了让学生积极动脑～人人参与～得到结论～分学生前后四人一组～让他们观察～猜想～思考的关系。最后在师发、引导下猜测出
2若方程的两根为、～则 ? ，px，q,0，,,p,,qxxxxxxx121212
本例仅选一个解方程的题目～这样～学生发现的难度提高了～但数学思品质也相对提了～只要教学语言使用得当～问题情境设计得好～学生是从一个题中去获得发
[指出猜测不一正确～我们能否证明这一猜想,] 通过学讨论得
22证:由求
224,p，,qp4,p,,qp,,xx2122
22
,p，,4q,p,,4qpp,2p，,，,,,pxx1222p
2222,p，,4q,p,,4q,(,4q)pppp ,,,,,qxx12224
指出:我们发现一个命题～而且是可以称之为定理的命题～所我们可
出引例
2三、提问:一般地～一元次方的根
方程系数又有什么关系,否前
的分组讨论～教师的巡回指、启
以了。
bc2证: 边
cb由前可知: ，,,,,xxxx1212aa
从而归纳出更一般的元
2若一元二次方程的两根为、～ a，bx，c,0(a,0)xxx12
cb则 ，,,,,xxxx1212aa
指出:,1,这个结果曾由法数家
为韦达定理
,2,事实证明～只要同学心
是不能发现的～同学们有趣话
系数的关系。
[上面两个论之间的关系:由简到复杂、由特殊到～可以使生今后在用这一知时～
四、小结
b21、若一元二次方程的两为、～
c ,,xx12a
22、
,1,应用韦达定理时～应先方化
且检验 。 a,0
b,2,不要遗漏
,3,应用韦达定理解
,应用韦达定理时～要
该教学设
根据本节教学内容特点～本案例复习入手～先给学生一个念～激发学生的奇心和求知欲。接利用学生的“爱动”心～分进讨论～引导学生参与知识的发生、发展、形成和运用程～使学生从被动思维变主动索。让学生以观察实例为基础～用归纳的方法形关系式～把学生教过程转化为学生亲自察、发现、论证、探索的过程～再现了知识的“发生”和“发现”及形成过程。培养了学生用数学的观、思维方法去观察、探索和考问题的惯。使教学遵循了从生动直观到抽象思维的认知规律。揭示了事物展从“特殊”“一般”再“特殊”的辩证规律～既提高了学生的学习兴趣～增强信心～有利于接受知识～也有益于形成对问题进行探索～研究和解决的能力～现了“数学学主要是数学活动的教学”教育理
案例:韦达
周承科
浙江诸暨市马剑镇中
韦达定理的应用题,证明,公式
根的判别式和韦达定理是实系一元二方的重
将一些表面上看不是一元二方程问题化
例1 (1987年武四市联题)
2元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.
2证明 ?=(2b)-4ac.?若一元二次方程有实根，
必须证??0.由已知条
2? =(Pc+Ra)-4ac
22=(Pc)+2PcRa+(Ra)-4ac
2=(Pc-Ra)+4ac(PR-1).
?(Pc-Ra)2?0，又PR,1，a?0，
(1)当ac?0时，有??0;
2(2)当ac,0，
2(1)、(2)证明了??0，故
例2 (1985宁波初中学竞题)
2坐标是数a.P是数轴上
此处无图
(2) 若k,1，把x，x，0，a
2解 (1)由已可
22x+kax-ka=0，当判别式?,0时有两解，这时
2222? =ka+4ka=ak(k+4),0.
?a,0， ?k(k+4),0，故k,-4或k,0.
(2)x,0,x,a. 12
例3(1982年湖北初中数竞
分析 若视原式为关于x的三
将此式看作关于x
? =
显然?不是个完全平方式，故原不能分解为两个一
?求证:0?x? 0?y? 0?z?
分析 ?代入?可消去一个字母，如去z，后整
此式可看作关于y的实系一
222? =16(x-a)-16(4x-4ax+a)?0
?0?x?
同理可证:0?y?，0?z?.
2例5设a，a，a，b是足不
求证:aa+aa+aa?3b. 122331
证明 由已知可得
?0. 设则
?a是实数， 故??0，即有 3
22(a+a)?()-2aa+4b+r?2()-(a+a)+4b. 121212
2+a)?()+2b，?a于是(aa?b. 1212
同理有aa?b，aa?b.三式相加即得 2331
aa+aa+aa?3b. 122331
例6 设a、b、c为实数，方程组
与
均无实数.求证:对于一切实数x都, 证 已知条
2进一步可知，方程ax+bx+c=?x无实根，因此判别式?=,0，
22于是 (b-1)+(b+1)-8ac,0.即 4ac-b,1.
? ,
2(
2 (1899年匈牙利数奥林匹克赛题)
证明
? 33=a+d+3abc+3bcd，
由韦达定理逆
的根. 例8已
2ax+bx+c=0， ? 111
2ax+bx+c=0， ? 222
都有两个
(1) 这两个实数根都是负值;
2(2) 方
?也有两个负根.
证明 ?方程?有两个实数根，?,0. ? 同理,0. ?
又a、b、c都是
由此可知程?的两根是负值.同样证方程?两根是负
由,0，得, ? ??
=
?
=,0，
?方程?也
又aa,0，bb,0，cc,0， 121212
,0， ,0. ?
由此可知方程?的两个根也是负值.
22例9(1983年上海初中数学赛题)自然n，
.求下式的值: n
+ 解 由韦达定理得
=
而
=(n?3)，
?原式=
+
=
例10(1989年全国中
222(a-1)x-(a+2)x+(a+2a)=0 ?
222及(b-1)x-(b+2)x+(b+2b)=0 ?
(其中a，b为正整数)有一公根，求的值. 由题
=1，矛盾.得x
? 及 ?
相异的两根，因此
于是 ab-(a+b)=2，即(a-1)(b-1)=3. 由 或
解得 或
?
例11 (仿1986年全中
求证:1?a?9.
2证明 由?
?-?得 b+c=
所以实数b，c可看成一元二次方程
的两根，
?0，
即(a-1)(a-9)?0，?1?a?9.
例12 (1933年福建初中学竞赛)证:
周长和面积比都
分析 设矩形A及B的长度别是a，b
(k，a，b为已知数)
有正整数解即可.
再由韦达定理，其
2z-k(a+b)z+kab=0的两根.
?k?1，故判别式
22? =k(a+b)-4kab
222?k(a+b)-4kab
22=k(a-b)?0，
?上述二次方
又z+z=k(a+b),0，zz=kab,0， 1212
从而，z,0，z,0，即程组
练习二十一
1( 填空题
(1) 设方的两
22(2) 若r和s
2222(3) 已方程x-8x+15=0的两根以写成a+b与a-b,
2.选择题
22(1)p,q都是自然数,方px-qx+1985=0的两都是质数,则12p+q的
(2)方程的较大根为r,的小
(A) (B)1985 (C) (D)
2222(3)x+px+q=0(p?0)的两个根为相等数，则x-qx+p=0的两个根必
22(4) 如关于方程mx-2(m+2)x+m+5=0没
(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定
223((1983年杭州竞赛)设a?0，程ax+bx+c=0的
2和;ax+bx+c=0的两相
2224.常数a是满足1?a?50然数.关于x的二
225.设x、x为正系数方程ax+bx+c=0的两
(1) 如果m,n，那么方程有不等的实数根;
(2) 如果m,n，那么方程没有实数根.
6(求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足
227((1987年全国初中竞赛)当a，b为何时，
28((1985年苏州初中数学竞题)试:1986
值.
2229((第20届全苏中学数学
10((1972年
(1) 证满足的根在和197.99494949…间; (2) 同(1)证,1.41421356. 练习二十一
1.(1)
(2)
(3)3.
2.C B A.
3.
4.x=a+2?由于x为自然，可a为全平
5.略
26.3x-7x+2=0.
7.因为方
8.设1986=4k+2(其中k是自然数).
22222令?=b-4ac=4k+2,这时b能被2整除,因b也能被2整除.取b,2t,这时b=4t,且4t-4ac=4k+2.这时等式左边的
210.由，可
韦达定理的应用题_证明_公式
根的判别式韦达定理是实系数元二次方程的重础知识，用它们进一步
1． 判别式的应用
例1 （1987年武汉等四市联赛）已知实数a、b、c、R、P满
证明 △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，
必须证△≥0.由已知条
△ =（Pc+Ra）2-4ac
=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac
=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.
∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，
（1）当ac≥0时，有△≥0；
（2）当ac1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“0时有两解，这时
△ =k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.
∵a＞0， ∴k（k+4）＞0，故k0.
（2）x11.
2．
例7 （1899年匈牙数学奥林克竞题）假
证明 由已知条件得
的根.
∴
=a3+d3+3abc+3bcd，
由韦达定
、是方程
的根.
例8已知两
a1x2+b1x+c1=0， ①
a2x2+b2x+c2=0， ②
都有两个
（1） 这两个实数根都是负值；
（2） 方
③也有两个负根.
证明 ∵方
同理＞0. ⑤ ＞0. ④ 又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，0，得＞＞0， ⑥ ⑦
=
≥
=
＞0，
∴方程③
又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0， ∴＞0，
0，z1z2=kab＞0，
从而，z1＞0，z2＞0，即程
练习二十一
1． 填空题
（1） 设方的两
（2） 若r和s是方x2-px+q=0
（3） 已知方程x2-8x+15=0两根可以成a2+b2与a-b,
2.选择题
(1)
(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996
(2)方程
等于( ). 的
(A) (B)1985 (C) (D)
(3)x2+px+q2=0(p≠0)的个为相
(A) 非实数 (B)等
（4） 如果关方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没
(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定
3．（1983年杭州竞赛）设a1≠0，程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的两个
4.常数a是满足1≤a≤50的自然.若关x的
5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的
(1) 如果m＜n，那么方程有不等的实数根；
(2) 如
6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足
7．（1987年全国初中竞赛题）当a，b为
8．（1985年苏州初中数学竞赛）试证：1986不能
9．（第20届全苏中学生数学赛题）方
10．（1972年
（1） 证足根
（2）
练习二十一 1.(1) (2)
(3)3.
2.C B A. 3.
4.x=a+2±由
即a=1，4，9，16，25，36，49.
5.略
6.3x2-7x+2=0.
7.因为方
8.设1986=4k+2(其中k是自然数).
令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也2整除.取b＝2t,这b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边
10.由，可得x2-198x+1=0,其根
